POPISNÁ STATISTIKA EKONOMICKÝCH ýASOVÝCH ěAD
Základní pojmy VČtšina ekonomických jevĤ se chová dynamicky, tj. vyvíjí se v þase. Základním prostĜedkem studia dynamiky takových jevĤ je analýza jejich vývoje v minulosti, která nám umožĖuje poznat existující zákonitosti sledovaných jevĤ na þase a na základČ tohoto poznání pĜedpovídat jejich chování v budoucnosti. ýasovou Ĝadu dostaneme, když údaje o sledovaném jevu ve sledovaném þasovém úseku chronologicky uspoĜádáme. DobĜe sestavená a pro analýzu použitelná þasová Ĝada musí splĖovat tyto požadavky: x údaje musí být seĜazené chronologicky, x údaje musí být porovnatelné, jinak Ĝeþeno musí být zajištČna: a) jednota þasového období ve kterém jsou získány, b) jednotná definice údaje (mČrné jednotky, stejný zpĤsob sbČru dat). Pokud nČkteré z uvedených podmínek nerespektujeme, získáme nesprávné závČry. Z hlediska matematické statistiky je þasová Ĝada posloupnost (y1,...,yn) pozorovaných hodnot yi statistického znaku Y, kde index i odpovídá þasovému okamžiku ti nebo i-tému intervalu konþícímu v ti , k nČmuž se yi vztahuje, ti < ti+1, i
1,...,n . NČkdy místo yi píšeme yt. Graficky se þasová Ĝada nejþastČji znázorĖuje
pomocí grafu v kartézské souĜadné soustavČ, kde na x-ovou osu vynášíme indexy i anebo þasy ti a na y-ovou osu hodnoty yi . PĜíklad grafu þasové Ĝady je na obr. 1. ýasové Ĝady se vztahují k urþitému období, pak se jedná o intervalové þasové Ĝady, anebo k urþitému okamžiku, kdy se jedná o okamžikové þasové Ĝady. Intervalové þasové Ĝady obsahují ukazatele, zjišĢované vždy za urþité þasové období (hodina, den, mČsíc, rok, atd.). Pro tyto þasové Ĝady je charakteristické, že: x údaje vyjadĜují množství, x jsou závislé na délce sledovaného þasového intervalu, x souþet údajĤ má urþitý význam a smysl. Okamžikové þasové Ĝady obsahují údaje, vztažené k urþitému þasovému okamžiku. Pro tyto þasové Ĝady je charakteristické, že:
1
x údaje vyjadĜují úroveĖ nebo stav zkoumaného jevu, x údaje nejsou závislé na dobČ mezi sledovanými þasovými okamžiky, x souþet jednotlivých údajĤ nemá konkrétní smysl. MONTHLY CHAMPAGNE SALES 15 12 9 Sale 6 3 0 0
12
24
36
48
60
72
84
Time
Obr. 1 Pro správný rozbor þasové Ĝady je nutné si uvČdomit urþité rozdíly, které plynou z odlišného charakteru údajĤ obsažených v þasových Ĝadách a jejich významu. Proto rozdČlujeme þasové Ĝady na Ĝady: 1) pĤvodních veliþin:
a) intervalové b) okamžikové
2) odvozených veliþin:
a) souþtové:
D) kumulativní E) klouzavých souþtĤ (úhrnĤ)
b) prĤmČrové: D) kumulativních prĤmČrĤ E) klouzavých prĤmČrĤ c) rozdílové a pomČrové Intervalové Ĝady a okamžikové þasové Ĝady Intervalové Ĝady Hodnoty intervalových veliþin (znakĤ) pro intervalové þasové Ĝady se vztahují k urþitým intervalĤm (þasovým obdobím) a tyto hodnoty podstatnČ ovlivĖují délky tČchto
intervalĤ.
