Petra Klapková Dymešová – Ivo Volf
NA ROZHRANÍ MEZI FYZIKOU A ZEMĚPISEM
(Soubor fyzikálních úloh se zeměpisnou tématikou)
1
OBSAH Měření poloměru Země .................................................................................................... 4 Měření kvadrantu zemského ............................................................................................. 7 Stanovení délky rovníku ................................................................................................... 8 Určení vzdálenosti dvou míst ........................................................................................... 9 Rybník Svět v Třeboni .................................................................................................... 10 Severní polární kruh ....................................................................................................... 11 Výpočet hmotnosti Země ............................................................................................... 13 Fotograf časopisu Vogue ................................................................................................ 15 Foucaultovo kyvadlo ...................................................................................................... 16 Slapové síly .................................................................................................................... 17 Gorges du Verdon......................................................................................................... 19 Podmořské sluneční hodiny ............................................................................................ 20 Tíhové zrychlení ............................................................................................................. 21 Jezero Lac Léman ........................................................................................................... 23 Porovnání velikosti tíhové síly na rovníku a na pólu ..................................................... 24 Stavba kosmodromů ....................................................................................................... 25 Výpočet zrychlení způsobeného rotací Země ................................................................. 26 Nápis v poušti ................................................................................................................. 27 Vikingové ....................................................................................................................... 28 Cesty Vikingů ................................................................................................................. 30 Slapové jevy ................................................................................................................... 31 Teplo ze zemského nitra ................................................................................................. 32 Wilkinsův ledovec .......................................................................................................... 33 Sedm starověkých divů světa ......................................................................................... 34 Mořské větry ................................................................................................................... 35 Atmosférický tlak ........................................................................................................... 36 Magnetické pole Země ................................................................................................... 37 Zkreslení mapy ............................................................................................................... 38 Roztátí ledovců ............................................................................................................... 39 Pýtheás z Massalie .......................................................................................................... 40 Vlakové spojení Praha – Ostrava.................................................................................... 41 Přílivová elektrárna......................................................................................................... 42 Druţice Meteosat ............................................................................................................ 43 Messeturm ve Frankfurtu nad Mohanem ....................................................................... 45 Hod oštěpem ................................................................................................................... 46 Nejdeštivější místo na Zemi ........................................................................................... 47 Dopravní letadla ............................................................................................................. 48 Nejdelší silniční most světa ............................................................................................ 50 Zatmění Slunce ............................................................................................................... 51 Letíme na Mallorcu ........................................................................................................ 52 Honza cestovatel ............................................................................................................. 53 Tunguzská záhada........................................................................................................... 54 Lodí kolem ostrova Mallorca ......................................................................................... 56 Cestujeme po Mallorce ................................................................................................... 56 Nosiči ve Vysokých Tatrách .......................................................................................... 58 Severní pól ...................................................................................................................... 58 Plastický globus .............................................................................................................. 59 Měření na satelitních mapách ......................................................................................... 60 Sopka v souostroví Tonga .............................................................................................. 61
2
Povrch, objem a hustota Země ....................................................................................... 62 Ledovcová pokrývka Grónska ........................................................................................ 63 Jumbo Jet přistává .......................................................................................................... 65 Přehrada Tři soutěsky ..................................................................................................... 65 Let horkovzdušným balónem ......................................................................................... 66 Mnoţství sráţek .............................................................................................................. 67 Vzdálenosti ve vesmíru .................................................................................................. 68 Přelet Austrálie ............................................................................................................... 69 Obvod Země ................................................................................................................... 71 Plachetnicí na jiţní pól ................................................................................................... 72 Volvo Ocean Race .......................................................................................................... 73 Mohyla Silbury Hill ........................................................................................................ 74 Let z Moskvy do Vilniusu .............................................................................................. 74 Sluneční kámen .............................................................................................................. 76 Druţice s polární drahou letu.......................................................................................... 77 Odhad povrchové teploty na Zemi ................................................................................. 78 Slunce ............................................................................................................................. 79 Rozloha Antarktidy ........................................................................................................ 80 Kinetická energie rotačního pohybu Země..................................................................... 81 Pravé poledne ................................................................................................................. 81 Saharský písek ................................................................................................................ 83 Rybník Roţmberk ........................................................................................................... 83 Londýnské kolo .............................................................................................................. 84 Hydroelektrárna na Volze............................................................................................... 85 Ultralehké letadlo ........................................................................................................... 86 Druţice............................................................................................................................ 87 Pravidelný let z Londýna do Singapuru ......................................................................... 89 Kameraman na cestách ................................................................................................... 89 Ohřívání atmosféry ......................................................................................................... 91 Děti kapitána Granta ....................................................................................................... 92 Nedaleko severního pólu ................................................................................................ 93 Polárníci driftují na osamělé kře ..................................................................................... 94 Mapa Turecka ................................................................................................................. 95 Atmosférický tlak ........................................................................................................... 97 Práce s fotomapou .......................................................................................................... 98 Kolumbova první výprava .............................................................................................. 99 Elektrárna na vodopádech .............................................................................................. 99 Důl Mirnyj na Sibiři ..................................................................................................... 100 Rychlovlak v Číně ........................................................................................................ 101 Elektrárna v Bratsku ..................................................................................................... 101 Šerpové v Nepálu ......................................................................................................... 102 Vzletová rychlost letadla .............................................................................................. 103 Ledovce v Arktidě ........................................................................................................ 104 Pohyb těles kolem Země .............................................................................................. 105 Stoţárová anténa vysílače ............................................................................................. 106 Odpolední rychlíky ....................................................................................................... 107 Planety sluneční soustavy ............................................................................................. 109 Saturnův měsíc Titan .................................................................................................... 110 Trpasličí planety ........................................................................................................... 111 Sibiřské jezero Bajkal ................................................................................................... 112
3
Všem, které zajímají naše stránky http://cental.uhk.cz Předkládáme vám novou sbírku úloh, která vznikla v rámci doktorské práce ve studijním programu Specializace v pedagogice – Teorie vzdělávání ve fyzice. Často se ţáci ve škole ptají, proč se některé věci musí učit, k čemu je to všechno dobré. Odpověď učitelů bývá lakonická – přece se učíte pro ţivot. Ale v době školní docházky neví ţák, kam ho „ţivot“ zanese, co bude v budoucnosti dělat, čemu se věnuje. A má se učit pro budoucí ţivot hlavně důleţité poznatky nebo metody, jak se k novým poznatkům dopracovat a jak je pouţívat při řešení problémů, s nimiţ se bude postupně setkávat? Takové otázky dostává učitel např. v hodinách fyziky, pokud není fyzikální učivo ve škole vykládáno v přímé souvislosti se ţivotem, který ţáka obklopuje, nebo alespoň s problémy, které ho mohou zaujmout po stránce obsahové. Fyzika se můţe ţákům zdát obtíţnou teoretickou disciplínou, plnou vzorců a grafů, kterým je těţko porozumět a k nimţ nedostávají vţdy hned moţnost praktického vyuţití. Často se také stává, ţe učitelé ţákům neřeknou zcela zřetelně, ţe ţivot kolem nás je velmi sloţitý a komplikovaný a ţe popsat ho v úplnosti je pro ţáka základní nebo i střední školy zcela nemoţné. V těchto případech sahá školní fyzika k postupu zvanému zjednodušování, jehoţ výsledkem je potom vytvoření modelu reálné situace, v níţ lze problémy řešit také zjednodušeným způsobem; získané řešení potom konfrontujeme zpět s realitou. To je proces velmi sloţitý a dlouhodobý, který musejí ţáci zvládnout ne na základě jen teoretického poučování, ale především během řešení mnoha reálných problémů v konkrétních situacích. A právě odtud si odnášejí ţáci moţná ten nejdůleţitější výsledek výuky fyziky – vytváření matematických a fyzikálních modelů, které slouţí nejen ve fyzice, ale v přírodních vědách vůbec i v technice k vysvětlování jevů a dějů. Tato sbírka úloh vychází z problematiky, která pravděpodobně zajímá většinu populace – z geografických problémových situací. Mnoho jevů a dějů sami zeměpisci zařazují do oblasti fyzické geografie, a je tedy zřejmé, ţe k jejich vysvětlení je nutno dobře ovládat fyzikální poznatky i metody studia, případně i přístrojové vybavení, kterého se běţně v praxi uţívá. Naše sbírka tedy vyplňuje mezeru, která se často ve vzdělávání na základních i středních školách objevuje – a to je vyuţití fyzikálních poznatků v disciplínách zeměpisných a současně moţnosti aplikací tohoto poznání při řešení fyzikálních úloh se zeměpisnou tematikou. Pro jsme ji nazvali Na rozhraní mezi fyzikou a zeměpisem. Nedá se však číst jako zábavný příběh, i kdyţ takových příběhů zřejmě několik obsahuje. Je nutno, abyste ji studovali s papírem a tuţkou, případně i s kalkulačkou, a mnohdy s pouţitím atlasu či internetových zdrojů. Takţe: mnoho hezkých záţitků. Snad dospějete ke stejnému závěru jako autoři, ţe nejen zeměpis, ale i fyzika je zajímavá (ale to samozřejmě autoři vědí).
Autoři
4
Měření poloměru Země První měření rozměrů Země, které se dochovalo, vykonal Eratosthenes z Kyrény (276-195 př. n. l.). Vyšel ze skutečnosti, ţe v určitý den v roce svítí Slunce v egyptské Syeně (dnes Asuán) po několik minut aţ na dno hluboké studně, tedy ţe v Syeně dopadají sluneční paprsky kolmo na povrch Země. Je tomu proto, ţe Syena leţí v blízkosti obratníku Raka. Dále zjistil, ţe v Alexandrii, leţící na sever od Syeny, se odchylují v tutéţ
Obr. č. 1
dobu sluneční paprsky od kolmice k povrchu Země, a pomocí stínu vrţeného svislou tyčí stanovil, ţe se tato odchylka rovná jedné padesátině plného úhlu 360°. Tím určil středový úhel průvodičů těchto dvou míst: 360 7,2 0,125 7 rad. A tak k výpočtu poloměru Země stačilo znát vzdálenost 50
=
mezi Syenou a Alexandrií, kterou Eratosthenes odhadl podle doby cestování karavany na 5 000 stadií, tj. 820 km. Po dosazení do vzorce
s vypočetl, ţe délka poloměru Země je 6 523 km, coţ je v porovnání s dnes platnou r
hodnotou RZ = 6 370 km překvapivá shoda, neboť se liší 2,4 %.
Obr. č. 2
Zadání úloh: 1. Na internetu s pomocí mapy GoggleEarth najdi zeměpisné souřadnice obou míst. V Alexandrii zvol za výchozí bod Alexandrijskou knihovnu, v Syeně (dnes Asuánu)
5
libovolné místo leţící na obratníku Raka (obratník Raka leţí jiţněji neţ dnešní Asuán). 2. Zapiš, ve který den v roce dopadají sluneční paprsky kolmo na zemský povrch na obratníku Raka. 3. Zapiš, zda je moţné, aby v obou místech vrcholilo Slunce ve stejný okamţik. Pokud ne, ve kterém z těchto míst nastává později poledne? Urči o kolik minut. 4. Podobně jako Eratosthenes urči vzdálenost obou míst a z rozdílu zeměpisných délek vypočítej poloměr Země. K řešení pouţij satelitní mapu GoogleEarth. 5. Vypočítej, o kolik procent se tvůj výsledek liší od střední hodnoty 6 371 km. 6. Napiš, jaké nepřesnosti provázejí Eratosthenovo měření. Řešení úloh: 1. Souřadnice Alexandrijské knihovny jsou 31°12′ s. š., 29°47′ v. d., libovolně zvolené místo leţící na obratníku Raka poblíţ Asuánu 23°27′ s. š., 33°03′ v. d. 2. Je to v den letního slunovratu 20. anebo 21. června. 3. Slunce vrcholí ve stejný okamţik na stejném poledníku, jelikoţ daná místa neleţí na stejném poledníku, ale rozdíl zeměpisných délek je přibliţně 3° (podle toho, jaké místo zvolí ţáci v Asuánu), bude časový rozdíl přibliţně 12 minut (pokud budeme uvaţovat střední sluneční den). Poledne nastane později v Alexandrii. 4. Pro zadaná dvě místa je naměřená vzdálenost 914 km. Rozdíl zeměpisných šířek je 7°45′ = 7,75°. Jednomu úhlovému stupni tak odpovídá 118 km, celá kruţnice má délku 42 480 km. Vypočteme-li poloměr této kruţnice, získáme hodnotu 6 760 km. 5. Námi vypočtená hodnota je přibliţně o 6 % větší. 6. Poměrně velmi přesné stanovení poloměru Země Eratosthénem je do určité míry výsledkem šťastných náhod. Náhodou je odhad vzdáleností pomocí délky putování karavan a volba délky stadia. Stadion byl název řecké délkové jednotky, jejíţ délka byla rovna délce tehdejší běţecké dráhy na olympijském stadionu, přičemţ nejpouţívanější řecký stadion měřil 164 m, egyptský 157,7 m, ale také například 185 m, kdy poloměr Země vychází 7 306 km. Další nepřesnost je v úvaze, ţe na obou místech nastává poledne ve stejný okamţik.
6
Měření kvadrantu zemského V
květnu
1790
přijalo
Národní
shromáţdění
Francie
dekret o reformě soustavy měr, v březnu 1791 pak také dekret, jímţ byl schválen návrh skupiny matematiků,
aby
za
jednotku
délky
byla
zvolena
desetimilióntá
část kvadrantu zemského poledníku. moţné
Aby
změřit
kvadrantu
bylo délku
zemského,
bylo nutné co nejpřesněji
Obr. č. 3
změřit alespoň oblouk části poledníku v dostatečně velkém rozsahu zeměpisných šířek. Jako nejvhodnější byla zvolena část paříţského poledníku mezi Dunkerquem a Barcelonou, která od sebe leţela v úhlové vzdálenosti 9°40′24,75″ obloukové míry. Mezi těmito městy byla vytvořena triangulační síť ze 120 trojúhelníků. Triangulací bylo zjištěno, ţe vzdálenost mezi městy Dunkerque a Barcelona měří 551 584,72 toise (1 francouzský sáh = 1 toise = 1,949 m), a ţe tedy délka celého kvadrantu poledníku měří 5 130 739,8 toise. Desetimilióntá část této délky, přibliţně 0,513 toise byla zvolena za novou délkovou jednotku metr. Zadání úloh: 1. Ověř výpočtem, zda je desetimilióntá část paříţského poledníku rovna délce 1 m. 2. Na vhodných internetových stránkách zjisti, jakou zeměpisnou délku určuje Paříţský poledník. 3. V aplikaci GoogleEarth zvol libovolná dvě místa v oblasti měst Dunkerque a Barcelona tak, aby leţela přesně na Paříţském poledníku, a zapiš jejich zeměpisné souřadnice. Na mapce je příslušná část Paříţského poledníku zobrazena červeně
7
(v případě černobílého tisku se jedná o tmavou čáru v síti rovnoběţek a poledníků, které jsou znázorněny bíle). 4. Změř vzdálenost mezi těmito místy. Z rozdílu zeměpisných šířek urči délku kvadrantu Paříţského poledníku. 5. Najdi, jak je v současné době definována jednotka délky metr. 6. Zapiš, které další jednotky patří do soustavy jednotek SI. Řešení úloh: 1. Při zaokrouhlení s přesností na desetitisíciny výsledek platí. 2. Paříţský poledník leţí 2°20′14″ východně od nultého poledníku. 3. Ve městě Dunkerque zvolíme například místo o souřadnicích 51°02′26″ s. š., 2°20′14″ v. d., v okolí Barcelony pak 41°29′04″ s. š., 2°20′14″ v. d. 4. Vzdálenost těchto míst je 1 063 km. Rozdíl zeměpisných šířek je 9°33′22″ = 9,556°. Délka kvadrantu je tedy 10 011,5 km = 10 011 500 m. 5. Jeden metr je délka dráhy, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy. 6. Dalšími jednotkami soustavy SI jsou kilogram, sekunda, kelvin, mol, ampér a kandela.
Stanovení délky rovníku Průsečnice povrchu Země a rovin kolmých k ose rotace se nazývají rovnoběţky. Mají různé poloměry a délky, nejdelší rovnoběţka se nazývá rovník. Prochází územím nebo teritoriálními vodami čtrnácti států, jeho délka je přibliţně 40 075 km. Na obrázku je La Mitad del Mundo, místo v Ekvádoru leţící blízko rovníku, označované jako „střed světa.“ Zadání úloh: 1. Stanov délku rovníku. Pouţij vhodnou mapu z Nového atlasu světa nebo ze Školního atlasu světa.
8
Obr. č. 4
2. Stanov délku rovníku z rozdílu zeměpisných délek dvou libovolných míst s nulovou zeměpisnou šířkou. K řešení pouţij satelitní mapy volně dostupné na internetu. Řešení úloh: 1. Ke stanovení délky rovníku musíme změřit vzdálenost dvou míst s nulovou zeměpisnou šířkou. Pokud pouţijeme zeměpisný atlas, vybereme libovolný úsek rovníku, v zeměpisné síti změříme vzdálenost dvou poledníků, které daný úsek vymezují, a přepočítáme podle měřítka. Při pouţití Nového atlasu světa s měřítkem mapy 1:4 500 000 vypočteme vzdálenost 39 690 km. 2. Z měření na mapě GoogleEarth vybereme například část rovníku procházející přes Viktoriino jezero. Souřadnice jednoho břehu jsou 32°18′23,71″ v. d.; souřadnice druhého břehu 33°59′54,21″ v. d.; naměřená vzdálenost 188 149 m. Rozdíl v zeměpisných délkách je 6 090,5″ (1,69°). Úhlové vteřině odpovídá vzdálenost 30,9 m, úhlovému stupni 111,24 km. Délka rovníku potom je 40 046 km, coţ je v porovnání s udávanou hodnotou v literatuře 40 075 km velmi dobrá shoda. (Jelikoţ jsou v těchto satelitních mapách vzdálenosti určené s přesností na setinu úhlové vteřiny, je velikým „uměním“ umístit značku přesně na rovník.)
Určení vzdálenosti dvou míst Zadání úlohy: Určete
vzdálenost
moldavského
Kišiněva
a
švýcarského Bernu. Řešte úlohu třemi
způsoby:
nejprve pracujte
s tištěnou mapou v atlase světa, poté řešte
numerickým
výpočtem
a
nakonec výsledek ověřte pomocí satelitní mapy na internetu. Při výpočtu vyuţijte toho, ţe města leţí přibliţně na stejné rovnoběţce. Obr. č. 5
9
Řešení úlohy: Nejprve zvolíme měření podle atlasu světa. Pouţijeme mapu v Novém atlase světa s měřítkem 1:4 500 000. Vzdálenost naměřená na mapě je 35,5 cm, přepočteno na skutečnou vzdálenost 1 598 km. Další moţností je výpočet. Jelikoţ obě města leţí přibliţně na 47. rovnoběţce, určíme hledanou vzdálenost z rozdílu zeměpisných délek: pro město Bern 7°26′ v. d. a Kišiněv 28°50′
v. d., rozdíl
zeměpisných
délek
21,6°.
Délka
47.
rovnoběţky
je:
d 2 R cos 47 27 300,5 km.
Na jeden úhlový stupeň tak připadá vzdálenost 75,83 km, na jednu úhlovou minutu 1,26 km. Rozdílu zeměpisných délek
21°24′ tedy odpovídá vypočtená vzdálenost
1 613 km. Ověříme-li nyní vypočtenou vzdálenost na satelitní mapě, získáme údaj 1 621 km (měřeno přibliţně od středu města). Naměřené vzdálenosti se liší z toho důvodu, ţe měřená místa neleţí přesně na 47. rovnoběţce. Nejpřesnější vzdálenost získáme na Google Earth, který pro měření vzdálenosti pouţívá ortodromu, coţ je průsečnice povrchu Země a roviny, proloţené oběma uvaţovanými místy a středem Země.
Rybník Svět v Třeboni Rybník Svět je sedmým největším rybníkem Třeboňska. Na jeho hrázi si můţeme prohlédnout sochu Jakuba Krčína z Jelčan a Sedlčan. Ten se podílel na výstavbě rybníku na Třeboňsku, kromě rybníku Svět, kvůli kterému nechal zbourat část Třeboně, stavěl i největší rybník Roţmberk. Podle vyprávění průvodce místem, na kterém stojí pomník, prochází 49. rovnoběţka. Zadání úloh: 1. Ověř na satelitní mapě, zda je tvrzení o poloze pomníku správné.
Obr. č. 6
2. Vypočítej délku 49. rovnoběţky.
10
Řešení úloh: 1. Socha leţí s přesností na úhlové minuty na 49. rovnoběţce. 2. K určení délky libovolné rovnoběţky je nutné znát její poloměr. K jeho výpočtu musíme mít základní znalosti o goniometrických funkcích. Vzhledem k tomu, ţe platí: r R cos , kde R je poloměr Země 6 371 km, je délka 49. rovnoběţky: d 2 r 2 R cos 49 26 262 km.
Obr. č. 7
Severní polární kruh Zadání úloh: 1. Urči délku polárního kruhu pomocí satelitní mapy. Vyber si libovolná dvě místa na něm
leţící,
zeměpisných
z rozdílu délek
a
naměřené vzdálenosti obou míst vypočítej délku této rovnoběţky. Obr. č. 8: Polární záře na polárním kruhu – Yukon, Kanada 2.
Kriticky se zamysli nad zeměpisnou definicí severního polárního kruhu. Následující definice byla převzata z české verze Wikipedie [2]: „Severní polární kruh je myšlená kružnice, která protíná všechna nejjižnější místa na severní polokouli, z nichž lze vidět po 24 hodin Slunce za letního slunovratu - tedy, kde Slunce za letního slunovratu nezapadne za obzor, a na nichž Slunce za zimního slunovratu nevyjde nad obzor“. Odpověz na následující otázky: Je severní polární kruh určen stejnou zeměpisnou šířkou jako jiţní polární kruh? Je poloha polárních kruhů neměnná? Je hranice polárního dne a polární noci stejná? Své tvrzení vysvětli, popřípadě podloţ výpočtem.
11
Řešení úloh: 1. Pro určení délky polárního kruhu vybereme na satelitní mapě místo na břehu Ruska (66°32′ s. š., 171°01′ z. d.) a Kanady (66°32′ s. š.,164°38′ z. d.). Rozdíl v zeměpisných délkách je 6°23′ = 6,38°, čemuţ odpovídá naměřená vzdálenost 283,29 km. Na jeden stupeň zeměpisné délky tedy připadá vzdálenost 44,4 km. Pro délku polárního kruhu vychází vzdálenost 15 984 km. Výsledek můţeme ověřit i známým výpočtem d 2 R cos 6633,6´ 15 923 km. 2. Poloha polárních kruhů je určena sklonem zemské osy k rovině ekliptiky. Musíme tedy brát v úvahu i to, ţe poloha zemské osy není stálá, ale podléhá díky gravitačnímu působení Slunce, Měsíce a ostatních planet precesi a nutaci. Hranice polárního dne a polární noci nemůţe být stejná z důvodu, ţe Slunce osvětluje větší část Země neţ je její polovina. Jde o tzv. astronomickou refrakci, kdy
Obr. č. 9
při průchodu slunečních paprsků atmosférou dochází k jejich zakřivení vlivem nehomogenity atmosféry. Úhel, pod nímţ dopadají sluneční paprsky na Zemi, můţeme vyjádřit
vztahem:
tg
RS RZ . d
(Následující
obrázek není
v odpovídajícím měřítku.)
Obr. č. 10
Takto jednoduše by to platilo v případě, ţe by dopadaly sluneční paprsky přímo na pól. My ale musíme vzít v úvahu nejen sklon zemské osy, ale i tvar Země, který není přesně kulový. Vzdálenost d v předchozím vztahu je určena vzdáleností Země – Slunce. V době
letního
slunovratu
je
152 033 300 km,
12
v době
zimního
slunovratu
147 168 100 km. Dodejme, ţe okamţik slunovratu se mění, přesné údaje lze nalézt na internetu (lze použít odkaz: http://cs.wikipedia.org/wiki/Slunovrat). Vypočítejme nyní, jaký vliv má změna vzdálenosti Země – Slunce na úhel dopadu slunečních paprsků: tg
696 000 6 371 ; 0,259 9 pro zimní slunovrat, 152 033 300
tg
696 000 6 371 ; 0,268 5 pro letní slunovrat. 147 168 100
Z těchto vypočtených hodnot můţeme přičtením či odečtením od hodnoty úhlu 66°33′38,59″ určit polohu hranice polárního dne a polární noci na severní a jiţní polokouli. Zjistíme, ţe hranice polární noci leţí ve vyšší zeměpisné šířce neţ udávaných 66°33′, hranice polárního dne pak v niţší zeměpisné šířce. Toto tvrzení platí pro obě polokoule. Z rozdílu zeměpisných šířek mezi hranicí polárního dne a noci, lze určit, ţe obě hranice jsou od sebe vzdáleny přibliţně 60 km. Severní a jiţní polární kruh tak nejsou na Zemi umístěny symetricky. Toto jsou však hranice určené matematicky. Skutečně pozorovatelné hranice však budou jinde. Musíme vzít ještě v úvahu refrakci světla v zemské atmosféře. V roce 2011 začal polární den na severním pólu jiţ 18. března, polární noc na jiţním pólu pak 23. března. Tady je vidět, ţe ne vţdy je jednoduše vypadající zadání úlohy snadno a jednoznačně řešitelné.
Výpočet hmotnosti Země V roce 1798 britský fyzik a chemik Henry Cavendish vypočítal hmotnost Země. Pouţil k tomu torzní váhy, s jejichţ pomocí změřil gravitační sílu působící mezi dvěma olověnými koulemi. Současný odhad 5,973 10 24 kg se od jeho výpočtu liší zhruba o 1 %. Hmotnost libovolné planety lze určit i výpočtem ze známé doby oběhu jejího satelitu a poloměru oběţné dráhy tohoto satelitu. Zadání úloh: 1. Vypočítej
Obr. č. 11
hmotnost
Země,
znáš-li
střední
poloměr
oběţné
Měsíce r = 384 400 km a dobu, za kterou Měsíc Zemi oběhne T = 27,32 d.
