Pertemuan ke-4 Analisa Terapan: Metode Numerik. 4 Oktober 2012

Pertemuan ke-4 Analisa Terapan: Metode Numerik 4 Oktober 2012

Persamaan Non Non--Linier: Metode NewtonNewton-Raphson Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

1

Metode Newton Newton--Raphson f(x)

f(xi)

f(xi +1)

[xi, f(xi)]

xi +1 = xi α xi+2 xi+1

xi

f(xi ) ′ i) f (x

x

Gambar 1 Ilustrasi geometrik metode Newton-Raphson. 2

Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

2

Derivasi f(x)

f(xi)

B

C

α A xi+1 xi

tan(α ) =

AB AC

f ' ( xi ) =

f ( xi ) xi − xi +1

xi +1 = xi − x

f ( xi ) f ′( xi )

Gambar 2 Derivasi metode Newton-Raphson. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

3

Pertemuan keke-4 Persamaan NonNon-Linier: Metode NewtonNewtonRaphson

Algoritma Metode NewtonNewtonRaphson Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

4

Langkah1

• Evaluasi f(x) secara simbolik • Asumsi nilai awal dari akar persamaan xi


5

Langkah 2 Tetapkan suatu nilai perkiraan awal dari akar persamaan xi untuk memperkirakan nilai baru akar persamaan xi+1 sebagai

xi +1 = xi -


f ( xi ) f ′( xi )

6

Langkah 3 Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa|

∈a =

xi +1- xi × 100 xi +1


7

Langkah 4 Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif dengan nilai toleransi kesalahan yang ditetapkan εs. Yes

Kembali ke Langkah 2 untuk memperkirakan nilai baru akar persamaan

No

Berhenti penghitungan

Cek? ∈a >∈s

Bila jumlah iterasi melebihi batas maksimum iterasi, iterasi, maka penghitungan dapat dihentikan. dihentikan. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

8

Contoh 1 Buku

Papan

Gambar 2 Papan yang dibebani buku.

Suatu papan kayu sepanjang 29 in menerima beban berupa susunan buku--buku yang memiliki tinggi buku bervariasi dari 8 ½ hingga 11 in. Ukuran papan adalah 3/8 in tebal dan lebar 12 in. Modulus Elastisitas papan kayu terebut adalah 3.667 Msi (mega square inch). Tentukan defleksi vertikal maksimum papan kayu tersebut, tersebut, bila defleksi vertikal mengikuti persamaan berikut berikut::

ν(x) = -0.13533x10-8 x5 – 0.66722x10-6 x4 + 0.42493x10-4 x3 – 0.018507x x adalah jarak dimana terjadi defleksi maksimum. Defleksi maksimum diperoleh dari f ( x) = dv = 0 dx


9

Contoh 1 (Cont.) Letak x yang memberikan defleksi maksimum diberikan dengan persamaan f’(x) = -0.67665x10-8 x4 – 0.26689x10-5 x3 + 0.12748x10-3 x2 – 0.018509 = 0 Catatan: Akar-akar persamaan dicari dengan 3 kali iterasi. Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif dihitung pada setiap akhir iterasi. Jumlah digit penting ditentukan pada iterasi terakhir.


10

Contoh1 (Cont.) – Solusi 0.02 0.015

Fungsi f(x)

0.01 0.005 0 0

5

10

15

20

25

30

-0.005 -0.01 -0.015 -0.02

x (m) f(x)

Gambar 3 Grafik fungsi f(x). -8 4

f(x) = −0.67665x 10 x − 0.26689x 10-5 x3 + 0.12748x 10-3 x2 − 0.018507= 0 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

11

Contoh1 (Cont.) – Solusi Penyelesaian Nilai perkiraan awal dari akar persamaan diambil x0 = 10 f (x) = −0.67665 × 10-8 x4 − 0.26689 × 10-5 x3 + 0.12748 × 10-3 x2 − 0.018507= 0 f' (x) = −2.7066 × 10-8 x3 − 0.80067 × 10-5 x2 + 0.25496 × 10-3 x = 0

Iterasi ke-1 Akar persamaan dihitung dari: f ( x0 ) x1 = x0 − f ' ( x0 ) 4 3 2 − 0.67665 ×10−8 (10) − 0.26689 ×10−5 (10) + 0.12748 ×10−3 (10) − 0.018507 = 10 − 3 2 − 2.7066 ×10−8 (10) − 0.80067 ×10−5 (10) + 0.25496 ×10−3 (10) − 8.4956 ×10−3 = 10 − 1.7219 ×10−3

= 10 − (− 4.9339) = 14.934


12


Fungsi f(x)

