90
POZORUHODNÉ LOGICKÉ SYSTÉMY (I) HINTIKKOVA "LOGIKA PODPORUJÍCÍ NEZÁVISLOST" Jaroslav P E R E G R I N * V 1. a 2 . ročníku O R G A N O N u Pavel Cmorej v e s v ý c h Kapitolách
z logické
syntaxe
předváděl, j a k j e přirozený j a z y k m o ž n é nahlížet prismatem 'standardní' logiky. H i s t o ricky o v š e m neexistuje j e d n a logika, a l e různé l o g i c k é systémy, které s p o l u č á s t e č n ě soupeří (tak j a k o třeba klasická a intuicionistická logika), č á s t e č n ě j e d e n druhý rozšiřují (jako třeba klasický v ý r o k o v ý a klasický predikátový p o č e t ) či s e n a v z á j e m doplňují (jako například m o d á l n i a temporální logika). T o c o j e v l o g i c e o b e c n ě přijímáno z a standard, j e fakticky v ý s l e d k e m interakce a soutěžení různých neustále vznikajících systémů. V t o m t o čtyřdílném seriálu b y c h chtěl čtenářům O R G A N O N u přiblížit několik l o g i c k ý c h systémů, které b y l y vytvořeny či 'oprášeny' v n e d á v n é d o b ě a j e j i c h ž vztah k l o g i c k ý m standardům j e zatím v e stádiu diskuse. Jejich s p o l e č n ý m j m e n o v a t e l e m j e to, ž e j s o u nějak zajímavé právě z hlediska analýzy přirozeného jazyka. První z e systémů, kterému s e budu věnovat, takzvaná independence-friendly logic (zkráceně IFL; "logika podporující nezávislost")' navržená f i n s k ý m l o g i k e m a f i l o s o f e m Jaakko Hintikkou, vzbudil v n e d á v n é d o b ě poměrně v e l k ý rozruch. Jeho autor h o prezentoval s tvrzením, ž e de facto vyvrací s l a v n o u Tarského větu stanovící, ž e ž á d n ý konzistentní j a z y k není s c h o p e n vyjádřit s v o u vlastní pravdivost. P o d í v e j m e s e nejprve na to, j a k to s tímto vyvrácením j e . Paradox lháře z n á každý: řeknu-li "Právě t e ď lžu", pak, j a k s e zdá, z předpokla du pravdivosti m é h o výroku v y p l ý v á j e h o nepravdivost a naopak. O b e c n ě j e tento paradox v y v o l á v á n v ět ou , která s a m a o s o b ě tvrdí, ž e j e nepravdivá - to j e s t , m ů ž e m e říci, větou Já nejsem pravdivá. Jakmile m o h u v nějakém j a z y c e takovou větu f o r m u l o vat, m á m paradox lháře a příslušný j a z y k j e tedy rozporný 2 . C o j e potřeba k t o m u , a b y c h m o h l v nějakém j a z y c e takovýto 'lhářovský výrok' formulovat? Zřejmě potřebuji ( i ) nějaký prostředek, který mi d o v o l í v rámci v ě t y pojmenovat tuto větu s a m u ("já"), (ii) negaci ("ne"), a (iii) predikát pravdivosti ("být pravdivý"). K d y k o l i t ed y j a z y k o b s a h u j e tyto tři prostředky ( a gramatickou m o ž n o s t z nich sestavit inkriminovanou větu), j e nutně nekonzistentní' 1 . Tarského v ě t u nyní m ů ž e m e vidět j a k o v podstatě triviální důsledek t o h o t o faktu: obsahuje-li j a z y k n e g a c i a m o h o u - l i v n ě m v ý r o k y referovat k s o b ě sama, n e m ů ž e , nemá-li být sporný, o b s a h o vat predikát pravdivosti. Paradox je o v š e m , teoreticky vzato, zřejmě m o ž n é blokovat i tak, ž e j a z y k u o de p ř e m e některý j i n ý z potřebných prostředků. P o n ě k u d problematické j e to s (i), protože j a k ukázal G ô d e l , j a k m i l e j e náš j a z y k s c h o p e n vyjádřit elementární
