Prof. Pr, Ir. J.D. Pr. W.A.M. Brefnelrnana Dr. Is. F.P.T. Baaijens

Afstudeerverslag

Tatel :

The-mo-vPs@g$lastisehe analyse voor een spuitgiet product

Doos

J.P.H. verest juni, 1987

:

Prof. Pr,~.Ir. J . D . Yanssen

Pr. W.A.M. Brefnelrnana Dr. I s . F . P . T . Baaijens Rappmtnummer BFW 87.043

Inhoudsopsave Voorwoord O

Samenvatting.

1

Inleiding.

2

Isotherm viscoelastisch materiaalgedrag bij verschillende waarden van de temperatuur. 2.1 Inleiding 2.2 Amorfe polymeren. 2 - 3 De typisch viscoëlastische fase : Tg < T < Tr. 2.4 Be rubberfase : T, < T < T,. De glasfase : T < Tg. 2.5 2.6 Consistentie.

1.1

u

3

De invloed van de tijdafhankelijkheid der temperatuur op het materiaalgedrag. 3.1 Inleiding. 3.2 De I-dimensionale constitutieve vergelijking met : Tg < T(t) < Tr. 3.3 De 1-dimensionale constitutieve vergelijking met : T(t) < Tg. 3.4 De 3-dimensionale constitutieve vergelijking met : T(t) < T . Het bepa en van de materiaaleigenschappen uit 3.5 experimenten.

4

4

5

Het bepalen van de materiaaleigenschappen voor de 3-dimensionale formulering. 4.1 Inleiding. 4.2 De trekproef bij de referentietemperatuur To. 4.3 Een benadering voor C ( t ) bij de referentietemperatuur To. 4.4 Een numeriek voorbeeld. 4.5 De benadering van de glijdingsmodulus bij een andere temperatuur. 4.6 De experimenten. De simulatie van het experiment. 5.1 Inleiding. 5.2 Het experiment. 5.3 üe werkwijze van de rekenprocedure (VAX MARC KI). 5.4 De instationaire energievergelijking. 5.5 Spanningen en vervormingen.

2. I 2.1

2.3

2.6 2.9

2.10 2.12

3.1 3.1 3.1

3.7 3.9

3.1Q 4.1 4.1 4.1

4.2 4.4 4.5 4.5

5.1 5.1 di. 1

5.2 5.3 5.4

5.6

6

Confrontatie met het experiment.

Conclusies en aanbevelingen.

5.9

.

S. 1

Literatuur

Bij lagen

1 2 3 4 5 6 7

8

Het niet lineaire l-dimensionale model van Schapery voor de relaxatie formulering. De l-dimensionale spanningstoestand. Een benadering voor G(t). De experimenten. Voorbeeld van een temperatuur en spanningsberekening. Oplossing instationaire energievergelijking. l-dimensionale viscoelastische berekeningen met MARC. Berekeningen van de spanningen en vervormingen.

I

Voorwoord Dit is het verslag van mijn afstudeerwerk verricht binnen de vakgroep WFW. Op deze plaats wil ik Marcel Brekelmans en Frank Baaijens bedanken voor de plezierige en uitstekende begeleiding. Leon Govaert bedank ik voor het uitvoeren van de metingen die noodzakelijk waren voor dit afstudeerwerk. Juni 1987, Han Verest

-0-

Samenvattincr. Dit verslag handelt over de numerieke simulatie van een experiment met behulp van het eindige-elementenmethoden programma MARC. Een rotatie symmetrisch busje zit in een mal opgesloten bij een bepaalde hoge temperatuur. De mal met het busje wordt vervolgens onder gedefinieerde omstandigheden afgekoeld waarna het busje uit de mal wordt genomen. Getracht wordt de spanningen en vervormingen, van het busje, te berekenen die optreden tijdens de afkoeling en na het uitnemen. Hiervoor moet een instationaire energie vergelijking worden opgelost en er moet gerekend worden met thermo-viscoelastisch materiaalgedrag. De energievergelijking kan apart worden opgelost omdat de vervormingen en verplaatsingen klein zijn. Voor Bet beschrijven van het ;;lechanischgedrag wordt Uitgegaan vari de 3-dimensionale isotrope lineair viscoelastische vergelijking volgens de relaxatie formulering bij een bepaalde referentietemperatuur. Om de invloed van de temperatuur in rekening te brengen wordt de 1-dimensionale constitutieve vergelijking gebruikt om een en ander toe te lichten. De gewenste 3-dimensionale formulering is een generalisatie van de 1-dimensionale formulering. Van de relaxatiefuncties wordt verondersteld dat deze uit een constant deel en een som van e-machten, tijdsafhankelijk deel, ~ zijn de r~~~~d~~~~~~~~~~~ ~ en ~de bestaan. Bij de 3-di ensiomalle € kompressiemodulus van belang. Van de kompressiemodulus wordt aangenomen dat deze niet tijdsafhankelijk is en uit het P-V-T diagram kan worden bepaald. De trekproef wordt gekozen om de glijdingsmodulus te bepalen. Omdat de kompressiemodulus bekend is kan uit de trekproef in principe de glijdingsmodulus worden berekend. Omdat dit zeer veel rekenwerk vergt wordt gebruik gemaakt van een benadering van de glijdingsmodulus. Uit 1-dimensionale testproblemen met MARC blijkt dat NARC niet de gewenste vergelijking oplost. Indien de materiaaleigenschappen van een bepaalde vorm zijn blijkt een juiste oplossing wel mogelijk. Voor de 3-dimensionale vergelijking wordt aangenomen dat hiervoor hetzelfde geldt. De materiaaleigenschappen worden in de gewenste vorm geschreven waarna de spanningen en vervormingen voor twee situaties worden berekend. In het eerste geval treden geen blijvende vervormingen op nadat het product uit de mal is genomen. Bij de tweede berekening treden blijvende vervormingen op nadat het product uit de mal is genomen.

~

Symbolen.

3

:

verplaatsingsvector

(P

:

Cauchy spanningstensor

6

:

lineaire rektensor

cd : deviatorische deel van de lineaire rektensor

tr(A)

:

spoor van tensorA

II

:

eenheidstensor

i

:

matesiele a f g e l e i d e van a

ux, uy, uz

ur, uz

:

:

componenten van de verplaatsingsvector bij carthesische coördinaten

componenten van de verplaatsingsvector bij cilinder coördinaten (rotatie-symmetrisch)

Andere gebruikte symbolen worden in het verslag toegelicht.

-1.1HOOFDSTUK

1

Inleidinu. Bij Philips loopt op dit moment een onderzoek naar het voorspellen van spanningen en vervormingen die ontstaan tijdens het afkoelen van kunststof producten die door middel van het spuitgiet proces worden gemaakt. Deze spanningen en vervormingen onstaan met name tijdens de nadrukfase. Dit is de laatste fase van het spuitgietproces waarbij onder hoge druk materiaal wordt toegevoerd om de krimp ten gevolge van de afkoeling te ondervangen. Het ligt in de bedoeling om deze nadrukfase in een laboratorium omgeving te simuleren. Hierbij wordt voor een zo eenvoudig mogelijke geometrie gekozen. Bij het experiment waarover dit verslag gaat is van een werkelijke nadrukzase geen spiiake. De hoeveelheid zateriaal (massa) tijdens de afkoeling blijft constant en de verplaatsingen en vervormingen die hierbij optreden zijn klein. Bij het betreffende experiment wordt een product (rotatie symmetrisch busje) opnieuw in een mal geplaatst en opgewarmd tot een bepaalde hoge temperatuur. Nadat de mal met product overal dezelfde temperatuur heeft bereikt en er in het product alleen sprake is van een homogene druk wordt de mal met product onder zo goed mogelijk gedefinieerde omstandigheden afgekoeld. Nadat de constructie volledig is afgekoeld wordt het product uit de mal verwijderd. De interesse bij dit experiment gaat uit naar de spanningen en vervormingen, van het kunstof product, die optreden tijdens de afkoeling en nadat het produkt uit de mal is genomen. Doel van dit afstudeerwerk is om tot een numerieke simulatie te komen van dit experiment met behulp van het eindige-elementenmethoden programma MARC. Centraal bij de numerieke simulatie staat het oplossen van de instationaire energie vergelijking en het rekenen met thermo-viscoëlastisch materiaalgedrag. Doordat de verplaatsingen en Vervormingen klein zijn kan de energie vergelijking apart worden opgelost. Dit komt neer op het oplossen van een diffusie vergelijking. Wat betreft de noodzakelijke constitutieve vergelijkingen, voor het mechanisch gedrag, dient als uitgangspunt de 3-dimensionale isotrope lineair viscoelastische relatie, welke een generalisering is van de 3-dimensionale isotrope lineair elastische vergelijking. In hoofdstuk 2 en 3 wordt aandacht besteedt aan het fomuleren van de constitutieve vergeìijkigen. De I-dimensionale situatie wordt hier gebruikt om de invloed van de temperatuur toe te lichten waarna de 3-aimensionale ~ ~ r ~ hierwan ~ ~ een ~ generalisatie j k L ~ wordt. ~ In hoofdstuk 4 komt het eenvoudigste experiment (trekproef) aan de orde om de materiaaleigenschappen te bepalen. Voor de 3-dimensionale vergelijking is de glijdingsmodulus en de kompressiemodulus van belang. Hoofdstuk 5 is een synthese waarbij de numerieke simulatie van het experiment met MARC centraal staat. Hoofdstuk 6 geeft een aantal conclusies.

-2.1-

HOOFDSTUK 2 Isotherm viscoëlastisch materiaalqedraq bij verschillende waarden van de temperatuur. 2.1 Inleiding. A l s uitgangspunt dienen de constitutieve vergelijkingen voor lineair

viscoelastisch materiaalgedrag, bij een bepaalde constante temperatuur. Twee situaties worden hierbij onderscheiden, de lijnspanningstoestand en de 3-dimensionale spanningstoestand : 2.1-1 De 1-dimensionale situatie.

Dit is de equivalent van de 1-dimensionale wet van Hooke (u=EE) voor elastisch materiaal. De ondergrens van O- in de integraal wordt genomen om eventuele sprongen van de rek E(t) op tijdstip t=O te kunnen beschrijven. E( t 1 is de relaxatiemodulus, welke voortaan elasticiteitsmodulus o f E-modulus wordt genoemd. Bij een sprong in de rek op t=O ter grootte E wordt de spanning o(t) gegeven door :

O

t-,

figuur 2.1 de elasticiteitsmodulus

t-*

-2.2-

2.1.2 De 3-dimensionale isotrope situatie.

G(t) is de tijdsafhankelijke glijdingsmodulus, deze wordt voortaan glijdingsmodulus genoemd. Voor zuivere afschuiving zal bij een sprong van 8(t) op t=O de schuifspanning os(t) gegeven worden door :

K ( t ) is de tijdsafhankelijke kompressiemodulus, deze wordt voortaan

kompressiemodulus genoemd. Indien de volumerek EV(t)=tr(a(t)) op tijdstip t=O een sprong vertoont, wordt de hydrostatische druk p(t) gegeven door :

I

~

t-, figuur 2 . 3 de kompressiemodulus. O

t-,

-2.3E(t1, G(t) en K(t) worden relaxatiefuncties genoemd. Voor de 1-dimensionale situatie is E(t) van belang en voor de 3-dimensionale situatie zijn G(t) en K(t) van belang. De 1-dimensionale en 3-dimensionale situatie zijn hier onafhankelijk gepresenteerd. In paragraaf 8 2 . 1 van bijlage 2 blijkt dat de 1-dimensionale spanningstoestand volgens (2.3) in een vorm als (2.1) kan worden geschreven. In het vervolg van dit hoofdstuk worden aannamen gedaan over de vorm van de relaxatiefuncties. Of de beide formuleringen consistent zijn komt aan het einde van dit hoofdstuk aan de orde. Beschouwd worden amorfe polymeren met lineair viscoelastisch materiaalgedrag. Nagegaan wordt wat de invloed i s van de temperatuur op de relaxatiefuncties. In dit hoofdstuk wordt daarbij de temperatuur constant (geen functie van de tijd) verondersteld. E(t), G(t) en K(t) zijn de ralaxatiefuncties bij de referentietemperatuur To. De relaxatiefuncties bij temperatuur T zullen worden uitgedrukt in de relaxatiefuncties bij de referentietemperatuur. De tijdsafhankelijkheid van de kompressiemodulus wordt al snel verwaarloosd. 2.2 Amorfe polymeren.

Amorfe polymeren bestaan uit lange lineaire of vertakte moleculen. De situatie waarbij de moleculen ineen gekronkeld zijn tot kluwen, die door elkaar heen liggen en verward zijn, is de amorfe toestand. Amorf zijn dus de niet gekristalliseerde polymeren of thermoharders, welke een netwerk van moleculen bezitten. Wordt op een amorf polymeer een trekproef uitgevoerd bij een bepaalde reksnelheid, zonder plastische vervorming, dan resulteert kwalitatief het volgende verband tussen de spanning u en de rek E :

“1

E +

figuur 2 . 4 de trekkromme voor een amorf polymeer. indien de trekproef bij verschillende temperaturen met de zelfde reksnelheid wordt uitgevoerd en de waarde U , / E ~ , met c l steeds hetzelfde,

-2.4-

tegen de temperatuur wordt uitgezet dan is het onderstaande verband tussen u 1 / c l en de temperatuur typisch voor amorfe polymeren :

Tg

figuur 2.5

ol/cl

Tr

T +

TV

als functie van T.

I

Bij lage temperaturen gedragen de materialen zich glasachtig. Moleculair gezien is dit een ingevroren vloeistof toestand. Er is geen of nauwlijks ketenbeweeglijkheid. Relaxatie en kruip treedt in veel mindere mate op dan in gebied 11. Relaxatie en kruip zijn processen waarbij herstel van de molecuulconfiguraties optreedt.

I1

Het typische viscoëlastische gebied. De molecuulketens kunnen ten opzichte van elkaar bewegen.

I11

Met rubberachtige gebied. De keten beweeglijkheid is groot. De warpunten fungeren als dwarsverbindingen (cross-links). Bij rubbers worden deze dwars verbindingen gevormd door andere moleculen, bijv. door zwavelmoleculen.

