PERBANDINGAN METODE FUZZY TIME SERIES DAN HOLT DOUBLE EXPONENTIAL SMOOTHING PADA PERAMALAN JUMLAH MAHASISWA BARU INSTITUT PERTANIAN BOGOR
STEVEN
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Metode Fuzzy Time Series dan Holt Double Eksponential Smoothing pada Peramalan Jumlah Mahasiswa Baru Institut Pertanian Bogor adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2013 Steven NIM G54090054
ABSTRAK STEVEN. Perbandingan Metode Fuzzy Time Series dan Holt Double Exponential Smoothing pada Peramalan Jumlah Mahasiswa Baru Institut Pertanian Bogor. Dibimbing oleh Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc dan Dr. Ir. Fahren Bukhari, M.Sc. Peramalan merupakan kegiatan memprediksi nilai suatu variabel di masa yang akan datang. Tujuan penelitian ini adalah memprediksi jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor dengan menggunakan metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt serta membandingkan kedua metode tersebut dengan cara melihat tingkat ketepatan peramalan Mean Absolute Percentage Error (MAPE). Metode fuzzy time series menggunakan himpunan fuzzy dalam proses peramalannya sedangkan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt menggunakan pemulusan nilai dari serentetan data dengan cara menguranginya secara eksponensial. Dalam meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor, metode fuzzy time series menghasilkan tingkat ketepatan peramalan yang lebih baik dengan nilai MAPE sebesar 6.41 % dibandingkan dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt dengan nilai MAPE sebesar 7.75 %. Setelah dilakukan studi kasus, metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt akan lebih akurat hasil peramalannya jika data yang digunakan lebih banyak. Kata kunci: eksponensial ganda dari Holt, fuzzy time series, jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor, mean absolute percentage error
ABSTRACT STEVEN. Comparing Fuzzy Time Series Method and Holt Double Exponential Smoothing Method in Forecasting the Number of New Students at Bogor Agriculture University. Supervised by Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc and Dr. Ir. Fahren Bukhari, M.Sc Forecasting is an activity to predict values of a variable in the future. The purposes of this research is predicting the number of new students at Bogor Agriculture University using fuzzy time series method and Holt double exponential smoothing method. This research is also comparing these two methods to find the more appropriate method based on the accuracy of forecasting showed by Mean Absolute Percentage Error (MAPE). Fuzzy time series methods used fuzzy set in the process of forecasting while Holt double exponential smoothing method smooths the value of serial data by reducing them exponentially. In forecasting the number of new students at Bogor Agricultural University, fuzzy time series method, with MAPE as big as 6.412%, shows better forecasting accuracy than Holt double exponential smoothing method which has MAPE as big as 7.75%. After conducting a case study, we conclude that Holt double exponential smoothing method will be more accurate if there are many data available. Keywords: fuzzy time series, Holt double exponential smoothing, mean absolute percentage error, new students of Bogor Agriculture University.
PERBANDINGAN METODE FUZZY TIME SERIES DAN HOLT DOUBLE EXPONENTIAL SMOOTHING PADA PERAMALAN JUMLAH MAHASISWA BARU INSTITUT PERTANIAN BOGOR
STEVEN
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
ludul Skripsi: Perbandingan Metode Fuzzy Time Series dan Holt Double Smoothing Pada Perarnalan lurnlah Mahasiswa Baru Institut Pertanian Bogor : Steven Nama : G54090054 NIM
Disetujui oleh
r. Sri Nurdiati MoSco
Pembimbing J
Tanggal Lulus:
Dr. Ir. Fahren Bukhari, MoSco
Pembimbing II
Judul Skripsi : Perbandingan Metode Fuzzy Time Series dan Holt Double Exponential Smoothing Pada Peramalan Jumlah Mahasiswa Baru Institut Pertanian Bogor Nama : Steven NIM : G54090054
Disetujui oleh
Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc. Pembimbing I
Dr. Ir. Fahren Bukhari, M.Sc. Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS. Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah peramalan, dengan judul Perbandingan Metode Fuzzy Time Series dan Holt Double Smoothing pada Peramalan Jumlah Mahasiswa Baru Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc. dan bapak Dr. Ir. Fahren Bukhari, M.Sc. selaku pembimbing. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada departemen Matematika, kepala departemen Ibu Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS., sekretaris departemen Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc., beserta jajaran staf dosen Matematika lainnya. Staff pendukung Bapak Mulyono, Bapak Acep Komaruddin, Ibu Ade Yustina, dan Ibu Nunik Susilowati serta pihak Tingkat Persiapan Bersama yang telah membantu selama pengumpulan data. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2013 Steven
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
Ruang Lingkup Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Peramalan
2
Fuzzy Time Series
3
Pemulusan Eksponensial Ganda dari Holt
3
Ukuran Kesalahan
4
METODE
4
Metode Fuzzy Time Series
4
Metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt
6
HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Peramalan dengan Metode Fuzzy Time Series
6 8
Hasil Peramalan dengan Metode Pemulusan Eksponensial Ganda dari Holt
11
Perbandingan Hasil Peramalan
13
Analisis pada Data Jumlah Penduduk Indonesia
14
SIMPULAN DAN SARAN
15
Simpulan
15
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR TABEL 1 Jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992 sampai dengan tahun 2012 2 Data fuzzifikasi mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor 3 Second-order fuzzy logical relationship 4 Second-order fuzzy logical relationship group 5 Second-order fuzzy forecast rules 6 Aplikasi metode fuzzy time series pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992-2007. 7 Aplikasi pemulusan eksponensial ganda dari Holt pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992-2007. 8 Aplikasi metode fuzzy time series pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 2008-2015. 9 Aplikasi metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 20082015. 10 Perbandingan ketepatan metode peramalan. 11 Perbedaan karakteristik data jumlah penduduk Indonesia dengan data jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor 12 Hasil peramalan data jumlah penduduk Indonesia dengan menggunakan metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt.