ORGANON F 7 (2000), No. 1, 90-96 Copyright © Filozofický ústav SA V, Bratislava
91
HINTIK.KOVA "LOGIKA PODPORUJÍCÍ NEZÁVISLOST"
aritmetiku, j e ( i ) triviálně splněn' 1 . M o h l i b y c h o m a l e j a z y k u samozřejmě odepřít n e g a ci - a t o j e právě to, c o d ě l á Hintikka. IFL tedy m ů ž e o b s a h o v a t svůj vlastní predikát pravdivosti prostě proto, ž e neobsahuje negaci (přesněji ř e č e n o obsahuje j e n o m 'nega ci', která není aplikovatelná n a každou větu). Z t o h o t o p o h l e d u tedy j e h o 'vyvrácení Tarského' v y p a d á j a k o h o d n ě laciný trik. Tak j e d n o d u c h é t o ale s Hintikkovou l o g i k o u přece j e n o m není - to, ž e IFL n e o b s a huje skutečnou negaci není j e n o m ad hoc tahem směřujícím k blokování paradoxu lháře;j e v ý s l e d k e m Hintikkových ú v a h o p o v a z e logiky. Hintikkova IFL v z n i k l a n a základě úvah o tzv. 'herní' (game-theoretical) séman tice pro standardní predikátový počet, kterým s e tento autor v ě n o v a l p o dlouhá desítiletí^. T a k o v o u sémantiku m ů ž e m e v y b u d o v a t následujícím z p ů s o b e m : S každým (interpretovaným) v ý r o k e m V predikátového p o č t u s p o j í m e hru H [ pro dva hráče (které b u d e m e nazývat 'Já' a 'Příroda') následujícím z p ů s o b e m 6 : I.
H[/?(/,,...,ř„)] probíhá tak, ž e j s o u - l i t,,...Jn
v relaci R, v í t ě z í m J á , jinak vítězí
Příroda. II. H [ - i ľ] probíhá tak, ž e si nejprve Já a Příroda v y m ě n í m e role, a pak s e hraje H[V). III. H[K,A KJ probíhá tak, ž e Příroda vybere j e d e n z výroků Vx, V2 a hraje s e j e m u příslušní hra. IV. H [ K , v V2] probíhá tak, ž e Já vyberu j e d e n z výroků Vv V2 a hraje s e j e m u příslušná hra. V. probíhá tak, ž e Já z v o l í m prvek a univerza a hraje s e H[V(a)]. VI. probíhá tak, ž e Příroda z v o l í prvek a univerza a hraje s e H [V(a)l Tak například hra s p o j e n á s v ý r o k e m VjcVzByBw R(x,z,y,u) 1. Příroda 2. Příroda
probíhá následovně:
v o l í prvek x v o l í prvek z .
3. Já v o l í m prvek y. 4 . Já v o l í m prvek u. 5. Jsou-li x, z, y, u v e vztahu R, v í t ě z í m Já, j i n a k vítězí Příroda. N y n í s e d á s n a d n o ukázat, ž e výrok V j e pravdivý ( v klasickém s m y s l u ) právě tehdy, k d y ž m á m Já vít ězn ou strategii v e hře H[K], a j e nepravdivý právě tehdy, k d y ž m á vítěznou strategii Příroda. Herní sémantika klasického predikátového počtu j e tedy v tomto s m y s l u ekvivalentní sém an t ice standardní. IFL nyní v z n i k n e tak, ž e s e v "herně" interpretovaném predikátového p o č t u při pustí m o ž n o s t 'utajování' předchozích tahů. T o znamená, ž e s e připustí i hry, při kterých n e m á j e d e n z aktérů v m o m e n t ě s v é h o tahu d o k o n a l o u z n a l o s t o p ř e d c h o z í c h tazích s v é h o protivníka. Hry t o h o t o n o v é h o typu b u d e m e o z n a č o v a t p o m o c í n o v é h o
92
Jaroslav PEREGRIN
druhu formulí využívajících symbolu tak, ž e napíšeme-li bude t o znamenat 'aktér tahu T2 neví, j a k j e h o protihráč předtím provedl tah 7y. Tak například hra s p o j e n á s výrokem VJCVZ 3yN z 3uN x R(x,z,y,u) probíhá následovně: 1. 2. 3. 4. 5.
