Pest Megyei Matematika Verseny DÖNTŐ 9. évfolyam

Pest Megyei Matematika Verseny 2015. DÖNTŐ 9. évfolyam I.

Nézd meg, hogy az évfolyamodnak megfelelő feladatsort kaptál-e? A feladatok megoldására fordítható idő 100 perc. A kidolgozás során önállóan kell dolgoznod! Segédletként csak zsebszámológépet, szerkesztési eszközöket (körző, vonalzók), négyjegyű függvénytáblázatot használhatsz! Tehát mobiltelefont sem! A piszkozatokat és a feladatsort tartalmazó lapokat nem kell leadnod, csak az eredménylapot. Az 1.–4. feladatoknál csak az általad helyesnek gondolt végeredményt kell beírnod az adott feladat sorszámát tartalmazó rubrikába. Minden jó megoldás 5 pontot ér, a hibás válasz nulla pont. 1. Áginak 45000 Ft megtakarított pénze van, ez Pisti pénzének 18%-a. Mindketten minden hónapban 5000 Ft zsebpénzt kapnak szüleiktől, amiből semmit nem költenek. Hány hónap múlva lesz Áginak feleannyi pénze, mint Pistinek? 2. Egy 100 méter hosszú vonat egy 200 méter hosszú hídon negyed perc alatt halad át. Hány km/óra a vonat sebessége? 3. Egy sorozat első eleme 1. Minden további elemét úgy kapjuk, hogy az előzőhöz egyet 1 adunk, majd a kapott szám reciprok értékét vesszük. Így a második elem 2 lesz. Tudjuk, hogy a sorozatban valahányadik elemként szerepel a közvetlenül megelőző eleme?

233

. Melyik szám a sorozat ezt

377

4. Egy téglatest alakú, felül nyitott akvárium alapterülete 30 cm x 50 cm, magassága 24 cm. A víz kezdetben 20 cm magasan áll benne. Az akvárium asztalon fekvő egyik 50 cm-es élét olyan magasra emeljük, hogy a megemelt él éppen a víz szintjével azonos magasságba kerüljön, majd ebben a helyzetben alátámasztjuk az ábra szerint. Eközben az alaplap másik 50 cm-es éle az asztalon marad. Hány liter víz folyik ki az akváriumból? II.

Az 5.–8. feladatoknál csak az általad helyesnek gondolt válasz betűjelét kell beírnod a megfelelő rubrikába. Minden jó megoldás 5 pontot ér. 5. Mivel egyenlő az (A) –2y(x + y)

x3 −y3 x−y

− (x + y)2 kifejezés?

(B) 2xy

(C) 3xy

(D) y(2y + 3x)

(E) Más érték.

A feladatsort összeállította: Dr. Mindáné Kolostori Nóra

6. Az 1, 3, 4, 6, 7, 9 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával hatjegyű számokat képeztünk, melyeket csökkenő sorrendben írunk fel. Melyik hatjegyű szám áll a 60. helyen? (A) 164379

(B) 196473

(C) 613794

(D) 946137

(E) 947136.

7. Faliórát készítünk virágdíszítéssel, ahol a 3, 6, 9 és 12 számok helyén, és csak ott, hétféle különböző virágmintából választhatunk úgy, hogy minden órát négyféle különböző virágminta díszit. Hányféle ilyen órát lehet készíteni? (Két órát különbözőnek tekintünk, ha legalább egy virágminta helyében különböznek.) (A) 210

(B) 420

(C) 840

(D) 1680

(E) 3360.

8. Hány x, y egész számpár megoldása van az x2 – y2 = 21 egyenletnek? (A) 2 III.

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 10.

A 9.–10. feladatokra részletesen kidolgozott, indoklásokkal ellátott megoldást kell adnod. A kidolgozottságtól függően itt 0–10 pontot szerezhetsz. 9. A kilencedikes Judit egy internetes közösségi portál tagja. Az itteni ismerőseinek 75%-a egykori vagy jelenlegi iskolatársa, akiknek felével egy időben járt általános iskolába, 60 %ával pedig a középiskolába. 72 olyan ismerőse van, akivel egy időben járt általános iskolába, de középiskolába már nem. Hány olyan ismerőse van, akivel az általános iskolába is egy időben járt, és jelenleg is iskolatársa? 10. Az ACD háromszögben C csúcsnál derékszög van, α = 15º, β = 30º, DB = 12 cm. Hány cm hosszúságú az AD szakasz?

