POM2E

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: [email protected] web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační hodiny (LS 2016): Středa 13:30 – 15:00 Čtvrtek 9:15 – 10:45 Doporučuji domluvit se dopředu přes e-mail.

Informace k předmětu • Požadavky k zápočtu: – aktivní účast na cvičeních, – úspěšné napsání zápočtové písemné práce (podrobnější informace budou zveřejněny později).

• Zkouška: – ústní (seznam otázek bude zveřejněn později).

Pojistná matematika 2 Náplň předmětu: • • • •

kalkulace pojistného v neživotním pojištění matematické modelování v neživotním pojištění zajištění výpočty založené na rezervě pojistného v životním pojištění

Literatura • T. Cipra: Pojistná matematika – teorie a praxe (2. vyd.), Ekopress, Praha 2006; • Fr. Čámský: Pojistná matematika II, PřF MU, Brno 2006

Základní pojmy z pojišťovnictví • Pojištění = efektivní způsob tvorby a rozdělování finančních rezerv na úhradu potřeb, které jsou důsledkem realizace nahodilých skutečností (rizik). • Rezervy jsou vytvářeny z příspěvků osob (FO nebo PO), které jsou ohroženy stejným nebezpečím, a jsou spravovány pojistiteli (např. pojišťovna, penzijní společnost, stát, …). • Motiv k pojištění: – pojištěný subjekt raději zaplatí dopředu známou malou částku, aby se vyhnul případným velkým ztrátám v důsledku realizace daného rizika, – pojistitel očekává zisk plynoucí ze správy rezerv vytvořených z plateb od pojištěných subjektů (přebytek rezerv, investiční činnost).

Základní pojmy z pojišťovnictví • Nahodilá skutečnost = možná událost, u které není známo, kolikrát či zda vůbec během určité doby nastane (tzv. absolutní nahodilost, např. požár), nebo je jisté, že nastane, ale neví se, kdy (tzv. relativní nahodilost, např. smrt).

• Pojistná událost = nahodilá skutečnost, se kterou je spojen vznik povinnosti pojistitele poskytnout tzv. pojistné plnění. • Pojistné plnění – lze vyčíslit finančně, rozlišujeme: a) naturální – asistence, lékařský zákrok,… b) peněžní – dopředu známá finanční částka (krytí abstraktních potřeb typu smrt, dožití se,…) nebo uhrazení vzniklé škody.

Základní pojmy z pojišťovnictví • Pojistné nebezpečí = (dle NOZ) možná příčina vzniku pojistné události, např. požár, smrt následkem úrazu vs. smrt následkem nemoci, atp. • Pojistné riziko – chápáno různě: – dle NOZ = míra pravděpodobnosti vzniku pojistné události, – dle zák. o pojišťovnictví + dle prof. T. Cipry = nahodilý jev, jehož možným důsledkem je vznik potřeby (uhradit škodu, mít peníze ve stáří, opravit auto, atp.), nesmí se jednat o spekulativní riziko (sázková činnost, obchodování s CP, atp.).

Základní pojmy z pojišťovnictví • Klasifikace pojištění: 1) Soukromé komerční pojištění – provozováno komerčními pojišťovnami, upraveno zákonem o pojišťovnictví. 2) Sociální pojištění – organizováno státem, v ČR pojištění proti krátkodobé (nemocenské pojištění,…) a dlouhodobé (starobní a invalidní důchod) pracovní neschopnosti, státní politika zaměstnanosti. 3) Veřejné zdravotní pojištění – v ČR provozované zdravotními pojišťovnami, jinde může být součástí sociálního pojištění nebo komerčního pojištění. 4) Penzijní (při-)pojištění – v ČR doplňkové penzijní spoření, provozované penzijními společnostmi (dříve penzijní fondy), jinde může být součástí životního pojištění (komerční pojištění).

