Příklady k přednášce 5 - Identifikace
Michael Šebek Automatické řízení 2015 3-3-15
Jiná metoda pro 2. řád bez nul kmitavý Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Hledáme G (s) = k
ωn2 s 2 + 2ζωn s + ωn2
• Aplikujeme
y (t ) A1
y (∞ )
u (∞ ) s 1. Změříme y (∞), A1 , A2 , Td
A2
u (s) =
Td
2. Vypočteme A1 y (∞ ) = , µ ln= ,ζ k = u (∞ ) A2
µ
= , ωn
4π + µ 2 2
2π Td 1 − ζ 2
• Klasické názvosloví: A1 A2 faktor útlumu, T0 časová konstanta µ tzv. logaritmický dekrement útlumu • Pro zajímavost A1 A1 1 2π ζωnTd ,µ = ln = =e = ζωnTd , ωd dále platí A2 n − 1 An Td Michael Šebek
Pr-ARI-05-2015
2
Jiná metoda - odvození Automatické řízení - Kybernetika a robotika
ωn2 u (∞ ) 1 −ζω t 2 ↔ = ∞ − − y(s) = k 2 y t ku e t +ϕ ( ) ( ) 1 sin 1 ω ζ n 2 2 s + 2ζωn s + ωn s 1− ζ • V limitě je závorka rovna nule, takže y (∞) = ku (∞) → k = y (∞) u (∞) • Z definic je 2π 2π 2π = → ωn = Td = ωd ωn 1 − ζ 2 Td 1 − ζ 2 n
(
)
• Při překmitu má závorka maximální hodnotu (tj. sin = -1), takže
•
1 1 −ζωn t A1 −ζω t − ku (∞)= ku (∞) A1= y (t A1 ) − ku (∞)= ku (∞) 1 + e e n A1 1− ζ 2 1− ζ 2 1 −ζω ( t +T ) A2= y (t A1 + Td ) − ku (∞)= ku (∞) e n A1 d 1− ζ 2 −ζω t A1 A1 2π e n A1 ζωnTd ln µ ζω ζ = = → = = = e T n d a z toho A2 e −ζωn (t A1 +Td ) A2 1− ζ 2 2 2 4π 2ζ 2 → µ= µ 2 − µ 2ζ =
Michael Šebek
Pr-ARI-05-2015
( 4π 2 + µ 2 ) ζ 2 → ζ=
µ 4π 2 + µ 2 3
Strejcova metoda identifikace Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro aperiodické průběhy • Najdeme inflexní bod, změříme Tu (doba průtahu) a Tn (doba „náběhu“) • a vypočteme parametr
τ=
Tu Tn
• Podle jeho velikosti aproximujeme průběh různými přenosy
k
τ < 0.1 → G ( s ) =
(T1s + 1)(T2 s + 1) k
τ ≥ 0.1 → G ( s ) = (Ts + 1)n Michael Šebek
Pr-ARI-05-2015
4
Strejcova metoda Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Případ τ < 0.1 , kdy hledáme parametry přenosu
G (s) = v těchto krocích
k
(T1s + 1)(T2 s + 1)
y (∞ ) u (∞ ) 2) t1 : = y (t1 ) 0.72 y (∞)
1)
k=
t 3) T1 + T2 = 1 1.2564 4) t2 = 0.3574 (T1 + T2 ) 5) y (t2 ) 6) τ 2 =
T1 T2
y(t2) 0.30 0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23
τ2 0.000 0.023 0.043 0.063 0.084 0.105 0.128 0.154
y(t2) 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16
τ2 0.183 0.219 0.264 0.322 0.403 0.538 1.000
7) T1 , T2 Michael Šebek
Pr-ARI-05-2015
5
Strejcova metoda Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Případ τ ≥ 0.1 , kdy hledáme parametry přenosu v těchto krocích k G (s) = n y (∞ ) ( ) Ts + 1 1) k = u (∞ ) 2) Skokovou odezvu normujeme na y (∞) =1 T 3) Sestrojíme tečnu v inflexním bodě a určíme τ = u Tn 4) Podle hodnoty určíme v tabulce nejbližší vyšší řád n a přesnější souřadnici yi inflexního bodu n τ yi
2 0.104 0.264
3 0.218 0.327
5) Z grafu určíme 6) T =
4 0.319 0.359
5 0.41 0.371
6 0.493 0.384
7 0.57 0.394
8 0.642 0.401
9 0.709 0.407
10 0.773 0.413
ti : y (ti ) = yi
ti n −1
Michael Šebek
Pr-ARI-05-2015
6
Další detaily k metodě „logaritmování“ Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pokud je y (t ) − y (∞) < 0 (jako v prvním kroku a možná v některém z y (t ) dalších), je A < 0 . Pak postup modifikujeme 1
−α t
y (∞) − y (t )− ≅ − Ae ln ( y (∞) − y (t ) ) ≅ ln A − α t •
• • •
α Zjistíme A a přidáme znaménko „-“ Místo výpočtu logaritmů je možno přímo kreslit na semilogaritmický papír – ty bývají pro log10 takže je lépe užít dekadický logaritmus. Pozor na log10 e ≈ ~ 0.4343 Metoda je citlivá na nastavení přímek. V rozumných případech (kvalitní data s málo šumem), dává dobrý fit odezvy Což ale neznamená, že jsme dobře trefili časové konstanty
• Hezký příklad s ukázkou „numerických“ problémů je v učebnici Franklin-ed.6, s. 142, sekce 3.7 Michael Šebek
Pr-ARI-05-2015
7
Identifikace z frekvenční odezvy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
1. 2. 3.
