MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta
Katedra matematiky
Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce
Brno 2006
Kateřina Rábová
Prohlášení Prohlašuji, že tato bakalářská práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracovala samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování používala nebo z nich čerpala, v práci řádně cituji s uvedením úplného odkazu na příslušný zdroj.
Vedoucí práce: RNDr. Pavel Šišma
2
Obsah Prohlášení ...................................................................................................................................2 Obsah ..........................................................................................................................................3 Posloupnosti ...............................................................................................................................4 Pojem posloupnosti................................................................................................................4 Rekurentní určení posloupnosti .............................................................................................8 Některé vlastnosti posloupností ...........................................................................................10 Aritmetické a geometrické posloupnosti...................................................................................14 Aritmetické posloupnosti .....................................................................................................14 Užití aritmetických posloupností .........................................................................................19 Geometrické posloupnosti ...................................................................................................21 Užití geometrických posloupností .......................................................................................26 Vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností .....................................................28 Limity posloupnosti ..................................................................................................................30 Výsledky a návody k řešení úloh...............................................................................................37 Seznam zkratek a značek...........................................................................................................43
3
Posloupnosti Pojem posloupnosti Funkce, jejíž definiční obor je množina N všech přirozených čísel nebo její podmnožina typu {1, 2, …, k}, kde k ∈ N, se nazývá posloupnost. Posloupnost (a n )n =1 , jejíž definiční obor je množina N se nazývá nekonečná posloupnost. ∞
Posloupnost (a n )n =1 , jejíž definiční obor je množina {1, 2, …, k} se nazývá konečná k
posloupnost. Příklad 1 V soustavě souřadnic v rovině na obrázku (Obr. 1) je zobrazeno prvních sedm členů jisté nekonečné posloupnosti (a n )n =1 . Vypište je: ∞
3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
-1 -2
Obr. 1
Řešení a1 = −1, a 2 = 0 , a3 = 1, a 4 = −2 , a5 = 1, a 6 = 2 , a 7 = 3 . Příklad 2 Vypočtěte prvních šest členů posloupnosti zadané vzorcem pro n-tý člen (3n )n =1 . ∞
Řešení První člen posloupnosti je hodnota funkce f v bodě n = 1, po dosazení do vzorce dostaneme f (1) = 3 ⋅ 1 = 3 . První člen posloupnosti je tedy a1 = 3 .
4
Dále: n = 2 n = 3 n = 4 n = 5
f( 2 ) = a 2 = 3 ⋅ 2 = 6
n = 6
f( 6 ) = a 6 = 3 ⋅ 6 = 18
f( 3 ) = a3 = 3 ⋅ 3 = 9 f( 4 ) = a 4 = 3 ⋅ 4 = 12 f( 5 ) = a5 = 3 ⋅ 5 = 15
Prvních šest členů posloupnosti jsou tedy čísla 3, 6, 9, 12, 15, 18. Příklad 3 Určete vzorcem n-tý člen posloupnosti posloupnost zadanou několika prvními členy: 3, –3, 3, –3, 3, –3, … Řešení Vidíme, že a1 = a3 = a5 = … = a 2 n +1 = 3 a a 2 = a 4 = a6 = … = a 2 n = −3 , tj. liché a sudé členy posloupnosti se liší pouze ve znaménku. Vidíme, že základem bude číslo 3 a bude násobeno mocninou čísla –1. Protože u sudých členů je lichá mocnina čísla –1 musí být mocnitel tvaru n + 1. Tvar n-tého členu posloupnosti je a n = (− 1)
n +1
⋅3.
Grafem posloupnosti (a n )n =1 je množina navzájem izolovaných bodů A1, A2, …, An, …, ∞
přičemž An má souřadnice [n,an], kde n ∈ N, an ∈ R. Grafem konečné posloupnosti (a n )n =1 je konečná množina navzájem izolovaných bodů k
A1, A2, …, An, …, Ak přičemž An má souřadnice [n,an], kde n ∈ N, an ∈ R.
Příklad 4 ∞
⎛n⎞ Znázorněte prvních 5 členů posloupnosti ⎜ ⎟ . ⎝ 2 ⎠ n =1
Řešení
a1 =
1 3 5 , a 2 = 1, a3 = , a 4 = 2, a5 = . Znázornění těchto členů je na obrázku (Obr. 2). 2 2 2
5
2,5 2 1,5 1 0,5 0 0
1
2
3
4
5
Obr. 2
Cvičení 1.
Překreslete si do sešitu následující tabulky a doplňte je: n
1
2
3
n!
1
2
6
1
n sin
2.
nπ 2
4
2
3
0
–1
5
4
6
5
7
8
6
7
∞
d) (2 n )n =1
Napište prvních pět členů těchto posloupností: ∞
∞
nπ ⎞ ⎛ c) ⎜ cos ⎟ 2 ⎠ n =1 ⎝
⎛ n(n − 1) ⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ n =1
⎛1⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ n =1
5
3. Vypište prvních šest členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen:
⎛ 2n a) ⎜⎜ ⎝ n
(
∞
⎞ ⎟⎟ ⎠ n =1
b) ⎛⎜ ⎝
d) 2 n + (− 2) 4.
)
n ∞ n =1
((
n
(
∞
c) (− 2)
n =1
) )
e) 1n + (− 1) ⋅ n n
)
n ∞ n =1
∞ n =1
Vypište prvních šest členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen: ∞
nπ ⎞ ⎛ a) ⎜ cos ⎟ 4 ⎠ n =1 ⎝
5.
( 2 ) ⎞⎟⎠
∞
nπ ⎞ ⎛ b) ⎜ 3 sin ⎟ 3 ⎠ n =1 ⎝
Napište prvních deset členů posloupnosti h, která je dána takto, h(n) = 0, je-li n mocninou čísla 2, a h(n) = 1, není-li n mocninou čísla 2. Máme na mysli mocninu s přirozeným exponentem.
6
6.
Najděte vyjádření n-tého členu konečné posloupnosti: 1 2 3 4 5 , , , , 2 3 4 5 6
a)
c) −
8.
2 1 1 2 3 , − , 0, , , 4 5 7 8 9
1 2 3 4 5 6 , , , , , 3 9 27 81 243 729
d) tg 20°, tg 40°, tg 60°, tg 80°
1 1 1 1 1 log 2 , log 5 , log 8 , log 11 , log 14 2 4 6 8 10
e) 7.
b)
Určete vzorcem pro n-tý člen tyto konečné posloupnosti: a) 3, 3, 3, 3, 3, 3
b) –3, –3, –3, –3, –3, –3, –3
c) 3, –3, 3, –3, 3
d) –3, 3, –3, 3, –3, 3, –3, 3
Posloupnost (a n )n =1 je definována takto: Je-li číslo n prvočíslo, je a n = 1 , není-li ∞
číslo n prvočíslo, je a n = 0 . Určete členy a1, a7, a11, a15, a19, a21, a89, a99, a101, a2001. 9.
Zjistěte, která z čísel –12, 65, –242 jsou členy posloupnosti (− 5n + 8)n =1 . ∞
10. V nekonečné posloupnosti (a n )n =1 je pro každé sudé číslo n an = 4, pro každé liché ∞
číslo n platí an = 1. Zapište tuto posloupnost vzorcem pro n-tý člen. 11. Najděte zákon vytvoření posloupnosti a vyjádřete její n-tý člen:
a) 1, –3, 9, –27, 81
b) 1, 3, 5, 7, 9, 11
c) 0, 3, 8, 15, 24
12. Znázorněte graficky prvních pět členů posloupnosti:
(
a) (− 1)
)
n ∞ n =1
(
c) 2 − n + (− 1)
b) (n(2 − n ))n =1 ∞
)
n +1 ∞ n =1
13. Je dána posloupnost (68 − 10n )n =1 . Kolik bodů grafu této posloupnosti leží: ∞
a) nad osou x; b) vlevo od osy y.
7
Rekurentní určení posloupnosti Nechť je posloupnost (a n )n =1 zadána vzorcem pro n-tý člen: a n = c1 ⋅ a n −1 + c 2 ⋅ a n − 2 + ... ∞
... + c n −1 ⋅ a1 + c n , kde c1 , c 2 ,..., c n ∈ R a kde pro některé i ∈ {1,..., n} může platit, že ci = 0 . Pak řekneme, že posloupnost je zadána rekurentně (z latinského recurrere, což znamená vraceti se zpět).
