Příklady: 7., 8. Práce a energie 1. Dělník tlačí bednu o hmotnosti m = 25, 0 kg vzhůru po dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu α = 25◦ . Působí na ni při tom stálou silou F~ o velikosti F = 209 N, která je rovnoběžná s nakloněnou rovinou. Vypočtěte práci, kterou při posunutí bedny o l = 1, 50 m podél nakloněné roviny vykonají tyto síly působící na bednu: a) b) c) d)
[0,3 [0,3 [0,3 [0,1
b] b] b] b]
síla, kterou působí dělník, tíhová síla, normálová (tlaková) síla nakloněné roviny. Jaká je celková práce, kterou vykonaly síly působící na bednu?
2. Na obrázku 1 je znázorněno zařízení s volnou kladkou: provaz je veden přes dvě nehmotné kladky, které se mohou otáčet bez tření. Na volné kladce visí nádoba o hmotnosti m = 20 kg. Na volný konec provazu působíme silou F~ . a) [0,3 b] Jak velká musí být síla F~ , máme-li nádobu zvedat stálou rychlostí? b) [0,3 b] O jakou vzdálenost musíme posunout volný konec provazu, chceme-li nádobu zvednout o h = 2, 0 cm? c) [0,2 b] Určete, jakou mechanickou práci vykonají při tomto posunutí následující síly: síla F~ , ~ působící na nádobu. d) [0,2 b] tíhová síla G
Obr. 1. 3. Dvě kostky o hmotnostech m1 a m2 spojené nehmotnou šňůrou podle obrázku 2 jsou uvolněny z klidového stavu. Koeficient dynamického tření mezi kostkou m1 a deskou stolu je fd . Předpokládejme, že kladka má zanedbatelnou hmotnost a otáčí se bez tření. a) [0,4 b] Určete velikost tahové síly T , kterou je šňůra napínána. b) [0,2 b] Kostka m1 na stole urazila dráhu L. Určete mechanickou práci třecí síly působící na kostku m1 a tíhové síly působící na kostku m2 . c) [0,4 b] Určete velikost rychlosti v kostky m1 v závislosti na uražené dráze L.
8. června 2006
ÚFI FSI VUT v Brně
1
Obr. 2. 4. Nádoba se pohybuje vzhůru po nakloněné rovině o úhlu sklonu α = 40◦ . V bodě ležícím ve vzdálenosti l = 0, 55 m od jejího dolního konce (měřeno podél nakloněné roviny) je velikost rychlosti nádoby v1 = 1, 4 m/s. Koeficient dynamického tření mezi nádobou a nakloněnou rovinou je fd = 0, 15. a) [0,4 b] Jak daleko se bude nádoba podél nakloněné roviny ještě pohybovat? b) [0,4 b] Jaká bude její rychlost poté, co opět sklouzne k dolnímu konci nakloněné roviny? c) [0,2 b] Jakou mechanickou práci vykonala třecí síla během celého tohoto pohybu?
5. Kostka o hmotnosti m = 3, 5 kg na obrázku 3 je urychlována stlačenou pružinou. Tuhost pružiny je k = 640 N/m. V okamžiku, kdy je pružina nenapjatá, ztrácí s ní kostka kontakt a pohybuje se dále po vodorovné podložce. Podložka je zčásti dokonale hladká, zčásti je vyrobena z materiálu, který působí na kostku třecí silou charakterizovanou koeficientem tření fd = 0, 25. Poloha rozhraní obou částí je shodná s polohou volného konce nenapjaté pružiny (obr. 3). Po ztrátě kontaktu s pružinou urazí kostka ještě d = 7, 8 m a zastaví se. a) [0,3 b] K jaké ztrátě mechanické energie ∆Em došlo při brzdění kostky vlivem třecích sil? b) [0,3 b] Jaká byla největší hodnota kinetické energie Ek,max kostky? c) [0,4 b] Jaké bylo stlačení pružiny ∆l na začátku pokusu?
Obr. 3.
6. Dělník vytlačil bednu o hmotnosti m = 25, 0 kg vzhůru po dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu α = 25, 0◦ . Působil na ni při tom silou o velikosti F = 209 N, která byl rovnoběžná s nakloněnou rovinou. Vypočtěte práci, kterou při posunutí bedny o l = 1, 50 m vykonaly síly působící na bednu: a) b) c) d)
[0,2 [0,2 [0,2 [0,4
b] b] b] b]
síla F~ , kterou působil dělník, ~ a tíhová síla G ~ nakloněné roviny. normálová (tlaková) síla N Jaká je celková práce W , kterou vykonaly všechny síly působící na bednu?
8. června 2006
ÚFI FSI VUT v Brně
2
7. Na částici o hmotnosti m v místě x působí proměnná síla o velikosti F (x) = F0 (x/x0 − 1), kde F0 a x0 jsou konstanty. a) [0,4 b] Určete práci W této síly při přemístění částice z polohy x1 = 0 do polohy x2 = 2x0 . b) [0,3 b] Určete změnu kinetické energie ∆Ek částice při tomtéž přemístění, je-li síla F~ jedinou silou, která na částici působí. c) [0,3 b] Určete velikost rychlosti v2 částice v poloze x2 , je-li velikost její rychlosti v poloze x1 rovna hodnotě v1 .