NejbČžnČjšími
intervalovými
2
veliþinami
jsou:
produkce,
maloobchodní obrat, tržby, mzdové fondy, odpracované hodiny, poþet narozených dČtí v urþitém období atd. Jejich základní agregující þíselnou charakteristikou je aritmetický prĤmČr hodnot y1,...,yn. KonkrétnČ pro stejnČ dlouhé þasové intervaly používáme prostý aritmetický prĤmČr
y
1 n yi n¦ i 1
a pro rĤznČ dlouhé þasové intervaly je vhodný vážený aritmetický prĤmČr s váhami rovnými pĜevráceným hodnotám tČchto délek. Okamžikové Ĝady
Hodnoty okamžikových veliþin (znakĤ) se nevztahují na urþité období, ale k urþitému okamžiku. Tímto okamžikem mĤže být první nebo poslední den tohoto období, zámČrnČ zvolený den nebo okamžik. PĜíkladem okamžikové veliþiny údaje je napĜ. poþetní stav obyvatelstva, dČlníkĤ, stav základních prostĜedkĤ atd. Tyto údaje ukazují okamžitý stav zvoleného jevu. Pro jejich základní agregování používáme tzv. chronologický prĤmČr. Jestliže známe hodnoty okamžikového ukazatele (sledovaného znaku Y) y1, y2, y3,..., yn v n þasových okamžicích t1, t2, t3,..., tn, vypoþteme pro dvojice (t1, t2); (t2, t3) ;...; (tn-1, tn) prĤmČry
y1 y 2 , y2 2
y1
y2 y3 ,..., yn1 2
y n1 y n , 2
Z tČchto dílþích prĤmČrĤ pak urþíme chronologický prĤmČr za období od t1 do tn jako jejich vážený aritmetický prĤmČr, pĜiþemž váhy volíme úmČrné vzdálenostem þasových okamžikĤ (viz obr. 2): d1 = t2 – t1, d2 = t3 – t2, … , dn-1 = tn – tn-1 . y1
y2
t1
y3
t2 d1
yn-1
t3
yn
tn-1
d2
tn dn-1
Obr. 2
3
Chronologický prĤmČr pak je y y3 y1 y 2 y yn d1 2 d2 " n1 dn1 2 2 2 d1 d2 " dn1
y chr a po úpravČ y chr
y1d1 y 2 (d1 d2 ) ... y n1(dn2 dn1 ) y ndn1 . 2 d1 d2 ... dn1
SpeciálnČ pĜi stejných þasových vzdálenostech d1 = d2 =...= dn-1 je chronologický prĤmČr y chr
0,5y 1 y 2 y 3 " y n1 0,5y n . n 1
PĜíklad 1 Ve výrobní firmČ Bernie, s.r.o. je vedena evidence stavu zásob. Celkový pĜehled je uveden v Kþ a k dispozici jsou údaje z následujících dnĤ: 1. leden
20,523 mil. Kþ
1. kvČten
16,100 mil. Kþ
1. Ĝíjen
17,230 mil. Kþ
1. leden
21,432 mil. Kþ
VypoþtČte prĤmČrný roþní stav zásob (jejich hodnotu) v této firmČ. ě e š e n í: Pro výpoþet použijeme vztah pro výpoþet chronologického prĤmČru s nestejnými þasovými vzdálenostmi (v mČsících), kde
y1 = 20,523, y2 = 16,100, y3 = 17,230,
y4 = 21,432 a
1.1.
1.5. d1 = 4
1.10. d2 = 5
4
1.1. d3 = 3
Po dosazení hodnot dostaneme y chr
20,523 4 16,100 4 5 17,230 5 3 21,432 3 | 17,880 mil. Kþ. 2 4 5 3
PrĤmČrný roþní stav zásob v podniku þinil 17,880 mil. Kþ. Tento prĤmČrný roþní stav by bylo možné urþit vzhledem k poþtu dnĤ, resp. pracovních dnĤ. PĜíklad 2 K dispozici jsou údaje o poþtu zamČstnancĤ firmy METALIKA v prĤbČhu kalendáĜního roku: 1. ledna
3 500 zamČstnancĤ
1. dubna
3 425 zamČstnancĤ
1. þervence
3 430 zamČstnancĤ
1. Ĝíjna
3 390 zamČstnancĤ
1. ledna
3 350 zamČstnancĤ
VypoþtČte prĤmČrný poþet zamČstnancĤ v dané firmČ v celém roþním období. ě e š e n í: Použijeme vztah pro výpoþet chronologického prĤmČru pro stejné þasové vzdálenosti y1 = 3 500, y2 = 3 425, y3 = 3 430, y4 = 3 390 a y5 = 3 350. Po
(v mČsících), kde
dosazení tČchto hodnot získáme y chr
0,5.3 500 3 425 3 430 3390 0,5.3 350 4
3 417,5 .
Chronologický prĤmČr stavu zamČstnancĤ podniku METALIKA þiní v daném roce 3 417,5. Pro pĜípadnou prezentaci zaokrouhlíme údaj nahoru, to jest na 3 418.
