PID regulátory jejich vlastnosti, modifikace a číslicová implementace

PID regulátory – jejich vlastnosti, modifikace a číslicová implementace Jaroslav Hlava

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

PID regulátory Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření

PID regulátory Ideální paralelní tvar (také nazýván standardní či ISA tvar)(31%)

1t de(t ) ] V časové oblasti: u (t ) = ro [e(t ) + ∫ e(τ )dτ + Td Ti 0 dt 1 + Td s ]E ( s ) V přenosovém vyjádření: U ( s ) = ro [1 + Ti s ro proportional gain popř. je také používáno tzv. pásmo proporcionality čili proportional band pb=100%/ ro, Td derivative action, rate či preact (v min či sec), Ti integral action (v min či sec per repeat) popř. 1/Ti reset (v repeats per min či per sec)


Sériový tvar rovnic PID regulátoru (také nazýván klasický (47%) tvar): U ( s ) = roS { 1 + 1 ( TiS s ) }{ 1 + TdS s }E( s ) Převodní vztahy

 Tds  TisTds  , Ti = Tis + Tds , Td = ro = ros 1 + Tis + Tds  Tis  Ti  Tis Tds  Ti Interakce konstant regulátoru: T =  2 + T + T  ⇒ T ≥ 4  d ds is  d

Motivace: realizace s využitím jednoho prvku s vysokým zesílením  1  GPID ( jω ) = −(1 + jωCR2 )1 +  jωCR1    1   GPIDs ( jω ) = (1 + jωTds )ros 1 + jωTis   ros = −1, Tds = CR2 , Tis = CR1


Jiná podoba paralelního tvaru: 1 U ( s ) = ( ro + + Ds )E( s ) Is

(22%)

Existují i další možné, v průmyslových regulátorech ovšem obvykle nepoužívané způsoby, jak zapsat paralelní tvar PID regulátoru např. 1 U ( s ) = (ro + r1 + r2 s ) E ( s ) s


PID regulátory jsou nyní ovšem obvykle realizovány číslicově

Obecná struktura číslicového regulačního obvodu


Průběhy signálů na vstupu a výstupu číslicového regulátoru s tvarovačem nultého řádu (Zero Order Hold – ZOH) A/D převod vykonává dvě základní funkce: 1. Vzorkování analogového signálu: vzniká signál diskrétní v čase 2. Kvantování analogového signálu: vzniká signál diskrétní v úrovni


Tvarovač nultého řádu je popsán vztahem y (t ) = y ( kTv ) kTv ≤ t < ( k + 1)Tv Chování výstupu běžných D/A převodníků odpovídá chování tvarovače nultého řádu (ZOH). Skokové nespojité změny na výstupu ZOH mohou vést k rozkmitání špatně tlumených módů mechanických soustav či ke zvýšenému opotřebení akčních členů. Teoretickým řešením jsou tvarovače vyšších řádů.


Tvarovač prvního řádu (First order hold):

t − kTv y (t ) = y ( kTv ) + ( y ((k + 1)Tv ) − y (kTv ) ) kTv ≤ t < (k + 1)Tv Tv V této podobě je tvarovač nekauzální, kauzální tvarovač lze získat buď doplněním tvarovače o jednokrokové zpoždění nebo využitím predikce výstupu založené na extrapolaci průběhu z předešlé periody vzorkování t − kTv y (t ) = y ( kTv ) + ( y (kTv ) − y ((k − 1)Tv ) ) kTv ≤ t < (k + 1)Tv Tv Tvarovače prvního řádu či ještě vyšších řádů se v regulačních obvodech obvykle nepoužívají



Číslicová aproximace PID regulátorů t 1 de(t ) u (t ) = ro [e(t ) + ∫ e(τ )dτ + Td ] Ti 0 dt

Proporcionální člen: je čistě statický (nikoliv dynamický), zvláštní diskrétní aproximaci nevyžaduje, jde vlastně jen o násobení konstantou. Programová struktura může být koncipována tak, že časovač spouští v definovaných intervalech daných periodou vzorkování (Tv) obslužnou rutinu, která spustí A/D převod, přečte hodnotu regulované veličiny a dále provede jednoduchý výpočet regulační odchylky a akční veličiny: ControlError=SetPoint-ControlledVariable; Pterm=PropGain*ControlError;


Integrační složka: t Geometrický význam určitého integrálu ∫ e(τ )dτ : plocha 0

obrazce ohraničeného shora integrovanou funkcí e(τ), zdola časovou osou, po stranách přímkami τ=0 a τ=t. Jelikož jsou známy pouze hodnoty reg. odchylky v okamžicích vzorkování nikoliv průběžně, nelze tuto plochu zjistit přesně, ale je nutné ji aproximovat jako součet obsahů jednoduchých elementárních obrazců – obdélníků či lichoběžníků.


