PRODUKČNÍ MODELY Modelování produkce Produkční model Podle počtu produkčních faktorů Podle typu funkce Problémy formulace produkčních modelů Komplexní model nebo dílčí modely Výběr produkce a produkčních faktorů
Analýza jednofaktorové produkční funkce Mezní produkce Lineární funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce Maximum produkce Průměrná produkce Koeficient pružnosti Lineární funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce Vzájemné vztahy produkce a elasticity Výpočty Grafické zobrazení Ekonomické vyhodnocení Ekonomické optimum Zisková rovnice Kvadratická funkce Minimální množství faktoru
Analýza vícefaktorové produkční funkce Kategorie analýzy Produkční povrh Tabelární vyjádření Grafické vyjádření Dílčí produkční křivky a mezní produkce Lineární funkce Kvadratická funkce s interakcí Mocninná funkce Koeficienty elasticity Lineární funkce Kvadratická funkce s interakcí Mocninná funkce Izokvanty a mezní substituce Lineární funkce Kvadratická funkce s interakcí Mocninná funkce Maximum produkce Izokliny Lineární funkce Kvadratická funkce s interakcí Mocninná funkce Ekonomické vyhodnocení Ekonomické optimum Neomezené zdroje Omezené zdroje Zisková rovnice
Optimální rozdělení omezeného zdroje
Analytické vlastnosti produkčních funkcí Příklady Analýza jednofaktorového produkčního modelu (Produkční model výroby mléka z jádra) Analýza dvoufaktorového produkčního modelu (Produkční model HRP, vliv průmyslových a statkových hnojiv) Sdružená výroba (Úspory a hranice výrobních možností) Optimální rozdělení omezeného zdroje
MODELOVÁNÍ PRODUKCE • •
součást teorie firmy kvantifikace produkčního procesu, tj. vazeb mezi produkcí a produkčními faktory
y´ = f ( x1, x2, … , xk ) Z pohledu teorie firmy:
produkce → činnost vytvářející hodnotu (výrobek, služby, informace, …) hodnota
→ definována v souvislosti s trhem, tj. měřena částkou peněz, které je kupující ochoten zaplatit
Trhy
OKOLÍ FIRMY
( hospodářské, společenské, technologické prostředky ) FIRMA
Trhy výrob. fakt.
Trhy výr. a služeb
produkce →
→
vstupy
výstupy
↑
informace
PRODUKČNÍ MODEL (produkční funkce) • •
zobrazuje určitý produkční proces kvantifikuje vazby mezi výrobou a produkčními faktory formou regresní funkce
Typy produkčních modelů : Podle počtu jednofaktorový y ′ = f (x) prod. faktorů vícefaktorový y ′ = f (x1,x2,…,x k ) Podle typu funkce : lineární
y´ = a + bx
dvoufaktorové modely
y ′ = a + b1 x1 + b2 x2
nelineární
y´= a + bx + cx2
y′ = a + b1 x1 + b2 x2 + c1 x12 + c2 x22
b y´= a + x
y′ = a +
y´= a ⋅ b x
y′ = a ⋅ b1x1 ⋅ b2x2
y´= a ⋅ xb
y′ = a ⋅ x1b1 ⋅ x2b2
b1 b2 + x1 x2
Definování produkčního modelu na základě metody min. čtverců
2 ′ ( ) y − y = min ∑
Problémy formulace produkčních modelů Produkční model (nazývaný rovněž produkční funkce) zobrazuje určitý produkční proces, tj. kvantifikuje vztahy mezi výrobou a danými produkčními faktory a dovoluje tyto vztahy dále analyzovat. Výpočet je založen na teorii regrese a předpokládá s ohledem na požadovanou vypovídací schopnost kromě teoretických znalostí i dobrou odbornou znalost modelované problematiky. •
komplexní model nebo soustava dílčích modelů ?
Na základě znalosti věcné problematiky a modelovací techniky rozhodnout, zda modelovaný proces bude popsán jednou rovnicí podchycující vliv všech faktorů včetně jejich vzájemných vazeb nebo soustavou rovnic charakterizujících dílčí vztahy, které v souhrnu představují „úplný“ model. •
výběr charakteristiky produkce a produkčních faktorů
Stanovit, co bude závisle proměnná charakterizující produkci, a vybrat vhodné produkční faktory, tj. odpovědět na otázku „kolik a jaké?“. Přitom posoudit problém duplicity, stupeň agregace, příčinu-důsledek apod. •
volba typu funkce
Zvolit vhodný typ funkce, který vyhovuje jak z formálně statistického hlediska, tak i z hlediska věcně logického. Zvážit přitom i analytické vlastnosti funkce.