13
dráhy
2. Vypočítej hmotnost Slunce. Planetu, jejíţ parametry pouţiješ k výpočtu, zvol libovolně. Poloměry drah a oběţné doby planet najdeš na internetu nebo v Matematicko-fyzikálních tabulkách. 3. Napiš, zda stejným způsobem můţeme určit hmotnost Měsíce. Řešení úloh: 1. Uvaţujme řešení v neinerciální soustavě spojené s planetou. Země působí na Měsíc gravitační silou o velikosti: Fg
Mz Mm . r2
Zároveň na Měsíc působí při pohybu po kruţnici setrvačná odstředivá síla o velikosti:
F
4 2 r M m. T2
Setrvačnou odstředivou silou je síla gravitační, z čehoţ můţeme vyjádřit hmotnost Země: 4 2 r 3 4 3,14 2 38 4 400 000 3 M z kg 6,03 10 24 kg. 2 2 11 T 2 360 448 6,67 10 2.
Podobně lze určit hmotnost Slunce ze známé periody oběhu Země a poloměru oběţné dráhy. Vzdálenost Země – Slunce je přibliţně 1,5 1011 m, doba oběhu 365 dní 5 hodin 48 minut 45,6 sekund, coţ je 31 556 925 sekund. Po dosazení do předcházejícího obecného vztahu dostaneme výsledek:
3
4 3,14 2 1,5 1011 M kg 2,01 10 30 kg. 2 11 31 556 925 6,67 10 3. Výše uvedený postup lze pouţít pouze pro případ, ţe těleso o větší hmotnosti povaţujeme za nehybné v dané inerciální soustavě a těleso o menší hmotnosti obíhá kolem něho. Toto není tedy případ Měsíce, protoţe kolem něho neobíhá druţice. K výpočtu lze však vyuţít informace o oběţném modulu Apollo 10, který v roce
14
1969 s trojčlennou posádkou obletěl více neţ třicetkrát Měsíc. Bliţší informace mohou studenti dohledat na internetu.
Fotograf časopisu Vogue Fotograf Vogue
letí
časopisu pracovně
ostrovy
Fidţi,
Samoa.
Na
na
Tonga
ostrov
a
Fidţi
přilétá z Austrálie, zdrţí se zde pár dní, aby získal fotografické kalendář odlétá
a
snímky 15.10.
z města
pro v 9:00
Suva
na
ostrově Viti Levu na ostrov Tongatapu Tonga).
(souostroví Ve
městě
Nuku´alofa se zdrţí pouze dvě
Obr. č. 12
hodiny a pokračuje v cestě na ostrov Tutuila Island ze souostroví Americká Samoa, kde přistane na letišti ve městě Pago Pago. Na mapce jsou všechna místa znázorněna. Zadání úloh: 1. Pomocí atlasu světa urči vzdálenost jednotlivých měst. 2. Vypočítej, jak dlouho bude trvat cesta z ostrova Fidţi na ostrov Tonga, pokud uvaţujeme, ţe malé letadlo letí průměrnou rychlostí 250 km/h. 3. Urči, v kolik hodin místního času přistane letadlo s fotografem na letišti v Nuku´alofa. Přesné údaje o časových pásmech, ve kterých leţí jednotlivá města, vyhledej na internetu (lze využít odkaz http://en.wikipedia.org/wiki/Time_zone). 4. Jaké datum a čas si bude muset fotograf nastavit na svém mobilním telefonu po příletu do města Pago Pago? 5. Po příletu do města Pago Pago se rozhodne zavolat své ţeně do Paříţe. Nemůţe ji vzbudit, protoţe bude v Paříţi noc?
15
Řešení úloh: 1. K řešení pouţijeme Nový atlas světa. Na str. 10-11 je mapa v měřítku 1:50 000 000, ze které změříme tyto vzdálenosti: vzdálenost měst Suva a Nuku´alofa je 1 000 km, vzdálenost Nuku´alofa a Pago Pago je 850 km, a vzdálenost Pago Pago a Suva je 1 350 km. 2. Vzhledem k změřené vzdálenosti 1 000 km je doba letu 4 hodiny. 3. Pokud letadlo odstartuje v 9:00 z města Suva, přistane ve městě Nuku´alofa za 4 hodiny, coţ vzhledem k časovému posunu o hodinu dopředu je v 14:00 místního času. Z města odlétá za dvě hodiny, tedy v 16:00 na ostrov Americká Samoa. 4. Při přeletu na ostrov Americká Samoa překročí datovou hranici, přičemţ při přechodu přes datovou čáru na východ se počítá jeden den dvakrát, tj. čas se vrátí o 24 hodin zpět. Na mobilní telefon bude tedy muset nastavit datum 14. 10. 19:24. 5. Paříţ leţí v časovém pásmu UTC + 1 hod, Americká Samoa v pásmu UTC - 11 hod, v Paříţi bude tedy 7:24. Je třeba ţáky upozornit na to, ţe ne vţdy jsou časová pásma ohraničena přesně příslušnými poledníky. Například zeměpisná délka Paříţe se liší od Londýna přibliţně o 2°, přesto se v Paříţi pouţívá středoevropský čas (UTC + 1).
Foucaultovo kyvadlo Aţ
pojedete
někdy
na
výlet
do
Kroměříţe, zajděte do zámeckých zahrad, kde v kupoli
rotundy
najdete
zavěšené
Foucaultovo kyvadlo. Foucault provedl svůj pokus s koulí těţkou 30 kg, zavěšenou na ocelovém drátě dlouhém 67 m v kupoli Pantheonu v Paříţi jiţ v roce 1851. Provedl tak důkaz rotace Země. Pokud se totiţ takové kyvadlo kýve po delší dobu, pozorujeme stáčení
Obr. č. 13
roviny kyvu ve smyslu denního pohybu Slunce. Pozorovatel v soustavě spojené se Zemí tento jev přisuzuje Coriolosově síle, vzhledem k soustavě spojené s hvězdami zachovává kyvadlo stejnou rovinu kyvu.
16
Zadání úlohy: Napiš, jak by se kyvadlo chovalo, kdybychom ho umístili na různá místa Země (pól, rovník, místa se zeměpisnou šířkou 30° a 50°). Řešení úlohy: Kdyţ bychom kyvadlo umístili přesně na severní pól, rovina kyvu zůstává stálá a Země se pod kyvadlem otočí o 360° za 24 hodin. Pokud bychom kyvadlo zavěsili na rovníku, rovina kyvu se vzhledem k Zemi měnit nebude (na rovníku je Coriolisova síla nulová). V ostatních zeměpisných šířkám musíme uvaţovat to, ţe se rovina kyvu otáčí kolem svislého směru menší úhlovou rychlostí. Dle obrázku ´ sin . Potom v zeměpisné šířce 30° nedojde za 24 hodin k otočení o 360°, ale pouze o 180°, neboť
´ sin 15 sin 30 7,5 za
hodinu.
V naší zeměpisné šířce, tj. 50°, se kyvadlo otočí za den o 276°.
Obr. č. 14
Slapové síly Mnoho lidí se mylně domnívá, ţe slapové síly působí jen na mořskou vodu. Pravdou je, ţe periodickému dmutí podléhá nejen voda v oceánech a mořích, ale i pevnina. Stejně jako stoupá a klesá hladina moře, pohybuje se i zemská kůra. Nejvíce se příliv projevuje v zálivu Fundy v Kanadě, kde hladina stoupá aţ o 20 metrů. V Evropě se s největším rozdílem hladin 13 metrů setkáme ve Francii v zátoce Mont Saint Michel.
Obr. č. 15
Zadání úloh: 1. Vypočítej velikost intenzity gravitačního pole Měsíce v místě na povrchu Země, které je nejblíţe Měsíci, a v místě na povrchu Země, které je nejdále od Měsíce. 17
2. Z vypočtených hodnot urči, jaká slapová síla působí na 1 m3 vody. Urči, o kolik procent tato síla zmenšuje sílu přitahující vodu ke středu Země. 3. Vypočítej dobu, která uplyne mezi dvěma přílivy na libovolném místě na Zemi. K výpočtu pouţij vzorce pro úhlovou rychlost oběhu Měsíce kolem Země a úhlovou rychlost rotace Země. Řešení úloh: 1. Intenzita gravitačního pole Měsíce ve vzdálenosti d od středu je mM , d2 kde mM je hmotnost Měsíce. K ag
Za
r
budeme
dosazovat
průměrnou vzdálenost středů Země
a
Měsíce,
tj.
r = 384,4 ∙ 106. V místě, které je nejblíţe Měsíci, je
Obr. č. 16 6
d1 = r – RZ = 378,029.10 m. Pro intenzitu gravitačního pole tedy platí: K a g 6,67 10 11
7,35 10 22 m s 2 3,43 10 5 m s 2 . 2 378 029 000
V místě, které je nejvíce vzdálené od Měsíce, je d 2 390,778 10 6 m. Platí tedy: K a g 6,67 10 11
7,35 10 22 m s -2 3,21 10 5 m s 2 . 390 778 000 2
Při d = 0, tedy ve středu Země je gM = 3,32.10-5 m ∙ s-2. V obou případech tedy působí Měsíc změnu tíhového zrychlení o gM = 0,11 10 5 m ∙ s-2 = 10-7g, kde g je tíhové zrychlení na zemském povrchu. 2. Z předchozího výpočtu plyne, ţe na 1 000 kg vody působí slapová síla 0,000 1 N, coţ je stomilióntina tíhové síly, která působí na stejný objem vody. I tato nepatrná síla však způsobuje vzdutí mořské hladiny. Na volném moři je to asi o 0,8 m, při pobřeţí, v zálivech a při ústí řek tato hodnota stoupá aţ na několik metrů. 3. Měsíc obíhá Zemi úhlovou rychlostí: M
18
2 , TM
kde TM = 27,32 d = 2 361 000 s je oběţná doba Měsíce. Země se otáčí úhlovou rychlostí: ,
Z
2 , TZ
kde Tz = 23 h 56 min 4s je doba rotace Země. Pro pozorovatele, který na povrchu Země rotuje se Zemí, tedy Měsíc postupuje po obloze relativní úhlovou rychlostí = Z - M a zdánlivě oběhne Zemi za dobu T splňující rovnici:
360 . T
Z těchto rovnic dostáváme vztah:
1 1 1 . T TZ TM Po dosazení vyjde T = 89 420 s = 24 h 50 min. Doba mezi dvěma přílivy je tedy 12 hodin a 25 minut, protoţe vyvrcholení Měsíce na jednotlivých polednících závisí nejen na oběhu Měsíce kolem Země, ale také na rotačním pohybu Země kolem osy. Proto Měsíc, aby zaujal stejné postavení vůči Slunci, musí při svém oběhu urazit větší úhlovou dráhu.
Gorges du Verdon Kaňon Gorges du Verdon ve Francii je nejdelším kaňonem v Evropě. Začíná za městečkem Castellane a táhne se mezi skalními stěnami k přehradnímu jezeru Lac de Sainte-Croix. V některých místech je aţ 700 metrů hluboký. Významným
místem
na
řece
je
městečko Point Sublime. Obr. č. 17
19
Zadání úloh: 1. Najdi v satelitní mapě zeměpisné souřadnice městečka Castellane a Point Sublime. 2. Pomocí pravítka v aplikaci Google Earth zjisti co moţná nejpřesněji délku kaňonu. 3. Na mnoha místech v okolí si můţeš půjčit loďku, šlapadlo nebo raft a vydat se na cestu přímo po vodě. Vypočítej, jak dlouho ti bude trvat cesta z Castellane do Point Sublime, kdyţ pojedeš na raftu rychlostí 2 m/s. Jak bude dlouho trvat cesta zpět? Počítej s rychlostí proudu 0,5 m/s. 4. Nad ústím řeky do přehradního jezera Lac de Sainte-Croix je most, zjisti jeho délku. Urči, za jak dlouho přejede přes most nákladní automobil délky 12 m, jede-li rychlostí 50 km/h. Řešení úloh: 1. Zeměpisné souřadnice městečka Castellane jsou přibliţně 43°50′ s. š., 6°30′ v. d. (pro naše účely tato přesnost postačuje). Point Sublime má souřadnice 43°47′ s. š., 6°23′ v. d. 2. Pomocí pravítka v Google Earth vychází délka kaňonu od městečka Castellane k jezeru Lac de Sainte-Croix 37,8 km. 3. Délka řeky z Castellane k Point Sublime je přibliţně 16,5 km. Pojdeme-li rychlostí 2 m/s, tak vezmeme-li v úvahu rychlost proudu, urazíme za hodinu 9 km, celou vzdálenost ujedeme za 1 h 50 min. Pokud pojedeme nazpátek, musíme rychlost proudu odečíst, za hodinu tedy ujedeme vzdálenost 5,4 km, cesta zpět bude trvat 3 h a 4 min. 4. Most u ústí jezera je dlouhý 113,6 m, automobil jej zadanou rychlostí přejede za 9 s.
Podmořské sluneční hodiny Jachtař a potápěč Josef Dvorský a jeho kamarád profesionální sluneční hodinář Petr Weiss podnikli v roce 2007 expedici, která měla za cíl umístit do hloubky 38 m pod hladinu moře první funkční podmořské hodiny na světě. Jak se jim to podařilo, můţete vidět na fotografii. Zeměpisné souřadnice tohoto místa jsou 33°52,8′ v. d. a 27°33,4′ s. š.
20
Zadání úloh: 1. Pomocí Google Earth 3D najdi toto místo a zapiš, jak se jmenuje ostrov, u kterého jsou hodiny umístěny. Zjisti vzdálenost mezi ostrovem a blízkým turistickým letoviskem a vypočítej, jak dlouho by ti trvala cesta lodí z letoviska, kdybys toto místo chtěl navštívit. Předpokládej, ţe se loď bude pohybovat rychlostí 16 uzlů.
Obr. č. 18
2. Celá událost se odehrála 1. 11. 2007 v 1 hodinu a 11 minut odpoledne místního času. Zjisti, v jakém časovém pásmu se hodiny nacházejí, a urči čas v UTC. Řešení úloh: 1. Hodiny se nacházejí pod hladinou Rudého moře u ostrova Siyul Kebira. Vzdálenost obou míst je 33,5 km. Pokud bychom pluli lodí, trvala by cesta 1 hod a 8 min. 2. Hodiny se nacházejí v časovém pásmu UTC + 2 hodiny, byly tedy umístěny v 11 h 11 min UTC. Samé jedničky v datu a čase mají podle organizátorů akce symbolizovat prvenství v umístění slunečních hodin pod mořskou hladinu.
Tíhové zrychlení Následující text pochází z historické učebnice Počátkové silozpytu čili fyziky pro gymnasia a reálky [1]. Důležitější ještě jest kyvadlo v silozpytu tím, že zákony tíže bezprostředně ukazuje, a sice: Že tíže k rovníku ubývá, k pólům přibývá, též kyvadlem dokázáno, an kyvadlo, které k. p. u nás sekundy tluče, blíž k rovníku kývání své zpožďuje, blíže k pólům zrychluje. Že tíže v převráceném čtverečném poměru dálek od země ubývá, dokazuje kyvadlo též, an na vysokých kopcích zdlouhavěji než dole se kývá.
21
Zadání úloh: 1. Ověř výpočtem předcházející tvrzení. Délku matematického kyvadla zvol 2 metry, vypočítej dobu kyvu na různých místech Země: na rovníku, na pólu, na nejvyšším vrcholu ČR a ve tvém městě (potřebné údaje dohledej pomocí GoogleEarth). Vypočtené hodnoty porovnej. Tíhové zrychlení v místě určité zeměpisné šířky a nadmořské výšky H metrů lze vypočítat pomocí vzorce stanoveného Mezinárodní geodeticko - fyzikální unií (1930): g = (9,780 49(1+ 0,005 288 4 sin2 – 0,000 005 sin2 2) – 0,000 001 967 H) m∙s-2, kde je zeměpisná šířka, H je nadmořská výška. Převzato z [3]. 2. Navrhni postup, jak bys mohl změřit tíhové zrychlení pomocí jednoduchých pomůcek doma nebo ve škole. Řešení úloh: 1. Hodnoty tíhového zrychlení na rovníku a na pólu v nulové nadmořské výšce jsou známé, další dvě vypočítáme podle uvedeného vzorce. Výpočet pro umístění na rovníku:
l 2 1,421 s. g 9,78
Výpočet pro umístění na pólu:
l 2 1,417 s. g 9,833
Výpočet pro umístění na Sněţce: φ = 50°44´8´´, H = 1602 m, pro tyto hodnoty g =
9,778 m ∙ s-2:
l 2 1,421 s. g 9,778
Výpočet pro Hradec Králové – budovu UHK č. 1: φ = 50°12′34″, H = 237 m, g = 9,781 m ∙ s-2:
l 2 2 1,421 s. g 9,781
Porovnáním vypočtených hodnot zjistíme, ţe rozdíly jsou nepatrné, v řádech tisícin sekund. Pokud bychom příklad zadali jiným způsobem tak, aby T = 1 s a určovali bychom délku kyvadla, zjistili bychom, ţe se vypočtená délka kyvadla mění jen v řádech milimetrů. 2. Tíhové zrychlení lze změřit fyzickým kyvadlem. Pro periodu fyzického kyvadla platí: T 2
J , mgd
22
kde J je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose, která prochází bodem závěsu kolmo k rovině kývání, a d je vzdálenost bodu závěsu od těţiště. Uvaţujme nyní pro jednoduchost kyvadlo tvořené homogenní tyčí délky L, zavěšenou na jednom konci. Pro takové kyvadlo je vzdálenost mezi bodem závěsu a těţištěm, rovna 1/2 L. Dále potřebujeme znát moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose otáčení. Ta je kolmá k ose tyče a prochází jejím koncem. Výpočtem zjistíme, ţe J = 1/3 m L2. Dosadíme tedy do rovnice a vyjádříme g. Výsledek je:
g
8 2 L . 3T 2
Jestliţe tedy změříme délku tyče L a periodu kmitů T, můţeme vypočítat hodnotu g na daném místě. Výsledek lze porovnat s hodnotou vypočítanou pro konkrétní zeměpisnou šířku. K měření tíhového zrychlení lze pouţít i reverzní kyvadlo, popřípadě lze jeho hodnotu vypočítat ze známé doby volného pádu.
Jezero Lac Léman Největší alpské jezero je Lac Léman, u nás známé jako Ţenevské jezero. Jeho délka je větší neţ 70 km, šířka v oblasti Lausanne necelých 11 km. Nejširší je jezero v oblasti města Morges, kde jeho šířka dosahuje téměř 14 km.
Zadání úlohy: Urči výpočtem, zda je moţné dohlédnout z jednoho břehu jezera na druhý. Výsledek ověř pomocí satelitní mapy.
Obr. č. 19
Řešení úlohy: Při náčrtu vyuţijeme znalosti o tečně ke kruţnici a Pythagorovu větu. V tomto případě uvaţujeme, ţe Země je dokonalá koule. Jak daleko vidíme „v rovině“, můţeme určit
23
z Pythagorovy věty, kde po dosazení a zanedbání členu h2 (h je výška očí stojící osoby) dostaneme vzorec: x 2Rh . Uvaţujeme-li výšku očí člověka 170 cm, dostaneme hodnotu 4,65 km. Pokud podrobněji prostudujeme mapu (můţeme pouţít Google Earth) zjistíme, ţe v západní části jezera to moţné je, například u měst Nyon. Obr. č. 20
Porovnání velikosti tíhové síly na rovníku a na pólu Na kaţdé těleso působí na povrchu Země dvě síly: gravitační síla Fg a odstředivá setrvačná síla F0. Výslednicí gravitační a odstředivé síly je síla tíhová FG. Platí: FG = Fg + F0. Zadání úloh: 1. Následující obrázek (obr. č. 21) představuje model Země. Zakresli vektory gravitační, odstředivé a tíhové síly v bodech A, B, C, pokud rotuje podle osy procházející bodem A. Obr. č. 21
2. Napiš, jak se mění velikost odstředivé síly vzhledem k zeměpisné šířce. 3. Vypočítej velikost změny hodnoty tíhové síly a tíhového zrychlení g způsobené tvarem Země a rotací na rovníku a na pólu. Pro výpočet uvaţuj těleso o hmotnosti 100 kg. Rovníkový a polární poloměr Země vyhledej v tabulkách nebo na internetu. 4. Představ si pruţinové váhy. Pokud je pouţijeme k váţení, budou ukazovat stejnou hodnotu na rovníku jako na pólu? Řešení úloh: 1. Vektor odstředivé síly je kolmý k ose rotace, vektor gravitační síly směřuje do středu Země, tíhová síla je vektorovým součtem. 2. Velikost odstředivé síly se mění se zeměpisnou šířkou – maximální je na rovníku, nulová na pólech. Síla je tím větší, čím větší je vzdálenost tělesa od osy rotace.
24
3. Porovnáme nyní hodnoty tíhové síly na rovníku a na pólu. Na rovníku (rovníkový poloměr = 6 378 160 m) působí na těleso o hmotnosti m = 100 kg v nulové nadmořské výšce gravitační síla o velikosti: Fg
24 M m 11 100 5,98 10 6 , 67 10 N 980,5 N. r2 6 378 160 2
Velikost odstředivé síly na rovníku je:
FO m 2 R cos 100 7,29 10 5
2
6 378 160 N 3,4 N.
Pro velikost gravitační a odstředivé síly na pólech platí (polární poloměr r = 6 356 750 m): 24 Mm 11 100 5,98 10 Fg 2 6,67 10 N 987 N, FO 0 N. r 6 356 750 2
Velikost tíhové síly na rovníku je tedy FG = 977 N, na pólu FG = 987 N, z čehoţ plyne tíhové zrychlení na rovníku g = 9,77 m ∙ s-2, na pólu g = 9,87 m ∙ s-2. 4. Tíhová síla působící na těleso na rovníku bude při měření na pruţinové váze menší neţ tíhová síla působící na těleso na pólu. Proto i naměřené hodnoty hmotnosti budou různé.
Stavba kosmodromů Je
známo,
ţe
při
stavbě
kosmodromů
je
nejvýhodnější poloha poblíţ zemského rovníku, aby se při startu kosmických raket či druţic co nejvíce vyuţilo rychlosti zemské rotace. Při televizních přenosech startů kosmických lodí tak můţeme vidět, jak se jejich trajektorie stáčí doprava. Nejblíţe rovníku byl umístěn dnes jiţ neexistující kosmodrom San Marco Equatorial Range (2°56′ s. š., 42°13′ v. d.). Z těch co jsou stále v provozu, je v blízkosti rovníku Guayanské kosmické centrum, kde v současné době budují další zařízení určené pro starty ruských nosných raket Sojuz, nebo
25
Obr. č. 22
Sea Launch, plošina umístěná v Tichém oceánu poblíţ rovníku, která vznikla přestavbou ropné plošiny. Zadání úloh: 1. Urči pomocí satelitní mapy polohu Guayanského kosmického centra a plošiny Sea Launch. 2. Vypočítej rychlost zemské rotace v těchto místech. 3. Na stránce http://cs.wikipedia.org/wiki/Kosmodrom#Seznam_kosmodrom.C5.AF nalezneš seznam všech kosmodromů. Prostuduj ho. Zapiš zeměpisné souřadnice nejsevernějšího kosmodromu, který patří Rusku. Mohou rakety startující dále od rovníku také vyuţívat rychlosti zemské rotace? Řešení úloh: 1. Guayanské kosmické centrum je umístěno poblíţ města Kourou na 5°8′ s. š., u plošiny Sea Launch uvaţujme souřadnici 0°. 2. v v
2 r 40 030 463 m ∙ s-1 pro rychlost v Sea Launch. T 86 400 2. r 39 869 461,4 m ∙ s-1 pro rychlost v Kourou. T 86 400
3. Kosmodrom Pleseck 62,5° s. š., 40,3° v. d. Rakety startující ve vyšších zeměpisných šířkách nevyuţívají tolik velikost tečné rychlosti, jsou však určené pro blízkopolární dráhy letu.
Výpočet zrychlení způsobeného rotací Země Zadání úloh: 1. Vypočítej odstředivé zrychlení člověka na 40° severní šířky, způsobené rotací Země. 2. Vypočítej odstředivé zrychlení na zemském rovníku, způsobené rotací Země. Obě vypočtené hodnoty porovnej. 3. Vypočítej, s jakou periodou by musela rotovat Země, abychom pocítili stav beztíţe. Uvaţuj místo na rovníku. Hmotnost Země je 6 ∙ 10 24 kg, poloměr R = 6 378 km.
26
Řešení úloh: 1.
Pro odstředivé zrychlení platí:
an R 2 cos 6,37 10 6 7,29 10 5
2
cos 40 m s 2 2,59 10 2 m s 2 ,
coţ je 0,26 % zrychlení tíhového. 2.
Pro velikost odstředivého zrychlení na rovníku platí:
an R 2 cos 6,37 10 6 7,29 10 5
2
cos 0 m s 2 3,38 10 2 m s 2 .
3. Tento stav nastane, pokud se vyrovná gravitační síla se silou odstředivou Fo= Fg, a obě síly budou opačného směru. Platí tedy:
mR 2
2 T 2
mM R2
M R3
(pro úhlovou rychlost
2 ) T
R3 M
Po dosazení do posledního vztahu vyjde hodnota 5 059 s = 84 min 19 s. Aby se tedy odstředivé zrychlení na rovníku rovnalo zrychlení tíhovému, musela by být doba rotace Země pouhých 84 minut, coţ je doba oběhu tělesa, které se pohybuje těsně nad povrchem Země.
Nápis v poušti Arab
Hamád
bin
Hamdán an-Nehaján z města Abú Dhabí, které leţí ve Spojených
arabských
emirátech, si nechal v poušti poblíţ města vytvořit nápis se svým jménem. Zpravodajské internetové servery informují
Obr. č. 23
o tom, ţe je tento nápis viditelný z vesmíru.