7 9 9 9 10 11 12 13
13 14 14
15
DAFTAR GAMBAR 1 Jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992 sampai tahun 2012
7
DAFTAR LAMPIRAN 2 Perhitungan forecasting value di setiap group 3 Model regresi linear (Makridakis et al. 1995) 4 Perhitungan nilai pemulusan dan nilai trend di setiap periode dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt 5 Jumlah penduduk Indonesia tahun 1980 sampai dengan tahun 2011
17 20 22 26
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Peramalan sangat berperan penting dalam kehidupan sehari-hari. Matematika sebagai salah satu bidang ilmu pengetahuan memiliki peran besar terkait teknik peramalan dengan tingkat akurasi tertentu. Dengan adanya suatu metode peramalan yang mempunyai tingkat keakuratan yang tinggi, seseorang diharapkan dapat lebih awal merancang tindakan yang tepat untuk mencapai hasil yang lebih efisien. Menurut Aritonang (2009), analisis data deret waktu pada dasarnya digunakan untuk melakukan analisis data yang mempertimbangkan pengaruh waktu. Analisis data deret waktu tidak hanya bisa dilakukan untuk satu variabel (univariate) tetapi juga bisa untuk banyak variabel (multivariate). Beberapa bentuk analisis data deret waktu antara lain: metode pemulusan (smoothing), metode fuzzy time series, metode average, metode moving average, dan lain-lain. Metode pemulusan dapat dilakukan dengan pendekatan pemulusan eksponensial (Exponential Smoothing). Metode pemulusan eksponensial terbagi menjadi beberapa metode yang umum dipakai, antara lain: metode pemulusan eksponensial tunggal, metode pemulusan eksponensial ganda dari Brown (satu parameter), metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt (dua parameter), dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Winter (tiga parameter). Aritonang (2009) menyatakan bahwa pada metode pemulusan eksponensial, perevisian secara berkelanjutan dilakukan atas ramalan berdasarkan pengalaman yang lebih kini yaitu melalui pemulusan nilai dari serangkaian data yang lalu dengan cara menguranginya secara eksponensial. Hal ini dilakukan dengan memberikan bobot terte sampai satu. Menurut Song dan Chissom (1993), sistem peramalan dengan metode fuzzy time series menangkap pola dari data yang telah lalu kemudian digunakan untuk memproyeksikan data yang akan datang. Prosesnya juga tidak membutuhkan suatu sistem pembelajaran dari suatu sistem yang rumit seperti yang ada pada algoritma genetika dan jaringan syaraf sehingga mudah untuk dikembangkan dan tidak memerlukan adanya pola trend untuk melakukan proses peramalan. Dalam perhitungan peramalan menggunakan fuzzy time series, panjang interval telah ditentukan di awal proses perhitungan. Penentuan panjang interval sangat berpengaruh dalam pembentukan fuzzy relationship yang tentunya akan memberikan dampak perbedaan hasil perhitungan peramalan. Kita sering dihadapkan pada permasalahan dalam memilih metode yang cocok untuk meramalkan data time series (runtut waktu) untuk periode yang akan datang. Dalam karya ilmiah ini, akan dibandingkan antara metode peramalan fuzzy time series dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt. Kedua metode peramalan ini akan dibandingkan dengan melihat galat yang dihasilkan dari setiap metode. Oleh karena itu, perbandingan kedua metode ini diharapkan dapat memperlihatkan metode yang lebih akurat dalam meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor.
2 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor dengan menggunakan metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt serta membandingkan kedua metode tersebut dengan melihat tingkat ketepatan peramalan. Ruang Lingkup Penelitian Ruang lingkup penelitian ini antara lain: a. Metode peramalan yang digunakan adalah metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt. b. Data yang digunakan adalah data jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor sejak tahun 1992-2012 sebagai fokus penelitian dan data jumlah penduduk Indonesia tahun 1980 sampai tahun 2011 sebagai data pembanding. c. Penghitungan besarnya error menggunakan MSE (Mean Square Error) dan MAPE (Mean Absolute Percentage Error).
TINJAUAN PUSTAKA Peramalan Peramalan (forecasting) merupakan kegiatan memprediksi nilai-nilai suatu variabel di masa yang akan datang berdasarkan nilai yang diketahui dari variabel tersebut di masa yang lalu atau sekarang atau berdasarkan variabel yang berhubungan (Makridakis et al. 1995). Tujuan peramalan antara lain untuk memberi gambaran ke depan sehingga dapat dilakukan tindakan yang tepat untuk mendapatkan hasil yang efisien. Berdasarkan metode peramalan yang digunakan, peramalan dibedakan menjadi metode kualitatif dan kuantitatif. Metode kualitatif lebih didasarkan pada intuisi dan penilaian seseorang yang melakukan peramalan. Metode kuantitatif didasarkan pada pengolahan data historis yang tersedia secara memadai dan umumnya didasarkan pada analisis statistik (Makridakis et al. 1995). Peramalan kuantitatif dapat diterapkan bila tiga kondisi berikut terpenuhi: i) informasi mengenai keadaan waktu yang lalu tersedia, ii) informasi itu dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data numerik (angka), dan iii) dapat diasumsikan bahwa beberapa aspek dari pola di waktu yang lalu akan berlanjut ke waktu yang akan datang (Makridakis et al. 1983). Kegiatan penerapan model yang telah dikembangkan pada waktu yang lalu dinamakan proyeksi, sedangkan kegiatan penerapan model yang telah dikembangkan pada waktu yang akan datang dinamakan peramalan. Sehubungan dengan itu, sebelum model yang dikembangkan digunakan untuk peramalan sebaiknya model tersebut diuji terlebih dahulu dengan kegiatan proyeksi untuk mengetahui model itu cukup tepat untuk digunakan atau tidak (Aritonang 2009). Data merupakan unsur utama pada kegiatan peramalan. Berdasarkan dimensi waktunya, data dapat dibedakan menjadi data time series dan data cross sectional. Data time series merupakan data yang dikumpulkan dari suatu waktu ke waktu berikutnya selama jangka waktu tertentu, misalnya data mengenai jumlah penjualan selama dua belas tahun dalam jangka waktu satu tahun. Data cross sectional
3 merupakan data yang dikumpulkan pada satu waktu tertentu, tanpa memiliki variasi dimensi waktu, misalnya data mengenai jumlah penjualan beberapa perusahaan pada tahun 1998. Dalam konteks peramalan dan proyeksi, data yang lebih relevan adalah data runtut waktu (Aritonang 2009). Menurut Makridakis et al. (1995), hal yang harus diperhatikan dalam analisis metode time series adalah menentukan jenis pola data historisnya. Pola data pada umumnya dapat dibedakan menjadi pola horizontal (pola ini terjadi bila nilai berfluktuatif di sekitar nilai rata-rata yang konstan), pola data musiman (pola ini menunjukkan perubahan yang berulang secara periodik dalam deret waktu), pola data siklis (pola ini menunjukkan gerakan naik turun dalam jangka panjang dari suatu kurva trend), dan pola data trend (pola ini menunjukkan kenaikan atau penurunan jangka panjang dalam data). Fuzzy Time Series Menurut Chen et al. (1996), perbedaan utama antara fuzzy time series dan konvensional time series yaitu pada nilai yang digunakan dalam peramalan, yang merupakan himpunan fuzzy dari bilangan-bilangan real atas himpunan semesta yang