Příklady: 31. Elektromagnetická indukce 1. Tuhý drát ohnutý do půlkružnice o poloměru a se rovnoměrně otáčí s úhlovou frekvencí ω v ho~ jak ukazuje obr. 1. Pomocí kontaktů tvoří vodivou smyčku mogenním magnetickém poli o indukci B, s celkovým odporem R. a) [0,3 b] Je-li drát v pozici jako na obrázku, tok magnetické indukce smyčkou je maximální a je roven ΦB,max . Určete závislost toku magnetické indukce ΦB na čase t. b) [0,3 b] Určete indukované emn Eind v závislosti na čase t. c) [0,1 b] Jaká je amplituda Emax indukovaného emn? d) [0,2 b] Určete indukovaný proud I ve smyčce v závislosti na čase t. e) [0,1 b] Jaká je amplituda Imax indukovaného proudu?
Obr. 1. 2. Kovovou tyč posunujeme podle obr. 2 konstantní rychlostí ~v po dvou rovnoběžných kovových kolejnicích spojených kovovým páskem na jednom konci. Magnetické pole o indukci velikosti B = 0, 350 T směřuje k nám. a) [0,5 b] Jaké indukované emn vzniká, jsou-li kolejnice vzdáleny L = 25, 0 cm a rychlost tyče má velikost v = 55, 0 cm/s? b) [0,3 b] Jaký proud teče tyčí, má-li odpor R = 18, 0 Ω a kolejnice a spojovací pásek mají odpor zanedbatelný? c) [0,2 b] S jakým výkonem se uvolňuje Joulovo teplo ve smyčce?
Obr. 2.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
3. Obr. 3 ukazuje v průřezu dva souosé solenoidy. Solenoidem 1, který má n1 závitů na jednotku délky a poloměr R1 , protéká proud, který závisí na čase vztahem I1 (t) = I1,m sin(ωt). Solenoid 2 má n2 závitů na jednotku délky, poloměr R2 a délku l. a) [0,5 b] Jaké indukované emn Eind vzniká v solenoidu 2? b) [0,5 b] Jaká je vzájemná indukčnost M této sestavy?
Obr. 3. 4. Obr. 4 znázorňuje tyč o délce L, která se pohybuje konstantní rychlostí v po vodivých vodorovných kolejnicích. Magnetické pole není v tomto případě homogenní, ale je vytvořeno proudem I v dlouhém vodiči, rovnoběžném s kolejnicemi. Je dáno: v = 5, 00 m/s, a = 10, 0 mm, L = 10, 0 cm a I = 100 A. a) [0,3 b] Vypočtěte emn Eind indukované ve smyčce tvořené kolejnicemi, spojovacím páskem a tyčí). b) [0,1 b] Jak velký bude proud ve vodivé smyčce? Odpor tyčky je R = 0, 400 Ω, odpor kolejnic a spojovacího pásku je zanedbatelný. c) [0,2 b] S jakým výkonem P1 se vyvíjí teplo v tyči? d) [0,2 b] Jaká velikost vnější síly F je nutná k udržení tyče v pohybu? e) [0,2 b] Jaký je při tom výkon P2 této síly?
Obr. 4. 5. Měděný drát o délce l = 50, 0 cm a průměru d = 1, 00 mm má tvar kruhové smyčky, jejíž plocha je kolmá k homogennímu magnetickému poli rostoucímu konstantní rychlostí ∆B/∆t = 10, 0 mT/s. Rezistivita mědi je ρCu = 1, 62 · 10−8 Ωm. a) [0,3 b] Vypočtěte emn Eind indukované ve smyčce. b) [0,3 b] Vypočtěte indukovaný proud Iind ve smyčce. ~ a vyznačte odpovídající c) [0,2 b] Nakreslete obrázek s kruhovou smyčkou, zvolte orientaci vektoru B směr indukovaného proudu Iind . d) [0,2 b] Vypočtěte Joulovo teplo Qt , které se vyvine ve smyčce za dobu 10 s.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
6. Elektrický generátor používá cívku o N = 100 závitech drátu ve tvaru obdélníkové smyčky rozměrů a = 50, 0 cm, b = 30, 0 cm. Cívka je umístěna v homogenním magnetickém poli velikosti B = 3, 50 T. ~ Smyčka se otáčí s frekvencí f = 1000 krát za minutu kolem osy kolmé k B. a) [0,3 b] netické b) [0,4 b] c) [0,3 b]
Určete tok magnetické indukce ΦB plochou smyčky, když její normála svírá s vektorem mag~ úhel α. indukce B Vypočtěte indukované napětí v cívce v závislosti na čase. Určete maximální napětí, které se v cívce indukuje.
