Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Faktoriál je definován pro všechna přirozená čísla
a číslo 0.
Platí:
Příklady k procvičení
1. Vypočtěte : a)
h)
b)
c)
i)
d)
e)
f)
j)
g)
k)
2. Zjednodušte a vypočtěte:
a)
e)
b)
c)
f)
d)
g)
3. Zjednodušte za předpokladu, že hodnoty existují:
a)
e)
b)
f)
c)
g)
h)
4. Zjednodušte výraz:
a)
b)
c)
d)
5. Určete číslo , jestliže platí:
6. Vypočtěte číslo :
7. Určete číslo
jestliže platí:
d)
Kombinatorická pravidla Pravidlo součinu: Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat způsoby, druhý člen po výběru prvního způsoby až k-tý člen způsoby, je roven součinu ……. Pravidlo součtu: Jestliže jsou konečné disjunktní množiny s počty prvků , pak počet prvků množiny je roven součtu . Příklady k procvičení: 1. Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel.
2. Určete počet všech přirozených trojciferných čísel takových, že se v nich číslice neopakují. 3. Kolik různých možností máme při zamknutí zámku, u kterého se nastavuje čtveřice číslic 0 – 9. 4. Vypočtěte počet trojciferných čísel dělitelných pěti. 5. Kolik různých přirozených čísel větších než 400 lze sestavit z číslic 0,1,2,7,8 ? Žádné číslice se neopakují. 6. Z města A do města B vedou čtyři cesty. Z města B do města C vede pět cest. Kolik různých tras můžeme vybrat pro cestování z města A do C? 7. Máme k dispozici 12 žlutých, 10 červených a 11 oranžových gerber. Kolika různými způsoby lze uvázat kytičku obsahující tři květiny po jedné od každé barvy. 8. V hřebčíně mají 10 bílých a 8 černých závodních koní. Na závody mají vybrat dvojici koní. Kolik mají možností, pokud bude každý kůň jiné barvy? Jaký bude počet možností v případě, že budou oba stejné barvy ?
Variace Nechť M je konečná množina obsahující prvků. Variace -té třídy z prvků jsou všechny skupiny po prvcích vybrané z množiny M, kde skupiny lišící se pořadím pokládáme za různé. Počet variací -té třídy z
prvků určíme:
Permutace Pokud je vytváříme variace ze všech prvků množiny, které se liší pořadím. V takovém případě je nazýváme permutace a vypočteme:
Příklady k procvičení: 1. Máme prvky
. Vytvořte všechny variace a) druhé třídy b) třetí třídy.
2. Vypište všechny variace třetí třídy z prvků
3. Kolik trikolór lze sestavit z pěti barev? V každé trikolóře se může barva vyskytovat pouze jednou. 4. Ve třetím ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se učí nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den, ve kterém se učí 6 různých předmětů? 5. Kolik trojciferných čísel lze napsat pomocí číslic 1, 2, 3, 4, 5, tak, aby se ani jedna číslice neopakovala? 6. Kolik šesticiferných a) sudých, b) lichých čísel lze zapsat pomocí číslic 0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9,? Číslice se neopakují.
7. Do závodu nastoupilo 12 běžců. Kolik je teoreticky možných výsledků na první, druhé a třetí pozici v cíli závodu ? 8. Z kolika prvků je možno vytvořit 90 variací druhé třídy? 9. Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, pokud každé z mužstev vstřelí nejvíce 3 branky? 10. Kolika různými způsoby může aranžérka vystavit 5 šampónů vedle sebe? 11. Kolika způsoby se může postavit do řady 10 dětí? Kolik bude možností, jsou-li mezi nimi dvojčata, která stojí vždy za sebou? 12. Kolik značek Morseovy abecedy je možno sestavit z teček a čárek pokud z nich tvoříme skupiny po 3 a 4 znacích?
Kombinace Nechť M je konečná množina obsahující prvků. Kombinace -té třídy z prvků jsou všechny skupiny po prvcích vybrané z množiny M, kdy u vybraných skupin nezáleží na pořadí vybraných prvků. Počet kombinací -té třídy z Číslo
prvků určíme:
se nazývá kombinační číslo.
Příklady k procvičení: 1. Napište všechny kombinace a) 2. Třídy, b) třetí třídy z prvků
2. Kolik kombinací čtvrté třídy je možno vytvořit a) z 10 prvků b) z 20 prvků
3. Ve třídě je 30 žáků a 3 z nich budou zkoušeni. Kolika způsoby je možné je vybrat? 4. Ve třídě je 22 dívek a 9 chlapců. Kolika způsoby je možno vybrat delegaci, kterou budou tvořit a) dvě dívky a dva chlapci b) tři dívky a jeden chlapec 5. V osudí je 8 bílých a 10 černých koulí. Kolika způsoby je možno vybrat: a) dvě bílé a jednu černou kouli b) dvě bílé a dvě černé koule c) tři bílé a dvě černé koule d) dvě bílé a tři černé koule 6. V rovině leží 5 bodů, žádná trojice neleží na jedné přímce. Kolik různých přímek určených dvojicemi těchto bodů lze sestrojit? 7. Učitel matematiky má připraveno 15 snadných a 12 obtížných příkladů. Kolik různých zadání obsahujících 2 snadné a 2 obtížné příklady z nich může sestavit? 8. Pan Novák má ve skříni 5 kalhot, 4 saka, 8 košil a 7 kravat. Kolikerým způsobem se může obléci? Příklady k domácí přípravěě 1. Ve třídě je 12 dívek a 14 hochů. Kolika způsoby lze vybrat čtveřici tvořenou dvěma dívkami a dvěma hochy? 2. Kolik různých trojciferných čísel lze poskládat z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6 tak, že se neopakují? 3. Kolika způsoby je možno seřadit 7 dětí do zástupu? 4. Urči počet čtyřprvkových variací ze 6 prvků. 5. Vypočti počet permutací pětiprvkové množiny. 6. Urči hodnotu čísla
