Peramalam Jumlah Penumpang Yang Berangkat Melalui Bandar Udara Temindung Samarinda Tahun 2012 Dengan Metode ARIMA BOX-JENKINS

Jurnal EKSPONENSIAL Volume 3, Nomor 1, Mei 2012

ISSN 2085-7829

Peramalam Jumlah Penumpang Yang Berangkat Melalui Bandar Udara Temindung Samarinda Tahun 2012 Dengan Metode ARIMA BOX-JENKINS Forecasting The Number Of Passengers Departing From Temindung Airport Samarinda In 2012 With ARIMA Box-Jenkins Method Desi Yuniarti Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

Abstract Forecasting is a technique of estimating a value in the future by observing past data and current data. Based on the analysis of the ARIMA Box Jenkins method obtained the best model to predict the number of passengers departing from Temindung airport Samarinda is ARIMA (0,1,1). With MSE value is 26,08, this model produces a constant forecasting results that is equal to 4035 the number of passengers departing through the Temindung airport Samarinda in January 2012 to December 2012. Keyword : ARIMA Box Jenkins, Temindung Airport Samarinda

Pendahuluan Peramalan merupakan suatu teknik memperkirakan suatu nilai pada masa yang akan datang dengan memperhatikan data masa lalu maupun data saat ini. Peramalan merupakan bagian integral dalam pengambilan keputusan, sebab efektif atau tidaknya suatu keputusan umumnya bergantung pada beberapa faktor yang tidak dapat dilihat pada waktu keputusan itu diambil (Aswi & Sukarna, 2006). Salah satu metode peramalan yang sering digunakan adalah metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) yang dikembangkan oleh Box Jenkins. Model ARIMA terdiri dari dua aspek, yaitu aspek autoregressive dan moving average. Secara umum, model ARIMA ini dituliskan dengan notasi ARIMA (p, d, q), dimana p menyatakan orde dari proses autoregressive (AR); d menyatakan pembedaan (differencing), dan q menyatakan orde dari proses moving average (MA). Proses peramalan dengan metode ARIMA Box-Jenkins ini terdiri atas empat tahapan, yaitu identifikasi, penaksiran (estimation) parameter, pemeriksaan diagnostik (diagnostic checking) dan peramalan (forecasting) (Aswi & Sukarna, 2006). Pada penelitian ini akan dilakukan peramalan dengan metode ARIMA Box-Jenkins dengan studi kasus jumlah penumpang yang berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda tahun 2012. Analisis Time Series dengan ARIMA BoxJenkins Deret waktu (time series) merupakan rangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu tetap. Sedangkan analisis

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

deret waktu adalah salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk meramalkan struktur probabilistik keadaan yang akan terjadi di masa yang akan datang dalam rangka pengambilan keputusan. Salah satu analisis time series adalah metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) yang dikembangkan oleh Box Jenkins. Proses peramalan dengan metode ARIMA Box-Jenkins ini terdiri atas empat tahapan, yaitu identifikasi, penaksiran (estimation) parameter, pemeriksaan diagnostik (diagnostic checking) dan peramalan (forecasting) (Aswi & Sukarna, 2006). Jenis-jenis Pola Data dalam Time Series Salah satu aspek terpenting dalam memilih suatu metode time series yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode yang paling tepat dengan pola tersebut dapat diuji. Pola data time series dapat dibedakan menjadi empat jenis yaitu (Aswi & Sukarna, 2006): 1. Pola Horisontal (H) terjadi bilamana nilai data berfluktuasi disekitar nilai rata-rata yang konstan. 2. Pola Musiman (S) terjadi bilamana suatu time series dipengarui oleh faktor musiman. 3. Pola Trend (T) terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan pada time series dari suatu periode yang diperluas. 4. Pola Siklis (C) terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan sekuler jangka panjang pada data. Stasioneritas Suatu time series dikatakan stasioner secara keseluruhan apabila mempunyai fungsi distribusi, mean dan variansi yang konstan untuk semua t.