ANALÝZA
JEDNOFAKTOROVÉ PRODUKČNÍ FUNKCE y YM
YM
YM
1
MEZNÍ PRODUKCE : dY YM = dX MAX. PRODUKCE : dY Ymax L xmax Y → =0 dX PRŮM. PRODUKCE :
YP =
Y X
KOEF. PRUŽNOSTI : eX =
d Y X YM ⋅ = d X Y YP
1
xmax y
1
x
Příklad:
kvadratická funkce y´= a + bx + cx2 d ( a + bx + cx 2 ) YM = = dx = b + 2cx
xmax Y → b + 2cx = 0 b x=− 2c a + bx + cx 2 YP = x
x = a + bx + cx 2 bx + 2cx 2 = a + bx + cx 2
eX = b + 2cx
ANALÝZA VYBRANÝCH JEDNOFAKTOROVÝCH PRODUKČNÍCH FUNKCÍ Lineární f. (přímka) Kvadratická f. (parabola 2.st.) Mocninná f.
y´ = a + bx y´ = a + bx + cx2 y´ = a ⋅ xb
MEZNÍ PRODUKCE L:
K:
M:
d ( a + bx + cx 2 ) βx = = b + 2cx dx
d ( a ⋅ xb ) βx = = ab x b −1 dx
KOEFICIENT PRUŽNOSTI L:
K:
M:
YM
d ( a + bx ) βx = =b dx
dy = dx
ex = b
x bx = a + bx a + bx
dy x ⋅ eX = dx y
x bx + 2cx 2 ex = (b + 2cx) = 2 a + bx + cx a + bx + cx 2 b x abx ex = abx b −1 b = =b b ax ax
Vzájemné vztahy celkové, mezní a průměrné produkce a elasticity Příklad: Produkční funkce (celková produkce):
x3 Y ≡ y′ = x − 30 2
Mezní produkce:
dY x2 3x 2 YM = = 2x − = 2x − dX 30 10
Průměrná produkce:
x3 x − Y x2 30 YP = = = x− 30 X x 2
Pružnost produkce:
x 2 4 6 8 10 12 14 15 16 18 20 22
Celková produkce (Y) 3,7 13,9 28,8 46,9 66,7 86,4 104,5 112,5 119,5 129,6 133,3 129,1
ex =
dY X ⋅ dX Y
Mezní produkce (YM) 3,60 6,40 8,40 9,60 10,00 9,60 8,40 7,50 6,40 3,60 0 -4,40
x ⎛ x ⎞ x 10 = = ⎜⎜ 2 x − ⎟⎟ 3 x 10 ⎠ 2 x ⎝ 1− x − 30 30 2
Průměrná produkce (YP) 1,87 3,47 4,80 5,87 6,67 7,20 7,47 7,50 7,47 7,20 6,67 5,87
2−
Pružnost produkce (ex) 1,93 1,84 1,75 1,64 1,50 1,33 1,12 1,00 0,86 0,50 0 -0,75
Funkce celkové, průměrné a mezní produkce ve vztahu k elasticitě
140 M 120
R
100
celková produkce
80 60
S
40
A
20 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
x
S 10 8 6
R
4
B průměrná produkce
2
M
A
0
2
4
6
STADIUM
8
10
12
14
16
I. e>1
18
20
II. 1>e>0 11
0
22 x mezní produkce III. e<0
EKONOMICKÉ VYHODNOCENÍ jednofaktorové produkční funkce EKONOMICKÉ OPTIMUM :
d y pX = d x pY
← xopt. → max. zisk
ZISKOVÁ ROVNICE : N Z V x⋅pX y´⋅pY K
xopt. Z=V-N
kde: V = Y ⋅ pY N = X ⋅ pX + K prom.
… výnosy … náklady
stálé
Z = Y ⋅ pY - ( X ⋅ pX + K ) = y´⋅ pY - x⋅ pX - K max. zisk ← x opt. →
dZ =0 dX
podmínka: V > N
EKONOMICKÉ VYHODNOCENÍ jednofaktorové kvadratické produkční funkce Kvadratická produkční funkce :
y´= a +bx + cx2 Výpočet optimálního množství faktoru na základě porovnání mezní produkce k poměru cen faktoru a produkce:
pX b + 2 xc = pY pX −b p x= Y 2c
Výpočet optimálního množství faktoru na základě porovnání mezního zisku k nule:
Z = (a +bx + cx2) pY - x⋅pX - K dZ = bpY + 2cpY x − p X dX
p X − bpY x= 2cpY
rozšíření zlomku cenou pY
⎛ pX ⎞ −b⎟ ⎜ ⎜ = pY ⎟ ⎜ 2c ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
MINIMÁLNÍ MNOŽSTVÍ FAKTORU pro dosahování zisku z produkce Přirovnání výnosů a vynaložených nákladů
xmin
xopt
xmax
Y ⋅ pY = X ⋅ pX + K y´ ⋅ pY = x ⋅ pX + K
xmin
V=N
xopt
V=N
Př.: kvadratická produkční funkce :
y´= a +bx + cx2
(a + bx + cx2)pY = xpX + K apY + bpYx + cpYx2 = pXx + K cpYx2 + (bpY - pX)x + apX - K = 0
x1,2 =
p x − bpY ± ( bpY − p X )2 − 4 ⋅ cpY ( apY − K ) 2 ⋅ cpY
ANALÝZA VÍCEFAKTOROVÉ PRODUKČNÍ FUNKCE Analýza vícefaktorových produkčních funkcí je demonstrována na případě dvoufaktorových modelů, u nichž lze snadněji a názorněji vysvětlit analytické vlastnosti.
