TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy Pokusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek Př. Změna skupenství vody při 100°C a tlaku 100 kPa Pokusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných pravidel různé výsledky, tj. výsledek závisí na náhodě Př. Hod kostkou, Ruleta, Sportka, Karty Def.: Náhodný pokus je pokus závisející nejen na předepsaných podmínkách, ale také na náhodě. Poznámka: Náhoda je soubor drobných, ne zcela zjistitelných vlivů, které způsobují změnu výsledku.
Náhodný jev = jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze rozhodnout, zda je pravdivé či nepravdivé Příklad: Náhodný pokus – hod kostkou Náhodný jev – padnutí stěny s číslem tři, padnutí sudého čísla Elementární jev – jev, který už nelze rozložit – příklad: Padnutí stěny s číslem 4 Nemožný jev – jev, který nikdy nenastane – příklad: Padnutí stěny s číslem 7 Jistý jev – jev, který vždy nastane – příklad: Padnutí jednoho z čísel 1–6 Značení jevu: velké písmeno, např. A A – jev A, A´ – jev OPAČNÝ, doplňkový – nastane právě tehdy, když nenastává jev A Příklad: A: Na kostce padne číslo 5. A´: Na kostce padne cokoliv kromě čísla 5.
Vztahy mezi jevy: Jev A je podjevem jevu B; jev A je částí jevu B značení: A ⊂ B Příklad: A: Hod čísla pět. B: Hod lichého čísla.
1
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Průnik jevů A, B značení: A ∩ B nastane právě tehdy, když nastanou jevy A, B současně Příklad: A: Padne číslo dělitelné 3. B: Padne liché číslo. A ∩ B: Padne číslo 3. Poznámka: Je-li A ∩ B = 0, pak nazýváme dané jevy neslučitelné. Sjednocení jevů A, B značení: A ∪ B nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů A, B Příklad: A: Padne číslo dělitelné 3. B: Padne liché číslo. A ∩ B: Padne právě jedno z čísel 1; 3; 5; 6.
Pravděpodobnost náhodného jevu Často si před náhodným pokusem klademe otázku, jaká je naděje (pravděpodobnost), že daný jev nastane. PRAVDĚPODOBNOST – zkoumá matematické zákonitosti projevující se v náhodných pokusech = míra očekávání, že daný náhodný jev nastane Některé pokusy mají n stejně možných výsledků 1 ⇒ každý výsledek má pravděpodobnost n Příklad: Padnutí čísla na kostce, vylosování konkrétního čísla některé pokusy nemají všechny výsledky stejně možné ⇒ po provedení velkého počtu pokusů lze zjistit, v kolika případech jev nastal a provést odhad pravděpodobnosti Příklad: Narození chlapce, výroba kvalitního výrobku
Klasická pravděpodobnost Má-li pokus n stejně možných elementárních výsledků, které se navzájem m vylučují, je pravděpodobnost číslo m - počet „příznivých“ výsl. P ( A) = n n - počet všech výsledků Příklad 1: Jaká je při hodu hrací kostkou pravděpodobnost, že padne stěna se sudým počtem bodů? Řešení: Příklad 2: V loterii je 5000 losů, z nichž 100 vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že váš zakoupený los vyhraje? Řešení:
2
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Příklad 3: Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajete ve sportce první cenu, vyplníte-li jednu sázenku? Uvažujeme pouze 6 tažených čísel z osudí 49 čísel. Řešení: Počet všech možných výsledků:
⎛ 49 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 13 983 816 ⎝6⎠
1. cena ⇔ uhodneme všech 6 tažených čísel Æ P =
1 = 0,000 000 072 13983816
Příklad 4: Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu třemi kostkami bude součet bodů 12? Řešení: Počet všech možných výsledků: 6 ⋅ 6 ⋅6 = 216 Některé součty mají různé výsledky, např. 6,5,1; 6,1,5; 5,1,6; 5,6,1; 1,6,5; 1,5,6 Æ 6 příznivých výsledků Součet 12:
P(12) =
6 6 6 3 3 1 + + + + + = 0,116 216 216 216 216 216 216
Statistická pravděpodobnost Nelze-li použít klasickou def. pravděpodobnosti, vycházíme z výsledků již provedených pokusů a k odhadu pravděpodobnosti využijeme statistiku. Statistická pravděpodobnost je založena na relativní četnosti jevů při dostatečně velkém počtu na sobě nezávislých pokusů. n(A) - počet pokusů, ve kterých jev A nastal n( A) P( A) ≈ n - celkový počet pokusů n Příklad: Při 4 040 hodech mincí padl rub 2 048×, při 12 000 hodech 6 019×, při 24 000 hodech 12 012×. Proveďte odhad pravděpod. padnutí rubu mince Řešení:
3
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Věty o pravděpodobnosti V1: Každému náhodnému jevu A je přiřazena pravděpodobnost P(A); 0 ≤ P(A) ≤ 1. V2: Pravděpodobnost jistého jevu je 1. Pravděpodobnost nemožného jevu je 0. V3: Pravděpodobnost sjednocení neslučitelných jevů je součet pravděpodobností těchto jevů. Poznámka: Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při tahu sportky bude taženo alespoň jedno jednociferné číslo? Řešení: P( A) = 1 − P(A ) P( A) = 1− 0,274 P( A) = 0,726
⎛ 40 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 6 P( A ) = ⎝ ⎠ = 0,274 ⎛ 49 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝6⎠
Cvičení: Příklad 1: Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu dvěma kostkami bude součet 6? Je tato pravděpodobnost větší než u součtu 7? Příklad 2: Ve třídě je 40 žáků, z toho 25 dívek a 15 chlapců. Náhodně vylosujeme 2 žáky. Jaká je pravděpodobnost, že to bude 1 chlapec a 1 dívka? Příklad 3: Jaká je pravděpodobnost výhry páté ceny ve sportce (3 čísla ze 6 tažených), je-li 13 983 816 možných výsledků losování? Příklad 4: V bedně je 30 výrobků, z nichž 3 jsou vadné. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 5 náhodně vybranými výrobky bude nejvýš 1 vadný. Příklad 5: 40 studentů má být náhodně rozděleno na 4 stejně početné skupiny. Mezi studenty jsou i Adam a Eva. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba zařazení do téže skupiny?
Pravděpodobnost sjednocení Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem neslučitelných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností: P ( A ∪ B) = P( A) + P(B ) Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem slučitelných jevů je rovna:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B )
4
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Příklad: Hodíme dvěma kostkami – bílou a modrou. Jev A – na bílé padne číslo ≥ 3, jev B – na modré padne číslo ≤ 3. S jakou pravděpodobností nastává jev A; jev B; jev A i B současně; jev A nebo jev B? Řešení: Počet všech možných výsledků: 6 ⋅ 6 = 36 a) na bílé kostce padne číslo ≥ 3 Počet příznivých výsledků: 4 ⋅ 6 = 24 b) na modré kostce padne číslo ≤ 3 Počet příznivých výsledků: 4 ⋅ 6 = 24 c) na bílé kostce padne číslo ≥ 3 a na modré číslo ≤ 3 Počet příznivých výsledků: 4 ⋅ 3 = 12 d) na bílé kostce padne číslo ≥ 3 nebo na modré číslo ≤ 3 – nezávislé jevy
Cvičení: Příklad 1: V tombole se prodalo 500 slosovatelných lístků, ze kterých pět vyhrává 1. cenu, deset 2. cenu a čtyřicet 3. cenu. Jaká je pravděpodobnost výhry na právě jeden zakoupený lístek? Příklad 2: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne alespoň na jedné kostce šestka? Příklad 3: Ve třídě je 70 % chlapců a 30 % dívek. S vyznamenáním studuje 20 % chlapců a 10 % dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák studuje s vyznamenáním?
5
