Příklady k přednášce 1. Úvod

Příklady k přednášce 1. Úvod

Michael Šebek Automatické řízení 2016 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

22-2-16

Kyvadlo řízené momentem Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Pohybová rovnice (2. Newtonův zákon pro rotaci) J = ml 2

J ϕ = ∑ M

= M c − Fg l sin ϕ = M c − mgl sin ϕ

y ϕ= ,u Mc • Nelineární IO model s = ml 2ϕ + mgl sin ϕ = Mc

Fg = mg

ml y + mgl sin y = u 2

• Nelineární stavový model s

m

x1= ϕ= y, x2= ϕ= y , u= M c

x1 = x2

1 g x2 = − sin x1 + 2 u l ml y = x1 Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

2

Jen pro zajímavost: Existuje přesné řešení? Automatické řízení - Kybernetika a robotika

0 • Při hledání řešení (Mathieuovy) rovnice ml 2ϕ + mgl sin ϕ = • „první integrál pohybu“ (výpočtem rychlosti z kinetické energie)

dϕ 2g = ( cos ϕ − cos ϕ0 ) dt  • Dále bychom postupovali metodou separace proměnných dϕ dϕ = = dt → ∫ t + C1 2g 2g ( cos ϕ − cos ϕ0 ) ( cos ϕ − cos ϕ0 )   • To ale vede na eliptický integrál, který patří mezi tzv. neelementární (je dokázáno, že ho nelze sestavit z elementárních funkcí) • Přesné řešení rovnice (v uzavřeném tvaru) tedy neexistuje! Michael Šebek

ARI-Pr-01-2016

3

Fázový portrét Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Řešení nelineárních stavových rovnic ve „fázovém prostoru“ - pro 2. řád je 2D

x1 = x2 x2 = − sin x1

x2 = ϕ

x1 = ϕ • Složité křivky, nelze je popsat elementárními funkcemi • SW: http://www.bae.ncsu.edu/people/faculty/seaboch/phase/newphase.html Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

4

Kyvadlo - lineární aproximace v dolní poloze Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• V dolní poloze ϕ p =0, ϕ p =0, M cp =0 → ϕp =0 • IO model ml 2ϕ + mgl sin ϕ = Mc ml 2 (ϕp + ∆ϕ) + mgl ( sin ϕ p + ∆ϕ cos ϕ= M cp + ∆M c p) ml (0 + ∆ϕ) + mgl ( sin 0 + ∆ϕ cos 0 ) = 0 + ∆M c ml 2 ∆ϕ + mgl ∆ϕ =∆M c ml 2 ∆ y + mgl ∆y =∆u 2

• stavový = x1 p 0,= x2 p 0,= M cp 0

g 1 − sin x1 + 2 u x1 = x2 , x2 = l ml 0 + ∆x1 = 0 + ∆x2 g 1 0 + ∆x2 = − cos 0 ∆x1 + 2 ( 0 + ∆u ) l ml

Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

ϕp = 0 ϕ = ∆ϕ

∆x1 =∆x2 g 1  ∆x2 =− ∆x1 + 2 ∆u l ml 5

Kyvadlo - lineární aproximace v horní poloze Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• v horní poloze ϕ p =π , ϕ p =0, M cp =0 → ϕp =0 • model IO ml 2ϕ + mgl sin ϕ = Mc ml 2 (0 + ∆ϕ) + mgl ( sin π + ∆ϕ cos π ) = 0 + ∆M c ml 2 ∆ϕ − mgl ∆ϕ = 0 + ∆M c ml 2 ∆ϕ − mgl ∆ϕ =∆M c • model stavový = x1 p π= , x2 p 0,= M cp 0

ml 2 ∆ y − mgl ∆y =∆u

1 g x1 == x2 , x2 − sin x1 + 2 u l ml 0 + ∆x1 = 0 + ∆x2 g 1 0 + ∆x2 = − ( sin π + cos π ∆x1 ) + 2 ( 0 + ∆u ) l ml Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

∆ϕ

ϕ

ϕp = π

∆x1 =∆x2 g 1 ∆x2 = ∆x1 + 2 ∆u l ml 6

Kyvadlo - aproximace ve vodorovné poloze Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• ve vodorovné poloze ϕ p = π 2, ϕ p = 0, M cp = mgl → ϕp = 0 • model IO ml 2ϕ + mgl sin ϕ = Mc π  π ϕ ml 2 (0 + ∆ϕ) + mgl  sin + ∆ϕ cos =  mgl + ∆M c 