KATEGORIE ANALÝZY : ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
produkční povrch dílčí produkční křivky mezní produkce koeficienty elasticity izokvanty mezní substituce izokliny
ekonomické vyhodnocení
PRODUKČNÍ POVRCH 2-faktorové produkční funkce - množina teoretických hodnot produkce odpovídající různým kombinacím reálných úrovní obou produkčních faktorů Tabelární vyjádření :
YX 1 ⋅ X 2
YX 2 ⋅ X 1
x2
x1
yi′
Grafické vyjádření : y
X1X2⋅Y X2X1⋅Y
YX2⋅X1
YX1⋅X2
x2 x1
DÍLČÍ PRODUKČNÍ KŘIVKY 2-faktorové produkční funkce Typ : YX1⋅X2 konst.
Rovnice : Y = f (X1), X2 =
x2 = konst.
y
MEZNÍ PRODUKCE
β YX ⋅ X 1
1
Typ : YX2⋅X1 konst.
1
x1
Rovnice : Y = f (X2), X1 =
x1 = konst.
y
MEZNÍ PRODUKCE
β YX 1
2
dY = d X1
1
x2
2 ⋅ X1
dY = d X2
Obecné příklady u vybraných produkčních křivek
y ′ = a + b1 x1 + b2 x2 - lineární funkce - kvadratická funkce s interakcí y ′ = a + b1 x1 + b2 x2 + c1 x12 + c2 x22 + d1,2 x1 x2 - mocninná funkce b1 b2
y ′ = a x1 x2
Dílčí produkční křivky: - lineární funkce y′ = A1 + b1 x1 y′ = A2 + b2 x2
( kde : A1 = a + b2 x2 ) ( kde : A2 = a + b1 x1 )
(V případě lineární funkce bez interakce, kdy je produkční povrch charakterizován rovinou, jsou dílčími funkcemi v tomto specifickém případě přímky.)
- kvadratická funkce s interakcí
y′ = A1 + B1x1 + c1x12 ( kde: A1 = a + b2 x2 + c2 x22 y′ = A2 + B2 x2 + c2 x22
- mocninná funkce Mezní produkce: - lineární funkce
B1 = b1 + d1,2 x2 ) ( kde : A2 = a + b1 x1 + c1 x12 B2 = b2 + d1,2 x1 )
y′ = A1 x1b1
( kde : A1 = a x2b2 )
y′ = A2 x2b2
( kde : A2 = a x1b1 )
β YX ⋅ X = b1 1
2
β YX ⋅ X = b2 2
1
Mezní produkce je konstantní vzhledem k tomu, že dílčími funkcemi jsou přímky.
- kvadratická funkce β YX1⋅ X 2 = B1 + 2 c1 x1 = b1 + 2 c1 x1 + d1,2 x2 s interakcí β YX 2 ⋅ X1 = B2 + 2 c2 x2 = b2 + 2 c2 x2 + d1,2 x1 - mocninná funkce β YX1⋅ X 2 = A1 b1 x1b1 −1 = a b1 x1b1 −1 x2b2
β YX
2 ⋅ X1
= A2 b2 x2b2 −1 = a b2 x2b2 −1 x1b1
KOEFICIENTY ELASTICITY vícefaktorové produkční funkce relativní změna produkce vyvolaná relativní změnou proměnlivého produkčního faktoru v jeho určité úrovni při podmínce určitých konstantních úrovní ostatních zúčastněných produkčních faktorů (procentická změna produkce při 1% změně proměnlivého produkčního faktoru v jeho určité úrovni a při podmínce …..)
d Y Xi exi = ⋅ d Xi Y
pro i - tý faktor
Koeficienty pružnosti: - lineární funkce ex1 = b1
x1 b1 x1 = A1 + b1 x1 a + b1 x1 + b2 x2
ex2 = b2
x2 b2 x2 = A2 + b2 x2 a + b2 x2 + b1 x1
( při x2 = konst .) ( při x1 = konst .)