Speciální typy Ĝad Souþtové Ĝady kumulativní
Kumulativní Ĝady mají povahu narĤstajících úhrnĤ a používají se u Ĝad intervalového typu. Podstatou souþtové Ĝady kumulativní je naþítání hodnot zvoleného jevu od
5
stanoveného poþátku. Tento nástroj má své uplatnČní napĜ. v pĜípadČ sledování plnČní ukazatelĤ za urþité období (mČsíc, rok). Kumulativní hodnoty najdou své uplatnČní v záležitostech strategického rozhodování. Názorná ukázka použití tohoto nástroje je obsažena v následujícím pĜíkladČ. PĜíklad 3 Máme údaje o stavu výroby (tis. tun) za jednotlivé mČsíce. Úkolem je porovnání skuteþného stavu výroby za jednotlivé mČsíce a zároveĖ za celý rok: Produkce (tis. tun) MČsíþní hodnoty
Kumulativní hodnoty
MČsíc Plán
Výroba
(%)
Plán
Výroba
(%)
leden
36,2
36,5
100,8
36,2
36,5
100,8
únor
36,5
35,8
98,1
72,7
72,3
99,4
bĜezen
35,1
35,8
102,0
107,8
108,1
100,3
duben
34,2
35,1
102,6
142,0
143,2
100,8
kvČten
33,0
33,2
100,6
175,0
176,4
100,8
þerven
33,0
32,1
97,3
208,0
208,5
100,2
þervenec
33,0
31,2
94,5
241,0
239,7
99,5
srpen
32,5
31,0
95,4
273,5
270,7
99,0
záĜí
32,7
32,3
98,8
306,2
303,0
99,0
Ĝíjen
34,6
33,4
96,5
340,8
336,4
98,7
listopad
36,8
36,6
99,5
377,6
373,0
98,8
prosinec
38,0
38,1
100,3
415,6
411,1
98,9
Z tabulky kumulativních hodnot je vidČt (viz prosinec), že oproti roþnímu plánu 415,6 tis. tun bylo vyrobeno celkem za rok 411,1 tis. tun, což þiní 98,9 % plánu.
6
ýasové Ĝady kumulativních prĤmČrĤ
ěady kumulativních prĤmČrĤ jsou tvoĜeny z Ĝad intervalových. Tyto Ĝady ukazují, jak se kumulativní prĤmČry blíží k celkovému prĤmČru za sledované období, který je vyjádĜen poslední hodnotou. Tento nástroj je využíván pĜi sledování výše nákladĤ, pĜi sledování kvality výroby atd. Princip použití vychází z kumulativní souþtové Ĝady, pĜiþemž údaj se dČlí poþtem období, za které byl nakumulován. Pro demonstraci použijme v následujícím pĜíkladu data z pĜíkladu 3 s kumulativními hodnotami výroby: PĜíklad 4 Období
Kumulativní hodnota (tis. tun)
Kumulativní prĤmČr (tis. tun)
leden
36,5
36,5 : 1 = 36,50
únor
72,3
72,3 : 2 = 36,15
bĜezen
108,1
108,1 : 3 | 36,03
duben
143,2
143,2 : 4 = 35,80
kvČten
176,4
176,4 : 5 = 35,28
þerven
208,5
208,5 : 6 = 34,75
þervenec
239,7
239,7 : 7 | 34,24
srpen
270,7
270,7 : 8 | 33,84
záĜí
303,0
303,0 : 9 | 33,67
Ĝíjen
336,4
336,4 :10 = 33,64
listopad
373,0
373,0 :11 | 33,91
prosinec
411,1
411,1 :12 | 34,26
Souþtové Ĝady klouzavých souþtĤ
ěady klouzavých souþtĤ (úhrnĤ) mají charakter intervalových Ĝad a získáme je postupnými souþty pĜedem zvoleného poþtu po sobČ jdoucích hodnot pĤvodní Ĝady. Souþtová Ĝada klouzavých úhrnĤ je vhodná ke srovnání vývojové tendence pĤvodní Ĝady ve dvou delších (napĜ. roþních) obdobích - viz pĜíklad 5 s dvoumČsíþní Ĝadou. ýasové Ĝady klouzavých prĤmČrĤ
Klouzavé prĤmČry navazují na výpoþet klouzavých souþtĤ. Klouzavé prĤmČry se vypoþítají podČlením klouzavého souþtu poþtem seþtených období - viz pĜíklad 5 s dvoumČsíþní Ĝadou. ěada klouzavých prĤmČrĤ stírá pĜípadné sezónní vlivy na pĤvodní hodnoty. Další informace o klouzavých prĤmČrech lze nalézt v literatuĜe. 7
PĜíklad 5 Klouzavé souþty: 1994:
1995:
leden
36,5
36,5+35,8+33,2+31,2+32,3+36,6 = 205,6
bĜezen
35,8
35,8+33,2+31,2+32,3+36,6+36,8 = 205,9
kvČten
33,2
.............. = 206,2
þervenec
31,2
.............. = 207,0
záĜí
32,3
.............. = 207,8
listopad
36,6
.............. = 209,0
leden
36,8
.............. = 209,6
bĜezen
36,1
kvČten
34,0
þervenec
32,0
záĜí
33,5
listopad
37,2
Po vydČlení jednotlivých klouzavých úhrnĤ poþtem seþtených období (v našem pĜípadČ 6), dostaneme þasovou Ĝadu prostých klouzavých prĤmČrĤ: 34,267; 34,317; 34,367; 34,500; 34,633; 34,833; 34,933. Z obou vypoþtených þasových Ĝad klouzavých úhrnĤ a klouzavých prĤmČrĤ hodnot pro období 1994 a 1995 je zĜejmé, že trend výroby je rostoucí.
Vývoj þasových Ĝad
Mezi nejjednodušší charakteristiky rozboru þasových Ĝad patĜí absolutní a relativní míry rĤstu, respektive poklesu hodnot sledovaného znaku. Rozbor absolutních a relativních mČr rĤstu umožĖuje rozhodování pĜí výbČru funkce na vyrovnání þasové Ĝady. U následujících nástrojĤ budeme pro jednoduchost uvažovat, že délky intervalĤ mezi sousedními okamžiky okamžikových þasových Ĝad, pĜípadnČ délky intervalĤ u intervalových þasových Ĝad, jsou stejné. Absolutní míry rĤstu pĜedstavují absolutní porovnání hodnot jednotlivých þlenĤ þasové Ĝady. Pro bližší popis þasové Ĝady se používají:
8
absolutní pĜírĤstek (diference)
Gi
prĤmČrný absolutní pĜírĤstek
G
y i y i 1 pro i
1 n ¦ Gi n 1 í 2
2, 3,..., n ,
y n y1 , n 1
který se vypoþte jako prostý aritmetický prĤmČr všech absolutních pĜírĤstkĤ. Pokud jsou absolutní pĜírĤstky, oznaþované také jako první diference G(i1) , blízké konstantČ, má hodnocená þasová Ĝada lineární trend, který lze graficky vyjádĜit pĜímkou. Druhé diference G(i 2 ) se vypoþtou jako rozdíly dvou po sobČ jdoucích prvních diferencí a také se dle potĜeby poþítá jejich aritmetický prĤmČr G ( 2 ) . Jsou-li druhé diference blízké konstantČ, je možné trend þasové Ĝady vyjádĜit pomocí polynomu druhého stupnČ, tj. graficky parabolou. TĜetí diference se vypoþtou jako rozdíly dvou po sobČ jdoucích druhých diferencí. Další diference se urþí podobným zpĤsobem. ObecnČ pokud je m-tá diference pĜibližnČ konstantní, lze prĤbČh dané þasové Ĝady vyjádĜit pomocí polynomu stupnČ m. PomČrnou rychlost vývoje (rĤstu nebo poklesu) hodnot dané þasové Ĝady charakterizují relativní pĜírĤstky, které poþítáme jako podíl první diference i-tého a bČžné hodnoty (i –1)-tého období. Rychlost vývoje lze vyjádĜit charakteristikami: koeficient rĤstu
ki
yi pro i yi1
koeficient pĜírĤstku
Ni
Gi yi1
prĤmČrný koeficient rĤstu
k = n -1 k 2k 3 " kn
2, 3,..., n,
k i 1 pro i
2, 3,..., n,
n n -1
k i =2
i
n -1
yn , y1
který poþítáme pomocí geometrického prĤmČru individuálních koeficientĤ rĤstu. Koeficienty rĤstu a pĜírĤstku i prĤmČrné koeficienty rĤstu se také uvádČjí v procentuálním tvaru: ki100%, Ni100%,
k100% . Pokud jsou koeficienty rĤstu ki
pĜibližnČ konstantní, je prĤbČh þasové Ĝady zhruba exponenciální. PĜíklad 6 Vývoj hrubého domácího produktu (mld. Kþ) v ýeské republice v letech 1990 až 1996 je po pĜepoþtu na stálé ceny v tabulce:
9
Rok
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