27
Zadání úloh: 1. Pomocí GoogleEarth zjisti, jak veliká jsou písmena nápisu. 2. Výpočtem ověř tvrzení, zda je tento nápis moţno vidět z vesmíru. Za hranici vesmíru uvaţuj hranici 100 km. Pro výpočet je třeba vědět, jaká je zraková ostrost lidského oka. Tento údaj lze vyhledat na internetu (lze využít odkaz: http://cs.wikipedia.org/wiki/Ostrost). Řešení úloh: 1. Měřením v satelitní mapě zjistíme velikost písmen 0,5 km. Délka nápisu je přibliţně 1,6 km. 2. Zraková ostrost je nejmenší moţná vzdálenost dvou bodů, které jsme schopni lidským okem rozlišit. Lidské oko je schopno rozlišit dva body, které mají úhlovou vzdálenost 1′. 500 0,005 rad = 0°0′18″, coţ je méně neţ 1′. 100 000
Platí tedy:
Nápis tedy z vesmíru není viditelný lidským okem, mohou ho ovšem zachytit satelitní systémy.
Vikingové Vikingové byli výborní mořeplavci, jiţ před více neţ tisíci lety navigovali podle hvězd
a
dovedli pomocí
jednoduchých pravidel stanovit kurz
lodi
vzdálenost. plavili šířce“.
i Na
uraţenou mořích
se
tzv. „po zeměpisné Jejich
kurz
totiţ
sledoval vţdy stejnou
Obr. č. 24
rovnoběţku. Podíváme-li se do atlasu, zjistíme, ţe na přibliţně 60° s. š. leţí norské město Bergen, dále pak další místa, která Vikingové postupně osídlili, tedy Shetlandské ostrovy, Grónsko a Labrador.
28
Zadání úloh: 1. Výpočtem urči délku 60. rovnoběţky. 2. V aplikaci GoogleEarth vyhledej zeměpisné souřadnice města Bergen, zvol libovolné místo na Shetlandských ostrovech, v Grónsku i Labradoru a z rozdílu souřadnic urči vzdálenost těchto míst. 3. Vypočítanou vzdálenost ověř pomocí funkce „měření“ v GoogleEarth. Řešení úloh: 1. K výpočtu délky rovnoběţky nejprve potřebujeme určit její poloměr. Ten určíme ze vzorce r = R ∙ cos 60° , kde R = 6 371 km je poloměr Země. Vyjde tedy r = 3 185,5 km a délka rovnoběţky 20 015 km. Na jeden úhlový stupeň připadá 55,6 km, na úhlovou minutu 926 m. 2. Souřadnice: Bergen (přístav): 60°24′ s. š., 5°19′ v. d. Shetland Islands (letiště): 60°22′ s. š., 0°55′ z. d. Grónsko (jiţní část – South Greenland): 60° 08′ s. š., 44°31′ z. d. Labrador: 60°14′ s. š., 64°40′ z. d. Výpočet vzdáleností: Bergen – Shetland Islands: rozdíl zeměpisných délek 6°14′, tedy 346,6 km. Shetland Islands – Grónsko: rozdíl zeměpisných délek 43°36′, tedy 2 424 km. Grónsko – Labrador: rozdíl zeměpisných délek 20°9′, tedy 1 120 km. 3. Vzdálenosti naměřené v GoogleEarth: Bergen – Shetland Islands: 347 km. Shetland Islands – Grónsko: 2 363 km. Grónsko – Labrador: 1 105 km. Velký rozdíl mezi naměřenou a vypočítanou hodnotou u vzdálenosti Shetland Islands – Grónsko je způsoben větším rozdílem v zeměpisných šířkách neţ u ostatních výpočtů.
29
Cesty Vikingů Normani (neboli Vikingové) byli velcí mořeplavci. Během staletí postupně objevovali nová území, kolem roku 650 Shetlandy, asi v roce 750 Faerské ostrovy, v roce 863 se dostali na Island. Kolem
roku
900
následovalo
Grónsko, roku 1 000 vyrazili na západ a dostali se pravděpodobně k dnešnímu
Baffinově
ostrovu,
dále pak k Labradoru. Jen několik dní jim trvala cesta k ostrovu Belle Isle, pak obepluli mys Bauld na Newfoundlandu i velký poloostrov Nové Skotsko, aţ připluli na pobřeţí
státu
Massachusetts. Obr. č. 25
Zadání úlohy: Na této cestě není ţádná etapa delší neţ 350 námořních mil. Ověř tuto informaci pomocí GoogleEarth a urči vzdálenost v km, kterou museli urazit z Norska do Severní Ameriky (k Labradoru). Řešení úlohy: Naměřené vzdálenosti: (vzdálenosti jsou uvedeny jako nejkratší moţné) Bergen – Shetland Islands: 355 km (191 námořních mil) Shetland Islands – Faerské ostrovy: 349 km (188 mil) Faerské ostrovy – Island: 448 km (242 mil) Island – Grónsko: 458 km (247 mil) Grónsko - Baffinův ostrov: 341 km (184 mil) Baffinův ostrov – Labrador: 212 km (114 mil) Všechny trasy jsou tedy kratší neţ 350 námořních mil. Celkem 2 163 km.
30
Slapové jevy Následující text pochází z historické učebnice Počátkové silozpytu čili fyziky pro gymnasia a reálky [1]. Dmutí jest střídavé zdvíhání a klesání povrchu morského na tomtéž místě dvakrát za den se udávající.
Pozorovati
totiž
na
přímořích
otevřených, že se moře denně dvakrát dme ku břehům přitékajíc a přes pokraje prvé se rozlévajíc, zponenáhla pak, když bylo největší výšky dosáhlo, zase opadává od břehů odtékajíc a pokraj prve zaplavený opět suchý zůstavujíc. Ono přibývání moře přítok nebo příliv, ubývání odtok nebo odliv se jmenuje, a jedno po druhém as po 6 hodinách následuje, nepočítá však každodenně stejnou dobu, nébrž
den
ode
dne
se
zpožďuje
vždy
o 49 minut,…
Obr. č. 26: Odliv v zálivu Fundy – Kanada
Zadání úloh: 1. Na základě středoškolských znalostí fyziky vysvětli podstatu vzniku přílivu a odlivu. 2. Proč na konkrétním místě zemského povrchu nenastává příliv a odliv kaţdý den ve stejný čas, ale dochází ke zpoţdění o 49 minut? 3. Vysvětli, kdy nastává tzv. hluché a skočné dmutí. Načrtni obrázek. Řešení úloh: 1. Příliv a odliv jsou důsledek deformace oceánu vlivem sil, kterými na Zemi působí Slunce a Měsíc. K přílivu dochází jak na straně přivrácené k Měsíci, tak i na straně odvrácené od Měsíce. Příliv na přivrácené straně se vysvětluje tím, ţe tu převládá přitaţlivá síla Měsíce nad odstředivou silou vznikající pohybem Země kolem společného těţiště Země-Měsíc, která působí v opačném směru. Příliv na odvrácené straně od Měsíce se vysvětluje převahou odstředivé síly nad přitaţlivou silou Měsíce.
31
2. Protoţe vyvrcholení Měsíce na jednotlivých polednících závisí na otáčivém pohybu Země stejně jako na oběhu Měsíce kolem Země, je rozdíl mezi dvěma přílivy 12 hodin 25 minut a 14 sekund. Měsíc se totiţ během jednoho otočení Země kolem své osy posune na své trajektorii o 12,86°. Interval mezi přílivem a odlivem na stejném místě je tedy 6 hodin, 12 minut a 37 sekund. Velikost slapových jevů závisí na poloze Měsíce a Slunce vzhledem k Zemi a na zeměpisné poloze. Přitaţlivost Měsíce je více neţ dvakrát větší neţ přitaţlivost sluneční a také oběţná doba přílivových vln kolem Země není stejná. Dvě silnější přílivové vlny oběhnou Zemi v jednom měsíčním dni, tj. za 24 hodin 50 minut a 30 s. Přílivové vlny vyvolané přitaţlivostí Slunce mají oběţnou dobu 24 hodin. 3. Při úplňku a v novoluní působí přitaţlivost Měsíce i Slunce ve stejném směru a obě přílivové vlny se spojují (tzv. skočný příliv). Při první a třetí měsíční fázi spadá příliv měsíční do doby odlivu způsobeného Sluncem. Vzniká tzv. hluché dmutí, které se rovná rozdílu dmutí měsíčního a slunečního.
Teplo ze zemského nitra Teplo z nitra Země neustále prostupuje na povrch a uniká do vesmíru. Měření ve vrtech ukazují, ţe v průměru neustále prochází kaţdým čtverečním metrem zemského povrchu záření s tepelným výkonem 0,05 W. Zadání úlohy: 1. Vypočítej, jaký tepelný výkon uniká z nitra Země celým jejím povrchem. Zemi povaţuj za kouli o poloměru 6 371 km. 2. Vypočtenou hodnotu porovnej s výkonem záření dopadajícího od Slunce. Solární konstanta je k = 1 370 W ∙ m-2, dopad záření uvaţuj na osvětlenou část Země, předpokládej odraz záření ve výši 30 % záření dopadajícího. Řešení úlohy: 1. Pokud budeme uvaţovat Zemi jako kouli o poloměru 6 371 km, vypočtený povrch bude 510 ∙ 106 km2. Pro tepelný výkon tedy dostaneme hodnotu 2,5 ∙ 1013W.
32
2. Nejprve je třeba určit velikost plochy kolmé k dopadajícímu záření S = π ∙ r2 = 1,275 ∙ 1014 m2. Potom pro velikost záření dopadajícího ze Slunce s předpokládaným odrazem ve výši 30 % platí: P = 0,7 ∙ S ∙ k = 1,22 ∙ 1017 W. Obr. č. 27
Wilkinsův ledovec Wilkinsovu šelfovému ledovci hrozí, ţe se odtrhne od Antarktického poloostrova. Čtyřicet kilometrů dlouhý ledový most, který dosud
zajišťoval
Charcotovým Wilkinsův
spojení
ledovce
ostrovem,
ledový
šelf
se se
s
rozpadá.
nachází
ve
vzdálenosti přibliţně 1 000 kilometrů od nejjiţnějšího místa Jiţní Ameriky. Jde o obrovskou masu ledu, která leţí na mořské hladině,
ale
je
spojená
s
pevninským
ledovcem. Celkem má tento ledový šelf rozlohu asi 13 000 čtverečních kilometrů a vědci jeho stav bedlivě sledují. V březnu roku 2008 se z něj odlomila obrovská kra dlouhá zhruba 41 kilometrů a široká 2,5 kilometru.
Obr. č. 28: Mapa antarktického poloostrova
Zadání úloh: 1. Pro lepší představu o velikosti šelfu zjisti, který stát světa zaujímá přibliţně stejnou rozlohu jako Wilkinsův ledovec. 2. Vypočítej, jaký objem vody by vznikl, kdyby tento ledovec roztál. Tloušťka ledu je řádově několik stovek metrů, počítej tedy s průměrnou tloušťkou ledu 500 m. 3. Vypočítej, do jaké výšky by vystoupala voda, kdyby roztátou vodou z ledovce bylo zaplaveno území ČR.
33
4. Urči, o kolik procent své rozlohy a objemu přišel ledovec po ulomení ledové kry v loňském roce. Řešení úloh: 1. Podobnou rozlohu jako Wilkinsův ledovec má například Černá Hora 13 812 km2 nebo Bahamy 13 940 km2. 2. Za předpokladu, ţe roztaje celý ledovec o průměrné tloušťce ledu 500 m, roztaje 6,5 ∙ 109 m3 ledu. Hmotnost ledu je m = ∙ V = 5,96 ∙ 1012 kg (hustota ledu 917 kg/m3), jeho roztátím by vznikla voda o objemu 5,8 ∙ 109 m3 (pouţijeme hustotu slané vody 1 028 kg/m3). 3. Pokud by touto vodou měla být zaplavena Česká republika s rozlohou 78 867 km2, vystoupala by voda do výšky přibliţně 7 cm. 4. Ze zadaných rozměrů kry určíme objem roztáté části: 51,25 km3, coţ je 0,4% původního objemu.
Sedm starověkých divů světa Maják na ostrově Pharos se ve starověku nacházel v Egyptě u města Alexandrie a byl nejvyšší stavbou tehdejšího světa. Výška této stavby však není přesně známá, v literatuře se udává 117 metrů. Výšku však můţeme dopočítat ze vzdálenosti, ze které je viditelné světlo vycházející z majáku. I zde se však údaje různí. Například Josephus Flavius tvrdí, ţe světlo z tohoto majáku bylo vidět na vzdálenost 300 stadií. Obr. č. 29
Zadání úlohy: Vypočítej z přecházejících údajů výšku majáku. Nejprve najdi vzdálenost, které odpovídá historická jednotka délky egyptský stadion. Řešení úlohy: Stadion byl název řecké délkové jednotky, jejíţ délka byla rovna délce tehdejší běţecké dráhy na olympijském stadionu, přičemţ nejpouţívanější řecký stadion měřil 164 m, 34
egyptský 157,7 m, ale také například 185 m. Pro náš výpočet pouţijeme stadion egyptský. Světlo z majáku je tedy vidět ze vzdálenosti 47,31 km. K výpočtu pouţijeme Pythagorovu větu: x 2R h 47,31 2 6371 h
h = 175 m
Obr. č. 30
Tato výška však zřejmě neodpovídá tehdejším stavebním moţnostem, ani z praktického důvodu není nutné stavět majáky takových výšek.
Mořské větry Následující text pochází z historické učebnice Počátkové silozpytu čili fyziky pro gymnasia a reálky [1]. K větrům pravidelně se střídajícím náležejí také větry zemské a morské (Land-und Seewinde), jenžto ve dne od moře k zemi, v noci pak od země k moři vějí. Zadání úlohy: Kaţdý z vlastní zkušenosti ví, ţe leţíme-li na pláţi u moře, tak nás ochlazuje vítr foukající od moře. Při noční procházce po pobřeţní promenádě je pak situace jiná, vítr fouká opačným směrem. Vysvětli tento jev. Řešení úlohy: Mořské větry vznikají za teplých dnů podél mořských pobřeţí, kdyţ se mezi vzduchem
nad
velmi
rychle
se ohřívající pevninou a méně rychle se ohřívající vodou utvoří tlakový gradient. Vítr vane na pevninu, ta se v noci ochlazuje rychleji neţ voda a opačný gradient vítr obrátí. V kaţdé zemi má místní vítr svůj specifický název.
Obr. č. 31
35
Atmosférický tlak Vzduch působí na zemský povrch tlakovou silou, která vyplývá z jeho tíhy. Vycházíme-li z fyzikální definice tlaku, můţeme definovat atmosférický tlak jako tlak atmosféry na všechna tělesa v ovzduší a na zemský povrch, způsobený tíhou vzduchového sloupce nacházejícího se nad nimi. Atmosférický tlak v různých, nepříliš velkých výškách nad zemským povrchem, lze vyjádřit ze vztahu: p p0 e 0,000127h ,
kde p0 = 101,3 kPa je tlak v nulové nadmořské výšce a h je výška nad povrchem Země. Zadání úloh: 1. Ze znalosti hodnoty atmosférického tlaku při zemském povrchu vypočítej přibliţnou hmotnost zemské atmosféry. Vypočtenou hodnotu porovnej s hmotností Země. 2. Je známo, ţe se stoupající nadmořskou výškou, klesá atmosférický tlak. Urči, v jaké nadmořské výšce bude jeho hodnota poloviční v porovnání s hodnotou u zemského povrchu. 3. Při letu v letadle jsou cestující a posádka vystaveni tlaku, který je niţší, neţ tlak na povrchu Země. Jeho hodnota odpovídá přibliţně hodnotě, která je v nadmořské výšce 2 100-2 500 m n. m. Vypočítej, jaký je rozdíl tlaků mezi vnitřkem a vnějškem letadla. Uvaţujte, ţe letadlo letí ve výšce 10 km. 4. Většina horolezců zdolávajících tzv. osmitisícovky má kyslíkové přístroje. Vypočítej tlak vzduchu v 8 000 m n. m. Řešení úloh: 1. Tlak vzduchu při zemském povrchu je zhruba 1 000 hPa = 105 N ∙ m-2. To znamená, ţe tíha sloupce vzduchu, který je nad 1 m2 zemského povrchu, je přibliţně 105 N a hmotnost tohoto sloupce 104 kg. Tíhová síla je zde vlastně tlakovou silou a platí: m ∙ g = p ∙ S, kde S je plocha zemského povrchu, coţ je 510 ∙ 106 km2. Platí tedy: p S 105 5 1014 kg 5 1018 kg , g 10 tj. 0,000 085 % hmotnosti Země. m
2. Dosadíme-li do uvedeného vzorce p = 0,5 ∙ 105 Pa, získáme hodnotu h = 5 372 m. 36
3. Uvaţujme, ţe tlak v kabině je stejný, jako v nadmořské výšce 2 500 metrů. Dosazením do vzorce vyjde hodnota 73,4 kPa. Vně letadla je tlak 28,2 kPa. Hledaný rozdíl je tedy 45,2 kPa. Změny tlaku v letadle při stoupání a klesání jsou příčinou zaléhání uší. 4. V 8 000 m n. m. vyjde tlak 36,4 kPa. Ve skutečnosti je ale tlak v jednotlivých výškách menší, coţ je způsobeno tím, ţe jsme při našich výpočtech neuvaţovali sniţování teploty asi o 6,5 °C na jeden kilometr.
Magnetické pole Země Následující text pochází z historické učebnice Počátkové silozpytu čili fyziky pro gymnasia a reálky od [1]. Jak úchylka i skloněk magnetický místem na zemi i časem se mění na důkaz, že magnetická síla země proměnlivá jest. Čím dále na západ, tím menší jest úchylka magnetická, v západní Americe docela se ztratí, a dále ve východní úchylku se proměňuje. Čím blíže k rovníku země, tím menší zase skloněk, na jistých místech blíže něho žádný, a v polokouli jižné jižní pól jehly pod obzorník se kloní. Také místa magnetická země na rozličných místech a v rozličných dobách rozličná jest se zeměpisnou šířkou vzrůstajíc, takže v jistém místě na severu a v jiném na jihu největší ceny nabývá. Místa tato, v nichž úchylka 0° a skloněk 90° vynáší, magnetické póly země slovou. Zadání úloh: 1. Přečti si pozorně předchozí text a zjisti, co se myslí pojmy úchylka a skloněk. 2. Najdi v Atlase světa nebo na internetu zeměpisné souřadnice severního i jiţního magnetického pólu Země. Zjisti, jak se změnily hodnoty za posledních 100 let. 3. Existuje na zeměkouli místo, kde magnetka ukazuje oběma konci k témuţ pólu? Řešení úloh: 1. Skloněk je totéţ, co známe pod pojmem inklinace. Magnetická inklinace je úhel mezi vodorovnou rovinou a směrem magnetického pole (vektorem magnetické indukce). Deklinace, v našem úryvku označená jako úchylka, je úhel mezi směrem
37
magnetického kompasu a geografickým severem (tedy úhel mezi horizontální sloţkou magnetické indukce a směrem k zeměpisnému severu). Deklinace se mění od místa k místu, a je nutné ji vzít v úvahu například při navigaci. 2. Poloha magnetických pólů se mění jak během dne, tak během roku. Magnetický pól opisuje v průběhu dne elipsu, která mění polohu pólu aţ o 80 km. Z posledních měření plyne, ţe se jiţní magnetický pól pohybuje rychlostí aţ 15 km za rok. Dodejme, ţe jiţní magnetický pól leţí v blízkosti severního geografického pólu. V současné době vědci pozorují slábnutí intenzity magnetického pole, plyne to z porovnávání dat za posledních 100 let. Za tuto dobu poklesla intenzita asi o 10 %, coţ znamená, ţe jeho intenzita můţe klesnout na nulu jiţ za 1000 let. Vědci se však nemohou shodnout, zda se jedná o skutečný pokles intenzity, či o přepólování magnetických pólů. V této souvislosti se hovoří o zrychlení pohybu jiţního magnetického pólu, jehoţ poloha se od oblasti Kanady posouvá směrem k Sibiři. Za posledních 100 let se jiţní magnetický pól posunul o více neţ 1 000 km. Nyní pro porovnání uvedeme polohu pólů v jednotlivých letech: 2001
81,3° s. š. 110,8° z. d.
2010
85° s. š.
1998
64,6 j. š.
2010
64,4 s. š. 137,3 v. d.
138,5 v. d.
132,6° v. d.
Popis změn poloh magnetických pólů nalezneme např. na www.aldebaran.cz nebo na www.cs.wikipedia.org. 3. Jestliţe umístíme magnetku na severní magnetický pól, oba konce magnetky budou ukazovat na jih, protoţe jiný směr neţ jiţní ze severního pólu neexistuje. Obdobně tak bude na jiţním pólu, tam ukazují oba konce magnetky k severu.
Zkreslení mapy Při práci s mapou musíme počítat s tím, ţe mapa nezobrazuje zemský povrch věrně, ale s určitým zkreslením. Podle pouţitého kartografického zobrazení jsou zkresleny vzdálenosti, úhly nebo plochy. Výpočtem můţeme ověřit velikost zkreslení, které musíme brát v úvahu při práci s atlasem.
Obr. č. 32
38
Zadání úlohy: Urči délku rovnoběţky, která leţí mezi poledníky 20° a 60°. Tuto vzdálenost vypočítej pro 80° a 70°
zeměpisné šířky. Vypočítané vzdálenosti porovnej s mapou v atlase
světa. Řešení úlohy: Počítaná vzdálenost odpovídající změně 40° zeměpisné délky je jednou devítinou délky rovnoběţky. Pro délku rovnoběţky platí známý vzorec d 2 r 2 R cos , kde φ je zeměpisná šířka. Pro zeměpisnou šířku 80° dostaneme vzdálenost:
x
2π r cos 80 772 km. 9
Pro zeměpisnou šířku 70° dostaneme vzdálenost:
x
2π r cos 70 1 521 km. 9
Výpočtem zjistíme, ţe 40° zeměpisné délky, zobrazené v různých zeměpisných šířkách není stejnou vzdáleností, ačkoliv pohled do běţného atlasu světa říká něco jiného. Zkreslení je zřetelné nejvíce v polárních oblastech. Některé mapy tak zobrazují díky zkreslení Grónsko stejně velké jako např. Austrálii (Hughes: Velká všeobecná obrazová encyklopedie,
str.
572-573),
ačkoliv
rozloha
Grónska
je
2 158 960
km2
a Austrálie 7 682 300 km2. Pokud bychom porovnali mapy v různých kartografických zobrazeních, zjistíme, ţe Grónsko má pokaţdé jiný tvar.
Roztátí ledovců O globálním oteplování, tání ledovců a s tím souvisejícím vzestupem hladiny světového oceánu toho bylo napsáno jiţ mnoho. Přibliţným výpočtem můţeme určit, jak by stoupla hladina světového oceánu, pokud by roztál všechen led v Antarktidě. Antarktida má rozlohu 13,7 mil km2, a to včetně šelfových ledovců a ostrovů. Objem ledu na Antarktidě je více neţ 30 mil km3. Jediná území bez ledu, která lze v Antarktidě
39
spatřit, tvoří několik horských vrcholů. Maximální mocnost antarktického ledovce je 4 500 m. Údaje dle [4, s. 278]. Zadání úlohy: Vypočítej, jak by se změnila výška hladiny světového oceánu, kdyby došlo k roztátí ledovců na Antarktidě. Uvaţuj průměrnou tloušťku ledovce 2 000 m. Světový oceán zaujímá přibliţně 70 % povrchu Země.
Obr. č. 33
Řešení úlohy: Uvaţujeme-li průměrnou tloušťku ledu 2 000 m, je objem ledu:
V 13,7 1012 2 103 m3 2,74 1016 m3 . Hmotnost ledu je m = ∙ V = 2,51 ∙ 1019 kg (hustota ledu je 917 kg/m3), jeho roztátím by vznikla voda o objemu V = 2,44 ∙ 1016 m3 (pouţijeme hustotu slané vody 1 028 kg/m3). Pokud uvaţujeme, ţe by se tato voda rozlila po povrchu Země (510 ∙ 106 km2, oceány zaujímají 70 %, tj. 357 ∙ 106 km2), znamenalo by to zvýšení hladiny světového oceánu přibliţně o 68 metrů. Byla by tak zaplavena rozsáhlá pobřeţní území, mnohé ostrovní státy by z mapy světa zmizely úplně.
Pýtheás z Massalie V druhé polovině 4. století před naším letopočtem se dostal první mořeplavec ze středozemí aţ k severnímu polárnímu kruhu. Byl to Pýtheas z Massalie. Dokázal z výšky slunce na obloze v době slunovratu určit zeměpisnou šířku massalijské loděnice, coţ je dnešní Marseille. Vypočítal, ţe v den slunovratu stojí slunce 70°47′50″ vysoko, a tak vypočítal zeměpisnou šířku Marseille 43°03′25″.
Obr. č. 34
40
Zadání úlohy: 1. Odvoď vzorec pro stanovení zeměpisné šířky z polední výšky slunce. Načrtni si obrázek. 2. Ověř Pýtheovo měření a porovnej se souřadnicemi zjištěnými pomocí GoogleEarth. Řešení úlohy: 1. Pro stanovení zeměpisné šířky z polední výšky slunce lze pouţít vzorec φ = 90° - h+δ, kde h je výška slunce a δ je deklinace Slunce. Deklinaci nalezneme v astronomických tabulkách, její hodnota se pohybuje od -23°26′21,5″ (zimní slunovrat) do +23°26′21,5″ (letní slunovrat). V období rovnodennosti je její hodnota nulová. 2. Dosadíme-li do vzorce, pak: φ = 90° - 70°47′50″ + 23°26′21,5″ = 42°38′31,5″. Nalezneme-li si přístav v Marseille na mapě, zjistíme zeměpisnou šířku 43°17′. Místo s hodnotou vypočítanou Pýtheém se nachází v moři nedaleko pobřeţí.
Vlakové spojení Praha – Ostrava V říjnu roku 2011 poprvé vyjely na trať vlaky společnosti Regiojet. První pravidelná linka jezdí na trase Praha – Ostrava, kterou provozují i konkurenční České dráhy. V následující tabulce je jízdní řád obou vlaků [5]. REGIOJET Příjezd Praha hl. n. Praha Libeň
7:34
ČESKÉ DRÁHY
Odjezd
km
7:27
0
7:35
5
Kolín Pardubice
7:28
8:30
104
Ústí n. O.