Příklad 1
Nechť a1 = 1 , a n +1 = 2 ⋅ a n + 1 . Určete prvních sedm členů této posloupnosti.
Řešení Do rekurentního vzorce budeme postupně dosazovat vypočítané hodnoty, dokud nezískáme prvních sedm členů.
a1 = 1 a 2 = 2 ⋅ a1 + 1 = 2 ⋅ 1 + 1 = 3 a3 = 2 ⋅ a 2 + 1 = 2 ⋅ 3 + 1 = 7 a 4 = 2 ⋅ a3 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 = 15 a5 = 2 ⋅ a 4 + 1 = 2 ⋅ 15 + 1 = 31 a 6 = 2 ⋅ a5 + 1 = 2 ⋅ 31 + 1 = 63 a 7 = 2 ⋅ a 6 + 1 = 2 ⋅ 63 + 1 = 127 Prvních sedm členů zadané posloupnosti jsou čísla 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127. Poznámka:
Posloupnost zadaná rekurentně, může být také zadána jinými vzorci pro vyjádření n-tého členu posloupnosti v závislosti na předchozích členech než rekurentním vzorcem uvedeným v předchozí definici. Lze použít například vzorce: ¾ a n +1 =
c , kde c∈ R an
¾ a n +1 = c ⋅ a n2 , kde c∈ R
8
Cvičení 1. Najděte prvních sedm členů posloupnosti (a n )n =1 , v níž je: ∞
a) a1 = 10, a n +1 = 2a n − 1
b) b1 = 0, b 2 = 1, b n + 2 = b n
c) c1 = 3, c 2 = 2, c n +1 = c n − c n -1
d) d 1 = 0,1, d 2 = 10, d n + 2 = d n +1 ⋅ d n
2. Vypište prvních sedm členů posloupnosti (a n )n =1 , která je dána rekurentně: ∞
a) a1 = 2, a n +1 = a n + 1 c) a1 =
1 1 , a n +1 = 2 an
b) a1 = −2, a n +1 = −2 ⋅ a n
1 d) a1 = − , a n +1 = a n2 2
3. Určete dané posloupnosti rekurentně: ∞
c) (log 10 n )n =1
⎛ n ⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝ n + 1 ⎠ n =1
a) (n(n + 1) )
∞ n =1
∞
4. Určete první a sedmý člen posloupnosti, pro kterou platí:
a)
a n +1 = a n − 5
b)
a 4 = 20
a n + 2 = a n +1 ⋅ a n a3 = 10 ,a 4 = 10 2
5. Určete první člen posloupnosti (a n )n =1 , pro kterou platí a 4 = 2,5 , a5 = 6,4 a pro všechna ∞
n∈ N je a n + 2 = 2 ⋅
an . a n +1
6. Najděte zákon vytvoření posloupnosti a vyjádřete rekurentním vzorcem:
a) 1, 3, 6, 10, 15, 21
b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
9
Některé vlastnosti posloupností Posloupnost (a n )n =1 se nazývá rostoucí, právě když pro všechna r, s ∈ N platí: ∞
Je-li r < s, pak ar < as. Posloupnost (a n )n =1 se nazývá klesající, právě když pro všechna r, s ∈ N platí: ∞
Je-li r < s, pak ar > as.
Příklad 1
Dokažte, že posloupnost (b
)
∞ n n =1
∞
⎛ 1 ⎞ = ⎜ 3 ⎟ je klesající. ⎝ 3n ⎠ n =1
Řešení Vypíšeme si několik prvních členů posloupnosti (bn )n =1 : ∞
1 1 1 1 1 a vidíme, že pro každé n ∈ {1, 2, 3, 4} platí , b3 = , b4 = , b5 = b1 = , b2 = 3 24 81 192 375 bn > bn +1 . Zdá se, že posloupnost (bn )n =1 je klesající. K tomu je však nutné ověřit, že pro všechna n∈ N ∞
platí: bn > bn +1 neboli: 1 1 > 3 3 3n 3(n + 1) Úpravami nerovnosti dostaneme postupně: 1 1 > 3 3 3n 3 n + n2 + n +1 1 1 > 3 3 2 n n + n + n +1
(
)
n3 < n3 + n2 + n + 1 Tato nerovnost je pravdivá pro každé n∈ N. Tímto jsme dokázali, že posloupnost (bn )n =1 je ∞
klesající.
10
Posloupnost (a n )n =1 se nazývá neklesající, právě když pro všechna r, s ∈ N platí: ∞
Je-li r < s, pak ar ≤ as. Posloupnost (a n )n =1 se nazývá nerostoucí, právě když pro všechna r, s ∈ N platí: ∞
Je-li r < s, pak ar ≥ as. Příklad 2
Rozhodněte, zda posloupnost (b
)
∞ n n =1
∞
⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ je nerostoucí nebo neklesající. ⎝ 3 + 2n ⎠ n =1
Řešení Opět si vypíšeme prvních několik členů posloupnosti: b1 =
b5 =
1 1 1 1 , b2 = , b3 = , b4 = , 5 7 9 11
1 ∞ a vidíme, pro každé n ∈ {1, 2, 3, 4} platí bn ≥ bn +1 . Zdá se, že posloupnost (bn )n =1 je 13
nerostoucí. K tomu je však nutné ověřit, že pro všechna n∈ N platí:
bn ≥ bn +1 neboli: 1 1 ≥ 3 + 2n 3 + 2(n + 1) Úpravami nerovnosti postupně dostaneme: 1 1 ≥ 3 + 2n 3 + 2n + 2 5 + 2n ≥ 3 + 2n
2>0
Tato nerovnost je pravdivá pro každé n ∈ N. Tím jsme ukázali, že posloupnost (bn )n =1 je ∞
nerostoucí. Dokonce vidíme, že posloupnost je klesající. Posloupnosti
(a n )∞n=1 ,
které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní
posloupnosti.
11
Příklad 3
Rozhodněte, zda je posloupnost (log 3n 1)n =1 monotónní. ∞
Řešení Vypíšeme si několik prvních členů posloupnosti: 0, 0, 0, 0, 0. Víme, že logaritmus 1 o jakémkoli základu je vždy 0. Vidíme, že tato posloupnost má všechny členy stejné. Daná posloupnost tedy není ani rostoucí ani klesající, ale je monotónní. Posloupnost (a n )n =1 se nazývá shora omezená, právě když existuje takové číslo h ∈ R, že ∞
pro všechna n ∈ N je an ≤ h. Posloupnost (a n )n =1 se nazývá zdola omezená, právě když existuje takové číslo d ∈ R, že ∞
pro všechna n ∈ N je an ≥ d. Posloupnost (a n )n =1 se nazývá omezená, právě když je omezená shora i zdola. ∞
Příklad 4 ∞
⎛ n2 −1⎞ Dokažte, že posloupnost ⎜⎜ 2 ⎟⎟ je omezená. ⎝ n ⎠ n =1 Řešení 1 8 15 24 35 Vypíšeme si několik členů posloupnosti: 0, , , , , ,... . Vidíme, že nejmenší člen je 0 2 9 16 25 36 ∞
⎛ n2 −1⎞ je omezená shora číslem 1 a zdola a největší člen se přibližuje 1. Posloupnost ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ n ⎠ n =1 číslem 0. Nyní toto tvrzení musíme dokázat pro n ∈ N: n2 −1 n2 1 0 ≤ 1− 2 n 1 1≥ 2 n
n2 −1 ≤1 n2 n2 −1 ≤ n2 −1 < 0
0≤
12
První nerovnost bude vždy platit, protože zlomek
1 n2
nikdy nepřevýší číslo 1 pro n > 1.