HDP
564
721
859
1015
1192
1338
1579
Urþete prĤmČrný roþní HDP, absolutní roþní pĜírĤstky, prĤmČrný roþní pĜírĤstek, druhé diference, prĤmČrnou druhou diferenci, koeficienty rĤstu, koeficienty pĜírĤstku a prĤmČrný koeficient rĤstu HDP. ě e š e n í: ýást výsledkĤ výpoþtu je v následující tabulce, kde místo i je pĜímo þasová promČnná t: t
yt
Gt
Gt(2)
kt
kt100%
Nt
Nt100%
1990
564
---
---
---
---
---
---
1991
721
157
---
1,2784
127,84
0,2784
27,84
1992
859
138
-19
1,1914
119,14
0,1914
19,14
1993
1015
156
18
1,1816
118,16
0,1816
18,16
1994
1192
177
21
1,1744
117,44
0,1744
17,44
1995
1338
146
-31
1,1225
112,25
0,1225
12,25
1996
1579
241
95
1,1801
118,01
0,1801
18,01
6
7268
1015
84
---
---
---
---
Jedná se o intervalovou þasovou Ĝadu, takže prĤmČrný roþní HDP je prostý prĤmČr y
7268 | 1038,2857 | 1038,3 mld. Kþ. 7
Absolutní pĜírĤstky Gt, druhé diference Gt(2), koeficienty rĤstu kt a koeficienty pĜírĤstku Nt jsou v pĜedcházející tabulce. Odtud vidíme, že nejvČtšího pĜírĤstku HDP 241 mld.
Kþ bylo dosaženo v roce 1996 a naopak nejmenšího absolutního pĜírĤstku HDP 138 mld. Kþ bylo dosaženo v roce 1992. Avšak nejvČtšího relativního rĤstu HDP bylo dosaženo v roce 1991 (koeficient rĤstu je 1,2784, tedy 127,84 %) a nejmenšího relativního rĤstu HDP bylo dosaženo v roce 1995 (koeficient rĤstu je 1,1225, tedy 112,25 %). Z tabulky je dále vidČt, že nejvČtšího absolutního zrychlení vývoje HDP (nejvČtší kladná druhá diference) bylo dosaženo v roce 1996 a nejvČtšího zpomalení
10
vývoje HDP (nejvČtší záporná druhá diference) bylo dosaženo v roce 1995. PrĤmČrný roþní absolutní pĜírĤstek HDP je G
1015 7 1
169,1666…|169 mld. Kþ.
PrĤmČrný roþní koeficient rĤstu HDP je k
7 1
1579 6 | 2,7996454 | 1,1872 , 564
tedy 118,72 %. Odtud je prĤmČrný roþní koeficient pĜírĤstku HDP 0,1872, tedy 18,72 %. Výpoþet prĤmČrného koeficientu rĤstu nebo pĜírĤstku pomocí aritmetického prĤmČru je mírnČ Ĝeþeno zavádČjící, ale bohužel se to v ekonomických aplikacích nČkdy stává. PrĤmČrná roþní druhá diference HDP je G
(2)
84 72
16,8 ! 0 ,
takže se rĤst HDP celkovČ zrychluje. Popis þasových Ĝad
PĜi zkoumání vývoje sledovaného jevu v zákonitosti na þase nás kromČ vývoje (rĤst, pokles, stagnace) zajímají zákonitosti þasového vývoje. Vývoj þasových Ĝad je determinován kombinací nČkolika vlivĤ pĤsobících na hodnoty þasové Ĝady. Jde o: x trend vývoje (dlouhodobČ pĤsobící vliv), x periodické vlivy (pravidelnČ se opakující vliv), x nahodilé vlivy (pĤsobí nepravidelnČ, resp. náhodnČ). Trend þasové Ĝady
Trend je dĤležitý prvek þasových Ĝad a pĜedstavuje obecnou tendenci dlouhodobého vývoje sledovaného ukazatele v þase. V rámci ekonomického využití þasových Ĝad je trend nejdĤležitČjší složkou, která nás zajímá jak z hlediska souþasného stavu tak i predikce budoucího vývoje. ýasto se u þasové Ĝady oþekává lineární trend, vyjádĜený lineární funkcí þasu t a graficky pĜímkou, ale v ĜadČ pĜípadĤ jde o trend nelineárního tvaru. Pro vyjádĜení trendu þasových Ĝad byla vyvinuta a softwarovČ implementována Ĝada metod. Základní metodika je níže popsána v odstavci o vyrovnání þasových Ĝad.