8:59
9:00
154
Česká Třebová
Příjezd
Odjezd
km
8:17
0
8:24
8:25
5
8:59
9:01
62
9:23
9:25
104
10:03
10:05
164
Zábřeh n. M.
9:31
9:33
204
10:27
10:29
204
Olomouc
9:58
10:01
250
10:54
10:57
250
Hranice n. M.
10:31
10:32
301
11:26
11:27
301
Ostrava Svinov
11:00
11:02
351
11:54
11:56
351
Ostrava hl. n.
11:08
356
12:03
41
356
Zadání úloh: 1. Urči dobu jízdy obou vlaků a jejich průměrnou rychlost. 2. Urči průměrnou rychlost vlaků v jednotlivých v kterém
úsecích.
úseku
Napiš,
jedou
vlaky
nejrychleji. 3. Nakresli graf dráhy v závislosti na čase pro oba vlaky. Obr. č. 35
Řešení úloh: 1. Vlak společnosti Regiojet přijede do Ostravy za 3 hod 41 minut, jeho průměrná rychlost je 97 km/h. Doba jízdy vlaku ČD je 3 hodiny 46 minut, průměrná rychlost 94,5 km/h. 2. Vlak RegioJet se pohybuje nejrychleji v úsecích Praha Libeň – Pardubice a Pardubice – Ústí n. O. tj. 108 km/h. Vlak Českých drah jede nejrychleji v úseku Hranice n. M. – Ostrava, a to 103 km/h.
3. Závislost dráhy na čase - ČD
400
400
350
350 s (km)
s (km)
Závislost dráhy na čase - Regiojet
300 250
300 250
200
200
150
150
100
100
50
50
0
0 0
8
63
85
118
146
177
207
222
0
8
44
68
108
132
160
190
219
226
t (min)
t (min)
Obr. č. 36
Přílivová elektrárna V přílivové elektrárně na řece Rance ve Francii pracuje 24 turbín o průměru 5,35 m. Kaplanovy turbíny fungují obousměrně a mají účinnost 85 %. Kaţdá z nich dokáţe propustit 68,75 m3 vody za sekundu.
42
Zadání úlohy: 1. Urči výkon elektrárny při průměrném rozdílu výšek hladiny vody mezi přílivem a odlivem 8,4 m. 2. V období rovnodennosti je výška přílivu aţ 13,5 m. Urči výkon. Řešení úlohy:
Obr. č. 37
1. Výkon vodní elektrárny P P´1 , kde P1 je příkon. Platí: P1
W mgh Qm g h QV g h . t t
Po dosazení P = 117,8 MW. 2. Počítáme stejným způsobem jako v předchozím bodě: 222,8 MW.
Družice Meteosat Geostacionární druţice jsou druţice, které jsou z hlediska pozorovatele na Zemi umístěné stále nad stejným místem zemského povrchu. Patří mezi ně i druţice Meteosat, která monitoruje procesy v atmosféře nad Atlantikem a Evropou. Její oběţná dráha prochází nad rovinou rovníku, druţice je umístěna nad nultým poledníkem. Zadání úlohy: 1. Vypočítej, v jaké výšce nad povrchem Země musí být druţice umístěna, aby ji bylo moţno povaţovat za geostacionární, tedy aby její doba rotace byla rovna hvězdnému dni.
Obr. č. 38
2. Urči rychlost oběhu této druţice. 3. Vypočítej, jaké je úhlová vzdálenost dvou míst na povrchu Země, ze kterých můţeme Meteosat vidět. Zemi povaţuj za ideální kouli. 4. Vypočítej vzdálenost obou míst v kilometrech. 43
5. Napiš, zda druţice pokrývají signálem oblast zemských pólů. Řešení úlohy: 1. Gravitační síla, která na druţici působí je zároveň silou setrvačnou odstředivou (uvaţujeme neinerciální soustavu spojenou se Zemí, platí ted Fg = Fd. Po dosazení a úpravě R 3
M T 2 42 150 km (M je hmotnost Země 5,97 ∙ 1024 kg, 2 4
T = 86 164 s). Výška druţice nad Zemí je po odečtení rovníkového poloměru Země h = R – RZ = 35 772 km. 2. v
2 R h 3,07 km ∙ s-1, kde T = 86 164 s (hvězdný den), R = 6 378 km T
(rovníkový poloměr). 3. Označíme d vzdálenost druţice od středu Země. Pak platí: cos
RZ , 8117´ = 1,42 rad. d
(Z důvodu větší názornosti není obrázek ve správném měřítku.) Obr. č. 39
4. Vzdálenost x = 2φ ∙ RZ = 18 110 km. 5. Z předchozích výpočtů plyne, ţe nikoliv.
44
Messeturm ve Frankfurtu nad Mohanem Mezi největší veletrţní a výstavní centra patří veletrţní areál Messe Frankfurt. Před vstupem do areálu stojí věţ – Messeturm (50°06´ s. š., 8°39´ v. d.), která aţ do roku 1997 byla se svojí výškou 256,5 metrů největší administrativní budovou v Evropě. V aplikaci GoogleEarth si můţeme prohlédnout veletrţní areál. Měřením lze zjistit, ţe stín, který tato věţ vrhá v době vzniku satelitního snímku, je 290 m. Zadání úloh: 1. Urči úhlovou výšku Slunce nad obzorem
v
době
vzniku
snímku. 2. Vypočítej délku stínu v době rovnodennosti. K tomu je třeba znát úhlovou výšku Slunce v den rovnodennosti. Načrtni si obrázek. 3. Zapiš, ve který den bude stín nejkratší,
a
vypočítej
jeho
délku. Obr. č. 40
Řešení úloh: 1. tg
256,5 ; 41,5 290
2. Úhlová výška Slunce ve dnech rovnodennosti je 90 , kde je zeměpisná šířka. V tomto případě 39°54´. Potom: x
256,5 306,7 m. tg 3954´
3. Nejkratší stín bude v době letního slunovratu, kdy je Slunce nejvýše na obloze. Pro úhlovou výšku platí = 90° - 50°06′ + 23,5° = 63°24′. Pak x
256,5 128,4 m. tg 6324´
45
Hod oštěpem Barbora Špotáková je česká atletka, která se věnuje hodu oštěpem. Je světovou i českou rekordmankou Světového
a
olympijskou
atletického
finále
vítězkou. ve
Od
Stuttgartu
13. 9. 2008 drţí ţenský světový rekord o hodnotě 72,28 m. Zadání úloh: 1. Urči rychlost, kterou musela odhodit Bára
Obr. č. 41
svůj oštěp, aby dosáhla světového rekordu 72,28 m. Předpokládej, ţe házela pod ideálním úhlem 45°. Hodnotu tíhového zrychlení ve Stuttgartu urči podle mezinárodního
vzorce
pro
tíhové
zrychlení
u
hladiny
moře: g 9,78032 1 0,005 278 sin 2 0,000 023 sin 4 . Počítej s přesností na desetitisíciny. Zeměpisné souřadnice Stuttgartu: 48°47′ s. š., 9°13′ v. d. 2. Vypočítej, jakou vzdálenost by hodila v různých místech na Zemi (při stejném úhlu a stejné rychlosti). Významné závody se konají na stadionech v Helsinkách (60°11′ s. š., 24°55′ v. d.) nebo Aténách (38°02′ s. š., 23°47′ v. d.). Můţe hodnota tíhového zrychlení zásadně změnit výkon závodnice? Řešení úloh: 1. Z rovnic
pro
vrhu: x max
popis
šikmého
vrhu
můţeme
odvodit
vztah
pro
délku
g.x max v02 . sin 2 26,52 m/s, g = . Z něj vyjádříme rychlost v0 sin 2 g
9,8091 m ∙ s-2. 2. Do vzorce pro délku vrhu dosazujeme v0 = 26,52 m/s, hodnoty tíhového zrychlení měníme dle zadaného místa. Podle výše uvedeného vzorce určíme hodnotu tíhového zrychlení v určených místech. Athény:
g = 9, 7999 m ∙ s-2; x = 71,77 m.
Helsinky:
g = 9,8193 m ∙ s-2; x = 71,53 m.
46
Nejdeštivější místo na Zemi Nejdeštivějším místem na Zemi je havajský ostrov Kauai, kde na návětrné straně Mount Waialeate v nadmořské výšce 1 547 m n. m prší průměrně 248 dní v roce a průměrný roční úhrn sráţek je 12 344 mm. Indické Cherarapungi má průměrný roční úhrn sráţek kolem 11 000 mm, uváţíme-li celoroční úhrny sráţek, byl naměřen rekord 26 461 mm. V České republice je místem s největším mnoţstvím sráţek oblast Bílého potoka v Jizerských horách – 1 705 mm. Naopak nejméně sráţek napadne ve sráţkových stínech Krušných hor a Šumavy – kolem 450 mm. Zadání úloh: 1. Vysvětli na základě fyzikálních znalostí, proč mezi nejdeštivější místa na Zemi patří návětrné strany hor v monzunových oblastech. 2. Vysvětli, jak vzniká sráţkový stín. 3. Vypočítej, kolik litrů vody dopadne na 1 m2 plochy v uvedených místech. Řešení úloh: 1.
Na návětrné straně hor vlhký vzduch stoupá, při výstupu se adiabaticky ochlazuje o 1 °C na 100 m (suchoadiabatické ochlazování). Pokud teplota vzduchu klesne na hladinu rosného bodu, končí suchoadiabatický pokles teploty, dojde ke kondenzaci vodních par. Proto je pro návětrnou stranu hor charakteristické deštivé počasí. Dále klesá teplota jiţ jen o 0,6 °C (vlhkoadiabatické ochlazování).
Obr. č. 42
47
2. Za horskou překáţkou vzduch sestupuje dolů a krátce se zahřívá podle vlhké adiabaty o 0,6° C na 100 m do doby neţ se rozpustí oblačnost, potom se zahřívá o 1° na 100 m. Takto vznikají sráţkové stíny. 3. Vodní sloupec 1 mm na ploše 1 m2 odpovídá objemu 1 dm3 = 1 l spadlé vody.
Dopravní letadla Představ
si,
ţe
zaměstnancem
jsi
letecké
společnosti a máš za úkol vybírat vhodná letadla na jednotlivé letecké
linky.
rozhodování
Při
svém
musíš
uváţit
doletovou vzdálenost, potřebnou kapacitu
letadla
či
velikost
letiště. V tabulce jsou parametry
Obr. č. 43
čtyř typů letadel. Airbus A 380
Boeing 787
Boeing
Dreamliner
700
737
- Boeing 747 – 300 Jumbo jet
Cestovní 902 km/h
487 uzlů
nádrže
310 000 l
126 917 l
Dolet
15 100 km
15 200
6 230 km
12 400 km
880
250
149
496
rychlost
936 km/h
481 uzlů
Obsah 199 158 l
Maximální počet cestujících Zadání úloh: 1. Letadlo Airbus A 380 spotřebuje při maximální zatíţenosti 3 l paliva na jednoho cestujícího na 100 km. Vypočítej maximální dolet letadla s plnou palivovou nádrţí, pokud budou všechna sedadla obsazena. Doletí letadlo aţ do Tokia? K určení
48
nejkratší vzdálenosti Praha – Tokio pouţij aplikaci GoogleEarth. Všimni si, kterými oblastmi vede nejkratší cesta. 2. Najdi na mapě dvě libovolná letiště v Africe, kam můţeme letět z Prahy nejrozšířenějším letadlem na světě Boeingem 737-700, aby vystačilo palivo na cestu tam a zpět. Počítej s doletem raději kratším, aby se nestalo, ţe nebudeš mít palivo. Nezapomeň na to, ţe ne všechna africká letiště mají dostatečně dlouhou přistávací dráhu. 3. Vypočítej cestovní rychlost letadel Boeing 787 a Boeing 747. 4. Boeing 747-300 Jumbo jet vyţaduje pro přistání délku přistávací dráhy 3 320 m. Ověř na satelitní mapě, zda můţe bezpečně přistát v prázdninových destinacích, jako je Gran Canaria, Kréta či Sicílie. Najdi na mapě dvě evropská města, kde je přistání moţné. 5. Vypočítej, jak dlouho bude trvat let z Prahy do kanadské Ottawy, letí-li Boeing 787 průměrnou rychlostí 450 uzlů. V kolik hodin místního času přiletí letadlo do Ottawy, kdyţ v Praze startuje ve 12:00 hod. Na satelitní mapě prostuduj nejkratší cestu z Prahy do Ottawy. Řešení úloh: 1. Při plné obsazenosti spotřebuje letadlo 26,4 l paliva na 1 km. Plná nádrţ tak stačí na dolet do vzdálenosti 11 742 km. Vzdálenost letišť Praha Ruzyně – Tokio je 9 116 km. Letadlo tam tedy doletí. Nejkratší spojnice obou míst prochází severními oblastmi Sibiře, trasa letu se dokonce přiblíţí na 2° zeměpisné šířky severnímu polárnímu kruhu. 2. Pokud je dolet 6 230 km, musí být letiště vzdálené maximálně 3 115 km. Doletět tam i zpět lze například do Libyjského Tripolisu nebo do Egyptského Sharm El Sheikhu. 3. Uzel (knot) je jednotkou rychlosti, značíme kt nebo kn a platí: 1 uzel = námořní míle za hodinu, tedy 1 kt = 1,852 km/h-1. Boeing 787 má cestovní rychlost 902 km/h, Boeing 747 pak 891 km/h. 4. V prázdninových letoviscích s letadlem tohoto typu přistát nemůţeme, je to moţné např. na letišti ve Frankfurtu nebo v Paříţi. Obří letouny mohou přistávat i v Praze. 5. Vzdálenost Ottawa - Praha je 6347 km. Rychlost vyjádříme v km/h, získáme dobu letu 7 hod 11 min. Praha leţí v časovém pásmu UTC + 1 hod, Ottawa pak UTC - 5 hod. Letadlo přistane v 13 hod 11min místního času. 49
Nejkratší cesta vede přes oblast Holandska a Skotska, dále pak přes oceán v blízkosti Grónska do Kanady.
Nejdelší silniční most světa Nejdelším silničním mostem světa, který vede přes vodu, je od roku 2011 most Čching-tao v provincii Šan-Tung, který vede přes záliv Ťiao-čou. Je dlouhý 42,5 km, široký aţ 35 m a spojuje tři oblasti v okolí zálivu.
Obr. č. 44
Zadání úloh: 1. Najdi most v aplikaci GoogleEarth (souřadnice města Čching-tao 36°05′ s. š., 120°21′ v. d.) a urči jeho délku z města Čching-tao na protější břeh. 2. Najdi cestu, kterou museli projíţdět řidiči automobilů dříve před tím, neţ byl most otevřen. Napiš, o kolik km je tato trasa delší. 3. Vypočítej, o kolik minut se zkrátí cesta autem, jestliţe ve městě je nejvyšší povolená rychlost 60 km/h, mimo město pak 80 km/h. Řešení úloh: 1. Délka mostu je 24 km. 2. Trasa, kterou museli jezdit řidiči před otevřením mostu, je dlouhá 55,5 km. Vzdálenost se tak zkrátí o 31,5 km. 3. Pokud pojedeme po mostě, zkrátíme tak dobu jízdy z 55 minut na 18 minut.
50
Zatmění Slunce Zatmění Slunce nastane, dopadne-li na Zemi stín, který vrhá do prostoru Měsíc, osvětlený Sluncem. Podmínkou pro vznik zatmění Slunce je, aby Měsíc byl v konjunkci se Sluncem (v novu) a současně byl v blízkosti uzlu své dráhy. Plný stín zasahuje jen velmi malé území. Je-li pozorovací místo na Zemi v plném stínu Měsíce, pak
nastává
úplné
zatmění
Slunce,
je-li
v polostínu, pak pro dané pozorovací místo nastává částečné zatmění Slunce. Někdy se můţe stát, je-li Země blízko perihélia a Měsíc blízko apogea, ţe vrchol stínového kuţele nedopadne ani na zemský povrch. Potom pozorujeme prstencové zatmění Slunce. Obr. č. 45: Prstencové zatmění Slunce
Zadání úloh: 1. Vypočítej, jak dlouho trvá zatmění Slunce v rovníkových oblastech. Průměrná rychlost oběhu Měsíce kolem Země je 1,022 km/s. Rychlost rotace Země na rovníku urči výpočtem. Maximální průměr měsíčního stínu je 270 km. 2. Vysvětli, proč zatmění Slunce v oblastech poblíţ rovníku je moţné pozorovat déle neţ v oblastech středních zeměpisných šířek?
Řešení úloh: 1. Rychlost rotace Země na rovníku je v
40 075 000 465 m ∙ s-1. Jestliţe stín se 86 164
na povrchu Země pohybuje rychlostí 1,022 km/s a rychlost rotace Země je 0,465 km/s ve stejném směru, potom platí: t
270 8 min 5 s. Maximální doba 1,022 0,465
zatmění uváděná v literatuře je 7 min 31 s. 2. Ve vyšších zeměpisných šířkách je rychlost pohybu místa pozorovatele na povrchu Země menší. Proto v předchozím vzorci bude vycházet větší jmenovatel a výsledný čas bude menší.
51
Letíme na Mallorcu Letadlo vylétá z letiště v Praze-Ruzyni ve 12:50 hod. Míří směrem na Erfurt, potom se stáčí jiţním směrem na Würzburg, míjí Ţenevu a prolétá oblastí mezi Nice a Marseille. V 14:35 dosedá na letiště v Palma de Mallorca. Zadání úloh: 1. Letadlo se při vzletu v Praze rozjíţdí
tak,
ţe
kaţdou
sekundu vzroste jeho rychlost o 2 m/s. Aby vzlétlo, je třeba vzletová rychlost asi 300 km/h
Obr. č. 46
dle obsazenosti a zatíţení letadla. Vypočítej, jak dlouho se letadlo rozjíţdí, neţ dosáhne vzletové rychlosti. 2. Nakresli graf závislosti rychlosti na čase. Graf vyuţij ke stanovení délky dráhy potřebné k rozjezdu letadla. 3. Najdi na mapě obě města a urči přibliţnou vzdušnou vzdálenost obou letišť. Napiš, jak dlouho trvá let, nezapomeň při tom na časová pásma. 4. Vypočítej průměrnou rychlost letadla. 5. Při přistávacím manévru na letišti v Palma de Mallorca pilot velmi prudce brzdí. Urči,
jakou
dráhu
potřebuje
k zastavení,
jestliţe
přistávací
rychlost
je
240 km/h, po dosednutí na přistávací plochu a vyrovnání letadla, coţ trvá 5 sekund, brzdí 30 s. Řešení zakresli do grafu v(t). Řešení úloh: 1. Vzletová rychlost 300 km/s = 83,3 m/s. Trvá přibliţně 42 s, neţ jí letadlo dosáhne. 2. Náčrt grafu – obr. č. 47. Dráhu vypočítáme jako obsah trojúhelníka leţícího pod přímkou. Ke vzletu potřebuje letadlo alespoň 1 750 m.
52
3. Přibliţná délka trasy je 1 600 km, let trvá 1 hod 45 min.
Závislost rychlosti na čase při rozjíždění
4. Průměrná rychlost letadla 914 km/h. 5. Při přistávání nejprve musí pilot v(m/s)
100
vyrovnat letadlo, na coţ potřebuje vzdálenost 333 m, poté můţe začít
50 0 0
brzdit, zabrzdí na vzdálenosti 999 m,
10
20
30
40
50
t (s)
na přistávací manévr potřebuje délku dráhy minimálně 1 332 m.
Obr. č. 47
v (m/s)
Závislost rychlosti na čase při brždění 80 60 40 20 0 0
10
20
30
40
t (s)
Obr. č. 48
Honza cestovatel Honza je nadšený cestovatel. Rodiče mu splnili jeho velké přání a koupili mu hodinky se zabudovaným přístrojem GPS. Honza se tak mohl vydat na svou první malou expedici. Rozhodl se, ţe vyjde od přehradní Pastviny
a
půjde
nádrţe nejprve
směrem na sever. Kdyţ se zeměpisná šířka změní o 5′, změní směr na východní a posune se tímto směrem o 5′ zeměpisné délky. Obr. č. 49
Zadání úloh: 1. Urči, zda ujde směrem na východ a směrem na sever stejně dlouhé vzdálenosti.
53
2. Honzovi získaný výsledek vrtal hlavou, a tak se rozhodl svoji expedici zopakovat při dovolené ve španělské Barceloně (za výchozí bod zvol libovolné místo u pláţe). Napiš, jak dlouhou trasu ušel tentokrát. Je trasa v porovnání s „expedicí Pastviny“ kratší nebo delší? Při řešení vyuţij satelitní mapu. 3. Napiš, na kterém místě na Zemi by Honza urazil nejdelší vzdálenost a na kterém naopak nejkratší. Řešení úloh: 1. Zeměpisné souřadnice jsou: Pastviny 50°04′ s. š., 16°33′ v. d. Při řešení úlohy je třeba dát pozor na různé zakřivení zemského povrchu. Pokud se pohybuje směrem na sever, jedná se o pohyb ve směru poledníku, vypočteme tedy, jaká vzdálenost náleţí 10′. Délka poledníku je 39 936 km, na 1° tak připadá 111 km, na 1′ pak 1,85 km. Na sever ujde tedy 9,25 km. Půjde-li směrem na východ, jedná se o pohyb po
rovnoběţce.
Musíme
nejprve
určit
délku
příslušné
rovnoběţky:
d 2 6 378 cos 5004´ 25 723 km. Na jeden stupeň pak připadá vzdálenost
71,45 km, na úhlovou vteřinu 1,19 km. Na východ tedy ujde 5,95 km. Vzdálenosti, jeţ ušel, nejsou stejné. 2. Stejným způsobem postupujeme pro výpočet v okolí Barcelony, poledníková vzdálenost je stejná. Vzhledem k zeměpisné šířce Barcelony
41°25′ s. š.,
14°02′ v. d. je délka rovnoběţky 30 052 km, potom na 1° připadá 83,48 km, 1′ odpovídá 1,39 km. V Barceloně ujde 16,2 km, zatímco na Pastvinách jen 15,2 km. 3. Nejdelší vzdálenost by urazil v rovníkových oblastech, nejkratší naopak v okolí zeměpisných pólů.
Tunguzská záhada Je to jiţ více neţ sto let od tzv. Tunguzské záhady, kdy 30. 6. 1908 dopadl do oblasti Sibiře s největší pravděpodobností asteroid. Výbuch nastal v 7 hodin 14 minut ráno a podle svědků byly na severní polokouli ještě několik dní pozorované „bílé noci“ i v jinak neobvyklých oblastech západní Evropy (zdroj [6]). Dodnes se nepodařilo úplně dokázat, co se tenkrát vlastně stalo.
54
Zadání úloh: 1. Na internetu najdi podrobnosti o celé události, včetně přesného místa dopadu. Kriticky zhodnoť dostupné informace. Lze se dočíst informaci o tom, ţe záblesk světla byl pozorovaný aţ v Londýně. Vysvětli, zda je to moţné. 2. Urči, o jakou dobu dříve by musel asteroid dopadnout, aby nedopadl na pevninu, ale do
Beringova
moře.
Uvaţuj
pouze
rotaci
Země, jiné vlivy zanedbej.
Místo
v Beringově moři zvol libovolně. 3. Pomocí
aplikace
GoogleEarth zjisti
Obr. č. 50
nejkratší vzdálenost mezi místem dopadu a Londýnem. Všimni si, ţe nejkratší cesta dvakrát protne polární kruh. Vysvětli, jak je to moţné. Řešení úloh: 1. Zeměpisné souřadnice skutečného místa dopadu jsou 61° s. š., 102° v. d. Vzhledem k vzdálenostem obou míst, zakřivení zemského povrchu a přímočarému šíření světla toto moţné není. 2. Podívejme se do satelitní mapy a za myšlené místo dopadu zvolme oblast v Beringově moři o souřadnicích 61° s. š., 175° v. d. Rozdíl zeměpisných šířek je tedy 73°, Země se o tento úhel pootočí za 4 hodiny 52 minut. Celá událost by musela nastat v 2 hod 22 minut. 3. Vzdálenost Londýna a místa dopadu je přibliţně 5 725 km. Pokud povaţujeme Zemi za referenční kouli, pak nejkratší vzdálenost určuje křivka zvaná ortodroma, coţ je průsečnice povrchu Země a kruţnice, která leţí v rovině tvořené středem Země a dvěma místy na povrchu Země. Známý je téţ pojem loxodroma, coţ je křivka, která protíná poledníky pod stejným úhlem. Je delší neţ ortodroma, shodují se pouze ve směru po polednících a po rovnoběţkách.
55
Lodí kolem ostrova Mallorca Mezi nejkrásnější památky na ostrově Mallorca bezesporu patří gotická katedrála La Seu neboli Catedral de Palma de Mallorca v hlavním
městě.
Říká
se,
ţe
nejkrásnější pohled na ni je při západu slunce při příjezdu od moře. Do
přístavu
můţeme
z mnoha
letovisek,
z městečka
Magalluf,
připlout například
které
leţí
západně od hlavního města.
Obr. č. 51
Zadání úloh: 1. Pomocí satelitní mapy GoogleEarth
najdi obě místa na mapě a urči jejich
vzdálenost. 2. Vypočítej, jak dlouho bude trvat plavba výletní lodí z Magallufu, jestliţe loď pluje rychlostí 6,5 uzlů. 3. Mezi všemi Baleárskými ostrovy existuje dobré trajektové spojení. Například cesta z hlavního města Ibizy do přístavu La Savina na Formenteře trvá 50 minut. Pomocí Google Earth nebo maps.google.com zjisti vzdálenost obou měst a urči průměrnou rychlost trajektu. Řešení úloh: 1. Vzdálenost je přibliţně 12 km. 2. 1 uzel je 1,852 km ∙ h-1. Plavba lodí trvá přibliţně 1 h. 3. Vzdálenost obou měst je 20 km, rychlost 24 km/h.