Základní pojmy z pojišťovnictví • Soukromé komerční pojištění: – Z právního hlediska rozlišujeme: • dobrovolné smluvní pojištění – je na uvážení daného subjektu, zda si je sjedná nebo ne, • povinné smluvní pojištění – zákon nebo vyhláška nařizuje určité skupině subjektů sjednání si určitého pojištění (např. „povinné ručení“, pojištění odpovědnosti za škodu u vybraných povolání – lékaři, advokáti,…), • zákonné pojištění – neuzavírá se smlouva, vše je dané zákonem (Zákonné pojištění odpovědnosti zaměstnavatele za škodu při pracovním úrazu nebo nemoci z povolání)

– Z hlediska účelu rozlišujeme: • •

obnosové pojištění – účelem je získat smluvený finanční obnos při nastání pojistné události, krytí „abstraktních“ potřeb (smrt, dožití se), škodové pojištění – účelem je náhrada vzniklé škody, plnění nesmí skutečnou škodu převýšit (pojištění majetku, odpovědnosti,…).

Základní pojmy z pojišťovnictví • Účastníci soukromého komerčního pojištění: – pojistitel = PO mající oprávnění provozovat pojišťovací činnost (uděluje ČNB), uzavírá pojistné smlouvy, ve kterých se zavazuje poskytnout pojistné plnění v případě nastání pojistné události, – pojistník = PO nebo FO, uzavírá s pojistitelem pojistnou smlouvu, ve které se zavazuje platit pojistiteli pojistné ve sjednané výši a termínech, – pojištěný (u nekomerčního pojištění pojištěnec) = FO nebo PO, na jejíž život, zdraví, majetek,… se pojištění vztahuje, – oprávněná osoba = osoba, které vznikne právo na pojistné plnění v důsledku pojistné události, – obmyšlený = u ŽP, kde je pojistnou událostí smrt pojištěného, v případě smrti pojištěného má nárok na výplatu pojistného plnění, je určen pojištěným, lze jej měnit v průběhu pojištění.

Základní pojmy z pojišťovnictví • Další pojmy v soukromém pojištění: – pojistné = úplata za pojištění, rozlišujeme: a) jednorázové pojistné – zaplatí se na začátku pojištění, stanovené na celou pojistnou dobu, b) běžné pojistné – placené opakovaně na jednotlivá pojistná období,

– pojistná doba = doba, na kterou je pojištění sjednáno, rozlišujeme: • pojištění na dobu určitou – je stanoven počátek a konec trvání pojištění, • pojištění na dobu neurčitou – je stanoven pouze počátek trvání pojištění a jsou dány podmínky pro ukončení pojištění,

– pojistné období = část pojistné doby, za kterou se platí běžné pojistné (alternativně období mezi dvěma splátkami pojistného), rozlišujeme roční a področní pojistné období.

Základní pojmy z pojišťovnictví • Soukromé komerční pojištění: 1) Životní pojištění – pojistná nebezpečí jsou smrt nebo dožití se určitého věku, v praxi pojišťovny k těmto dvěma životním rizikům přičleňují i krytí dalších rizik neživotního charakteru, která však na životní rizika úzce navazují, např. úraz, nemoc, invalidita,…

2) Neživotní pojištění: a) b) c) d) e)

pojištění osob – úraz, nemoc, invalidita, soukromé zdravotní pojištění, atp., pojištění majetku – živelní, odcizení, havarijní, atp., pojištění finančních ztrát – neschopnost nebo nevůle splácet úvěr, přerušení provozu, atp., pojištění odpovědnosti – „povinné ručení“,… pojištění právní ochrany.

Neživotní pojištění Na rozdíl od životního pojištění: • uzavíráno na kratší pojistnou dobu, nejčastěji na 1 rok, s příp. prodlužováním, • omezení pojistného plnění rozsahem pojistného zájmu – do výše škody (požární pojištění) ve škodových pojištěních, doba trvání následků škody (pojištění denní dávky při pracovní neschopnosti).

Dále si představíme blíže jednotlivé nejčastěji uzavírané druhy neživotního pojištění.

Neživotní pojištění Majetkové pojištění: a) pojištění majetku obyvatelstva, b) pojištění průmyslových a podnikatelských rizik – majetek, navazuje často pojištění finančních ztrát a záruk, c) zemědělské pojištění – majetek.