- kvadratická funkce s interakcí ex1 = (B1 + 2 c1 x1 )
x1 = A1 + B1 + c1 x12
b1 x1 + 2 c1 x12 + d1,2 x1 x2 a + b1 x1 + b2 x2 + c1 x12 + c2 x22 + d1,2 x1 x2 ex2 = (B2 + 2 c2 x2 )
( při x2 = konst .)
x2 = 2 A2 + B2 + c2 x2
b2 x2 + 2 c2 x22 + d1,2 x1 x2 a + b1 x1 + b2 x2 + c1 x12 + c2 x22 + d1,2 x1 x2
( při x1 = konst .)
- mocninná funkce e x1 = a b1 x1b1 −1 x2b2
x1 = b1 ( při x2 = konst .) a x1b1 x2b2
e x2 = a b2 x1b1 x2b2 −1
x2 = b2 a x1b1 x2b2
( při x1 = konst .)
Pružnost produkce je proměnlivá v závislosti na úrovni proměnlivého produkčního faktoru. Pouze u mocninné funkce je pružnost produkce konstantní.
IZOKVANTY 2-faktorové produkční funkce Typ : X1 X2⋅Y konst. X2 X1⋅Y konst.
Rovnice : X1 = f (X2 ), Y = X2 = f (X1 ), Y =
reálné kombinace prod.
x2 faktorů
y = konst.
x1 MEZNÍ SUBSTITUCE
S X 1 X 2 ⋅Y S X 2 X 1 ⋅Y
β YX 2 ⋅ X1 d X1 = =− d X2 β YX1 ⋅ X 2 β YX1 ⋅ X 2 d X2 = =− d X1 β YX 2 ⋅ X1
x2
S X 2 X 1 ⋅Y S X 1 X 2 ⋅Y
x1
Izokvanty: - lineární funkce
x1 =
y − a − b2 x2 y − a − b1 x1 , x2 = b1 b2
- kvadratická funkce s interakcí x1 = x2 =
− (b1 + d1,2 x2 ) ±
(b1 + d1,2 x2 )2 − 4 c1 (a + b2 x2 + c2 x22 − y ) 2 c1
− (b2 + d1,2 x1 ) ±
(b2 + d1,2 x1 )2 − 4 c2 (a + b1 x1 + c1 x12 − y ) 2 c2
- mocninná funkce
x1 = b1
y , b2 a x2
x2 = b2
y a x1b1
Mezní substituce: - lineární funkce
S X1 X 2 ⋅Y = −
b2 , b1
S X 2 X1⋅Y = −
b1 b2
- kvadratická funkce s interakcí
S X 1 X 2 ⋅Y = −
b2 + d1,2 x1 + 2 c2 x2 b1 + d1,2 x2 + 2 c1 x1
- mocninná funkce
S X 1 X 2 ⋅Y
, S X 2 X 1 ⋅Y = −
b1 + d1,2 x2 + 2 c1 x1 b2 + d1,2 x1 + 2 c2 x2
b1 x2 b2 x1 , S X 2 X 1 ⋅Y = − =− b1 x2 b2 x1
Maximum produkce: Produkční maximum u dvoufaktorové produkční funkce odpovídá vrcholu produkčního povrchu. Zpravidla se maximum produkce určuje na jednotlivých produkčních křivkách. Podle obou faktorů se jejich mezní produkce přirovnají k nule a řeší se pak společně jako soustava dvou rovnic:
dY =0 d X1
dY =0 d X2
Maximální produkci dílčích produkčních křivek lze počítat v případech, kdy je maximum definovatelné. Např. u kvadratické funkce s interakcí: pro typ YX1⋅X2 → B1+2 c1 x1 = 0 (kde: B1 = b1 + d1,2 x2 ) YX2⋅X1 → B2+2 c2 x2 = 0 (kde: B2 = b2 + d1,2 x1 ) takže plat
x1 ( Y max) = −
b1 + d1,2 x2 2 c1
( x2 = konst .)
x2 ( Y max) = −
b2 + d1,2 x1 2 c2
( x1 = konst .)
IZOKLINY 2-faktorové produkční funkce - spojují body se stejnou mezní substitucí na izokvantách o stále vyšších úrovních produkce Za konstantu lze dosadit poměr cen:
d X1 = − konst . d X2 d X2 = − konst . d X1
p X1
pX2
pX2
p X1
V případě dosazení poměru cen se získá izoklina (tzv. expanzní čára) charakterizující směr ekonomicky výhodného zvyšování produkce.
x2
x2 opt.
x1 proporce faktorů zůstávají stejné (u CD funkce)
x1 proporce faktorů se při zvyšování výroby mění
Izokliny: - lineární funkce
nelze definovat – nekonečný počet
- kvadratická funkce s interakcí x1 =
k1b1 − b2 + (k1d1,2 − 2 c2 ) x2 , d1,2 − 2 k1c1
- mocninná funkce
x1 =
x2 =
k2b2 − b1 + (k2 d1,2 − 2 c1 ) x1 d1,2 − 2 k2c2
b1 b k1 x2 , x2 = 2 k 2 x1 b2 b1
Hřebenové čáry: jsou dvě krajní izokliny o nulové a nekonečně velké hodnotě mezní substituce. Na izokvantách spojují místa, kde při podmínce zachování daného objemu produkce již nelze nahradit jeden faktor jakkoliv velkým množstvím druhého faktoru.