Cestujeme po Mallorce Při cestě z Palma de Mallorca do horského městečka Sollér můţeme jet po nebezpečné horské silnici, nebo můţeme vyuţít přibliţně 3 km dlouhý tunel. Rychlost
56
v tunelu je omezena na 80 km/h. Jelikoţ auto z půjčovny není v dobrém technickém stavu, jedeme pouze rychlostí 65 km/h. V tunelu nás předjíţdí nákladní automobil, jedoucí maximální povolenou rychlostí, jeho délka je 12 m. Z města Sollér do přístavu Port de Sollér několikrát denně vyjíţdí souprava dvou historických dřevěných vagónů. Po opuštění města Solér se rychlost zvyšuje lineárně s časem tak, ţe po době 90 s vlak získá rychlost 18 km/h. Přibliţně po 500 metrech musí souprava začít brzdit, aby bezpečně zastavila u vyhlídkové terasy. Brzdění trvá 1 minutu. Tady si mohou cestující vystoupit a vychutnat si nádherný výhled na město. Obr. č. 52: Přístav Port de Sollér
Zadání úloh: 1. Urči, jak dlouho bude trvat, neţ nás nákladní automobil předjede (výsledek zaokrouhli na sekundy). Délku osobního auta uvaţuj 4 metry. 2. Vypočítej dobu, kterou potřebuje nákladní auto k projetí tunelem. 3. Zakresli graf v(t) a urči, jak daleko od města Solér je vyhlídková terasa. Řešení úloh: 1. Doba předjíţdění bude přibliţně 4 s. 2. Automobil projede celý tunel za 2 min 16 s. 3. Grafické řešení. Hledaná vzdálenost je 875 m. Závislost rychlosti na čase
v (m/s)
6 4 2 0 0
100
200 t (s)
Obr. č. 53
57
300
Nosiči ve Vysokých Tatrách Vysoké Tatry jsou jediným evropským pohořím, kde fungují chaty, které jsou plně závislé na práci nosičů. Ti musí na speciální konstrukci vynést na zádech vše potřebné, od potravin aţ po stavební materiály. Kaţdoročně se dokonce koná závod Šerpa rallye ze Štrbského plesa na Solisko. Rekordmanem mezi nosiči je Laco Kulanga,
Obr. č. 54
který z Hrebienku (1 272 m n. m.) vynesl náklad o hmotnosti 207,5 kg aţ na Zamkovského chatu (1 475 m n. m.). Převzato z [7]. Zadání úloh: 1. Vypočítej, jak velkou práci vykoná nosič při vynesení nákladu. 2. Vypočítej, jak velkou práci vykoná celkem. Jeho hmotnost uvaţuj 85 kg. Řešení úloh: 1. Převýšení je 203 metrů. Práce potřebná k vynesení nákladu: W = F ∙ h = 421,2 kJ. 2. Celková práce, kterou nosič vykoná: W = F ∙ h = 593,7 kJ.
Severní pól Zadání úloh: 1. Cestovatel se v okolí severního pólu pohybuje tak, ţe udrţuje
stále
severovýchodní
směr.
Zakresli
do
připraveného obrázku tvar trajektorie. 2. V jedné písničce se zpívá: „Je statisticky dokázáno, ţe Slunce vyjde kaţdé ráno…“ Napiš, zda tomu tak je i na severním pólu. 3. K překonání všech časových pásem v krátkém okamţiku
Obr. č. 55
nepotřebujeme tryskové letadlo. Vysvětli, jak určujeme čas a datum na severním pólu.
58
4. Vysvětli pojem bílé noci. Řešení úloh: 1. Trajektorií je spirála, tzv. loxodroma, která protíná kaţdý poledník pod úhlem 45°. 2. Na severním pólu vychází Slunce jen jednou do roka a to kolem 21. března. Kaţdý den opíše na obloze celou kruţnici a zároveň se zvedá nad obzor do větší výšky, takţe opisuje spirálu. Nejvýše je v období letního slunovratu, poté klesá po stejné trajektorii, aţ kolem
Obr. č. 56
23. září zapadá. V roce 2011 začal polární den na severním pólu jiţ 18. 3., polární noc na jiţním pólu pak 23.3. Je to vlivem astronomické refrakce. Sluneční paprsky se totiţ nešíří přímočaře, ale vlivem rozdílného indexu lomu niţších vrstev atmosféry, se zakřivují směrem k zemskému povrchu. Vycházející či zapadající Slunce tak vidíme v době, kdy je asi 0,8° pod obzorem. 3. Na severním pólu se sbíhají všechna časová pásma. Pouţívá se zde světový čas UTC, nebo polární expedice pouţívají časové pásmo své domovské země. 4. Bílé noci můţeme pozorovat na některých místech Skandinávie, Ruska, Kanady či na Islandu, tedy v oblastech poloţených jiţněji od severního polárního kruhu. Děje se tak v období kolem letního slunovratu, kdy Slunce neklesá pod obzor více neţ 17,5°. Občanský soumrak tak trvá celou noc. Například v Reykjavíku v tomto období trvá noc necelé 2 hodiny. Pro pásmo mezi 67°30′ a 83°30′, je kromě nepřetrţitého dne v červnu charakteristická i mnohadenní noc v prosinci. Na jiţní polokouli lze pozorovat stejné úkazy.
Plastický globus Glóbus je zmenšený a zjednodušený model Země. Zmenšení je vyjádřeno měřítkem glóbusu, např. 1:60 000 000, tzn. 1 cm ˆ 600 km. Skutečný tvar Země, tj. geoid, je u glóbu obvykle nahrazen koulí. Lze však v obchodech koupit i glóby, které zachovávají skutečný tvar Země, případně dokonce glóby plastické, se znázorněným zemským reliéfem.
59
Zadání úloh: 1. Plastický glóbus, který je běţně k dostání v obchodní síti, má průměr 30 cm. Vypočítej, zda takové zobrazení v měřítku 1:60 000 000 odpovídá reálným rozměrům Země. Zemi povaţuj za kouli o poloměru 6 371 km. 2. Napiš, zda je v tomto měřítku moţné vytvořit plastický glóbus tak, aby zobrazoval výšky a hloubky opravdu věrohodně. Výpočet proveď pro nejvyšší vrchol světa a pro
Obr. č. 57
nejhlubší místo na Zemi. Řešení úloh: 1. Aby byly rozměry zobrazeny opravdu věrohodně, musel by mít glóbus s tímto měřítkem průměr 21,2 cm. 2. V tomto měřítku však není moţné vytvořit plastický glóbus. Například Mount Everest vysoký 8 848 m by měl výšku 0,15 mm, naopak Mariánský příkop, jehoţ hloubka je -10 924 m, by byl na plastickém globu hluboký 0,18 mm.
Běţně
prodejné plastické globy nemají tedy se skutečností moc společného, slouţí jen pro větší názornost.
Měření na satelitních mapách Zadání úloh: 1. Na satelitní mapě na serveru www.mapy.cz najdi dům, ve kterém
bydlíš,
či
jinou
významnou budovu, ve tvém okolí. Změř pomocí funkce měření jeho rozměry. Porovnej naměřené hodnoty s realitou. (Na obrázku je budova soudu v Hradci Králové.)
Obr. č. 58
2. V satelitních mapách lze měřit s přesností na tisíciny úhlové vteřiny. Vyjádři přesnost měření v centimetrech. Ber v úvahu zeměpisnou šířku 50° a délku 15°.
60
Řešení úloh: 1. Půdorysem budovy na obrázku je pětiúhelník s délkou strany přibliţně 80 m. 2. Nejprve
musíme
určit
délku
příslušné
rovnoběţky a
poledníku.
Délka
50. rovnoběţky je 25 759 km. Na jeden úhlový stupeň tak připadá 71,6 km, úhlu 1′ odpovídá 1,193 km a úhlu 1″ pak 0,02 km. Jedné úhlové vteřině odpovídá vzdálenost 20 m. Měříme tedy s přesností na 2 cm. Délku 15. poledníku určíme ze vzorce pro délku kruţnice d 2 r 2 6 356 39 936 km. 1° tedy odpovídá 111 km, 1′ odpovídá 1,849 km a 1″ odpovídá vzdálenost 0,031 km. V poledníkovém směru znamená přesnost na tisíciny úhlové vteřiny 3 cm.
Sopka v souostroví Tonga Mohutný výbuch podmořské sopky byl zaznamenán v pacifickém souostroví Tonga. Vybuchla sopka u ostrůvku Hunga Ha´apai. Do vzduchu vyslala velké mnoţství popela. Dým stoupal aţ do výše deseti kilometrů. Erupce byla jasně vidět z hlavního města Tongy Nuku´alofa. Zadání úlohy: Vypočítej, v jaké vzdálenosti od ostrůvku Hunga Ha´apai je moţné stoupající dým vidět. S pouţitím satelitní mapy zapiš, na kterých ostrovech v Pacifiku je moţné stoupající dým pozorovat. Řešení úlohy:
Obr. č. 59
Výpočet provedeme z Pythagorovy věty:
x
R h2 R 2
6 3812 6 3712 357 km
Pozorování je moţné pouze na ostrůvcích souostroví Tonga, souostroví Fidţi nebo Samoa jsou vzdáleny více, neţ je poţadováno.
Obr. č. 60
61
Povrch, objem a hustota Země Zastánci názoru, ţe Země má tvar koule, byli Pythagoras a Aristoteles (6. stol. př. n. l.). V 17. století se začalo pochybovat o přesně kulovém tvaru Země. V současné době víme, ţe tvaru Země nejlépe odpovídá těleso zvané geoid (plocha, k níţ je tíhová síla vţdy kolmá). Ten je však pro svůj sloţitý tvar nevhodný k výpočtům,
nahrazuje
se
rotačním elipsoidem. Pro účely školské fyziky postačuje nahrazení koulí o poloměru 6 371 km. Obr. č. 61
Zadání úloh: 1. Zemské těleso můţeme nahradit koulí o poloměru 6 371 km. Vypočítej, jaký má Země povrch. Výsledek uveď v km2. 2. Vypočítej, jaký je její objem v m3. Urči střední hustotu Země v kg/m3. 3. Porovnej výsledek s údaji zjištěnými v učebnicích zeměpisu, či na internetu. 4. Přímé pozorování stavby Země má svou hranici v nejhlubším mořském vrtu 2 111 m pod mořským dnem, v nejhlubší šachtě 3 848 m a nejhlubším vrtu 12 261 m na poloostrově Kola. Vysvětli, jakým způsobem geofyzikové získávají informace o stavbě Země. Vyuţij informace dostupné na internetu.
Řešení úloh:
S 4 r 2 4 6 3712 km 2 510 10 6 km 2 . Povrch koule o poloměru r = 6 371 km: 1. Objem koule o poloměru r = 6 371 km: Pro hustotu platí:
V
4 r 3 1,08 1012 km 3 1,08 10 21 m 3 . 3 62
M 6 10 24 kg kg 5 560 . 21 3 V 1,08 10 m m3 2. Výpočtem jsme získali pouze průměrnou hustotu. Z geofyzikálních měření plyne, ţe se Země skládá z několika soustředných vrstev. Nám pro názornost stačí rozdělit zemské těleso na kůru, plášť, vnější a vnitřní jádro. Hustota zemské kůry se pohybuje od 2 700 kg/m3 do 2 900 kg/m3, hustota jádra je podle některých zdrojů aţ 13 500 kg/m3. 3. Nejpodrobnější informace o stavbě zemského nitra poskytuje seismologie. Je tomu tak proto, ţe seizmické vlny pronikají s malým útlumem na velké vzdálenosti. Studuje se hlavně rychlost šíření a dráhy zemětřesných vln. „Prozáření“ nitra je pochopitelně tím úplnější, čím větší je počet stanic, na kterých můţeme studovat jedno zemětřesení, a čím větší je počet studovaných zemětřesení. Při přechodu rozhraní hornin s odlišnými hustotami se zemětřesné vlny chovají obdobně, jako kdyţ světlo prochází kusem skla. Jestliţe vlny zasáhnou rozhraní pod malým úhlem, odráţejí se. Vlny ze vzdálených zemětřesení prostupují kůrou pod velkými úhly, zatímco vlny blízkých zemětřesení vystupují pod malými úhly. Znají-li geofyzikové tyto úhly, rychlosti, jimiţ se vlny šíří, časy jejich příchodu a příslušné vzdálenosti, mohou vypočítat polohy a hustoty odlišných slupek Země.
Ledovcová pokrývka Grónska Grónský ledovec, který je druhou největší zaledněnou plochou po Antarktickém ledovci, je rozsáhlá masa ledu pokrývající 1,7 miliónů km2, coţ představuje zhruba 80 % povrchu Grónska. Průměrná tloušťka ledovce činí 2 135 metrů. Někteří vědci předpokládají, ţe globální oteplení by mohlo v průběhu příštích několika staletí způsobit úplné roztátí tohoto ledovce. V roce 2010 ubylo nevratným táním odhadem 530 gigatun ledovce.
63
Zadání úloh: 1. Na satelitní mapě Grónska změř rozměry ledovce, tedy délku od severu k jihu. Urči šířku ledovce v nejširším místě. 2. Urči hmotnost a objem ledu, který tvoří grónský ledovec. 3. Vypočítej objem vody, která vznikla táním ledu v roce 2010. 4. Vypočítej, o kolik cm by se zvýšila hladina oceánu, kdyby roztál celý grónský ledovec. Uvaţuj, ţe světový oceán zaujímá přibliţně 70 % celkového povrchu Země. 5. Napiš, jaké důsledky by mělo roztátí ledovce pro přímořské státy severní a západní Evropy.
Obr. č. 62
Řešení úloh: 1. Délka ledovce od severu k jihu je přibliţně 2 500 km, šířka v místě okolo 70. rovnoběţky pak 1 100 km. 2. V = 1,7 ∙ 1012 ∙ 2 135 = 3,6 ∙ 1015 m3. Hmotnost ledu, uvaţujeme-li jeho hustotu 920 kg/m3, je 3,3 ∙ 1018 kg. 3. 530 gigatun je 530 ∙ 1012 kg. Roztálo tedy V = m/ = 5,15 ∙ 1011 m3 (hustota mořské vody je 1 028 kg/m3). 4. Pokud by roztál celý ledovec, tj. roztátím ledu by vznikla voda o objemu 3,2 ∙ 1015 m3, znamenalo by to vzestup hladiny světového oceánu přibliţně o 6 m. 5. Na satelitní mapě lze kromě zeměpisné šířky a délky určit nadmořskou výšku. Podrobným zkoumáním nadmořské výšky v přímořských oblastech Holandska, Polska, Dánska či Německa můţeme určit území, která by byla zaplavena.
64
Jumbo Jet přistává Letadlo Boeing 747-300 Jumbo Jet vyţaduje pro přistání dráhu dlouhou 3 320 m. Přistávací
rychlost
těchto
velkých dopravních letadel je 240 km ∙ h-1.
Při
přistávacím
manévru, poté co se podvozek dotkne letištní dráhy, musí pilot nejprve
letadlo
vyrovnat
a
následně začíná brzdit. Obr. č. 63: Přistání letadla na ostrově St. Maarten
Zadání úloh: 1. Uvaţuj, ţe vyrovnání letadla trvá 10 s. Vypočítej, jak dlouhou dobu bude pilot brzdit, pokud se rychlost sniţuje s časem rovnoměrně. Předpokládej, ţe k přistávacímu manévru vyuţije celou letištní dráhu. K řešení načrtni graf v(t). 2. Pomocí satelitní mapy porovnej délky drah všech mezinárodních letišť v ČR a napiš, na kterých letištích můţe toto letadlo přistát. 3. Cestovní rychlost tohoto letadla je 481 uzlů. Vyjádři rychlost letadla v km ∙ h-1. Řešení úloh: 1. K vyrovnání letadla na dráze potřebuje pilot 666 m, zbytek dráhy tj. 2 654 m vyuţije pro brzdění, které trvá 80 s. 2. Z našich letišť je pro přistání vhodné letiště Praha-Ruzyně a Ostrava-Mošnov. 3. 1 uzel = 1,852 km ∙ h-1, rychlost letadla tedy je 891 km ∙ h-1.
Přehrada Tři soutěsky Největší hydroelektrárna světa se začala budovat na konci roku 1994 na řece Jangc'-ťiang u města I-čchang v provincii Chu-pej v Číně. O devět let později se začala napouštět vodou a v roce 2006 byla kompletně dostavěna přehradní hráz. Po úplném dokončení v roce 2011 pak mají Tři soutěsky mít výkon aţ 22 500 MW. Maximální rozdíl horní a spodní hladinou vody je 175 m. Tato stavba je poměrně kontroverzní, kritici varují hlavně před ekologickými dopady tohoto díla. Problém je i s plánovaným 65
výkonem, neboť řeka nemá předpokládaný průtok. Minimální průtok pro provoz elektrárny je 5 000 m3 vody. Zadání úloh: 1. Vypočítej objemový průtok vodním
dílem
maximálním
při výkonu.
Účinnost elektrárny je 85 %. 2. Vypočítej výkon elektrárny při
minimálním 3
5 000 m .
průtoku
Porovnej tento
výkon s výkonem největších českých vodních elektráren.
Obr. č. 64
Řešení úloh: 1. Výkon P1
vodní
elektrárny
je
P P´1 ,
kde
P1
je
příkon.
Platí:
W mgh Qm g h QV g h . Pokud uvaţujeme účinnost 85 %, pak t t
je objemový průtok pro maximální výkon 20 270 m3/s. 2. Vypočtený výkon je 7 437 MW. Instalovaný výkon všech vodních elektráren v ČR je přibliţně 2 500 MW, největší výkon má přečerpávací elektrárna Dlouhé Stráně – 650 MW, Dalešice – 480 MW, Orlík – 364 MW, nebo Slapy – 144 MW.
Let horkovzdušným balónem
V roce 1995 dobrodruh Steve Fossett uskutečnil první samostatný přelet Pacifiku v horkovzdušném balónu. Startoval z olympijského stadionu v Soulu a přistál v Saskatchewanu v Kanadě. Přelet trval 4 dny, 6 hodin a 14 minut. V roce 2002 překonal svým letem hned dva rekordy a to časově nejdelší sólový let a nejrychlejší oblet Země balónem. Startoval z Australského Northamu a po 13 dnech, 8 hodinách a 33 minutách doletěl do Australské Eromangy.
66
Zadání úloh: 1. Najdi zeměpisné souřadnice Soulu a Saskatchewanu. Pomocí satelitní mapy urči jejich vzdálenost. 2. Vypočítej průměrnou rychlost, kterou se balón pohyboval při přeletu přes Pacifik. 3. Zapiš zeměpisné souřadnice měst, ve kterých začínal a končil let v roce 2002.
Jelikoţ
přibliţně
obě
stejně
místa
jsou
daleko
od
29. rovnoběţky, uvaţuj, ţe by let probíhal přesně po 29. rovnoběţce. Vypočítej
délku
trasy.
Urči
průměrnou rychlost letu.
Obr. č. 65: Steve Fosset
Řešení úloh: 1. Vzdálenost obou míst je 8 738 km. 2. Průměrná rychlost 86 km/h. 3. Northam 31°39′ j. š., 116°40′ v. d.; Ergomanga 26°40′ j. š., 143°16′ v. d. Délka 29. rovnoběţky je
d 2 r 2 R cos 29 35 011 km. Délka trasy je
32 385 km. Průměrná rychlost balónu přes 100 km/h.
Množství srážek Zadání úlohy: Ve zprávách o počasí se často dozvídáme údaj o mnoţství sráţek. Ten se vyjadřuje v mm vodního sloupce. Vypočítej, jaké mnoţství vody v litrech spadne v Praze, pokud naprší 20 mm sráţek. Přibliţnou rozlohu města změř pomocí satelitní mapy nebo tištěného plánku města. V satelitní mapě je hranice města zvýrazněna fialovou čarou. Pouţij metodu čtvercové sítě. Řešení úlohy: Rozloha města je přibliţně 500 km2 (přesně 496 km2 – katastrální výměra, údaj z internetu). Na tomto území při zadaném mnoţství sráţek naprší 1010 litrů vody. 67
Vzdálenosti ve vesmíru Zadání úloh: 1. Vzdálenosti ve vesmíru jsou v porovnání s měřením na Zemi tak velké, ţe k jejich určení pouţíváme jiné jednotky délky – astronomickou jednotku (AU), parsec (pc) a světelný rok (ly). Vyhledej a napiš definice těchto jednotek. 2. Vyjádři 1 pc a 1 ly v metrech. 3. Vyjádři vzdálenost Země – Slunce v pc a ly. Řešení úloh: 1. Astronomická jednotka je délka poloměru nerušené oběţné kruhové dráhy tělesa se zanedbatelnou
hmotností,
pohybujícího
se
okolo
Slunce
rychlostí
0,017 202 098 950 radiánů za den (86 400 s). Tedy: 1 AU = 149 597 870 691 ± 6 m
(hodnota z roku 2000).
Všechny vzdálenosti ve vesmíru lze odvodit pomocí astronomické jednotky. Jeden parsec je vzdálenost, z níţ bychom viděli 1 AU pod zorným úhlem 1″. Světelný rok je vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za jeden tropický rok. Pomocí rychlosti světla můţeme vyjádřit 1 ly ≈ 9,46 × 1015 m.
Obr. č. 66
2. 1 pc = 1 pc = 3,095 7 ∙ 1016 m. 1 ly = 9,460 8 ∙ 1015 m. 3. Vzdálenost Země – Slunce v období letního slunovratu je 152 033 300 km, coţ je 4,9 ∙ 10-6 pc, tj. 1,6 ∙ 10-5 ly. Vzdálenost Země – Slunce v období zimního slunovratu je 147 168 100 km, coţ je 4,8 ∙ 10-6 pc, tj. 1,56 ∙ 10-5 ly.
68
Přelet Austrálie Při přeletu ze západního pobřeţí Austrálie na východní přeletíme několik časových pásem. Časová pásma však nejsou vţdycky určena přesně podle poledníků, nýbrţ sledují hranice států a niţších územně správních celků daných oblastí. Austrálie je rozdělena do tří časových pásem: Western Standard Time (UTC + 8), Central Standard Time (UTC + 9:30) a Eastern Standard Time (UTC + 10). Toto jsou základní časová pásma, některé oblasti se od nich ještě mírně odlišují, popřípadě v nich platí letní čas. Podrobnější informace
lze
nalézt
v anglické
verzi
Wikipedie.
Obr. č. 67
Zadání úloh: 1. Austrálií prochází obratník Kozoroha. Zapiš jeho zeměpisnou šířku a urči délku této rovnoběţky. 2. Zapiš zeměpisné délky, které vymezují jednotlivá časová pásma v Austrálii (pohybujeme-li se podél obratníku). 3. Vypočítej, jakou vzdálenost v km musíme urazit ze západního pobřeţí směrem na východní, abychom si mohli nastavit správný pásmový čas. Předpokládej, ţe letem kopírujeme přesně obratník Kozoroha. 4. Napiš, kolik stupňů zeměpisné délky a jakou vzdálenost je třeba překonat při dalším nastavení pásmového času. Řešení úloh: 1. Zeměpisná šířka 23°27′. Délka rovnoběţky d 2 R cos 2327´ 36 724 km. 2. Western Standard Time (UTC + 8): 113° v. d. – 129° v. d. Central Standard Time (UTC + 9:30): 129° v. d. – 138° v. d. Eastern Standard Time (UTC + 10): 138° v. d. – 150° v. d. 3. Na obratníku Kozoroha přísluší jednomu úhlovému stupni zeměpisné délky vzdálenost 102 km. Pro příslušný rozdíl zeměpisných délek vyjde vzdálenost 1 632 km. 69
4. 9° zeměpisné délky, čemuţ odpovídá 918 km.
45.
Sopka na ostrově Bali
Nejvyšší vrcholem indonéského ostrova Bali je sopka Mount Agung 3 142 m n. m. Na úpatí sopky se nachází vesnice Besakih, kde najdeme i nejposvátnější místo ostrova Pura Besakih. V okolí chrámu stojí dalších 200 chrámů a budov. Jednou z nich je i Mother Temple of Besakih.
Zadání úloh:
Obr. č. 68
1. Pomocí satelitní mapy urči vzdálenost místa Mother Temple of Besakih od kráteru sopky. 2. Zanedbej odpor prostředí a vypočítej, jakou rychlost by musely mít kameny vylétající ze sopky, aby dolétly aţ k Mother Temple. Uvaţuj elevační úhel 45°. 3. Ověř výpočtem, zda můţou obyvatelé západní části ostrova vidět přes moře na sousední ostrov Jáva. 4. Na jihu ostrova najdeš letiště. Změř na satelitní mapě délku přistávací dráhy a výpočtem ověř, zda je tato dráha vhodná ke startu velkých dopravních letadel typu Boeing, který potřebuje ke startu nabrat rychlost 300 km/h. Předpokládej, ţe letadlo na startovní dráze zrychluje o 2 m/s za kaţdou sekundu. Načrtni si graf. Řešení úloh: 1. Vzdálenost obou míst je přibliţně 5,5 km. 2. Z rovnic pro popis šikmého vrhu:
70
x x0 v0 t cos y y 0 v0 t sin
vyjádříme
1 2 gt 2
vztah
pro
počáteční
g ( x x0 ) 2 . Po dosazení vypočítáme počáteční rychlost x x0 y y 0
rychlost v0
55,5 m/s = 200 km/h. Rychlost udávaná v literatuře se pohybuje okolo 100 km/h. tento model není tedy k řešení příliš vhodný. 3. Jak daleko vidíme v „rovině“, můţeme určit z Pythagorovy věty, kde po dosazení a zanedbání členu h2 (h je výška stojící osoby) dostaneme vzorec: x 2Rh . Vezmeme-li v úvahu výšku očí člověka 170 cm, dostaneme hodnotu 4,65 km. Prostudováním mapy zjistíme, ţe to moţné je.
Obr. č. 69
4. Startovní rychlosti letadlo dosáhne přibliţně po 42 s. Z grafu plyne, ţe
Závislost rychlosti na čase při rozjíždění
urazí dráhu 1 750 m. Letištní dráha Bali
je
dlouhá téměř 3 km.