0.01 0.005 0 0

5

10

15

20

25

30

-0.005 -0.01 -0.015 -0.02

x (m) f(x)

x0

x1

Slope

Gambar 4 Grafik perkiraan akar persamaan pada iterasi ke-1 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

13

Contoh1 (Cont.) – Solusi • Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |ea| pada iterasi keke-1 adalah: ∈a =

x1 − x0 ×100 x1

14.934−10 ×100 14.934 = 33.038% =

• Jumla digit penting adalah 0, karena nilai |ea| > 5% (nilai toleransi kesalahan perkiraan relatif) Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

14

Contoh1 (Cont.) – Solusi • Iterasi keke-2: Akar persamaan dihitung dengan menggunakan hasil akar persamaan yaitu:: sebelumnya x1, yaitu x2 = x1 −

f ( x1 )

f ' ( x1 )

= 14.934 −

 −0.67665 ×10−8 (14.934 )4 − 0.26689 ×10−5 (14.934 )3     +0.12748 ×10−3 (14.934 )2 − 0.018507   

 −2.7066 ×10−8 (14.934 )3 − 0.80067 ×10−5 (14.934 )2     +0.25496 ×10−3 (14.934 )    6.9829 ×10−4 = 14.934 − 1.9317 ×10−3 Dr.Eng. Agus S. Muntohar = 14.934 − ( 0.36149 ) = 14.573 Department of Civil Engineering

15


Fungsi f(x)

0.01 0.005 0 0

5

10

15

20

25

30

-0.005 -0.01 -0.015 -0.02

x (m) f(x)

x1

x2

Slope

Gambar 5 Grafik perkiraan akar persamaan pada iterasi ke-2 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

16

Contoh1 (Cont.) – Solusi • Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |ea| pada iterasi keke-2 adalah: ∈a =

x2 − x1 ×100 x2

14.572 −14.934 ×100 14.572 = 2.4806% =

• Jumla digit penting adalah 1, karena nilai |ea| > 5% (nilai toleransi kesalahan perkiraan relatif) Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

17

Example 1 Cont. • Iterasi keke-3: Akar persamaan dihitung dengan menggunakan hasil akar persamaan yaitu:: sebelumnya x2, yaitu x3 = x2 −

f ( x2 ) f ' ( x2 )

= 14.573 −

 −0.67665 ×10−8 (14.572 )4 − 0.26689 ×10−5 (14.572 )3     +0.12748 ×10−3 (14.572 )2 − 0.018507   

 −2.7066 ×10−8 (14.572 )3 − 0.80067 ×10−5 (14.572 )2     +0.25496 ×10−3 (14.572 )    −4.7078 ×10−9 = 14.573 − = 14.573 − −2.4375 ×10−6 = 14.573 −3 1.9314 ×10

(


)

18


Fungsi f(x)

0.01 0.005 0 0

5

10

15

20

25

30

-0.005 -0.01 -0.015 -0.02

x (m) f(x)

x2

x3

Slope

Gambar 6 Grafik perkiraan akar persamaan pada iterasi ke-3 Dr.Eng. Agus S. Muntohar -

19

Department of Civil Engineering

Contoh1 (Cont.) – Solusi

=

14.573 − 14.573 ×100 14.573

= 1.6727 × 10

−5

−3

% < 5 × 10 %

16

40

14

35

12

30

10

25

8

20

6

15

4

10

2

5

0

Kesalahan perkiraan |ε |ε a|

x −x ∈a = 2 1 × 100 x2

Akar persamaan, Xm

• Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |ea| pada iterasi keke-3 adalah adalah::

0 0

1

2

3

Iterasi ke-n xm


|ea|

20

Contoh1 (Cont.) – Solusi • Jumlah digit penting diberikan oleh nilai terbesar m dari dari:: 2− m ∈a ≤ 0.5 ×10

1.6727 × 10 −5 ≤ 0.5 ×10 2− m 3.3454 × 10 −5 ≤ 10 2− m

(

)

log 3.3454 ×10 −5 ≤ 2 − m

(

)

m ≤ 2 − log 3.3454 ×10 −5 = 6.4756

• Maka, Maka, m = 6 jumlah digit penting untuk akar persamaan 14.573 adalah 6 yaitu 14.572513. 14.572513. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

21

Contoh1 (Cont.) – Solusi • Defleksi maksimum papan terjadi pada jarak x = 14.573 inch dari tepi kiri. kiri.