ditentukan. Himpunan fuzzy dapat diartikan sebagai suatu kelas bilangan dengan batasan yang samar. Jika U adalah himpunan semesta, U = {u1, u2,..., un}, maka suatu himpunan fuzzy A dari U didefinisikan sebagai A = f1(u1)/u1 + f2(u2)/u2 + ... + fA(un)/un di mana fA adalah fungsi keanggotaan dari A, fA : U [0,1]. Misalkan X(t) (t=...,0,1,2,...), adalah himpunan bagian dari R, yang menjadi himpunan semesta di mana himpunan fuzzy fi(t) (i=1,2,...) telah didefinisikan sebelumnya dan jadikan F(t) menjadi kumpulan dari fi(t) (i=1,2,...). maka, F(t) dinyatakan sebagai fuzzy time series terhadap X(t) (t=...,1,2,...). Dari definisi ini, dapat dilihat bahwa F(t) bisa dianggap sebagai variabel linguistik dan fi(t) (i=1,2,...) bisa dianggap sebagai kemungkinan nilai linguistik dari F(t), di mana fi(t) (i=1,2,...) direpresentasikan oleh suatu himpunan fuzzy. Dapat dilihat juga bahwa F(t) adalah suatu fungsi waktu dari t misalnya, nilai-nilai dari F(t) dapat berbeda pada waktu yang berbeda bergantung pada kenyataan bahwa himpunan semesta dapat berbeda pada waktu yang berbeda dan jika F(t) hanya disebabkan oleh F(t-1) maka F(t). hubungan ini digambarkan sebagai F(t-1) Metode fuzzy time series memakai second-order fuzzy logical relationship dalam prosesnya sehingga tidak bisa meramalkan data dua tahun pertama (Hsu et al. 2010). Hal ini dikarenakan proses pembuatan second-order fuzzy logical relationship yang nantinya akan dibentuk menjadi forecast rules memerlukan data aktual dari dua tahun sebelumnya untuk dijadikan suatu himpunan fuzzy. Pemulusan Eksponensial Ganda dari Holt Pada metode ini revisi dilakukan berdasarkan pengalaman yang lebih kini, yaitu melalui pemulusan nilai dari serentetan data yang lalu dengan cara menguranginya secara eksponensial. Hal itu dilakukan dengan memberikan bobot yang lebih besar pada data yang lebih kini, yaitu untuk data yang kini (1 - ) dan untuk data yang lebih kini (1 - )2 dan seterusnya. Ramalan dari pemulusan eksponensial ganda dari Holt didapat dengan menggunakan dua parameter pemulusan dan (dengan nilai antara 0 dan 1) yang perlu dioptimalkan sehingga didapatkan kombinasi terbaik di antara dua parameter
4 tersebut. Kombinasi terbaik di antara dua parameter diukur dengan melihat nilai Mean Square Error (MSE) yang dihasilkan. Semakin kecil nilai MSE yang dihasilkan semakin baik kombinasi nilai dua parameter tersebut. Proses inisialisasi untuk pemulusan eksponensial ganda dari Holt memerlukan dua nilai taksiran, yang satu mengambil nilai pemulusan pertama untuk S0 dan yang lain mengambil trend b0. Untuk syarat nilai awal S0 dan b0 dapat diperoleh dengan menyesuaikan sebuah model regresi linear, kemudian titik potong dan kemiringan yang didapat digunakan sebagai nilai awal pada S0 dan b0 (Montgomery et al. 2008) Ukuran Kesalahan Terdapat berbagai macam ukuran kesalahan yang dapat diklasifikasikan menjadi ukuran standar dalam statistik dan ukuran relatif. Menurut Makridakis et al. (1995), ukuran kesalahan yang termasuk ukuran standar statistik adalah nilai rata-rata kesalahan (Mean Error), nilai rata-rata kesalahan absolut (Mean Absolute Error), dan nilai rata-rata kesalahan kuadrat (Mean Square Error). Ukuran kesalahan yang termasuk ukuran relatif adalah nilai rata-rata kesalahan persentase (Mean Percentage Error) dan nilai rata-rata kesalahan persentase absolut (Mean Absolute Percentage Error). Persamaan-persamaan yang dapat digunakan untuk menghitung masing-masing ukuran kesalahan di atas dapat dilihat sebagai berikut: 1. Mean Error (ME)
2. Mean Absolute Error (MAE)
3. Mean Square Error (MSE)
4. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
dengan: PEi = Xi : data aktual pada periode ke-t Fi : nilai ramalan pada periode ke-t n : banyaknya periode waktu
METODE Metode Fuzzy Time Series Metode fuzzy time series menggunakan himpunan fuzzy dalam proses peramalannya. Himpunan fuzzy adalah suatu kelas bilangan dengan batasan samar yang terbentuk dari proses fuzzifikasi. Adapun langkah-langkah peramalannya sebagai berikut (Hsu et al. 2010): 1. Himpunan semesta Himpunan semesta U = [Dmin, Dmax] ditentukan sesuai data historis yang ada, dan membaginya menjadi sejumlah ganjil sub-interval dengan lebar interval yang sama besar.
5 2.
Proses fuzzifikasi A1, A2, ... , Ak merupakan suatu himpunan-himpunan fuzzy yang variabel linguistiknya ditentukan sesuai dengan keadaan semesta, di mana k adalah jumlah interval yang didapatkan dari langkah pertama kemudian definisikan himpunan-himpunan fuzzy tersebut menurut model berikut ini (Song and Chissom):
x/uk = x merupakan derajat keanggotaan interval uk dalam himpunan fuzzy Ak. Pada k = 1, didapatkan himpunan fuzzy A1 (himpunan fuzzy jumlah mahasiswa yang paling sedikit). Pada saat k = n, didapatkan An (himpunan fuzzy jumlah mahasiswa yang paling banyak). Semakin besar nilai k, himpunan fuzzy jumlah mahasiswa akan bergerak dari yang paling sedikit menjadi himpunan fuzzy jumlah mahasiswa yang paling banyak. 3. Second-order fuzzy logical relationship Ai, Aj Ak Jika hasil fuzzifikasi jumlah mahasiswa pada tahun i-2 adalah Ai, jumlah mahasiswa pada tahun i-1 adalah Aj maka jumlah mahasiswa pada tahun i adalah Ak, di mana Ai, Aj sebagai sisi kiri relationship disebut sebagai current state dan Ak sebagai sisi kanan relationship disebut sebagai next state. Fuzzy logical relationship group terbentuk dengan membagi fuzzy logical relationship yang telah diperoleh menjadi beberapa bagian berdasarkan sisi kiri dari fuzzy logical relationship (current state). 4. Proses defuzzifikasi Proses defuzzifikasi mengubah suatu besaran fuzzy menjadi besaran tegas. Keluaran dalam proses ini yaitu suatu nilai peramalan (forecasting value) yang ditentukan dengan menggunakan aturan-aturan berikut: (1) Jika dalam group didapatkan tepat satu next state, sebagaimana fuzzy logical relationship berikut: Ai, Aj Ak di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari Ak terdapat pada interval uk, dan midpost (nilai tengah) dari uk adalah mk, maka forecasting value untuk group yang dimaksud adalah mk. (2) Jika dalam group didapatkan lebih dari satu next state, sebagaimana fuzzy logical relationship berikut: Ai, Aj Ak1, Ak2, ... , Akn di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari Ak1, Ak2, ... , Akn terdapat pada interval uk1, uk2, ... , ukn, dan midpost (nilai tengah) dari uk1, uk2, ... , ukn adalah mk1, mk2, ... , mkn, maka forecasting value untuk group tersebut adalah (mk1 + mk2 + ... + mkn)/n. (3) Jika dalam group tidak didapatkan next state, sebagaimana fuzzy logical relationship berikut: Ai, Aj # di mana # melambangkan unknown value dan nilai maksimum derajat keanggotaan dari Ai dan Aj terdapat pada interval ui dan uj dan midpost (nilai tengah) dari ui dan uj adalah mi dan mj, maka forecasting value untuk group tersebut adalah mj + ((mj mi)/2). 5. Forecast rules
6 Tahap ini terdiri atas dua bagian, yaitu matching part(current state dari fuzzy logical relationship group) dan forecasted value. Penentuan forecast value ditentukan dengan mencocokkan current state fuzzy logical relationship tahun ke-i dengan matching part. Apabila current state dengan rules yang telah terbentuk match, maka forecast value tahun ke- i sama dengan forecast value dari matching part yang bersangkutan.