EKONOMICKÉ VYHODNOCENÍ 2-faktorové produkční funkce Ekonomické optimum : - optimální proporce produkčních faktorů při daných cenových relacích s cílem maximalizace zisku • neomezené zdroje p X1 dY = d X1 pY pX2 dY = d X2 pY
Př.
y ′ = a + b1 x1 + b2 x2 + c1 x12 + c2 x22 + d1,2 x1 x2 b1 + 2c1 x1 + d1,2 x2 = b2 + 2c2 x2 + d1,2 x1 =
p X1 pY pX2 pY
• omezené zdroje
p X1 d X2 =− d X1 pX2
Př. y′ = a ⋅ x1b1 ⋅ x2b2 pX1 b1 x2 − =− b2 x1 pX 2
ZISKOVÁ ROVNICE
Z = Y pY − ∑ X i p X i − K maximum zisku
xi (opt.)
dZ =0 d Xi
OPTIMÁLNÍ ROZDĚLENÍ OMEZENÉHO ZDROJE DO VÍCE VÝROBNÍCH ČINNOSTÍ Definují se produkční modely pro jednotlivé výrobní činnosti. Z modelů se určí mezní produkce, která se vyjádří peněžně (tj. vynásobí se cenami té které produkce). Peněžně vyjádřené hodnoty mezní produkce mají být stejné, takže se položí rovny stejné konstantě a přiřadí se rovnice, v níž dílčí objemy zdroje pro jednotlivé činnosti se rovnají celkovému objemu omezeného zdroje. Příklad:
A : y′A = a A + bA x A + c A x A2 B : y′B = aB +
bB xB
C : yC′ = aC + bC xC + cC xC2
βA =
d YA = bA + 2 c A x A d XA
→ bA pYA + 2 c A pYA x A
βB =
d YB b = − B2 d XB xB
→ −
βC =
d YC = bC + 2cC xC d XC
→ bC pYC + 2cC pYC xC
bB pYB xB2
bA pY A + 2 c A pY A x A = K bB pYB
=K
x … celkový objem zdroje
bC pYC + 2cC pYC xC = K
xA , xB , xC … dílčí objemy pro činnosti A, B, C, které se určí řešením rovnic
−
x
2 B
x A + xB + xC = x
ANALYTICKÉ VLASTNOSTI vybraných produkčních funkcí Vlastnost
Funkce lineární
kvadratická
odmocninná
mocninná
konstantní
klesající po přímce
klesající stále pomaleji
jen klesající či jen rostoucí
Maximum
nedefinováno
definováno
definováno
nedefinováno
Izokvanty
protínají osy faktorů
protínají osy faktorů
protínají osy faktorů
asymptotické k osám faktorů
konstantní
proměnlivá
konstantní
proměnlivá
lineární, ne počátkem
lineární
nelineární, počátkem
lineární, počátkem
proměnlivá
proměnlivá
proměnlivá
konstantní
Mezní produkt
Mezní substituce Izokliny
Elasticita
PŘÍKLADY Př. 1: Analýza jednofaktorového produkčního modelu:
PRODUKČNÍ MODEL VÝROBY MLÉKA Z JÁDRA x - denní spotřeba jadrné směsi na 1 dojnici ( kg ) y - denní dojivost na 1 dojnici v důsledku spotřeby jádra jako část z celkové denní dojivosti ( l ) y x
2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 – 2,99 – 3,99 – 4,99 – 5,99 – 6,99
1,50 – 1,99 2,00 – 2,49 2,50 – 2,99 3,00 – 3,49 3,50 – 3,99
2 7
Celkem
9
12 5
17
Celkem
3
3
1 1 2
1 1
2 19 8 1 2 32
Definovaný model (kubická funkce) :
y´ = 3,14217 − 3,45655x + 2,08321x 2 − 0,25968x3 Fvyp = 260,8 > Ftab (3,28) = 4,38 … pro α = 0,01 Model je statisticky vysoce průkazný.