Rovnost nastane pouze pro n = 1. Druhá nerovnost platí vždy pro každé n∈ N. Posloupnost je tedy omezená shora číslem 1 a zdola číslem 0. Dohromady je tedy posloupnost omezená. Cvičení ∞
⎛ 2n ⎞ 1. Zjistěte, zda posloupnost ⎜ ⎟ je rostoucí nebo klesající. ⎝ n + 1 ⎠ n =1
2. Rozhodněte, zda následující posloupnosti jsou rostoucí nebo klesající: ∞
⎛ 1 ⎞ a) ⎜ 3 ⎟ ⎝ n ⎠ n =1
c) (log 0, 4 n )n =1
b) (log 7 n )n =1 ∞
∞
∞
⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ e) ⎜⎜ ⎝ n(n + 1) ⎠ n =1
d) (cos πn )
∞ n =1
(
3. Rozhodněte, zda posloupnost 0,1 ⋅ n 2
)
∞ n =1
je nerostoucí nebo neklesající.
4. Zjistěte, které z následujících posloupností jsou monotónní: ∞
⎛ n −1⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝ 2n ⎠ n =1
(
)
∞
∞
5. Pro která x ∈ R je posloupnost (a n )n =1 , a n = ∞
a) rostoucí ;
d) (cos( 14 π n ))n =1
c) (log 3n 1)n =1
∞
b) n 2 − 2n − 1 n =1
b) klesající;
nx : n +1
c) monotónní.
6. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou shora omezené; zdola omezené;
omezené: ∞
([
⎛ 2n 2 + 5 ⎞ ⎟⎟ a) ⎜⎜ 3 ⎠ n =1 ⎝ n
] )
b) 1n + (− 1) ⋅ n
(
7. Je dána posloupnost log 2 n
)
∞ n =1
n
∞ n =1
(
c) (− n )
)
3 ∞ n =1
.
a) Dokažte, že daná posloupnost je rostoucí; b) rozhodněte, zda uvedená posloupnost je shora omezená, zdola omezená, omezená; c) vyjádřete tuto posloupnost rekurentně.
13
∞
⎛ π ⎞ d) ⎜ tg ⎟ ⎝ 3n ⎠ n =1
Aritmetické a geometrické posloupnosti Aritmetické posloupnosti Aritmetickou posloupností rozumíme takovou číselnou posloupnost (a n )n =1 , v níž se rozdíl ∞
mezi libovolnými dvěma po sobě jdoucími členy nemění (je konstantní). Tento rozdíl, tj. a n +1 − a n , označíme d a nazveme diference aritmetické posloupnosti. Je-li posloupnost (a n )n =1 aritmetická s diferencí d, pak vzorec pro n-tý člen posloupnosti má ∞
tvar: a n = a1 + (n − 1) ⋅ d . Příklad 1
Zapište prvních pět členů aritmetické posloupnosti, jejíž první člen a1 = 5 a diference d = −2 . Znázorněte je v soustavě souřadnic.
Řešení
První člen je ze zadání a1 = 5 . Druhý člen je a 2 = 5 − 2 = 3 , třetí člen a3 = 3 − 2 = 1 , čtvrtý člen a 4 = 1 − 2 = −1 a pátý člen a5 = −1 − 2 = −3 . Tyto členy pak znázorníme v soustavě souřadnic (viz Obr. 3): 5 3 1 -1 0
1
2
3
4
5
-3
Obr. 3
V aritmetické posloupnosti (a n )n =1 s diferencí d platí pro každé n ∈ N rekurentní vzorec: ∞
a n +1 = a n + d .
14
Příklad 2
V aritmetické posloupnosti (a n )n =1 jsou dány její členy a1 = 4, a 7 = − 8 . Určete diferenci ∞
této posloupnosti a člen a12. Řešení
Uvedené členy dosadíme do vzorce pro n-tý člen, a vyřešením dostaneme diferenci posloupnosti: a 7 = a1 + (7 − 1) ⋅ d
− 8 = 4 + 6d − 12 = 6d d = −2
Zjistili jsme tedy, že diference d = −2 . Nyní určíme člen a12: a12 = 4 + (12 − 1)(−2) = 4 + 11(−2) = 4 − 22 = −18 ;
tedy člen a12 = −18 . V aritmetické posloupnosti (a n )n =1 s diferencí d platí pro všechna r, s ∈ N vzorec: ∞
a s = a r + (s − r ) ⋅ d . Příklad 3
V aritmetické posloupnosti (a n )n =1 jsou dány její členy a3 = 5, a8 = 15 . Určete diferenci d a ∞
členy a1 a a17. Řešení Nejdříve podle vzorce spočteme diferenci d. Platí tedy: a8 = a3 + (8 − 5)d
15 = 5 + 5d d =2 Tedy diference d = 2. Dále spočítáme člen a1 podle vzorce: a3 = a1 + 2d a1 = a 3 − 2d a1 = 5 − 2 ⋅ 2 a1 = 1
Tedy první člen posloupnosti a1 = 1.
15
Nakonec spočítáme člen a17 podle stejného vzorce: a17 = a1 + (17 − 1) ⋅ d a17 = 1 + 16 ⋅ 2 a17 = 33
Sedmnáctý člen posloupnosti je tedy a17 = 33 . Součtem sn prvních n členů aritmetické posloupnosti (a n )n =1 rozumíme součet prvních ∞
n členů posloupnosti, tj. a1 + a 2 + ... + a n .
Součet sn vypočítáme vzorcem:
sn =
n ⋅ (a1 + a n ) . 2
Důkaz vzorce:
Nejdříve si zapíšeme součet prvních n členů vzestupně a poté sestupně: s n = a1 + a 2 + ... + a k +1 + ... + a n
0 ≤ k ≤ n −1
s n = a n + a n −1 + ... + a n − k + ... + a1
0 ≤ k ≤ n −1
Tyto dvě rovnice nyní sečteme: 2s n = (a1 + a n ) + (a 2 + a n −1 ) + ... + (a k +1 + a n − k ) + ... + (a n + a1 ) Platí: a k +1 = a1 + kd
a n − k = a n + ((n − k ) − n )d = a n − kd
Je tedy: a k +1 + a n − k = (a1 + kd ) + (a n − kd ) = a1 + a n
Odtud plyne, že každý z n sčítanců je roven a1+ an. Můžeme proto psát: 2s n = n ⋅ (a1 + a n ) sn =
n ⋅ (a1 + a n ) 2
16
Příklad 4
Určete součet prvních deseti členů aritmetické posloupnosti, ve které je a3 = −4, a7 = 2,4 . Řešení
Nejdříve musíme zjistit diferenci, a potom první a desátý člen posloupnosti: a 7 = a3 + (7 − 3) ⋅ d
a3 = a1 + (3 − 1) ⋅ d
2,4 = −4 + 4d 6,4 = 4d
a10 = a1 + (10 − 1) ⋅ d a10 = −7,2 + 9 ⋅ 1,6
− 4 = a1 + 2 ⋅ 1,6 a1 = −7,2
d = 1,6
a10 = 7,2
Nyní dosadíme do vzorce a zjistíme součet prvních deseti členů posloupnosti: 10 ⋅ (− 7,2 + 7,2 ) 2 s10 = 5 ⋅ 0 s10 =
s10 = 0
Součet prvních deseti členů je tedy 0. Cvičení 1. Vypište prvních šest členů aritmetické posloupnosti (a n )n =1 , ve které platí: ∞
a) a1 = 2, d = 2
b) a1 = −1, d = 3
c) a1 = −0,5, d = −1,5
d) a1 = 2 , d = 0
2. Vypište prvních pět členů aritmetické posloupnosti (a n )n =1 , ve které platí: ∞
a) a3 = 8, d = −3
b) a8 = −12, a9 = −16
c) a1 = 4, a10 = 58
d) a 6 = 17, a11 = −3
3. Určete první člen a1 a diferenci d aritmetické posloupnosti (a n )n =1 , ve které platí: ∞
a)
a1 + a6 = 39 a10 − a4 = 18
b)
a 4 + a9 = 4 a12 + a5 = −1,6
c)
a1 + a3 = 0 a3 + a5 = 0
d)
a 2 + a3 = 17 a 2 ⋅ a3 = 60
4. Určete součet prvních k členů aritmetické posloupnosti (− n + 4 )n =1 . ∞
5. V aritmetické posloupnosti je a1 = −85, d = 4 . Určete index prvního členu této
posloupnosti, který je kladným číslem.