Metode Pemulusan Eksponensial Ganda dari Holt Peramalan dari pemulusan eksponensial ganda dari Holt didapat dengan menggunakan dua parameter pemulusan dan , pencarian kombinasi nilai parameter terbaik didapat dengan menggunakan bantuan software microsoft excel 2007. Untuk syarat nilai awal S0 dan b0 dapat diperoleh dengan menyesuaikan sebuah model regresi linear, kemudian titik potong dan kemiringan yang didapat digunakan sebagai nilai awal pada S0 dan b0 (Montgomery et al. 2008). Perhitungan hasil peramalan didapat dengan menggunakan tiga persamaan:
Keterangan : St : nilai pemulusan pada periode ke-t St-1 : nilai pemulusan pada periode ke-(t-1) Xt : data aktual time series periode ke-t bt : nilai trend periode ke-t bt-1 : nilai trend periode ke-(t-1) Ft+m : hasil peramalan untuk m jumlah periode ke depan : perameter pemulusan dengan nilai antara 0 dan 1 Persamaan (1) menyesuaikan St secara langsung untuk trend periode sebelumnya, yaitu bt+1 dengan menambah nilai pemulusan yang terakhir, yaitu St+1. Hal ini membantu untuk menghilangkan kelambatan dan menempatkan St ke nilai data saat ini. Kemudian persamaan (2) meremajakan trend, yang ditunjukkan sebagai perbedaan antara dua nilai pemulusan yang terakhir. Hal ini tepat karena jika terdapat kecenderungan di dalam data, nilai yang baru akan lebih tinggi atau lebih rendah daripada nilai yang sebelumnya. Karena mungkin masih terdapat sedikit keacakan, maka hal ini dihilangkan oleh pemulusan trend pada periode terakhir (St St+1) dengan (gamma), dan menambahkannya dengan taksiran trend sebelumnya dikalikan dengan (1- ). Akhirnya persamaan (3) digunakan untuk ramalan, trend bt dikalikan dengan jumlah periode ke muka yang diramalkan (m) dan ditambahkan pada nilai dasar (St).
HASIL DAN PEMBAHASAN Penelitian ini menerapkan metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt untuk meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut
7 Pertanian Bogor. Data jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor sejak tahun 1992 sampai tahun 2012 dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992 sampai tahun 2012 Tahun 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Jumlah Mahasiswa 1631 1939 1807 1955 2107 2470 2642 2546 2925 2805 2789 2726 2805 2868 2887 3010 3404 3210 3754 3494 3868
Sumber: IPB (2012) Gambar 1 menunjukkan trend data jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992 sampai tahun 2012.
Gambar 1 Jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992 sampai tahun 2012
8 Hasil Peramalan dengan Metode Fuzzy Time Series Peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor dengan metode fuzzy time series dilakukan dengan menggunakan proyeksi untuk 17 data pertama, yaitu data jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992 sampai tahun 2007. Data mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 2008 sampai tahun 2012 digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan hasil peramalan. Proses peramalan dilakukan menurut langkah-langkah berikut: 1. Berdasarkan Tabel 1 dapat ditentukan himpunan semesta U = [1600, 3900] dan membaginya menjadi 23 sub-interval dengan panjang interval yang sama besar. u1 = [1600, 1700) u13 = [2800, 2900) u2 = [1700, 1800) u14 = [2900, 3000) u3 = [1800, 1900) u15 = [3000, 3100) u4 = [1900, 2000) u16 = [3100, 3200) u5 = [2000, 2100) u17 = [3200, 3300) u6 = [2100, 2200) u18 = [3300, 3400) u7 = [2200, 2300) u19 = [3400, 3500) u8 = [2300, 2400) u20 = [3500, 3600) u9 = [2400, 2500) u21 = [3600, 3700) u10 = [2500, 2600) u22 = [3700, 3800) u11 = [2600, 2700) u23 = [3800, 3900) u12 = [2700, 2800) 2. Proses fuzzifikasi Himpunan fuzzy A1, A2, ... , Ak dapat ditentukan berdasarkan sub-interval yang telah terbentuk pada langkah sebelumnya dengan menyesuaikan model dibawah ini (Song and Chissom) :
Diperoleh: A1 = 1/u1 + 0.5/u2 A2 = 0.5/u1 + 1/u2 + 0.5/u3 A3 = 0.5/u2 + 1/u3 + 0.5/u4 A4 = 0.5/u3 + 1/u4 + 0.5/u5 A5 = 0.5/u4 + 1/u5 + 0.5/u6 A6 = 0.5/u5 + 1/u6 + 0.5/u7 A7 = 0.5/u6 + 1/u7 + 0.5/u8 A8 = 0.5/u7 + 1/u8 + 0.5/u9 A9 = 0.5/u8 + 1/u9 + 0.5/u10 A10 = 0.5/u9 + 1/u10 + 0.5/u11 A11 = 0.5/u10 + 1/u11 + 0.5/u12 A12 = 0.5/u11 + 1/u12 + 0.5/u13 A13 = 0.5/u12 + 1/u13 + 0.5/u14 A14 = 0.5/u13 + 1/u14 + 0.5/u15 A15 = 0.5/u14 + 1/u15 + 0.5/u16
A16 = 0.5/u15 + 1/u16 + 0.5/u17 A17 = 0.5/u16 + 1/u17 + 0.5/u18 A18 = 0.5/u17 + 1/u18 + 0.5/u19 A19 = 0.5/u18 + 1/u19 + 0.5/u20 A20 = 0.5/u19 + 1/u20 + 0.5/u21 A21 = 0.5/u20 + 1/u21 + 0.5/u22 A22 = 0.5/u21 + 1/u22 + 0.5/u23 A23 = 0.5/u22 + 1/u23
9 Data fuzzifikasi jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Data fuzzifikasi jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor Tahun Jumlah Mahasiswa Fuzzifikasi 1992 1631 A1 1993 1939 A4 1994 1807 A3 1995 1955 A4 1996 2107 A6 1997 2470 A9 1998 2642 A11 1999 2546 A10 2000 2925 A14 2001 2805 A13 2002 2789 A12 2003 2726 A12 2004 2805 A13 2005 2868 A13 2006 2887 A13 2007 3010 A15
3. Second-order fuzzy logical relationship Berdasarkan hasil fuzzifikasi pada langkah kedua, dapat ditentukan secondorder fuzzy logical relationship yang dapat dilihat pada Tabel 3 dan Tabel 4. Tabel 3 Second-order fuzzy logical relationship A4 A3, A4 A6 A4, A6 A9 A1, A4 A3 A4, A3 A6, A9 A11 A9, A11 A10 A11, A10 A14 A10, A14 A13 A14, A13 A12 A13, A12 A12 A12, A12 A13 A12, A13 A13 A13, A13 A13 A13, A13 A15 A13, A15 # Tabel 4 Second-order fuzzy logical relationship group Group label Fuzzy Logical Relationship Group 1 A1, A4 A3 2 A3, A4 A6 3 A4, A3 A4 4 A4, A6 A9 5 A6, A9 A11 6 A9, A11 A10 7 A10, A14 A13 8 A11, A10 A14 9 A12, A12 A12 10 A12, A13 A13 11 A13, A12 A12 12 A13, A13 A13, A15 13 A14, A13 A12 14 A13, A15 #
10 4. Proses defuzzifikasi Untuk group 1, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A1, A4 A3 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A3 jatuh pada interval u3 = [1800, 1900), serta nilai tengah dari interval u3 adalah 1850 maka forecasting value untuk group 1 adalah 1850. Untuk group 12, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A13, A13 A13, A15 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A13 jatuh pada interval u13 = [2800, 2900), dan himpunan fuzzy A15 jatuh pada interval u15 = [3000, 3100) serta nilai tengah dari interval u13 adalah 2850 dan u15 adalah 3050 maka forecasting value untuk group 12 adalah (2850 + 3050)/2 yaitu 2950. Untuk group 14, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A13, A15 # di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari A13 dan A15 jatuh pada interval u13 = [2800, 2900) dan u15 = [3000, 3100) dan midpost (nilai tengah) dari u13 dan u15 adalah 2850 dan 3050, maka forecasting value untuk group yang dimaksud adalah 3050 + ((3050 - 2850)/2) yaitu 3150. Untuk group yang lain perhitungan terlampir pada Lampiran 1. 5. Forecast rules Berdasarkan hasil defuzzifikasi pada langkah keempat, dapat ditentukan beberapa rules yang dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5 Second-order fuzzy forecast rules Rule