Příroda volí p r v e k * . Příroda volí prvek z. Já v o l í m p r v e k y , aniž přitom vím, jaké z bylo zvoleno Přírodou. Já v olím prvek u, aniž přitom vím, jaké x bylo zvoleno Přírodou. Jsou-li x, z, y, u v e vztahu R, vítězím J á , jinak vítězí Příroda.
V e z m ě m e například výrok ( 1 ) klasického predikátového počtu a výrok ( 2 ) IFL. ( 1 ) VjrVzByBu ( O b d i v u j e ( X . ý ) A Obdivuje(z,U) A (yžu)) ( 2 ) V J I V Z 3yNz 3uN z (Obdivuje^,y) A Obdivuje(z,U)
A
(yžu))
Představme si, ž e m á m e univerzum tvořené třemi individui, o z n a č m e j e A , B a C, a předpokládejme, ž e každé z těchto individuí obdivuje zbývající dvě. T o zna mená, ž e A obdivuje B a C B obdivuje A a C C obdivuje A a B Pak zřejmě platí, ž e výrok j e ( 1 ) j e pravdivý. Tento výrok j e totiž očividně prav divý právě tehdy, k d y ž si kterákoli d v ě individua m o h o u zvolit reprezentanty s v ý c h 'obdivovanců' tak, aby s e neshodla. (Tak například dvojice A a B t o m ů ž e udělat tak, ž e A zvolí B a B zvolí A . ) Jak t o j e s výrokem (2)? T e n j e , řekli j s m e , podle definice pravdivý právě tehdy, mám-li Já v příslušné hře vítěznou strategii; t o znamená jsem-li na každý výběr x a z učiněný Přírodou schopen odpovědět takovým výběrem y a u, aby platilo (Obdivuje(JCJ') A O b d i v u j e ( z , u ) A iy£u)). Svoji volbu y o v š e m m o h u provést j e n o m na základě znalosti toho, j a k é x z v o l i l a Příroda, b e z znalosti toho, j a k é zvolila z; a p o dobně u musím zvolit j e d i n ě na základě znalosti z , nikoli x. T o znamená, ž e nutnou podmínkou toho, abych měl vítěznou strategii, j e existence takových přiřazení / a g prvků univerza prvkům univerza, aby když pro jakoukoli volbu x a z stanovím y j a k o J[x) a M j a k o g(z), bude platit ( O b d i v u j e ^ , ý ) A Obdivuje(z,U) A (yču)). Jinými slovy, ( 2 ) j e pravdivý právě tehdy, když (2') 3J3gVxVz
(Obdivuje(x,yí;r)) A O b d i v u j e ( z , g(z)) A ( / W * g ( z ) ) .
T o znamená, ž e ( 2 ) j e pravdivý tehdy a j e n tehdy, když existují d v ě přiřazení obdivovaných obdivujícím, která mají disjunktní obory hodnot - a t o v případě naší interpretace zjevně splněno není.