17
6. Délky stran pravoúhlého trojúhelníku jsou tři po sobě následující členy aritmetické
posloupnosti, délka delší odvěsny je 4,8 dm. Vypočítejte délky zbývajících stran. 7. V tabulce jsou některé údaje o aritmetických posloupnostech. Překreslete si tabulku a
doplňte ji: a1
d
n
2 0 3
11
an
sn
18
330
5
–0,5
0 14
140
1 050
8. Obvod trojúhelníku je 24, velikosti stran jsou celá čísla a tvoří tři za sebou jdoucí členy
aritmetické posloupnosti. Určete velikosti stran tohoto trojúhelníka. 9. V aritmetické posloupnosti je a1 = 4,8 a d = 0,4 . Kolik za sebou jdoucích členů, počínaje
prvním, je třeba sečíst, aby součet byl větší než 170? 10. Mezi čísla 4 a 37 vložte čísla tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost o
součtu 246. Určete počet vložených čísel a diferenci takto vytvořené aritmetické posloupnosti. 11. Určete aritmetickou posloupnost, ve které platí:
a1 + a 4 + a 6 = 71 a5 − a 2 − a3 = 2
Kolik členů posloupnosti dává součet 182? 12. Osm čísel tvoří aritmetickou posloupnost. Určete ji, víte-li, že součet prostředních členů
a 4 + a5 = 41 a součin krajních a1 ⋅ a8 = 114 . 13. Určete aritmetickou posloupnost, ve které 5a1 + 10a5 = 0 a s 4 = 14 .
18
Užití aritmetických posloupností Příklad 1
Část střechy domu má tvar lichoběžníku a je třeba ji pokrýt taškami. Víme, že do řady u hřebenu se vejde 85 tašek, do spodní řady při okapu 102 tašek. Přitom tašky budou srovnány do řad tak, že v každé následující řadě bude o jednu tašku více než v řadě předchozí. Kolik je třeba tašek na pokrytí části střechy? Řešení
Počty tašek v řadách směrem od hřebenu k okapu přibývají vždy o jednu. To znamená, že počty tašek v jednotlivých řadách tvoří členy aritmetické posloupnosti, jejíž diference d = 1.
Naším úkolem je určit počet tašek, které stačí k pokrytí části střechy. K tomuto budeme moci využít vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti. Víme, že a1 = 85, a n = 102 , neznáme však ještě n (které označuje počet řad). K výpočtu neznámého n využijeme vzorec pro výpočet n-tého členu posloupnosti: 102 = 85 + (n − 1) ⋅ 1 n = 18
Nyní můžeme vypočítat s18: 18 ⋅ (85 + 102) 2 s18 = 1 683 s18 =
Na pokrytí příslušné střechy je tedy potřeba 1 683 kusů tašek. Cvičení 1. Ocelové roury se skládají do vrstev tak, že roury každé horní vrstvy zapadají do mezer
dolní vrstvy. Do kolika vrstev se složí 90 rour, jsou-li v nejhořejší vrstvě 2 roury? Kolik rour je v nejspodnější vrstvě? 2. Buduje se hlediště letního kina přibližně pro 1 200 diváků. Do první řady je plánováno
40 sedadel, do každé následující řady postupně o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště?
19
3. Vypočtěte vnitřní úhly šestiúhelníku, tvoří-li úhly aritmetickou posloupnost a nejmenší je
70°. Součet všech úhlů v šestiúhelníku je 720°. 4. Dělník vyrobí za směnu 26 součástek. Kdyby zvyšoval svůj výkon denně o jednu
součástku, kolik součástek by vyrobil za 18 dní? 5. Dělník obsluhuje 16 automatických stavů, z nichž každý vyrobí za hodinu k metrů látky.
První stav uvede v chod v 8:00 hod. a každý následující zapojí vždy za 5 minut. Kolik metrů látky je vyrobeno, když zapíná poslední stav? 6. Jaká je teplota v našich dolech 1 015 m pod povrchem, víme-li, že teplota Země přibývá
o 1 °C na 33 m hloubky a je-li v hloubce 25 m stálá teplota + 9 °C? 7. Jak dlouho by padala koule do hloubky 1 961,6 m, bylo-li zjištěno, že v první vteřině
prolétne dráhu s = 4,904 m a v každé další vteřině o 9,808 m více než v předchozí?
20
Geometrické posloupnosti Geometrickou posloupností rozumíme takovou číselnou posloupnost (a n )n =1 , v níž se ∞
podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů nemění (je konstantní). Tento podíl, tj. a n +1 , označíme q a nazveme kvocient geometrické posloupnosti. an a n +1 je dán vzorcem: an
Obecný n-tý člen geometrické posloupnosti (a n )n =1 o kvocientu q = ∞
a n = a1 ⋅ q n −1 . Příklad 1 Zapište prvních pět členů geometrické posloupnosti, jejíž první člen a1 = 8 a kvocient
q = −0,5 . Znázorněte je v soustavě souřadnic v rovině. Řešení První člen posloupnosti a1 je ze zadání a1 = 8 . Další členy posloupnosti dopočítáme pomocí vzorce: a 2 = (− 0,5) ⋅ 8 = −4
a3 = (− 0,5) ⋅ (− 4) = 2
a 4 = (− 0,5) ⋅ 2 = −1
a5 = (− 0,5) ⋅ (− 1) = 0,5
Nyní vypočítané členy zobrazíme v soustavě souřadnic v rovině (viz Obr. 4). 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
0
1
2
3
Obr. 4
21
4
5
V geometrické posloupnosti (a n )n =1 s kvocientem q platí pro každé n∈ N rekurentní ∞
vzorec: a n +1 = q ⋅ a n . Příklad 2
V geometrické posloupnosti (bn )n =1 jsou dány její členy b1 = 2 , b6 = −486 . Určete kvocient ∞
této posloupnosti a členy b2, b3, b4 a b5. Řešení Kvocient q vypočítáme pomocí vzorce: b6 = b1 ⋅ q 6−1 − 486 = 2 ⋅´q 5 − 243 = q 5 q = 5 − 243 q = −3
Nyní víme, že kvocient q = –3 a můžeme spočítat členy b2, b3, b4 a b5. b2 = 2 ⋅ (−3) = −6 b3 = (−6) ⋅ (−3) = 18 b4 = 18 ⋅ (−3) = −54 b5 = (−54) ⋅ (−3) = 162
V geometrické posloupnosti (a n )n =1 s kvocientem q platí pro všechna r, s ∈ N vzorec: ∞
a s = a r ⋅ q s −r . Příklad 3
V geometrické posloupnosti (bn )n =1 jsou dány její členy b3 = − ∞
Řešení Kvocient q vypočítáme pomocí vzorce: b6 = b3 ⋅ q 6−3
22
3 a b6 = 12 . Určete q a b1. 16
Po dosazení členů ze zadání do tohoto vzorce dostáváme: 12 = −
3 3 ⋅q 16
− 64 = q 3 q = 3 − 64 q = −4
Tedy kvocient q = – 4. A nyní spočítáme první člen posloupnosti b1: b6 = b1 ⋅ q 6−1 12 = b1 ⋅ (−4) 5 b1 = −
Tedy první člen posloupnosti je −
3 256
3 . 256
Součtem sn prvních n členů geometrické posloupnosti (a n )n =1 rozumíme součet prvních ∞
n členů posloupnosti, tj. a1 + a 2 + ... + a n . Součet sn lze vypočítat vzorci: a) s n = n ⋅ a1 b) s n = a1 ⋅
pro q = 1;
qn −1 q −1
pro q ≠ 1.
Důkaz vzorců:
a) Pro každé n ∈ N je an = a1, a tedy: s n = a1 + a1 + ... + a1 = n ⋅ a1 .
b) Nejdříve napíšeme součet prvních n členů a následně jej vynásobíme kvocientem q: s n = a1 + a1 ⋅ q + ... + a1 ⋅ q n −1 q ⋅ sn =
a1 ⋅ q + ... + a1 ⋅ q n −1 + a1 ⋅ q n
Tyto dvě rovnice odečteme a po úpravě dostáváme: s n ⋅ (q − 1) = a1 ⋅ q n − a1 .
23
Vzhledem k tomu, že q ≠ 1, můžeme obě strany rovnice vydělit číslem (q – 1) a dostaneme hledaný vzorec. Příklad 4
(
Vypočítejte součet prvních osmi členů geometrické posloupnosti 0,5 ⋅ (− 2)
)
n ∞ n =1
.