100 v(m/s)
na
50 0 0
10
20
30
40
50
t (s)
Obr. č. 70
Obvod Země Zadání úlohy: Představ si, ţe máš dlouhý provázek, se kterým můţeš obejít Zemi a natáhnout ho kolem rovníku. Předpokládej, ţe Země je dokonalá koule o poloměru 6 371 km a rovník prochází oblastmi s nulovou nadmořskou výškou. Nyní zkus k provázku přivázat ještě kousek v délce 1 m. Kdyţ se ti povede provázek vypnout tak, aby byl ve všech místech stejně vzdálený od středu Země, můţe se stát, ţe pod provázkem proleze zvíře například velikosti kočky?
71
Řešení úlohy: Při poloměru Země 6 371 km vyjde obvod rovníku 40 030,174 km. Kdyţ k uvedené hodnotě přičteme 1 metr, vyjde hodnota poloměru Země 6 371 000,16 m. Provázek bude tedy od Země vzdálen 16 cm, coţ menšímu zvířeti k podlezení stačí.
Plachetnicí na jižní pól V roce 2008 podnikl Jean Jacques Godet, majitel francouzské firmy na koňak a nadšený cestovatel, cestu se svými přáteli plachetnicí na jiţní pól. Vyrazili z Argentinské Patagonie, cesta jim trvala sedm a půl týdne. Základnou pro výpravy do Antarktidy je město Ushuaia v argentinské provincii Sierra del Fuego, které leţí na 54° 48′ j. š. Jediným přístavem na Antarktidě je ten u polární stanice Mc Murdo.
Obr. č. 71: Polární stanice Mc Murdo
Zadání úloh: 1. Vypočítej vzdálenost z města Ushuia na jiţní pól. Pro jednoduchost předpokládej, ţe se cestovatelé pohybovali přímo po poledníku. 2. Zjisti měřením na satelitní mapě vzdálenost mezi přístavem v Patagonii a na Antarktidě. Změř, jakou vzdálenost k jiţnímu pólu museli cestovatelé překonat po pevnině.
72
Řešení úloh: 1. Ve směru po poledníku připadá na jeden stupeň zeměpisné šířky vzdálenost přibliţně 111 km, na jednu úhlovou minutu pak 1,848 km. Pro zadaný rozdíl zeměpisných šířek vychází vzdálenost 3 973 km. 2. Měřením na satelitní mapě zjistíme vzdálenost 5 850 km. Po kontinentu pak ještě musí ujít 1 350 km.
Volvo Ocean Race Na podzim roku 2011 odstartoval další ročník extrémního závodu plachetnic Volvo Ocean race. Největší a nejslavnější etapový závod plachetnic se jezdí od roku 1972. V tomto ročníku startovalo 6 plachetnic. První etapa vedla ze Španělského města Alicante
do
(Jihoafrická
Kapského
města
republika),
další
zastávkou je Abu Dhabi (Spojené arabské emiráty), Sanya (Čína), Auckland (Nový Zéland), Itajai (Brazílie), Maiami (USA), Lisabon (Portugalsko), Lorient (Francie). Závod
končil
v Irském
městě
Galway.
Obr. č. 72
Zadání úlohy: Na satelitní mapě najdi všechna města a změř délky jednotlivých etap. Výsledek zapiš v km a v námořních mílích. Řešení úlohy: Vzdálenost Alicante – Kapské město 10 300 km, Kapské město – Abu Dhabi 9 285 km, Abu Dhabi – Sanya 9 085 km, Sanya – Auckland 9 800 km, Auckland – Itajai 14 140 km, Itajai – Miami 9 450 km, Miami – Lisabon 6 780 km, Lisabon – Lorient 1280 km, Lorient – Galway 1020 km. Celkem tedy 71 140 km, tj. 38 413 námořních mil.
73
Mohyla Silbury Hill Největší evropskou mohylu a posvátné místo starověkých Keltů Silury
Hill
nedaleko přibliţně
nalezneme Stonehenge.
před
pravděpodobně
4 500
v Anglii Vznikla lety
slouţila
a jako
pohřebiště. Má tvar komolého kuţele o výšce 131 stop, průměr dolní základny je 548 stop, horní pak 98 stop.
Obr. č. 73
Zadání úloh: 1. Vyjádři rozměry mohyly v jednotkách délky SI. 2. Vypočítej objem mohyly v m3. 3. Vypočítej plochu podstavy mohyly. Výsledek vyjádři v ha. Řešení úloh: 1. Stopa (ft z angl. foot) je historická (dodnes však v Anglii uţívaná) jednotka délky. Platí 1 ft = 0,3 048 m. Pro dolní podstavu tedy vyjde průměr 167 m, horní podstava má průměr 30 m, výška je pak 40 m. 1 2. Jelikoţ se jedná o komolý kuţel, pouţijeme vzorec V r12 r1r2 r22 v . Po 3
dosazení vyjde objem 353 942 m3. 3. 21 903 m2, tj. přibliţně 2 ha.
Let z Moskvy do Vilniusu Malé letadlo letí z Moskvy západním směrem přesně podle 55. rovnoběţky. Pohybuje se rychlostí 250 km/h vzhledem k okolnímu vzduchu. Při přeletu nad Běloruskem se dostane do oblasti severního proudění. Rychlost větru je 70 km/h.
74
Obr. č. 74
Zadání úloh: 1. Vypočítej rychlost letadla vzhledem k Zemi. 2. Pokud by pilot udrţoval na palubním kompasu kurz přesně na západ, jakým směrem by se ve skutečnosti pohyboval? Vyjádři odklon od západního kurzu ve stupních. 3. Aby pilot udrţoval západní směr vzhledem k Zemi, musí částečně mířit proti větru. Jaký kurz musí udrţovat, chce-li letět opravdu západním směrem? Vypočítej rychlost letadla. 4. Vysvětli, jakou rychlostí se musí pohybovat letadlo v případě, ţe se pohybuje z východu na západ oblastmi, kde vane západní vítr. 5. Pomocí údajů ze satelitní mapy vypočítej délku trasy letu z Moskvy do Litevského Vilniusu. Pro jednoduchost uvaţuj, ţe obě města leţí na 55. rovnoběţce. Řešení úloh: 1. Podle obrázku platí: v v12 v22 260 km/h, kde v1 je rychlost letadla vzhledem k okolnímu vzduchu, v2 je rychlost větru. 2. Z předchozího obrázku plyne: tg
v2 70 ; 1538´ . v1 250
3. Dle obrázku (obr. č. 76): v v12 v22 240 km/h. Pilot musí udrţovat kurz určený úhlem , platí: sin
70 ; 1626´ . 250
Obr. č. 75
75
4. Paradoxně platí, ţe rychlost letadla letícího po větru musí být vzhledem k povrchu Země větší, neţ u letadla letícího proti větru. Souvisí to s vztlakovou silou. 5. Pro délku rovnoběţky platí: d 2 r 2 R cos 55 22 960 km.
Moskva-letiště Domodědovo má zeměpisnou délku 37°54′ v. d., letiště v Litvě pak 25°17′. Z rozdílu zeměpisných délek dostaneme vzdálenost 803 km. Obr. č. 76
Sluneční kámen Staří Vikingové byli výjimeční námořníci. Podnikali objevitelské cesty v severních mořích, dokonce Ameriku objevili dávno před Kolumbem. K navigaci na moři pouţívali tzv. sluneční kámen (cordierit), coţ je islandský vápenec. Ten byl nalezen ve vraku lodi, která se potopila roku 1592, a je jedinečný tím, ţe pomocí něho dokázali námořníci určit polohu Slunce i na zamračené obloze. Zadání úlohy: Vysvětli na základě znalostí z optiky princip fungování kamene. Obr. č. 77
Řešení úlohy: Vše funguje na principu polarizace světla. Islandský vápenec patří mezi tzv. anizotropní látky. To znamená, ţe rychlost světla není při průchodu látkou ve všech směrech šíření stejná. Proto se nepolarizované světlo, které na něj dopadá, rozdělí na řádný a mimořádný paprsek. Nastává tak dvojlom. Nejvýrazněji kámen září při natočení do směru, ve kterém leţí Slunce. Postupným otáčením kamene tak lze zjistit polohu Slunce.
76
Družice s polární drahou letu Druţice s polární drahou letu se pohybují ve výšce 700-1 000 km nad Zemí přibliţně ve směru poledníků (v okamţiku přeletu
přes
severní
pól).
Nejčastěji
vykonají 12-16 oběhů za 24 hodin. Patří mezi ně mimo jiné druţice systému Landsat nebo NOAA. Dráha takovéto druţice je zvolena tak, aby přelet nad určitým místem na
Zemi
proběhl přibliţně ve stejný
místní čas. Obr. č. 78
Zadání úloh: 1. Jedna z druţic systému NOAA má dobu oběhu 102 minut. Vypočítej, v jaké výšce nad povrchem Země se pohybuje. 2. Vypočítej rychlost, kterou se druţice pohybuje. 3. Vypočítejte, jakou část povrchu Země druţice snímkováním pokrývá. Výsledek vyjádři v procentech. 4. Druţice přesně o půlnoci přelétá nad severním pólem ve směru nultého poledníku. Urči zeměpisnou délku přeletu druţice nad rovníkem. Řešení úloh: 1. Gravitační síla, která na druţici působí, je zároveň silou setrvačnou odstředivou, platí tedy: Fg = Fd (řešeno v neinerciální soustavě spojené se Zemí). Po dosazení a úpravě: r3
MT 2 7 230 km (M je hmotnost Země 5,97 ∙ 1024 kg, T = 6 120 s). Výška 2 4
druţice nad Zemí je po odečtení rovníkového poloměru Země 852 km. 2. v
2 r h 7,4 km ∙ s-1. T
3. Měřítko následujícího obrázku z důvodu větší názornosti neodpovídá skutečnosti. Pro výšku vrchlíku, který je vidět z druţice platí:
y RZ RZ cos RZ
RZ2 r RZ RZ h RZ 752 km. r r r
77
Obr. č. 79
Pro povrch kulového vrchlíku platí: S1 = 2π ∙ RZ ∙ y = 30 ∙ 106 km2. Podíl sledovaného povrchu k celému povrchu Země:
S1 2 RZ y y 5,9 % . 2 S 2 RZ 4 RZ 4. První průlet je za čtvrtinu oběţné doby, tj. 25 min na 6°22,5′ z. d., druhý průlet pak za 76,5 min na 160°52,5′ v. d.
Odhad povrchové teploty na Zemi Zadání úlohy: Celkovou intenzitu elektromagnetického záření Slunce, které dopadá na horní hranici atmosféry na jednotkovou plochu kolmou k paprskům při střední vzdálenosti Země od Slunce, nazýváme solární konstanta. Její hodnota je 1 370 W ∙ m-2 (hodnota z roku 1999). Země však záření nejenom pohlcuje, ale i vyzařuje. Ze znalosti solární konstanty a za pouţití Stefanova-Boltzmanova zákona vypočítej povrchovou teplotu Země. Řešení úlohy: Země pohlcuje záření dopadající ze Slunce, pro jehoţ velikost platí:
P R2 k , kde R je poloměr Země a k je solární konstanta, k = 1 370 W ∙ m-2.
Obr. č. 80
78
Země zároveň vyzařuje záření o velikosti:
P 4 R 2 T 4 , kde = 5,6 703 ∙ 10-8 W ∙ m-2 ∙ K-4 se nazývá Stefanova-Boltzmanova konstanta. Protoţe Země je dlouhodobě v tepelné rovnováze, pak rovnosti platí:
4 R2 T 4 R2 k T 4
k 1370 4 278,8 K, 4 4 5,67 108
coţ je přibliţně 6 °C.
Slunce Zadání úloh: 1. Vypočítej
povrchovou
teplotu
Slunce.
8
Poloměr Slunce je 7 ∙ 10 m, solární konstanta 1 370 W ∙ m-2, střední vzdálenost ZeměSlunce 1,496 ∙ 1011 m. 2. Největší sluneční skvrny mají v průměru aţ 20 000 km. Ověř výpočtem, zda by je bylo moţné pozorovat ze Země pouhým okem.
Obr. č. 81
(Samozřejmě za předpokladu pouţití ochranného filtru). 3. Napiš, proč je Slunce při východu, resp. západu načervenalé. Řešení úloh: 1. Při výpočtu vyjdeme ze Stefanova – Boltzmanova zákona. Platí: 4 RS2 T 4 4 rZS2 k k rZS2 T RS2 T = 7 574 K 4
(změřená hodnota je přibližně 5 700 K)
79
2. Lidské oko je schopno rozlišit dva body, které mají úhlovou vzdálenost 1′. Při střední vzdálenosti Země – Slunce 149,6.106 km dostaneme poměr vzdáleností
20 000 0,000 133 rad = 0° 0′ 0,48″. Moţné to tedy není. 149,6 10 6 3. Je to způsobeno rozptylem slunečního světla na prachových částicích obsaţených v atmosféře. Nejvíce se rozptyluje světlo krátkých vlnových délek – tedy modré, červená část spektra se nerozptýlí.
Rozloha Antarktidy Zadání úloh: 1.
Při pohledu na mapu světa zjistíme, ţe Antarktida zabírá přibliţně dvě třetiny území, které je
na
zeměkouli
ohraničeno
jiţním polárním kruhem. Vyuţij tohoto poznatku pro výpočet povrchu povaţuj
Antarktidy. za
ideální
Zemi kouli
s poloměrem 6 371 km.
Obr. č. 82
2. Průměrná tloušťka ledu v Antarktidě je 1 800 m. Vypočítej objem ledu a objem vody, která by vznikla jeho roztátím. Napiš, o kolik metrů by stoupla hladina světového oceánu roztátím ledu v Antarktidě. Oceán zaujímá přibliţně 70 % povrchu Země. Řešení úloh: 1.
Nejprve musíme určit výšku vrchlíku, který je určen na kouli polárním kruhem, tedy rovnoběţkou 66,5°. Z obrázku plyne: y R sin 66,5 5 843 km. Potom x = 528 km. Pro povrch vrchlíku platí:
S = 2π ∙ RZ ∙ x =
21 135 932 km2, přičemţ dvěma třetinám odpovídá povrch přibliţně 14 000 000 km2.
Obr. č. 83
80
2. Uvaţujeme-li průměrnou tloušťku ledu 2 000 m, je objem ledu:
V 14 1012 2 103 m3 2,8 1016 m3 . Hmotnost ledu je m = ∙ V = 2,56 ∙ 1019 kg (hustota ledu je 917 kg/m3), jeho roztátím by vznikla voda o objemu V = 2,5 ∙ 1016 m3 (pouţijeme hustotu slané vody 1 028 kg/m3). Pokud by se tato voda rozlila po povrchu Země (510 ∙ 106 km2, oceány zaujímají 70 %, tj. 357 ∙ 106 km2), znamenalo by to zvýšení hladiny světového oceánu o 70 metrů. Byla by tak zaplavena rozsáhlá pobřeţní území, mnohé ostrovní státy by z mapy světa zmizely úplně.
Kinetická energie rotačního pohybu Země Zadání úlohy: Představ si Zemi jako ideální kouli s poloměrem 6 371 km. Vypočítej její moment setrvačnosti a kinetickou energii rotačního pohybu kolem zemské osy. Představ si ideální stav, kdy by všechna tato energie mohla být vyuţita. Vypočítej, na jak dlouho by energie rotačního pohybu Země mohla nahradit výkon všech atomových reaktorů, kterých je podle Mezinárodní agentury pro atomovou energii 442 s plánovaným výkonem 374 996 MW. Řešení úlohy: Pokud povaţujeme Zemi za ideální kouli, pak pro moment setrvačnosti platí: J
2 2 mr = 9,74 ∙ 1037 kg ∙ m2. 5
Kinetická energie rotačního pohybu: E K
1 J 2 2,6 10 29 J (úhlová rychlost rotace 2
Země ω = 7,29 ∙ 10-5 rad).
Pravé poledne V dobách, kdy neexistovala zařízení k měření času tak, jak je známe dnes, určovali lidé čas podle polohy Slunce na obloze. Slunce totiţ vrcholí na místním
81
poledníku v pravé poledne. Tak je určen pravý sluneční čas. Lidé se však dnes jiţ pravým slunečním časem neřídí, pouţívají pásmový čas. Zadání úloh: 1. Zapiš, v jakém časovém pásmu leţí Česká republika. Nastává poledne dříve v našem časovém pásmu, nebo v pásmu ve kterém leţí Londýn. 2. Napiš, v kolik hodin bude vrcholit Slunce v Chebu a v Uherském Brodě, kdyţ ve 12 hodin vrcholí přesně na 15. poledníku. K nalezení zeměpisné délky uvedených míst pouţij satelitní mapu. Polohu urči s přesností na úhlové minuty. 3. Podle polohy Slunce na obloze a pomocí hodinek s ručičkami můţeme určit světové strany. Popiš tento postup. Kriticky zhodnoť přesnost uvedené metody. Řešení úloh: 1. Česká republika leţí v časovém pásmu, ve kterém platí středoevropský čas SEČ, tj. střední sluneční čas 15. poledníku. Vzhledem ke světovému času UTC je posunut o jednu hodinu dopředu, poledne nastává pro místa leţící v tomto pásmu dříve neţ v Londýně. 2. Zeměpisná délka Chebu je 12°22′, Uherského Brodu pak 17°38′. V Uherském Brodě nastane pravé poledne dříve, a to o 10 min 32 s, v Chebu o stejnou dobu později. Rozdíl zeměpisných délek obou měst od 15. poledníku je totiţ stejný. 3. Číselník hodinek natočíme tak, aby malá ručička směřovala ke Slunci, úhel mezi ručičkou a spojnicí šestky a dvanáctky rozpůlíme, půlící čára pak ukazuje k jihu. Slunce se totiţ pohybuje při svém zdánlivém pohybu po obloze kolem Země 24 hodin, ale hodinová ručička oběhne číselník za 12 hodin, tzn. opíše za stejnou dobu dvojnásobný úhel. Jestliţe tedy rozpůlíme při uvedené poloze číselníku oblouk opsaný ručičkou, najdeme na obloze místo, kde stálo Slunce v poledne, tj. najdeme jih. Chyba určení však můţe být aţ 10°. Hlavní příčina nepřesnosti je v tom, ţe číselník leţí rovnoběţně s rovinou obzoru, ale zdánlivá denní dráha Slunce leţí ve vodorovné rovině jen na pólu, ve všech různých šířkách svírá s obzorem různé úhly. Proto se nevyhneme menší nepřesnosti. Chyba nastává také díky rozdílu mezi pásmovým a místním časem, v létě chyba ještě narůstá, protoţe musíme uváţit ještě rozdíl mezi letním a pásmovým časem.
82
Saharský písek Kdosi
vymyslel
následující
přirovnání: v jednom molu plynu je za normálního tlaku tolik částic, jako zrnek písku na Sahaře. Zrnko písku si můţeme představit tak, ţe ho právě vměstnáme do krychle o hraně 0,5 mm. Sahara zaujímá povrch přibliţně 8 miliónů km2, počet částic
Obr. č. 84
v jednom molu je asi 6 ∙ 1023. Na satelitním snímku Sahary, který pořídila NASA, můţeme vidět rozlohu, kterou Sahara na africkém kontinentu zaujímá. Zadání úloh: 1. Vypočítej, jak vysoká by byla vrstva písku na Sahaře, kdyby toto přirovnání odpovídalo realitě. 2. Vypočítej, jakou dobu bychom potřebovali ke spočítání všech zrnek písku, kdybychom přesýpali malým otvorem kaţdou sekundou milión zrnek písku. 3. Vypočítej hmotnost tohoto písku na Sahaře. Uvaţuj hustotu písku 2 000 kg/m3. Řešení úloh: 1. Rozloha Sahary je 8 ∙ 1018 mm2, přičemţ na kaţdém mm2 jsou 4 zrnka písku. Platí tedy: 6 ∙ 1023 : 32 ∙ 1018 = 18 750 vrstev částic. Vydělíme-li číslo dvěma, získáme výšku 9 375 mm, přibliţně tedy 9,4 m. 2. Jestliţe za sekundu projde otvorem 106 částic, pak za rok to je přibliţně 31,5 ∙ 1012 částic písku. Přesýpání by tak trvalo 19 miliard let. 3. m = ∙ V = 2 000 ∙ 8 ∙ 1012 ∙ 9,4 kg = 1,5 ∙ 1017 kg.
Rybník Rožmberk Největší český rybník Roţmberk má plošný obsah 489 ha a obvykle se v něm nachází 6 miliónů m3 vody. Rybář seděl na loďce a jedl housku, na jejímţ povrchu byly krystalky kuchyňské soli. Seškrábl několik krystalků soli o celkové hmotnosti 0,35 g
83
a vhodil je do vody. Budeme uvaţovat, ţe sůl se rozpustila a rovnoměrně rozptýlila po celém rybníku. Zadání úloh: 1. Rybář nabral na lţičku 1 cm3 vody. Napiš, zda obsahuje voda ve lţičce vody alespoň dva atomy sodíku z krystalků soli, které rybář ve vodě rozpustil. 1 mol NaCl má hmotnost 0,0 585 kg a obsahuje 6.1023 molekul. 2.
Vypočítej počet molekul NaCl a jejich hmotnost ve lţičce vody.
Obr. č. 85
3. Vypočítej, jaká je hmotnost jedné molekuly NaCl. Řešení úloh: 1. Hmotnosti 0,35 g odpovídá 6 ∙ 10-3 mol. V 1 cm3 vody bude tedy 600 ∙ 106 molekul NaCl. 2. Viz řešení úlohy 1. Hmotnost molekul ve lţičce vody můţeme určit trojčlenkou. Výsledek je 5,85 ∙ 10-14 g. 3. Hmotnost jedné molekuly je 9,75 ∙ 10-23 g.
Londýnské kolo Koncem roku 1999 byl oficiálně zahájen provoz londýnské zábavní atrakce The London Eye či Millenium Wheel. Toto „ruské kolo“ bylo postaveno na břehu Temţe a dosahuje výšky 443 stop. Má celkem 32 vejčitých kabinek, kaţdá je pro 25 osob. Kolo se neustále otáčí, ale malou rychlostí, aby návštěvníci mohli dole pohodlně vystoupit a nastoupit. Kolo se otočí o 360° za 30 minut. Zadání úloh: 1. Vyjádři výšku londýnského kola v metrech.
84
Obr. č. 86
2. Vypočítej rychlost otáčení kabinky. Průměr kola je 120 m. Napiš, zda je tato rychlost vhodná k bezpečnému nastupování a vystupování. 3. Podobnou atrakci nalezneme v různých světových metropolích. Například kolo v Singapuru, umístěné na břehu moře, je vysoké 165 metrů. Vypočítej vzdálenost, do které vidí návštěvník v okamţiku, kdy je na vrcholu kola. Dokáţe obhlédnout celý ostrovní stát? K řešení vyuţij satelitní mapu GoogleEarth. Řešení úloh: 1. 1 stopa je 30,48 cm, výšce 443 stop odpovídá výška přibliţně 135 metrů. 2. Rychlost otáčení je přibliţně 0,21 m/s = 0,75 km/h. Rychlost je tedy dostatečně nízká pro bezpečný nástup a výstup turistů. 3. K řešení pouţijeme Pythagorovu větu, kde při zanedbání členu h2 získáme vztah: x 2R h x 2 6371 0,165
x = 45,85 km.
Obr. č. 87
Jelikoţ nejdelší vzdálenost od místa umístění kola ke břehu moře je kolem 27 km, lze z vrcholu kola obhlédnout celý Singapur.
Hydroelektrárna na Volze O hydroelektrárně na řece Volha u města Volgograd víme, ţe má nejvyšší výkon 2 540 MW, řeka má střední objemový tok 8 000 m³/s. Energie vodního toku lze vyuţít na 70 %. Obr. č. 88
Zadání úlohy: Vypočítej, jak vysoko musí být hladina přehrady nad vstupem vody do turbín? Řešení úlohy: Jestliţe je účinnost elektrárny 60 % a deklarovaný výkon 2 540 MW, pak příkon P1 musí být 3 630 MW. Dosadíme-li do vztahu: 85
P1
mgh Qm g h QV g h , získáme výsledek přibliţně 45 m. t
Ultralehké letadlo Ultralehké
letadlo
Global
Flyer,
s nímţ Steve Fosset obletěl svět za méně neţ 80 h, má dolet za bezvětří 33 800 km, rychlost 440 km/h. Letadlo startovalo na letišti Salina (Kansas, USA) a mělo původně plánovanou trasu míst, nad nimiţ mělo proletět: Montreal, Londýn, Paříţ, Řím, Káhira, Manama (SAE), Karáčí, Kalkata, Šanghaj, Tokio, Honolulu, Los Angeles a zpět
Obr. č. 89: Fossett v kabině Global Flyer
letiště Salina. Zadání úloh: 1. Najdi všechna místa na mapách a vyznač do jedné mapy světa. Napiš, jaké měřítko má mapa a jak se podle mapy zjišťují skutečné vzdálenosti. 2. S pomocí mapy (tištěné či satelitní) urči délku trasy, kterou Fosset naplánoval. Vypočítej, jak dlouho by byl na trase, pohyboval-li by se uvedenou rychlostí? 3. Vypočítej, jakou dráhu by Fosset urazil při cestě kolem světa, kdyby letěl po 38. rovnoběţce, kolem níţ všechna místa přibliţně leţí? Vypočítej, jak dlouho by mu taková cesta trvala. 4. Napiš, jaký vliv na let letadla má oblast, kde vane západní vítr. Je rychlost, kterou letadlo musí letět proti větru větší nebo menší neţ za bezvětří? Řešení úloh: 1. Pokud pouţijeme např. mapu s měřítkem 1:4 500 000, pak 1 cm na mapě odpovídá skutečná vzdálenost 45 km. 2. Trasa by podle plánu měřila přibliţně 35 000 km. Plánovaná délka je letu 80 hodin.
86
3. Vzhledem k tomu, ţe platí: r R cos , kde R je poloměr Země 6 371 km, je délka 38. rovnoběţky: d 2 r 2 R cos 38 31 544 km.