Index korelace Iyx = 0,9826 ** … vysoký stupeň závislosti
Celková produkce z jádra yC = 3,14217 − 3,45655 x + 2,08321x 2 − 0,25968 x 3
Průměrná produkce 3,14217 yP = − 3,45655 + 2,08321x − 0,25968 x 2 x
Mezní produkce
yM = −3,45655 + 4,16642 x − 0,77904 x 2 Produkční pružnost e
− 3,45655 x + 4,16642 x 2 − 0,77904 x 3 e= 3,14217 − 3,45655 x + 2,08321x 2 − 0,25968 x 3
x
YC
2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
2,48447 3,46336 4,51005 5,42979 6,02781
Y
P
1,24224 1,38534 1,50335 1,55137 1,50695
Y
M
1,76013 2,09050 2,03135 1,58268 0,74449
e 1,41690 1,50902 1,35126 1,02018 0,49404
PRODUKCE MLÉKA Z JÁDRA Y 6 -
YC
YC - celková YP - průměrná YM - mezní
• YP(max)
5 -
•
YM (max)
4 3 -
•
2 -
YM (max)
• YP (max) YP YM
1 0 2,0 xmin 1,91
e
2,5
3,0
2,67 S
3,5
3,52
4,0
x
xmax 3,94
e - pružnost
1,5 1
e=1
e
x
0,5
Vzájemné porovnání celkové, průměrné a mezní produkce s produkční pružností
EKONOMICKÉ VYHODNOCENÍ
x opt →
YM
pX = pY
Variantní řešení : pX
pY
8,00 10,00 12,00 14,00
10,00
11,00
12,00
13,00
14,00
3,973 3,870 3,757 3,631
4,008 3,918 3,820 3,713
4,037 3,956 3,870 3,777
4,061 3,988 3,911 3,828
4,081 4,015 3,944 3,870
pX … cena 1 kg krmné směsi ( Kč ) pY … cena 1 l mléka ( Kč ) Největší produkční účinnost → spotřeba 2,67 kg krmné směsi Ekonomicky optimální účinnost ( podle poměru cen pX / pY ) - viz tabulka → spotřeba 3,6 – 4,1 kg krmné směsi
Př. 2: Analýza dvoufaktorového produkčního modelu
PRODUKČNÍ MODEL HRP (vliv průmyslových a statkových hnojiv) Definovaná funkce: y′ = a ⋅ x1b1 ⋅ x2b2 → log y ′ = log a + b1 log x1 + b2 log x2 y ′ = 227 ,86 ⋅ x10 ,45778 ⋅ x20 ,32304 log y ′ = 2 ,34767 + 0 ,45778 log x1 + 0 ,32304 log x2
kde:
y …. hrubá rostlinná produkce na 1 hektar zemědělské půdy (Kč) x1 … spotřeba průmyslových hnojiv na 1 hektar zemědělské půdy (kg čistých živin) x2 … spotřeba chlévského hnoje na 1 hektar zemědělské půdy (t) y′ PRODUKČNÍ POVRCH x2
x1 100 150 200 250 300 350
4
5
6
7
8
9
2 936 3 534 4 032 4 466 4 854 5 209
3 155 3 799 4 333 4 799 5 217 5 599
3 347 4 029 4 596 5 091 5 534 5 938
3 518 4 235 4 831 5 351 5 817 6 242
3 673 4 422 5 044 5 586 6 073 6 517
3 815 4 593 5 240 5 803 6 308 6 769
teoretické hodnoty HPR při reálných kombinacích spotřeby průmyslových hnojiv a chlévského hnoje
DÍLČÍ PRODUKČNÍ KŘIVKY
Dílčí působnost průmyslových hnojiv (x1) na úroveň HRP (y) při podmínce konstantní úrovně spotřeby hnoje (x2): Typ: YX1⋅X2
tj. Y = f (X1 ), X2 = konst.
x2 = 4: y ′ = 227 ,86 ⋅ x10 ,45778 ⋅ 4 0 ,32304
→
y ′ = 356,57 ⋅ x10 ,45778
0 ,45778 ⋅ 6 0 ,32304 x2 = 6: y ′ = 227 ,86 ⋅ x1
→
y ′ = 406 ,49 ⋅ x10 ,45778
0 ,45778 ⋅ 80 ,32304 x2 = 8: y ′ = 227 ,86 ⋅ x1
→
y ′ = 446 ,07 ⋅ x10 ,45778
MEZNÍ PRODUKCE
Z dílčích produkčních křivek typu YX1⋅X2 lze vyvodit mezní produkci β YX ⋅ X . 1
Konst.fakt.