Neživotní pojištění Pojištění majetku obyvatelstva:

-

pojištění domácnosti - sdružené krytí více rizik, např. živelní, vodovodní, riziko krádeže; dražší věci lze pojistit formou doplňkových pojištění; rozlišení dle lokality, v níž se domácnost nachází; - pojištění budov (staveb) - sdružené krytí více rizik, též pro budovy ve výstavbě, v pojistném krytí bývá zahrnut též materiál na údržbu budovy; - havarijní pojištění (kaskopojištění) – pojištěny škody na motor. vozidlech způsobené živlem, havárií střetem, nárazem, odcizením, vandalstvím apod., lze sjednat různá připojištění, např. skel, zavazadel; spoluúčast

Neživotní pojištění Pojištění průmyslových a podnikatelských rizik:

-

živelní pojištění,

- strojní pojištění – kryje škody způsobené haváriemi strojů v návaznosti na živelní pojištění, - pojištění pro případ přerušení provozu (šomážní pojištění) – návaznost na obě předchozí pojištění; pojištění následných škod (ušlý zisk, náklady na obnovu provozu, penále odběratelům, apod.) - pojištění proti odcizení,

Neživotní pojištění Pojištění průmyslových a podnikatelských rizik: kaskopojištění podnikatelských subjektů – havarijní pojištění podnikatelských motorových vozidel, pojištění leteckého kaska a lodního/námořního kaska, dopravní pojištění (pojištění přepravy, kargopojištění) – kryje riziko zničení, odcizení nebo ztráty věci ve vnitrostátní přepravě / zahr. obchodu, nekryje riziko zničení věci nedodržením skladovacích podmínek;

Neživotní pojištění Pojištění průmyslových a podnikatelských rizik: pojištění úvěru – kryje riziko ztrát v případě nesplacení poskytnutého úvěru, typická vysoká spoluúčast (20-50%) nebo krytí pouze části pohledávky; provozují specializované pojišťovny (EGAP) různé formy pojištění: vývozních úvěrů, investic, dokumentárního inkasa, politických rizik spojených s osobami (pojištění únosů)

Neživotní pojištění Zemědělské pojištění: - pojištění plodin – kryje majetkové škody na rostlinné produkci způsobené např. krupobitím, mrazem, - pojištění hospodářských zvířat – kryje majetkové škody na živočišné produkci způsobené živlem, nemocí, úrazem, lze pojistit jednotlivá zvířata, např. závodní koně, chov psů apod. - pojištění lesů (živelní rizika).

Neživotní pojištění Pojištění odpovědnosti za škody: a) smluvní pojištění odpovědnosti, b) povinné smluvní pojištění odpovědnosti, c) zákonné pojištění odpovědnosti zaměstnavatele.

Neživotní pojištění Smluvní pojištění odpovědnosti: - dobrovolné pojištění vlastní odpovědnosti - pojištění odpovědnosti za škody občana v běžném občanském životě, - speciální pojištění odpovědnosti za škody občana - pojištění odpovědnosti za škody způsobené např. při výkonu povolání, - pojištění odpovědnosti za škody podnikatele - např. při výkonu povolání, za výrobek, poj. odp. zaměstnavatele za škody způsobené zaměstnancem.

Neživotní pojištění Povinné smluvní pojištění odpovědnosti: - povinnost určitých subjektů sjednat toto pojištění jako podmínku provozování činnosti, - pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla (povinné ručení) - pojištění odpovědnosti provozovatelů civilních letadel, - pojištění odpovědnosti za škody vzniklé při výkonu práva myslivosti / povolání (advokáti, daň. poradci, lékaři v nestátních zařízeních apod.

Neživotní pojištění Úrazové pojištění: • poj. plnění vypláceno, jestliže pojištěnému bylo způsobeno tělesné poškození (příp. smrt) neočekávaným a náhlým působením zevních sil nebo vlastní síly pojištěného; • tři složky: 1. plnění za smrt úrazem (SÚ) – celá pojistná částka, 2. plnění za trvalé následky úrazu (TNÚ) – v % z poj. částky dle rozsahu poškození, progrese 3. plnění za dobu nezbytného léčení (DNL) – v % z poj. částky odpovídajících délce doby nezbytného léčení nebo přímo denní odškodné za každý den pracovní neschopnosti (denní odškodné v důsledku úrazu nebo za každý den pobytu v nemocnici v důsledku úrazu);