JÓ MUNKÁT KÍVÁNUNK!

A feladatsort összeállította: Dr. Mindáné Kolostori Nóra


Nézd meg, hogy az évfolyamodnak megfelelő feladatsort kaptál-e? A feladatok megoldására fordítható idő 100 perc. A kidolgozás során önállóan kell dolgoznod! Segédletként csak zsebszámológépet, szerkesztési eszközöket (körző, vonalzók), négyjegyű függvénytáblázatot használhatsz! Tehát mobiltelefont sem! A piszkozatokat és a feladatsort tartalmazó lapokat nem kell leadnod, csak az eredménylapot. Az 1.–4. feladatoknál csak az általad helyesnek gondolt végeredményt kell beírnod az adott feladat sorszámát tartalmazó rubrikába. Minden jó megoldás 5 pontot ér, a hibás válasz nulla pont.

1. Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Eddig 16 partit fejeztek be és még mindenkinek hátra van 3-3 partija. Hány sakkozó vesz részt a versenyen? 2. Két testvér életkorának összege olyan 10-nél nagyobb és 20-nál kisebb egész szám, amelynek 6 pozitív osztója van. Három évvel ezelőtt az idősebb testvér háromszor anynyi idős volt, mint a fiatalabb. Hány éves most az idősebb testvér? 3. Oldd meg az alábbi egyenletet a pozitív számok halmazán: x2 + |4x-2| = 3 4. Számítsd ki, hogy egy 12 cm sugarú negyed körbe hány cm sugarú érintőkör írható? (Olyan kör, ami érinti a negyed kör két sugarát és az ívét is.) II.

Az 5.–8. feladatoknál csak az általad helyesnek gondolt válasz betűjelét kell beírnod a megfelelő rubrikába. Minden jó megoldás 5 pontot ér.

5. Egy zacskó diót három gyerek közt osztunk szét. Az első gyerek kapja a diók felét és még 1 dió felét. A második a maradék felét és még 1 dió felét, végül a harmadik gyerek a megmaradt diók felét és még 1 dió felét. Ekkor megmarad 4 dió, és az osztozkodás során egy diót sem kellett feltörni. Hány dió volt a zacskóban eredetileg? (A) 19

(B) 24

(C) 39

(D) 48

(E) 79

6. Hány szomszédos pozitív egész szám adható úgy össze, hogy az összeg prímszám legyen? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 7

(E) 2011

7. Hány egész (x; y) számpár megoldása van az xy + 5x – y = 10 egyenletnek? (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) Más megoldás A feladatsort összeállította: Piroska István

8. Melyik az a legnagyobb pozitív egész n érték, melyre teljesül az alábbi egyenlőtlenség? 1 1 2

(A) 287 III.

(B) 288



1 2 3

(C) 289



1 3 4

 ... 

(D) 290

1 n 1  n

 16

(E) Az előzőek egyike sem

A 9.–10. feladatokra részletesen kidolgozott, indoklásokkal ellátott megoldást kell adnod. A kidolgozottságtól függően itt 0–10 pontot szerezhetsz.

9. Határozd meg mindazokat a p prímszámokat, melyekre a p2 + 11 számnak pontosan hat pozitív osztója van! 10. Az ABCD konvex négyszög AB, BC, CD és DA oldalainak meghosszabbítására mérjük fel rendre a BB’ = AB, CC’= BC, DD’ = CD és AA’ = DA szakaszokat. Mutassuk meg, hogy az így kapott A’B’C’D’ négyszög területe 5-szöröse az eredeti ABCD négyszög területének!


A feladatsort összeállította: Piroska István

Pest Megyei Matematika Verseny 2015. DÖNTŐ 11. évfolyam

-

I.

Nézd meg, hogy az évfolyamodnak megfelelő feladatsort kaptál-e? A feladatok megoldására fordítható idő 100 perc. A kidolgozás során önállóan kell dolgoznod! Segédletként csak zsebszámológépet, szerkesztési eszközöket (körző, vonalzók), négyjegyű függvénytáblázatot használhatsz! Tehát mobil telefont sem! A piszkozatokat és a feladatsort tartalmazó lapokat nem kell leadnod, csak az eredménylapot.