2
Proměnlivý faktor x1 (spotř. prům. hnojiv)
(spotř.hnoje) 100 150 200 250 x2 4 13,44 10,79 9,23 8,18 6 15,32 12,30 10,52 9,32 8 16,81 13,50 11,55 10,23
300
350
7,41 8,44 9,27
6,81 7,77 8,52
Výpočet:
β YX ⋅ X 1
2
d ( 406,49 ⋅ x10 ,45778 ) = = 0 ,45778 ⋅ 406,49 ⋅ x1− 0 ,54222 = d x1 =
186,083 186,083 186,083 = = = 9 ,32 0 ,54222 0 ,54222 19,962 x1 250
Při konstantní spotřebě 6 t na 1 ha zem.půdy a spotřebě 250 kg prům. hnojiv na 1 ha zem půdy vyvolá zvýšení spotřeby o 1 kg zvýšení HRP na 1 ha zem. půdy o 9,32 Kč.
IZOKVANTY
Kombinace spotřeby průmyslových hnojiv (x1) a chlévského hnoje (x2) vedoucí ke stanovené konstantní úrovni hrubé rostlinné produkci (y). Typ: X1X2⋅Y
tj.
y ′ = a ⋅ x1b1 ⋅ x2b2 y′ = 227 ,86 ⋅ x
0 ,45778 1
X1 = f (X2 ), Y = konst. x1 = b1
⋅x
0 ,32304 2
y b
a ⋅ x2
x1 = 0 ,45778
y 227 ,86 ⋅ x20 ,32304
Např.: Je-li na 1 ha zem. půdy požadováno 5 000 Kč HPR a k dispozici je 8 t chlévského hnoje, je třeba počítat se spotřebou 196 kg č.ž. průmyslových hnojiv. MEZNÍ SUBSTITUCE
s X1 X 2 ⋅Y
β YX 2 ⋅ X1 d X1 bx 0 ,32304 x1 = =− =− 2 1 = d X2 β YX1 X 2 b1 x2 0 ,45778 x2
Např.: Při spotřebě 250 kg č.ž. (x1) a 6 t chlévského hnoje (x2) na 1 ha zem. půdy [kdy je dosaženo 5 091 Kč HRP] je třeba při podmínce zachování produkce nahradit snížení spotřeby chlévského hnoje o 1 t zvýšenou spotřebou prům. hnojiv o 29,4 kg č.ž. Výpočet:
S X 1 X 2 ⋅Y = −
0 ,32309 ⋅ 250 = 29 ,4 0 ,45778 ⋅ 6
KOEFICIENTY PRUŽNOSTI
pro prům. hnojiva …… e X 1 = b1 = 0,45778 % pro chlévský hnůj …… e X 2 = b2 = 0,32304 % IZOKLINY A EKONOMICKÉ HODNOCENÍ
pX2 b2 x1 − =− b1 x2 p X1 −
0 ,32304 ⋅ x1 50 =− 0 ,45778 ⋅ x2 3
Při ocenění: 1 kg č.ž. prům. hn. … 3 Kč 1 t chlév. hnoje …….50 Kč
Za x2 se dosadí 1 a z rovnice se vypočte x1 , které se v daném případě rovná 23,62. Ekonomicky vhodný poměr je tedy 23,62 kg č.ž. průmyslových hnojiv k 1 tuně chlévského hnoje.
Př. 3: Sdružená výroba
ÚSPORY ZE SDRUŽENÉ VÝROBY, HRANICE VÝROBNÍCH MOŽNOSTÍ Výrobce má zájem, aby výrobní faktory byly při prod. procesu účelně vynakládány. Toho lze mimo jiné dosáhnout i sdružováním výroby. Spotř. jedn. výr. faktorů Objem výrobku R Objem výrobku S
10 15 40
20 23 72
30 27 94
40 50 60 30 32 33 110 120 125
Individuální výroby jsou znázorněny prostřednictvím jednofaktorových produkčních funkcí, sdružená výroba obou výrobků pomocí křivek charakterizujících hranice výrobních možností. y 120
110
100
94
80
20
•
120 •
125 •
S
40 • 15 •
23 •
120 100
•
Hranice výrobních možností •A
60 50 40 30 •C
•B
80
72 •
60 40
yS
Produkční funkce
60 27 •
30 •
32 •
33 •
R
10 20 30 40 50 60
x1…k
20
40 20
10
•D E •
5 10 15 20 25 30 35
yR
Např. při spotřebě 40 jednotek výrobních faktorů prochází křivka hranice výrobních možností body A, B, C, D, E, přičemž v bodě A bylo všech 40 jednotek výrobních faktorů spotřebováno na výrobu výrobku S, kterého bylo vyrobeno 110 jednotek,
v bodě B bylo 30 jednotek výrobních faktorů použito k výrobě výrobku S, u něhož bylo bylo dosaženo objemu 94 jednotek, a zbývajících 10 jednotek výrobních faktorů bylo spotřebováno při výrobě 15 jednotek výrobku R, atd. Spotř. jednotek výr. faktorů Bod na křivce A B C D E
pro výr. R x 0 10 20 30 40
+ + + + +
pro výr. S x 40 30 20 10 0
Objem výroby výr. R výr. S yR yS 0 110 15 94 23 72 27 40 30 0