IV

Het materiaal gedraagt zich steeds meer als een vloeistof. Er is volledige ketenbeweeglijkheid.

De overgang van I naar I1 wordt gekenmerkt door de glastemperatuur (Tg). De overgang van TI naar I11 wordt bepaald door Tr, de rubbertemperatuur. Tv, de vloeitemperatuur, bepaalt de overgang van gebied IT1 naar IV. Deze overgangstemperaturen zijn in principe niet constant. In het vervolg wordt dit wel aangenomen.

-2.5-

Figuur 2.6 geeft kwantitatieve resultaten voor een aantal polymeren.

-100

o

100

T-Tg .I kl

200

figuur 2 - 6 voorbeeld van figuur 2.5 Polycarbonaat (P.Cl en A . 8 . S zijn amorf. De andere polymeren zijn kristallijn. De reksnelheid en cl zijn onbekend. Wet betrekking tot de glastemperatuur wordt een nadere toelichting gegeven . karakteristiek voor amorfe polymeren is het volgende verloop van het specifiek volume (per massa eenheid) als functie van de temperatuur bij een bepaalde druk en afkoelsnelheid :

~~

Tg

T +

figuur 2.7 de glastemperatuur. De glastemperatuur Tg is de temperatuur waarbij de uitzettingscoëfficiënt een sprong vertoont. Boven T neemt vooral het vrije volume toe met het stijgen van de temperatuur. 8et vrije volume is het totale volume (macroscopische volume) vermindert met het moleculaire volume (bezet volume). Wet de toename van het vrije volume neemt de beweeglijkheid van de molecuulsegmenten sterk toe. Dit is de oorzaak dat boven de

-2.6-

glastemperatuur de relaxatietijden snel kleiner worden met toenemende temperatuur. De relaxatietijden zijn een maat voor de tijd waarin herstel van de molecuulconfiguraties optreedt. In figuur 2.5 blijkt dat de waarde a l / & , sterk afneemt boven Tg met toenemende temperatuur. De volgende 3 gebieden worden in het vervolg nader bekeken I1 Het gebied waarvoor geldt : Tg < T < Tr I11 Het gebied waarvoor geldt : Tr < T < Tv I Het gebied waarvoor geldt : T < Tg

:

Deze volgorde wordt gekozen omdat gebied XI de minste problemen levert en gebied I de meeste om de invloed van de temperatuur op de relaxatiefuncties in rekening te brengen. Gebied IT komt niet nader aan de orde. 2.3 De typisch viscoëlastische fase: Tg

< T < T,.

Binnen de groep van amorfe polymeren, met lineair viscoelastisch materiaalgedrag, vertonen vele van deze een specifiek temperatuur afhankelijk materiaalgedrag, het zogenaamde thermo-rheologisch eenvoudig materiaalgedrag. Bit houdt in dat, indien een relaxatiefunctie (bij een bepaalde temperatuur To) wordt uitgezet tegen de tijd, de relaxatiefunctie een zuivere verschuiving naar links of rechts vertoont bij een andere konstante temperatuur T, in een grafiek met logaritmische tijdas. In onderstaande figuur is LT een van de relaxatiefuncties als functie van ln(t). LP

figuur 2 . 8 thermo-rheologisch eenvoudig materiaalgedrag.

-2.7-

2 . 3 . 1 De 1-dimensionale situatie.

ET(t) is de relaxatiefunctie bij temperatuur T. E (t) is de TO relaxatiefunctie bij temperatuur To. De verschuiving kan als volgt worden beschreven:

f(T) heeft de volgende eigenschappen:

1.

f(To) = O

2 . d f o > O

d T

Indien T groter is dan To verschuift de relaxatiefunctie naar links en deze verschuift verder naar links bij nog hogere temperaturen. De elastische respons wordt niet beïnvloed door de temperatuur. In plaats van het gebruik van f(T) wordt de verschuiving nu op een andere manier beschreven. Definieer a(T) zodanig dat :

Voor a(T) geldt dan

: 1.

2.

a(To) = 1

->o

d T

Voor ET(t) kan dan geschreven worden

ofwel

:

:

De gereduceerde tijd

Wordt E

y

wordt gedefinieerd als

(t) gekozen volgens

:

y=ta(T), zodat

:

:

TO

(2.11)

-2.a-

dan geldt bij temperatuur T

:

(2.12)

en met de definitie van

y :

(2.13)

Een bekende vesachuFvingsrege1 is de W-L-F vergelijking E53

f(T) = ln(a(T))

=

40.0t T

-

T,) 51.6 i-T - Tg

:

(2.14)

Deze regel geldt in het gebied : Tg < T
De verschuivingsfactor a(T) volgens de W-L-F vergelijking geldt ook voor de glijdingsmodulus en de kompressiemodulus. Dus indien de glijdingsmodulus bij To gekozen word% volgens :

(2.15)

en de kompressiemodulus volgens

:

(2.16)

dan geldt bij temperatuur T

:

(2.17)

-2.9(2.18)

(2.19)

Ook hier geldt dat GT(O) orden groter is dan GT(-). Met de aanname dat het verschil in kompressiegedrag tussen een polymeer en een elastische stof veel kleiner is dan het verschil in afschuifgedrag tussen een polymeer en een elastische stof [5] kan de tijdsafhankelijkheid van de kompressiemodulus worden verwaarloosd. Volgens Pipkin [12] wordt in de meeste gevallen het materiaal gedrag voldoende nauwkeurig beschreven met deze aanname. Experimenten moeten echter aantonen of deze aanname gerechtvaardigd is. Relaxatie bij afschuiving wordt veroorzaakt door herstel van de plaatsconfiguraties van de molecuulsegmenten. Bij een toename van de druk neemt het vrije volume af en komen de atomen van de moleculen dichter op elkaar te zitten. Toename van de druk lijkt dus veel op verlaging van de temperatuur [ 8 ] . De uitzettingscoefflcient is in principe ook een functie van de tijd. Moleculair gezien zijn afschuiving en konaapsessie verschillende processeni waarbij het visceus gedrag bij kompressie vaak te verwaarlozen is ten op zichte van het visceus gedrag bij afschuiving. Boven de glastemperatuur is R constant (geen functie van de tijd (bovenstaande aanname)) en onafhankelijk van de temperatuur indien de verschuivingstheorie geldt, want volgens deze theorie wordt de elastische respons niet beïnvloed door de temperatuur. Met ‘bovenstaande aanname krijgt de constitutieve vergelijking de volgende vorm : t m(t) = f. - 2G ‘=O

(a(T){t-rl)id(r)dr

TO

+ Kgtr(a(t))ii

(2.20)

Kg is de kompressiemodulus boven de glastemperatuur. 2.4 De rubberfase : T,

< T < T,.

In dit gebied is het mogelijk dat een verschuiving (horizontaal) van de relaxatiefuncties niet voldoende is om de temperatuursinvloed in rekening te brengen. Volgens de theorie van de rubberelasticiteit zijn de Emodulus en de glijdingsmodulus evenredig met gT [6]. g is de dichtheid (=l/v). Opgemerkt moet worden dat een ideale rubber zich zuiver elastisch gedraagt en inkompressibel is. Met betrekking tot de elastische respons wordt voor de relaxatiefuncties in het rubberachtige gebied een correctie gemaakt worden door te veronderstellen dat Eo, Ei, Goen Gi evenredig zijn met OT C6l.

-2.102.4.1 De l-dimensionale situatie. De elasticiteitsmodulus krijgt door de evenredigheid met pT de volgende vorm, waarbij in de lineaire theorie Q constant mag worden genomen zodat de vergelijkingen lineair blijven : (2.21)

met y=ta(T) en E (t) volgens (2.11). Opmerkelijk is dat bij hogere TO temperaturen de elasticiteitsmodulus toeneemt. 2.4.2 De 3-dimensionale situatie. Voor de 3-dimensionale constitutieve vergelijking waarbij de glijdingsmodulus evenredig is met QT volgt :

(2.22)

met G

(t) volgens (2.15).

TO

2 . 5 Be glasfase : T

< Tg.

2.5.1 De l-dimensionale situatie. Boven de glastemperatuur kan dus nu de invloed van de temperatuur op het materiaal gedrag worden beschreven m.b.v. bekende verschuivingsregels (voor een groot deel empirisch bepaald) en correcties op basis van de rubber theorie. Onder de glastemperatuur liggen de zaken anders. Door de overheersende vander Waalskrachten tussen de moleculen is de ketenbeweeglijkheid zeer gering o f uitgesloten. Ver onder de glastemperatuur treedt praktisch geen herstel op in de periode dat de deformatie wordt opgelegd [5]. E(O1en E(-) verschillen weinig. De relaxatiemechanismen onder de glastemperatuur zijn anders van aard dan erboven. Zoals al is opgemerkt is de verhouding tussen E(O1 en E(-) onder de glastemperatuur veel kleiner dan boven de glastemperatuur. Indien ET (t) uitgedrukt moet worden in ET (t) dan is een verschuivingsfactor niet O voldoende daar met een verschuivingsfactor de verhouding tussen E(0) en E(-) niet beïnvloed wordt. Het model van Schapery [IS] biedt hier een oplossing. Het Schapery model is een enkelvoudige integraal formulering

-2.11voor niet lineair viscoëlastisch temperatuurafhankelijk materiaal gedrag. Dit model voldoet aan een aantal thermodynamische voorwaarden en heeft hiermee een vrij grote geldigheid. Aan de achtergronden van dit model wordt hier verder geen aandacht besteed. ïn de literatuur komt men dit model vaak alleen in de 1-dimensionale vorm tegen. Indien van dit model (zie bijlage 1) het niet lineaire gedeelte wordt weggelaten dan wordt, met E (t) volgens (2.111, ET(t) gegeven door : TO (2.23)

vaarbij, voor de algemeenheid, voor de elasticiteitsmodulus een aparte verschuivingsfactor is gedefinieerd. Voor (2.23) wordt met een andere notatie, zoals gebruikelijk bij Schapery, geschreven :

Voor T=To geldt dat fl(To)=l en f2(T0)=1. De eerste term in (2.24) stelt het constante deel van de relaxatiefunctie voor en de tweede term het tijdsafhankelijke deel. fl(T9 brengt de invloed van de temperatuur op Eo in rekening en f2(T) de invloed op Ei. aE (TI is de verschuivingsfactor voor de elasticiteitsmodulus. fl(T), f2(T) en aE(T) moeten experimenteel bepaald worden. 2.5.2 De 3-dimensionale situatie. Naar analogie van de elasticiteitsmodulus, volgens (2.241, wordt voor de glijdingsmodulus een zelfde beschrijving gekozen. GT(t) krijgt dan de volgende vorm :

Voor T=To geldt hl(To)=l en h2(T0)=l. hl(T) brengt de invloed van de temperatuur op Go in rekening en h2(T) de invloed op Gi. aG(T) is de verschuivingsfactor voor de glijdingsmodulus. De constitutieve vergelijking wordt gegeven door : t

a(t) = J

T=O-

{2hl(T)Go

+

2h,(T)AG(a,rt-~})}~~(r)dr

+ K(T)tr($(t))H (2.26)

-2.122.6 Consistentie.

In paragraaf B2.1 van bijlage 2 blijkt dat de I-dimensionale spanningstoestand volgens de 3-dimensionale formulering (2.3) in de volgende vorm kan worden geschreven :

(2.27)

Beide formuleringen zijn consistent indien geldt

:

(2.28) Met het oog op het te simuleren experiment met het eindige elementenmethode programma MARC is gekozen voor relaxatiefuncties welke uit een constant deel en een reeks van e-machten (tijdsafhankelijke deel) bestaan. In paragraaf B2.2 van biylage*2 wordt, voor het geval dat 1 term (n=l) uit de reeks wordt meegenomen, E (t) berekend en nagegaan of voor de drie temperatuursgebieden de beide formuleringen consistent zijn. Uit de hoeveelheid rekenwerk die al nodig is voor dit geval lijkt een zelfde berekening voor n > 1 ondoenlijk. Voor n > 1 wordt dan ook geen uitspraak gedaan over consistentie.

-3.1HOOFDSTUK 3 De invloed van de tiidafhankeliikheid der temperatuur sedras.

OP

het materiaal

3.1 Inleiding

In het vorige hoofdstuk was de temperatuur geen functie van de tijd. Hierbij werd alleen bekeken hoe de relaxatiefuncties, behorend bij een referentietemperatuur, aangepast moesten worden voor een andere temperatuur. In dit hoofdstuk wordt bekeken hoe de constitutieve vergelijkingen er uitzien indien de temperatuur een bekesde functie var, de tijd is. In 3.2 wordt voor de 1-dimensionale vergelijking eerst de respons van de spanning op een stap van de rek op tijdstip t=O bepaald. Vervolgens wordt de respons op een willekeurig rekverloop bepaald. Voor T(t) geldt : T < T(t) < Tr In 3 . 3 komen de gebieden T(t) < T en T(t) > Tr voor de l-&mensionale situatie aan de orde, waarbij T(t7 > Tr als een speciaal geval van T(t) < T 9 wordt gezien. In 3.4 wordt de 3-dimensionale vergelijking, welke een generalisering van de 1-dimensionale vergelijking is, gegeven. Hierbij wordt alleen naar het gebied T(t) < Tg gekeken omdat de andere gebieden vereenvoudigingen hiervan zijn. De kompressiemodulus wordt tijdsonafankelijk verondersteld. Omdat de temperatuur verandert in de tijd moet de rek ten gevolge van uitzetting of krimp ook worden meegenomen. Aan consistentie van de 1-dimensionale situstie met de 3-dimensionale wordt geen aandacht meer besteed. 3.2 De 1-dimensionale constitutieve vergelijking met : Tg
< T,

3.2.1 De respons van de spanning op een stap van de rek op t=O. Stel dat T(t) het onderstaande verloop heeft en gediscretiseerd (stuksgewijs constant) wordt via de punten ~i zoals hierbij ook is aangegeven.

figuur 3.1 de temperatuur

-3.2-

De relaxatiefuncties (E-modulus) voor de constante temperaturen Tj zijn hieronder getekend.