Neživotní pojištění Soukromé zdravotní pojištění: a) soukromé pojištění zdravotní péče (léčebných výloh) – u nás jsou typická - pojištění za nadstandard v případě hospitalizace, - pojištění léčebných výloh při pobytu v zahraničí (cestovní ZP), apod. b) soukromé nemocenské pojištění (denní odškodné) - pojištění denní dávky při pracovní neschopnosti z důvodu nemoci - pro dorovnání dávek nemocenského ze soc. zabezpečení, - poj. denní dávky při pobytu v nemocnici z důvodu nemoci (ke krytí potřeb rodiny při absenci jejího člena z důvodu hospitalizace).

Neživotní pojištění Čekací doba - určitá doba začínající dnem uzavření PS, příp. dnem změny, po kterou pojišťovna v případě nastání PU neplní. Karenční doba - doba od vzniku PU, za niž pojišťovna není povinna plnit (má význam po uplynutí čekací doby);

Např. pojištění DNL má karenční dobu 7 dní, tj. pojišťovna bude nejdříve plnit od 8. dne léčení (možno zpětně).

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní pojmy: • intenzita pojistné ochrany I I = pojistné plnění / výše škody, I nabývá hodnot od 0 do 1 včetně obou krajních bodů, je-li I větší než 1, jde o kvalifikovaný pojistný podvod.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní pojmy: • pojistná hodnota H - v době uzavření smlouvy - reálné ocenění pojišťovaného předmětu (majetku), - v době pojistné události - časová nebo nová cena, příp. obvyklá cena pojišťovaného majetku;

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní pojmy: • nová cena věci = částka, za niž lze v době poj. události v daném místě zničenou věc ke stejnému účelu pořídit znovu; neuvažuje se amortizace • časová cena věci = cena, kterou měla věc bezprostředně před pojistnou událostí; stanoví se z nové ceny po odečtu částky vyjadřující opotřebení (amortizace); např. u domácích elektrospotřebičů či sportovních potřeb starších 3 let

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní pojmy: • obvyklá cena = cena, která by byla dosažena v době před vznikem poj. události při prodeji stejné či podobné věci v obvyklém obchodním styku.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní pojmy: • nejvyšší možná škoda M (max. škoda, Probable Maximum Loss) – pouze v pojištění majetku:

1. M = H (přibližně) platí většinou v pojištění majetku, někdy se určuje ze zkušenosti (v pojištění přerušení provozu vč. ušlého zisku, v poj. odpovědnosti za výrobek);

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní pojmy: 2. M > H k pojistné hodnotě mohou být přičteny tzv. zachraňovací náklady (např. na preventivní opatření, která však nakonec nebyla nutná, na odklizení následků škody, na záchranu života apod.) 3. M < H v případě, že lze předpokládat, že škoda se prokazatelně neprojeví na veškerém pojištěném majetku, ale pouze na jeho části, např. v pojištění proti krádeži v objektu, kde lze majetek ukrást jen stěží (kvůli velikosti).

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní pojmy: • pojistná částka S - údaj technického charakteru a základ pro výpočet pojistného; odvozena z hodnoty H - často horní hranice pojistného plnění, při vyšší škodě pojišťovna plní jen do výše pojistné částky.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní pojmy: • podpojištění

S < H, tj. I < 1,

v průběhu času od uzavření poj. smlouvy (vhodná revize pojištění, indexace poj. částek, limitů a pojistného) škoda na majetku je pak kryta jen z části a klient by v případě poj. události dostal plnění v nižší výši (dané poměrem S/H); někdy se pojišťuje jen část pojistné hodnoty majetku záměrně (tzv. zlomkové pojištění, horní hranice plnění je udána limitem pojistného plnění, ne pojistnou částkou). Příklad na tabuli

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Pojistné: - běžné pojistné – přirozené pojistné vždy na jeden rok, vypočteno tak, aby pokrylo škody na rok, za který je zaplaceno; - víceleté pojistné – roční, področní: - předplacené pojistné (umožňuje provedení storna při zrušení pojistky), - jednorázové pojistné (storno neumožňuje)