25


Dengan kata lain, time series yang stasioner adalah tidak terjadi kenaikan ataupun penurunan nilai secara tajam pada data (fluktuasi data berada pada sekitar nilai rata-rata yang konstan). Secara umum, ketidakstasioneran dalam suatu data time series meliputi variansi dan rata–rata. Menstasionerkan data yang tidak stasioner dalam variansi dapat dilakukan dengan transformasi Box-Cox, sedangkan menstasionerkan data yang tidak stasioner dalam rata–rata dapat dilakukan dengan transformasi pembedaan (differencing). 1. Transformasi Box-Cox Transformasi Box-Cox adalah salah satu metode untuk menstasionerkan data yang tidak stasioner dalam variansi yang dikenalkan oleh Box dan Tiao Cox. Secara matematis, transformasi Box-Cox dirumuskan sebagai berikut: ( )

( )

{

(1)

dimana sebagai parameter transformasi. Pendugaan parameter dapat dicari dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelyhood Method) dimana nilai dipilih berdasarkan jumlah kuadrat sisaan yang paling minimum. Setiap nilai memiliki rumus transformasi yang berbeda. Transformasi dilakukan jika belum diperoleh nilai yang berarti data stasioner dalam varians. Berikut ini adalah nilai beserta rumus transformasinya (Aswi & Sukarna, 2006). Tabel 1. Nilai -1 -0,5 0 0,5 1

dan transformasinya Transformasi 1/Zt ⁄√ ln Zt √ Zt

Beberapa ketentuan untuk menstabilkan variansi adalah (Aswi dan Sukarna, 2006): 1. Transformasi boleh dilakukan hanya untuk deret Zt yang positif. 2. Transformasi dilakukan sebelum melakukan differencing dan pemodelan time series. 3. Transformasi tidak hanya menstabilkan variansi, tetapi juga dapat menormalkan distribusi. 2. Transformasi Differencing (Pembedaan) Apabila terjadi keraguan apakah stasioner atau tidak, maka dapat dilihat dari grafik autokorelasi. Apabila grafik Autocorrelation Function (ACF) menunjukkan penurunan nilai-nilai autokorelasi secara perlahan-lahan sampai lag terakhir maka perlu dilakukan pembedaan atau transformasi. 26

ISSN 2085-7829

Pembedaan pertama : (2) dimana : = Lambang dari differencing (pembedaan) Nonstasioner yang ditunjukkan oleh time series dianggap sebagai nonstasioner homogen, dalam arti bahwa meskipun time series itu bergerak bebas untuk suatu lokasi tertentu, tingkah geraknya pada periode waktu lain pada dasarnya sama. Nonstasioner yang homogen ditunjukkan oleh time series yang selisih (perubahan) nilai-nilai yang berturutan adalah stasioner (Soejoeti, 1987). Autocovariance dan Autocorrelation Function Autocorrelation Function (ACF) adalah korelasi antara Zt dan Zt+k dari proses yang sama dan dipisahkan oleh waktu lag k. Suatu proses dikatakan stasioner jika Autocovariance dan Autocorrelation Function (ACF) memiliki nilai E (Zt ) = µ dan nilai variansinya adalah Var(Zt) = E(Zt - µ)2 = σ2 selalu konstan serta nilai kovariansnya adalah (Cov(Zt, Zs)) merupakan |. fungsi dari pembedaan time series | Diagram ACF dapat digunakan sebagai alat untuk mengidentifikasi kestasioneran data. Jika diagram ACF cenderung turun lambat atau turun secara linier, maka dapat disimpulkan data belum stasioner dalam rata-rata (Wei, 2006). Persamaan dari kovarians antara Zt dan Zt+k adalah ( ) ) (3) ( )( dan korelasi antara Zt dan Zt+k adalah ( ) (4) √

(

)√

(

)

dengan catatan, var(Zt) = var(Zt+k) = . Sesuai fungsi dari k, adalah autocovariance function, dan adalah autocorrelation function (ACF) dalam analisis time series karena masing-masing dari keduanya menyatakan kovariansi dan korelasi antara Zt dan Zt+k dari proses yang sama, hanya dipisahkan oleh jarak waktu lag k (Wei, 2006). Untuk proses stasioner, autocovariance function ( ) dan autocorrelation function ( ) memiliki sifat-sifat sebagai berikut (Aswi dan Sukarna, 2006): a. = Var(Zt) ; = 1 b. | | ;| | c. dan untuk semua k. Partial Autocorrelation Function Autokorelasi parsial (Partial Autocorrelation) digunakan untuk mengukur tingkat keeratan (association) antara Zt dan Zt-k, apabila pengaruh lag waktu (time lag) 1, 2, 3, …, k-1 dianggap terpisah. Partial Autocorrelation Function (PACF) adalah suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada waktu ke t (dinotasikan dengan Zt) dengan Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman


pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya (Zt-1, Zt-2, …, Zt-k). Persamaan dari Partial Autocorrelation Function antara Zt dan Zt+k adalah (Wei, 2006) (

√

̂ )(

̂ )√

(

̂

(

)

̂

(5)

)

atau dengan menggunakan metode Cramer diperoleh persamaan Yule Walker dalam bentuk matrik (Wei, 2006): |

|

(6) |

Durbin (1960) telah memperkenalkan metode yang lebih efisien untuk menyelesaikan persamaan Yule Walker (Aswi dan Sukarna,2006): (7)

∑

B menyatakan operator mundur, k yaitu B Yt  Yt k dan ̇ . Untuk Autoregressive Orde 1, AR(1), atau ARIMA(1,0,0) maka prsamaan untuk model AR(1) adalah : ( ) ̇ ̇ ̇ (9) Model AR(1) memenuhi syarat kestasioneran dan invertible apabila : | | atau Fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function) untuk model AR (1) adalah sebagai berikut : {

|

∑

ISSN 2085-7829

dimana untuk j = 1, 2, …, k-1. Proses White Noise Proses white noise merupakan kondisi dari variabel random yang berurutan tidak saling berkorelasi dan mengikuti suatu distribusi tertentu. Suatu proses { } disebut white noise ( ) bila rata-ratanya konstan dan ( ) diasumsikan nol, variansnya konstan dan nilai kovarians untuk proses ini ( ) , dimana ( ) (Liu, 2006). Dengan demikian proses white noise adalah stasioner dengan fungsi autokovarians sebagai berikut: { fungsi autokorelasi: { dan fungsi autokorelasi parsial: { Model Dalam Time Series Model-model ARIMA untuk data time series meliputi model Autoregressive (AR), model Moving Average (MA), model Campuran ARMA(p,q), dan model ARIMA(p,d,q). 1. Proses Autoregressive (AR) Bentuk umum model AR orde p atau AR(p) adalah : ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) ̇ (8) dimana ( ) ( ) Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

(10)

Dari persamaan (10) terlihat bahwa nilai autokorelasi semakin kecil atau mendekati nol seiring bertambahnya lag (k) sehingga dapat dikatakan bahwa bentuk ACF dari model AR(1) turun secara eksponensial. Fungsi autokorelasi parsial (Partial Autocorrelation Fuction) untuk Model AR(1) adalah sebagai berikut: {

(11)

Dari persamaan (11) terlihat bahwa nilai parsial autokorelasi yang signifikan berbeda dari nol hanya pada lag 1 saja. 2. Proses Moving Average (MA) Bentuk umum dari proses moving average orde q dinyatakan MA(q) adalah (Aswi dan Sukarna, 2006): ̇ ̇ ( ) (12) dimana : ( ) ( ) Untuk Moving Average Orde 1, MA(1), atau Model ARIMA(0,0,1), maka persamaan MA(1) adalah : ̇ ( ) (13) Rata-rata ( ̇ ) yaitu : ( ) ( ̇) (14) Model MA(1) memenuhi syarat kestasioneran dan invertible apabila : | | Fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function) untuk model MA (1) adalah sebagai berikut : {

(15)

Dari persamaan (15) diketahui bahwa nilai autokorelasi yang signifikan berbeda dari nol hanya pada lag 1 saja, atau dapat dikatakan bahwa nilai autokorelasi terpotong (cut off) sesudah lag 1.

27


Fungsi autokorelasi parsial (Partial Autocorrelation Fuction) untuk model MA(1) adalah sebagai berikut : (

) (

(16)

)

Dari persamaan (16) terlihat bahwa nilai parsial autokorelasi turun secara eksponensial mendekati nol. 3. Proses Campuran ARMA(p,q) Model ini merupakan kombinasi dari model autoregressive dan model moving average yang dapat dinyatakan dalam bentuk : ( ) ̇ ( ) (17) dimana : ( ) ( ) ( ) ( ) dan at = error white noise. Proses ARMA yang stasioner dan invertible dapat ditulis dalam representasi autoregressive yaitu : ( ) ̇ (18) dimana ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Proses ini juga dapat ditulis dalam representasi dari moving average yaitu : ̇ ( ) (19) Dimana : ( ) ( ) ( ) Fungsi autokovariansi dari proses ini adalah : ( ) (20) Oleh karena itu, fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function) untuk model ARMA(p,q) dapat ditulis dengan ( ) (21) 4. Proses ARIMA (p,d,q) Bentuk umum suatu proses autoregresif integrated moving average atau ditulis ARIMA(p,d,q) dinyatakan dalam persamaan: ( )( ) ( ) (22) Dari pembahasan di atas, diagnosa pada model dapat mengggunakan patokan pola dari ACF dan PACF seperti pada Tabel 2 (Aswi & Sukarna, 2006). Tabel 2. Identifikasi Model AR, MA dan ARMA Dengan Pola Grafik. Model AR (p)

MA (q) ARMA (p,q)

28

ACF turun secara eksponensial (dies down) terpotong setelah lag q (cut off after lag q) turun secara eksponensial (dies down)

PACF terpotong setelah lag p (cut off after lag p) turun secara eksponensial (dies down) turun secara eksponensial (dies down)

ISSN 2085-7829

Penaksir Parameter Secara umum, penaksiran parameter model ARIMA Box-Jenkins dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa metode antara lain metode moment, metode least squared, metode maximum likelihood, dan sebagainya (Aswi & Sukarna, 2006). Pemeriksaan (Diagnostic Checking) Pemeriksaan dilakukan untuk membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai. Pemeriksaan diagnostik dapat dibagi ke dalam dua bagian, yaitu uji signifikansi parameter dan uji kesesuaian model (meliputi uji asumsi white noise dan residual berdistribusi normal). 1. Uji Signifikansi Parameter Secara umum, misalkan adalah suatu parameter pada model ARIMA Box-Jenkins dan ̂ adalah nilai taksiran dari parameter tersebut, serta ( ̂ ) adalah standard error dari nilai taksiran ̂ maka pengujian terhadap parameter model dapat dilakukan sebagai berikut (Aswi & Sukarna, 2006): 1) Hipotesis H0 : = 0 (parameter model tidak signifikan) H1 : ≠ 0 (p r r od l ig ifi ) 2) Statistik uji : ̂ ( ) ( ̂) ( ̂)

√

̂ = nilai parameter dimana : SE( ̂ ) = Standard Error parameter. 3). Kriteria pengambilan keputusan : | | H0 ditolak jika

dan

;

= banyaknya parameter atau dengan menggunakan nilai sig (p-value), yaitu tolak H0 jika nilai (p-value) < α. 2. Uji Kesesuaian Model Uji kesesuaian model meliputi kecukupan model (uji apakah sisanya white noise) dan uji asumsi residual berdistribusi normal dengan uji Kolmogorov Smirnov (Soegyarto, 2004). a. Uji Sisa White Noise Uji white noise dapat dituliskan sebagai berikut : 1) Hipotesis H0 : H1 : Minimal ada satu Statistik uji, yaitu statistik uji Ljung-Box atau Box-Pierce Modified : (

)∑

̂ (

)

(


)


2) Kriteria pengambilan keputusan : H0 ditolak jika . K berarti pada lag K dan m adalah jumlah parameter yang ditaksir dalam model. b. Uji Asumsi Distribusi Normal Uji asumsi ini bertujuan untuk mengetahui apakah data telah memenuhi asumsi kenormalan atau tidak. Salah satu cara yang digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1) Hipotesis H0 : ( ) (Data berdistribusi normal) H1 : ( ) (Data tidak berdistribusi normal) 2) Statistik uji, yaitu statistik uji Kolmogorov Smirnov dengan persamaan : D = maksimum|Fo(X) – SN(X)| (25) dengan, Fo(X) : frekuensi kumulatif relative dari data SN(X) : frekuensi kumulatif teoritis dari data 3) Daerah kritik : H0 ditolak jika p-value < α atau Dhitung > D(α, ), dengan n banyaknya pengamatan. Ketepatan Model Peramalan Dalam analisis data, biasanya dipilih model yang dapat mewakili data yang dianalisis, karenanya perlu dilihat kriteria dalam memilih model yang tepat. Ketepatan dipandang sebagai suatu kriteria penolakan untuk memilih suatu metode peramalan. Dalam banyak hal, kata “ p (accuracy)” j b r p jauh model peramalan mampu mereproduksi data yang telah diketahui. Salah satu ukuran statistik yang digunakan untuk melihat ketelitian dan ketepatan model yang akan diramalkan dan untuk pencarian teknik yang optimal adalah dengan menggunakan Mean Square Error (MSE) (Makridakis dkk, 1999). Kriteria MSE dirumuskan sebagai berikut : ∑̂

(

)

dengan ̂ = taksiran residual/sisa pada ̂ ) ; N = banyaknya peramalan ; ̂ ( residual/sisa data. Semakin kecil nilai MSE berarti nilai taksiran semakin mendekati nilai sebenarnya, atau model yang dipilih merupakan model terbaik, karena hal itu berarti bahwa di masa lalu model dapat menirukan kenyataan secara lebih baik dengan tingkat kesalahan yang kecil (Mulyono, 2000). Bandar Udara Temindung Samarinda Bandar Udara Temindung Samarinda yang bertempat di Jalan Pipit, merupakan urat nadi Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

ISSN 2085-7829

transportasi dan perekonomian kawasan terisolir di Kalimantan Timur. Bandar Udara Temindung ini dibangun sejak awal Tahun 1970-an dengan luas sekitar 13,29 ha, terletak di jantung kota yang dikelilingi bangunan, serta memiliki landasan pacu kurang dari 1000 meter. Landasan pacu Bandar Udara Temindung hanya 950 meter menyebabkan Bandar Udara Temindung hanya bisa melayani pesawat kecil atau pesawat perintis untuk kawasan pedalaman dan perbatasan. Pada aturan teknis Departemen Perhubungan maka Temindung kurang tepat disebut sebagai Bandar Udara lebih tepatnya jika disebut Lapangan Terbang. Bandar Udara Temindung melayani penerbangan dari Samarinda menuju Balikpapan, Berau, dan Kota-kota lain di wilayah utara Kalimantan Timur dengan menggunakan 3 maskapai yaitu Trigana Air, Kalstar serta Avia Star. Normalnya setiap hari Trigana Air dan Kalstar mengangkut 32 hingga 42 orang penumpang dengan frekuensi sebanyak 4 kali penerbangan. Metodologi Penelitian Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data jumlah penumpang yang berangkat dari Bandar Udara Temindung Samarinda. Data berbentuk data bulanan dari Januari tahun 1999 sampai Desember tahun 2011. Peramalan jumlah penumpang yang berangkat tahun 2012 dilakukan dengan metode ARIMA Box Jenkins dengan tahapan analisis meliputi tahap identifikasi, tahap penaksiran parameter dan pemeriksaan diagnostik, kemudian tahap peramalan. Analisis dilakukan dengan bantuan software Minitab 14.0. Analisis dan Pembahasan Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data bulanan jumlah penumpang yang berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari bulan Januari 1999 sampai Desember 2011, sehingga jumlah data yang digunakan adalah 156. Berdasarkan statistika deskriptif data tersebut dengan Minitab 14.0 diperoleh Tabel 3. Tabel 3. Statistika Deskriptif Variabel RataMinimum Maksimum (Z) rata Jumlah 2602,8 174,0 4487,0 Penumpang Berdasarkan Tabel 3, terlihat bahwa rata-rata jumlah penumpang yang berangkat dari bulan Januari 1999 sampai Desember 2011 adalah sebanyak 2602,8 orang. Jumlah penumpang yang berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda paling sedikit sebanyak 174 orang terjadi pada bulan Juli tahun 2008 sedangkan jumlah penumpang yang berangkat melalui 29


Bandar Udara Temindung Samarinda paling banyak 4487 orang terjadi pada bulan Juli tahun 2011. Selanjutnya Gambar 1 menunjukkan data per tahun dari jumlah penumpang yang berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda tahun 1999 sampai 2011. Dari Gambar 1 terlihat bahwa jumlah penumpang yang berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda pada tahun 2008 adalah yang paling sedikit dibanding tahun lainnya.

dilakukan pemeriksaan kestasioneran data secara rata-rata melalui diagram deret waktu pada Gambar 3a dan 3b. Time Series Plot of Akar Kuadrat Z 70

Akar Kuadrat Z

60

Data Jumlah Penumpang 5000

ISSN 2085-7829

Variable 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

4000

Data

3000

2000

50 40 30 20 10 1

16

32

48

64

80 Index

96

112

128

144

Gambar 3a. Diagram Deret Waktu data Transformasi Akar

1000

Autocorrelation Function for Akar Kuadrat Z

0 Jan

Feb Mar

Apr

Mei

Jun Jul Agust Sep Month

Okt

(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Nop Des

1,0 0,8

Gambar 1. Diagram deret Waktu Data per Tahun Autocorrelation

0,6

Tahap Identifikasi Model Langkah pertama yang dilakukan dalam pemodelan deret waktu pada tahap identifikasi adalah memeriksa kestasioneran data, baik secara variansi maupun secara rata-rata. Bila kondisi dalam variansi tidak terpenuhi, maka dilakukan transformasi Box-Cox. Dari Gambar 2 diperoleh nilai taksiran lambda sebesar 0,62, suatu nilai yang mendekati 0,50 dan masih berada dalam batas interval kepercayaan 95%, dengan batas bawah 0,36 dan batas atas 0,90. Sehingga transformasi yang sesuai untuk data Jumlah Penumpang yang Berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai Desember 2011 adalah transformasi akar (√ ).

1

Lambda

StDev

0,62

900

Lower C L Upper C L

0,36 0,90

800

Rounded Value

0,50

500 400 Limit

300 -2

-1

0

1 2 Lambda

3

4

5

Gambar 2. Transformasi Box-Cox Setelah dilakukan transformasi akar (√ ) terhadap data Jumlah Penumpang yang Berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai Desember 2011, kemudian 30

5

10

15

20 Lag

25

30

35

Gambar 3b. Diagram Autocorrelation Function (ACF) untuk data Transformasi Akar

Estimate

600

-0,4

-1,0

(using 95,0% confidence)

700

0,0 -0,2

-0,8

Upper C L

1000

0,2

-0,6

Box-Cox Plot of Z Lower C L

1100

0,4

Berdasarkan Gambar 3a, terlihat bahwa data Transformasi Akar Jumlah Penumpang yang Berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai Desember 2011 tersebut tidak stasioner dalam rata-rata karena terjadi perubahan rata-rata dari waktu ke waktu. Selain itu, Gambar 3b menunjukkan bahwa nilai autokorelasi cenderung turun lambat atau nilai autokorelasi pada suatu lag relatif tidak jauh berbeda dengan lag sebelumnya. Jadi berdasarkan Gambar 3b dapat disimpulkan bahwa data Transformasi Akar Jumlah Penumpang yang Berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai Desember 2011 belum stasioner secara rata-rata, sehingga perlu dilakukan differencing (pembedaan). Selanjutnya dilakukan differencing 1 terhadap data transformasi akar jumlah penumpang yang berangkat melalui Bandar Udara temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai Desember 2011.



ISSN 2085-7829

Autocorrelation Function for Akar Kuadrat Z Diff

Time Series Plot of Akar Kuadrat Z Diff

(with 5% significance limits for the autocorrelations)

20 1,0 0,8 0,6

Autocorrelation

Akar Kuadrat Z Diff

10

0

-10

0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8

-20

-1,0

1

16

Gambar 4.

32

48

64

80 Index

96

112

128

1

144

Diagram deret waktu data Transformasi Akar dengan differencing 1

5

10

15

20 Lag

25

30

35

Gambar 5a. Diagram ACF data Transformasi Akar dengan differencing 1 Partial Autocorrelation Function for Akar Kuadrat Z Diff

Tahap Penaksiran Parameter dan Pemeriksaan Diagnostik Berdasarkan diagram ACF dan PACF data Transformasi Akar Jumlah Penumpang yang Berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai Desember 2011 hasil differencing 1 pada Gambar 5a dan Gambar 5b, terlihat bahwa pada diagram ACF nilai autokorelasi pada lag 1 signifikan berbeda dari nol, sedangkan pada diagram PACF nilai autokorelasi parsial signifikan pada lag 1. Dugaan awal model yang sesuai untuk data tersebut adalah ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,0) atau ARIMA(0,1,1). Hasi analisis dengan Minitab 14.0 terhadap model awal ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,0) atau ARIMA(0,1,1) menunjukkan bahwa model yang paling sesuai untuk data Transformasi Akar Jumlah Penumpang yang Berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai Desember 2011 hasil differencing 1 adalah model ARIMA(0,1,1).


(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

1,0 0,8 Partial Autocorrelation

Dari Gambar 4 terlihat bahwa pola data yang terbentuk mengindikasikan bahwa data telah stasioner, sehingga dapat langsung digunakan dalam pembentukan model ARIMA. Selanjutnya dilakukan identifikasi terhadap terhadap Diagram ACF dan PACF terhadap data Transformasi Akar Jumlah Penumpang yang Berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai Desember 2011 hasil differencing 1 untuk menduga model awal yang sesuai untuk data tersebut.

0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 1

5

10

15

20 Lag

25

30

35

Gambar 5b. Diagram PACF data Transformasi Akar dengan differencing 1 Pengujian parameter untuk model ARIMA(0,1,1) dilakukan dengan hipotesis :

Berdasarkan hasil analisis dengan Minitab 14.0 diperoleh Tabel 4. Tabel 4.Penaksiran Parameter Model ARIMA (0,1,1) terhadap data Transformasi Akar dengan differencing 1 Parameter

Koef.

MA 1

0,4506

Standar Error Koef. 0,0720

thitung

pvalue

6,26

0,000

Dengan mengambil , maka dapat disimpulkan bahwa parameter model ARIMA(0,1,1) signifikan berbeda dari nol karena nilai p-value = 0,000 < . Selanjutnya dilakukan pengujian kesesuaian model. Uji ini mencakup uji residual white noise dan uji asumsi distribusi normal. Uji residual white noise dilakukan berdasarkan hipotesis : H0 : H1 : Minimal ada satu Statistik uji ini dilakukan berdasarkan statistik uji Ljung-Box atau Box-Pierce Modified pada persamaan (24). Keputusan H0 ditolak diambil jika . K berarti pada lag K dan m adalah jumlah parameter yang ditaksir dalam model atau jika nilai p-value < . 31


Berdasarkan hasil analisis dengan menggunakan Minitab 14.0 diperoleh ringkasan hasil uji Ljung-Box yang disajikan pada Tabel 5. Tabel 5. Ringkasan Hasil Uji Ljung-Box data Transformasi Akar dengan differencing 1 lag (K)

df

Statistik Ljung-Box

pvalue

12

11

16,2

0,134

24

23

22,3

0,505

36

35

35,1

0,461

48

47

43,6

0,614

Keterangan H0 gagal ditolak H0 gagal ditolak H0 gagal ditolak H0 gagal ditolak

Berdasarkan Tabel 5 terlihat bahwa residual untuk model ARIMA(0,1,1) telah memenuhi syarat white noise. Selanjutnya dilakukan uji asumsi Distribusi Normal. Uji asumsi ini bertujuan untuk mengetahui apakah data telah memenuhi asumsi kenormalan atau tidak. Salah satu cara yang digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut : H0 : ( ) Data berdistribusi normal H1 : ( ) Data tidak berdistribusi normal Statistik uji Kolmogorov Smirnov ditentukan berdasarkan persamaan (25). Keputusan H0 ditolak diambil jika p-value < α atau Dhitung > D(α,n), dengan n banyaknya pengamatan. Probability Plot of RESIDUAL Normal

99,9

Mean StDev N KS P-Value

99

Percent

95 90

25,57 10,19 156 0,056 >0,150

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0,1

0

10

20 30 RESIDUAL

40

50

60

Gambar 6. Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov data Transformasi Akar dengan differencing 1 Pada hasil uji Kolmogorov-Smirnov (Gambar 6) diperoleh nilai p-value = 0,150. Nilai ini lebih besar daripada nilai sehingga dapat disimpulkan bahwa residual model ARIMA(0,1,1) memenuhi asumsi distribusi normal. Berdasarkan hasil pengujian signifikansi parameter, uji residual white noise dan uji asumsi berdistribusi normal, diperoleh bahwa model ARIMA(0,1,1) merupakan model yang sesuai untuk data Transformasi Akar Jumlah Penumpang yang Berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai 32

ISSN 2085-7829

Desember 2011 hasil differencing 1, dengan nilai MSE = 26,08. Tahap peramalan Berdasarkan tahapan analisis sebelumnya diperoleh bahwa model ARIMA(0,1,1) merupakan model terbaik untuk meramalkan data transformasi akar jumlah penumpang yang berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda dari Januari 1999 sampai Desember 2011, selanjutnya dilakukan peramalan untuk 1 (tahun) atau 12 bulan kedepan dengan model tersebut. Dengan bantuan Minitab 14.0 diperoleh hasil peramalan jumlah Penumpang yang Berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda pada tahun 2012 adalah konstan yaitu sebesar 63,5247 penumpang. Karena hasil ini merupakan hasil peramalan untuk data transformasi akar, maka untuk mengetahui hasil peramalan jumlah penumpang sebenarnya, hasil peramalan transformasi akar ini dikuadratkan kembali dan diperoleh hasil sebesar 4035,3875 atau 4035. Kesimpulan Model peramalan jumlah penumpang yang berangkat melalui Bandar Udara Temindung Samarinda adalah ARIMA(0,1,1) dengan hasil peramalan konstan dari Januari 2012 sampai Desember 2012 yaitu sebesar 4035 penumpang. Daftar Pustaka Aswi & Sukarna. 2006. Analisis Deret Waktu: Teori dan Aplikasi, Makasar: Andira Publisher. Hanke, John E. 2003. Peramalan Bisnis. Jakarta: Pearson Eucation Asia Pte.Ltd dan PT Prenhallindo Liu, Lon-Mu. 2006. Time Series Analysis and Forecasting Second Edition. Chicago: Scientific Computing Associates® Corp. Makridakis, S., Wheelwright, S.C., & McGee, V.E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan . Jilid 1 edisi kedua, Terjemahan Untung S. Andriyanto dan Abdul Basith. Jakarta: Erlangga. Mulyono,Sri. 2000. Peramalan Bisnis dan Ekonometrika. Yogyakarta: BPFE Soejoeti, Zanzawi.1987. Analisis Runtun Waktu. Jakarta: Karunika. Subagyo, P. 1986. Forecasting Konsep dan Aplikasi. Yogyakarta: BPFE. Wei, Willian W.S. 2006. Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Method Second Edition. New York: Pearson Education. Widarjono, Agus. 2007. Ekonometrika: teori dan Aplikasi untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Penerbit Ekonisia.


Peramalam Jumlah Penumpang Yang Berangkat Melalui Bandar Udara Temindung Samarinda Tahun 2012 Dengan Metode ARIMA BOX-JENKINS

Recommend Documents