4Tv

∫ e(τ )dτ ≈ e(1)T

v

0

4Tv

∫ e(τ )dτ ≈ e(0)T

+ e(2)Tv + e(3)Tv + e(4)Tv

Obecně: Levá obdélníková metoda:

0

t

ro roTv e(τ )dτ ≈ ∫ Ti 0 Ti t

Pravá obdélníková metoda

+ e(1)Tv + e(2)Tv + e(3)Tv

v

ro roTv e(τ )dτ ≈ ∫ Ti 0 Ti

k

∑ e(i) = I

OL

(k )

i =1

k −1

∑ e(i) = I

OP

(k )

i =0

Levá obdélníková metoda je vhodnější než pravá, neboť reaguje na právě provedenou změnu žádané hodnoty)


Lichoběžníková metoda:

4Tv

∫ 0

e(τ )dτ ≈ Tv

(e(1) + e(0)) (e(2) + e(1)) (e(3) + e(2)) (e(4) + e(3)) + Tv + Tv + Tv 2 2 2 2 t

Obecně:

ro roTv e(τ )dτ ≈ ∫ Ti 0 2Ti

k

∑ (e(i) + e(i − 1)) = I i =1

L

(k )


Vztah pro výpočet integrační složky je třeba převést do podoby rekurzivně počítané diferenční rovnice (bylo by nerozumné počítat pokaždé znovu sumu od 0 či 1). Pro lichoběžníkovou metodu lze převod provést takto:

roTv k I L (k ) = ∑ (e(i) + e(i − 1)) 2Ti i=1 roTv k −1 I L (k − 1) = ∑ (e(i) + e(i − 1)) 2Ti i=1 roTv ⇒ I L (k ) − I L (k − 1) = (e(k ) + e(k − 1)) 2Ti roTv a konečně I L (k ) = I L (k − 1) + (e(k ) + e(k − 1)) 2Ti


static double Epast=0, Ipast=0; . .

Iterm=Ipast+0.5*PropGain*Tsampling*(ControlError+Epast)/Ti; . .

Ipast=Iterm; Epast=ControlError;


Derivační složka: Nejjednodušší varianta: náhrada první diferencí de roTd ≈ roTd (e(k ) − e(k − 1)) Tv = D( k ) dt Tato jednoduchá náhrada je velmi citlivá na šum a v kombinaci s tím, že průběh regulované veličiny je diskrétní i v úrovni, mohou vzniknou problémy při malých hodnotách periody vzorkování (odezva na rampu pak není konstantou, ale posloupností krátkých impulsů o vysoké amplitudě)

1. Alternativa: roTd s Vyjít z přenosu filtrované derivace: D ( s ) = (1 + sαTd )

kde parametr α je mezi 0,05 a 0,2. Ten lze diskretizovat např. pomocí Tustinovy aproximace


Metody přibližné diskretizace Spojitý přenos integrálu:

Y (s) 1 = U (s) s

Výpočet integrálu levou (zpětnou) obdélníkovou metodou: k

y (kTv ) = Tv ∑ u (iTv )

k −1

y ((k − 1)Tv ) = Tv ∑ u (iTv )

i =1

y (k ) − y (k − 1) = Tv u (k )

i =1

Tv Y ( z) = Y ( z )(1 − z ) = TvU ( z ) U ( z ) (1 − z −1 ) −1

Srovnáním se spojitým přenosem dostaneme

( 1− z ) z −1 s← = −1

Tv

Tv z

zpětná diference


Obdobně pro pravou (dopřednou) obdélníkovou metodu: k −2

k −1

y ((k − 1)Tv ) = Tv ∑ u (iTv ) y (k ) − y (k − 1) = Tv u (k − 1)

y (kTv ) = Tv ∑ u (iTv )

i =0

i =0

Y ( z )(1 − z

−1

)= T z

−1

v

U ( z)

( 1− z ) z −1 = s←

Y ( z) Tv z −1 = U ( z ) (1 − z −1 )