11
Periodické vlivy
PĤsobením periodických vlivĤ dochází k periodickému kolísání prĤbČhu þasové Ĝady. Délka periody je rozdílná a podle její velikosti uvažujeme další þlenČní. Projevují se: x cyklické vlivy (kolísání se opakuje pravidelnČ v jednotlivých letech dlouhého
þasového období), x sezónní vlivy (kolísání se opakuje pravidelnČ v rámci jednoho delšího
þasového úseku - napĜ. mČsíce v rámci roku), x pĜípadnČ krátkodobé vlivy (kolísání krátkodobého charakteru pĜi pravidelné
periodČ - napĜ. den v týdnu, týden v mČsíci atd.). Pro vyjádĜení periodicity þasových Ĝad byla rovnČž vyvinuta a softwarovČ implementována Ĝada metod. Nahodilé vlivy
Nahodilé vlivy zpĤsobují nahodilé výkyvy ukazatelĤ þasových Ĝad kolem trendu nebo trendu s periodickými výkyvy. Tyto vlivy považujeme za rušivou složku. Nahodilé vlivy jsou modelovány pomocí náhodných veliþin a lze je diagnostikovat metodami matematické statistiky. Dekompozice þasové Ĝady
Z hlediska pĤsobení jednotlivých vlivĤ na prĤbČh þasové Ĝady lze vyjádĜit trend vývoje jako trendovou složku Tt, periodické vlivy jako periodickou složku Pt a náhodné vlivy jako náhodnou složku Et dané þasové Ĝady. Periodickou složku podle potĜeby rozdČlujeme na cyklickou složku Ct a sezónní složku St. Dekompozice þasové Ĝady pak spoþívá nejþastČji v jejím aditivním modelu yt = Tt + Pt + Et , resp. yt = Tt + Ct + St + Et anebo multiplikativním modelu yt = Tt Pt Et , resp. yt = Tt Ct St Et . Vyrovnání þasových Ĝad
PĜi zkoumání trendové složky þasové Ĝady jde vlastnČ o vymezení vlivu tČch þinitelĤ, které pĤsobí stabilnČ a urþují smČr vývoje dané þasové Ĝady. Graficky odpovídá Ĝešení této úlohy nalezení takové dostateþnČ jednoduché kĜivky, která by pĜi
12
grafickém znázornČní nejlépe vystihla smČr vývoje dané þasové Ĝady. Takovou kĜivku získáme grafickým, mechanickým nebo analytickým vyrovnáním þasové Ĝady. Grafické vyrovnání je založeno na zakreslení þasové Ĝady do grafu jako na obr. 1 a grafickým odhadem (vyrovnáním) jejího trendu ad hoc. Tato metoda má pouze orientaþní charakter, mĤže vést k zavádČjícím závČrĤm a díky software se již prakticky nepoužívá. Mechanické vyrovnání þasové Ĝady vychází z klouzavých souþtĤ. Když klouzavé souþty dČlíme poþtem období, dostaneme klouzavé prĤmČry, jejichž hodnoty jsou povČtšinou blízké pĤvodním hodnotám. Liší se tím, že jsou do urþité míry zbavené sezónních výkyvĤ. ýára klouzavých prĤmČrĤ bude tedy vyrovnanČjší než þára pĤvodních hodnot. PĜitom je tím monotónnČjší (a zároveĖ kratší), þím více období vezmeme za základ pro stanovení pĜíslušných klouzavých souþtĤ. Velkou pĜedností této metody je její jednoduchost a skuteþnost, že nás dobĜe informuje o tendenci vývoje dané þasové Ĝady zbavené sezónních i cyklických výkyvĤ. Analytické vyrovnání þasové Ĝady je založeno na pĜedpokladu závislosti hodnot þasové Ĝady yt na þase t. Pro vyrovnání þasové Ĝady používáme