4. Letí-li letadlo proti větru, musí paradoxně vyvinout menší rychlost, neţ kdyţ letí směrem po větru. Souvisí to s velikostí vztlakové síly.
Obr. č. 90
Družice
Představ si, ţe se podařilo vypustit takovou umělou druţici Země, která prolétá střídavě nad severním a jiţním zeměpisným pólem. Poloměr oběţné trasy je 7 000 km, vzdálenost povrchu Země na úrovni mořské hladiny od středu Země je na rovníku 6 378,1 km, na pólu je to 6 356,8 km. Druţici začni sledovat v okamţiku, kdy prolétá nad severním zeměpisným pólem v
0:00:00 h směrem
nultého poledníku. Obr. č. 91
Zadání úloh: 1. Napiš, jak vysoko nad hladinou moře se druţice nachází, kdyţ prolétá nad rovníkem nebo nad oběma zeměpisnými póly. 2. Vypočítej, zda z této druţice je moţno při jejím průletu nad jiţním pólem vidět najednou celou Antarktidu. 3. Vypočítej zeměpisné souřadnice místa, nad kterým se nachází druţice, kdyţ prolétá nad rovníkem. Urči tři po sobě následující průlety. 4. Stanov polohu místa, nad kterým prolétá druţice přesně v 01:00:00 h? Na satelitní mapě GoogleEarth najdi toto místo. Řešení úloh: 1. Nad rovníkem je to ve výšce 622 km nad hladinou moře, nad pólem pak 643,2 km.
87
2. Pro výšku vrchlíku, který je vidět z druţice platí:
Obr. č. 92
RZ2 r RZ RZ hRZ y RZ RZ cos RZ 584 km. r r r Rovnoběţku, kterou je vymezen tento kulový vrchlík, určíme ze vztahu: sin
RZ y . Po dosazení získáme výsledek RZ
65°16′. Podíváme-li se do satelitní mapy, zjistíme, ţe některá území Antarktidy leţí od dané rovnoběţky severněji, celé území tedy není moţno pozorovat.
Obr. č. 93
3. Na druţici působí gravitační síla, která je zároveň silou setrvačnou odstředivou: Fg = Fd (pokud uvaţujeme řešení v neinerciální soustavě spojené se Zemí). Po dosazení T 2
a
úpravě
určíme
dobu
oběhu
druţice
kolem
Země:
r 3 4 2 5 816 s = 96 min 56 s; (M je hmotnost Země 5,97 ∙ 1024 kg). První M
průlet druţice nad rovníkem bude za čtvrtinu oběţné doby, tj. 24 min 14 s. Za jednu minutu se Země otočí o 15′, za 1 sekundu pak o 15″. První průlet tedy bude nad zeměpisnou délkou 6°3,5′ z. d., druhý průlet nad 161°49,5′ v. d., třetí průlet nad zeměpisnou délkou 30°17,5′ z. d. 4. Druţice se bude nacházet nad 165. poledníkem východní délky. 60 minut je 5/8 oběţné doby druţice, bude tedy na 45° jiţní zeměpisné šířky, tj. v okolí Nového Zélandu.
88
Pravidelný let z Londýna do Singapuru Při pravidelném letu BA 011 z Londýna do Singapuru vylétá letadlo britských aerolinií z letiště Londýn-Heathrow ve 21 h 25 min a přistává v Singapuru-Changi následující den v 17 h 15 min. Při startu oznámila informační TV předpokládanou vzdálenost aţ do přistání 6 768 mil (anglických). Trasa podle mapky vede v okolí následujících míst: Londýn, Berlín, Kyjev, Islamábád, Dillí, Kalkata, Kuala Lumpur, Singapur-Changi. Na zpáteční cestu vyráţí letadlo ve 23 h 59 min, a v Londýně přistává v 6 h 45 min. Zpáteční cesta vede přes Kuala Lumpur, Indický poloostrov, Dubaj, Damašek, Ankaru, přeletí Černé moře a pokračuje v okolí Bukurešti, Budapešti, Vídně, Mnichova, Rotterdamu na londýnské letiště, přičemţ urazí přibliţně tutéţ dráhu. Zadání úloh: 1. Najdi na satelitní mapě uvedená místa a změř délku obou tras. 2. Vypočítej dobu letu pro oba směry. Vysvětli, čím je způsoben rozdíl v dobách letu. 3. Urči průměrnou rychlost letadla v kaţdém z obou směrů letu. Řešení úloh: 1. Cesta tam přibliţně 10 934 km, cesta zpět pak 11 700 km. 2. Doba let Londýn – Singapur je 19 hod 50 min, doba letu Singapur – Londýn 6 hodin 46 min. Časy odletu a příletu jsou však uvedeny v místních časech, pro Londýn je to světový čas UTC, pro Singapur platí časové pásmo UTC + 8 hod. Skutečná doba letu je tedy 11 hod a 50 min směrem do Singapuru, zpět do Londýna pak 14 h 46 min. 3. Při cestě do Singapuru je průměrná rychlost 924 km/h, při cestě do Londýna pak 792 km/h.
Kameraman na cestách Kameraman a reţisér dokumentárního filmu o deštných pralesích se jednoho dne vydali z letiště Changi v Singapuru nejprve letadlem do Pontianaku na ostrově Kalimantan. Průměrná rychlost letu byla včetně startu a přistání 320 km/h. Tam si pro
89
další den najali menší letadlo, aby zajistili vhodné podmínky pro filmování. Letadlo dosahovalo průměrné rychlosti 250 km/h a přeletěli s ním do Samarindy, odtud do Sandakanu, nakonec přistáli v Bandar Seri Begawanu, hlavním městě Brunei Darussalam a poté se vydali zpět do Pontianaku. Při kaţdém přistání počítáme technickou přestávku 1,5 h. Zadání úlohy: 1. Zapiš zeměpisné souřadnice všech uvedených míst. Vyuţij satelitní mapu Googleearth. 2. Změř v satelitní mapě vzdálenosti uvedených míst. 3. Napiš, zda by stačil jeden den na filmování. V tropech trvá den zpravidla 12 h, později svítá a dříve se stmívá neţ v létě v našich zeměpisných šířkách. 4. Protoţe v Bandar
reţisér Seri
dostal Begawanu
mobilem zprávu, ţe se musí urychleně Singapuru,
vrátit letělo
do menší
letadlo přímo na letiště Changi
Obr. č. 94
místo do Pontianaku. Urči dobu trvání tohoto letu. Řešení úlohy: 1. Zeměpisné souřadnice míst: Singapur 1°23′ s. š., 103° 59′ v. d.; Pontianak 0°1′ j. š., 109°20′ v. d.; Samarinda 0°30′ j. š., 117°9′ v. d.; Sandakan 5°50′ s. š., 118°7′ v. d.; Bandar Seri Begawan 4°56′ s. š., 114°56′ v. d.; 2. Naměřené vzdálenosti: Singapur – Pontianak 620km;
Pontianak – Samarinda 870 km;
Samarinda – Sandakan 710 km; Sandakan – Bandar Seri Begawan 360 km;
90
Bandar Seri Begawan – Pontianak 830 km, Bandar Seri Begawan – Singapur 1 280 km. 3. Doby letu: Pontianak – Samarinda 3 h 29 min, Samarinda – Sandakan 2 h 50 min, Sandakan - Bandar Seri Begawan 1 h 26 min, Bandar Seri Begawan – Pontianak 3 h 19 min. Celkem to je tedy 10 h 40 min v letadle, připočteme-li přestávky, zjistíme, ţe jeden den by na filmování nestačil. 4. Let z Bandar Seri Begawanu do Singapuru trval 5 h 7 min, to je o 1 h 40 min méně neţ by trval let přes Pontianak i s přestávkou.
Ohřívání atmosféry Kdyţ na zemský povrch dopadá sluneční záření, atmosféra se na přivrácené straně ke Slunci ohřívá, ale současně Země vyzařuje z celého povrchu tepelné záření do svého okolí. V případě dlouhodobé rovnováhy můţe být průměrná teplota vzduchu přibliţně stálá. Zemi v poslední době ohroţuje globální oteplování, spočívající ve zvyšování teploty atmosféry. Zadání úloh: 1. Vypočítej hmotnost zemské atmosféry, znáš-li hodnotu atmosférického tlaku při zemském povrchu. 2. Vypočítej, kolik tepla by bylo třeba dodat pro zvýšení průměrné teploty atmosféry ze současných 10 °C na hodnotu o 1 °C vyšší. Měrná tepelná kapacita vzduchu je 1 000 J/kg.°C. 3. Na horní hranici atmosféry dopadá celkové sluneční záření o hodnotě 1 370 W ∙ m2. Vypočítej, jak dlouho by trvalo, neţ by celé toto záření zvýšilo teplotu zemské atmosféry o 1 °C. Řešení úloh: 1. Tlak vzduchu při zemském povrchu je zhruba 1 000 hPa = 105 N ∙ m-2. Z toho plyne, ţe tíha sloupce vzduchu, který je nad 1 m2 zemského povrchu, je přibliţně 105 N. Hmotnost tohoto sloupce 104 kg. Tíhová síla je zde vlastně tlakovou silou a platí: m ∙ g = p ∙ S, kde S je plocha zemského povrchu, coţ je 510 ∙ 106 km2. Z toho vztah:
91
p S 10 5 5 1014 kg 5 1018 kg. g 10 2. Na zvýšení teploty o 1 °C je třeba dodat 1 000 J na kaţdý kilogram. Bylo by tak m
třeba 5 ∙ 1021 J. 3. Záření dopadá na plochu o obsahu S = π ∙ r2 = 1,28 ∙ 1014 m2, celkový výkon 1,75 ∙ 1017 W. Doba, po kterou musí záření dopadat na povrch Země: přibliţně 28 560 s, tj. asi 8 h. protoţe současně Země záření vydává (dlouhodobě je příjem i výdej záření týţ), trvalo by to desítky let.
Děti kapitána Granta V kníţce Děti kapitána Granta, kterou asi před sto čtyřiceti lety napsal a vydal francouzský spisovatel Jules Verne, je nalezena zpráva v lahvi o ztroskotání lodi Britannia s kapitánem Grantem a jeho posádkou. V ní je udána zeměpisná šířka 37°11′ j. š., ale údaj o zeměpisné délce chybí. Proto se vydala záchranná výprava z Velké Británie nejprve do Chile, přešla přes Andy, argentinskou Patagonii a nalodila se zpět na doprovodnou loď Duncan. Záchranná výprava v podstatě znamenala cestu po 37. rovnoběţce. Zadání úloh:
Obr. č. 95: Originální obal knihy
1. S vyuţitím atlasu světa nebo satelitní mapy GoogleEarth popiš další trasu záchranné výpravy do doby, neţ dorazila na Nový Zéland. Zapiš souřadnice míst, kde vstoupila výprava na pevninu a po přechodu území se pak zase nalodila na loď Duncan. Urči vţdy úhlovou vzdálenost obou míst na povrchu Země. 2. Vypočítej délku rovnoběţky 37°11′. 3. Měřením na satelitní mapě zjisti, jak velkou část trasy musela expedice projít po pevnině a jaká část připadá na trasu po oceánech.
92
4. Vypočítej dobu trvání cesty kolem světa po uvedené rovnoběţce, jestliţe se po oceánech loď pohybovala střední rychlostí 20 uzlů a expedice po pevnině urazila vzhledem k obtíţnému terénu v horách průměrně jen 3 km/h. Řešení úloh: 1. Rovnoběţka 37°11′ vstupuje na jihoamerický kontinent v místě se zeměpisnou délkou 73°12′, opouští ho pak v místě se zeměpisnou délkou 56°53′ z. d. Rozdíl je 16°19′. Na australskou pevninu vstoupili cestovatelé v místě se zeměpisnou délkou 139°45′ v. d. a vystoupili z ní v místě se zeměpisnou délkou 150° v. d. Rozdíl je 10°45′. Na Novém Zélandě to pak jsou místa o souřadnicích
174°34′ v. d.
a 175°53′ v. d. Rozdíl je 1°19′. Celkem ušli po pevnině vzdálenost, které odpovídá středový úhel 28°23′. 2. Pro délku rovnoběţky platí: d 2 r 2 R cos 3711´ 31 892 km.
3. Po pevnině museli ujít 2 520 km, po moři pak překonali vzdálenost 29 370 km. 4. 1 uzel = 1 námořní míle/h.
Obr. č. 96
Doba pohybu po pevnině je 840 hodin, po moři 793 h. Cesta trvala celkem 1 633 h, tj. 68 dní. Ve skutečnosti to bylo ještě o den více, neboť musíme vzít v úvahu, ţe při cestě překročili datovou čáru.
Nedaleko severního pólu Představ si, ţe si se probudil nedaleko severního pólu na 15° v. d. a 89°55′ s. š. Je přesně 12:00 a sluníčko svítí přesně na jihu. Zadání úloh: 1. Vypočítej, jak daleko od severního pólu se nacházíš. 2. Vypočítej, jakou rychlostí se pohybuješ společně s povrchem Země. 3. Vypočítej, za jak dlouhou se vrátíš zpět do výchozího tábora, vydáš-li se na lyţích přesně východním směrem. 4. Vypočítej, za jak dlouho se vrátíš zpět do výchozího tábora, vydáš-li přesně na sever rychlostí 6 km/h a po dosaţení severního pólu se vrátíš zpět na jih. 93
5. Představ si, ţe se vydáš přesně severovýchodním směrem rychlostí 6 km/h. Po jaké trajektorii se budeš pohybovat a na jaké místo se po nějaké době dostaneš? Ve všech případech nakresli mapku severního pólu, jak by ji viděl pilot z vrtulníku z místa nad severním pólem. Zakresli do ní všechny tři trajektorie. Řešení úloh: 1. Délka poledníku je 40 030 km, na 1° připadá vzdálenost 111,2 km, na 1′ pak 1,853 km. Vzdálenost od severního pólu je 9,3 km. 2. Poloměr příslušné rovnoběţky je r = R ∙ cos 89°55′ = 58,2 km. Pro rychlost platí: v
2 r 58 200 0,67 m ∙ s-1. T 86 400
3. Délka rovnoběţky, po které se pohybujeme je d 2 r 2 R cos 8955´ 58,2 km. Tuto vzdálenost ujdeme za přibliţně 9 h 42 min. 4. 3 h 6 min. 5. Pohybovat se budeme po tzv. loxodromě. Je to křivka, která protíná poledníky pod stejným úhlem. Na obrázku jsou znázorněny trajektorie jednotlivých pohybů
Obr. č. 97
Polárníci driftují na osamělé kře Ustaraní polárníci sledují, jak pod nimi pomalu odtává driftující kra (driftování je pomalý posun kry účinkem proudění mořské vody). Pro zjednodušení úvah budeme
kru
povaţovat
za
hranol.
V určitém okamţiku má kra plošný obsah 30 m² a tloušťku 80 cm. Celková hmotnost tří polárníků i s vybavením je 1 200 kg, hustota ledu 900 kg/m³ a hustota mořské vody 1 020 kg/m³. Obr. č. 98
94
Zadání úloh: 1. Vypočítej, jak vysoko nad hladinou vody by dosahovala kra, kdyby byla prázdná, a jak vysoko, kdyţ na ní jsou rozmístěni polárníci i s vybavením. 2. Ověř výpočtem, zda by mohl na kře přistát záchranný vrtulník o hmotnosti 2 000 kg, aniţ by se kra celá ponořila. 3. Vlivem teplého vodního proudu kaţdý den odtaje ze dna kry 5 % objemu ledu. Vypočítej, jak dlouho vydrţí polárníci nad hladinou vody. Řešení úloh: 1. Objem kry je 24 m3. Gravitační síla působící na prázdnou kru je 216 kN, na kru s polárníky pak 228 kN. Prázdná kra bude ponořena tak, ţe ve vodě bude 72 cm, nad hladinou pak 8 cm. Kra s polárníky bude zanořená 76 cm, nad vodou budou 4 cm. 2. Při úplném ponoření ledu vznikne hydrostatická vztlaková síla 240 kN. Gravitační síla působící na kru, polárníky a vrtulník je 248 kN. Přistání tedy není moţné. 3. Vlivem odtávání se zmenšuje hmotnost kry a tím i gravitační síla. Zmenšuje se však i hydrostatická vztlaková síla. Celá kra je ponořena, kdyţ je hydrostatická vztlaková síla rovna gravitační síle, která působí na kru a polárníky. V tomto případě je objem kry 10 m3. Protoţe kaţdý den odtaje 1,2 m3, k potopení dojde za necelých 12 dní.
Mapa Turecka Zadání úloh: 1. S pomocí satelitní nebo tištěné mapy stanov zeměpisné souřadnice nejzápadnějšího, nejsevernějšího, nejvýchodnějšího a nejjiţnějšího místa Turecka. Na základě měření nebo výpočtu urči strany „obdélníka“, do nějţ by se Turecko vešlo. 2. Odhadni rozměry „obdélníka“, který by měl stejný plošný obsah jako Turecko. Vypočti obsah a svůj výsledek zkontroluj s hodnotou známou z tabulek či z internetu. 3. Urči vzdálenost letišť v blízkosti měst Istanbul a Antalya. Vypočítej, jak dlouho trvá let v případě, ţe střední rychlost letadla (včetně manévru při startu a přistání) je 700 km/h.
95
4. Zjisti měřením v mapě nejmenší šířku průlivu Bospor a průlivu Dardanely. Vypočítej, jak dlouho přibliţně trvá, neţ loď jedoucí rychlostí 25 uzlů propluje z Černého moře do moře Egejského. 5. V satelitní
mapě
najdi
místo
o souřadnicích
36°52,64′
severní
šířky
a 30°56,15′ východní délky.
Najdeš
tam
sportovní areál. Změř, jaké rozměry
má
fotbalové
hřiště.
Obr. č. 99
Řešení úloh: 1. Nejsevernější místo: 42°05′51,42″ s. š., 34°56′40,05″ v. d.; Nejvýchodnější místo: 39°37′45,89″ s. š.,
44°48′26,83″ v. d.;
Nejjiţnější
místo:
35°48′25,51″s. š.,
36°09′8,84″ v. d.; Nejzápadnější místo: 39°28′11,74″ s. š., 26°04′27,57″ v. d.; 2. Obdélník by mohl být vymezen rovnoběţkami 41°30′ na severu a 36°30′ na jihu. Na východě pak bude omezen poledníkem 44°, na západě 26° 30′. Ve skutečnosti bude výsledkem sférický lichoběţník, pro účely školské fyziky zjednodušíme na rovinný obrazec. Výška lichoběţníku je 556 km (odpovídá rozdílu zeměpisných šířek 5°). Dolní podstava je 1 565 km (určeno z rozdílu zeměpisných šířek 17°30′, délka příslušné rovnoběţky je 32 179 km). Délka horní podstavy je 1 456 km (určeno z rozdílu zeměpisných šířek 17°30′, délka rovnoběţky je 29 980 km). Obsah tohoto lichoběţníka je 839 838 km2. Rozloha Turecka (zdroj Wikipedie): 780 580 km2. 3. Vzdálenost letišť je 485 km. Doba letu přibliţně 42 min. 4. Nejmenší šířka Bosporu je 700 m, průlivu Dardanely 1 200 m. Rychlosti 25 uzlů odpovídá přibliţně 46 km/h, z Černého do Egejského moře musejí lodě urazit vzdálenost asi 300 km, doba plavby je přibliţně 6,5 hod. 5. Rozměry hřiště: 67,1 m a 105 m.
96
Atmosférický tlak Kdyţ horolezci stoupají do hor, mění se jimi měřený tlak vzduchu s rostoucí výškou h podle vzorce: p p0 e 0,000127h , kde p0 = 101,3 kPa je tlak atmosférický v nulové nadmořské výšce.
Zadání úloh: 1. Tvrdí se, ţe ve výšce 5 500 m je atmosférický tlak poloviční neţ v nadmořské výšce nulové. Ověř toto tvrzení výpočtem. 2. Vypočítej, jaký je atmosférický tlak za oknem letadla Jumbo Jet, které letí ve výšce 11,0 km. 3. Napiš svůj odhad, jaký je atmosférický tlak na sedmitisícovce. 4. Načrtni změny tlaku p (h) do grafu pro výšky od 0 m do 20 km. Ověř svůj odhad v 3). Řešení úloh: 1. V této nadmořské výšce je tlak 50,4 kPa. 2. Za oknem letadla je tlak 25,1 kPa. 3. a 4. Viz graf.
Obr. č. 100
97
Práce s fotomapou Najdi
si
server
www.mapy.cz a urči místo, jeţ je dáno souřadnicemi 50°04′47,291″s. š. a 14°25′47,017″ v. d. Obr. č. 101
Zadání úloh: 1. Vypočítej délku poledníků, a urči, jaká délka odpovídá 1°, 1′, 1″ a 1/100″ ve směru severojiţním. 2. Označ dva různé body na satelitní mapě, tak aby leţely na stejném poledníku. Z rozdílu zeměpisných délek urči délku poledníku a porovnej ji s hodnotou vypočtenou v úloze 1. 3. Označ dva body leţící na stejné rovnoběţce, zjisti měřením na satelitní mapě jejich vzdálenost. Z rozdílu zeměpisných šířek urči délku rovnoběţky. 4. Vypočítej, jaká vzdálenost na rovnoběţce 50° 04,8′ odpovídá 1°, 1′,1″ a 1/100″. Řešení úloh: 1. Délka poledníku je 20 012 km. 1° odpovídá délka 111,2 km, 1′ pak 1,853 km, 1″ odpovídá vzdálenost asi 30,9 m, jedné setině úhlové vteřiny pak přibliţně 0,31 m. 2. Změříme na satelitní mapě vzdálenost dvou libovolných bodů, z rozdílu jejich zeměpisných šířek určíme délku poledníku. Např. body se zeměpisnými šířkami 50°04′46,54″ s. š., 50°05′38,34″ s. š., naměřená vzdálenost obou míst 1 601,3 m. Délka poledníku tedy je 40 086 km. 3. Např. dvě místa leţící na 50°04′47,21″
mají zeměpisné délky 14°25′47″ v. d.
a 14°25′58″ v. d., naměřená vzdálenost 213,3 m. Délka rovnoběţky je 25 131 km. 4. Délka rovnoběţky 50°04,8′ je 25 687 km. Na 1° připadá vzdálenost 71,35 km, na 1′ asi 1 190 m, na 1″ pak 19,8 m. Jedné setině úhlové vteřiny odpovídá vzdálenost přibliţně 0,2 m.
98
Kolumbova první výprava Kryštof Kolumbus se na svoji první výpravu vydal 3. srpna 1492 ze španělského přístavu Palos de la Frontera. Směřoval
nejprve
ke
Kanárským ostrovům, odkud plul
přibliţně
západním
směrem aţ k bahamskému souostroví.
Tam
doplul
v pátek 12. října 1492 ve 2 hodiny ráno. Trasa výpravy je na mapce. Obr. č. 102
Zadání úloh: 1. Měřením v satelitní mapě GoogleEarth zjisti přibliţnou délku trasy, kterou musely lodě urazit, neţ byla objevena Amerika, tj. souostroví Bahamy. 2. Urči, jak dlouho trvala cesta a kolik km průměrně lodě denně urazily. 3. Vypočítej průměrnou rychlost lodí v uzlech. Řešení úloh: 1. Délka trasy z přístavu Palos de la Frontera na Kanárské ostrovy je 1 370 km, odtud na Bahamy pak 5 730 km. 2. Cesta trvala 69 dní. Denně lodě urazily asi 103 km. 3. 1 uzel = 1,853 km/h (jedna námořní míle za hodinu). Průměrná rychlost 4,3 km/h, tj. 2,3 uzlu.
Elektrárna na vodopádech Lidstvo má neustále nedostatek energetických zdrojů. Staví umělé a drahé hráze na řekách, aby vyuţilo proudící vody. Přitom na řece Kongo jsou Livingstonovy vodopády, kterými protéká po celý rok průměrně 35 110 m3/s vody a voda padá do hloubky 40 m.
99
Zadání úloh: 1. Vypočítej výkon turbogenerátoru, je-li moţné vyuţít výkon vody z 10 %. 2. Vypočítej práci, kterou by bylo moţno vyuţít během jednoho dne. 3. Vypočítej, kolik uhlí by se mohlo denně ušetřit ve stejně výkonné tepelné elektrárně. Výhřevnost uhlí je 12 MJ/kg, účinnost elektrárny uvaţuj 36 %. Řešení úloh: mgh Qm g h QV g h = 1,4 ∙ 1010 W. Při t
1. Příkon elektrárny je: P1
účinnosti 10 % získáme výkon 1,4 GW. 2. Práce W = P ∙ t = 1,21 ∙ 1014 J. 3. Přibliţně 28 000 tun uhlí.
Důl Mirnyj na Sibiři
Největší povrchový důl na těţbu diamantů na světě je důl Mirnyj, který se nachází ve východní Sibiři v Rusku. Je hluboký 525 metrů, má tvar komolého kuţele. Jeho průměr u povrchu je 1 200 metrů, dolní průměr se udává mezi 160310 metry. Uvaţujme tedy průměr 235 m.
Obr. č. 103
Zadání úlohy: Vypočítej, kolik km3 zeminy muselo být odvezeno během těţby. Řešení úlohy: Pouţijeme vzorec pro výpočet komolého kuţele:
1 V r12 r1 r2 r22 v . Po dosazení získáme výsledek 0,98 km3. 3
100
Rychlovlak v Číně V roce 2011 začal v Číně jezdit nový moderní rychlovlak, spojující hlavní
město
Peking
s dalším
velkoměstem Šanghaj. Trasa měří 1 318 km a vlak ji urazí za 4 h 48 min. Zadání úloh: 1. Vypočítej, jakou průměrnou rychlostí jezdí vlaky na této trati.