93
HINTIKKOVA "LOGIKA PODPORUJÍCÍ NEZÁVISLOST"
Výrok (2') b u d e m e nazývat skolemizací výroku (2); a funkcím / a g v e (2') o b saženým b u d e m e říkat S k o l e m o v y funkce 7 A b y c h o m nahlédli, j a k ý podstatný rozdíl j e mezi ( 1 ) a (2), u v e ď m e příslušnou skolemizaci výroku (1): ( ľ ) 3 / 3 g V x V z ( O b d i v u j e ( ^ , z ) ) A Obdivuje(z,g(.x,z)) A (f[x, z)*g(x,
z))
Rozdíl j e tedy v tom, ž e zatímco S k o l e m o v y f u n k c e o b s a ž e n é v (2') j s o u j e d noargumentové, ( ľ ) vyžaduje dvouargumentové S k o l e m o v y funkce. Z a jakých podmínek m á v e hře odpovídající ( 2 ) vítěznou strategii Příroda? Zřejmě tehdy, když m ů ž e zvolit taková d v ě individua x a z, aby (Obdivuje(;c,y) A O b d i v u j e ( z , « ) A (yŕu)) neplatila pro žádné y a u\ a t o zřejmě nastává právě tehdy když existují d v ě individua, která si n e m o h o u m e z i s v ý m i obdivovanci vybrat tak, aby s e neshodla. T o však zřejmě v naší interpretaci opět neplatí - t o j e totiž s p l n ě n o právě tehdy, když j e výrok ( 1 ) nepravdivý ( a ( 2 ) s e tedy shoduje s ( 1 ) c o d o p o d m í n e k n e pravdivosti; jakkoli s e s n í m neshoduje c o d o podmínek pravdivosti). V ý r o k ( 2 ) t e d y není nepravdivý; a t o znamená, ž e není, n a rozdíl o d (1), ani pravdivý, ani nepravdivý. (Příslušná hra j e tedy vlastně, n a rozdíl o d hry příslušné kterémukoli výroku stan dardní logiky 1. řádu, 'férová' v t o m smyslu, ž e ani j e d e n hráč není v předem b e z nadějné pozici.) Podmínky pravdivosti ( 2 ) j s m e , j a k j s m e viděli, schopni stanovit prostřednictvím jistého výroku predikátového počtu druhého řádu (totiž (2')). D á s e ukázat, ž e tohle platí obecně: pro každý výrok V IFL existuje výrok V* klasického predikátového počtu 2 . řádu ( a t o výrok typu Z , 1 , t o j e s t výrok tvořený řetězcem druhořádových e x i s tenčních kvantifikátorů následovaným prvořádovou formulí) tak, ž e V j e pravdivý, právě k d y ž j e V* pravdivý. ( A v š a k neplatí, ž e F j e nepravdivý, právě k d y ž j e V* n e pravdivý!) Z tohoto faktu pak m i m o j i n é z j e v n ě vyplývá, ž e výrok IFL m á v IFL nega ci, právě když j e ekvivalentní výroku 1. řádu. (Důkaz; B u ď V výrok IFL, který není výrokem klasické logiky 1. řádu. Předpokládejme, ž e m á v IFL negaci NV. B u ď V formule predikátového počtu druhého řádu zachycující pravdivostní p o d m í n k y V. Pak negace V zachycuje pravdivostní podmínky NV. A v š a k tato n e g a c e zřejmě není výro kem typu Z , ' ani n e m ů ž e být ž á d n é m u takovému výroku ekvivalentní. Spor.) Proč j e IFL zajímavá? Bezesporu zajímavá j e z čistě formálního hlediska; m á totiž některé pozoruhodné metalogické vlastnosti. T o u nejpozoruhodnější j e sa mozřejmě její schopnost vyjádřit svůj vlastní predikát pravdivosti, o které j s m e h o vořili n a počátku (jakkoli tato vlastnost, j a k j s m e naznačili, není z a s e natolik pozoruhodná, jak m á tendenci prohlašovat Hintikka). N a z n a č m e , j a k m ů ž e b ý t v rámci IFL tento predikát definován (rigorózní d e fin ice j e relativně složitá a j e j i m o ž n é najít např. u Hintikky, 1997): Jak ukázal Tarski, predikát pravdivosti pro standardní logiku m ů ž e m e definovat v j i s t é m v h o d n é m metajazyce (přičemž, a t o j e důsledkem Tarského věty z m i ň o v a n é v úvodu tohoto pojednání, tento metajazyk musí být v podstatném s m y s l u 'bohatší' n e ž ja zy k objektový). Pro IFLj e v h o d n é vzít z a metajazyk predikátový p o č e t 2 . řádu:
94
Jaroslav PEREGRIN