takovou funkci f(t), která co nejlépe vyhovuje jejímu prĤbČhu, tj. respektuje její trend, pĜípadnČ i její periodickou složku. VýbČr vhodné funkce f(t) je založen na rozboru prĤbČhu pĤvodních empirických (pozorovaných) hodnot þasové Ĝady yt, respektive jejich prvních druhých, pĜíp. dalších diferencí. Analytické vyrovnání þasové Ĝady má tvar y t = ˆy t + e t = f(t) + e t , kde ˆy t = f(t) je vyrovnaná hodnota pozorované hodnoty závisle promČnné yt a et je tzv. reziduální složka. Pro analytické vyrovnání se obvykle používají funkce, jejichž graf je pĜímka, parabola, exponenciála, rĤstová kĜivka apod. Jde vlastnČ o aplikaci metod regresní analýzy. V praxi se zejména u rozsáhlých þasových Ĝad provádí vyrovnání na PC pomocí statistického software. NejþastČji se používá pĜi vyrovnání þasové Ĝady tzv. vyrovnání pomocí pĜímky, kdy pĜedpokládáme, že Ĝada má lineární trend. Funkce f(t) má tvar ˆy t = b1 + b2 t ,
kde t = 1, 2,…, n. Koeficienty b1 a b2 stanovíme z tzv. soustavy normálních rovnic
13
n
n
b1n + b2 ¦ t = ¦ y t , t =1
t =1
n
n
n
b1 ¦ t + b2 ¦ t 2 = ¦ y t t . t =1
t =1
t =1
První koeficient b1 je y-ová souĜadnice bodu, ve kterém daná pĜímka protíná osu y a odpovídá vyrovnané hodnotČ þasové Ĝady v nultém období. Druhý koeficient b2 je smČrnice pĜímky a vyjadĜuje samotný trend, to znamená sklon pĜímky. Odpovídá zmČnČ vyrovnaných hodnot ˆy t pĜi jednotkové zmČnČ veliþiny t a vyjadĜuje prĤmČrnou zmČnu pĤvodních hodnot yt pĜi jednotkové zmČnČ veliþiny t. O vhodnosti použité funkce se mĤžeme pĜesvČdþit pomocí jejího grafu, velikosti koeficientu korelace nebo velikosti souþtu þtvercĤ odchylek (reziduí) n
¦ y
- ˆy t . 2
t
t =1
Výpoþet koeficientĤ b1 a b2 mĤžeme zjednodušit tím, že þasovou promČnnou t posuneme tak, aby se souþet posunutých þasových hodnot þasové promČnné rovnal nule. Toho dosáhneme posunutím poþátku t = 0 do aritmetického prĤmČru hodnot t. Místo pĤvodní promČnné t pak vezmeme novou promČnnou t* = t - t = t -
n+1 . 2
Pak dostaneme explicitní vztahy n
n
b1* =
¦ yt t =1
n
¦y t
*
t
, b*2 =
t =1 n
¦t
, *2
t =1
takže koeficient b1* je aritmetický prĤmČr hodnot yt a pro pĤvodní koeficienty platí b1 = b1* - b*2 t , b2 = b*2 . Postup výpoþtu s novou þasovou promČnnou t * se traduje ve starší literatuĜe z doby, kdy se výpoþet provádČl pouze ruþnČ. K výpoþtu uvedené pĜímky mĤžeme také použít software Excel.
14
PĜíklad 7 Urþete trendovou složku ˆy t = b1 + b2 t
þasové Ĝady vývoje hrubého domácího
produktu ýeské republiky v letech 1990 až 1996 z pĜíkladu 3.6. ě e š e n í: n
n
Z pĜíkladu 3.6 je n = 7,
¦ t = 13591, t =1
¦y
t
7268 a výpoþtem dostaneme
t =1
n
n
¦ t 2 = 27804371, t =1
¦y t
14489736 . Soustava normálních rovnic pak je
t
t =1
7b1 + 13591b2 = 7268 , 13591b1 + 27804371b2 = 14489736 . ěešením této soustavy dostaneme koeficienty b1 | 327237,3 a b2 | 164,7 . Odtud je vyrovnání þasové Ĝady ˆy t = -327237,3 + 164,7 t .