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Pojistné : - předepsané pojistné (uvedené v poj. smlouvě), - přijaté pojistné (skutečně inkasované, obvykle nižší než předepsané pojistné o nedoplatky), dále se dělí na: - zasloužené pojistné (příslušné k danému roku = k aktuálnímu účetnímu období), - nezasloužené pojistné (příslušné k budoucímu roku = k budoucímu účetnímu období)

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění zaplacení roč. pojistného 1.1.2015 14.2.2015

31.12.2015 14.2.2016

přijaté pojistné zasloužené pojistné v roce 2015

nezasloužené poj. v roce 2016

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Pojistné: - nettopojistné (čisté pojistné), - bruttopojistné (hrubé, tarifní pojistné, pojistná sazba) - pojistné navýšené o kalkulované správní náklady, bezpečnostní přirážku (ta bývá někdy zahrnována do nettopojistného) a na rozdíl od pojistného v životním pojištění též explicitně vypočtený zisk

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Pojistné: • kredibilitní pojistné – pojistné vypočtené na základě dat konkrétní pojišťovny a globálních údajů z cizích či širších databází (např. od konkurenčních pojišťoven, z databází ČAP, evropských institucí apod.) z důvodu nedostatku vlastních dat; kredibilita – stupeň důvěryhodnosti zakomponovaný do výpočtu: Pkredib = Z Pvlastní + (1-Z) Pglobal

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Tarifování = vymezení tarifních skupin v neživotním pojištění; Musí být provedeno na základě objektivních rizik (takových, která jsou dána objektivními faktory, např. typ vozidla, síla motoru, region, apod.)

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Subjektivní rizika (vztažena ke konkrétnímu předmětu pojištění) se nezohledňují přímo v tarifech, ale využívá se systému bonus-malus (někdy tzv. následné tarifování). Např. riziko autohavárie u řidičů pomocí počtu bezeškodních roků.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Tarifní skupiny = homogenní skupiny pojistných smluv, pro něž je riziko přibližně stejné; To vede k možnosti udělit stejnou pojistnou sazbu, z obecnějšího hlediska pak k individualizaci rizik.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Tarifní proměnné = proměnné, jejichž hodnoty jsou vždy spojeny s určitou mírou rizika, přičemž v neživotním pojištění se hodnoty považují přímo za úrovně rizika. Počet rizikových úrovní pak udává počet tarifních skupin. Je-li proměnných více, můžeme rizikové úrovně kombinovat a počet tarifních skupin je dán počtem kombinací rizikových úrovní.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Tarifní proměnné v neživotním pojištění (pojištění proti vichřici): 1. 2. 3. 4.

proměnná = geografická poloha proměnná = druh budovy proměnná = druh venkovních stěn proměnná = druh střechy

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Tarifní proměnné v neživotním pojištění (pojištění proti vichřici): 1. proměnná = geografická poloha (2 úrovně rizika, tj. 2 tarifní skupiny) - místa téměř bez výskytu vichřic, - místa s častým výskytem vichřic;

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění 2. proměnná = druh budovy (5 úrovní rizik, tj. 5 tarifních skupin): - budovy stojící v řadě, příp. ve skupině (řadové RD), - samostatně stojící budovy, - zemědělské budovy, - průmyslové budovy, - kostely s věžemi;

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění 3. proměnná = druh venkovních stěn (3 úrovně rizika, tj. 3 tarifní skupiny) - masivní, - otevřené, - jiné;

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění 4. proměnná = druh střechy (3 úrovně rizika, tj. 3 tarifní skupiny) - vyrobená z tašek / břidlice, - lepenková, - dřevěná / rákosová.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Celkem tarifních skupin v pojištění proti vichřici:

2 * 5 * 3 * 3 = 90 Skupina 1111 – zahrnuje budovy s masivními stěnami a taškovou (břidlicovou) střechou stojící v řadě a v místě, kde není častý výskyt vichřic.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Tarifní proměnné mohou být vzájemně provázány, např. v pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem motorového vozidla – 4 proměnné:

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění 1. proměnná = typ vozidla (28 úrovní rizika); 2. proměnná = síla motoru – pro každý typ vozidla (pro každou z 28 hodnot 1. proměnné) je stanoven konkrétní (ne nutně stejný) počet úrovní rizik (vyjádřených horními, resp. dolními hranicemi výkonu motoru v kW);

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Např. pro typ vozidla osobní auto do 9 míst je stanoveno 11 rizikových úrovní: do 17 kW, do 25 kW, …, nad 110 kW. 3. proměnná = způsob využívání vozidla: - soukromé účely, - služební účely, - zemědělské účely;

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění 4. region – místo, kam vozidlem jezdíme, např. pro skupinu využívání vozidla pro soukromé účely je stanoveno 8 úrovní rizika: - 4 úrovně pro obce do 300 000 obyvatel, - 4 úrovně pro obce nad 300 000 obyvatel.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Vzájemně spolu souvisí tarifní proměnné: -

typ vozidla a síla motoru, způsob využívání vozidla a region.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Tarifování představuje možnost třídění rizik. Pozitivní stránka tarifování – podrobnější třídění vede k vytvoření pojištění „na míru“, Negativní stránka tarifování – roste složitost sazebníku a správních nákladů; podrobné tarifování se nevyplatí v případě vysokého nárůstu nákladů; u některých úzce vymezených pojištění může dojít ke kolísání škodního průběhu (celkové poj. plnění/celkové pojistné).

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Stanovení minimálního počtu pojistných smluv v jedné tarifní skupině pomocí míry kolísání škodního průběhu: N … počet poj. smluv v jedné tarif. skupině, x … výše škody (zhruba stejná pro každou pojistku ve skupině), q … p-st vzniku škody (opět stejná v rámci jedné skupiny)

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Náhodná veličina Qi „vznik škody v i-té smlouvě, i = 1,…,N“ s alternativním rozdělením s parametrem q:

1

s p-stí q,

0

s p-stí 1-q.

Qi =

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Očekávaná hodnota Qi: E(Qi) = 1* q + 0*(1-q) = q

Směrodatná odchylka Qi:

s (Qi) = [Var (Qi)]1/2 = [E(Qi2)- E2(Qi)]1/2 = = [q- q2]1/2 = [q*(1- q) ]1/2

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Předpoklad: Vznik škody v i-té smlouvě nemá vliv na vznik škody v j-té smlouvě, neboli NV Qi a Q j jsou vzájemně nezávislé. Počet celkem vzniklých škod má tedy binomické rozdělení s parametry (N,q).

Očekávaný (průměrný) počet škod: E(Q1 +…+ QN) = E(Q1) +…+ E(QN) = Nq s (Q1 +…+ QN) = [Nq*(1- q) ]1/2 s riziko, že počet škod v rámci celé tarifní skupiny bude odlišný od hodnoty Nq

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Průměrná (střední) výše škody v Kč:

x*N*q (měla by odpovídat jednorázovému nettopojistnému) Riziko, že pojistné nebude ke krytí škod stačit: x * [Nq*(1- q) ]1/2

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Míra kolísání škodního průběhu k: k = x * [Nq*(1- q)

]1/2

/ x*N*q=

1−𝑞 𝑁𝑞

směrod. odchylka celk. škody celkové nettopojistné Interpretace: průměrná odchylka od očekávané výše škody odpovídající jednotce nettopojistného v 1 tarifní skupině (jde o variační koeficient (Q)/E(Q)) riziko pojistitele v 1 tarifní skupině = k * celkové nettopojistné

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Počet smluv N 1 10 100 1000 10 000

Míra kolísání k pro q=0,01 pro q=0,001 9,95 31,61 3,15 9,99 0,99 3,16 0,31 1,00 0,10 0,32

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Např. k = 0,31 (N = 1 000) Na každou jednotku nettopojistného hrozí 31% riziko, že nettopojistné nebude stačit ke krytí škod; proto pojišťovna může navýšit toto nettopojistné o bezpečnostní přirážku 31 % z nettopojistného: Nettopojistné + bezpečnostní přirážka rizikové pojistné (1,31% nettopoj.)