v ý š e j s m e naznačili, j a k j e m o ž n é prostřednictvím výroků této l o g i k y vyjadřovat p o d m í n k y pravdivosti výroků j a k é k o l i teorie v rámci IFL; a hledaná d e f i n i c e pre dikátu pravdivosti pro IFL j e pak v podstatě konjunkcí o b e c n ý c h principů k o n struování t a k o v ý c h vyjádření*. Jak o v š e m Hintikka ukazuje, b u d e tato d e f i n i c e v ý r o k e m typu Z , ' , a b u d e tak přeložitelná d o IFL. T a k d o s t a n e m e vyjádření predikátu pravdivosti pro IFL v IFL ( c o ž j e o v š e m , j a k j s m e řekli n a začátku, m o ž n é j e n o m d í k y tomu, ž e v IFL neexistuje kontradiktorická n e g a c e ) . Přes tuto dramatickou o d l i š n o s t o d klasického predikátového počtu si IFL z a c h o v á v á některé příjemné vlastnosti predikátového počtu prvního řádu. J e totiž kom paktní (to j e s t jakákoli n e k o n e č n á teorie f orm u lova ná v j a z y c e této l o g i k y j e konzistentní právě tehdy, k d y ž j e konzistentní každá její k o n e č n á p o d m n o ž i n a ) ; a n a v í c m á i tzv. Lôwenheimovu-Skolemovu vlastnost (teorie v j e j í m j a z y c e j e splni telná, j e - l i splnitelná v e struktuře s e s p o č e t n ý m univerzem). T o , č í m IFL platí z a za c h o v á n í těchto 'příjemných' vlastností, j e (sémantická) neúplnost: m n o ž i n a j e j í c h platných formulí není rekurzivně vyčíslitelná 9 . Hintikka j e o v š e m p řesvěd čen , ž e I F L není z d a l e k a zajímavá j e n o m z t o h o t o formálního hlediska. Tvrdí totiž, ž e prostředky, které n á m poskytuje a které chybí v klasické logice, j s o u potřeba k adekvátnímu z a c h y c e n í t o h o , c o skutečně říkáme. P o d l e Hintikky m á totiž t a k o v á v ě t a j a k o ( 3 ) N ě j a k ý příbuzný k a ž d é h o v e s n i č a n a a nějaký příbuzný k a ž d é h o měšťana s e nenávidí, alespoň j e d e n legitimní v ý z n a m takový, ž e h o n e l z e zachytit j i n a k n e ž prostřednictvím výroku IFL, totiž: 3uNx (Vesničan(^) A Měšťan(z) Příbuzný(z,u) A Nenávidí-se(y,w))
( 3 * ) VJCVZ 3 Y / V z
A
Příbuzný^,y)
A
Zvláště n e z b y t n ou j e p o d l e Hintikky IFL pro adekvátní artikulaci toho, c o říkáme v matematice: p o d l e něj existuje c e l á řada z c e l a zásadních matematických pojmů, které n e l z e vyjádřit v rámci predikátové l o g i k y 1. řádu. ( T a k o v é p o j m y o v š e m j i s t ě lze vyjádřit v rámci l o g i k y 2 . řádu - Hintikka o v š e m p o v a ž u j e IFL, z d ů v o d ů u v e d e n ý c h v ý š e , z a m n o h e m přijatelnější n e ž p l n o u logiku 2 . řádu.). V e z m ě m e například pojem, který Frege ( 1 8 8 4 ) vyjadřuje termínem "gleichzählig" ( a o který s e opírá při s v é explikaci p o j m u čísla): j d e o vztah, v e kterém j s o u d v ě vlastnosti právě tehdy, k d y ž j e m á stejný p o č e t individuí, t o j e s t k d y ž mají j e j i c h e x t e n z e stejnou mohutnost. D á s e dokázat, ž e neexistuje ž á d n á f o r m u l e l o g i k y 1. řádu, která b y b y l a d a n o u inter pretací s p l ň o v á n a právě tehdy, k d y ž s e rovnají mohutnosti extenzí predikátů P a Q. Hintikka naproti t o m u ukazuje, ž e f o r m u l e IFL ( 4 ) V x V z 3yNz3uNx
((P(*)
Q ( y ) ) A ( Q (Z) - > P (u)) A ((y=z) <-> ( u = x ) ) )
95
HINTIKKOVA "LOGIKA PODPORUJÍCÍ NEZÁVISLOST"
j e splněna právě v t o m t o případě. P r o č t o m u tak j e , j e patrné z následující úvahy. Skolemizací ( 4 ) d o s t a n e m e formuli (4') 3 y 3 g V * V - ((P(x)
-> Q(Ax))
A (Q(z) -» P(g(z)))
A {(J[X)=Z) ^
(g{z)=x))),
která, j a k s n a d n o nahlédneme, neříká n i c j i n é h o n e ž to, ž e existuje v z á j e m n ě j e d n o z n a č n é zobrazení e x t e n z e P na e x t e n z i Q. (První konjunkt konstatuje, ž e / z o b r a z u j e prvky e x t e n z e P na prvky e x t e n z e Q; druhý říká, ž e g zobrazuje prvky e x t e n z e Q n a prvky e x t e n z e P, a třetí pak konstatuje, ž e / a g j s o u v z á j e m n ě inverzní zobrazení.) T o h l e v e d e Hintikku k závěru, ž e j e t o právě IFL, c o j e t o u nejvhodnější l o g i k o u jak pro analýzu přirozeného jazyka, tak pro budování základů matematiky: neustále d o k o n c e hovoří o revoluci v logice10. M y j s m e o v š e m upozornili n a to, ž e j a k k o l i j e IFL zajímavá, takováto prohláiení j e třeba brát s j i s t o u rezervou.