8. Těleso o hmotnosti m = 2, 0 kg, které bylo zpočátku v klidu, se začne pohybovat rovnoměrně zrychleně a během ∆t = 3, 0 s dosáhne rychlosti o velikosti v1 = 10 m/s. a) [0,4 b] Jakou práci W vykoná výsledná urychlující síla během uvedeného časového intervalu ∆t = 3, 0 s? b) [0,3 b] Jaký je okamžitý výkon P1 této síly na konci uvedeného časového intervalu? c) [0,3 b] Jaký je okamžitý výkon P 1 této síly na konci první poloviny časového intervalu? 2
9. Kabina zdviže na obrázku 4váží G = 20000 N. Tažné lano zdviže se přetrhlo v okamžiku, kdy zdviž stála v prvním poschodí a její dno bylo ve vzdálenosti d = 4 m od konce tlumicí pružiny o tuhosti k = 1, 2 · 105 N/m. Při přetržení lana bylo uvedeno do chodu bezpečnostní zařízení, které sevřelo kabinu mezi svislé vodicí kolejnice. Na kabinu tak začala působit třecí síla o stálé velikosti Ft = 5000 N, směřující proti jejímu pohybu. a) [0,2 b] Jaká byla rychlost kabiny v1 těsně před nárazem na tlumicí pružinu? b) [0,3 b] Určete maximální stlačení ∆l pružiny. c) [0,3 b] Jakou dráhu s urazí kabina od okamžiku odskoku od pružiny do okamžiku, kdy se dostane do bodu obratu a začne opět padat? d) [0,2 b] Určete přibližně celkovou dráhu scelk , kterou kabina urazí od okamžiku přetržení lana do úplného zastavení.
Obr. 4. 10. Stroj tlačí kmen o hmotnosti m = 50 kg stálou rychlostí vzhůru po nakloněné rovině o úhlu sklonu α = 30◦ . Síla F~ , kterou stroj na kmen působí, je stálá a má vodorovný směr. Koeficient tření mezi kmenem a nakloněnou rovinou je fd = 0, 20. a) [0,3 b] Určete práci WF , kterou vykoná síla F~ stroje při posunutí kmenu o l = 6, 0 m podél nakloněné roviny. ~ působící na kmen při tomtéž posunutí. b) [0,3 b] Určete práci WG tíhové síly G c) [0,4 b] Jaká energie ∆E je rozptýlena třecími silami?
8. června 2006
ÚFI FSI VUT v Brně
3
11. Tenká tyč délky L a zanedbatelné hmotnosti je na konci uchycena tak, aby se mohla otáčet ve svislé rovině, podle obrázku 5. K jejímu druhému konci je upevněna těžká koule o hmotnosti m. Tyč odchýlíme od svislého směru o úhel θ a volně vypustíme. Uvažme časový interval mezi uvolněním tyče a okamžikem, kdy koule prochází nejnižším bodem své trajektorie. ~ působící na kouli? a) [0,3 b] Jakou práci WG vykoná v tomto intervalu tíhová síla G b) [0,2 b] Jaká je změna tíhové potenciální energie ∆Ep soustavy koule + Země? c) [0,2 b] Jaká hodnota tíhové potenciální energie Ep,0 odpovídá konfiguraci soustavy koule + Země, v níž je koule v krajní poloze, přisoudíme-li nejnižší poloze koule nulovou hodnotu této energie? d) [0,3 b] Pomocí zadaných veličin určete velikost rychlosti v1 koule v nejnižší její poloze.
Obr. 5. 12. Na obrázku 6 jsou znázorněny dvě stejné pružiny spojené krátkým vláknem o délce l = 10 cm. Délka každé z pružin v nenapjatém stavu je d0 = 50 cm a tuhost k = 500 N/m. Horní pružina je připevněna ke stropu, na volném konci dolní pružiny visí krabice o váze G = 100 N. Další dvě ohebná vlákna, každé o délce s = 85 cm (v dobrém přiblížení neměnné) jsou k soustavě připojena podle obrázku. Krátké vlákno přepálíme, takže krabice zůstane zavěšena pouze na pružinách a dlouhých vláknech a začne se pohybovat. Vlivem odporové síly prostředí se krabice nakonec zastaví v nové rovnovážné poloze. a) [0,4 b] Rozhodněte, zda tato poloha bude ležet nad, či pod původní rovnovážnou polohou, kterou zaujímala krabice před přepálením krátkého vlákna a určete vzdálenost y, jak daleko bude od ní vzdálena. b) [0,2 b] Jakou celkovou práci Wp vykonaly pružné síly obou pružin v časovém intervalu mezi přepálením vlákna a ustálením nové rovnovážné polohy? c) [0,2 b] Jakou celkovou práci WG vykonala tíhová síla ve stejném časovém intervalu? d) [0,2 b] Jakou celkovou práci Wb vykonaly brzdné síly ve stejném časovém intervalu?
Obr. 6.
8. června 2006
ÚFI FSI VUT v Brně
4
13. Malá kostka o hmotnosti m může klouzat bez tření po dráze tvaru „smyčky smrtiÿ, znázorněné na obrázku 7. Kostku vypustíme z klidové polohy v bodě P , který leží ve výšce h = 5R nade dnem smyčky. a) [0,4 b] Určete výslednici F~ všech sil, které působí na kostku, v okamžiku jejího průchodu bodem Q. b) [0,1 b] Nakreslete obrázek a výslednici sil F~ vyznačte. c) [0,5 b] Z jaké výšky hk je třeba kostku volně vypustit, aby ztratila kontakt se smyčkou právě při průchodu jejím vrcholem?
Obr. 7.
8. června 2006
ÚFI FSI VUT v Brně
5