Řešení Nejdříve si vypočítáme první a druhý člen posloupnosti: a1 = 0,5 ⋅ (− 2 ) = 0,5 ⋅ (− 2 ) = −1 1
a 2 = 0,5 ⋅ (− 2 ) = 0,5 ⋅ 4 = 2 2
Již známe první dva členy posloupnosti a tak můžeme vypočítat kvocient q: q=
a2 2 = = −2 . a1 − 1
A nyní můžeme spočítat součet prvních osmi členů podle vzorce: s8 = a1 ⋅
q8 −1 q −1
s8 = (− 1) ⋅ s8 =
(− 2)8 − 1 (− 2) − 1
255 = 85 3
Tedy součet prvních osmi členů posloupnosti je 85. Cvičení 1. Vypište prvních šest členů geometrické posloupnosti (a n )n =1 , ve které platí: ∞
a) a1 = 0 ,2 , q = 2
b) a1 = −1, q = 0,5
c) a1 = −3,5, q = 1
d) a1 = −3,5, q = −1
2. V geometrické posloupnosti (a n )n =1 jsou dány její členy a1 = 2, a6 = – 486. Určete ∞
kvocient q této posloupnosti a členy a2, a3, a4 a a5. 3. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, v níž platí:
a1 − a 2 + a3 = 9 a 4 − a5 + a6 = 72
24
4. V geometrické posloupnosti (c n )n =1 jsou dány její členy c3 = − ∞
3 , c6 = 12 . Určete q a c1. 16
5. Vypište prvních pět členů geometrické posloupnosti (a n )n =1 , ve které platí: ∞
a) a3 = 16, q = −2
b) a1 = −1, a10 = 512
c) a5 = 1 024, a11 = 4 194 304
6. Zjistěte, která z čísel 18, 12, 6, 0, –8 jsou členy geometrické posloupnosti (a n )n =1 , v níž je ∞
a1 = 27 , q =
2 . 3
7. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti (a n )n =1 , ve které platí: ∞
a)
a1 + a 2 = 4 a 4 − a 2 = 24
a1 + a 4 = 14
b)
c)
a3 + a 2 = −4
a1 + a3 = 2
d)
a2 + a4 = 2
a 2 + a3 = 0 a1 + a3 = 2
8. Mezi čísla 8 a 27 vložte pět takových čísel, aby spolu s dvěma danými tvořila prvních
sedm členů geometrické posloupnosti.
(
9. Vypočítejte součet prvních osmi členů geometrické posloupnosti 0,5 ⋅ (− 2 )
(
10. Kolik členů geometrické posloupnosti 0,5 n −1
)
∞ n =1
)
n ∞ n =1
.
musíme sečíst, aby součet byl větší
než 2? 11. Součet prvních čtyř členů geometrické posloupnosti je s4 = 80. Určete je, víte-li, že platí a 4 = 9a 2 .
12. Vyroste-li za rok z jednoho zrna průměrně 15 zrn, jaké množství zrn vyroste z jednoho
zrna za 5 let? 13. Určete
počet
prvních
(
n
členů
geometrické
)
a1 = −27 , a n = −3, s n = − 12 3 + 39 .
25
posloupnosti
(a n )∞n=1 ,
znáte-li
Užití geometrických posloupností Příklad 1
Banka poskytla podnikateli počátkem roku 2000 úvěr ve výši 1 000 000,- Kč, a to na dobu tří let s roční úrokovou mírou 14 % (úrokovací období je 1 rok). Podnikatel splatí půjčku ve třech stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude činit jedna splátka? (Jedná se o složené úrokování). Řešení Neznámou je výše jedné splátky, označme ji k Kč. Dluh podnikatele na konci roku 2000 (banka si připsala úroky):
[10
6
]
⋅ (1 + 0 ,14 ) Kč .
Dluh na počátku roku 2001 (po první splátce):
[10
6
]
⋅ (1 + 0 ,14 ) − k Kč .
Dluh na počátku roku 2002 (po připsání úroků z dluhu za rok 2001 a po druhé splátce):
[(10
6
[
]
)
]
⋅ (1 + 0,14 ) − k ⋅ (1 + 0,14 ) − k Kč = 10 6 ⋅ (1 + 0,14) − k (1 − 0,14) − k Kč . 2
Dluh na počátku roku 2003 (po třetí splátce):
[(10 ⋅ (1 + 0,14) − k (1 − 0,14) − k )(1 + 0,14) − k ] Kč = = [10 ⋅ (1 + 0 ,14 ) − k (1 − 0,14) − k (1 − 0,14 ) − k ] Kč 2
6
3
6
2
Úvěr na počátku roku 2003 bude splacen a je tedy: 10 6 ⋅ (1 + 0,14 ) − k (1 − 0,14) − k (1 − 0,14) − k = 0 3
2
(
)
10 6 ⋅ (1 + 0,14) − k (1 − 0,14 ) + (1 − 0,14) + 1 = 0 3
2
S využitím vzorce pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti dostaneme: 10
6
3 ( 1 + 0 ,14 ) − 1 ⋅ (1 + 0,14) − k ⋅ =0. (1 + 0,14) − 1 3
Odtud je: 10 6 ⋅ (1 + 0,14 ) ⋅ 0,14 k= (1 + 0,14)3 − 1 3
k ≈ 430 731 . Jedna splátka činí 430 731 Kč.
26
Cvičení 1. Kupec chtěl koupit koně. S prodavačem se dohodl takto: koně dostane zadarmo, zaplatí
pouze hřebíky v jeho podkovách. Každá podkova je přibita šesti hřebíky, celkem jich tedy je 24. Za první hřebík zaplatí 1 groš, za druhý 2 groše, za každý další zaplatí dvakrát tolik co za předchozí. Kolik grošů by měl kupec zaplatit? 2. Určete velikost nejmenšího vnitřního úhlu pravoúhlého trojúhelníku, víte-li, že velikosti
jeho úhlů tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. 3. V roce 1971 bylo v naší republice 275 počítačů. Určete, ve kterém roce byl u nás použit
první počítač, jestliže od zavedení počítačů až do roku 1971 činil roční přírůstek 54 %. 4. Drát má průměr 5 mm. Jedním protažením se průměr drátu zmenší o 10 %.
a) Jaký bude průměr drátu po deseti protaženích? b) Po kolika protaženích bude průměr drátu menší než 3 mm? 5. Kvádr, jehož hrany tvoří geometrickou posloupnost, má povrch S = 78 a součet hran,
které procházejí jedním vrcholem, je 13. Vypočtěte objem V kvádru. 6. Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou
1 své jasnosti. Jaká je jasnost 15
paprsku po průchodu pěti stejnými deskami? 7. Kolik je nutno ukládat počátkem každého roku po dobu deseti let, chceme-li mít koncem
desátého roku nastřádáno 10 000,- Kč při 2 % složitém úrokování. 8. Jistý druh baktérií se rozmnožuje v příznivých podmínkách tak, že každá bakterie se za
půl hodiny rozdělí na dvě. Kolik bakterií vznikne takto za 24 hodin? 9. Kuřák prokouří ročně přibližně 2 000,- Kč. Kolik by ušetřil za 10 let, jestliže by tuto
částku ukládal koncem každého roku na vkladní knížku s 4 % úrokováním? 10. Vkladatel uložil na počátku roku do banky 15 000,- Kč na termínovaný vklad na 1 rok
s roční úrokovou mírou 9 %. Úrokovací období je 1 rok. Jakou celkovou částku bude mít na termínovaném vkladu na konci roku. Úroky z vkladu jsou zdaňovány 15 %. 11. Vkladatel uložil na počátku roku na termínovaný vklad na 2 roky částku 32 000,- Kč.
Roční úroková míra je 9,5 %. Jak vysokou částku bude mít na konci druhého roku, jestliže si v průběhu celé doby nevybíral úroky a je-li úrokovací období čtvrt roku.