figuur 3 . 2 relaxtiefuncties bij constante temperatuur Deze relaxatiefuncties kunnen op de volgende manier worden uitgedrukt in de relaxatiefunctie bij temperatuur To, indien To de referentietemperatuur is :

ai is de in het vorige hoofdstuk geïntroduceerde verschuivingsfactor bij temperatuur Ti, zie ( 2 . 1 0 ) . Vertoont de rek E(tl op t=O een sprong dan zal de spanning o(t) het volgende verloop hebben :

Hierbij wordt geen temperatuursrek verondersteld. Voor de relaxatie functie Ea(t) moet een uitdrukking gevonden worden. T Verandert de temperatuur sprongsgewijs, zoals hiervoor aangegeven, dan volgt Ea(t) van tot T I de functie ET (tl. Na een sprong in de temperatuur op T~ O T wordt verondersteld dat E-(t) de verschoven functie ET (t) volgt. Wordt T 1 aangenomen dat bij een sprong in de temperatuur de spanning geen sprong vertoont dan moet ET (t) horizontaal worden verschoven (verschuiving heeft 1 hier een andere betekenis dan die bij de verschuivingsfactor). Omdat de verschuivigsfactor geen invloed op de waarde EA(-) heeft mag ET (t) niet T 1 verticaal worden verschoven. In de volgende figuur is het voorgaande weergegeven en doorgezet tot

-3.3-

'i t á

'i+ 1

figuur 3.3 constructie van E-(t) T In figuur 3.3 is vi de onbekende horizontale verschuiving van E .(t) en TI vi - vi-1 + A v ~ (3.3)

(3.4)

E T . ( T ~ - v ~=) E 1

(aii'i-vi))

TO

Uit (3.51, (3.6) en 13.7) volgt :

(3.7)

-3.4{Ti-vilai =

(3.8)

Vergelijking (3.8) kan op de volgende manier worden herschreven

Met

:

:

ai - ai-? = Aai en vi - vi-l = Avi wordt vergelijking (3.12) TiAai = viAai - aielAvi

:

(3.13)

Door het verkleinen van de intervallen wordt T(t) steeds beter benaderd. In het limietgeval gaat de discrete variabele ~i over in de continue variabele T. Aai wordt da(T) en Avi wordt dv(T). ai-l krijgt de waarde a(T). In het limietgeval wordt vergelijking (3.13) : Tda = v(T)da + a(.r)dv

(3.14)

Hiervoor kan ook geschreven worden

:

Tda = dva

(3.15)

Integreren van (3.15) levert met v(O)=O: t f Tda = =O J dva = v(t)a(t)

T=O

(3.16)

‘1

Uit (3.16) kan v(t) worden opgelost

:

(3.17)

(3.17) invullen in (3.4) geeft

E-(t) = E

T

TO

t

:

(a(t)t- J Tda) T=O

(3.18)

-3.5(3.18) kan ook op de volgende manier worden geschreven : L

L

(3.19)

Ofwel

:

4-

L

(3.20)

De gereduceerde tijd

y

heeft nu de volgende vorm

:

(3.2t)

De respons op een stap in de rek op t=O wordt hiermee

:

met y volgens (3.21). De gereduceerde tijd y wordt nader beschouwd. Indien ag de gemiddelde verschuivingsfactor in het interval geldt :

( 0 , t ) is

dan

(3.23)

dus

:

y=agt

(3.24)

Vergelijking (3.21) wordt ook verkregen door te beseffen dat bij het gediscretiseerde temperatuursverloop (figuur 3.11 de lengte van een tijdsinterval ~ i ~ i - ~AT^# = bij temperatuur To gegeven wordt door : Ayi = aiAri

(3.25)

Hierbij is ai de verschuivingsfactor bij de temperatuur in het interval AT^. Wordt de totale gereduceerde tijd gegeven door sommatie van de deelintervallen dan volgt : Y(T~) =

i i E Ay, = r: ajA-rj j=l j=1

(3.26)

-3.6-

Bij limiet overgang wordt (3.26)

:

t Y(t9 = f a(T)dT

(3.27)

T =O

3 . 2 . 2 De respons van de spanning op een willekeurig rek verloop.

De thermische rek wordt nog niet meegenomen. Stel dat Eft) het onderstaande verloop heeft en gediscretiseerd wordt via de punten ~i zoals is aangegeven. Het bijbehorende temperatuursverloop is ook weergegeven. E ( t 1

I

I

*o= o

I

Ti

t +

figuur 3.4 Bij een sprong in de rek op ~i ter grootte van A E geeft ~ de spanning (alleen ten gevolge van deze sprong) de volgende respons :

ET(t) = E TO

(agtt-ri})

(3.299

waarbij ag de gemiddelde verschuivingsfactor in het interval (~i,t)is

(3.30)

zodat

:

:

-3.7-

De totale respons volgt door sommatie van alle deelresponsies

:

(3.32)

Bij het nemen van de limiet gaat (3.32) over in

:

(3.339

Y=

t

Ia

(3.34)

q=O

T

Be thermische rek op tijdstip T, i a c ~ { ~ > ) t { q met ~ d ~a, de uitzettingscoëfficient welke een functie mag zijn van de temperatuur en niet van de tijd, kan nu ook worden meegenomen. in plaats van & ( T I moet nu ;(T) - ~(T(T))T(T) in (3.33) worden ingevuld :

+)-

(3.35)

3.3 De 1-dimensionale constitutieve vergelijking met

:

T(t) < Tg

De volgende relatie voor de elasticiteitsmodulus bij temperatuur T (constant) werd in het vorige hoofdstuk gebruikt : (3.36)

met y=aEt, aE is de verschuivingsfactor voor de E-modulus. Naar analogie met het voorgaande kan ook nu de respons van de spanning op een stap in de rek ter grootte E op t=O worden bepaald, waarbij T=T(t) : (3.379

-3.8met

:

en volgens (3.21)

:

(3.39) Aangenomen is dat : fl= fl(T(t)) en f2= fs(T(t)). Als de temperatuur nu een sprong vertoont dan zal de spanning ook een sprong vertonen omdat f l en f2 discontinu veranderen. De thermische rek wordt nog niet meegenomen. Bij een sprong in de rek op fi ter grootte Aei heeft de respons van de spanning, alleefi ten gevolge van deze reksprong, de volgende vorm : (3.40) met

:

(3.41)

(3.42)

Ook nu volgt de totale respons door sommatie van de deel responsies

en via een limietovergang

:

:

(3.44) De thermische rek kan nu ook worden meegenomen, (3.44) krijgt dan de volgende vorm :

: qam

-6'E-

-3.10-

(3.50)

waarbij

$

en

gegeven zijn door (3.49).

Aangenomen is dat

:

hl= hl(T(t)) en ha= hs(T(t)).

Voor temperaturen boven de glastemperatuur maar onder de rubbertemperatuur zijn de functies hl en h2 constant. In de rubber fase zijn deze functies evenredig met QT. De evenredigheid met Q kan In de linealre theorie verwaarloosd worden. 3 . 5 Het bepalen van aiateriaaleigenschappen u i t experimenten. B i J verschillende constante temperaturen is het mogelijk om uit een

trekproef of afschuifproef de materiaaleigenschappen te bepalen. In 3 . 3 en 3.4 werd aangenomen dat, indien T=T(t) : f l = fl(T(t)), E2= f 2 ( T ( t 1 ) , hl= hl(T(t)) en ha= h2(T(t)). De meest eenvoudige experimenten, om aan te tonen of deze aannamen correct zijn, zijn zeer moeilijk uitvoerbaar, omdat hierbij de temperatuur op een gecontroleerde wijze moet veranderen in de tijd.

-4.1-

HOOFDSTUK 4 Het bepalen van de materiaaleiaenschappen voor de 3-dimensionale formulerinu.

4.1 Inleiding. Voor de 3-dimensionale formulering moeten de glijdingsmodulus en de kompressiemodulus bekend zijn. Voor de kompressiemodulus wordt aangenomen dat deze niet tijdsafhankelijk is. Indien het P-V-T diagram (zie bijlage 4) van het materiaal bekend is kan hieruit de kompressiemodulus worden bepaald. Omdat de kompressiemodulus bekend wordt verondersteld is het mogel$Dc om uit een trekproef, uitgevoerd bij vershillende temperaturen, waarbij E (t), zie [2.27), wordt "gemeten", G(t) te bepalen. Omdat dit in het algemeen zeer veel rekenwerk oplevert wordt hier genoegen genomen met een benadering voor Gft). 4 . 2 De trekproef bij de reberentieteniperatuur To.

Voor de 1-dimensionale spanningstoestand volgens de 3-dimensionale formulering werd in bijlage 2 de volgende vergelijking gevonden :

zodat bij een stap in de rëk op t=O de spanning gegeven wordt door

:

Voor het verband tussen de Laplace getranformeerde van E*(t) enerzijds en G(t) en K anderzijds geldt : (4.3) Door uit de trekproef E*(t) te bepalen en K u i t het P-V-T diagram kan met (4.3) in principe G(t) worden bepaald. Indien bij de referentietemperatuur geldt : (4.4) K = K

(4.5)

-4.2dan wordt E*(t) gegeven door (zie bijlage 2)

met

:

:

(4.7)

Wordt

:

* + Ele 2 -t/qE*

E*(t) = Eo

(4.8)

"gemeten" dan kan met de vergelijkingen (4.61 en (4.7) Go, GI en uitgerekend. In het geval dat :

T~~

worden

n -t/ iG G(t) = Go +.E Gie

(4.8)

K = K

(4.9)

1=i

-

kan ook nu in principe een uitdrukking voor E*(t) worden gevonden en met een trekproef kan hieruit weer G(t) worden bepaald. Voor n>l leidt dit tot zeer veel rekenwerk. Omdat er geen perfecte materiaaleigenschappen nodig zijn en de vraag of het zelfs wel mogelijk is om deze perfect te bepalen wordt voor een banadering gekozen van G'(t1. 4.3 €en benadering van G(t) bij de referentietemperatuur To

Uitgaande van de trekproef kunnen voor G(t) de volgende begrenzingen, zie bijlage 3 , worden aangetoond : (4.10) met p ( t ) = (t)/EXX (de tijdsafhankelijke dwarscontractiecoefficient) Uit (4.10) vo gt :

Eytl

Gmax(t1 /Gmin(t) =

l+~(m) }

/ I I+p ( O ) 1

(4.11)

De maximale verhouding hiervan wordt gevonden met ~(-)=0,5 en u ( O ) d j . 3 (literatuur) :

-4.3(Gmax(t)/Gmin(t))max

2

11+0.5}/t1+0.3} = 1.15

(4.12)

Dit betekend dat Gmax(t) en Gmin(t) ongeveer 15% kunnen verschillen. Uit de vergelijking (4.7) bli~ktdat : ‘IE* indien

(4.13)

‘1G

:

(4.14)

Onder de glastemperatuur lijkt dit aannemelijk Geldt met ( 4 . & ) en ( 4 . 9 ) dat :

(4.14)

dan wordt ook hier aangenomen dat onder de glastemperatuur

:

1

Voor de benadering ‘iG van xiG wordt daarom genomen

:

(4.16) In bijlage 3 wordt de volgende benadering <(t) afgeleid

* n met LEj = I: Ej. Derhalve kan genoteerd worden j=l

G(t) = Go

+

n

-

-t/riE*

, E Gie 1=

1

Bij incompressibel materiaalgedrag volgt; 36(t) = 3G(t) = E*(t) Verder geldt dat

:

:

(4.18) :

(4.19)

:

6 ( 0 ) = G(0)

(4.20)

-4 * 4(4.21) (4.22)

4 . 4 Een numeriek voorbeeld.

Uit oriënterende metingen aan Polycarbonaat, bij 120 'C, wordt als resultaat voor E (t) genomen : E*(t) = 400 t 1400e-t/10000 [N/mm2]

(4.23)

De tijdconstante is hierbij gegeven in seconden. Met K = 2000 [N/mm2], geeft dit : ~ ( 0 =) 0.35 en

p(-)

(4.24)

= 0.47

De maximale verhouding tussen GmaX(t) en Gmin(t) wordt hiermee

:

(4.25)

Voor de exacte oplossing wordt gevonden, zie paragraaf 4.2

(4.26)

G(t) = 136 t 531e-t/9204 Voor de benadering volgens (4.17) wordt gevonden G(t) = 136 t 531e -t/10000

:

:

(4.27)

In de onderstaande tabel worden de twee oplossingen met elkaar vergeleken t [sec]

&t)

1 O0 1 O00 2000 3000 4000

66 1 612 5 63 519 479

1 O000 15000 20000 25000

315 240 196 171

662 616 5 70 529 492 331 254 208 i ao

:

G tA;ij t 1 -0 * 002 -0.006 -0.012 -0.019 -0,027 -0.051 -o. 058 -0.061 -0.053

Uit bovenstaande tabel blijkt dat de grootste afwijking ongeveer 6% is voor t 2 20000.

-4.5-

4.5 De benadering van de glijdingsmodulus bij een andere temperatuur.

Bij de referentietemperatuur To wordt E* (t) gemeten met

:

(4.28)

Wet (4.17) kan een benadering vozr G(t) worden verkregen. Bij temperatuur T onder de glastemperatuur wordt ET(t) gemeten volgens : (4.29)

waarbij de functies fl(T), f2(T) en aE(T) moeten worden bepaald. Met ( 4 . 1 7 ) kan nu een benadering van G,ft) worden verkreger, welke geschreiren kan worden als : (4.30)

Indien voor GT(t) Tergelijking ( 2 . 2 5 ) geldt kan met (4.3) weer worden nagegaan of voor ET(t) vergelijking (4.29) geldt. Omdat hier gebruik wordt lieziaakt van een benadering wordt hier verder geen aandacht aan besteed.: 4.6 De experimenten.

In bijlage 4 staan de resultaten van metingen aan Polycarbonaat voor de trekproef bij verschiilende temperaturen. De seferentietemperatuur is genomen bij 120 'C. E (t) is bepaald met : (4.31)

Bij 30 'C, 45 'C, 8û 'C en 100 'C zijn vervolgens f;(T), fi(T) en aE(T) bepaald. Opvallend is dat aE(T) in het gemeten temperatuursgebied niet van belang ia zodat aE(T)=l. De gemeten relaxatiefuncties zijn bruikbaar tot de meettijd. Omdat zXX(t) geen echte stapfunctie is maar met een beperkte reksnelheid is opgelegd kunnen de werkelijke functies in het begin afwijken. Hieraan wordt verder geen aandacht besteed. Een gevolg hiervan is dat de gemeten relaxatiefuncties onbetrouwbaar zijn voor het beschrijven van processen waarbij grote reksnelheden optreden.ûoor de vele aannamen en de introductie van een benadering lijkt het zinvol om met een ander experiment, bijvoorbeeld een afschuifproef, na te gaan of de hier bepaalde giijdinysmodulus bruikbaar is. Er is hier gekozen voor een trekproef omdat hierbij de mogelijkheid aanwezig was om bij verschillende temperaturen te meten.