Matching Part
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A1 dan tahun i-1 adalah A4 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A3 dan tahun i-1 adalah A4 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A4 dan tahun i-1 adalah A3 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A4 dan tahun i-1 adalah A6 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A6 dan tahun i-1 adalah A9 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A9 dan tahun i-1 adalah A11 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A10 dan tahun i-1 adalah A14 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A11 dan tahun i-1 adalah A10 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A12 dan tahun i-1 adalah A12 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A12 dan tahun i-1 adalah A13 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A13 dan tahun i-1 adalah A12 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A13 dan tahun i-1 adalah A13 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A14 dan tahun i-1 adalah A13 Jika fuzzifikasi tahun i-2 adalah A13 dan tahun i-1 adalah A15
Forecasting Value 1850 2150 1950 2450 2650 2550 2850 2950 2750 2850 2750 2950 2750 3150
Untuk tahun 1994, terdapat second-order fuzzy logical relationship group dengan current state match dengan group 1 maka forecast value untuk tahun 1994 sebesar 1850. Untuk kecocokan current state pada fuzzy logical relationship dan nilai peramalan pada tahun 1995 sampai tahun 2007 dapat dilihat dalam Tabel 6.
11 Tabel 6 Aplikasi metode fuzzy time series pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992-2007. Tahun
Jumlah Mahasiswa
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
1631 1939 1807 1955 2107 2470 2642 2546 2925 2805 2789 2726 2805 2868 2887 3010
Fuzzy Logical Relationship A1, A4 A3 A4, A3 A4 A3, A4 A6 A4, A6 A9 A6, A9 A11 A10 A9, A11 A14 A11, A10 A10, A14 A13 A12 A14, A13 A13, A12 A12 A12 A12, A12 A12, A13 A13 A13, A13 A13 A15 A13, A13
Matched rule No. 1 3 2 4 5 6 8 7 13 11 9 10 12 12
Peramalan 1850 1950 2150 2450 2650 2550 2950 2850 2750 2750 2750 2850 2950 2950
Hasil Peramalan dengan Metode Pemulusan Eksponensial Ganda dari Holt Metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt dapat digunakan untuk meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor di masa mendatang. Holt memuluskan nilai trend secara terpisah dengan menggunakan dua parameter yaitu dan (dengan nilai antara 0 dan 1) yang perlu dioptimalkan sehingga didapatkan kombinasi terbaik di antara dua parameter tersebut. Dengan cara trial and error dengan bantuan software Microsoft Excel 2007, nilai parameter dan berturut-turut adalah 0.71 dan 0.01 yang menghasilkan MSE sebesar 24608.56. Proses inisialisasi untuk pemulusan eksponensial ganda dari Holt memerlukan dua nilai taksiran yaitu, mengambil nilai pemulusan pertama untuk S0 dan mengambil trend b0. Untuk syarat nilai awal S0 dan b0 dapat diperoleh dengan menyesuaikan model regresi linear. Didapatkan titik potong b1 dan kemiringan b2 sebagai nilai awal S0 dan b0 berturut-turut adalah 1755.425 dan 86.95 (Lampiran 2). Tahap selanjutnya adalah perhitungan nilai pemulusan dan nilai trend di setiap periode. Untuk t = 0,
= 1755.425 + 86.95 (1) = 1842.375 Untuk t = 1, = 0.71(1631) + 0.29( = 1692.299 = 0.01(1692.299 = 85.449
+
) + 0.99(
)
)
12
= 1692.299 + 85.449 (1) = 1777.748 Untuk t = 2, = 0.71(1939) + 0.29(1692.299 + 85.449) = 1892.237 = 0.01(1892.237 1692.299) + 0.99(85.449) = 86.594 = 1892.237 + 86.594 (1) = 1978.831 Untuk t = 2, 3, ... , 17 terlampir pada Lampiran 3, sehingga diperoleh model peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor untuk periode di masa yang akan datang sebagai berikut: 3005.752 85.521 Hasil perhitungan nilai pemulusan dan nilai trend jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor setiap tahunnya dapat dilihat pada Tabel 7. Tabel 7 Aplikasi pemulusan eksponensial ganda dari Holt pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992-2007. Jumlah St bt Tahun Mahasiswa 0 1755.425 86.950 1 1992 1631 1692.299 85.449 1842.375 2 1993 1939 1892.237 86.594 1777.748 3 1994 1807 1856.831 85.374 1978.831 4 1995 1955 1951.289 85.465 1942.205 5 1996 2107 2086.629 85.964 2036.754 6 1997 2470 2383.752 88.075 2172.593 7 1998 2642 2592.650 89.284 2471.827 8 1999 2546 2585.421 88.318 2681.933 9 2000 2925 2852.134 90.102 2673.739 10 2001 2805 2844.799 89.128 2942.237 11 2002 2789 2831.029 88.099 2933.927 12 2003 2726 2782.007 86.728 2919.128 13 2004 2805 2823.483 86.275 2868.735 14 2005 2868 2880.110 85.979 2909.758 15 2006 2887 2909.936 85.417 2966.089 16 2007 3010 3005.752 85.521 2995.353
13 Perbandingan Hasil Peramalan Setelah mendapatkan hasil peramalan dari metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992 sampai tahun 2007, dilakukan perbandingan ketepatan hasil peramalan pada data jumlah mahasiswa Institut Pertanian Bogor tahun 2008 sampai tahun 2012. Data jumlah mahasiswa baru Insitut Pertanian Bogor tahun 2008 sampai tahun 2015 akan dicocokkan dengan second-order fuzzy forecast rules yang telah didapat pada Tabel 5. Jika tidak terdapat rules yang match dengan second-order fuzzy logical relationship yang bersangkutan seperti pada tahun 2009 sampai dengan tahun 2015 maka hasil peramalan dihitung berdasarkan rules yang ada (Lampiran 1). Untuk tahun 2014, fuzzy logical relationship ditentukan dengan menjadikan hasil peramalan pada tahun 2013 menjadi himpunan fuzzy baru. Untuk tahun 2015, hasil peramalan pada tahun 2013 dan tahun 2014 dijadikan himpunan fuzzy yang akan dibentuk menjadi fuzzy logical relationship. Hasil peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 2008 sampai tahun 2015 dengan metode fuzzy time series dapat dilihat dalam Tabel 8. Tabel 8 Aplikasi metode fuzzy time series pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 2008-2015. Tahun 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Jumlah Mahasiswa 3404 3210 3754 3494 3868 -
Fuzzy Logical Relationship A13, A15 # A15, A16 # A16, A17 # A17, A18 # A18, A19 # A19, A20 # A20, A21 # A21, A22 #
Matched Rule No.