Je zřejmé, že v bodech A a E jde o oddělené individuální výroby, v bodech B, C a D jde o výrobu sdruženou, která umožňuje dosáhnout vyšší zisk než je zisk oddělených výrob. Je proto výhodné využívat kompletaci výrobků, uplatňovat servis, distribuci apod. Ekonomický přístup: cena jednotky výrobního faktoru X → pX = 10 (obecně může jít o jednotku spotřeby více výrobních faktorů) cena jednotky výrobku R → pR = 20 cena jednotky výrobku S → pS = 5 Náklady na spotřebu 40 jednotek výrobního faktoru: N = 40 ⋅ 10 = 400
Výnosy při oddělených výrobách a sdružené výrobě: A B C D E
VR = 0 ⋅ 20 = 0 15 ⋅ 20 = 300 23 ⋅ 20 = 460 27 ⋅ 20 = 540 30 ⋅ 20 = 600
VS = 110 ⋅ 5 = 550 94 ⋅ 5 = 470 72 ⋅ 5 = 360 40 ⋅ 5 = 200 0⋅5=0
V = 550 770 820 740 600
Zisk při oddělených výrobách a sdružené výrobě: A B C D E
ZA = 550 – 400 = 150 … oddělená výroba S ZB = 770 – 400 = 370 ZC = 820 – 400 = 420 sdružená výroba S + R ZD = 740 – 400 = 340 ZE = 600 – 400 = 200 … oddělená výroba R
⎬
Pokud by však při uváděných objemech výroby R a S platily ceny pR = 5, a pS = 20 (tzn. že se výrobku S, který je výše oceněn, při určité spotřebě výrobního faktoru vyrábí více), byla by ekonomicky vhodná pouze výroba výrobku S. Ze sdružené výroby a vyvození hranice výrobních možností vyplývají některé obecné závěry: Výroba je nejvíce efektivní, je-li na hranici výrobních možností. Při omezených zdrojích přináší zvýšení výroby jedněch výrobků snížení výroby výrobků jiných. Potvrzuje se tzv. zákon klesajících výnosů.
Př. 4: Optimální rozdělení omezeného výrobního faktoru
OPTIMÁLNÍ ROZDĚLENÍ OMEZENÉHO ZDROJE
Je hledáno optimální rozdělení jadrného krmiva pro výrobu mléka a výrobu vepřového masa při podmínce maximalizace výnosu. Spotřeba jadrného krmiva t 5 10 15 20 25 30
Výroba mléka tis. l 13 23 31 38 43 46
Výroba vepř.masa tis. kg 2,0 3,8 5,3 6,4 7,3 8,0
Model výroby mléka (A): Q mléko = 2,659 x - 0,0376 x 2 - mezní produkce Q M = 2,659 - 0,0752 x Model výroby vepřového masa (B): Q v.maso = 0,434 x - 0,0056 x 2 - mezní produkce Q M = 0,434 - 0,0112 x Celková spotřeba 30 tun jadr. krmiva k výrobě obou produktů. - cena 1 tis. litrů mléka 9 tis. Kč - cena 1 tis. kg živé hmotnosti prasat 35 tis. Kč (2,659 - 0,0376 x A) · 9 = (0,434 - 0,00112 x B) · 35 23,931 - 0,6768 x A = 15,19 - 0,392 x B x A + x B = 30 Výsledek: x A = 19,181 x B = 10,819
Optimální rozdělení jadrného krmiva při několika variantních cenách mléka a živé hmotnosti prasat: Cena 1 litru mléka 8 8 9 9
Varianta A B C D
Cena 1 kg živé hm. prasat 30 35 30 35
Množství jadrného krmiva v tunách pro dojnice pro prasata 19,552 10,448 17,957 12,043 20,726 9,274 19,181 10,819
Přehled variantních řešení doplňuje grafické znázornění, ve kterém podíly spotřeby použitého množství jadrného krmiva odpovídají průsečíkům čar charakterizujících peněžně vyjádřené mezní produkce. tis. Kč
peněžně vyjádřené mezní produkce
9
20
8
MLÉKO
16 12
B 8
VEPŘOVÉ MASO
4 0
0 30
5 25
35
D
C • •
30
A
10 15 20 20 15 10 spotřeba jadrné směsi v tunách
25 5
30 mléko 0 vepř. maso
Uvedená metoda optimálního rozmístění omezeného zdroje do několika výrobních činností je použitelná při řešení produkčních vztahů, kdy mezní produkce mají klesající tendenci, což je obvyklý případ.