-5.1-

HOOFDSTUK 5 Simulatie van het experiment. 5.1 Inleiding.

De numerieke simulatie van het experiment houdt in het oplossen van de instationaire energievergelijking met als resultaat de temperatuursverdeling als functie van de tijd en vervolgens het berekenen van de spanningen en de vervormingen tijdens het afkoelen. Doordat de vervormingen en verplaatsingen klein zijn kan de energievergelijking apart worden opgelost. Bij het berekenen van de spanningen en vervormingen zal gebruik worden gemaakt van hetgeen in bijlage 7 geconcludeerd is met betrekking tot het werken met MARC, gebaseerd op de enkele 1-dimensionale testproblemen met MARC die in deze bijlage zijn opgenomen. 5.2 Het experiment. Een mal met product wordt in de oven geplaatst. Het geheel wordt opgewarmd tot een bepaalde temperatuur, waarna het uit de oven wordt genomen. De constructie wordt onder gedefinieerde omstandigheden afgekoeld door middel van water, met een bepaalde temperatuur, dat door het koelkanaal stroomt. De geometrie (rotatie symmetrisch om de z-as) is in de volgende figuur weergegeven :

l.koper of roestvast staal (mal) 2,roestvast staal (mal) 3.Polycarbonaat (product) 4 . koetkanaal figuur 5 . 1 de geometrie

-5.2-

Het tijdstip t=O is het moment waarop constructie uit de oven wordt genomen. Gegeven : - T(t=O) voor de hele geometrie gelijk. - Homogene toestand binnen elk materiaal (eigenschappen hangen niet van de plaats af). - Homogene druk in het polycarbonaat. De druk is de enige spanningscomponent" . Verder is gegeven dat de vervormingen en verplaatsingen klein zijn en dat de materiaaleigenschappen van het koper en roestvast staal constant zijn. Veronderstellingen : - Isotroop materiaalgedrag. - Kompressiegedrag van Polycarbonaat is niet tijdsafhankelijk. - Tijdens het afkoelen laat het product niet los van de malwand. - Continu teaperatuursverloop bij materiaalovergangen. 'I

5.3 De werkwijze van de rekenprocedure (VAX MARC Kl). 1 . Temperatuursberekening

2. Spanningen en vervormingen

r IDEAS pre/post processor ! I &

FT file translator

I

MARC invoer (in dit geval niet compleet) I

I

I veranderen

naam]

I

l

-5.3-

in bijlage 5 staat een voorbeeld van deze werkwijze voor een l-dimensionaal temperatuursprobleem met lineair elastisch materiaalgedrag. De materiaaleigenschappen zijn daarbij constant. Dit voorbeeld is verwerkt op de PRIME terwijl voor de werkelijke simulatie de VAX is gebruikt zodat de details van de werkwijze anders kunnen zijn. 5.4 De instationaire energievergelijking. Algemeen in locale vorm 0;:

= Qr

+

:

+ +

v * q + 0:lD

(5.11

Daarbij is Q de dichtheid, e de specifieke inwendige energie? r de + + bronterm (per eenheid van massali q de warmtestroomdichtheld, V de gradiënt operator met betrekking tot de huidige configuratie en o:D het inwendig mechanische vermogen per eenheid volume. Bij kleine vervormingen en verplaatsingen reduceert (5.11 tot de diffusie vergelijking :

De materiële en ruimtelijke afgeleiden zijn hierbij hetzelfde. Indien de bronterm (er) verwaarloosd wordt (geen stolwarmte), wordt ( 5 . 2 )

:

(5.3) A l s constitutieve vergelijkingen worden gebruikt, :

de = cdT +

+

q =-AV

T

e

(5.4) (5.5)

Verondersteld wordt dat de soortelijke warmte (c) en de warmtegeleidingscoëfficiënt ( A ) alleen functies van de temperatuur zijn. De op te lossen vergelijking wordt : (5.6)

Met een beginconditie en de randvoorwaarden is ( 5 . 6 ) oplosbaar. In bijlage 6 zijn de resultaten gepresenteerd van twee berekeningen met MARC voor de betreffende geometrie.

-5.4-

5.5 Spanningen en vervormingen. 5 . 5 . 1 Strategie De temperatuur T(z,r,t), in de vorm van een post file is nu in principe beschikbaar om de spanningen en vervormingen te berekenen die optreden tijdens het afkoelen. Deze post file geldt echter voor de gehele geometrie. Voor de spanningen en vervormingen gaat de interesse vooral uit naar het kunstof product. Wordt de gehele constructie beschouwd dan kan de invloed van de mal ook worden meegenomen. De invloed van de mal kan een grote rol spelen, vooral als deze uit meerdere materialen bestaat met grote verschillen in mechanische eigenschappen. Is dit niet het geval en geldt dat de elasticiteitsmodulus van het materiaal van de mal veel groter en de uitzettingscoëfficiënt veel kleiner is a l s van de kunststof dan kan de invloed van de mal worden verwaarloosd. De mal kan als stsr worden beschouwd. Aan de randen van het produkt worden dan de mechanische randvoorwaarden opgegeven welke na de volledige afkoeling verandert kunnen worden zodat een simulatie van de uitname van het product uit de mal mogelijk is. Wordt de hele constructie beschouwd dan zal de simulatie van de uitname problemen kunnen geven. Om de mogelijkheid tot uitname niet uit te sluiten wordt gekozen voor een berekening waarbij de mal als star wordt gezien. Een gevolg hiervan is dat, door de verandering van de geometrie ten opzichte van de eerder gemaakte temperatuursberekening, de post files van deze berekening niet meer geschikt zijn voor de nieuwe geometrie. Er wordt een temperatuursberekening gemaakt voor de nieuwe geometrie (in principe kunnen de vorige files ook bewerkt worden maar vanwege de verwachtte hoeveelheid tijd die dit zal vergen wordt hiervoor niet gekozen). Vervolgens worden de spanningen en vervormingen berekend voor twee situaties nadat het nodige is gebeurd om dit voor NARC mogelijk te maken.

5.5.2 Een nieuwe temperatuursberekening.

-I I

I

-

- --1

f

- - - oorspronkelijk nieuwe geometrie

I

3

figuur 5.2 oorspronkelijke en nieuwe geometrie Randvoorwaarden voor de nieuwe geometrie.

-5.5-

Voor rand a en b worden voor verschillende tijdstippen temperaturen voorgeschreven. Deze temperaturen worden uit de oorspronkelijke berekening gehaald. Voor rand d geldt dat de warmtestroomdichtheid gelijk aan nul is. Uit de oorspronkelijke berekening (situatie A van bijlage 6) blijkt dat de isothermen vooral in het begin rand c loodrecht snijden zodat de warmtestroomdichtheid gelijk aan nul is $=O. Naarmate de tijd vordert geldt deze uitspraak minder. Voor de nieuwe temperatuursberekening wordt toch gedurende de hele afkoeling J = O aangenomen voor rand ci zodat bij deze berekening de isothermen rand c altijd loodrecht zullen snijden. Dit zou voor de oorspronkelijke geometrie betekenen dat alle warmte van 3 naar 2 stroomt via rand e . In paragraaf 2 van bijlage 8 staan de resultaten van deze nieuwe temperatuursberekening met als oorspronkelijke berekening de situatie waarbij 4 roestvast staal is en 2 koper. De temperatuursvelden van de nieuwe berekening wijken vooral in het begin nawelijks a f van de oorspronkelijke berekening. 5 . 5 . 3 Aanpassing van de 3-dimensionale constitutieve vergelijking met betrekking tot W C . De volgende 3-dimensionale constitutieve vergelijking dient als uitgangspunt, zie hoofdstuk 3 en bijlage 4 :

(5.7)

met

:

(5.8)

Hierbij wordt dus gebruik gemaakt van de benadering van G(t) volgens hoofdstuk 4 . Uit de experimenten met n=2 en het P-V-T diagram (zie bijlage 4) volgen de numerieke waarden. Generalisering van de conclusies van de l-dimensionale testproblemen uit bijlage 7 naar de 3-dimensionale vergelijking leert dat MARC bovenstaande vergelijking oplost met hl(T(T)) en h2(T(~)) in de plaats van hl(T(t)) en h2(T(t)). Vergelijking ( 5 . 7 ) moet dus in een vorm worden geschreven welke geschikt is voor MARC en identiek is met ( 5 . 7 1 , In bijlage 7 blijkt dat dit mogelijk is indien de functies hl(T(t)) en h2(T(t)) van de volgende vorm zijn : h,(T(t))

= Metc4

+

N

(5.9)

];Z(T(t))

=

Retc5

+

S

(5.10)

-5.6met M I N I R , S I c4 en c5 constant. Voor de kompressiemodulus geldt een analoge beschouwing. De vergelijking (5.7) kan op de volgende manier worden herschreven (dit gebeurt hier alleen voor het deviatorische deel van de spanningstensor).

(5.11) -(t-T)/TiE* tc4 TC4 t n @ ( t=) f -2{NGotS t Gie +Me e e rc4GO t r =O i=1 A

(5.12)

Deze vergelijking i s geschikt voor MARC en identiek met de gewenste vergelijking (5.11). Opgemerkt moet worden dat de in te voeren constariten negatief kunnen zijn. Voor de hydrostatische druk kan een zelfde afleiding worden gemaakt. De functies hl(T(t)) en hz(T(t)) voldoen aan vorm (5.9) en (5.10) indien hl(T) en h2(T) lineaire functies van de temperatuur zijn en T(t) voldoet aan : T(t) = G + Hetc3

(5.14)

met C, H en c3 constant. Uit de vorige resultaten van het temperatuursprobleem lijkt een dergelijk verloop van de temperatuur als functie van de tijd acceptabel. Het is nodig dat de functie Ttt) voor elk materieel deeltje bekend is. Daartoe wordt de geometrie opgedeeld in 7 subgebieden, zoals in de volgende figuur is aangegeven.

-5.7-

figuur 5.3 verdere discretisatie van de temperatuur Uit de temperatuursberekening van paragraaf 5.5.3 wordt voor deze 7 gebieden aangenomen dat T(t) per gebied dezelfde waarde heeft. Per gebied wordt een zo goed mogelijke gemiddelde T( t) volgens 15.14) bepaald. Dit gebeurt door iog(T(t1) tegen de tijd t uit te zetten waarbij T(t) bepaald wordt uit de berekening van 5.5.3. De hellingshoek, indien dit een rechte lijn is, is evenredig met c3. G en H volgen uit de begin en eind temperatuur. In païagraaf 3 van bijlage 8 zijn de aldus bepaalde functies T . i t i voor j=l..,7 3 terug te vinden. 5.5.4 De uitvoering van de berekening van de spanningen en vervormingen.

- De constitutieve vergelijking, volgens vergelijking (5.13) en met gebruikmaking van de functies Tj(t), wordt door middel van de user subroutine ANVISC ingevoerd. .

- Randvoorwaarden. I

z=o

z=lO-.! ur(zIr=5,t) = O ur(z,r=lOit) = O u,(z=O,r,t) = O uz(z=lO,r,t) = O maten in : mm

figuur 5.4 de randvoorwaarden Het materiaal kan zonder wrijving langs de malwand bewegen. Met deze randvoorwaarden kunnen er aan de randen trekspanningen loodrecht op de rand optreden hetgeen betekent dat het product loslaat.

-5. a-

- Het starten van de berekening. iÍ(z,r,t
- Het vervolg van de berekening. Vanaf t=O worden voor de gewenste tijdstippen de temperaturen van de eerder gemaakte temperatuursberekening ingelezen. Nadat het hele product de temperatuur van 293 X (20 'C) heeft bereikt worden er nieuwe randvoorwaarden gedefinieerd, zodat de simulatie van de uitname van het product uit de mal mogelijk is. De nieuwe randvoorwaarden worden :

5 . 5 . 5 De uitgevoerde spannings- vervormingsberekeningen. De volgende twee situaties zullen worden doorgerekend.

1.

Een berekening waarbij na de uitname van het product geen blijvende vervormingen mogelijk zijn voor t=-. ïndien na de uitname het product een Temperatuur van 1 7 'C zou hebben zal naar verloop van tijd het product zijn oorspronkelijke spanningsloze vorm aannemen welke overeen komt met t
Omdat blijkens het experiment blijvende ver~vormingenoptreden nadat het product uit de mal is genomen wordt er nog een andere berekening uitgevoerd. Binnen de voorgaande theorie zijn blijvende vervormingen alleen mogelijk, nadat het product de oorspronkelijke temperatuur heeft bereikt, indien voor bepaalde temperaturen geldt dat GT(-) gelijk aan nul is. 2. Nadat het product de oorspronkelijke temperatuur heeft bereikt zijn blijvende vervormingen mogelijk. Dit wordt veroorzaakt door GT(") welke voor temperaturen in de buurt van de glastemperatuur gelijk aan nul is (viscoëlastische vloeistof). Bij de berekening wordt verondersteld dat voor : 140 'C 4 T 4 150 'C, GT(m) gelijk aan nul is.

-5.9-

Dit gebied kan gezien worden als het overgangsgebied van de glasfase naar typisch viscoëlastische fase waarbij nog steeds wordt verondersteld dat a,*(T) gelijk aan 1 is. In paragraaf 4 van bijlage 8 zijn de resultaten van de twee bovenstaande berekeningen terug te vinden. 5.6 Confrontatie met het experiment.

Om na te gaan of de simulatie nog iets met de werkelijkheid heeft te maken moeten de resultaten hiervan worden vergeleken met de resultaten van het experiment.

-6.1-

HOOFDSTUK 6 Conclusies. 1

De constitutieve vergelijkingen volgens hoofdstuk 3 met T(t) < T zijn standaard niet beschikbaar in MARC. De theorie met Tg < T(t7 < Tr is wel beschikbaar, deze theorie wordt in de manuals ook toegelicht.