Az 1.–4. feladatoknál csak az általad helyesnek gondolt végeredményt kell beírnod az adott feladat sorszámát tartalmazó rubrikába. Minden jó megoldás 5 pontot ér, a hibás válasz nulla pont. 1. Hófehérke megkérdezte a törpéket, hogy milyen magasak. Erre a kényes kérdésre Tudor szégyenlősen így válaszolt: „Hapci és Szundi összesen 99cm, Szundi és Morgó összesen 1 méter és 3 cm, Morgó és Kuka ugyanannyi, mint Hapci és Szundi, Hapci és Morgó összesen 108cm.” Hány cm magas Kuka? 2. Egy hegyesszögű háromszög oldalai a=3cm és b=10cm. Mekkora a harmadik oldallal szemközti szög koszinusza, ha a háromszög területe 12cm2? 3. Határozd meg a következő egyenlet valós gyökeinek összegét! 5

1

𝑥 + 2 ∙ 𝑥 8 − 80 ∙ 𝑥 4 = 0 4. A kettes számrendszerbeli 101, 11011, … számok olyan 2n+1 jegyből álló számok, melyeknek az n+1-dik számjegy kivételével minden jegye 1. Határozd meg az ötödik ilyen tulajdonságú szám tízes számrendszerbeli értékét! II.

Az 5.–8. feladatoknál csak az általad helyesnek gondolt válasz betűjelét kell beírnod a megfelelő rubrikába. Minden jó megoldás 5 pontot ér. 5. Hány számjegyből áll az 5 555 hatvány tízes számrendszerben felírt alakja? (A) 278

(B) 288

(C) 387

(D) 388

(E) Más érték..

6. Egy háromszög oldalhosszúságai az (𝑥 − 20)(𝑥 2 − 34𝑥 + 273) = 0 egyenlet gyökei. Hány egység hosszúságú a háromszög legrövidebb magassága? (A) 12

(B) 12,6

(C)13

(D) 14,5

(E) Más érték.

7. Egy derékszögű háromszög köré írható körének sugara a beírható kör sugarának 325%-a. Mekkora a háromszög legkisebb szögének egész része? (A) 34°

(B) 32°

(C) 23°

(D) 22°

(E) Más érték.

A feladatsort összeállította: Dr. Kenyeres Ambrusné

8. Add meg a következő egyenlet gyökeinek szorzatát! (𝑙𝑜𝑔9 (4𝑥 2 ))2 − 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔9 18𝑥 + 4 = 0 3

(A) 2 III.

(B)

81 4

(C)

243 4

;

(D) 729

(E) Más érték.

A 9.–10. feladatokra részletesen kidolgozott, indoklásokkal ellátott megoldást kell adnod. A kidolgozottságtól függően itt 0–10 pontot szerezhetsz. 9. Peti és Kati korongokkal játszanak. Egy zsákban 256 korong van, 151 fekete és 105 fehér. Van még egy dobozuk is, nagyon sok fekete koronggal. Azt játsszák, hogy felváltva kivesznek két korongot a zsákból, és ha mindkettő fekete, akkor az egyiket visszateszik a zsákba, a másikat lerakják az asztalra. Ha két fehéret húznak, akkor mindkettőt az asztalra rakják, és helyettük egy fekete korongot tesznek a zsákba a fekete korongos dobozból. Ha az egyik kihúzott korong fekete, a másik pedig fehér, akkor a fehéret rakják vissza, a feketét pedig kirakják az asztalra. A gyerekek fogadnak, hogy a játék végen a zsákban fekete vagy fehér korong lesz-e az utolsó. Kati szerint fekete, Peti szerint fehér. Kinek van nagyobb esélye megnyerni a fogadást? (Válaszodat indokold!) 10. Egy kocka alakú akváriumból ki akarjuk önteni a benne levő víz felét. A víz akkor kezd kiömleni, amikor az akváriumot az egyik éle körül 30°-kal megdöntjük. Hány fokkal kell még megdönteni ahhoz, hogy a benne levő víz fele folyjon ki?