−1

Tv z −1

Tv

dopředná diference


Výpočet integrálu lichoběžníkovou metodou Tv k −1 y ((k − 1)Tv ) = ∑ {u (iTv ) + u ((i − 1)Tv )} 2 i =1 Tv T -1 y (k ) − y (k − 1) = v {u (k ) + u ( k − 1)} ( ) Y ( z ) 1 - z = U (z )(1 + z -1 ) 2 2

Tv k y (kTv ) = ∑{u (iTv ) + u ((i − 1)Tv )} 2 i =1

( (

) )

Y ( z ) Tv 1 + z −1 Tv ( z + 1) = = −1 U( z ) 2 1− z 2 ( z − 1) 2  1 − z −1  2  z − 1  =  s ←   −1  Tv  1 + z  Tv  z + 1 

Tustinova aproximace resp. bilineární transformace


Konkrétně, při použití Tustinovy metody dostaneme aproximaci filtrované derivace, která je popsána spojitým přenosem roTd s D( s ) = (1 + sαTd ) v podobě diferenční rovnice 2roTd (2roTd α − Tv ) d (k ) = d (k − 1) ( e(k ) − e(k − 1) ) + (Tv + 2Td α ) (Tv + 2Td α )


static double Epast=0, Ipast=0, Dpast=0; ad1=2*PropGain*Td/(Tsampling+2*Td*alfa); ad2=(2*Td*alfa-Tsampling)/(Tsampling+2*Td*alfa); . . Dterm=ad1*(ControlError-Epast)+ad2*Dpast; . . Dpast=Dterm;


2. Alternativa: Náhrada derivace průměrnou diferencí: Derivaci v okamžiku kTv nahradíme průměrnou rychlostí změn regulační odchylky za několik intervalů vzorkování

ek + ek −1 + ek −2 + ek −3 ek = Průměrná odchylka 4 ∆ek 1  ek − ek ek −1 − ek ek − ek −2 ek − ek −3   = D(k ) = =  + + + Tv 4  1,5Tv 0,5Tv 0,5Tv 1,5Tv 

ek + 3ek −1 − 3ek −2 − ek −3 = 6Tv


Wind-up efekt

Akční veličina je vždy omezená – žádný fyzický akční člen nemůže realizovat libovolně velké akční zásahy, naopak velikost integrační složky je omezena pouze maximální hodnotou, kterou lze v používané aritmetice zobrazit v počítači čili je prakticky neomezená ⇒ akční veličina reaguje na změnu znaménka regulační odchylky s velkým zpožděním Vhodnou ochranou je dynamické omezení integrační složky. Pokud akční veličina leží mimo realizovatelný rozsah, použije se nikoliv aktuální, ale minulá hodnota integrační složky I ( k ) ← I ( k − 1 ) integrační složka je tak zmrazena na předem neurčené hodnotě v závislosti na výstupu z ostatních složek regulátoru


Dynamické omezení integrační složky: 1. V každém okamžiku vzorkování spočtěte jednotlivé složky P(k), I(k) a D(k) 2. Spočtěte akční veličinu u(k)= P(k)+I(k)+D(k) 3. Je-li její velikost v realizovatelném rozsahu, pošlete ji do D/A převodníku. Pokud ne, akční veličina zůstane na jedné z mezí, aktuální hodnota I(k) se nepoužije a nahradí se I(k-1) V dalším okamžiku vzorkování se vše opakuje. Výstup integračního členu je tak zmrazen po celou dobu, kdy je akční veličina mimo rozsah a změna znaménka regulační odchylky se tak na akční veličině projeví okamžitě.


TimerHandler ( PVOID context) { static double Epast=0, Ipast=0, Dpast=0; ad1=2*PropGain*Td/(Tsampling+2*Td*alfa); ad2=(2*Td*alfa-Tsampling)/(Tsampling+2*Td*alfa); . .