2

Testproblemen zijn noodzakelijk voordat de echte problemen worden doorgerekend.

3

MARC

4

De tijdsconstanten die met behulp van de experimenten zijn bepaald zijn onzeker. Het belang van de verschuivingsfactor (a(T)) onder de glastemperatuur zou nader onderzocht moeten worden daar uit de experimenten i s gebleken dat deze verschuivingsfactor hier n i e t noodzakelijk is.

is niet bruikbaar bij viscoelastische problemen als de energie vergelijking.niet apart kan worden opgelost.

5 Door de vele benaderingen en veronderstellingen moet men met de

interpretatie van de resultaten van de numerieke simulatie voorzichtig zijn.

-1-

Literatuurlijst

E11

Aklonis, J.J., Macknight, W.J., Shen, W., Introduction to polymer viscoelasticity, Wiley-Interscience, New York, 1972.

E21

Bleyenberg, A.C.A.M. , Kunststoffen, diktaat 6.694, T.U. Eindhoven.

E31

Bruller, O . S . , Laws, R., Experimentelle Bestimmung der linearviskoelastischen Grenze von Thermoplasten unter einachsiger Spannungsrelaxation, Kunststoffe 73, 367-368, 1983.

~ 4 1 Christensen, R.M., Theory of viscoelasticity an introduction, Academic Press! New York and London, 1971. E51

Ferry, J.D., Viscoelastic properties of polymers, John Wiley, New York, 1970.

161

Heikens, D., Polymeerchemie, diktaat 6.630, T.U. Eindhoven.

c71

Hoogstraten, van, P . A . A . , Het programmapakket MARC en lineair viscoelastische bemekeningen, verslag WFW 86.031, T.U. Eindhoven, 1986.

181

Leaderman, H., viscoelasticity phenomena in amorphous high polymeric systems, Rheology Volume 2 , Academic Press, New York, 1958.

E93

MARC manuals K1 en K2

[lo]

Worland, L.W., Lee, E.H., Stress analysis for lineair viscoelastic materials with temperature variation, Transactions o f the Society o f Rheology, 233-263, 1960.

[ l l ] Oomens, C.W.J., Huson, A., Sauren, A.A.H.J., Biologische materialen, diktaat 4589, T.U. Eindhoven, 1986. E121 Pipkin, A.C., Lectures on viscoelasticity theory, Applied mathematical sciences, Volume 7, Springer-verlag, New York,1972. E131 Rademaker, O., Voortgezette systeemleer en regeltechniek, diktaat 3.004, T.U. Eindhoven, 1980. [I41 Schapery, R.A., On the characterization o f nonlineair viscoelastic materials, Polymer engineering and science, Vol. no. 4, 1969. 1153 Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., Theory of elasticity, Wcgraw-Hill, Auckland, 1982,

-2[16] Tobolsky, A.V., Stress relaxation studies o f the viscoelastic properties of polymers, Rheology Volume 2, Academic Press, New York, 1958. [17]

Ven, van de, A.A.F., Continuumsmechanica 1, diktaat 2356, T.U. Eindhoven, 1985.

-B1.1Bijlage 1 Het niet lineaire 1-dimensionale model van Schapery voor de relaxatie rormulering. Bij constante temperatuur T wordt de spanning volgens dit model gegeven door :

(Bl.1) met

:

(B1.2) (Bi. 3 ) Bij de referentietemperatuur (To) geldt fl=l, f2=l, f3=l en aE=l

:

(B1.4)

aE, fl en f2 zijn dus fucties van de temperatuur en de rek. f3 is alleen een functie van de rek volgens Schapery [14]. Bij temperatuur T in het lineaire gebied wordt vergelijking (81.1) :

(B1.5) met

:

(B1.6)

-B2.1Bijlage 2 De I-dimensionale spanningstoestand. B2.1 Volgens de 3-dimensionale formulering.

figuur B2.1 De vergelijking (2.31 wordt met oxx (t1 als de enige spanningscomponent:

Er wordt nu gebruik gemaakt van de Laplace transformatie eigenschappen hiervan [I31 :

(

L 4

1 en enkele

(B2.3) (B2.4) (B2.5) Convolutie eigenschap (voor systemen die tot t=O in rust zijn)

(B2.6)

:

-B2.2Neem aan dat transfomatie en terug transformatie van de functies in (B2.1) en (B2.2) mogelijk zijn. Na transformatie van deze vergelijkingen volgt : (B2.7) (82.8) Sx,(s),

ax,(t),

E,,(s) , EYY ( s ) , G ( s ) en K(s) zijn de Laplace getransformeerden van ~,,(t), ~ ~ ~ ( tGft) ) , en K(t). Uit (B2.8) volgt : EyY(s) = SXx(s)/6K(s) - EXx(s)/2

Dit invullen in (82.7) geeft

(B2.9)

:

(B2.10)

(82.11)

(B2.12) noem

:

E*(s) = Na

a

terug transformatie van (B2.12) met (B2.13)

(B2.13) :

(B2.14) Deze vergelijking komt overeen met de l-dimensionale formulering volgens (2.1).

-B2.3B2.2 Een voorbeeld. In hoofdstuk 1 is aangenomen dat de relaxatiefuncties uit een constant deel bestaan en u i t een som van e-machten. Als voorbeeld wordt genomen n=i : (B2.15)

K = K

(82.16)

Neem aan dat voor E*(t) geldt

:

Ex (t) = E, + Ele-t/TIE = E(+)

(B2.17)

en bereken E,, EA, en T ~ Indien ~ . ~ ~ ~een( stapfunctie t ) ia met atapgsootte dan worden de vergelijkingen (B2.1) en (B2.2): &XX ox,(t)

=

2G(t)eXX -

t T=O-

2G(t-~)h~~(~)dï

uxw(t) = ~ K I E ~ , + ~ E ~ ~ ( ~ ) I

Uit (B2.14) volgt ux,(t)

(B2.18)

(B2.19)

:

*

(B2.20)

= E ( t ) ~ ~ ~

en met de dwarscontractiecoëfficiënt

:

(B2.21)

p(t) = -Eyy(t)/Exx

kan voor (B2.18) en (B2.19) worden geschreven

:

(B2.22) (B2.231

E*(t) = 3K - 6Kp(t) Voor p(t) geldt met (B2.17)

:

(B2.24) (B2.22) wordt met (B2.15) (B2.16) en (B2.24)

:

-B2.4-

EotEIe-t/TIE = 2{Go+Gle t'rlGlíl+

1/2 - íEo+E1)/6K} +

Na het uitwerken van de integraal in (B2.25) wordt deze vergelijking

-t/TIE -t/T = 21Go+Gle IG}{3/2 - íE0+E1}/6K4 E,+E1 e

:

+

(B2.26) en na herschrijving

:

(B2.27)

Dit moet voor elk tijdstip t gelden zodat de volgende 3 vergelijkingen worden verkregen : 3KE0 - 6KGot3/2 - tEo+E11/6K} - ElG, = O

(B2.28) (B2.29) (B2.30)

Na

enig rekenwerk volgt dan 9KGo E, = 3K+C,

:

(B2.31)

-B2.5(B2.32) (B2.33) Zodat

:

( B2.34 )

Geldt bovenstaande voor de referentietemperatuur To dan worden, onder de glastemperatuur bij temperatuur T, volgens hoofdstuk 2, GT(t) en K(T) :

K(T) = K ( T )

Uit (B2.34) blijkt dat ET(t) kan worden geschreven als

(B2.36) :

(B2.37) Voor n=l zijn de l-dimensionale en 3-dimensionale formulering volgens hoofdstuk 1 consistent voor temperaturen onder de glastemperatuur. In het

gebied Tg < T < T, waar alleen aE en aG functies van de temperatuur zijn geldt dit ook nog (aE = aG = a). In het gebied T ) T, zijn hl en h2 evenredig met T, fl en f2 zullen dit in het algemeen niet zijn zodat de beide formuleringen in dit gebied niet consistent zijn.

-B3.1Bijlage 3 Een benadering voor G(t).

Indien bij de referentietemperatuur To geldt

:

(B3.1) (B3.2)

K = K

kan worden aangenomen dat

:

* * n * -t/~iE* E (t) = Eo + .i Eie

(B3.3)

1=1

Voor de trekproef geldt volgens (B2.22) en (B2.231, als ~ ~ ~ een ( t )

stapfunctie is en p(t) de dwarscontractiecoefficiënt

:

(B3.49

(B3.5) Voor de integraal in (B3.4) -gelden o.a. de volgende grenzen :

(B3.6)

(B3.7) De bovengrens in (B3.7) wordt verkregen indien p ( t ) = p(m)E(t). Waarbij E(t) de eenheidsstapfunctie is.Voor (B3.4) kunnen de volgende 2 ongelijkheden worden opgeschreven : (B3.8) (B3.9)

(B3.IO) Voor t=O en t=- gelden de lineair elastische relaties t=O

:

:

(B3.11)

G(-) =

Met (83.3) en (B3.5) volgt

:

(B3.12)

G(0) =

&

(B3.13)

Met (B3.11, (B3.3) en (B3.5) wordt (B3.13)

:

(B3.14)

waarbij

*

: I:Ej

n *

= I: Ej j=1

(B3.15)

Met (B3.12) wordt (B3.15)

:

(B3.16)

EGi =

(F.:

t

*

*

*

*

EEj)(3 - EO/3K)- E0(3 - (EO + LEj)/3K) (3 - (EO -t LE;)/3K)(3 - E0/3K)

(B3.17)

-B3.3-

*

EGi =

*

*

*

*

+ iEj(3-Eo/3K) - Eo(3-E,/3K)

Eo(3-E:/3X)

(3-(E:

i IE;)/3K)(3

+

LEiE:/3K

3ïE; (3 - (E:,+ IE;)/3K)(3 - E:/3K)

EGi =

Bij inkompressibiliteit geldt

(B3.18)

- E:/3K)

(B3.19)

:

*

EGi = EEj/3

(B3.20)

en : (B3.21) zodat

:

*

voor i= j

Gi = Ej/3

( B3.22 )

Indien het gateriaalgedrag niet inkompressibel i s kan voor Gi als benadering Gi worden gekozen :

(B3.23)

Voor

T ~ G wordt- als

benadering ,i

gekozen

:

iiG - T i E

(B3.24)

Voor G(t) wordt dan de volgende benadering G(t) verkregen

:

(B3.25)

G(t) = G,

+

n

-

. i Gie 1=1

-t/riE*

(B3.26)

De benadering G(t) wordt nader beschouwd. Voor de benadering kan ook worden geschreven

:

(B3.27)

met

:

(B3.28)

Voor Gmax(t) geldt

:

(B3.29)

Daar 1-$/9K

kleiner is dan 1 volgt uit (B3.28) en (B3.29) dat

iG(t,i >/ ikmax(t)l .

Met G(09=G,,,(OI z i j n dat :

:

(B3.30)

.

volgt uit (B3.30) omdat G(t) en Gmax(t) dalende functies (B3.31 )

G(t) 4 Gm,,(t) Voor Gmin(t) geldt

:

(B3.32)

Met G(=)=Gmin(-)

en

:

(B3.33)

( B3.34 )

(B3.35)

I

t-,

figuur B3.1 benadering voor de glijdingsmodulus.

-84.1Bijlage 4 De experimenten. B4.1 Inleiding.

Met een trekproef zijn bij verschillende temperaturen metingen verricht aan Polycarbonaat (type Macrolon 3000). Doel daarbij is om E (t), zie ( 4 . 2 1 , te bepalen.

't

figuur B4.1 meting via een trekproef Bij benadering wordt een stap cXX in de rek opgelegd. Bij de verwerking van de metingen wordt gedaan alsof cXX(t) een echte stapfunctie is. Meetpunten voordat 10 maal de oplegtijd van de stap is verstreken worden bij de verwerking niet meegenomen. De metingen en verwerkingen zijn uitgevoerd door L.E. Govaert (Vakgroep WOC TU Eindhoven). 84.2 De metingen bij de referentie temperatuur.

De referentie temperatuur (120 * C ) is zo hoog mogelijk gekozen in de hoop dat bij hogere temperaturen bij een zelfde meettijd E*(-) beter bepaald kan worden en omdat bij lage temperaturen het tijdsafhankelijke deel , van E* (t), te klein kan zijn gezien de nauwkeurigheid van de meting. Gekozen is voor : (B4.1)

Met behulp van* de* NAG routine E04FDF is deze functie gefit op de meetwaarden en zijn Eo, El, EZ, TI^* en T Z ~ *bepaald met het volgende als resultaat :

-84.2E*(t) = 460 + 681e-t/1328 + 626e-t/14260 [N/mm2]

(B4.2)

De tijdsconstanten zijn gegeven in seconden. Deze fit beschrijft de meetwaarden goed, maar is echter slecht geconditioneerd. Vooral voor de tijdsconstanten geldt dat de onzekerheid groot is.

Ce%ef,eq dande A

A

A

CeF.rte r a a d e

2.

a

I

figuur B4.2 E*(t) bij 120

'C

De meetnauwkeurigheid van de kracht waaruit de spanning wordt afgeleid is ongeveer 5%. De reproduceerbaarheid van de metingen is slechter. B4.2 De metingen bij andere temperaturen. Bij de temperaturen 100 'C, 80*C, 45 functie, zie (4.29) :

'C

en 30

'C

zijn vervolgens van de

f: f T) , f (T) en ai (T) bepaald. Omdat a; ( T ) een*merkwaardig en onveryacht vzrloop vertoonde is vervolgens gekozen voor aE(T)=l. De functies fl(T) en f2(T) zijn opnieuw bepaald. Omdat de kwaliteit van de gevonden fits met a;(T)=l

-B4.3niet verslechterde wordt hier mee dan ook verder gewerkt. Er werd gevonden : T [KI

f;(T)

373 353 318 303

1.88 2.68 5.20 5.32

I

f;(T) 0.84 0.57 o. 15 O. 077

ai(T) 1 1 1 1

Figuur 34.3 geeft een vergelijking van de gemeten en gefitte waarden.