27
Vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností Aritmetické a geometrické posloupnosti mají stejné vlastnosti jako všechny posloupnosti, tj. mohou být rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotónní; zdola nebo shora omezené, omezené. Příklad 1
Rozhodněte, zda posloupnost (a n )n =1 , kde a1 = –2, d = 1, je rostoucí nebo klesající, omezená. ∞
Řešení Nejdříve si načrtneme graf (Obr. 5): 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Obr. 5
Posloupnost (a n )n =1 je zřejmě rostoucí: Pro každé n∈ N je an+1 = an + 1 a tedy an < an+1. ∞
Posloupnost (a n )n =1 je omezená zdola číslem –2 , protože pro všechna přirozená čísla n je ∞
an ≥ –2. Zjistíme, zda je tato posloupnost shora omezená. Ptáme se tedy, zda existuje nějaké číslo h ∈ R takové, že pro všechna n ∈ N je an ≤ h, čili: − 2 + (n − 1) ⋅ 1 ≤ h
Tato poslední nerovnost však platí jen pro taková přirozená čísla n, pro něž je n ≤ h + 3. Pro každé n > h + 3 je an > h. Posloupnost (a n )n =1 není shora omezená a není tedy omezená. ∞
Aritmetická posloupnost (a n )n =1 s diferencí d je rostoucí pro d > 0 a klesající pro d < 0. ∞
28
Pro aritmetickou posloupnost s diferencí d platí: a) Je-li d > 0, pak je zdola omezená, ale není shora omezená; b) Je-li d < 0, pak je shora omezená, ale není zdola omezená; c) Je-li d = 0, pak je shora omezená i zdola omezená.
Geometrická posloupnost (a n )n =1 s kvocientem q je: ∞
a) Rostoucí pro q > 1, a1 > 0 nebo 0 < q < 1, a1 < 0; b) Klesající pro 0 < q < 1, a1 > 0 nebo q < 1, a1 < 0. Geometrická posloupnost (a n )n =1 s kvocientem q je: ∞
a) Omezená, právě když |q| ≤ 1 nebo a1 = 0; b) Zdola omezená, ale není shora omezená, právě když a1 > 0, q > 1; c) Shora omezená, ale není zdola omezená, právě když a1 < 0, q > 1; d) Není omezená ani shora ani zdola, právě když a1 ≠ 0, q < –1.
Cvičení 1. Uveďte příklady aritmetických posloupností, které jsou rostoucí; klesající; nejsou ani
rostoucí ani klesající. 2. Vyjádřete vzorcem pro n-tý člen geometrickou posloupnost (a n )n =1 , ve které je c1 = 0,3, ∞
q = 0,3. Rozhodněte pak, zda je tato posloupnost rostoucí či klesající; shora omezená či zdola omezená. 3. Uveďte příklady geometrických posloupností, které jsou rostoucí; klesající; nejsou ani
rostoucí ani klesající.
29
Limity posloupnosti Řekneme, že posloupnost (a n )n =1 je konvergentní, právě když existuje takové číslo ∞
a ∈ R, že platí: Ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna přirozená čísla n ≥ n0 je a n − a < ε . Číslo a se pak nazývá limita posloupnosti (a n )n =1 . ∞
Skutečnost, že posloupnost (a n )n =1 má limitu rovnu číslu a, zapisujeme: ∞
lim a n = a n →∞
a čteme „limita an pro n jdoucí k nekonečnu je rovna a“ nebo stručněji „limita an je a“. Posloupnosti, které nejsou konvergentní, se nazývají divergentní.
Příklad 1 ∞
⎛ 1 ⎞ Je dána posloupnost ⎜ ⎟ . Zjistěte, zda existuje takový člen an této posloupnosti, od ⎝ 5 + 3n ⎠ n =1
kterého počínaje platí a n < 0,01 . Řešení Určíme všechna n∈ N, pro která platí 1 1 < . 5 + 3n 100 Protože zlomek
1 je kladný pro všechna n ∈ N, platí 5 + 3n
1 5 + 3n
dostáváme: 1 1 < 5 + 3n 100 n > 31, 6
Počínaje členem a32 platí pro všechny členy posloupnosti a n < 0,01 .
30
=
1 5 + 3n
a odtud
Příklad 2
⎛ (− 1)n Znázorněte v kartézské soustavě souřadnic několik prvních členů posloupnosti ⎜⎜ ⎝ n
∞
⎞ ⎟ a ⎟ ⎠ n =1
zjistěte ke kterému číslu posloupnost konverguje. Řešení Členy dané posloupnosti jsou čísla a1 = −1, a 2 =
1 1 1 1 1 , a3 = − , a 4 = , a5 = − , a 6 = ,... . 2 3 4 5 6
Grafické znázornění prvních šesti členů posloupnosti je na obrázku (Obr. 6). Je zřejmé, že obrazy všech členů dané posloupnosti lze umístit do pásu určeného rovnoběžkami s osou x, které procházejí např. body [0, 1] a [0, –1]. 1 0,8 0,6 0,4
A2
A6
A4
0,2 0 -0,2 0
1
2
3
-0,4 -0,6 -0,8 -1
A3
4
5 A5
6
A1
Obr. 6
Vidíme, že členy této posloupnosti se s rostoucím n neomezeně blíží k číslu 0, tzn. že tato posloupnost konverguje k 0. Přitom však pro žádné n neplatí, že
(− 1)n n
= 0.
Příklad 3
Dokažte, že posloupnost (bn )n =1 , bn = ∞
n je konvergentní. n +1
Řešení Obrázek (Obr. 7) nás vede k hypotéze, že členy této posloupnosti se s rostoucím n neomezeně blíží k číslu 1, čili n = 1. n →∞ n + 1
lim
31
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0
2
4
6
8
Obr. 7
Naším úkolem je tedy dokázat, že ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna přirozená čísla n ≥ n0 je |bn – 1| < ε, čili n −1 < ε . n +1 Tuto nerovnici s neznámou n ∈ N. Nejprve upravíme výraz, který tvoří levou stranu této nerovnice: 1 1 n n − n −1 = − = −1 = . n +1 n +1 n +1 n +1 Dosazením do původní nerovnice můžeme nyní přejít k následující nerovnici a tu vyřešíme: 1 <ε n +1 1 n +1 >
ε
n>
1
ε
−1
Řešením nerovnice jsou všechna přirozená čísla n >
1
ε
− 1 , čili pro všechna tato n platí
⎛1 1 bn − 1 < ε . Za n0 můžeme vzít např. celé číslo z intervalu ⎜ , + 1 . ⎝ε ε Posloupnost (bn )n =1 , bn = ∞
n je tedy konvergentní a její limitou je číslo 1: n +1 lim bn = 1 . n→∞
32
Říkáme, že posloupnost (a n )n =1 má nevlastní limitu plus nekonečno, právě když pro každé ∞
reálné číslo K existuje takové n0 ∈ N, že pro všechna přirozená čísla n ≥ n0 je an > K. lim a n = +∞ .
Zapisujeme:
n →∞
Říkáme, že posloupnost (a n )n =1 má nevlastní limitu mínus nekonečno, právě když pro ∞
každé reálné číslo L existuje takové n0 ∈N, že pro všechna přirozená čísla n ≥ n0 je an < L. lim a n = −∞ .