Pterm=PropGain*ControlError; Iterm=Ipast+0.5*PropGain*Tsampling*(ControlError+Epast)/Ti; Dterm=ad1*(ControlError-Epast)+ad2*Dpast; ManipulatedVariable=Pterm+Iterm+Dterm; if (ManipulatedVariable>Umax) { ManipulatedVariable=Umax; Iterm=Ipast; } if (ManipulatedVariable
Dpast=Dterm; Ipast=Iterm; Epast=ControlError; }


Polohový tvar rovnic číslicového PID regulátoru (PSD regulátoru): Tv k Td u (k ) = ro e(k ) + I L (k ) + D(k ) = ro [e(k ) + ∑ (e(i) + e(i − 1)) + (e(k ) − e(k − 1))] 2Ti i=1 Tv

Přírůstkový (také rychlostní) tvar: ∆u (k ) = u (k ) − u (k − 1) = Tv Td Tv Td Td = ro {e(k )[1 + + ] + e(k − 1)[ − 1 − 2 ] + e(k − 2) } 2Ti Tv 2Ti Tv Tv


Beznárazové přepnutí pro přírůstkový tvar: e( −2 ) = e( −1 ) = e( 0 ); y( −2 ) = y( −1 ) = y( 0 ); w( −2 ) = w( −1 ) = w( 0 ); u( 0 ) = um ( 0 )

Pro polohový tvar navíc nutné nastavit počáteční podmínku integrátoru: I ( 0 ) = u( 0 ) − ro e( 0 ) − D( 0 ) = u( 0 ) − ro e( 0 ) − ro Td Tv ( e( 0 ) − e( −1 ))

P a PD regulátory musí být upraveny do tvaru u( k ) = ro e( k ) + I ( 0 ) resp. u( k ) = ro e( k ) + D( k ) + I ( 0 )

kde I(0) je konstantní a v průběhu regulace se nemění vůbec nebo jen ručně, tzv. Manual Reset či Bias.


Přístrojová realizace PID regulátorů Dvě základní kategorie číslicových řídicích systémů 1. Vestavěné (embedded) systémy řídicí počítač je nedílnou součástí řízeného stroje či jiného zařízení 2. Průmyslové řídicí systémy Kompaktní regulátory, distribuované řídicí systémy (DCS), programovatelné automaty (PLC) popř. softwarově realizovaná PLC Soft-PLC. Univerzální přístroje různé složitosti, které lze připojit k řadě různých strojů a technologických procesů. Kompaktní regulátory jsou obvykle PID typu, složitější řídicí a PLC systémy obvykle zahrnují PID algoritmus jako jednu ze svých funkčních možností


Modulární řídicí systém

Kompaktní univerzální procesní regulátor


Blokové schéma číslicového PID regulátoru však vždy obvykle vypadá zhruba takto (u vestavných regulátorů mohou samozřejmě chybět komunikační rozhraní, popř. klávesnice a zobrazovací jednotka)


Běžně používané typy vstupních signálů: Napěťové vstupy: typicky 0-10 V, 0-5 V, 1-5 V, ±10 V, někdy i malá napětí např. 0-10 mV, 0-50 mV Proudové vstupy: nejdůležitější 4-20 mA, dále např. 0-20 mA či 10-50 mA Vstupy pro teplotní čidla: termočlánky (J, K, S, B a další), RTD (Resistance Temperature Detector, obvykle Pt100, popř. Pt500, Pt1000 pozor na rozdíl mezi evropskou a americkou kalibrační křivkou ), méně často i další např. KTY 10 Frekvenční vstupy pro turbínkové průtokoměry a zejména pro optoelektronické snímače polohy a rychlosti otáčení (enkodéry). Úrovně TTL či HTL pro impulsní vstupy, pro absolutní snímače polohy pak rozhraní SSI či EnDat Další typy vstupů: odporové snímače polohy, speciální čidla (relativní vlhkost, rosný bod apod.)

Běžně používané typy výstupních signálů: Zdaleka nejběžnější je proudový výstup 4-20 mA popř. 0-20 mA Méně běžný je napěťový výstup: 0-10 V, 0-5 V Často jsou užívány výkonové binární výstupy: kontakty elektromechanických relé popř. relé v pevné fázi (SSR-Solid State Relays). Kontakty přepínací SPDT (Single Pole Double Throw) či pouze spínací nebo rozpínací SPST (Single Pole Single Throw). Spínací značeny N.O. (Normally Open), rozpínací N.C. (Normally Closed)


Příklad regulátoru KS 90




Nejběžnější uspořádání výstupu PID regulátoru Tc doba pracovního cyklu




Výstup s podřazeným regulátorem polohy ventilu


Harmonický signál o frekvenci f u( t ) = A sin( 2πft ) Vzorkováním s periodou Tv dostaneme u( k ) = A sin( 2πfkTv ) Vzorkujeme-li harmonický signál o frekvenci f ± nf v , (fv je frekvence vzorkování a n libovolné přirozené číslo), je výsledná diskrétní posloupnostu( k ) = A sin(2π ( f ± nf v )kTv ) = = A sin( 2πfkTv ) cos( 2πn ) ± A cos( 2πfkT ) sin( 2πn ) = A sin( 2πfkTv ) Jinak řečeno: signál o frekvenci f se jeví stejně jako signál o frekvenci f s = f ∓ nf v