100 'C

Gec;;te

wao-de

--i

45 ‘C

Ccc.ttc x a i d e

al a

5

20

15

10

I

3

38

I Sec 3

T.jd

35 X l P

Eecitte rarr-de

ai

a

5

:a

20

15 TAJd

I Sec

1

1

25

35

30 y183

figuur B4.3 f i t s bij andere temp:raturen volgens (84.3) met aE(T)=l

-B4.5-

300

320

340

3 GO

3 80

4 O0

-

*-

420

'i't K 1

+

figuur 3 4 . 4 f;(T), fi(T) en ai(T)

*

*

rloop va; fl(T) en fs(T) lijkt aannemelijk. Extrapolatie van f: T) betekent d a t f l (TI al voor de glactemperatuur if 423 KI gelijk aan nu; zou zijn. Zoals al eerder is opgemerkt geldt boven deze temperatuur dat ET(m) zeer klein is. B4.3 De glijdingsmodulus. 84.3.1 De glijdingsmodulus bij de referentietemperatuur.

Door gebruik te maken van vergelijking (33.25) kan een benadering van G(t) worden verkregen. De kompressiemodulus moet hiervoor bekend zijn. Deze wordt bepaald uit het P-W-T diagram.

2. P

figuur 84.5 de kompressiemodulus

-B4.6A

Voor de referentietemperatuur wordt met K gevonden :

z

3250 [I?/mm2] voor G(t)

B4.3.2 De glijdingsmodulus bij de andere temperaturen. Met vergelijking (4.30) en aE(T)=l : G;(t)

=

hl(T)Go + h2(T)Gle ‘t/71E*

+

-

h2(T)G2e

-t/r2E*

(B4.6)

kunnen bij de verschillende temperaturen hl(T) en hZ(T) bepaald worden. K

T [KI

[N/mm2] 3 400

373 353

1.9 2.73

3800 5000 5500

318

303

hl(T)

I

hz(T)

5.4

0.86 0.58 O. 16

5.5

0.08

t 5 4

3

2 /

1

‘a

A - - -

a “a

300

320

3 40

$00

420

T rK1

+

-B4.7Polycarbon a t Typ Makrolon 2800

Potycarb onat Typ Makrolon 2800

i

o,g5 mittl. Abkühlgeschw 6

ws

Druck p

-B4.8Polycarbona t Makrolon Typ

2800

mittlere Abkühlgeschw. 0,OL

K/S

Temperafur T

I

1

Polycarbon; t Makrolon 7yp

2800

mifflere Abkuhlgeschw. 0,04

100

800

1200 bar 1600

Druck p

figuur 0 4 . 7 P-V-T diagram

-B5.I Bijlage 5 Voorbeeld van een temperatuur en spanningsberekening. B5.1 Inleiding.

In deze bijlage staat een voorbeeld van de werkwijze zoals in paragraaf 5.3 geschets is. B5.2 Probleemomschrijving en resultaten. B5.2.1 Wet thermische gedeelte. Het volgende l-dimensionale temperatuursprobleem wordt bekeken

.

:

Tom

q=o

+q=o

+

Y

x

4 q=o

figuur B5.1 temperatuursprobleem De

op

te lossen vergelijking (zie paragraaf 5 . 4 )

:

(B5.1) Beginconditie

:

T(t=O,x,y) = Tg.

Element en mesh. Het gebruikte element is element 39. Dit is een vierknoops element met vier integratiepunten. Langs elke zijde verloopt de temperatuur lineair.

-B5.2-

E4

E2

figuur B5.2 d e mesh SDX-I-DEAC TEMPERATURE 4-+3 2!5E+B1 10-+3 9’8Et0l , -

2

5

Outoat 9 , s D I a y

! 6 - S k P - 8 6 ‘ 7 ‘8 ‘ 7 LJAD C4SE D “1‘4 13 ‘37E-O1 YAY -3 996E+01 ,,

LEVELS-. 1 O DELTA=+? 812E-01

aT-StLECTfm4 MER m w

f i g u u r R 5 . 3 de temperatuursverdeling

op een bepaald t i j d s t i p

__-

-B5.3-

B5.2.2 Spanningen en vervormingen.

De uitvoer van de temperatuursberekeniny, in de voxm van een pc:stl9 file, wordt nu onder andere gebruikt a l s invoer om de spanningen en de vervormingen te berekenen. Dit gebeurt voor de volgende construktie met de zelfde mesh als uit B 5 . 2 . 1 .

figuur B5.4 de constructie Element 11 wordt voor deze berekening gebruikt. Dit is een vierknoops vlakvervormingselement. Bij de voorgaande temperatuursverdeling horen d e volgende spanningen en verplaatsingen. SDQC-!-DE4S

X- STPESS '-13 8 W - 0 3 'I? - - 4 526E-@2 ____ Qrrn=---34 SE: -%Zz--2v

EVER z-sx%%D

2 5

Oatoat D solay

'0

'7-SLD-86 26 3 4 L04D CASE Q Y l V -6 963E-Q4 r3E-Q4 MAY 1 4 985E-02

LEVELS= 10 DELT4=+4 595E-03

-B5.4-

SDQC-I-DEAS

2

5

Oatpat D solay

Y- STRESS 4 --5 ' 45E-03 40--2 600E-02 . ____

'7-SEP-86 L04D C4SE 0 Y I V -8 606E-03 MAY LEVELS= I 0 DELTA=+3 46'E-'23

'0 -2

09 38

946E-02

sET_stLEcTI-N EMER ZamAXD

SDRC-I-DEAS

2 5 . Output D , s p ! a y

DISPLACEMENTS

7 - - -

'-

!7-SEP-86 O9 49 LOAD CASE 0 YI"I+@ 000E-00 M?\X.-Q 524E-08

1

Y.

i-

x

f i g u u r B5.5 de spanningen en verplaatsingen

-B5.5-

Uit bovenstaande blijkt dat de o spanningen niet gelijk aan nul zijn. Dit is fout. Om dit te verklaren worzf 1 element nader beschouwd.

4

(1,1)

1

figuur 85.6 voorgaande voor Analytische oplossing

:

cXxx - aT(y) = (oxx E

-

YY

-

g(ayy + oZz))/E

(B5.2)

(oyy

-

ci(ozz

+ oxx))/E

(B5.3)

= (ozz

-

ci(oXx

+ oyy))/E

(B5.4)

aT(yf =

- aT(y)

cZZ

element

Hierbij is E de elasticiteitsmodulus, p de dwarscontractiecoëfficiënt en de lineaire uitzettingscoëfficiënt. Hierbij gelden de volgende randvoorwaarden :

a

uy(x,O) = O

ux(xfO) = O U,(X,Y)

=

o

en dus dat

--

EZZ

= O

en fB5.5)

Vanwege symmetrie geldt EXX

ux(O,y) = O , u,(l,y)

:

ux(xfy) = O, zodat

=o

:

(B5.6)

:

-

uxx -

(B5.7)

OZZ

De vergelijkingen ( B 5 . 2 ) en (B5.3) worden

:

(B5.8) cYy

ofwel

- aT(y)

= -2cioxx/E

(B5.9)

:

(B5.IQ)

-B5.6-

Met

:

3

wordt (B5.9)

(B5.11)

Eyy

= :

(B5.12) (B5.13) (B5.14) Voor het verplaatsingsveld van element 1 1 geldt :

ux = a, t alx

+

a2y t a3xy

(B5.15)

(B5.16) en in dit geval Ux = O

:

, uY = b2y

Dit invullen in (85.14)

(85.17)

:

(B5.18)

Zodat

:

(B5.19)

Element 1 1 berekent in dit geval de juiste o (=O) spanningen indien Tfy) constant is. wordt in dit geval voor een kwa ratisch element, bijvoorbeeld 27, gekozen waarbij langs elke zijde de verplaatsingen kwadratisch verlopen dan wordt ay* juist berekend indien T(y) lineair verloopt.

ZY

85.3 Een temperatuursberekening met een kwadratisch element.

Voorgaande temperatuursberekening wordt nu overgedaan met element.

1

kwadratisch

-85.7-

+q=o

Y x

lq=O

figuur B5.7 een temperatuursberekening met 1 element Voor een tijdstip t waarbij de situatie niet stationair is tekent IDEAS : SDRC.-I-DEAS

TEMPERATURE ! -+4 O97E+0 1 !0-+4.593E+@l D:JPUY.pT:OY5.

rn m

h

w

2 . 5 : Output D ; s p i a y

___

FPEzyNx

! I .-SEP--86 LOAD CPSE. e -

!4 . 4 7 . 3 7

MIY~+1.@12E+BI MPX-+4,648E+Qi LEVELS=l O _ _ _ DELTA=+5.515C-01

- i:

figuur 85.8 T7e?.-.”

ml..

1 1 y j g e l d t volgens deze tekening niet dat T=T(yj. Een mogelijke verklaring hiervoor i s tiet volgende. YWI

xLO.5 figuur 35.9 Het gebied x

<

0.5 en y Z 0.5 wordt nader bekeken.

-85.8-

T7 ”

2

kP7

Te /x=0.5 /

y=O. 5

figuur B5.10 tekenwijze volgens IDEAS In deze tekening zijn T4, T7 en Tg de temperaturen in de knooppunten die berekend heeft. Ti5 en Ti7 zijn de temperaturen in de integratiepunten. De streepjeslijnen geven het verloop van T(y) volgens MARC. Ti7 i s dus gelijk aan Ta en Tb. Ti5 is gelijk aan T8. De lijnen 1 tot en met 8 zijn de lineaire verlopen van de temperatuur tussen de knooppunten en de integratiepunten. De dikke lijnen zijn de lijnen van constante temperatuur welke door TDEAS getekend worden, deze lijnen zijn dus niet recht. MARC

-85.3-

B5.4 Invoer voorbeeldberekening (MARC K1 PRIME). B5.4.1 Temperatuursberekening. TITLE 1DIM SIZINGilOOOO, ELEMENTS,39, ALL POINTS HEAT END POST 1 , i f211i 9, CONNECTIVITY 4,

1839ilt2i3i4, 2,39,4f 31 5f6, 3i39i 6,5,7,8i 4,39,8,7,9,10, COORDINATES 2'10, 1,0.0,0.0, 2,1.0,0.0, 3,1.0,0.5, 4,0.0,0.5, 5,1.0,1.0, 6,0.0,1.0, 7,1 .O,1.5, 8,0.0,1.5, 9,l .O, 2.0, 10,0.0,2.0, DIST FLUXES 3,

o,o.o,

1, 6,0.0, i, 2 , 3 , 4 ,

10,0.0, 112,384i INITIAL CONDITIONS 1, 1 10,40, PROPERTY 1, O.OOl,O.8,0.003,,1, 112,3 I 4i FILMS

-85.10-

END OPTION TRANS IENT 0.1,4.0, , O , CONTINUE B5.4.2 Spanningen en vervormingen. TITLE SPANNINGEN TITLE VERVORMINGEN SIZING~10000~ ELEMENTS,II, ALL POINTS THERMAL END POST 6,11011, 1, 2,

3; 1 1 1

12, 13, CONNECTIVITY 4, 1,3911 , 2 1 3 ~ 4 1 2,39,41315,6, 3 139,6151718, 4,39,8,7,9,10, COORDINATES 2; 10;

1,0.0,0.0, 2,1.0,0.0, 3,1.0,0.5, 410.010.5,

5,1.0,1.0, S,O.O,l.O, 7,1 .o, 1.5, 8,0.0,1.5, 9,1.0,2.01 10,0.0,2.0, BOUNDARY CONDITIONS

-85.11-

2,

o.O, o.O, 1,2i 1i2i 0.0, 1,

3,4,5,6f7,8,9,10, PROPERTY 1, 210000,0.4if1E-8i40iii1i 1 i 2t3i4i CONTROL 40, END OPTION CHANGE STATE 1 i 3 i o i 19i1 i i 1 i CONTINUE CHANGE STATE 1i3iOf19f2if1, CONTINUE CHANGE STATE 1f3iOi 19t3, 1 , CONTINUE CHANGE STATE 1i3fOi19i4iili CONTINUE f

-B6.1-

Bijlage 6 Oplossing instationaire energie vergelijking. B6.1 Inleiding.

beschouwen:

(O, 29)

{50,11)

( O , IO)

(015) .

Randvoorwaarden

(10,lO)

1

3

2

(10,5)

+

:

-

b

- Op alle buitenranden q = O (geïsoleerd). - Aan de binnenrand (r=3) stroomt vanaf t=O water met een temperatuur Tw. De snelheid van het water is voldoende groot om in eerste instantie als randvoorwaarde aan de binnenrand de temperatuur van water voor te schrijven.

Beginconditie: T(t=O,z , r ) = Tbegin Numerieke waarden

:

- Tw = 20 'C = 293 K - Tbegin = 150 'C = 423 K

Materiaaleigenschappen: Koper

:

Q

= 0.0089 gr/mm 3

c = 0.377 h = 0.385

Roestvast staal

Polycarbonaat

J/grK W/mmK 0.0077 gr/mm3 c = 0.5 J/grK A = 0.016 W/mmK

: Q =

: Q =

0.0012 gr/mm3

c = 1.14

J/grK

-B6.2-

De betreffende geometrie (zie figuur 8 6 . 1 . 1 ) is voor twee situaties doorgerekend. A . 1 = Koper

2 = Roestvast staal 3 = Polycarbonaat

B. 1 = Roestvast staal 2 = Roestvast staal 3 = Polycarbonaat Element en mesh De bexekeningen zijn uitgevoerd met element 42. Dit is een 8-knoops element. Het temperatuursverloop is kwadratisch. De temperatuur is de enigste vrijheidsgraad.

-B6.3-

Mesh SDQC

I-DEAS 3 I A .

Dre/Dosr

DFc.cesstTg

2 ô - 4 ~ 4 - ó 7 17.83 2 4

/-

knoop '140

,

\ X

?

\.

'knoop

122

knoop 60

De resultaten zijn gepresenteerd in plaatjes waarin lijnen van constante temperatuur zijn getekend. Van beneden naar boven neemt de temperatuur toe. Van enkele knooppunten is de temperatuur als functie van de tijd ook weergegeven.

-B6.486.2 Resultaten van situatie A. SDQC 34TAB4SE 4 I E d Yo

SDRC

I-DEAS szir-ea

3 4A.