• model stavový = x1 p

π = , x2 p 0,= M cp mgl 2

2

2 ml 2 ∆ϕ =∆M c ml 2 ∆y =∆u

1 g x1 = x2 , x2 = − sin x1 + 2 u l ml 0 + ∆x1 = 0 + ∆x2 g π π  1  0 + ∆x2 = −  sin + cos ∆x1  + 2 ( mgl + ∆u ) l 2 2  ml

Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

∆ϕ

ϕp = π 2

∆x1 =∆x2 1 ∆x2= ∆u 2 ml

pro konstantní ∆u „volný pád“ 7

Kyvadlo - aproximace v obecné poloze Automatické řízení - Kybernetika a robotika

x1= ϕ= y, x2= ϕ= y , u= M c  x1    x1   =    ,u  x1 = x2  x  f=  2    x2   g 1 x2 = − sin x1 + 2 u   x1   l ml = = h y y = x1    ,u    x2   A

C

x2    f1 ( x1 , x2 , u )   1   =   g  f 2 ( x1 , x2 , u )  − l sin x1 + ml 2 u   h= ( x1 , x2 , u ) x1

 ∂f1  ∂x ∂f 1 =  ∂x ( x p ,u p )  ∂f 2   ∂x1

∂f1   ∂f1  0 1   ∂u  ∂x2  f ∂ 1  g , B =  =   = =  − cos x1, p 0  ∂f 2  ∂u ( x p ,u p )  ∂f 2   l    ∂x2  x x= p  ∂u1  x x p

∂h  ∂h = ∂x ( x p ,u p )  ∂x1

∂h  = [1 0] , ∂x2  x=x p

u u= u up p

D =

u =u p

∆x1 =∆x2 g 1 ∆x2 =− cos x1, p ∆x1 + 2 ∆u (t ) l ml Michael Šebek

 0   1   2  ml 

ARI-Pr-01-2016

∂h  ∂h  =0 =   ∂u ( x p ,u p )  ∂u  ux==xu p p

∆y (t ) = ∆x1 8

Kyvadlo - aproximace v obecné poloze Automatické řízení - Kybernetika a robotika

x1= ϕ= y, x2= ϕ= y , u= M c

x1 = x2

∆x1 =∆x2

g 1 x2 = − sin x1 + 2 u l ml y = x1

g 1 ∆x2 =− cos x1, p ∆x1 + 2 ∆u (t ) l ml ∆y (t ) = ∆x1

Nelineární

Lineární

= x1,= y= ϕ p 0= x2,= y= ϕ= 0 → cos 0 1 p p p p p dole x1,= y= ϕ p = π x2,= y= ϕ= 0 → cos π = −1 nahoře p p p p p vodorovně x1,= y= ϕ p = π 2 x2,= y= ϕ p = 0 → cos π 2 = 0 p p p p

Michael Šebek

ARI-Pr-01-2016

9

Kyvadlo - aproximace IO v obecné poloze Automatické řízení - Kybernetika a robotika

ml 2  y + mgl sin y = u D(  y (t ), y (t ), y (t )) = N(u (t )) ∂D ∂D ∂D ∂N 2 0,= ml = , 1 = mgl cos y= p, y p ∂y p ∂y p ∂ ∂u p

ml 2 ∆ y + mgl cos y p ∆y =∆u = x1,= y= ϕ p 0= x2,= y= ϕ= 0 → cos 0 1 p p p p p dole x1,= y= ϕ p = π x2,= y= ϕ= 0 → cos π = −1 nahoře p p p p p vodorovně x1,= y= ϕ p = π 2 x2,= y= ϕ p = 0 → cos π 2 = 0 p p p p

Michael Šebek

ARI-Pr-01-2016

10

Geometrická interpretace Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Linearizace ve fázovém portrétu x2 = ϕ

x1 = x2 x2 = − sin x1 hyperboly

∆x1 =∆x2 ∆x2 = ∆x1

x1 = ϕ

π = x1 p = , x2 p 0 2

= x1 0,= x2 0 ∆x1 =∆x2 ∆x2 = −∆x1 Michael Šebek

, x2 p 0 = x1 p π=

kružnice

ARI-Pr-01-2015

paraboly

∆x1 =∆x2 ∆x2 = −1 (∆u =−1) 11

Někdy lineární aproximace neexistuje Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Nehladká funkce: diody, tlumiče