7. Homogenní magnetické pole je kolmé k rovině kruhové smyčky o průměru D = 10 cm zhotovené z měděného drátu o průměru d = 2, 5 mm. a) [0,3 b] Vypočtěte odpor R drátu, jestliže rezistivita mědi je ρCu = 1, 62 · 10−8 Ωm. b) [0,3 b] Velikost magnetické indukce je nějaká neznámá hodnota B. Určete tok magnetické indukce ΦB plochou smyčky. c) [0,4 b] Jakou rychlostí ∆B/∆t se musí měnit velikost magnetické indukce, aby se ve smyčce indukoval proud I = 10 A?
8. Dvě rovnoběžné vodivé smyčky na obrázku 5 mají společnou osu. Menší smyčka (poloměr r) je nad větší smyčkou (poloměr R) ve vzdálenosti x, přičemž x R. Proto můžeme považovat magnetické pole způsobené proudem I větší smyčkou za přibližně konstantní v oblasti menší smyčky. Předpokládejme, že vzdálenost x roste konstantní rychlostí dx/dt = v. a) [0,2 b] Učete velikost magnetické indukce B v oblasti malé smyčky buzenou proudem I. (Připomínáme, že pro vzdálenost x R můžeme magnetické pole v oblasti malé smyčky považovat za stejné jako na ose smyček). b) [0,2 b] Určete magnetický indukční tok ΦB plochou ohraničenou malou smyčkou jako funkci x. c) [0,4 b] Určete indukované emn v menší smyčce. d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a směr indukovaného proudu vyznačte.
Obr. 5.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
9. Dvě přímé vodivé kolejnice jsou svařeny do pravého úhlu. Vodivá tyč (v kontaktu s nimi) začíná pohyb v čase t = 0 od místa spoje a pohybuje se konstantní rychlostí o velikosti v = 5, 20 m/s podél kolejnic, jak ukazuje obrázek 6. Magnetické pole o velikosti indukce B = 0, 350 T směřuje kolmo k nám. Tyč má průřez S = 0, 1 cm2 a je vyrobena z mědi (ρCu = 1, 69 · 10−8 Ωm). Odpor kolejnic je zanedbatelný. Vypočtěte a) [0,3 b] magnetický indukční tok ΦB trojúhelníkem tvořeným kolejnicemi a tyčí v závislosti na čase a jeho hodnotu v čase t1 = 2 s, b) [0,4 b] elektromotorické napětí indukované v trojúhelníku v závislosti na čase a jeho hodnotu v čase t2 = 3 s, c) [0,3 b] proud indukovaný v trojúhelníku v závislosti na čase a jeho hodnotu v čase t3 = 4 s. Nakreslete obrázek a směr indukovaného proudu vyznačte.
Obr. 6. 10. V situaci na obr. 7 je a = 12, 0 cm a b = 16, 0 cm. Závislost proudu dlouhým drátem na čase je dána vztahem I(t) = 4, 50t2 − 10, 0t, kde I a t jsou v jednotkách SI. Čtvercová smyčka má celkový odpor R = 2, 5 Ω. a) b) c) d) e)
[0,2 [0,3 [0,2 [0,1 [0,2
b] b] b] b] b]
Určete závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od dlouhého drátu. Jaký je magnetický tok ΦB čtvercovou smyčkou? Vypočítejte emn indukované v čtvercové smyčce v čase t = 3, 00 s. Určete proud indukovaný ve smyčce v čase t = 3, 00 s. Nakreslete obrázek a směr magnetického pole i indukovaného proudu vyznačte.
Obr. 7.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
4
11. Dlouhý solenoid má průměr D = 12, 0 cm. Protéká-li jeho závity proud I = 48 A, vytvoří uvnitř solenoidu homogenní magnetické pole o velikosti indukce B = 30, 0 mT. Rovnoměrným snižováním proudu slábne rovnoměrně i magnetické pole, a to rychlostí ∆B/∆t = 6, 50 mT/s. a) [0,2 b] b) [0,3 b] a c) [0,3 b] d) [0,2 b] vektor
Určete počet závitů n solenoidu na jeden metr. Vypočítejte velikost intenzity E indukovaného elektrického pole ve vzdálenosti r1 = 2, 20 cm r2 = 8, 20 cm od osy solenoidu. ~ Dále vyznačte Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I a vektor magnetické indukce B. ~ elektrické intenzity E v obou vzdálenostech r1 a r2 od osy solenoidu.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
5