Aliasing

Signál o f=50 Hz snímaný vzorkovací frekvencí a) 49 Hz b) 51 Hz


Problém je odstraněn pouze při splnění Shannon-Kotělnikova teorému f < fv 2

Pak platí f s = f − nf v > f a k přeložení na nižší frekvenci proto nedojde Shannon-Kotělnikovův teorém lze splnit pro užitečné signály ne však obecně pro šumy a rušivé signály ⇒ nutný anti-aliasing filtr


Běžné modifikace a rozšíření PID algoritmu a) Odezva na poruchovou veličinu a změnu žádané hodnoty - PID regulátory s více stupni volnosti

Základní schéma zpětnovazebního regulačního obvodu Dva úkoly: sledování změn žádané hodnoty a potlačení poruchové veličiny, jejíž vliv je vyjádřen přenosem Gd a projeví se jako výst. porucha V=GdD. 1 1 E= (W − Gd D) = (W − V ) 1 + G R GS 1 + G R GS Je-li dynamika změn W a V výrazněji odlišná, musí být nastavení regulátoru optimalizováno buď s ohledem na sledování změn W nebo na potlačení V, nelze však dobře splnit oba úkoly zároveň.


Možné řešení, potřebujeme-li dobře zabezpečit obojí: modifikovaný PID regulátor s vážením žádané hodnoty 1t d u (t ) = ro [ Fp w(t ) − y (t ) + ∫ e(τ )dτ + Td ( Fd w(t ) − y (t ))] Ti 0 dt

Přenos tohoto regulačního obvodu lze vyjádřit: Fd Td Ti s 2 + FpTi s + 1 GPID GS 1 Y= W+ V 2 1 + GPID GS Td Ti s + Ti s + 1 1 + GPID GS kde GPID je přenos obvyklého PID regulátoru. Je to tedy ekvivalentní s obvyklým ZV obvodem s filtrem na vstupu žádané hodnoty Hodnoty parametrů Fp a Fd nejčastěji jen 1 či 0, v některých případech mohou nabývat i obecných hodnot


Odezva na skok žádané hodnoty (t=0 s) a poruchy (t=10 s) standardního a) a modifikovaného PID regulátoru b) Nastavení provedeno metodou ZiegleraNicholse.


b) Řízení s rozděleným rozsahem (Split Range Control)

Regulace teploty v chemickém reaktoru, pracovní rozsahy obou ventilů se nepřekrývají

Regulace průtoku pomocí dvou paralelních ventilů. Pracovní rozsah ventilů se překrývá. Paralelní kombinace podle obrázku nejčastěji nahrazuje ventil s ekviprocentní charakteristikou a velkým regulačním rozsahem.


c) Gain scheduling (programované zesílení) Většina regulovaných soustav je nelineárních. Příkladem triviálního systému je např. nádrž s volným odtokem kapaliny Q = Shɺ + αf 2 gh Linearizací v okolí rovnovážného 2 bodu hs, Qs hs = Qs (2 g (αf ) 2 ) dostaneme lineární model ve tvaru SQs d∆h Qs + ∆h = ∆Q 2 2 (αf ) g dt (αf ) g

Jiný důležitý příklad: Regulační ventily


Řízený systém je tedy obecně nelineární, linearizujeme jej v okolí jednotlivých pracovních bodů a a na základě lineárních lokálních modelů navrhujeme lineární regulátory. Výsledný regulační zákon pak můžeme vytvořit tak, že budeme v závislosti na hodnotách veličiny (resp. veličin) použitých k parametrizaci rovnovážných bodů přepínat mezi jednotlivými regulátory nebo pokud mají všechny stejnou strukturu, můžeme spojitě interpolovat mezi hodnotami jejich parametrů. Parametrizace v závislosti na akční veličině (např. nelineární ventil či jiný akční člen), regulované veličině (nelinearita snímačů) dále žádané hodnotě či poruchové veličině.

PID regulátory jejich vlastnosti, modifikace a číslicová implementace

Recommend Documents