ν(x) = -0.13533x10-8 (14.573)5 – 0.66722x10-6 (14.573)4 + 0.42493x10-4 (14.573)3 – 0.018507(14.573) = -0.109 inch (ke bawah bawah))


22

Pertemuan keke-4 Persamaan NonNon-Linier: Metode NewtonNewtonRaphson

Kelebihan dan kekurangan metode Newton Raphson Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

23

Kelebihan • Lebih cepat memperoleh hasil yang konvergensi (quadratic convergence). • Hanya memerlukan satu nilai perkiraan. perkiraan.


24

Kekurangan: Divergensi pada titik Kekurangan: balik (inflection point) point) • Bila nilai perkiraan awal atau iterasi yang digunakan adalah berdekatan dengan titik balik dari fungsi f(x) maka dapat memberikan hasil awal yang divergen. divergen. • Misalnya Misalnya,, untuk persamaan f(x) = (x – 1)3 + 0.512 = 0. Akar persamaan diperkirakan oleh 3 3 xi +1 = xi −

(x

i

)

− 1 + 0.512 2 3(xi − 1)

• Tabel1 menyajikan hasil iterasi akar persamaan. persamaan. Akar persamaan mulai mengalami divergensi pada iterasi ke ke-6 karena nilai perkiraan sebelumnya 0.92589 dekat dengan titik balik fungsi f(x) pada x = 1. • Namun setelah iterasi ke ke--18 diperoleh nilai yang konvergen mendekati nilai eksak pada x = 0.2. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

25

Kekuragan – Titik Balik Tabel 1 Divergensi di dekat titik balik Iteration xi Number 0

5.0000

1

3.6560

2

2.7465

3

2.1084

4

1.6000

5

0.92589

6

−30.119

7

−19.746

…

…

18

0.2000

f (x ) = (x − 1) + 0.512 = 0 3

Gambar 8 Divergensi pada titik balik Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

26

Kekurangan – Pembagian Nol • Untuk persamaan fungsi f ( x ) = x 3 − 0.03x 2 + 2.4 ×10 −6 = 0

• Akar persamaan diperkirakan dari xi3 − 0.03xi2 + 2.4 ×10 −6 xi +1 = xi − 3xi2 − 0.06 xi

• Untuk x0 = 0 dan x0 = 0.02, menghasilkan pembagi nol.

Gambar 9 Kesulitan pembagian nol atau mendekati nol


27

Kekurangan – “Gelombang Gelombang”” dekat nilai maksimum dan minimum lokal • Hasil yang diperole dari metode NewtonNewtonRaphson dimungkinkan tidak tetap atau “bergelombang” bergelombang” (oscillation) terhadap nilai maksismum atau minimum tanpa hasil yang konvergen,, tetapi konvergen di dekat nilai konvergen maksimum atau minimum lokalnya. lokalnya. • Kondisi menyebabkan pembagian dengan nol atau mendekati nol. • Contohnya untuk akar persamaan dari f(x) = x2 + 2 = 0 adalah tidak real. Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

28

Kekurangan – “Gelombang Gelombang”” dekat nilai maksimum dan minimum lokal Tabel 3 Gelombang di dekat nilai maksimum dan minium lokasl dalam metode Newton-Raphson. f(x)

6

Iteration Number 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi

f(xi)

–1.0000 0.5 –1.75 –0.30357 3.1423 1.2529 –0.17166 5.7395 2.6955 0.97678

3.00 2.25 5.063 2.092 11.874 3.570 2.029 34.942 9.266 2.954

|εa| %

5

4

300.00 128.571 476.47 109.66 150.80 829.88 102.99 112.93 175.96

3

3 2

2

11 4

x

0 -2

-1

-1.75

0

-0.3040

1

2

3

0.5

3.142

-1

Gambar 10 Gelombang dekat nilai minimum lokasl dari fungsi f(x) = x2 + 2


29

Kekurangan – Lompatan Akar (Root Jumping) • Dalam beberapa kasus dimana fungsi f(x) berbentuk “gelombang” dan memiliki sejumlah akar persamaan, maka dimungkinkan akan dipilih f(x) nilai perkiraan yang dekat dengan akar tersebut. Akan tetapi, nilai perkiraan mungkin akan “lompat” dan konvergen dengan nilai akar persamaan lainnya. -2

• Sebagai contohnya f ( x ) = sin x = 0

• Bila dipilih x0 = 2.4π = 7.539822 • Akan konvergen ke x = 0, daripada ke x = 2π = 6.2831853

1.5

1

0.5

x

0 0

-0.06307

2

0.5499

4

6

4.461

8

7.539822

10

-0.5

-1

-1.5

Gambar 11 Kasus lompatan akar pada fungsi f(x) = sin x = 0


30

Pertemuan ke-4 Analisa Terapan: Metode Numerik. 4 Oktober 2012

Recommend Documents