POZNÁMKY ' Práce na tomto textu byla podpořena grantem G A A V Č R číslo 401/99/0619. ' V i z Hintikka (1996a; 1997). S filosofickým pozadím Hintikkova přístupu měli čtenáři ORGANONu možnost se seznámit prostřednictvím Kolářova překladu jedné z Hintikkových fi losofičtěji orientovaných statí (viz Hintikka 1996b). 'Připomeňme, že právě tohle, i když v poněkud zakuklené podobě, ukázal v roce 1902 Bertrand Russell Fregovi o jazyce j e h o logiky (viz Frege(1976)). Russell totiž přišel na to, že v rámci Fregova systému j e možné definovat pojem P tak, aby pro každý pojem p platilo P(p) —ip(p). Pojem P j e tedy vlastně pojmem 'nespadání pod sebe sama' - P(p) říká, že p nespadá pod sebe sama. V tomto smyslu tedy platí, že výrok P(P) říká, že P nespadá pod sebe sama; tento výrok j e ale současně zřejmě přímým konstatováním toho, ž e P pod sebe sama spadá a vlastně tedy sám o sobě říká, podobně 'lhářovský výrok', ž e není pravdivý. "Někdy se navíc uvádí, ž e j e potřeba, aby v příslušném jazyce platila standardní logika tento požadavek j e ovšem podle mne obsažen j i ž v požadavcích uvedených. Podle mého názoru nedává smysl si představovat, že nějaký výraz by mohl znamenat totéž, co naše "ne" a přitom se neřídit zákony naší logiky. J GOdel totiž ukázal, že pro každý (spočetný) jazyk nutně existuje jednoznačné přiřazení čísel všem výrazům; a j e - l i příslušný jazyk schopen vyjádřit aritmetiku, konkrétněji disponuje-li jmény pro přirozená čísla, můžeme právč tato j m é n a brát j a k o pojmenování j e h o výrazů. * Viz například j i ž Hintikka (1973). ' Několik poznámek k notaci, kterou budu zde i v následujících pokračováních užívat: Symboly s fixovanou interpretací píšu tučně, zatímco symboly, jejichž intepretace fixována není, píšu kurzívou. (To znamená, že kurzívou píšu j a k proměnné, tak ale i ty extralogické kon stanty, které jsou brány j a k o nespecifikované - takže píšu například " 3 x 3 y Obdívuje(xj')", ale "pro nějaký predikát R platí 3x3y R(xy)"). Dále: P(x) znamená predikát P aplikovaný n a proměnnou x\ zatímco V[x] znamená výrok V obsahující proměnnou x\ a následuje-li v jedné větě po symbolu V[x] symbol F[y], označuje ten druhý, j a k bývá zvykem variantu výroku V obsahující tam, kde V obsahuje x. 1 Upozorněme, ž e to není zcela standardní terminologie. Skolemizací (2) by se totiž ob vykle nazývala nikoli (2'), což j e výrok predikátového počtu 2. řádu, ale obdobná formule bez úvodních dvou existenčních kvantifikátorů.