• Různé funkce, přepínání, (event-driven) skákající míč

f ( x) xp

x

• Nespojitá funkce: relé, Coulombovo tření

• Není to funkce (v matematickém smyslu): hystereze (závislost na dráze)

f ( x) xp

x

f ( x) xp Michael Šebek

x

elektrická: feroelektrický materiál elastická: gumička termostat, Schmidtův spínač ARI-Pr-01-2015

12

Někdy lineární aproximace existuje, ale nepomůže Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Některé nelineární soustavy nepomůže lineárně aproximovat u = f (ψ ) • Příklad: kinematika auta v rovině u1 x2 x1 = u1 cos x3 x3 x2 = u1 sin x3 x3 = u2 x1 • Přibližná linearizace v okolí bodu (0,0,0) je x1 = u1 1 0  1 0 0 0 0 0  x2 = 0 není řiditelná A = 0 , B= 0 0 ⇒ Con= 0 0 0 0 0 0 0 1  0 1 0 0 0 0  x3 = u2 • Intuitivně známý fakt: autem nelze přímo pohnout „do strany“ • Můžeme popojíždět vpřed-vzad s střídavým natáčením kol, ale to už je nelineární řízení 0 • To plyne z tzv. ne-holonomického omezení x1 sin x3 − x2 cos x3 = které platí, pokud kola nekloužou do strany 2

3×3

Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

13

Aproximace pro nelinearity dané grafem Automatické řízení - Kybernetika a robotika

Magnetický levitátor s kuličkou (zjednodušené magnetické ložisko) = mx f m ( x, i ) − mg kde síla • rovnice pohybu kuličky elektromagnetu je teoreticky f m ( x, i) ≈ 1 x 2 , ale prakticky složitější • experimentálně změřené křivky (kulička d = 1cm, m = 8,4.10-3 kg)

mg = 0.084 mN

• ekvilibrium = magnetická síla vyruší gravitaci Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

14

pokračování Automatické řízení - Kybernetika a robotika

x p = mg , m = 0, i p = 600 mA, x p ≈ 3mm, ( x p , i-3p )kg= 8, 4.10−3 kg m =f m8,4.10 = mx f m ( x, i ) − mg m (= x ) fm ( xp , ip ) + 0 + ∆ = m∆ x

∂f m ∂x

xp ip

∆x +

určíme z grafu jako směrnici ∂f m ∂x

≅ 14 N m

∂f m ∂i

xp ip

∂f m ∂x

xp ip

∆x +

∂f m ∂i

xp ip

∆i − mg

∆i

odhadneme z grafu ∂f m ∂i

≅ x p ,i p

f ( x p , i1 ) − f ( x p , i3 ) i1 − i3

122 ×10−3 − 42 ×10−3 = = 0.4 N A −3 (700 − 500) ×10

x p ,i p

Lineární aproximace je

 ∆= x 1667 ∆x + 47, 6∆i

kde signály jsou v jednotkách SI ∆x[m], ∆i[ A] Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

15

Nelineární diskrétní systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Logistické zobrazení

x(k += 1) rx(k )(1 − x(k ))

• Demografický model - vystihuje 2 jevy: pro malé populace optimismus (míra růstu roste úměrně s velikostí populace), pro velké populace vyhladovění (míra růstu klesá úměrně rozdílu „úživnost prostředí“ minus velikost populace) • Chování silně závisí na parametru r řešení pavučinovým diagramem • bifurkace

Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

16

Nelineární diskrétní systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika

Pavučinový diagram: Opakovaná řešení pro různá r (ekvilibria, oscilace s různou periodou, chaos) Michael Šebek

Simulace: Opakovaná řešení (vždy 100 kroků) pro různá r (od r = 0 (červená) do r= 4 (purpurová)

ARI-Pr-01-2015

17

Další čtení a hraní Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Různé nelineární modely v Simulinku http://www.hedengren.net/research/models.htm • Aplet kreslící fázové portréty

http://www.bae.ncsu.edu/people/faculty/seaboch/phase/newphase.html

• Kyvadlo na Wikipedii http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics) • Hezká a čtivá (odborná) kniha o nelineárních systémech a chaosu - na Amazonu • Složitější „matematické“ knihy, ale ty jsou spíš až pro magisterský kurz NES, nebo doktorské kurzy

Michael Šebek

ARI-Pr-01-2015

18