Obr. č. 104
2. Rychlovlaky dosáhly na zkušební trati rychlost aţ 486 km/h. Vypočítej, za jak dlouho by touto rychlostí urazily příslušnou vzdálenost mezi Pekingem a Šanghají. 3. Vypočítej, za jak dlouho by rychlovlak urazil vzdálenost mezi Hradcem Králové a Prahou, kdyby se pohyboval nejprve průměrnou rychlostí, poté maximální rychlostí. 4. Japonský rychlovlak Šinkanzen urazí trasu Tokio-Osaka, tj. vzdálenost 515 km za 2 hodiny 30 minut. Vypočítej, jaké průměrné rychlosti tento vlak dosahuje. Je tato rychlost vyšší neţ průměrná rychlost čínského rychlovlaku? Řešení úloh: 1. Průměrná rychlost je 275 km/h. 2. Doba jízdy by při maximální dosaţené rychlosti byla 2 h 42 min. 3. Průměrnou rychlostí by tuto vzdálenost vlak ujel za 25 min, maximální moţnou pak za necelých 15 min. 4. Průměrná rychlost Šinkanzenu je 206 km/h.
Elektrárna v Bratsku Největší sladkovodní jezero Bajkal má rozlohu 31 500 km2, hloubka dosahuje 1 620 m a obsahuje 23 000 km3 sladké vody. Napájí ho 336 řek, vytéká jen jedna řeka
101
Angara. Na této řece byla vybudována velká vodní elektrárna s instalovaným výkonem 4 500 MW. Voda roztáčí turbíny v hloubce asi 100 m pod hladinou přehradní hráze. Zadání úloh: 1. Vypočítej, jaký musí být sekundový průtok vody turbínami, je-li účinnost 98 %. V elektrárně je nainstalováno 20 turbogenerátorů. 2. Vypočítej, jaká je roční výroba Bratské elektrárny v kWh, jestliţe kvůli údrţbě, opravám nebo změnám průtoku vody, pracuje
v tomto
reţimu
průběţně
jen
polovina turbogenerátorů. 3. Najdi na internetu údaje o výkonu vodních elektráren v České republice. Napiš, zda by
Obr. č. 105
Bajkalská elektrárna nahradit jejich výkon? Řešení úloh: 1. Pouţijeme vztah
P1
mgh Qm g h QV g h . Je-li účinnost 98 %, pak t
musí být příkon 4 540 MW. Dosazením do vztahu získáme průtok vody elektrárnou 4 540 m3/s, jedním turbogenerátorem pak proteče 227 m3/s vody. 2. Přibliţně 20 000 kWh. 3. Vodní elektrárny v České republice mají instalovaný výkon celkem 2 504 MW. Bajkalská elektrárna by je tedy mohla nahradit.
Šerpové v Nepálu Šerpové v Nepálu jsou najímáni, aby pomohli horolezcům přenášet těţké náklady při jejich vysokohorských expedicích. Šerpa má hmotnost 85 kg a unese náklad 75 kg. Stoupá do prudkého kopce a zdolá během dvou hodin výškový rozdíl 860 m. Zadání úloh: 1. Vypočítej, jak velkou práci vykoná nosič při vynesení nákladu. 2. Vypočítej, jak velkou práci vykoná nosič celkem.
102
3. Vypočítej průměrný výkon nosiče při stoupání. 4. Urči, jaký je podíl uţitečné a celkové práce nosiče a poměr uţitečného a celkového výkonu. Za uţitečnou práci povaţujeme
práci
spojenou
pouze
s nákladem, celková práce je včetně vynesení těla nosiče.
Obr. č. 106
Řešení úloh: 1. Práce potřebná k vynesení nákladu je 645 kJ. 2. Celková práce je 1 380 kJ. 3. Výkon nosiče při stoupání P = W/t = 190 W. 4. Účinnost je 47,5 %.
Vzletová rychlost letadla Letečtí experti stanovili rychlost, nutnou pro start velkého dopravního letadla, na hodnotu 270 aţ 324 km/h, a to v závislosti na směru a rychlosti větru i na hmotnosti letadla. Při rozjezdu po startovací dráze se zvyšuje rychlost letadla z klidu rovnoměrně tak, ţe kaţdých 5,0 s vzroste o 10,0 m/s. Obr. č. 107
Zadání úloh: 1. Napiš, jak dlouho se letadlo rozjíţdí po startovací ráze, neţ se „odlepí“ od země. 2. Sestroj graf závislosti rychlosti na čase. Vyjádři tak, jak se mění rychlost od zahájení pohybu letadla aţ po jeho „odlepení“ od startovací dráhy. 3. S pomocí grafu urči, jakou nejmenší dráhu potřebuje letadlo ke startu.
103
4. Porovnej získaný údaj se startovacími drahami na vybraných letištích: Denpasar (Bali), Kathmandu (Nepál), Sao Paulo, Pardubice, Singapur-Changi. K řešení vyuţij satelitní mapu GoogleEarth. Řešení úloh: Závislost rychlosti na čase při rozjíždění
1. Doba rozjezdu je v rozmezí od 37,5 s do 45 s.
100
v(m/s)
2. Graf je sestrojen pro minimální startovní rychlost 270 km/h.
50 0 0
3. Pouţijeme vztah s = ´v ∙ t, pak
10
20
30
40
t (s)
přibliţně 1 400 m. 4. Měřením v satelitní mapě získáme délky
Obr. č. 108
jednotlivých startovacích drah a porovnáme s vypočtenou hodnotou.
Ledovce v Arktidě
Dlouhodobá
měření
glaciologů
dospívají k závěrům, ţe v posledních letech neustále
ubývá
led
v Arktidě,
v okolí
severního zeměpisného pólu. V zimě bývá rozloha ledu v Arktidě asi 12 milionů km2 a průměrná tloušťka ledu asi 5 metrů, v létě je rozloha ledové pokrývky asi 9 milionů km2 a průměrná tloušťka ledu jen asi 3 metry. Rozloha ledu v létě se však postupně zmenšuje. Hustota ledu je 920 km/m3, hustota mořské vody 1 020 kg/m3. Obr. č. 109: Míra zalednění v červenci a září roku 2009.
104
Zadání úloh: 1. Vypočítej, jaký je objem ledu v Arktidě v zimě a v létě. 2. Vypočítej, jaký objem vody vznikne při tání během jarního období. 3. Jestliţe k roztátí 1 kg ledu je zapotřebí dodat teplo 330 kJ, urči, kolik tepla potřebuje ledová vrstva k roztátí během jarního období. Řešení úloh: 1. Objem ledu v zimě 6 ∙ 1013 m3, v létě pak 2,7 ∙ 1013 m3. 2. Během tání roztaje 3,3 ∙ 1013 m3, tj. led o hmotnosti 3,03 ∙ 1016 kg ledu. Roztátím vznikne voda o objemu V = 2,9 ∙ 1013 m3. 3. Během letního tání je třeba dodat teplo 9 ∙ 107 GJ.
Pohyb těles kolem Země Dlouhou dobu se kolem Země pohybovalo jediné těleso – Měsíc. Od doby, co se na oběţnou trajektorii kolem Země dostala 4. října 1957 první umělá druţice Sputnik 1 (na obrázku), se počítají tato tělesa na stovky a tisíce. Zadání úloh:
Obr. č. 110
1. Urči oběţnou rychlost Měsíce kolem Země. Poloměr oběţné trajektorie Měsíce, kterou budeme povaţovat pro zjednodušení ve tvaru kruţnice, je 384 400 km, doba oběhu je 27,32 dne. 2. Pro telekomunikační účely jsou velmi důleţité tzv. stacionární druţice, které mají dobu oběhu stejnou, jako je doba rotace Země, tj. 23 h 56 min 4 s. Poloměr oběţné trajektorie stacionární druţice je 42 164 km. Vypočítej oběţnou rychlost stacionární druţice kolem Země. 3. Napiš, jak vysoko je stacionární druţice nad povrchem Země. Kde je nutné ji umístit, aby byla skutečně stacionární? Vysvětli.
105
4. Pohyb těles po trajektoriích tvaru kruţnice v gravitačním poli Země je moţno dobře popsat Keplerovými zákony. Ověř výpočtem, zda pro pohyb Měsíce a stacionární druţice platí třetí Keplerův zákon. Řešení úloh: 1. Oběţná rychlost Měsíce je: v
2 r 2 415 256 1,023 km.s-1. T 2 360 448
2. Oběţná rychlost stacionární druţice: v
2 r 264 924 3,07 m.s-1. T 86 164
3. Je-li poloměr oběţné trajektorie 42 164 km, pak je třeba odčíst poloměr Země. Vzdálenost povrchu Země na úrovni mořské hladiny od středu Země je na rovníku 6378,1 km, na pólu je to 6 356,8 km. Tyto hodnoty odečteme od poloměru oběţné dráhy. 4. Třetí Keplerův zákon platí.
Stožárová anténa vysílače
V satelitní mapě GoogleEarth lze nalézt
Golfový klub
Poděbrady.
Při
pozorném prostudování mapy zjistíš, ţe v jeho okolí jsou dva stoţáry antény vysílače o výšce 150 m. Zeměpisná šířka polohy stoţárů je asi
50°08′19,73″ s. š.,
zeměpisná délka 15°8′39,55″ v. d. Najdi si polohu těchto stoţárů.
Obr. č. 111
Zadání úloh: 1. Vypočítej, jaký nejkratší můţe být stín stoţáru ve dnech, kdy nastává rovnodennost? 2. Vypočítej, jaký vůbec můţe být nejkratší stín tohoto stoţáru.
106
3. Napiš, jak bychom mohli určit výšku stoţáru, máme-li k dispozici tyč o délce přesně 4,00 m? 4. Měřením v satelitní mapě zjisti vzájemnou vzdálenost obou stoţárů. Změř délku stínu stoţáru a vypočítej tak úhlovou výšku Slunce nad obzorem v okamţiku vzniku snímku. Řešení úloh: 4. Úhlová výška Slunce ve dnech rovnodennosti je 90 , kde je zeměpisná šířka. V tomto případě 50°12′. Potom: x
150 180 m. tg 3948´
5. Nejkratší stín bude v době letního slunovratu, kdy je Slunce nejvýše na obloze. Pro úhlovou výšku platí = 90° - 50°12′ + 23,5° = 63°18′. Pak x
150 75,4 m. tg 6318´
6. Změříme-li délku stínu tyče a stoţáru, pak pouţitím trojčlenky (či podobnosti) lze určit výšku stoţáru. 7. Vzdálenost stoţárů je 250 m, délka stínu 247 m. Platí: tg
150 ; 31,3. 247
Odpolední rychlíky Na trati Praha-Bohumín jezdí v podvečer několik vlaků. V tabulce jsou vybrány čtyři z nich. Jsou zde uvedeny údaje z jízdních řádů, tj. vzdálenosti a časy průjezdů některými stanicemi. Časy příjezdu a odjezdu vlaku jsou pro zjednodušení sloučeny a uvedeny jen jako střední okamţik setrvání vlaku ve stanici, neboť doby zastávek jsou velmi krátké oproti době jízdy vlaků. Skutečný nerovnoměrný pohyb je nahrazen pohybem rovnoměrným s průměrnou rychlostí.
107
Ostravan Manažer km Stanice EC 106 Praha R 602 15:05 16:05 0 Praha hl. n. 20:55 23:13 15:47 | 62 Kolín 20:09 22:27 16:20 | 104 Pardubice 19:36 21:50 17:02 | 164 Česká Třebová 18:56 21:00 18:16 | 252 Olomouc hl. n. 17:44 19:43 18:48 | 303 Hranice na Moravě 17:10 19:10 19:04 | 324 Suchdol | | 19:17 | 336 Studénka | | 19:40 20:05 350 Ostrava hl. n. 16:18 18:19 19:50 20:14 360 Bohumín 16:08 18:08 Zadání úloh: 1. Sestroj grafický jízdní řád pro všechny vlaky. 2. Trasu vlaků rozděl na tři úseky: Praha – Pardubice, Pardubice – Olomouc, Olomouc – Ostrava. Vypočítej, ve kterém z těchto úseků jedou vlaky největší průměrnou rychlostí. 3. Odhadni, v kterém místě trasy se vlak Manaţer křiţuje s vlaky protijedoucími. Předpokládej, ţe se pohybuje přibliţně stálou rychlostí. 4. Vlak Ostravan přijel kvůli stavebním pracím na trati do Pardubic se zpoţděním 20 min. Vypočítej, jakou průměrnou rychlostí musel jet v úseku Pardubice – Hranice na Moravě, kdyţ do této stanice přijel včas podle jízdního řádu? Řešení úloh: 1. Grafické řešení:
Obr. č. 112
108
2. Největší průměrnou rychlostí se pohybují vlaky v úseku Praha – Pardubice. Průměrná rychlost vlaku Ostravan je 83,2 km/h, vlaku EC 106 přibliţně 79 km/h a u vlaku R 602 je průměrná rychlost v tomto úseku 75,2 km/h. Vlak Manaţer se celou trasu pohybuje rychlostí 87,5 km/h. 3. Vlak Manaţer se křiţuje s protijedoucím EC 106 mezi stanicemi Olomouc a Moravská Třebová, s vlakem R 602 pak mezi Olomoucí a Hranicemi na Moravě. 4. Doba jízdy je 128 min, délka trasy 199 km, z toho průměrná rychlost 93,3 km/h.
Planety sluneční soustavy V následující tabulce jsou uvedeny základní (značně zaokrouhlené) údaje o vnitřních planetách naší sluneční soustavy. Údaj: Střední vzdálenost od Slunce (uvedeno v tis. km) Doba oběhu kolem Slunce (roky) Poloměr planety (km) Hmotnost planety (v 1024 kg)
Merkur Venuše Země
Mars
57 910 108 200 149 600 227 900 0,241 2 440 0,330
0,615 6 050 4,87
1,000 6 370 5,98
1,881 3 400 0,642
Zadání úloh: 1. Vypočítej průměrnou rychlost pohybu planet po oběţné dráze (v km/s). 2. Vypočítej objem planet a jejich střední hustotu. 3. Nakresli do jednoho obrázku části oběţných drah vnitřních planet (zvol vzdálenost Země od Slunce 7,5 cm). Předpokládej pohyb planet po kruţnicích. 4. Seřaď planety podle: vzdálenosti od Slunce, doby oběhu, rychlosti při obíhání kolem Slunce, hmotnosti, objemu, hustoty, a to vţdy od nejmenšího údaje po největší. Řešení úloh: 1. Průměrné rychlosti: Merkur – 47,84 km ∙ s-1; Venuše – 35,03 km ∙ s-1; Země – 29,79 km ∙ s-1; Mars 24,1 km ∙ s-1. 2. Merkur: objem 6,08 ∙ 1019 m3; hustota 5 428 kg/m3.
109
Venuše: objem 92,8 ∙ 1020 m3; hustota 5 248 kg/m3. Země: objem 1,08 ∙ 1021 m3; hustota 5 537 kg/m3. Mars: objem 1,65 ∙ 1020 m3; hustota 3 891 kg/m3. 3. Výsledkem jsou soustředné kruţnice. Poloměry jsou 2,9 cm; 5,4 cm; 7,5 cm a 11,4 cm. 4. Seřazení podle vzdálenosti od Slunce: Merkur, Venuše, Země, Mars. Seřazení podle doby oběhu: Merkur, Venuše, Země, Mars. Seřazení podle rychlosti: Mars, Země, Venuše, Merkur. Seřazení podle objemu: Merkur, Mars, Venuše, Země. Seřazení podle hmotnosti: Merkur, Mars, Venuše, Země. Seřazení podle hustoty: Mars, Venuše, Merkur, Země.
Saturnův měsíc Titan Sonda Cassini, vypuštěná v r. 1997 směrem k Saturnu, zkoumá hlavně Saturnův měsíc Titan. Ten krouţí kolem planety ve střední vzdálenosti 1 222 000 km od středu planety s dobou oběhu i dobou rotace 15,95 d. Průměr Titanu je 5 150 km, jeho střední hustota 1 880 kg/m³. Zadání úloh: 1. Najdi v tabulkách nebo na internetu další údaje o tomto měsíci. 2. Vypočítej dráhovou rychlost a hmotnost Titanu. 3. Porovnej navzájem parametry zemského souputníka Měsíce a Saturnova měsíce Titan. Pouţij tabulky nebo údaje z internetu.
Obr. č. 113
110
Řešení úloh: 1. Další údaje lze nalézt např. na stránkách http://planety.astro.cz/saturn/mesice.titan.html 2. Dráhová rychlost je 5,6 km ∙ s-1. Vypočtená hmotnost je 1,35 ∙ 1023 kg. 3. Základní údaje o Měsíci: hmotnost 7,35 ∙ 1022 kg; poloměr 1,74 ∙ 106 m; oběţná doba 27,32 dne; střední vzdálenost od Země 384 400 km; hustota 3 341 kg/m3.
Trpasličí planety Na praţském mezinárodním symposiu astronomů bylo dohodnuto, ţe Pluto a některá další tělesa sluneční soustavy se dostanou do kategorie Trpasličí planety (Dwarf planets). Mohla by mezi ně patřit např. (je zde uvedeno jméno, vzdálenost tělesa od Slunce v aféliu a perihéliu): Quaoar (44,896 AU, 41,914 AU), Varuna (45,335 AU, 40,915 AU), Sedna (975,056 AU, 76,156 AU), Orcus (48,31 AU, 30,53 AU), Ceres (2,987 AU, 2,544 AU), Eris (94,56 AU, 37,77 AU), Pluto (49,305 AU, 29,658 AU). Zadání úloh: 1. Pro kaţdé těleso urči jeho střední vzdálenost od Slunce. 2. Vypočítej, jak dlouho sluneční světlo letí ze Slunce na tato tělesa. 3. Pro Zemi střední vzdálenost rZ = 1,000 AU, doba oběhu TZ = 1,000 rok. Urči dobu oběhu těchto těles kolem Slunce, platí-li 3. Keplerův zákon. Řešení úloh: 1. Střední vzdálenost od Slunce: Quavar 43,41 AU; Varuna 43,13 AU; Sedna 525,61 AU; Orcus 39,42 AU; Ceres 2,77 AU; Eris 66,17 AU; Pluto 39,48 AU. 2. Quavar 6,02 h; Varuna 5,97 h; Sedna 73 h; Orcus 5,46 h; Ceres 0,38 h; Eris 9,17 h; Pluto 5,47 h. 3. Doba oběhu kolem Slunce: Quavar 286 let; Varuna 283 let; Sedna 12 050 let; Orcus 247,5 let; Ceres 4,6 let; Eris 539 let; Pluto 248 let.
111
Sibiřské jezero Bajkal Sibiřské jezero Bajkal je největší zásobárnou pitné vody na světě – obsahuje 23 000 km³ sladké vody, tolik, co všechna Velká kanadská jezera dohromady. Je také nejhlubším
jezerem –
1637 m,
jeho
rozloha je 31 500 km² a průměrná hloubka 730 m. Představ si, ţe některý z rybářů se rozhodne osolit vodu v tomto jezeře, rozsype po hladině 1 kg kuchyňské soli a poţádá jezerní královnu o dokonalé rozptýlení soli po celém jezeře.
Obr. č. 114
Zadání úlohy: Zjisti, zda v libovolně vybraném vzorku vody o objemu jen 1 cm³ najdeš aspoň jeden iont Na+. Je nám známo, ţe 1 mol NaCl má hmotnost 0,0 585 kg a obsahuje 6 · 10²³ molekul kuchyňské soli, tj. po rozpuštění ve vodě stejný počet dvojic iontů Na+ a Cl−. Řešení úlohy: Hmotnost jednoho molu je 58,5 g. Jeden gram je tedy 0,0 171 mol, tj. 1,0 256 ∙ 1022 částic. Objem vody v jezeře je 23 ∙ 1015 cm3. V 1 cm3 nalezneme přibliţně 446 000 částic.
112
CITOVANÁ LITERATURA: [1]
SMETANA F. J., Počátkové silozpytu čili fysiky pro gymnasia a reálky, Praha: Nákladem knihkupectví J.G.Calve, 1852
[2]
Severní polární kruh. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2012-05-03]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Severn%C3%AD_pol%C3%A1rn%C3%AD_kruh
[3]
HORÁK Z., Krupka F., Fyzika 1. díl, Praha: SNTL, 1976.
[4]
LUHR. J. F., Země, Praha: Euromedia Group k. s., 2004, ISBN 80-242-1225-0
[5]
CHAPS spol. s r. o. www.idos.cz. [online]. 2011 [cit. 2011-11-21]. Dostupné z:
[6]
Emil Březina. Tunguzská katastrofa – fakta. In: www.hvezdarna-vsetin.cz. [online]. 2008 [cit. 2011-11-21]. Dostupné z: http://www.hvezdarnavsetin.cz/view.php?cisloclanku=2008060001
[7]
Drobný Lučenský M., Laco Kulnaga rekordný nosič. In: www.mesto.sk. [online]. 2002 [cit. 2011-11-23]. Dostupné z http://mesto.sk/prispevky_velke/vysoke_tatry/lacokulangarekordn1013979209.p html
113
SEZNAM OBRÁZKŮ: Obr. č. 1: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Portrait_of_Eratosthenes.png Obr. č. 2: Obr. č. 3: www.googleearth.com Obr. č. 4: www.panoramio.com Obr. č. 5: www.googleearth.com Obr. č. 6: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:JakubKr%C4%8D%C3%ADn.jpg Obr. č. 7: autorka Obr. č. 8: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Northern_lights_at_the_Arctic_Circle.jpg Obr. č. 9: autorka Obr. č. 10: autorka Obr. č. 11: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Henry_cavendish.JPG Obr. č. 12: www.googleearth.com Obr. č. 13: www.zbynekmlcoch.cz Obr. č. 14: autorka Obr. č. 15: www.stranypotapecske.cz Obr. č. 16: autorka Obr. č. 17: www.cs.wikipedia.org Obr. č. 18: http://www.slunecnihodiny.eu/Siyul-Kebira/index.html Obr. č. 19: Zdroj: www.wikipedie.cz Obr. č. 20: autorka Obr. č. 21: autorka Obr. č. 22: www.wikipedie.cz Obr. č. 23: www.idnes.cz Obr. č. 24: www.googleearth.com Obr. č. 25: Bernard Kay, Dobrodruţné plavby, str. 120 Obr. č. 26: Zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/Tide Obr. č. 27: autorka Obr. č. 28: http://www.vesmirni-lide.cz/obr_noviny/nov_cl1310.htm Obr. č. 29: Zdroj: http://en.wikipedia.org Obr. č. 30: autorka Obr. č. 31: autorka Obr. č. 32: autorka Obr. č. 33: http://fr.wikipedia.org/wiki/Antarctique Obr. č. 34: Zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/Pytheas Obr. č. 35: http://cs.wikipedia.org/wiki/Regiojet Obr. č. 36: autorka Obr. č. 37: http://fr.wikipedia.org/wiki/Usine_mar%C3%A9motrice_de_la_Rance Obr. č. 38: http://cs.allmetsat.com/druzice-meteosat.php Obr. č. 39: autorka
114
Obr. č. 40: www.googleearth.com Obr. č. 41: www.wikipedie.cz Obr. č. 42: autorka Obr. č. 43: www.novinky.cz Obr. č. 44: www.cestovani.idnes.cz Obr. č. 45: http://astro.sci.muni.cz/zatmeni/slunce.php Obr. č. 46: www.googleearth.com Obr. č. 47: autorka Obr. č. 48: autorka Obr. č. 49: www.mapy.cz Obr. č. 50: www.obrazky.cz Obr. č. 51: autorka Obr. č. 52: foto autorka Obr. č. 53: foto autorka Obr. č. 54: www.treking.cz Obr. č. 55: autorka Obr. č. 56:autorka Obr. č. 57: www.zbozi.cz Obr. č. 58: www.mapy.cz Obr. č. 59: www.novinky.cz Obr. č. 60: autorka Obr. č. 61: www.wikipedie.cz Obr. č. 62: www.wikipedie.cz Obr. č. 63: http://rednews.nova.cz Obr. č. 64: www.novinky.cz Obr. č. 65: www.lidovky.cz Obr. č. 66: autorka Obr. č. 67: www.en.wikipedia.org Obr. č. 68: autorka Obr. č. 69: autorka Obr. č. 70: autorka Obr. č. 71: www.wikipedie.cz Obr. č. 72: www.volvooceanrace.com Obr. č. 73: www.en.wikipedia.org Obr. č. 74: www.mapy.cz Obr. č. 75: autorka Obr. č. 76: autorka Obr. č. 77: www.articwandering.com 0br. č. 78: www.astronom.cz Obr. č. 79: autorka
115
Obr. č. 80: autorka Obr. č. 81: www.en.wikipedia.org Obr. č. 82: www.googleearth.com Obr. č. 83: autorka Obr. č. 84: www.en.wikipedia.org Obr. č. 85: http://www.turistika.cz/fotogalerie/1783/rozmberk-rybnik Obr. č. 86: : http://en.wikipedia.org/wiki/London_Eye Obr. č. 87: autorka Obr. č. 88: http://cs.worldpoi.info/poi/2651/ Obr. č. 89: http://www.rcteam.cz/archiv/fosset.php Obr. č. 90: autorka Obr. č. 91: www.pixmac.cz Obr. č. 92: autorka Obr. č. 93: autorka Obr. č. 94: www.googleearth.com Obr. č. 95: www.wikipedie.cz Obr. č. 96: autorka Obr. č. 97: autorka Obr. č. 98: www.tyden.cz Obr. č. 99: http://turecko.travelon.cz/mapa-destinace/ Obr. č. 100: www.fyzweb.cz Obr. č. 101: www.mapy.cz Obr. č. 102: http://es.wikipedia.org/wiki/Crist%C3%B3bal_Col%C3%B3n Obr. č. 103: http://ludvik.kx.cz/foto/diamanty/index.htm Obr. č. 104: www.rozhlas.cz Obr. č. 105: http://cs.wikipedia.org/wiki/Bratsk Obr. č. 106: http://ostrava-educanet.cz/svoboda/vyuka/sexta/jizni_asie_nepal.htm Obr. č. 107: http://ceska-republika.tripzone.cz/praha Obr. č. 108: autorka Obr. č. 109: www.aktualne.cz Obr. č. 110: http://mek.kosmo.cz/druzice/rusko/sputnik/sputnik1.htm Obr. č. 111: www.googleearth.com Obr. č. 112: www.fyzikalniolympiada.cz Obr. č. 113: http://en.wikipedia.org/wiki/Titan_(moon) Obr. č. 114: http://cs.wikipedia.org/wiki/Bajkal
116