96
Jaroslav PEREGRIN
"Definice pravdivosti pro IFL ovšem není dokonalou analogií Tarského definice pro stan dardní logiku. Vzhledem k tomu, že pro IFL obecně neplatí zákon vyloučení třetího, totiž zřejmě není možné pro každou teorii v rámci IFL definovat predikát pravdivosti P r tak, aby z této defi nice pro každý výrok V a j e h o GOdelovo číslo V vyplývala ekvivalence Pr(f <-> V*. kde V* j e 'stoprocentním' překladem V do metajazyka. (Platnost této ekvivalence totiž zřejmé implikuje, že pro V*, a potažmo pro V, platí zákon vyloučení třetího.) C o možné j e , j e definovat Pr tak, aby výše uvedená ekvivalence platila vždy v případé, ž e V* j e oním vyjádřením podmínek pravdivosti V v logice druhého řádu, o jakých j s m e hovořili výše. V každém případě pak bude Pr(f F ] ) platit tehdy a j e n tehdy, když j e f V\ GOdelovým číslem pravdivého výroku takže dává i přes tuto odchylku stále dobrý smysl mluvit o definici pravdivosti. Hledaná defi nice j e pak analogická klasické Tarského definici. ' Čtenář, který zná tzv. LindstrOmovu včtu (viz LindstrOm, 1969), se může podivovat, zda j e tohle skutečně možné - LindstrOmova věta totiž říká, ž e klasický predikátový počet nelze ne triviálně rozšířit, aniž bychom tím přišli b u ď o kompaktnost nebo o LOwenheimovu-Skolemovu vlastnost. K tomu j e třeba si uvědomit, že IFL není rozšířením klasické logiky v Lindstrůmově smyslu, protože neobsahuje klasickou negaci. Jestliže k ní negaci přidáme, j a k o LOwenheimo vu-Skolemovu vlastnost, tak o kompaktnost přijdeme. "'Hintikkovu argumentci v Čechách převzal Jiří Fiala (1997). Podrobnější kritiku tohoto stanoviska lze nalézt v m é polemické reakci n a Fialův článek (Peregrin, 1998). Viz též pole mické reakce Hájka a Sochora (1998) a Hájka (1998).
LITERATÚRA [1]
FIALA, J. (1997): Je elementární logika totéž co logika prvního řádu? In: Pokroky matematiky fyziky a astronomie 42, 127-133. [2] FREGE, G. (1884): Grundlagcn der Arithmetik. Koebner, Breslau. [3] FREGE. G. (1976): Wíssenschaf tlicher Briefwechsel (ed. G. Gabriel et al ). Meiner, Hamburg. [4] HÁJEK, P. - SOCHOR, A. (1998): Klasická logika v kontextu svých zobecnění. Pokroky matematiky fyziky a astronomie 43, 39-45. [5] HÁJEK, P. (1998): Ještě o elementární logice. Pokroky matematiky fyziky a astronomie 43, 324-325. [6] HINTIKKA, J. (1973): Logic, Language-Games and Information. Clarendon Press, Oxford. [7] HINTIKKA, J. (1996a): Contemporary Philosophy and the Problem o f T r u t h . Acta Philosophica Fennica 61 (Methods of Philosophy and the History of Philosophy, ed. S. Knuttila a I. Niiniluotto). Český překlad Organon F 4 (1997), 137-154. [8] HINTIKKA, J. (1996b): T h e Principles of Mathematics Revisited. Cambridge University Press, Cambridge. [9] HINTIKKA, J. (1997): Lingua Universalis vs. Calculus Ratiocinatur (Selected papers, vol. 2). Kluwer, Dordrecht. (Zvláště článek Defining Truth, the Whole Truth and Nothing But T ruth původně publikovaný v r . 1991) [ 10] LINDSTRĎM, P. (1969): On Extensions of Elementary Logic. Theoria 35, 1-11. [11] PEREGRIN, J (1998): C o j e to elementární logika? Pokroky matematiky fyziky a astronomie 43, 45-47.