Zapisujeme:
n →∞
Příklad 4
Zjistěte limitu posloupnosti (3,5 − 0 ,5n )n =1 . ∞
Řešení Nejdříve si znázorníme prvních několik členů v soustavě souřadnic (Obr. 8): 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0 -1 -1,5 -2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Obr. 8
Vidíme, že posloupnost s rostoucím n stále klesá (diverguje k – ∞ ). To ale musíme dokázat. Ať zvolíme jakkoli malé reálné číslo L, vždy existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0 je bn < L. Číslo n0 můžeme zjistit na základě řešení nerovnice: 3,5 − 1,5n < L
n>−
L - 3,5 0,5
Za n0 lze vzít jakékoli přirozené číslo, které je větší než − posloupnost (3,5 − 0 ,5n )n =1 má nevlastní limitu – ∞ a zapíšeme: ∞
lim (3,5 − 0 ,5n ) = −∞ . n→∞
33
L - 3,5 . Tudíž řekneme, že 0,5
Věty o limitách posloupností ¾ Jsou-li posloupnosti (a n )n =1 , (bn )n =1 konvergentní a přitom lim a n = a , lim bn = b , ∞
∞
n →∞
n→∞
pak jsou konvergentní i posloupnosti (a n + bn )n =1 , (a n − bn )n =1 , (a n ⋅ bn )n =1 , (c ⋅ a n )n =1 , ∞
∞
∞
∞
kde c je libovolné reálné číslo. Přitom platí: lim (a n + bn ) = lim a n + lim bn = a + b; n→∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n→∞
lim (a n − bn ) = lim a n − lim bn = a − b; lim (a n ⋅ bn ) = lim a n ⋅ lim bn = a ⋅ b; n →∞
n →∞
n→∞
lim (c ⋅ a n ) = c ⋅ lim a n = c ⋅ a. n →∞
n →∞
¾ Jsou-li posloupnosti (a n )n =1 , (bn )n =1 konvergentní, lim a n = a , lim bn = b a přitom ∞
∞
n →∞
n→∞
⎛a b ≠ 0 a bn ≠ 0 a pro všechna n ∈N, pak je konvergentní i posloupnost ⎜⎜ n ⎝ bn
∞
⎞ ⎟⎟ a platí: ⎠ n =1
an a a n lim = n →∞ = . n→∞ b lim bn b n
lim
n→∞
¾ Každá geometrická posloupnost
(a n )∞n=1 ,
pro jejíž kvocient q platí |q| < 1, je
konvergentní a lim a n = 0 . n →∞
Příklad 5 ∞
⎛ 3 ⎞ Rozhodněte, zda posloupnost ⎜ 2 ⎟ je konvergentní, a pak vypočtěte její limitu. ⎝ n ⎠ n =1
Řešení 3 1 1 = 3 ⋅ ⋅ . Posloupnosti 2 n n n
(3)
∞ n =1
∞
⎛1⎞ jsou konvergentní a proto je i konvergentní ,⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ n =1
∞
⎛ 3 ⎞ posloupnost ⎜ 2 ⎟ . Platí: ⎝ n ⎠ n =1
lim n→∞
3 1 1 = lim 3 ⋅ lim ⋅ lim = 3 ⋅ 0 ⋅ 0 = 0 . 2 n n→∞ n→∞ n n→∞ n
34
Cvičení 1. Je dána posloupnost (c n )n =1 , cn = ∞
2n + 1 . n
a) Vypočítejte prvních deset členů této posloupnosti a znázorněte je v soustavě souřadnic v rovině. b) Rozhodněte, zda je (c n )n =1 konvergentní nebo divergentní a svůj závěr zdůvodněte. ∞
c) Je-li (c n )n =1 konvergentní, zapište její limitu. ∞
2. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou konvergentní a které z nich mají
limitu rovnu číslu 7: ∞
∞
⎛ 1 + 7n ⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ n =1
⎛ 7n ⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ n =1
a) (7 )n =1 ∞
∞
(
⎛7+n⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ n =1
e) 7 + (− 1)
∞
⎛ (− 7 )n ⎞⎟ f) ⎜⎜ 7 ⋅ n +1 ⎟ ⎝ (− 7 ) ⎠ n =1
)
n ∞ n =1
3. Dokažte, že platí:
n2 +1 =1 n →∞ n 2
a) lim
(n − 1) ⋅ (n + 1) = 0
b) lim
7 n 2 − 3n 7 = n →∞ 5n 2 + 6 5
c) lim
n3
n→∞
∞
⎛ cn 5 + n 2 ⎞ ⎟ konvergentní a určete její limitu. 4. Pro která c, d ∈R je posloupnost ⎜⎜ 5 3 ⎟ ⎝ dn + n ⎠ n =1 5. Rozhodněte, které z uvedených posloupností jsou konvergentní:
(
( )
a) 0 ,1n
b) 10 5 ⋅ (− 0 ,5)
∞ n =1
)
( )
n ∞ n =1
c) 1,2 n
∞ n =1
6. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou konvergentní, mají nevlastní limitu
+ ∞ nebo – ∞ , jsou divergentní a nemají vlastní limitu:
( )
a) n 4
(
∞
b) − n 4
n =1
(
)
c) (− 1) ⋅ n 4
∞ n =1
n
∞
)
∞ n =1
⎛ 1 ⎞ d) ⎜ − 4 ⎟ ⎝ n ⎠ n =1
7. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou konvergentní, mají nevlastní limitu
+ ∞ nebo – ∞ , jsou divergentní a nemají vlastní limitu: a) (log10 n )n =1 ∞
b) (log 0 ,1 n )n =1 ∞
c) (n ⋅ cos (π n ))n =1 ∞
35
d) (n ⋅ sin (π n ))n =1 ∞
⎛ n + (− 1)n 8. Posloupnost ⎜⎜ n ⎝
∞
⎞ ⎟ konverguje k 1. Dokažte a znázorněte graficky. ⎟ ⎠ n =1 ∞
⎛ 5n + 3 ⎞ 9. Ukažte, že posloupnost ⎜ ⎟ je konvergentní a vypočítejte její limitu. ⎝ 2n ⎠ n =1
10. Vypočítejte limitu: lim n→∞
(n + 1)! . n!− (n + 1)!
36
Výsledky a návody k řešení úloh Pojem posloupnosti 1. n! : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320 nπ sin : 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1 2 1 1 1 1 2. a) 1, , , , ; b) 0, 1, 3, 6, 10; c) 0, –1, 0, 1, 0; d) 2, 4, 8, 16, 32 2 3 4 5 8 32 32 3. a) 2, 2, , 4, , ; b) 2 , 2, 2 2 , 4, 4 2 , 8; c) –2, 4, –8, 16, –32, 64; d) 0, 8, 0, 3 5 3 32, 0, 128; e) 0, 4, 0, 8, 0, 12. 2 2 2 3 3 3 3 4. a) 3, 3 , 0, − 3, − 3 , 0. , 0, − , -1, − , 0; b) 2 2 2 2 2 2 2 5. 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1 n n n−3 1 6. a) log(3n − 1) . ; b) n ; c) ; d) tg n.30°; e) n +1 n+3 2n 3
(
7. a) (3)n =1 ; b) (− 3)n =1 ; c) 3 ⋅ (− 1) 8. 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 9. –12, –242 ano, 65 ne. 6
(
7
10. 2,5 + (−1) n ⋅ 1,5
(
11. a) (− 3)
)
n −1 ∞ n =1
)
)
n +1 5 n =1
(
; d) 3 ⋅ (− 1)
)
n 8 n =1
∞ n =1
(
)
; b) (2n − 1)n´1 ; c) n 2 − 1 n =1 ∞
∞
12. a) –1, 1, –1, 1, –1 (Obrázek 1); b) 1, 0, –3, –8, –15 (Obrázek 2); c)
33 (Obrázek 3) 32 2 1 0 0
1
2
3
-1 -2
Obrázek 1
37
4
5
6
3 3 9 15 , − , , − , 2 4 8 16
1 0 -1 0
1
2
3
4
5
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15
Obrázek 2 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 -0,25 0 -0,5 -0,75 -1 -1,25
1
2
3
4
5
Obrázek 3
13. a) 6; b) žádný Rekurentní určení posloupnosti 1. a) 10, 19, 37, 73, 145, 289, 577; b) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0; c) 3, 2, –1, –3, –2, 1, 3; d) 10-1, 10, 1, 10, 10, 102, 103. 1 1 1 1 1 2. a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; b) –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128; c) , 2, , 2, , 2, ; d) − , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 , , , , . 4 16 256 65 536 4 294 967 296 3. a)
a n +1 =
a1 = 2 ,
n+2 an , n
a n +1 = a n + 2(n + 1) ;
b)
a1 =
1 n +1 ; c) a1 = 1 , a n +1 = a n , a n +1 = 1 + a n n n + 3n + 2 4. a) a1 = 35, a 7 = 5 ; b) a1 = 1, a 7 = 10 8 5. 40 a n +1 = a n +
2
38
1 , 2
a n +1 =
(n + 1)2 n(n + 2)
an ,