A feladatsort összeállította: Dr. Kenyeres Ambrusné


Nézd meg, hogy az évfolyamodnak megfelelő feladatsort kaptál-e? A feladatok megoldására fordítható idő 100 perc. A kidolgozás során önállóan kell dolgoznod! Segédletként csak zsebszámológépet, szerkesztési eszközöket (körző, vonalzók), négyjegyű függvénytáblázatot használhatsz! Tehát mobiltelefont sem! A piszkozatokat és a feladatsort tartalmazó lapokat nem kell leadnod, csak az eredménylapot. Az 1.–4. feladatoknál csak az általad helyesnek gondolt végeredményt kell beírnod az adott feladat sorszámát tartalmazó rubrikába. Minden jó megoldás 5 pontot ér, a hibás válasz nulla pont. −

1. Mennyi a [𝑙𝑜𝑔

(

1 3 ) √𝑎

27

( √𝑎−2 ) ∙ (𝑏 −𝑙𝑜𝑔𝑏4 )]

1 4

+ 𝑙𝑔𝑥 2 = 1 egyenlet gyökeinek szorzata?

2. Egy derékszögű háromszög befogói a = 20 és b = 21. A háromszög belsejében lévő P pont távolsága az a, b, c oldalaktól rendre x, y és z. Mennyi az ax + by + cz kifejezés értéke? 3. Egy kémialaborban kétféle mérőpoharat használnak. Az egyik belseje forgáskúp alakú, a másik pedig forgáshenger alakú. Mindkettő 1 literes. A kúp alakú poharat magasságának 4/5 részéig megtöltjük vízzel, majd átöntjük a másikba. Milyen magasan áll ebben a víz, ha ennek magassága 30 cm? 4. Egy pozitív tagú, nem állandó mértani sorozat első n tagjának összege 390625. A tagok reciprokának összege 1. Mekkora az első és az utolsó tag mértani közepe? II.

Az 5.–8. feladatoknál csak az általad helyesnek gondolt válasz betűjelét kell beírnod a megfelelő rubrikába. Minden jó megoldás 5 pontot ér. 5. Két fiú és nyolc lány moziba mentek. A moziban véletlenszerűen ülnek le egy sorba egymás mellé. Mi a valószínűsége annak, hogy a két fiú egymás mellett foglal helyet? 1

(A) 5

1

(B) 6

1

(C) 7

1

(D) 8

1

(E) 9

6. Saci és Sári Siófokra utaztak ugyanazon a vonaton. Saci elölről a hatodik kocsiban utazott, Sári pedig a hátulról számított ötödik kocsiban. Kettejük kocsija között egy kocsi volt. Hány kocsiból állt a szerelvény? (A) 8 (B) 12 (E) Nem lehet meghatározni.

(C) 13

(D) Más érték

7. András és Béla futballtornán vettek részt. Mindkettőjük fia is csapattag volt. András ugyanannyi gólt rúgott, mint a fia, Béla pedig háromszor annyit, mint a fia. Így meccseken ők összesen 15 gólt rúgtak. Hány gólt rúgott Béla fia? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (E) Ezekből az adatokból nem határozható meg.

(D) Ez nem fordulhatott elő. A feladatsort összeállította: Dr. Minda Mihály

8. Egy üzlet eladója szeretné megállapítani egy nadrág számára legkedvezőbb árát. A piackutató cég felméréséből a következők derültek ki. Ha a ruhadarab ára 7500 Ft lenne, akkor várhatóan 100-an fogják azt megvásárolni. Valahányszor az árat 500 Ft-tal csökkentené, akkor a vevők száma minden esetben 20-al nőne, míg minden 500 Ft-os áremelés hatására 20-szal csökkenne. Milyen ár mellett várható a legnagyobb haszon, ha a nadrág beszerzési ára 3000 Ft? (A) 8000 III.

(B) 7500

(C) 7000

(D) 6500

(E) Más érték.

A 9.–10. feladatokra részletesen kidolgozott, indoklásokkal ellátott megoldást kell adnod. A kidolgozottságtól függően itt 0–10 pontot szerezhetsz. 9. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑦) − 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) − 1 10. Bizonyítsd be, hogy ha a háromszög súlypontján és beírható köre középpontján átmenő egyenes párhuzamos a háromszög valamelyik oldalával, akkor a háromszög oldalai számtani sorozatot alkotnak!


A feladatsort összeállította: Dr. Minda Mihály

Pest Megyei Matematika Verseny DÖNTŐ 9. évfolyam

Recommend Documents