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Přirážky a slevy za nestandardní rizika k základnímu pojistnému pro standardní rizika (nejde o následné tarifování): • absolutní – za možnou příčinu škody, za zábranné opatření navíc; • relativní – za nestandardní úroveň rizik vzhledem ke standardní situaci, pro niž je stanoveno základní pojistné; lze je započítávat: • aditivně • multiplikativně

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Započtení absolutních přirážek a slev: základní pojistné 4‰S první přirážka +2,5 ‰ sleva -1,0 ‰ druhá přirážka +0,8 ‰ +2,3 ‰ výsledné pojistné 4 +2,3 = 6,3 ‰ S

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Aditivní započtení relativních přirážek a slev: základní pojistné 4‰S první přirážka +180 % sleva -50 % druhá přirážka +40 % +170 %, 170 %*4 ‰ S = 6,8 ‰ S výsledné pojistné 4 + 6,8= 10,8 ‰ S

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Multiplikativní započtení relativních přirážek a slev: základní pojistné 4‰S první přirážka +150 % +6 ‰ 10 ‰ sleva -50 % -5‰ 5‰ druhá přirážka +40 % +2 ‰ výsledné pojistné 7‰S

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní statistické podklady • počet pojištění N, • počet pojistných událostí (počet škod) n, • celková pojistná částka (součet všech pojistných částek všech pojistných smluv), • celkové pojistné plnění v daném roce (vč. rezerv na plnění z poj. událostí vzniklých v daném roce, která budou vyplácena až v příštím roce), • maximální škoda v daném roce,

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění • celkové pojistné s rozlišením na: – předepsané pojistné, – přijaté pojistné, – zasloužené pojistné, – nezasloužené pojistné

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Základní statistické ukazatele (schema) 1. průměrné pojistné plnění (škodní potřeba) PPP = celk. poj. plnění / N, 2. průměrná pojistná částka PPČ = celk. poj. částka / N, 3. průměrná škoda PŠ = celk. poj. plnění / n, 4. škodní frekvence ŠF = q1 = n / N,

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění 5. pojistná sazba PS = celk. pojistné / celk. poj. částka, 6. škodní sazba (škodní procento) ŠS = celk. poj. plnění / celk. poj. částka, 7. škodní průběh (kvóta) ŠP = celk. poj. plnění / celk. pojistné, 8. škodní stupeň (rozsah) ŠSt = q2 = PŠ / PPČ.

Kalkulace pojistného v neživotním pojištění Důležitou roli v kalkulaci pojistného mají škodní frekvence a škodní stupeň. Interpretace: • škodní frekvence q1 … odhad pravděpodobnosti škody v jedné pojistné smlouvě za jeden rok, nebo střední počet škod v jedné pojistné smlouvě za jeden rok, • škodní stupeň q2 … střední výše škody na jednotkovou pojistnou částku za jeden rok. Platí následující vztahy:

PPP = ŠF * PŠ = ŠS * PPČ ŠS = ŠP * PS = ŠF * ŠSt = q1 * q2

Příklad: Stat. podklady pro pojištění rekreačních budov za 1 rok Celkové pojistné: 6 600 000 Kč, z toho rizikové pojistné: 4 900 000 Kč

Počet pojištění

Poj. částka (Kč)

10 000

100 000

100 10 100

1 000 000

Počet poj. událostí 296 4 300 5 1 6

Pojistné plnění (Kč) 10 000 100 000 20 000 900 000

306

Zdroj: T. Cipra – Pojistná matematika - teorie a praxe

Celk. poj. plnění (Kč) 2 960 000 400 000 3 360 000 100 000 900 000 1 000 000 4 360 000

Příklad:

Stat. ukazatele pro rekreační pojištění budov za 1 rok

Ukazatel

Hodnota

průměrné pojistné plnění

432 Kč

průměrná poj. částka

108 911 Kč

průměrná škoda

14 248 Kč

škodní frekvence

0,030 3 = 30,3 ‰

pojistná sazba

0,006 = 6 ‰; pro riz. poj. 4,5 ‰

škodní sazba (škodní procento)

0,004 = 4 ‰

škodní průběh (kvóta)

66,1 %; pro riz. poj. 89 %

škodní stupeň (rozsah)

13,1 %