6. a) a1 = 1, a n +1 = (n + 1) + a n ; b) a1 = 1, a 2 = 1, a n + 2 = a n + a n +1 Některé vlastnosti posloupností 1. rostoucí. 2. a) klesající; b) rostoucí; c) klesající; d) ani rostoucí ani klesající; e) klesající. 3. neklesající. 4. a) ne (rostoucí); b) ne (rostoucí); c) ano; d) ne (ani rostoucí ani klesající). 5. a) x > 0; b) x < 0; c) x = 0. 6. a) omezená; b) zdola omezená; c) shora omezená; d) omezená 7. b) zdola omezená; c) a1 = log 2; a n +1 = a n + log 2 Aritmetické posloupnosti 1. a) 2, 4, 6, 8, 10, 12; b) –1, 2, 5, 8, 11, 14; c) –0,5, –2, –3,5, –5, –6,5, –8; d) 2 , 2, 2, 2, 2, 2. 2. a) 14, 11, 8, 5, 2; b) 16, 12, 8, 4, 0; c) 4, 10, 16, 22, 28; d) 37, 33, 29, 25, 21. 3. a) a1 = 12, d = 3 ; b) a1 = 9,7, d = −1,4 ; c) a1 = 0, d = 0 ; d) dvě řešení 2 a1 = −2, d = 7; a1 = 19, d = −7 [Řešíme kvadratickou rovnici a3 − 17a3 + 60 = 0 ]. k 4. ⋅ (− k + 7 ) 2 5. n = 23, a 23 = 3 6. 3,6 dm, 6 dm. [Řešíme rovnici (4,8 − d ) 2 + 4,8 2 = (4,8 + d ) s neznámou d ∈ R]. 7. a1 d n an sn 2 0,5 33 18 330 0 0,5 11 5 27,5 3 –0,5 13 –3 0 10 10 14 140 1 050 8. Máme čtyři možnosti: {8, 8, 8}, {7, 8, 9}, {6, 8, 10}, {5, 8, 11}. 9. n ≥ 20 10. d = 3, n = 12, vkládám 10 čísel (7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34) 11. a1 = 5, d = 7 , sečteme sedm prvních členů. 12. Jsou dvě možnosti: buď a1 = 38, d = −5 a nebo a1 = 3, d = 5 13. a1 = 8, d = −3 2
Užití aritmetických posloupností 1. 12 vrstev, 13 rour 2. 17 3. d = 20°,α 1 = 70°,α 2 = 90°, … , α 6 = 170° 4. 621 součástek 5. 10a metrů 6. 38 °C 7. asi 20 vteřin
39
Geometrické posloupnosti 1. a) 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2; b) –10; –5; –2,5; –1,25; –0,625; –0,3125; c) –3,5; –3,5; –3,5; –3,5; –3,5; –3,5; d) –3,5; 3,5; –3,5; 3,5; –3,5; 3,5 2. q = −3; a 2 = −6; a3 = 18; a 4 = −54; a5 = 162 3. a1 = 3, q = 2 3 4. q = −4; c1 = − 256 5. a) 4, –8, 16, –35, 64; b) –1, 2, –4, 8, 16; c) dvě možnosti: 4, 16, 64, 256, 1 024; 4, –161, 64, –256, 1 024 6. 12, –8 ano, zbytek ne 7. a) Dvě možnosti: a1 = 1, q = 3; a1 = −4 , q = −2 [Přejdeme k soustavě rovnic a1·(1+q)=4, a1·q·(q+1)·(q–1)=24; je-li q ≠ –1, pak a1 = q4+1 a řešíme rovnici
4 q +1
·q·(q+1)·(q-1) = 24; pro q = –1 bychom
a1·0 = 4]; b) dvě možnosti: a1 = 16 , q = −0 ,5; a1 = −2 , q = −2 ; c) a1 = 1, q = 1; [a2 + a4 = (a1 + a3)·q]; d) dvě možnosti:
v první
rovnici
dané
soustavy
rovnic
dostali
a1 = 2 , q = 0; a1 = 1, q = −1 [a2 + a3 = a1·q·(q+1) = 0, právě když a1 = 0 nebo q = 0 nebo q = –1; vyšetříme všechny tyto případy]
8. 8; 4 6 ; 12; 6 6 ; 18; 9 6 ; 27 9. 85 10. Součet libovolného počtu členů posloupnosti je vždy menší než 2. 11. 2, 6, 18, 54 12. asi 813 615 zrn [První člen posloupnosti a1 = 15 a kvocient q = 15] 13. n = 5 Užití geometrických posloupností 1. 16 777 215 grošů 2. α = 38°10' 3. v roce 1958 [Předpokládejte, že první počítač byl použit n let před rokem 1971 a kvocient bude 1+0,54]. 4. a) 1,74 mm; b) asi po 5 protaženích 5. V = 27 5
⎛ 14 ⎞ 6. Jasnost paprsku je ⎜ ⎟ ⎝ 15 ⎠ 7. Je nutné ukládat 805,60 Kč 8. 248 9. 24 012,- Kč 10. 16 147,50 Kč 11. 37 548,30 Kč [ 32 000 · (1 + 0,85 ·
9 ,5 100
⋅ 14 )8]
Vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností n 2. cn = 0,3 , klesající, shora i zdola omezená.
40
Limity posloupností 1. a) 3, 2 12 , 2 13 , 2 14 , 2 15 , 2 16 , 2 17 , 2 18 , 2 19 , 2 101 , Obrázek 4; b) konvergentní [Dokážeme že ke každému ε > 0 existuje n0 ∈N tak, že pro všechna přirozená čísla n ≥ n0 je |cn – 2| < ε čili 2 n +1 n
− 2 < ε .]; c) lim c n = 2 n→∞
3 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1 2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Obrázek 4
2. a), b), c) konvergentní, limita je 7; d) konvergentní, limita je 1;
e) divergentní;
f) konvergentní, limita je –1 3. [a)
n 2 +1 n2
( n −1)⋅( n +1)
= 1 + + ; b) 1 n
1 n
n
3
=
n 2 −1 n3
= − 1 n
1 n3
; c)
7 n2 −n 5n2 +6
=
7 n2 n2 5n2 n2
− +
n
=
n2 6 n2
7 − 1n 5+
6
.]
n2
4. Konvergentní pro tyto případy: d ≠ 0; d = 0 a zároveň c = 0. V prvním případě je limita
c , ve druhém případě 0. (Je-li d = 0 a c ≠ 0 pak je posloupnost divergentní). d 5. a, b) konvergentní; c) není konvergentní 6. a) + ∞ ; b) – ∞ ; c) divergentní, nemá nevlastní limitu; d) konvergentní 7. a) + ∞ ; b) – ∞ ; c) divergentní, nemá nevlastní limitu; d) konvergentní, 0 8. Posloupnost je znázorněna na obrázku (Obrázek 5). 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0
1
2
3
4
5
Obrázek 5
9. limita je
5 2
10. –1
41
6
7
8
9
10
Literatura [1]
Benda P., Daňková B., Skála J.: Sbírka maturitních příkladů z matematiky, Státní pedagogické nakladatelství Praha 1966
[2]
Bušek I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky, Státní pedagogické nakladatelství Praha 1985
[3]
Bydžovský B., Vojtěch J.: Mathematika pro nejvyšší třídu reálek, JČM Praha 1912
[4]
Delventhal K. M. a kol.: Kompendium matematiky, Knižní klub Praha 2004
[5]
Jarník J.: Posloupnosti a řady, Mladá fronta Praha 1979
[6]
Kubát J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Státní pedagogické nakladatelství Praha 1988
[7]
Odvárko O.: Matematika pro gymnázia – Posloupnosti a řady, Prometheus Praha 1996
[8]
Odvárko O.: Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia – Posloupnosti a řady, Prometheus Praha 2000
[9]
Polák J.: Přehled středoškolské matematiky, Prometheus Praha 2000
[10]
Smida J., Odvárko O.: Matematika pro III. ročník gymnázií – Posloupnosti a řady reálných čísel, Státní pedagogické nakladatelství Praha 1989
[11]
Vyšín J.: O nekonečných řadách, Jednota československých matematiků a fysiků Praha 1948
42
Seznam zkratek a značek N
množina všech přirozených čísel
R
množina všech reálných čísel
a∈N
prvek a náleží do množiny všech přirozených čísel
a
prvek a je menší než prvek b
a>b
prvek a je větší než prvek b
a≤ b
prvek a je menší nebo roven prvku b
a≥ b
prvek a je větší nebo roven prvku b
a ≠ b
prvek a se nerovná prvku b
a ≈ 1
hodnota prvku a je přibližně 1
n!
faktoriál čísla n. Jeho hodnota je rovna součinu 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n − 1) ⋅ n
43