NapĜíklad pro t = 1993 dostaneme ˆy1993 = -327237,3 + 164,7 1993 = 1009,8 mld. Kþ,
což je v dobré shodČ se skuteþným HDP y1993 = 1015 mld. Kþ. Také hodnota b2 = = 164,7 mld. Kþ / rok odpovídá prĤmČrnému roþnímu absolutnímu pĜírĤstku G = 169 mld.Kþ z pĜíkladu 6. Pro ruþní výpoþet mĤžeme použít zjednodušený postup s transformací þasové promČnné t. Protože pĤvodní þasová promČnná nabývá hodnot 1990, 1991,…, 1996, provedeme transformaci t
t 1993 , neboĢ pro tuto danou þasovou Ĝadu
t = (1990 + 1991 + … + 1996)/7 = 1993. Poþet þasových období je n = 7, takže b1* =
564 + 721+ " + 1579 7268 = = 1038,2857 | 1038,3 , 7 7
b*2 =
(-3) 564 + (-2) 721+ " + 3 1579 4612 = = 164,71428 | 164,7 . (-3)2 + (-2)2 + " + 32 28
PĤvodní koeficienty pak jsou b1 = 1038,2857 164,71428 1993 = 327237,28 | 327237,3 , b2 = 164,71428 | 164,7 . Koeficienty b1 a b2 mĤžeme také vypoþítat pomocí explicitních vzorcĤ
15
v regresní analýze.
PĜíklady k procviþení
PĜíklad 8 K dispozici jsou údaje o stavu základních prostĜedkĤ v podniku v prĤbČhu kalendáĜního roku (úþetní hodnota): 1.1.
101,230 mil. Kþ
1.8.
100,250 mil. Kþ
1.3.
105,100 mil. Kþ
1.12.
99,800 mil. Kþ
1.4.
105,500 mil. Kþ
1.1.
103,150 mil. Kþ
VypoþtČte chronologický prĤmČr stavu základních prostĜedkĤ. V ý s l e d e k: y chr = 102,05875 mil. Kþ PĜíklad 9 V tabulce je uvedena spotĜeba elektrické energie v þeskoslovenském prĤmyslu v letech 1967 až 1972 v mld kWh. Rok
1967
1968
1969
1970
1971
1972
SpotĜeba
27,6
29,1
30,3
31,8
33,6
35,4
Urþete prĤmČrnou roþní spotĜebu elektrické energie, absolutní roþní pĜírĤstky, prĤmČrný roþní pĜírĤstek, druhé diference, prĤmČrnou druhou diferenci, koeficienty rĤstu, koeficienty pĜírĤstku a prĤmČrný koeficient rĤstu spotĜeby elektrické energie. V ý s l e d e k: y = 31,3 mld kWh; G
1,56 mld kWh; G ( 2 )
0,075 mld kWh; k | 1,051
P Ĝ í k l a d 10 Vyrovnejte prĤmČrný stav základních fondĤ (mil. Kþs) v následující tabulce za roky 1978 až 1985 pĜímkou a vypoþtČte odhad prĤmČrného stavu fondĤ v roce 1987 za pĜedpokladu, že se zachová vývoj þasové Ĝady: Rok
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
Stav
675,0
681,4
684,0
689,6
690,8
698,2
706,0
712,0
V ý s l e d e k: yct
c 9352,193 5,069 t , y1987
16
719.91 mil. Kþ
P Ĝ í k l a d 11 Dopravní firma AUTODOP mČla tyto roþní prĤmČrné stavy automobilového parku: 1993…54 ks, 1994…63 ks, 1995…69 ks, 1996…72 ks. V roce 1997 mČla firma k daným dnĤm skuteþné stavy, které jsou v tabulce: Den
1.1.
20.3.
15.4.
30.7.
Stav
70
66
71
80
25.9.
31.12.
82
90
Urþete prĤmČrný stav automobilového parku firmy v roce 1997, prĤmČrný roþní koeficient rĤstu a charakterizujte trend vývoje stavu v letech 1993 lineární funkcí. V ý s l e d e k: y chr | 77 ( vážený chronologický prĤmČr); k | 1,093 (prĤmČrný roþní nárĤst o 9,3 %); yct
10 905,5 5,5 t
Kontrolní otázky
1. Definujte þasovou Ĝadu a uvećte konkrétní pĜípady. 2. Uvećte rozdČlení þasových Ĝad a konkrétní pĜíklady na jednotlivé typy. 3. Jak se urþí chronologický prĤmČr okamžikové þasové Ĝady? 4. Jaké charakteristiky popisují vývoj þasové Ĝady? 5. Popište složky þasové Ĝady a její dekompozici. 6. Jakými zpĤsoby vyrovnáváme þasové Ĝady?
17