4.
Mezi 100-1000 rad/s amplituda klesá (Dorf ed.11- 8.3 s 517) G ( j 300) = −3dB cca -20 dB/dekádu, odhadujeme pól p1 = 300 Fáze strmě roste (+180°) a ϕ ( j 2540) = 0° odhadujeme pár komplex. nul v ωn = 2450 Směrnice amplitudy se vrací k 0, za ω = 50, 000 tušíme další pól: Tento pól je na p2 = 20, 000 protože G ( j 20, 000) = −3dB a fáze je tam +45° Zakreslíme asymptoty na máme
s ωn ) + 2ζωn s + 1 ( G (s) = ( s p1 + 1)( s p2 + 1) 2
5. 6.
Rozdíl hodnoty asymptot od skutečné na „rohové frekvenci“ ωn = 2450 je 10dB, z toho ζ = 0.16 Michael Šebek
Pr-ARI-05-2015
8
Identifikace z frekvenční odezvy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
V kroku 5 vycházíme z převráceného grafu pro rezonanční špičku podle tlumení komplexní póly
komplexní nuly
[1 + (2ζ/ωn) jω+ ( jω/ωn)2]-1 [1 + (2ζ/ωn) jω+ ( jω/ωn)2] Michael Šebek
Pr-ARI-05-2015
9
Identifikace z frekvenční odezvy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Tedy nám celkem vyšlo
( s 2450 ) + ( 0,32 2450 ) s + 1 G (s) = ( s 300 + 1)( s 20000 + 1) 2
s 2 + 780 s + 6000000 = 2 s + 20000 s + 6000000 Po změně časového měřítka
kontrola:
sτ = st 6000000
τ =t
6000000
Dostaneme „hezčí čísla“ Michael Šebek
s 2 + 0.32 s + 1 G ( sτ ) = 2 s + 8.2 s + 1 Pr-ARI-05-2015
10
Atomic Force Microscope - Piezoelectric drive Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• • • • •
•
(Astrom, Murray 2008, s. 285) Spektrální analyzátor naměřil (za 1s) Minima → frekvence nul Maxima → frekvence pólů Dobrý fit v okolí maxim a minim → tlumení, násobnosti nul a pólů Po dobrém fitování amplitudové části se najde dopravní zpoždění nastavením fázové části Bodeho grafu Tak dostaneme
G ( s) =
kω22ω32ω52 ( s 2 + 2ζ 1ω1s + ω12 )( s 2 + 2ζ 4ω4 s + ω42 ) e − sτ
ω12ω42 ( s 2 + 2ζ 2ω2 s + ω22 ) ( s 2 + 2ζ 3ω3 s + ω32 )( s 2 + 2ζ 5ω5 s + ω52 ) kde ωk = 2π f k a f1 2.42 kHz, f 2 2.42 kHz, f3 2.42 kHz, = = ζ 1 0.03, = = ζ 2 0.03, = = ζ 3 0.03, f 4 2.42 kHz, f5 2.42 kHz, = = ζ 4 0.03, = = ζ 5 0.03 Michael Šebek
Pr-ARI-05-2015
11
Ultimate gain and period, Gain ratio Automatické řízení - Kybernetika a robotika
( jωϕ ) , ϕ arg G ( jωϕ ) = Kϕ G = • Označme
ω180 K0
K180
• hodnoty ω90 , ω180 , K 90 , K180 jsou velmi důležité pro řízení 1 • Ultimate gain K u = je zesílení K180 proporcionálního regulátoru, při kterém začíná uzavřená smyčka oscilovat 2π (s ultimátní periodou Tu = )
ω0 = 0
ω90
K 90
ω180
• Podobně v případě integračního regulátoru funguje ω90 , K 90 • Gain ratio (podíl zesílení) udává obtížnost řízení Michael Šebek
K180 G (ω180 ) = κ = K0 G (0) Pr-ARI-05-2015
12