D r e / P 3 s r D-ocess8ng

JIEd

I-DEAS 3 4 8 :

*re/Bosr

Dr-ocess:ng

29-APQ-87

29-APR-87

3 9!E&

3 st42

t=2

4 '

32 50

JNITS = YM D I S D L A Y Yo s ~ z - o a P T I O Y

1Ç3.48.35

L

-B6.5-

1

I

X

X

t=5.75

-B6.6-

I

t=21.8

X

?

mtm

7 .

3

255.02

3

3 4lE-82

t=33.2

4 3 i11+82

6

3 74-82

-B6.7-

X

t=583

CDQC

I-DEAS 3 4 A .

+e/Posr

*rocsss,,g

t=875

29-APQ-87

1 ' .22.41

-B6.8-.

-B6.9-

B6.2 Resultaten van situatie B.

1

SDQC I-DEAS 3 4 A D4 T A 3 4SE dIEW-Yo s t o r e d 4IEW T a s k D o s t D - o c e s s nq

Dre/Post

Drocess

I

19ELJILE. '7CNnE-F7LE 04Xi.it 8

LYLllljuiUB

-

Y u IIV

-E=W32 -3€+02 W 4 Y E t e 2

x

t=4.13

19

$3-MAY-87

$ 2 23 16 N I T S = MM DISDLAY Y o ~ z o r e aW T I O Y

-B6.10-

I

2

3 ':E+=

3 3%€+82

4

3 3 4ErW2

3 8-5+02

6 3 e8182

4.03E-EZ

t=17.5

SDFC

I-DEAS 3 4A

D4TA54Sk 4IEW Y o s r o r e a

Dre/Posr

urocess.ng

VIEW

31SDLAY Y o

Tos4

D O S F Drocess nq =-cmiLE

?.m€l..ffLE jLCUr4Bk

I

~

~

o l

- Lu0 %7LV

'3-YAY-87

-E??231

2

35+02

M 1 =+Bi:

+-

I

Y

t=27. o

' 9 27 43 UNITS = MM

siorea

WTIOY

-B6. IISDRC

I-DEAS 3 4 A :

Dre/Posi

Processing

DATA84SE:

D?SDLAY.Yo

VIEW:Yo s z o r e c i VIELI Task:

Dost ma3:LE. ' : c m J : L E

13-MAY-87

19:29:54 JNITS = MM storea

OPTION

?rocess;ng TE=W¶L.

X

Y

SDRC I-DEAS 3 4 A D4TAi34SE. {IEW Y o srorea dIEd Task D O S T . D r o c e s s na

Dre'Posr

-

W 1IV

'3-MAY-87

19 3 0 40 J Y I T S = MM

DISDLAY Y o s t o r e n ODTIOY

vls€LFiLE '~CNRE-FILE OWc46t 0 'EW€FXILI%

Drocess,?g

TEP')DSL 2

S3E-2

W

3 SE&

X

3

WE+=

2

3 '=+E2

4

3 3 3a-02

3 4a+02

t=l43

3 5 R 4 Z

3 -zE+02

-B6.12I-DEAS 3 4.4.

SD9C

Dre/?osz D - G c ~ s s ~ ~ ~

13 3G '4

43-YAY-67

I X

I-DEAS 3 . 4 A .

SDRC DATASASE:

&e/Post

Process ; n g

V I E W - Y o storea VIEW Task: D o s t Processing

19.36 : 5 6 clNITS = M M

DISPLAY.r\los i o r e a OPTION .-

~IODEL-FF:LE,PlCWFEJ3.E

! LrmmwjRE acmst:n - ~3

! 3--MAY-87

?E?Wi?sL.

YIN, Z.~JE+EZMAX: z.=+=

t=1 640

_ _ _ _ ~

i vi 9

a

-B7.1Bijlage 7 1-Dimensionale viscoelastische berekeningen met MARC.

B7.1 Inleiding. In deze bijlage staan enkele testproblemen voor I-dimensionale viscoelastische berekeningen met MARC. Uit deze berekeningen volgt dat MARC niet de gewenste vergelijking oplost. Onder bepaalde omstandigheden blijkt een juiste oplossing wel mogelijk. B1.2 De testprobiemen.

De 1-dimensionale vergelijking met T=T(t) luidt, zie (3.45)

Toepassing

:

:

figuur B7.1 constructie E(t) = E, + Ele-t/TIE (bij temperatuur To)

(B7.2)

fl(T)Eo = 2500

(87.3)

f2(T)E1 = 3500e0*1t200-2T1

(B7.4)

) =9/0.175 TIET = T I ~ / ~ ~ (= T5.794

(€47.59

T(t) = 100 a =

-

(B7.6)

0.5t

0.8.10- 4

Dit invullen in (B7.1) met k ( t ] = O levert

(B7.7) :

-B7,2t 0.1t200-2~100-0.5t~3 -{t-T)/5.714 e 10.4. 10-4dr o(t) = J t2500+3500e T =O

(B7.8) t O.lt -lt-~)0.175 o(t) = J t2500+3500e e )0.4* 10-4d~ T =O

-0.075t t 0.175~ s e dT

o(t) = O.lt

+ 0.14e

o(t) = O.lt

+ 0.8eO.lt - 0.8e-0.075t

'c =O

(87.9) (87.IO)

(B7.11)

Dit probleem wordt nu met MARC doorgerekend. Hierbij wordt onder andere gebruik gemaakt van de user subroutine ANVISC. Met deze subroutine kan de functie f2(T)E1 worden ingevoerd. In onderstaande tabel staan de resultaten van (B7.11) en de MARC berekening voor enkele tijdstippen.

Uit bovenstaande tabel blijkt dat de twee oplossingen voor toenemende t steeds verder van elkaar afwijken. Om dit te verklaren wordt (B7.8) anders geschreven :

fP7.13)

(B7.14) De vergelijkingen (B7.9) en (B7.14) zijn identiek. Het vermoeden bestaat dat MARC (B7.1) oplost met fl(T(T)) en f2(T(~)) in de plaats van fl(T(t)) en f2(T(t)). Om dit na te,gaan wordt dezelfde berekening met MARC uitgevoerd echter nu met rlE=13.33=1/0.075. In de volgende tabel staan de resultaten voor enkele tijdstippen :

-B7.3t

(B7.11)

1

O.242 1.27 1.99 2.80

5 7.5 10.0

MARC: ~~~'13.33, E0=2500 en f2(T)E1=3500e0.1í200-2T) O , 242

1.27 1.99 2.80

Andere berekeningen doen het vermoeden steeds bevestigen. Hieruit blijkt dat MARC in plaats van (87.1) de volgende vergelijking oplost (indien aE(T)=l) : t o(t) = (fl(T(T))Eo + f z ( T I ~ ) ) h E f t - ~ ) ) t & ( ~ ) - a T ( ~ )(B7.15) ~d~ T =O

Indien bij een constante temperatuur T geldt

:

(B7.16) blijkt uit voorgaande dat een juiste oplossing kan worden verkregen indien de functies fl(T(t)) en f 2 ( T ( t ) ) van een volgende vorm zijn : fl(T(t)) = Aetcl t B

(B7.17)

f2(T(t)) = Cetc2 t D

(B7.18)

met A, B, cli C, D en c2 constanten . Dit zal onder andere het geval zijn indien fl(T) en f2(T) lineair afhankelijk zijn van de temperatuur en : T(t) = G t Hetc3

(B7.19)

met G, H en c3 constant, Bij de simulatie van het experiment zal dan ook hiervan gebruik worden gemaakt, ervan uitgaande dat het voorgaande ook voor de 3-dimensionale formulering geldt.uit de resultaten van bijlage 6 waarbij'voor enkele knooppunten de temperatuur als functie van de tijd is weergegeven lijkt een keuze van T(t) volgens (B7.19) acceptabel.

-B7.4-

B7.3 MARC invoerfiles.

TITLE TEMP. AFH. MAT. GEDRAG SIZING,50000, ELEMENTSIS, ALL POINTS HEREDITAHY,2,1,1, THERKAL END POST o , , ,0,1, CONNECTIVITY 1, 1,9,1,2, COORDINATES 2,2; 1,0.0,0.0;

2,100.0,0.0, GEOMETRY 1,

1 .o,

1 TO 1

OLD BOUNDARY CONDITIONS 2;

1,1;1,2,0.0; 2,2;1,2,0.0; NEW VISCOELASTICITY 1; 1 8 , ,I,

1,1,

1,111,

ELASTIC MODULI 1000.o, FUNCTION AMPLITUDES 3 500.O ,

TIME CONSTANTS 10.0; MECHANICAL PROPERTIES 100.0,0.00008~,,~1, VISCO CONTROL 101; END OPTION VISCO PERIOD 0.1;,10.0;100~;1;1; CONTINUE

SUBROUTINE ANVISC(N,NN,KC,MATV,NVSER,MXVSER~NOIINSHEARf *NVDSIZ,NSTRMX,ISOTRO~SfEIVSR,DT,DTDL,CPTIM, *T1H1NC,INC,ETV1S,VAMP,TCHAR,NDVSM,MVS,MVDS~,NDVMAX1 *LOADVS,HXI,HXITOT) DIMENSION S (NVDSIZ) ,ElVSR (MVS1 I ETVIS (NDVSM)i *VAMP ( NDVNAX ) TCHAR ( WDSN 1 ,DT ( 1 ) ,DTDL ( 1 1 DEFINIERING MAT.EIGENSCHAPPEN ALS FUNCTIE VAN DE TEMPERATUUR TEMPERATUUR=lOO - O.5*TIJD ETVIS(l)=E0=2500.0 VAMP(1)=El=3500.O*EXP(O.1XTIJD~

=3500.0*EXP(0.1*(200.0-2.0*TEMPERATUUR) TCHAR(1)=RELAXATIETIJD=l/O.l75=5.714 &TVIS(1)=2500.0 VAMP(1)=35~O.OXEXP(O.1X(S00.0-2.O-~.~*(DT(~)+~.~*D~DL~l~)~~ TCHAR(1)=5.714 LOADVS= 1 RETURN END

SUBROUTINE CREDE(DTDL,M,NSTREC,NEQST,NSTATS) DIMENSION DTDL(NSTATS,NEQST,NSTRES) DTDL(1,1,1)=-0.05 RETURN END SUBROUTINE ANVISC(N,NN,KC,MATV,NVSER,I'4XVSERfNDIfNSHEAR, *NVDSIZ,NSTRMX,ISOTRO,S~EIVSR,DT,DTDL,CPTIMf xTIMINC,INC,ETVIS,VA~P,TCHAR,NDVS~l~SfMVDSNlNDV~Xl *LOADVS,HXI,HXITOT) DINENSION S(NVDSIZ),EIVSR(MVS),ETVIS(NDVSM)r *VWP(NDVMAX) ,TCHAR(MVDSNI DT( 1 1 ,DTDL( 1 ) DEFINIERING MAT.EIGENSCHAPPEN ALS FUNCTIE VAN DE TEMPERATUUR TYMPERATUUR=100 - 0.5*TIJD ETVIS(l)=EO=2500.0 VANP(1)=E1=3500.0*EXP(O.l*TïJD) =35OO.0*EXP(0.1*(200.O-S.O*TEMPERATUUR) TCHAR(l)=RELAXATIETIJD=1/0.~75=13.333 ETVIS(1)=2500.0 V~P(1)~3500.0*EXP(0.1*(200.0-2.0*~DT(~)~~.5*DTDL(1)))) TCHAR(I)=13.333 LOADVS=1 RETURN END

-87.6-

SUBROUTINE CKEDE(DTDL,M,NSTRES,NEQST,NSTATS) DIEENSION DTDL(NSTATS,NEQST,NSTRES) DTDL(1,1,1)=-0.05 RETURN END

-Ba. 1-

Bijlage 8 Berekeningen van de spanningen en vervormingen.

B8.1 Inleiding. Door verandering van de geometrie wordt gekozen voor een nieuwe temperatuursberekening. De uit de vorige berekeningen verkregen files kunnen in principe ook verwerkt worden tot files die geschikt zijn voor de nieuwe geometrie. Dit laatste is natuurlijk beter maar in verband met de te verwachtte hoeveelheid werk wordt hier gekozen voor een nieuwe berekening. De resultaten van de niewe temperatuursberekening staan in B8.2. In 88.3 worden de functies T-(t), nodig voor het constitutief gedrag in verband met MARC, gegeven welke bepaald zijn op de manier zoals in 5.5.3 staat beschreven. In 88.4 staan de numerieke waarden van de mechanische eigenschappen en de resultaten van twee berekeningen. B8.2 De nieuwe temperatuursberekening.

figuur 88.1 de geometrie en randvoorwaarden Voor rand a en b worden voor verschillende tijdstippen nieuwe temperaturen opgelegd. Deze temperaturen worden uit de situatie A van bijlage 6 gehaald. Aan situatie B van bijlage 6 wordt geen aandacht meer besteed.

-Ba. 28 8 . 2 . 9 De resultaten van de nieuwe temperatuursberekening.

SDRC D4TkB4SE

JIEW.Yo

Tas4

I-DEAS szo-ea

3 4A VIEW

Dos% D r m c e s s i n 4

"re/Posr

Drocess,ng

9-JUN-87

DISDLAY

' 8 36 43

JNITS = YM Vo s r o - e a W T I O Y

t=5.75

SDRC D4TAB4SE JIEvl.Yo

Task

mmJR

Lcoast a

3

.'ErLG

3 4A

D-e/Posr

2 S5EiEZ

3

'(*x

2

ZX'02

1

~-JUN-W

Drocess ng

sio-Ed JIEW DOSZ D r o c e s s i n g

- UD Y l v

TILLRpI
I-DEAS

3ISDLAY Yo

m*a

4

3

3 43SCEZ

t=2î . 8

3 5X+0P

3

-OE*az

I a 25.

s

JNITS =

ME4

s i o r e a UDTI3V

-B8.4SD9C DATABASE. ‘VIEW: Y o

3 4A.

I-DEAS Sco-ea

T o k . Dosi

Dre/Posi

18 2 7 . ‘ !

9-JUN-87

DraCess : n g

-

JNITS MM D1SDLAY:Yo sco-ea ZPTION

/!ELI

Precess:nq

:m
~T€PATJRE

- Xffi

71%.