Peramalan
14 -
3150 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800
Setelah didapatkan model peramalan dengan menggunakan data jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992 sampai tahun 2007, model ini akan digunakan untuk meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 2008 sampai tahun 2015. Hasil peramalan dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt untuk tahun 2008 sampai tahun 2015 dapat dilihat dalam Tabel 9. Adapun model peramalan yang telah didapat sebagai berikut: 3005.752 85.521 Tabel 9 Aplikasi metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 2008-2015. Tahun 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Jumlah Mahasiswa 3404 3210 3754 3494 3868 -
Peramalan 3091.273 3176.794 3262.315 3347.836 3433.357 3518.878 3604.399 3689.92
14 Pada penulisan karya ilmiah ini penulis menggunakan MAPE (Mean Absolute Percentage Error) untuk menganalisis ketepatan metode yang digunakan. Metode peramalan yang tepat adalah metode yang menghasilkan MAPE yang minimum. Dari Tabel 10 dapat dilihat bahwa dalam peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor dengan metode fuzzy time series didapatkan nilai MAPE sebesar 6.412 % dan dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt didapatkan nilai MAPE sebesar 7.75 %. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa metode fuzzy time series memiliki nilai MAPE lebih kecil dibandingkan dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt. Oleh karena itu, dalam meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor lebih tepat menggunakan metode fuzzy time series karena nilai kesalahan peramalan yang dihasilkan lebih kecil. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, dapat dilihat tingkat ketepatan dari kedua metode peramalan tersebut tercantum pada Tabel 10. Tabel 10 Perbandingan ketepatan metode peramalan. Tahun 2008 2009 2010 2011 2012
Jumlah Mahasiswa 3404 3210 3754 3494 3868 MAPE
Fuzzy Time series Forecast % Error 3150 7.46 % 3200 0.31 % 3300 12.09 % 3400 2.69 % 3500 9.51 % 6.412 %
Metode Holt Forecast % Error 3091.273 9.19 % 3176.794 1.03 % 3262.315 13.10 % 3347.836 4.18 % 3433.357 11.24 % 7.75 %
Analisis pada Data Jumlah Penduduk Indonesia Data jumlah penduduk Indonesia sejak tahun 1980 sampai tahun 2011 (Lampiran 4) akan digunakan untuk melihat jenis data seperti apa yang dapat menghasilkan tingkat ketepatan peramalan yang lebih baik untuk kedua metode. Data jumlah penduduk Indonesia tahun 1980 sampai tahun 2006 digunakan untuk proyeksi dan data jumlah penduduk Indonesia tahun 2007 sampai tahun 2011 digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan hasil peramalan. Proses peramalan dilakukan dengan menggunakan metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt. Perbedaan karakteristik data jumlah penduduk Indonesia dengan data jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor dapat dilihat dalam Tabel 11. Tabel 11 Perbedaan karakteristik data jumlah penduduk Indonesia dengan data jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor. Data Jumlah Mahasiswa Baru Institut Pertanian Bogor Jumlah Penduduk Indonesia
Jumlah Data
Trend
Selisih Data Pertahun
21
Naik
Positif dan Negatif
32
Naik
Positif
Hasil peramalan data jumlah penduduk Indonesia dengan menggunakan metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt dapat dilihat pada Tabel 12.
15 Tabel 12 Hasil peramalan data jumlah penduduk Indonesia dengan menggunakan metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt. Tahun 2007 2008 2009 2010 2011
Jumlah Penduduk 232461746 234951154 237414495 239870937 242325638 MAPE
Fuzzy Time series Forecast % Error 225000000 3.21 % 225000000 4.24 % 225000000 5.23 % 225000000 6.2 % 225000000 7.15 % 5,206 %
Metode Holt Forecast % Error 232311809 0.065 % 234707322 0.1 % 237102836 0.13 % 239498349 0.16 % 241893863 0.178 % 0.127 %
Peramalan data jumlah penduduk Indonesia dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt menghasilkan nilai MAPE yang lebih kecil yaitu sebesar 0.127 %. Berdasarkan hasil peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor (Tabel 10) dan jumlah penduduk Indonesia (Tabel 12), dan perbedaan karakteristik data jumlah penduduk Indonesia dengan data jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor (Tabel 11). Dapat disimpulkan, metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt akan lebih akurat hasil peramalannya jika data yang digunakan lebih banyak dan selisih data pertahunnya selalu positif atau selalu mengalami kenaikan setiap tahunnya dengan kata lain mengalami trend. Metode fuzzy time series tidak bergantung kepada jumlah data dan pola data historis, karena metode ini dalam proses peramalannya hanya membutuhkan data dua tahun sebelumnya.
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan hasil perbandingan metode fuzzy time series dan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt dalam peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor, metode fuzzy time series meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor untuk tahun 2013 sampai tahun 2015 berturut-turut sebanyak 3600, 3700, 3800 orang dengan nilai Mean Absolute Percentage Error sebesar 6.412 %, sedangkan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor untuk tahun 2013 sampai tahun 2015 berturut-turut sebanyak 3519, 3604, 3690 orang dengan nilai Mean Absolute Percentage Error sebesar 7.75 %. sehingga dapat disimpulkan bahwa metode fuzzy time series lebih tepat untuk meramalkan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 2013 sampai tahun 2015, karena tingkat kesalahan (Mean Absolute Percentage Error) yang dihasilkan lebih kecil dibandingkan dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt. Berdasarkan hasil studi kasus pada peramalan jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor dan peramalan jumlah penduduk Indonesia dapat disimpulkan bahwa metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt akan lebih akurat hasil peramalannya jika data yang digunakan lebih banyak dan pola data historisnya mengandung trend sedangkan metode fuzzy time series tidak bergantung kepada jumlah data dan pola data historis.
16 Saran Untuk penelitian berikutnya mengenai metode peramalan time series disarankan menggunakan penerapan metode peramalan time series pada data historis yang berbeda dari apa yang telah dipaparkan dalam tulisan ini serta analisis perbandingan dengan metode peramalan konvensional yang lain. Penggunaan data historis untuk peramalan sebaiknya lebih banyak sehingga tingkat ketepatan suatu metode akan lebih efisien.
DAFTAR PUSTAKA Aritonang LR. 2009. Peramalan Bisnis. Edisi Kedua. Bogor: Ghalia Indonesia. Chen SM. 1996. Forecasting enrollments based on fuzzy time series. Fuzzy Sets and Systems. 81:311-319. Taiwan: National Taiwan University of Science and Technology. Hsu LY, Horng SJ, Kao TW, Chen YH, Run RS, Chen RJ, Lai JL, Kuo IH. 2010. Temperature prediction and TAIFEX forecasting based on fuzzy relationships and MTPSO techniques. Expert Systems with Applications 37:2756-2770. [IPB] Institut Pertanian Bogor. 2012. TPB Dalam Angka. Bogor: IPB. Kuo IH, Horng SJ, Chen YH, Run RS, Kao TW, Chen RJ, Lai JL, Lin TL. 2010. Forecasting TAIFEX based on fuzzy time series and particle swarm optimization. Expert Systems with Applications 37:1494-1502. Makridakis S, Wheelwright SC, McGee VE. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Adriyanto US dan Basith A, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Forecasting 2nd Edition. Montgomery DC, et al. 2008. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting. Canada: John Wiley and Sons, Inc. Peter JB, Richard AD. 2002. Introduction to Time Series and Forecasting, Second Edition, New York: Springer. Hlm 323-324. Song Q, Chissom BS. 1993. Forecasting enrollments with fuzzy time series-Part I. Fuzzy Sets and Systems 54:1 9..
17 Lampiran 1 Perhitungan forecasting value di setiap group Untuk group 2, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A3, A4 A6 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A6 jatuh pada interval u6 = [2100, 2200) serta nilai tengah dari interval u4 adalah 2150 maka forecasting value untuk group 2 adalah 2150. Untuk group 3, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A4, A3 A4 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A4 jatuh pada interval u4 = [1900, 2000) serta nilai tengah dari interval u4 adalah 1950 maka forecasting value untuk group 3 adalah 1950. Untuk group 4, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A4, A6 A9 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A9 jatuh pada interval u9 = [2400, 2500), serta nilai tengah dari interval u9 adalah 2450 maka forecasting value untuk group 4 adalah 2450. Untuk group 5, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A6, A9 A11 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A11 jatuh pada interval u11 = [2600, 2700) serta nilai tengah dari interval u11 adalah 2650 maka forecasting value untuk group 5 adalah 2650. Untuk group 6, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A9, A11 A10 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A10 jatuh pada interval u10 = [2500, 2600) serta nilai tengah dari interval u10 adalah 2550 maka forecasting value untuk group 6 adalah 2550. . Untuk group 7, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A10, A14 A13 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A13 jatuh pada interval u13 = [2800, 2900) serta nilai tengah dari interval u13 adalah 2850 maka forecasting value untuk group 7 adalah 2850. Untuk group 8, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A11, A10 A14 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A14 jatuh pada interval u14 = [2900, 3000) serta nilai tengah dari interval u14 adalah 2950 maka forecasting value untuk group 8 adalah 2950.
18 Untuk group 9, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A12, A12 A12 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A12 jatuh pada interval u12 = [2700, 2800) serta nilai tengah dari interval u12 adalah 2750 maka forecasting value untuk group 9 adalah 2750. Untuk group 10, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A12, A13 A13 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A13 jatuh pada interval u13 = [2800, 2900) serta nilai tengah dari interval u13 adalah 2850 maka forecasting value untuk group 10 adalah 2850. Untuk group 11, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A13, A12 A12 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A12 jatuh pada interval u12 = [2700, 2800) serta nilai tengah dari interval u12 adalah 2750 maka forecasting value untuk group 11 adalah 2750. Untuk group 13, dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group sebagai berikut : A14, A13 A12 di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A12 jatuh pada interval u12 = [2700, 2800) serta nilai tengah dari interval u12 adalah 2750 maka forecasting value untuk group 11 adalah 2750. Untuk tahun 2009, fuzzy logical relationship tidak match dengan rules yang sudah terbentuk, oleh karena itu untuk hasil peramalan tahun 2009 dapat dilakukan perhitungan sesuai proses dan aturan yang ada. Proses perhitungan sebagai berikut: A15, A16 # Di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari A15 dan A16 jatuh pada interval u15 = [3000, 3100) dan u16 = [3100, 3200) dan midpost (nilai tengah) dari u15 dan u16 adalah 3050 dan 3150, maka forecasting value untuk tahun 2009 adalah 3150 + ((3150 - 3050)/2) yaitu 3200. Untuk tahun 2010, fuzzy logical relationship tidak match dengan rules yang sudah terbentuk, oleh karena itu untuk hasil peramalan tahun 2010 dapat dilakukan perhitungan sesuai proses dan aturan yang ada. Proses perhitungan sebagai berikut: # A16, A17 Di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari A16 dan A17 jatuh pada interval u16 = [3100, 3200) dan u17 = [3200, 3300) dan midpost (nilai tengah) dari u16 dan u17 adalah 3150 dan 3250, maka forecasting value untuk tahun 2010 adalah 3250 + ((3250 - 3150)/2) yaitu 3300.
19 Untuk tahun 2011, fuzzy logical relationship tidak match dengan rules yang sudah terbentuk, oleh karena itu untuk hasil peramalan tahun 2011 dapat dilakukan perhitungan sesuai proses dan aturan yang ada. Proses perhitungan sebagai berikut: A17, A18 # Di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari A17 dan A18 jatuh pada interval u17 = [3200, 3300) dan u18 = [3300, 3400) dan midpost (nilai tengah) dari u17 dan u18 adalah 3250 dan 3350, maka forecasting value untuk tahun 2011 adalah 3350 + ((3350 - 3250)/2) yaitu 3400. Untuk tahun 2012, fuzzy logical relationship tidak match dengan rules yang sudah terbentuk, oleh karena itu untuk hasil peramalan tahun 2012 dapat dilakukan perhitungan sesuai proses dan aturan yang ada. Proses perhitungan sebagai berikut: A18, A19 # Di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari A18 dan A19 jatuh pada interval u18 = [3300, 3400) dan u19 = [3400, 3500) dan midpost (nilai tengah) dari u18 dan u19 adalah 3350 dan 3450, maka forecasting value untuk tahun 2012 adalah 3450 + ((3450 - 3350)/2) yaitu 3500. Untuk tahun 2013, fuzzy logical relationship tidak match dengan rules yang sudah terbentuk, oleh karena itu untuk hasil peramalan tahun 2013 dapat dilakukan perhitungan sesuai proses dan aturan yang ada. Proses perhitungan sebagai berikut: # A19, A20 Di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari A19 dan A20 jatuh pada interval u19 = [3400, 3500) dan u20 = [3500, 3600) dan midpost (nilai tengah) dari u19 dan u20 adalah 3450 dan 3550, maka forecasting value untuk tahun 2013 adalah 3550 + ((3550 - 3450)/2) yaitu 3600. Untuk tahun 2014, fuzzy logical relationship tidak match dengan rules yang sudah terbentuk, oleh karena itu untuk hasil peramalan tahun 2014 dapat dilakukan perhitungan sesuai proses dan aturan yang ada. Proses perhitungan sebagai berikut: A20, A21 # Di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari A20 dan A21 jatuh pada interval u20 = [3500, 3600) dan u21 = [3600, 3700) dan midpost (nilai tengah) dari u20 dan u21 adalah 3550 dan 3650, maka forecasting value untuk tahun 2014 adalah 3650 + ((3650 - 3550)/2) yaitu 3700. Untuk tahun 2015, fuzzy logical relationship tidak match dengan rules yang sudah terbentuk, oleh karena itu untuk hasil peramalan tahun 2015 dapat dilakukan perhitungan sesuai proses dan aturan yang ada. Proses perhitungan sebagai berikut: A21, A22 # Di mana nilai maksimum derajat keanggotaan dari A21 dan A22 jatuh pada interval u21 = [3600, 3700) dan u22 = [3700, 3800) dan midpost (nilai tengah) dari u21 dan u22 adalah 3650 dan 3750, maka forecasting value untuk tahun 2015 adalah 3750 + ((3750 - 3650)/2) yaitu 3800.
20 Lampiran 2 Model regresi linear (Makridakis et al. 1995) Diasumsikan terdapat n titik data yang diberi notasi Yi, persamaan regresi = b1 + b2 Xi dapat ditaksir sedemikian rupa sehingga meminimumkan jumlah kuadrat deviasi. Dengan mendefinisikan: maka dan dengan subsitusi,
dengan menggunakan kalkulus,
(1)
(2) Persamaan (1) dan (2) disebut persamaan kuadrat terkecil. Solusi untuk persamaan kuadrat terkecil adalah estimator-estimator kuadrat terkecil untuk b1 dan b2:
21
Perhitungan b1 dan b2 untuk data historis jumlah mahasiswa baru Institut Pertanian Bogor tahun 1992-2007
22 Lampiran 3 Perhitungan nilai pemulusan dan nilai trend di setiap periode dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt Untuk t = 3, = 0.71(1807) + 0.29(1892.237 + 86.594) = 1856.831 = 0.01(1856.831 = 85.374
1892.237) + 0.99(86.594)
= 1856.831 + 85.374 (1) = 1942.205 Untuk t = 4, = 0.71(1955) + 0.29(1856.831 + 85.374) = 1951.289 = 0.01(1951.289 = 85.465
1856.831) + 0.99(85.374)
= 1951.289 + 85.465 (1) = 2036.754 Untuk t = 5, = 0.71(2107) + 0.29(1951.289 + 85.465) = 2086.629 = 0.01(2086.629 = 85.964
1951.289 + 0.99(85.465)
= 2086.629 + 85.964 (1) = 2172.593 Untuk t = 6, = 0.71(2470) + 0.29(2086.629 + 85.964) = 2383.752 = 0.01(2383.752 = 88.075
2086.629) + 0.99(85.964)
= 2383.752 + 88.075 (1) = 2471.827 Untuk t = 7, = 0.71(2642) + 0.29(2383.752 + 88.075)
23 = 2592.650 = 0.01(2592.650 = 89.284
2383.752) + 0.99(88.075)
= 2592.650 + 89.284 (1) = 2681.933 Untuk t = 8, = 0.71(2546) + 0.29(2592.650 + 89.284) = 2585.421 = 0.01(2585.421 = 88.318
2592.650) + 0.99(89.284)
= 2585.421 + 88.318 (1) = 2673.739 Untuk t = 9, = 0.71(2925) + 0.29(2585.421 + 88.318) = 2852.134 = 0.01(2852.134 = 90.102
2585.421) + 0.99(88.318)
= 2852.134 + 90.102 (1) = 2942.237 Untuk t = 10, = 0.71(2805) + 0.29(2852.134 + 90.102) = 2844.799 = 0.01(2844.799 = 89.128
2852.134) + 0.99(90.102)
= 2844.799 + 89.128 (1) = 2933.927 Untuk t = 11, = 0.71(2789) + 0.29(2844.799 + 89.128) = 2831.029 = 0.01(2831.029 = 88.099
2844.799) + 0.99(89.128)
= 2831.029 + 88.099 (1)
24 = 2919.128 Untuk t = 12, = 0.71 (2726) + 0.29(2831.029 + 88.099) = 2782.007 = 0.01(2782.007 - 2831.029) + 0.99(88.099) = 86.728 = 2782.007 + 86.728 (1) = 2868.735 Untuk t = 13, = 0.71(2805) + 0.29(2782.007 + 86.728) = 2823.483 = 0.01(2823.483 = 86.275
2782.007) + 0.99(86.728)
= 2823.483 + 86.275 (1) = 2909.758 Untuk t = 14, = 0.71(2868) + 0.29(2823.483 + 86.275) = 2880.110 = 0.01(2880.110 = 85.979
2823.483) + 0.99(86.275)
= 2880.110 + 85.979 (1) = 2966.089 Untuk t = 15, = 0.71(2887) + 0.29(2880.110 + 85.979) = 2909.936 = 0.01(2909.936 = 85.417
2880.110) + 0.99(85.979)
= 2909.936 + 85.417 (1) = 2995.353 Untuk t = 16, = 0.71(3010) + 0.29 (2909.936 + 85.417) = 3005.752
25
= 0.01(3005.752 2909.936) + 0.99(85.417) = 85.521 Sehingga didapatkan model peramalan 3005.752
85.521
Untuk peramalan tahun 2008 (m=1), 3005.752 85.521 = 3091.273 Untuk peramalan tahun 2009 (m=2), 3005.752 85.521 = 3176.794 Untuk peramalan tahun 2010 (m=3) 3005.752 85.521 = 3262.315 Untuk peramalan tahun 2011 (m=4) 3005.752 85.521 = 3347.836 Untuk peramalan tahun 2012 (m=5) 3005.752 85.521 = 3433.357 Untuk peramalan tahun 2013 (m=6) 3005.752 85.521 = 3518.878 Untuk peramalan tahun 2014 (m=7) 3005.752 85.521 = 3604.399 Untuk peramalan tahun 2015 (m=8) 3005.752 85.521 = 3689.92
26 Lampiran 4 Jumlah penduduk Indonesia tahun 1980 sampai dengan tahun 2011 Tabel 1 Jumlah penduduk Indonesia tahun 1980 sampai dengan tahun 2011 Tahun 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Jumlah Penduduk 150820044 154275429 157758440 161245684 164706919 168119209 171472345 174767379 178006800 181197879 184345939 187451800 190512441 193525648 196488446 199400339 202257039 205063468 207839287 210610776 213395411 216203499 219026365 221839235 224606531 227303175 229918547 232461746 234951154 237414495 239870937 242325638 Sumber: The World Bank (2013)
27 Data jumlah penduduk Indonesia mengalami trend menaik. Gambar 1 menunjukkan trend data jumlah penduduk Indonesia tahun 1980 sampai tahun 2011.
Gambar 1 Jumlah penduduk Indonesia tahun 1980 sampai tahun 2011
28
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 23 November 1991 dari ayah Tie Tjie Kian dan ibu Mimi Suryati. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Budha. Penulis adalah putra kedua dari tiga bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri 1 Gunung Putri, tahun 2006 penulis lulus dari SMP Puspanegara dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 3 Bogor. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan seleksi masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Ilmu dan Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten praktikum Analisis Numerik pada semester pendek tahun ajaran 2012/2013. Penulis juga aktif sebagai staf divisi pengembangan sumber daya manusia himpunan profesi Matematika GUMATIKA IPB 2010/2011, kepala divisi pengembangan sumber daya manusia himpunan profesi GUMATIKA IPB 2011/2012, dan kepala divisi bagian personalia Real Education Center 2011/2012. Mengikuti kepanitiaan IPB Art Contest 2010/2011, Pesta Sains Nasional 2010/2011, dan IPB Mathematics Challenge 2011/2012.
