PERAMALAN JUMLAH WISATAWAN DI AGROWISATA KUSUMA BATU MENGGUNAKAN METODE ANALISIS SPEKTRAL Oleh: Niswatul Maghfiroh NRP. 1208100065 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2012
Pariwisata memiliki peranan penting dalam sektor ekonomi di Indonesia. Oleh karena itu, meramalkan jumlah wisatawan menjadi hal yang menarik untuk diteliti. Pada penelitian ini dilakukan peramalan jumlah wisatawan di Agrowisata Kusuma Batu menggunakan metode analisis spektral. Pada sekumpulan data runtun waktu akan ditentukan model dan polanya yang kemudian akan digunakan untuk memprediksi keadaan yang akan datang. Sedangkan untuk mendapatkan informasi yang lebih lengkap mengenai karakteristik data runtun waktu diperlukan telaahan periodesitasnya. Mempelajari periodesitas data runtun waktu pada kawasan frekuensi dinamakan analisis spektral. Berdasarkan hasil analisa diketahui bahwa data merupakan data yang periodik dan menggunakan model Seasonal ARIMA (1,0,1) (1,0,0)12 yang merupakan model terbaik untuk meramalkan jumlah wisatawan dengan nilai MAPE sebesar 17.06257 %. Kata kunci- Analisis Spektral, ARIMA , Pariwisata, Time Series.
1.1 Latar Belakang Dalam berbagai bidang diperlukan manajemen perencanaan yang tepat dan efisien.
Peramalan model time series dengan metode analisis spektral
Jumlah kunjungan pariwisata di Agrowisata Kusuma Batu
Pariwisata sektor ekonomi penting di Indonesia Pengembangan dan Pengamanan pertumbuhan dalam industri pariwisata
Peramalan
1.2.Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan di atas, permasalahan yang akan dibahas pada Tugas Akhir ini adalah : 1. Akan dikaji model peramalan data runtun waktu menggunakan metode analisis spektral. 2. Akan diimplementasi metode analisis spektral untuk meramalkan data wisatawan di Agrowisata Kusuma Batu.
1.3 Batasan Masalah Batasan permasalahan yang digunakan dalam penelitian Tugas akhir ini adalah: 1. Data yang digunakan merupakan data sekunder kunjungan pariwisata di Agrowisata Kusuma Batu bulan Januari 2006 sampai dengan Desember 2011. 2. Data kunjungan pariwisata merupakan jumlah wisatawan nusantara dan wisatawan asing. 3. Untuk analisis data Software yang digunakan adalah SAS 9, MINITAB 14, dan MATLAB R2010a.
1.4 Tujuan Tujuan dari penelitian Tugas Akhir ini adalah : 1. Mendapatkan model data kunjungan pariwisata di Agrowisata Kusuma Batu dengan menggunakan pendekatan metode analisis spektral. 2. Mendapatkan data perkiraan jumlah wisatawan di Agrowisata Kusuma Batu.
1.5 Manfaat Manfaat dari penulisan Tugas Akhir ini adalah untuk memprediksi jumlah wisatawan yang datang ke Agrowisata Kusuma Batu, sehingga dapat meningkatkan pelayanan dan memberikan metode pendukung keputusan, termasuk penetapan biaya dan juga untuk jasa.
2.1 Time Series Analysis Time series adalah serangkaian pengamatan terhadap suatu variabel yang diambil dari waktu ke waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu kejadiannya dengan interval waktu yang tetap. Secara umum, tujuan dari analisis time series adalah menemukan bentuk atau pola dari data pada masa lalu dan menggunakan bentuk tersebut untuk melakukan peramalan pada masa yang akan datang. Data yang dianalisis time series haruslah data yang stasioner dalam varian dan mean. 2.2 Analisis Spektral Analisis spektral merupakan suatu metode yang digunakan untuk analisis time series pada domain frekuensi. Metode ini merupakan analisis statistik inferensial (yang dapat disimpulkan) yang berdasarkan konsep frekuensi, secara visual digambar dengan spektrum. Konsep dasar analisis spektral yakni menghitung periodogram dan menggambarkan garis spektrum kuasanya.
2.3 Stasioneritas Data
Ketidakstasioneran dalam mean dapat terjadi akibat adanya pola tren. Adanya tren dapat diatasi dengan proses pembedaan (differencing). Proses pembedaannya dilakukan dengan difference operator yaitu
dengan B adalah operator mundur atau back shift operator sedangkan d adalah orde differencing. Stationeritas data dalam varians dapat dilihat dengan nilai λ estimate pada transformasi Box-Cox. …(2.1)
2.4 Periodogram Periodogram merupakan fungsi spektrum kuasa atas frekuensinya. Untuk menelaah periodesitas data dilakukan terhadap frekuensi yang berpasangan dengan titik-titik puncak garis spektrumnya. Persamaan periodogram dituliskan sebagai berikut:
2.5 Fast Fourier Transform
Metode Fast Fourier Transform merupakan perhitungan nilai-nilai fungsi periodogram dengan mentransformasikannya ke sistem bilangan kompleks. Dengan nilai periodogram
Karena merupakan jumlahan kuadrat dari dan dinyatakan dalam pernyataan bilangan kompleks yakni
, maka nilai akar dapat
dengan p=0, 1, 2,…. ,
2.6 Model ARIMA Salah satu model time series yakni ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average). Bentuk umum pesamaan ARIMA (p,d,q) adalah sebagai berikut:
Terdapat pula model Seasonal ARIMA (SARIMA) pesamaan adalah sebagai berikut
Keterangan: Xt at
dengan bentuk umum
= data (observasi) = nilai residual (error) pada waktu ke-t = koefisien parameter model autoregressive (AR) ke-p = koefisien parameter model moving average (MA) ke-p
Mulai
Studi Literatur Dan Pendahuluan
Identifikasi data
Mengkaji Analisis Spektral
Mengimplementasikan Pada Data Runtun Waktu
Analisis Hasil dan Kesimpulan Penulisan Tugas Akhir
Selesai
Tidak Stasioner r Ya Perhitungan Periodogram Peramalan dengan ARIMA
Transformasi atau Differencing
4.1 Analisis Spektral Pada Data Runtun Waktu (Time Series)
Analisis spektral atau yang sering juga disebut analisis spektrum merupakan metode untuk mengestimasi spectral density function (SDF) atau spektrum dari data runtun waktu. Analisis spektral dapat diterapkan pada berbagai tipe data time series. Analisis spektral adalah analisis runtun waktu yang dapat menguraikan data ke dalam himpunan gelombang sinus dan atau kosinus pada berbagai frekuensi yang dapat digunakan untuk mencari periodisitas tersembunyi. Sehingga penerapannya data yang digunakan dalam Analisis Spektral harus dirubah terlebih dahulu dari domain waktu menjadi domain frekuensi. Agar data dapat dianalisis dengan menggunakan analisis spektral maka data harus stasioner terlebih dahulu. Stasioneritas data harus dalam mean dan varian. Pemeriksaan kestasioneran dapat dilakukan dengan bantuan time series plot dan autocorrelation function plot (plot ACF).
4.1.1 Time series Plot Time series plot adalah penyajian data dengan menggunakan scatter-plot yaitu penyajian dalam koordinat cartesius, sumbu tegak adalah nilai variabel time series dan sumbu datar adalah waktu. Stasioner dalam mean pada plot time series data akan terlihat berfluktuasi disekitar garis yang sejajar sumbu waktu () atau jika nilai meannya konstan dan tidak dipengaruhi oleh deret waktu. Sedangkan stasioner dalam varian terlihat pada plot time series simpangan data tidak terlalu besar atau variannya tidak dipengaruhi deret waktu atau konstan. Data yang tidak stasioner dalam mean perlu dilakukan pembedaan (differencing). Proses pembedaannya dilakukan dengan difference operator yaitu menggunakan operator backshift sebagai berikut Dan operator
diferensi yang didefinisikan sebagai berikut
Lanjutan… Dengan demikian kedua operator tersebut mempunyai hubungan
Dengan B adalah operator mundur atau backsward hift operator sedangkan d adalah orde differencing. Sedangkan data yang tidak stasioner dalam varian perlu dilakukan proses transformasi agar variannya menjadi konstan. Model Transformasi seperti persamaan (2.1) pemilihan nilai (lambda) biasanya dilakukan secara coba-coba (trial and error) sampai diperoleh nilai sedemikian hingga data hasil transformasi sudah dianggap stasioner dalam varians. Ketentuan lainnya yakni: 1. Transformasi seharusnya dilakukan sebelum langkah pembedaan (differencing). 2. Transformasi tidak hanya menstabilkan varian tetapi juga menjadikan data semakin normal.
4.1.2 Autokovarian dan Autocorrelation Function (ACF) Autokorelasi adalah korelasi antarderet pengamatan suatu deret waktu, sedangkan fungsi autokorelasi (ACF) adalah plot autokorelasi. Autocorrelation Function (ACF) menggambarkan kovarian dan korelasi antara pengamatan pada waktu ke-t dengan pengamatan pada waktu-waktu yang sebelumnya yang dipisahkan oleh k lag . Persamaan dapat dituliskan sebagai berikut:
Dengan : fungsi autokorelasi : fungsi autokovarians : pengamatan pada waktu ke , dan : pengamatan pada waktu ke .
4.1.3 Partial Autocorrelation Function (PACF) Fungsi autokorelasi parsial adalah korelasi antarderet pengamatan suatu time series. Nilai PACF didefinisikan sebagai berikut
Dengan lag k.
merupakan himpunan autokorelasi parsial untuk berbagai
4.2 Analisis Periodogram Periodogram merupakan fungsi spektrum kuasa atas frekuensinya. Sedangkan untuk menelaah periodesitas data dilakukan terhadap frekuensi yang berpasangan dengan titik-titik puncak garis spektrumnya. Persamaan periodogram Periodogram dapat di tuliskan dalam bentuk bilangan kompleks sebagai berikut … (4.1) Dengan berikut
dan
merupakan koefisien Fourier yang dituliskan sebagai
Persamaan (4.1) dapat dibuktikan sebagai berikut:
Lanjutan…
4.2.1 Dengan
Hubungan Periodogram Dengan Fungsi Autocovarians maka persamaan (4.1) dapat dituliskan
Dengan mensubstitusikan t=s+k, maka
Lanjutan…
… (4.2)
Maka persamaan (4.2) dapat ditulis
4. 3 Identifikasi Data Pada Gambar 1 menunjukkan bahwa plot data berfluktuasi disekitar nilai tertentu. Hal tersebut dapat dikatakan bahwa data masih cukup stabil dan stasioner terhadap mean. Terlihat pula plot tidak menunjukkan adanya titik yang memencil. Namun, Gambar 1 masih belum cukup untuk membuktikan adanya kestasioneran data. Sehingga perlu diperkuat dengan plot lain yakni plot ACF dan PACF.
Lanjutan…
Gambar 2 menunjukkan bahwa hanya beberapa lag yang keluar dari batas normal dan lag turun menuju nol dengan cepat. Dengan demikian data sudah stasioner terhadap mean.
Lanjutan…
Gambar 3a terlihat bahwa data masih belum stasioner terhadap varians, hal tersebut diketahui dari nilai rounded value yang masih kurang dari 1 yakni . dengan demikian data jumlah wisatawan perlu ditransformasi terlebih dahulu. Gambar 3b adalah transformasi 1 (satu) kali dari data jumlah wisatawan dan diperoleh nilai rounded value sebesar 1.00 dengan demikian data sudah stasioner dalam varians.
Lanjutan… Partial Autocorrelation Function for Transformasi 1
Autocorrelation Function for Transformasi 1
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
Partial Autocorrelation
Autocorrelation
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-0.8
-1.0
-1.0
1
1
5
10
15
20
25
a
30 Lag
35
40
45
50
5
10
15
20
25
55
30 Lag
35
40
45
50
b
Gambar 4. (a). Plot ACF Data Stasioner, (b). Plot PACF Data Stasioner
55
Lanjutan…
Berdasarkan Gambar 5 diketahui bahwa fungsi periodogram terlihat adanya keperiodikan data pada periode tertentu. Dengan demikian menunjukkan bahwa data wisatawan merupakan data yang musiman (seasonal).
4.4 Model Time Series Berdasarkan Gambar 4 dan 5 terbentuk suatu dugaan model seasonal ARIMA sementara untuk data. Model data jumlah wisatawan yakni (0,0,[5[)(0,0,1)12. Dimana model tersebut merupakan model ARIMA dengan seasonal 12.
4.5 Uji Signifikansi Parameter Model Daerah penolakan: Tolak H0 jika Pvalue<α atau
.
Tabe1 1. Hasil Estimasi Model ARIMA (0,0,[5[)(0,0,1)12
Berdasarkan Tabel 1 diketahui bahwa parameter model signifikan. 4.6 Uji Asumsi Residual A. Uji Identik Berdasarkan Gambar 4.3 yakni hasil transformasi satu kali data wisatawan diperoleh nilai rounded value sebesar 1.00 yang merupakan data telah stasioner terhadap varians. Dengan demikian karena data stasioner dalam varians maka model ARIMA (0,0,[5])(0,0,1)12 memenuhi uji identik.
B. Uji Asumsi Reasidual White Noise Model ARIMA (0,0,[5[)(0,0,1)12
C. Uji Asumsi Residual Berdistribusi Normal Model ARIMA (0,0,[5[)(0,0,1)12
4.7 Overfitting Berdasarkan plot ACF dan PACF data yang telah stasioner dapat dibentuk beberapa model yakni (1,0,1)(1,0,0)12 , (1,0,[1][5])(1,0,0)12, (1,0,1)(0,0,1)12, dan (1,0,[1][5])(0,0,1)12 . Tabel 2. Tabel Uji Signifikansi Parameter
4.7.1 Uji Signifikansi Parameter Model Tabel 3. Tabel Uji Signifikansi Parameter ARIMA
Berdasarkan Tabel 3 diketahui bahwa setiap parameter pada model ARIMA (1,0,1)(1,0,0)12, (1,0,[1][5])(1,0,0)12, (1,0,1)(0,0,1)12, dan (1,0,[1][5])(0,0,1)12 signifikan, hal tersebut diketahui berdasarkan setiap parameter lebih besar dari dan nilai < dengan demikian model tersebut merupakan model yang signifikan.
4.7.2 Uji Asumsi Residual A. Uji Identik Berdasarkan Gambar 4.3 yakni hasil transformasi satu kali data wisatawan diperoleh nilai rounded value sebesar 1.00 yang merupakan data telah stasioner terhadap varians. Dengan demikian karena data stasioner dalam varians maka model ARIMA (1,0,1)(1,0,0)12, (1,0,[1][5])(1,0,0)12, (1,0,1)(0,0,1)12, dan (1,0,[1][5])(0,0,1)12 memenuhi uji identik. B. Uji Asumsi Residual White Noise Berdasarkan Tabel 7 diketahui bahwa nilai setiap model lebih kecil dari dan > α. Dengan demikian model ARIMA (1,0,1)(1,0,0)12, (1,0,[1][5])(1,0,0)12, (1,0,1)(0,0,1)12, dan (1,0,[1][5])(0,0,1)12 memenuhi uji reasidual white noise.
Tabel 4. Uji Asumsi Residual White Noise
C. Uji Residual Berdistribusi Normal Tabel 5. Uji Residual Berdistribusi Normal
Berdasarkan Tabel 5 diketahui bahwa nilai untuk semua model ARIMA (1,0,1)(1,0,0)12, (1,0,[1][5])(1,0,0)12, (1,0,1)(0,0,1)12, dan (1,0,[1][5])(0,0,1)12 kurang dari .Dengan demikian model berdistribusi normal.
4.8 Pemilihan Model Terbaik Pemilihan Model terbaik didasarkan pada dua kriteria yakni kriteria in sample dan kriteria out sample. A. Kriteria In Sample Dalam kriteria in sample model terbaik dipilih berdasarkan nilai AIC dan SBC yang dihasilkan dari pengolahan data. Tabel 6. Nilai AIC dan SBC
B. Kriteria Out Sample Berdasarkan Tabel 7 model (1,0,1) (1,0,0)12 memiliki nilai MAPE yang kecil yakni 17.06257%, dengan demikian model tersebut adalah model yang terbaik. Tabel 7. Nilai MSE, RMSE, dan MAPE
4.9 Hasil Peramalan Tabel 8 merupakan hasil peramalan dari data jumlah wisatawan di Agrowisata Kusuma Batu untuk kedepannya. Dimana merupakan hasil peramalan data yang telah ditransformasi 1 (satu) kali. Tabel 8. Hasil Peramalan
5.1 Kesimpulan Berdasarkan analisa dan pembahasan pada penelitian ini dapat diambil kesimpulan yakni data jumlah wisatawan merupakan data yang periodik dengan keperiodikan tahunan atau 12 bulan. Model time series yang terbaik untuk meramalkan jumlah wisatawan di Agrowisata Kusuma Batu yakni model Seasonal ARIMA (1,0,1)(1,0,0)12 dapat juga dituliskan dengan
5.2 Saran Saran yang dapat dipertimbangkan untuk penelitian selanjutnya yakni agar lebih terlihat keperiodikannya data yang digunakan dapat berupa data suatu kejadian alam dengan interval waktu yang lebih pendek. Saran yang dapat dipertimbangkan untuk penelitian selanjutnya yakni agar lebih terlihat keperiodikannya data yang digunakan dapat berupa data suatu kejadian alam dengan interval waktu yang lebih pendek.
[1] Chan, F. dan Lim, C. (2011). Spectral Analysis of Seasonality in Tourism Demand. International Journal of Mathematics and Computers in Simulation Vol. 81, Hal. 1409- 1418. [2] Himmah, F. (2000). “Analisis Spektral Untuk Uji Kestabilan Reference Frekuensi Pada Radio Base Station (RBS) Di PT. Metrosel Nusantara Surabaya”. Jurusan Statistika ITS, Surabaya. [3] Wilson, P. J. dan Perry, L. J. (2004). Forecasting Unemployment Rates Using Spectral Analysis. Australian Jornal of Labour Economics Vol. 7, No. 4, P 459-480. [4] Wei, W.W.S. (2006). Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, Second Edition. United State of America: pearson education, Inc.
Lanjutan…
[5] Box, G.E.P dan Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis Forecasting and Control, 2nd Edition. San Francisco: Holden-Day. [6] Sumodiningrat, G. Dr. M.EC. (1999). “Pengantar Ekonometrika”. Fakultas Ekonomi UGM, Yogyakarta. [7] Mulyana, Drs. MS. (2004). “Analisis Spektral Untuk Menelaah Periodesitas Tersembunyi Dari Data Deret Waktu”. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNPAD, Bandung. [8] Makridakis, W. Mc Gee. (1999). ”Metode dan Aplikasi Peramalan, Edisi kedua”. Bina Rupa Aksara, Jakarta. [9] Jenkins, G.M. dan Watts, D.G. (1968). Spectral Analysis And Its Applications. San Fransisco, California: Holden-Day, Inc.
Lanjutan…
[10] Hearn, G.E. dan Metcalfe, A., V. (1995). Spectral Analysis in Engineering, Concept And Cases. London: Hodder Headline PLC.
…TERIMA KASIH…