2.91E102

XAX. 3 O.?E*EZ

I

I

2 3

49-02

4

1

3

3 ZE*02

3 ‘Eta2

3

?atcm

3

2

-stta2

t=33.2 SDQC D4TAB4SL

JIEd Yo

Task. ‘=4St..E

=ANRE

I-DEAS

3 4A.

9-JUN-€i7

Process2ig

16 3 2 . 4 1

UNITS = MM

stocea tIEW

DISDLAY Y o szorea 3DTICP.I

Dost Drocess.nq 2

-

W YIYi

2 95e101 ï & , t 2

=+Bz

2

I

Pre/Post

2.93trSZ

2.93trS2

3 2.93EcBz

4 2.93E4.62

4 2

2.SJEiBZ.

t=583 figuur B8.2 resultaten van de nieuwe temperatuusberekening

In het begin komen de resultaten met de oorspronkelijke berekening goed overeen. Verondersteld wordt dat de afwijkingen het eindresultaat weinig zullen beïnvloeden.

-Ba.5B8.3 De functies P, (t).

1

1 2

I

figuur 88.3 opsplitsing van de geometrie Voor de gebieden 1 tot en met 7 zijn de volgende functies T,(t) bepaald die gebruikt zullen worden om het constitutief gedrag in MARC op te geven. Tl(t) = 293 t 130e-t/35

[KI

T2(t) = 293 t 130e-t/20 T3(t) = 293

t

130e-t/54

T4(t) = 293 t 130e-t/42 T5(t) = 293 t 130e-t/65 T6(t) = 293 t 130e-t/60

T7(t) = 293 t 130e-t/90 De tijd t is gegeven in seconden. De opdeling in deze 7 gebieden is grof. Dit geldt vooral voor gebied 1 en 2. De functies Tj(t) zullen dan ook slechts een grove benadering van de realiteit geven. 8.4 De twee berekeningen van de spanningen en vervormingen.

De berekeningen zijn uitgevoerd met de volgende materiaalfuncties bij een constante temperatuur T :

(B8.1) Voor de tweede berekening is CT(-) gelijk aan nul voor: 140 ' C 4 T Q 150 'C.

K(T) = 23.34540-TI

(B8.2)

Deze eigenschappen zijn uit de gegevens van bijlage 4 bepaald en geschreven in een vorm welke met '?.(t), volgens B8.3, een geschikte vorm hebben om in 3 MARC op te geven. Voor de lineaire uitzettingscoëfficiënt wordt genomen

:

a(T) = a = 0.7*10-4 [1/K]

(B8.3)

De berekeningen zijn uitgevoerd met element 28. B8.4.1 De resultaten van de berekening waarbij geen blijvende vervormingen optreden na de uitname van het produkt uit de mal. De verplaatsingen zijn 20 maal vergroot weergegeven.

t=l [sec] SD4C I-DEAS 3 4 A . D4TAB4SE JIEUI Y o s r o - e a dIEUI T a s k Dasi D r o c e s s na

Dre/Posr

D!SDLAY

ïj>tlJ*-E= - 3 7 w 2 7 L € LJ4J-ASL

'6-JON-87

Drocess,,g

ER

c

3-sCuctmM

- .ne

V?Y

a

0**00

.+Ax.

D

'8t-03

I

I

I

j

I

I

I I I

I

I

I

f V '2.40

JNITS = YM Y o ==zs-ea 3 D T I O Y

I

-B8.7t=14.2 I-DEAS 3 4 A -

SDSC

SDSC DATAB4SE VIEW Yo Task WiELJILf ic43-4rt

3

4A.

D-ocess.ng

"re/Posr

Drocesa,?g

scored VIEW DrocesEi,nq

'8-JUN-87

DIWLAY Yo

19 49 23 UNITS = MM scored OPTICY

D'cn*F€-FILE

€F.

o

- Z4EFYIYCLoSbL -7 'a;+01 YAKS+

FR45 CF STESS

I-DEAS

Dre/Posc

2554.

S'iRL SrWkCt SOTTa

-B8.8-

I-DEAS

SDSC

3 4A:

Dre/Post

!8--JiJN-&7

"rocessyng

VIEW: Y o s i u v e a 4IEW

Task:

Dos+. Processing

I=J:LE, -:mlgF:E

ER

>W:4St.B

u w JF %E?.iLrnU W

S

.

XIS.-!

:!E-0!

2

! .5%+0B

I-DEAS

SDSC

D ATAB 4Sk 4IEW.Yo Task.

SELL S r J A D E : S J T I O ?

Ws 4,'SEtBB

7.a - 0 1

1lQi:I.E

19 5 2 : g 2

JNITS = MM DISDLAY:Yo s t u r e a UPTION

DATAB\SE:

sta-ea

3 4A

D-ePost

3

2.44E-0

DroLess,ng

19 50 ' 4

JNITS = MM DISDLAY Y o s z u - e a ODTISY

JIEW

Dost D T G C B S S , ~ ~

n'CTW5J'LE

! .04E+n'

'8-JdN-87

! .14-0!

3

Z.!!EiB:

-B8.9-

t=50.3 I-DEAC

SDCZC

SDQC D4TAB4SE

I-DEAS

3 4A.

3 4A

Dre'Posr

Drocess.ig

Dre/Post D r o c e s s , n g

4IEW.Yo srorea 4IEW Task Drocess.ng

OatrBB

'8-JUN-87

DISDLAY

Dosz X3tLJ:LE.DT~X.E

e

'8-.,UN--87

**

!.%€*I2

2.05E-01 3

Yo

!9 23 40

'9

55 35

JYITS = MM çro-ea 3DTIOY

-B8.10-

t=583 S99C 94TAB4SE.

YIEW.Yo Task.

I-DEAS 3 . 4 A :

D r e l P o s E ?rc,,cess;ng

s t o r e a JIEW Processing

!8-JUN-S7

21 : ' 2 . 5 3 JNITS = MM D1SPLAY:Yo s t o r e o 3PTIVN

D o s i

33EL3xE.=%~-xL

€R

DOL4&.B

DfSm-ACtX€%T

- MV16 !+IN. B OBE&

W; 7.41E-00

t=1310 CDW

I

I-DEAS 3 4A

Dre/Posr

Drocess.qg

(na de uitname van het product) '8-JdN-87

21 ' 8 24

-Ba. 11B8.4.2 De resultaten van de berekening waarbij blijvende vervormingen kunnen optreden omdat GT(-) hier nul wordt gekozen voor : 140 'C 4 T < 150 'C. t= SDRC DATABASE:

I-DEAS 3 . 4 A :

o

Dre/Posr processing

!7-JUN-87

19.58

30

JNITS = MM D?SPLAY:Yo StGrea 3PTION

V1EW:Yo sroreó VIEW Task: Dost Process:ng

WCDQTFILE, D f C T U R E T i l E

w

LO*X;hSt.in

D189ACUQn

- XU

XIN: 0 #=+E0 MAX: 3 S!E-OB

De druk op t=O met T(z,r,t=O)=lSO'C is gelijk aan

:

76 Nlmm2

De verplaatsingen zijn 20 maai vergroot weergegeven.

SDRC DATAB4SFi.

VIEW.% Task

I-DEAS 3 4A srorea

VIEW

Dost Drocess.nq

Dre/Posr Drocesslng

'7-JUN-87

20 00 ' 2

JNITS = MM DISDLAY.Yo s;Grea 3DTIOY

-B8.12-

t=14.2 I-DEAS

SDRC

3.4A:

Dre/?osi

! 7-JilN-87

Process:ng

SDW DAT4BASE

JIEW.Yo

I-DEAS

3 4A

Dre/?ost

:4

7

20 2 5 . 3 6 JNITS = MM

D I S P L A Y hlo s z a c e a 3FTION ER

LQWLIISLm 6-S

17-JdN-87

bocess,ng

s t o r e e JIELI Process.na

Task Dost w3QFLE. =''Cm%J?L€ FRIVZ

20 : 05

J N I T S = MM D1SPLAY:Yo s t o r e d 3 P T I O V

DATABASE: VIEi4:Yo s i o r e d VIELI

m umbL

SL1ELL L F A C t 3 1 i T C

X YIN 4 E*E+Bt W 4 0ZEIQt

I

I

I

I

I

1,

I

I

I

I

/,I

-B8 13e

SDRC I-DEAS 3.4A: DATABASE: VIEW:Yo sroreti VIEW Task. D o s t Processing !ma-FrLE.

DICILIRE-FLE

i043iAôt.0

Dre/Posi ?rocess;ng

!7-JUN-b7

20.27:B9 JNITS = M M D1SPLAY:Yo storeti OPTION

tR

OF W-GLrnAL STRESS . . Y %IN:* 5 4 3 4 1 ' M : - 3 88ti01

F.%%

SDQC I-DEAS 3 4A %TABASE. $IEW.Yo sroreo $TEW To-sk. DOSZ Process ng

WELL SJBACE!SDi70!

PreíPosr P r o c e s s , n g

E3ELJII.E. - I c m J I L E

w

2D 27 57 JNITS = MM DISDLAY-Yo sroreo OPTIOY '7-JIJN-87

-B8.14-

!7-JUN-87

MDWY'ILII PIClliPXJIII L 0MLAô kR*K Okk . O R r 3 I3!..mkL STRE66 yI Y P l I I 88k-01

20-35:40

UNITS = MM DISPLAY Y o s t o r a a OPTION

DATABASE VIEW Y o s t o r e a VIEW Task P o s t P r o c e s s i n g tx

w. 4

W3.L S.IlZ-AChiSOTïOY

BBtr00

I

I

P I S a 4 0

7 'Pal

SDRC

I-DEAS 3 4A

Dre/Posr

i!

Droressing

DATABAS€ J I E U Y o s t o r e d VIEW Took P o s t P r o c o s s , n n VW I i I S S YIN- Z 8.E-

20 28 18

w

LOW*Sh 0

STRtliS

'7-JUN-87

UNITS = MM DISDLAY Y o stored OPTION

loDU.flLE PICNREfILE HWE Ob RSsLLmN

3

3E+m

W € U 8WACL.BOTïO54

Mi 2 23EWl

I

.m 2 *I

'

l.BIE+Bl

L

-Ba. 15-

t=50.3 SDRC I-DEAS 3 . 4 A : DAT43ASE: V I E W - Y o s t o r e d 'VIEW T o s k : Dost ?recessing

Dre/?ost

!7-JUN-87

Process;ng

20:08-07

J N I T S = MM D I S P L 4 Y : Y o stGreà 3PTI3N

%C3UJILE,=ICPJRLFILE

w

LOWASti5

PlsDuivhM

- N48

SIN: B.B%+ññ

M i

'.!2E-62

t=583 SDQC I-DEAS 3 4 A DATABASE. VPEW.Vo s e o r o a VIEW T a s k D o s e process ng

'7-JUN-87

Dre/Post D r u c e s s , n g

D I S D L A Y V o szo-ea OPTIOY

lo33-FILE.PICNE~If.E

w.

iOlZ4St 0

3.SLuivhM

- '440 V N

I

1 1

13 ' 1 U 8 J N I T S = MM

0 BB+BB .uY

I

I

I I t

3 WE%3

1 I

I

r I

h

-B8.16-

SDRC

I-DEAS 3.4A:

Dre/Post

!7-JUN-B7

1 3 . 3 ! 104 JNITS = MM DISDLAY:Yo sku-ea 3PTION

0rocess:ng

DATABGE:

V1EW:No stored VIEW

Y 2

!. S k a !

3

4

! .-EM!

!.4!E*W!

Z.!ZE+B!

t=1310 S95C

I-DEAS 3 4 A -

Pre/Posr

'7-JUN-87

13 44.45 JNITS = MM DISOLAY.Yo storea 3PTI3N

Drocess,ng

DATAB4SE.

dIEW.Yo s z o r e a VIEW Task. Dost Drocess,na W9ELfILE. O ' C T W T T L E WmASL w

D'SUC-

-MG

a YIYi 0 0 E * M U x x

3

83E-BJ

-188.17-

I-DEAS

S!XV

DATA5ASE:

3.4.4:

Dre'?ust

Dr6cess;ng

'JIEW~YOs t o r e 8 VIEW T a s k . Dost Droc;ess:ng

I raoa3:ie.

17-;UN-87

!3 . 5 6 . 3 2 J N I T S = MM DISDLAY:Yo s:s-ea 3PTION

YCNREJ~LE

SD9C

D4TAB4Sk

4IEW

Tas4

Yo

I-DEAS sto-ea

DOST. %mtL€?LE.~ ' C n R E J I L E

3 4A

!. L m l Q I

13 34 04

'7-JclN-ö7

DrGcess,ng

JNITS =

JIEW

DISDLAY "lo szo'ea

Drocess ng

MM

3PrIOY

w

DW-ASL 5

%'€ Si 4EF GLmC iTRELiS JOY 1119s V V

+e/Posr

7 'EM0 W

L

s

üsEis!

: 4JE-01

3 ! .7&+5!

1 1.!1EiE1

m SiWAct

so3m

-08.18-

bi560 SDRC D4TAB4SE.

JIEW Y o

Task

CDEL-F‘LE

I-DEAS

3 4A

Dre/Pos;

0-ocess

(na de uitname van het product) qg

sLorea V‘IEW P r o c e s s na

‘7-JdN-87

DISDLAY

‘3 ‘5 35

JNITS = M M Yo srorea 3DTIOY

~*cTu(>EJ:LE

OUASL.8

SDRC D4TABASk

JIEd.Yo

Task

I-DEAS

3 4A

Dre/Posr

Drocess,ng

‘7-JUN-87

’ 3 39 2 5

LINITS MM DISPLAY Y o s z o r e a 3DTIOY

q i o r e a VIEW

7

D o s i D r o c e s s Inq

ima:E,=’zrmu

FR

SJR=ACESOTTC

-B8. 'i9-

Task ODQT~LE.

D O S ~Drocess q~1

I

o':rmyE

SDRC

I-DEAS

3 4A.

Pre/Post Drocess.ng

$7-JUN-87

D4TABASk

YIEUI.NO Task.

store5

DOSE

W€LJIL€.~'SNREfILE

$IEW

Dpocess,qg

DISDLAY

13 46 09

JNITS = MM Yo storea P T I O V

-m.20-

w: