PENJADWALAN MATA PELAJARAN DI SEKOLAH: STUDI KASUS DI SMPIT NURUL FAJAR BOGOR MUHAMMAD IZZUDDIN

PENJADWALAN MATA PELAJARAN DI SEKOLAH: STUDI KASUS DI SMPIT NURUL FAJAR BOGOR

MUHAMMAD IZZUDDIN

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penjadwalan Mata Pelajaran di Sekolah: Studi Kasus di SMPIT Nurul Fajar Bogor adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2015 Muhammad Izzuddin NIM G54080050

ABSTRAK MUHAMMAD IZZUDDIN. Penjadwalan Mata Pelajaran di Sekolah: Studi Kasus di SMPIT Nurul Fajar Bogor. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan PRAPTO TRI SUPRIYO. Penjadwalan adalah salah satu masalah yang dihadapi oleh banyak lembaga antara lain sekolah. Penjadwalan secara konvensional seringkali tidak optimal. Agar diperoleh hasil yang optimal, masalah penjadwalan ini dimodelkan secara matematis ke dalam pemrograman integer. Karya ilmiah ini membahas masalah penjadwalan pelajaran sekolah yang diformulasikan ke dalam pemograman integer taklinear. Model tersebut kemudian diimplementasikan untuk menyelesaikan masalah penjadwalan di SMPIT Nurul Fajar Bogor. Dengan software LINGO 11.0 diperoleh solusi optimal berupa jadwal mata pelajaran dan pengajarnya yang memenuhi semua kendala yang diinginkan. Kata kunci: pemograman integer taklinear, penjadwalan, mata pelajaran, sekolah.

ABSTRACT MUMAMMAD IZZUDDIN. School Timetabling: Case Study in SMPIT Nurul Fajar Bogor. Supervised by FARIDA HANUM and PRAPTO TRI SUPRIYO. Scheduling is one of the problems faced by many institutions including schools. However, the conventional scheduling is often sub-optimal. In this work, the scheduling problem is modeled mathematically using integer programming approach. In this paper the problem of scheduling of courses was formulated into integer nonlinear programming. The model is then implemented to solve the courses scheduling problem in SMPIT Nurul Fajar School Bogor. The computer software LINGO 11.0 was used to obtain optimal solutions in the form of courses and satisfying all constraints of subject and teachers’ schedules. Keywords : integer nonlinear programming, scheduling, courses, school.

PENJADWALAN MATA PELAJARAN DI SEKOLAH: STUDI KASUS DI SMPIT NURUL FAJAR BOGOR

MUHAMMAD IZZUDDIN

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulis bisa menyelesaikan karya ilmiah ini karena banyak orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1 Allah SWT atas rahmat dan karunia yang tak terhitung banyaknya, 2 keluarga sebagai pemberi motivasi, semangat, dan doa, 3 semua guru dan staf SMPIT Nurul Fajar Bogor atas bantuan yang diberikan, 4 Dra Farida Hanum, MSi dan Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu dan memberikan ilmu, 5 Ruhiyat, SSi MSi selaku dosen penguji yang telah meluangkan waktu dan memberikan ilmu, 6 semua dosen Departemen Matematika IPB atas ilmu yang diberikan, 7 semua staf Departemen Matematika IPB untuk semua bantuan administrasi, 8 teman-teman Matematika angkatan 45 atas bantuan, dukungan, dan doanya, 9 teman-teman angkatan 44, 46, dan 47 yang sudah ikut membantu dan memberikan doa, 10 semua pihak yang sudah membantu dalam penulisan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Februari 2015 Muhammad Izzuddin

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

2

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

3

Rumusan Masalah

3

Model Matematika

3

IMPLEMENTASI MODEL

5

Kasus 1

5

Kasus 2

9

SIMPULAN

12

DAFTAR PUSTAKA

12

LAMPIRAN

13

RIWAYAT HIDUP

23

DAFTAR TABEL 1 Mata pelajaran, banyak sesi, dan bobot ........................................................... 5 2 Mata pelajaran yang dikuasai guru .................................................................. 5 3 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 1 ........................................................ 7 4 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 1 ................................................ 8 5 Total mengajar (dalam sesi) setiap guru untuk Kasus 1 .................................. 8 6 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 2 ...................................................... 11 7 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 1 .............................................. 11

DAFTAR LAMPIRAN

1 Model pada LINGO 11.0 untuk kasus 1 dan hasilnya ................................... 13 2 Model pada LOINGO 11.0 untuk kasus 2 dan hasilnya ................................ 18

PENDAHULUAN

Latar Belakang Penjadwalan adalah masalah yang umum dihadapi oleh banyak lembaga di dunia. Baik lembaga di bidang akademik, kesehatan, transportasi, dan lain lain. Bagi institusi yang cukup besar, masalah ini bisa menjadi rumit dan menantang, karena jadwal yang ditetapkan diharapkan bebas konflik, efisien, dan kadangkadang diperlukan juga yang sifatnya fleksibel. Setiap lembaga memiliki kendala yang unik, bergantung pada kondisi dan kebijakannya juga pada ketersediaan sumber daya. Penjadwalan yang baik harus bisa mengidentifikasi kondisi optimal, yaitu kombinasi antara peristiwa (kursus, ujian, operasi), sumber daya (guru, pengawas ujian, perawat, dokter), ruang (ruang kelas, kamar operasi), waktu dan semua kendalanya, yang menghasilkan tingkat kepuasan preferensi tertinggi. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah penjadwalan tersebut. Cara yang biasa dilakukan ialah dengan membuat jadwal secara manual. Tetapi cara itu tidak efektif jika menyangkut banyak data. Cara lain adalah dibuat menjadi model matematika. Berbagai metode yang pernah dipakai untuk menyelesaikan masalah penjadwalan antara lain menggunakan algoritme column generation untuk penjadwalan SMA di Yunani (Papoutsis et al. 2003), pendekatan algoritme genetika (Beligiannis et al. 2009), dan pemrograman mixinteger untuk penjadwalan di Kuwait University yang ditulis oleh Al-Yakoob dan Sherali (2007). Salah satu model matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah penjadwalan adalah pemrograman integer taklinear. Pemrograman taklinear adalah suatu teknik optimasi untuk masalah yang memiliki fungsi objektif atau kendala taklinear. Tulisan ini akan membahas masalah penjadwalan pelajaran sekolah dalam pemograman integer taklinear dan menyelesaikannya dengan mengambil contoh masalah penjadwalan di SMPIT Nurul Fajar Bogor. . Tujuan Penelitian Tujuan dari tulisan ini ialah memodelkan masalah penjadwalan mata pelajaran dan guru sekolah dengan pemrograman integer taklinear, lalu mengaplikasikan model tersebut untuk masalah penjadwalan mata pelajaran di SMPIT Nurul Fajar Bogor dengan meminimumkan bobot mata pelajaran untuk 2 kasus yaitu bila SMP tersebut memiliki: 1 tiga kelas dengan keadaan guru mencukupi, empat kelas dengan keadaan guru tidak mencukupi. 2

2

TINJAUAN PUSTAKA Integer Programming Integer Programming (IP) adalah suatu model pemrograman dengan variabel yang digunakan berupa integer. Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah itu dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Garfinkel & Nemhauser 1972). Multi-Objective Optimization Problem Masalah optimasi multi-objektif memiliki sejumlah fungsi objektif yang harus diminimumkan atau dimaksimumkan. Seperti halnya dalam masalah optimasi fungsi objektif tunggal, masalah ini juga biasanya memiliki sejumlah kendala yang harus dipenuhi oleh setiap solusi fisibel. Berikut ini dinyatakan masalah optimasi multi-objektif dalam bentuk umum: Meminimumkan/Memaksimumkan 𝑓𝑚 𝑥 , 𝑚 = 1,2, … , 𝑀; terhadap 𝑔𝑗 𝑥 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝐽, 𝑕𝑘 𝑥 = 0, 𝑘 = 1,2, … , 𝐾, (𝐿) (𝑈) 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Solusi x adalah vektor yang berukuran n dari variabel keputusan 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝑇 . Bagian terakhir dari kendala di atas disebut batas-batas variabel, membatasi setiap variabel keputusan 𝑥𝑖 untuk mengambil nilai paling rendah 𝑥𝑖 (𝐿) dan paling besar 𝑥𝑖 (𝑼) (Deb 2001). Weighted sum method Weighted sum method menggabungkan serangkaian fungsi objektif dalam satu fungsi objektif dengan mengalikan setiap fungsi objektif dengan bobot yang disediakan oleh pengguna. Metode ini merupakan pendekatan yang paling sederhana dan mungkin pendekatan klasik yang paling banyak digunakan. Besarnya nilai bobot bergantung pada pentingnya setiap fungsi objektif dalam konteks masalah dan faktor skala. Bobot dari fungsi objektif biasanya dipilih secara proporsional dengan tujuan yang relatif penting dalam masalah. Fungsi tujuan komposit F(x) dapat dibentuk dengan menjumlahkan fungsi objektif yang telah terboboti. Masalah optimasi multi-objektif kemudian dikonversi menjadi masalah optimasi objektif tunggal sebagai berikut Meminimumkan/Memaksimumkan 𝑀

𝐹 𝑥 = 𝑚 =1

𝑤𝑚 𝑓𝑚 𝑥 ,

terhadap 𝑔𝑗 𝑥 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝐽; 𝑕𝑘 𝑥 = 0, 𝐾 = 1,2, … , 𝐾; 𝑥𝑖 (𝐿) ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖 (𝑈) , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛; dengan 𝑤𝑚 adalah bobot dari fungsi objektif ke-m (Deb 2001).

3

Pengubahan Tipe Fungsi Objektif Fungsi objektif yang memaksimumkan/meminimumkan dapat diubah menjadi fungsi meminimumkan/memaksimumkan dengan mengubah tanda (+ atau −) pada fungsi tersebut. Memaksimumkan fungsi objektif 𝑍1 = 𝑖 𝑟𝑖 𝑥𝑖 sebanding dengan meminimumkan fungsi objektif 𝑍2 = − 𝑖 𝑟𝑖 𝑥𝑖 (Sarker & Newton 2008).

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH Rumusan Masalah Masalah penjadwalan mata pelajaran di sekolah berkaitan dengan kendala kelas, guru, dan mata pelajaran. Pada umumnya, penjadwalan di suatu sekolah dibuat untuk periode 6 hari kerja dalam seminggu dengan 3 sesi setiap harinya. Dalam penjadwalan sekolah ini ada beberapa syarat yang harus dipenuhi yaitu: 1 tidak ada guru yang mengajar lebih dari 1 pelajaran dalam satu sesi, 2 setiap mata pelajaran memenuhi jumlah sesi yang ditentukan dalam seminggu, 3 guru hanya mengajar pelajaran yang dikuasainya. Dalam penjadwalan ini diasumsikan ruangan selalu tersedia.

Model Matematika Dari rumusan masalah dibuat formulasi dalam bentuk pemrograman integer taklinear. Indeks: Terdapat lima indeks dalam model ini, yaitu: g = indeks untuk guru, p = indeks untuk mata pelajaran, k = indeks untuk kelas, h = indeks untuk hari, s = indeks untuk sesi. Variabel Keputusan: Misalkan

𝑥𝑔𝑝𝑘

𝑦𝑝𝑘𝑕𝑠

1, jika guru 𝑔 mengajar mata pelajaran 𝑝 di kelas 𝑘 0, lainnya, 1, jika mata pelajaran 𝑝 untuk kelas 𝑘 dijadwalkan di hari 𝑕 sesi 𝑠 0, lainnya.

4

Parameter: Misalkan 𝑎𝑔𝑝

1, jika guru 𝑔 menguasai mata pelajaran 𝑝 0, lainnya,

bpk = jumlah sesi untuk mata pelajaran p di kelas k, cps = bobot mata pelajaran p di sesi s. Jika bobotnya kecil maka mata pelajaran tersebut lebih disukai diselenggarakan di sesi tersebut. Fungsi Objektif: Fungsi objektif masalah ini ialah meminimumkan total bobot mata pelajaran, yaitu: 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 𝑐𝑝𝑠 .

min 𝑝

𝑘

𝑕

𝑠

Kendala: 1

Setiap mata pelajaran harus memenuhi jumlah sesi yang ditetapkan, 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 = 𝑏𝑝𝑘 , 𝑕

2

Dalam 1 sesi hanya ada 1 guru dan 1 mata pelajaran untuk 1 kelas, 𝑥𝑔𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 = 1 , 𝑔

3

∀ 𝑘, 𝑕, 𝑠.

𝑝

Setiap guru maksimal hanya mengajar di 1 kelas di tiap sesi, 𝑥𝑔𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 ≤ 1, 𝑝

4

∀ 𝑝, 𝑘.

𝑠

∀𝑔, 𝑕, 𝑠.

𝑘

Hanya terdapat 1 guru di setiap mata pelajaran dan setiap kelas, 𝑥𝑔𝑝𝑘 = 1 ,

∀ 𝑝, 𝑘.

𝑔

5

Guru hanya mengajar sesuai dengan keahliannya, 𝑥𝑔𝑝𝑘 ≤ 𝑎𝑔𝑝 ,

∀𝑔, 𝑝, 𝑘.

Ditambahkan dengan 6 Kendala yang terkait dengan mata pelajaran. 7 Kendala khusus yang berkaitan dengan kesediaan guru. 8 Kendala tentang variabel.

5

IMPLEMENTASI MODEL Kasus 1 SMPIT Nurul Fajar Bogor memiliki 3 kelas, yaitu kelas 1 dengan indeks k = 1, kelas 2 dengan indeks k = 2, dan kelas 3 dengan indeks k = 3. Setiap kelas memiliki 13 mata pelajaran dan banyak sesi untuk tiap minggu dan bobot di setiap sesi dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Mata pelajaran, banyak sesi, dan bobot Indeks (p)

Mata Pelajaran

Singkatan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Matematika IPA Bhs Indonesia Bhs Inggris IPS PKn Agama PLH SBK Olah Raga Bhs Arab Kelas Baca Komputer

MAT IPA IND ING IPS PKN AGA PLH SBK OR ARA BAC KOM

Jumlah sesi per minggu Kelas 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

Kelas 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

Kelas 3 3 3 3 3 1 0 1 0 1 1 1 0 1

Sesi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1

Bobot Sesi 2 Sesi 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1

SMPIT Nurul Fajar Bogor memiliki 12 guru dengan bidang keahlian yang berbeda-beda yang ditunjukkan pada Tabel 2. Tabel 2 Mata pelajaran yang dikuasai guru Indeks guru (g) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mata pelajaran yang dikuasai Matematika, IPA Matematika, IPA Bhs Indonesia, Kelas Baca Bhs Indonesia, Bhs Inggris Bhs Inggris IPS, PLH PKn Agama Olah Raga Bhs Arab SBK Komputer

6

SMPIT Nurul Fajar Bogor memiliki beberapa batasan khusus yaitu: 1 setiap pelajaran di setiap kelas maksimal hanya 1 sesi per hari, 2 pelajaran olahraga tidak diselenggarakan pada hari Senin dan Kamis, 3 setiap guru maksimal hanya mengajar 2 sesi per hari, 4 memperhatikan ketidaksediaan guru di sesi atau hari tertentu, maka model matematika untuk masalah penjadwalan ini adalah sebagai berikut. Fungsi objektif dari kasus ini ialah: 13

3

6

3

𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 𝑐𝑝𝑠 .

min 𝑝=1 𝑘=1 𝑕=1 𝑠=1

Kendala-kendalanya ialah 1

setiap mata pelajaran harus memenuhi jumlah sesi yang ditetapkan, 6

3

𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 = 𝑏𝑝𝑘 ,

∀𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3.

𝑕=1 𝑠=1

2

Dalam 1 sesi hanya ada 1 guru dan 1 mata pelajaran untuk 1 kelas, 13

12

𝑥𝑔𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 = 1 ,

∀ 𝑘 = 1,2,3; 𝑕 = 1,2, … ,6; 𝑠 = 1,2,3.

𝑔=1 𝑝=1

3

Setiap guru maksimal hanya mengajar di 1 kelas di tiap sesi, 13

3

𝑥𝑔𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 ≤ 1,

∀𝑔 = 1,2,3, … ,12; 𝑕 = 1,2,3, … ,6; 𝑠 = 1,2,3.

𝑝=1 𝑘=1

4

Hanya terdapat 1 guru di setiap mata pelajaran dan setiap kelas, 12

𝑥𝑔𝑝𝑘 = 1 ,

∀ 𝑝 = 1,2,3, … ,12; 𝑘 = 1,2,3.

𝑔=1

5

Guru hanya mengajar sesuai dengan bidang keahliannya, 𝑥𝑔𝑝𝑘 ≤ 𝑎𝑔𝑝 ∀𝑔 = 1,2, … ,12; 𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3.

6

Setiap pelajaran maksimal hanya 1 sesi per hari di setiap kelas, 3

𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 ≤ 1,

∀𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3; 𝑕 = 1,2, … ,6.

𝑠=1

7

Olahraga tidak dilaksanakan di hari Senin dan Kamis, 3

𝑦10𝑘1𝑠 = 0, 𝑠=1

∀𝑘 = 1,2,3.

7 3

𝑦10𝑘4𝑠 = 0,

∀𝑘 = 1,2,3.

𝑠=1

8

Setiap guru maksimal mengajar 2 sesi per hari 12

3

3

𝑥𝑔𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 ≤ 2,

∀𝑔 = 1,2, … ,12; 𝑕 = 1,2, … , 6.

𝑝=1 𝑘=1 𝑠=1

9

Kendala kesediaan guru Guru 7 tidak bisa mengajar di Sesi 3 𝑥7𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕3 = 0, ∀𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3; 𝑕 = 1,2, … ,6. Guru 8 tidak bisa mengajar di Sesi 1 𝑥8𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕1 = 0, ∀𝑝 = 1,2, . . ,13; 𝑘 = 1,2,3; 𝑕 = 1,2, … , 6. 10 Kendala biner 𝑥𝑔𝑝𝑘 ∈ 0,1 , ∀𝑔 = 1,2, … , 12; 𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3. 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 ∈ 0,1 , ∀𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3; 𝑕 = 1,2, … ,6; 𝑠 = 1,2,3. Hasil Kasus 1: Dengan bantuan LINGO 11.0 didapatkan nilai optimal 56 (dapat dilihat di Lampiran 1) dengan jadwal yang diperoleh ditunjukkan di Tabel 3. Tabel 3 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 1 Kelas 1 Hari Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

Sesi sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3

Mapel ING PKN IPS IPA ING IND IPA IND SBK MAT KOM AGA MAT PLH BAC IPS OR ARA

Guru 5 7 6 2 5 4 2 4 11 1 12 8 1 6 3 6 9 10

Kelas 2 Mapel IPA SBK BAC ING PLH IPS IPA OR IPS MAT PKN ARA KOM IND AGA MAT ING IND

Guru 1 11 3 5 6 6 1 9 6 2 7 10 12 4 8 2 5 4

Kelas 3 Mapel Guru IPA 2 ING 5 ARA 10 MAT 1 IPA 2 KOM 12 ING 5 MAT 1 IND 4 SBK 11 ING 5 IPS 6 IPA 2 OR 9 IND 4 MAT 1 IND 4 AGA 8

8 Pada Tabel 4 diberikan jumlah sesi per mata pelajaran di setiap minggunya. Tabel 4 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 1 Mata pelajaran Matematika IPA Bhs Indonesia Bhs Inggris IPS PKn Agama PLH SBK Olah Raga Bhs Arab Kelas Baca Komputer

Bobot di sesi 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1

Terjadwal di sesi 1 2 3 6 1 0 6 1 0 0 3 4 3 4 0 1 0 4 0 2 0 0 0 3 0 2 0 1 1 1 0 3 0 0 0 3 0 0 2 1 1 1

Total sesi 7 7 7 7 5 2 3 2 3 3 3 2 3

Hasil yang didapat cukup baik karena hanya ada 1 sesi Matematika dan 1 sesi IPA yang dijadwalkan pada sesi dengan bobot 2. Pada Tabel 5 diberikan total mengajar setiap guru setiap harinya. Dari tabel tersebut dapat dilihat semua kendala terpenuhi. Tabel 5 Total mengajar (dalam sesi) setiap guru untuk Kasus 1 Guru (g) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Senin 1 1 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0

Selasa 1 2 0 1 2 2 0 0 0 0 0 1

Rabu 2 1 0 2 1 1 0 0 1 0 1 0

Kamis 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1

Jumat 1 1 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1

Sabtu 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 0 0

9 Kasus 2 Misalkan SMPIT Nurul Fajar Bogor ingin menambah satu kelas baru untuk kelas 1 sehingga terdapat 4 kelas dengan kondisi sama seperti pada Kasus 1. Empat kelas tersebut ialah Kelas 1A ( dengan indeks k=1), kelas 1B (dengan indeks k=2), Kelas 2 (dengan indeks k=3), dan Kelas 3 (dengan indeks k=4). Ada aturan baru yang ditambahkan yaitu guru di Kelas 1A harus sama dengan guru di Kelas 1B untuk suatu mata pelajaran tertentu. Dalam kasus ini akan ditentukan berapa banyak guru tambahan yang diperlukan dengan penambahan kelas baru ini. Fungsi objektif pada Kasus 2 ada dua macam: 1 meminimumkan bobot penyelenggaraan mata pelajaran, yaitu 13

4

6

3

𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 𝑐𝑝𝑠 ,

min 𝑝=1 𝑘=1 𝑕=1 𝑠=1

2

memaksimumkan banyak guru yang dapat dijadwalkan, yaitu 13

12

4

𝑥𝑔𝑝𝑘 .

max 𝑔=1 𝑝=1 𝑘=1

Karena fungsi objektif yang kedua dianggap lebih penting dibandingkan dengan fungsi objektif pertama, maka bobot fungsi objektif kedua diberikan lebih besar dibandingkan dengan fungsi objektif pertama. Misalkan fungsi objektif pertama diberi bobot 1 dan fungsi objektif kedua diberi bobot 2, maka fungsi objektif pada Kasus 2 ialah 13

4

6

3

12

4

𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 𝑐𝑝𝑠 − 2

min 𝑝=1 𝑘=1 𝑕=1 𝑠=1

1

13

𝑥𝑔𝑝𝑘 𝑔=1 𝑝=1 𝑘=1

Kendala-kendalanya adalah Setiap mata pelajaran harus memenuhi jumlah sesi yang ditetapkan 6

3

𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 = 𝑏𝑝𝑘 ,

∀𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3,4.

𝑕=1 𝑠=1

2

Dalam 1 sesi hanya ada 1 mata pelajaran untuk 1 kelas 13

𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 = 1 ∀𝑘 = 1,2,3,4; 𝑕 = 1,2, … ,6; 𝑠 = 1,2,3. 𝑝=1

3

Setiap guru maksimal hanya mengajar di 1 kelas di tiap sesi 13

4

𝑥𝑔𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 ≤ 1,

∀𝑔 = 1,2, … ,12; 𝑕 = 1,2, … ,6; 𝑠 = 1,2,3.

𝑝=1 𝑘=1

4

Hanya terdapat 1 guru di setiap mata pelajaran dan setiap kelas 12

𝑥𝑔𝑝𝑘 ≤ 1 , 𝑔=1

∀ 𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3,4;

10 5

Guru hanya mengajar sesuai dengan bidang keahliannya 𝑥𝑔𝑝𝑘 ≤ 𝑎𝑔𝑝 ∀𝑔 = 1,2, … ,12; 𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3,4.

6

Setiap pelajaran maksimal hanya 1 sesi per hari 3

𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 ≤ 1,

∀𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3,4; 𝑕 = 1,2, … ,6.

𝑠=1

7

Olahraga tidak dilaksanakan di hari Senin dan Kamis 3

𝑦8𝑘1𝑠 = 0,

∀𝑘 = 1,2,3,4.

𝑦8𝑘4𝑠 = 0,

∀𝑘 = 1,2,3,4.

𝑠=1 3

𝑠=1

8

Setiap guru maksimal mengajar 2 sesi per hari 13

3

3

𝑥𝑔𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 ≤ 2,

∀𝑔 = 1,2, … ,12; 𝑕 = 1,2, … ,6;

𝑝=1 𝑘=1 𝑠=1

9

Kendala kesediaan guru Guru 7 tidak bisa mengajar di Sesi 3 𝑥7𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕3 = 0, ∀𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3,4; 𝑕 = 1,2, … ,6. Guru 8 tidak bisa mengajar di Sesi 1 𝑥8𝑝𝑘 𝑦𝑝𝑘 𝑕1 = 0, ∀𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3,4; 𝑕 = 1,2, … ,6.

10

Guru di Kelas 1A dan 1B harus sama 𝑥𝑔𝑝 1 = 𝑥𝑔𝑝 2 ∀𝑔 = 1,2, … ,12; 𝑝 = 1,2, … ,13.

11

Kendala biner 𝑥𝑔𝑝𝑘 ∈ 0,1 , ∀𝑔 = 1,2, … ,12; 𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3,4. 𝑦𝑝𝑘 𝑕𝑠 ∈ 0,1 , ∀𝑝 = 1,2, … ,13; 𝑘 = 1,2,3,4; 𝑕 = 1,2, … 6; 𝑠 = 1,2,3.

Hasil Kasus 2 Dengan bantuan LINGO 11.0 didapatkan nilai optimal −28 (lihat Lampiran 2 ) dengan jadwal yang ditunjukkan di Tabel 6.

11 Tabel 6 Jadwal pelajaran dan guru untuk Kasus 2 Hari

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

Sesi sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3 sesi 1 sesi 2 sesi 3

Kelas 1A Mapel Guru IPA 1 ING 5 IND 3 MAT 2 SBK 11 IPS 6 MAT 2 AGA 8 BAC 3 PKN 7 KOM 12 IPS 6 IPA 1 IND 3 ARA 10 PLH 6 OR 9 ING 5

Kelas 1B Mapel Guru MAT 2 SBK 11 IPS 6 IPA 1 IND 3 KOM 12 PLH 6 OR 9 ING 5 MAT 2 IND 3 AGA 8 ARA 10 PKN 7 ING 5 IPA 1 IPS 6 BAC 3

Kelas 2 Mapel Guru IND 4 IPS 6 SBK 11 IPS 6 OR 9 AGA 8 MAT 1 ING 4 IND 4 MAT 1 ARA 10 BAC 3 IPA 2 PLH 6 KOM 12 IPA 2 PKN 7 ING 4

Kelas 3 Mapel Guru MAT IND 3 ING 5 MAT AGA 8 ING 5 IPA ING 5 KOM 12 IPA IPS 6 SBK 11 IPA OR 9 IND 3 MAT IND 3 ARA 10

Ternyata banyaknya guru tidak mencukupi untuk Kasus 2. Dibutuhkan guru untuk pelajaran Matematika di Kelas 3 dan guru pelajaran IPA di Kelas 3. Untuk Hasil jadwalnya sangat baik karena semua pelajaran mendapat bobot 1 seperti yang terlihat pada Tabel 7. Tabel 7 Jumlah sesi per mata pelajaran untuk Kasus 2 Bobot di sesi Mapel Matematika IPA Bhs Indonesia Bhs Inggris IPS PKn Agama PLH SBK Olah Raga Bhs Arab Kelas Baca Komputer

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1

Terjadwal di sesi 1 2 9 0 9 0 1 5 0 3 1 3 1 2 0 2 2 1 0 2 0 4 1 1 0 0 0 1

3 0 0 3 6 3 0 2 0 2 0 2 3 3

Total sesi 9 9 9 9 7 3 4 3 4 4 4 3 4

12

SIMPULAN Masalah penjadwalan mata pelajaran di sekolah, khususnya di SMPIT Nurul Fajar Bogor, dapat diselesaikan dengan pemograman integer taklinear. Masalah tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan bantuan LINGO 11.0. Dalam kasus pertama, diperoleh jadwal yang memenuhi semua kendala yang ada dengan bobot mata pelajaran yang minimum, sedangkan di kasus kedua, ternyata banyaknya guru tidak memenuhi sehingga diperlukan guru tambahan untuk pelajaran Matematika dan IPA di kelas 3.

DAFTAR PUSTAKA Al-Yakob SM, Sherali HD. 2007. A mixed-integer programming approach to a class timetabling problem: A case study with gender policies and traffic considerations. Journal of the Operational Research Society. 180:1028-1044 doi: 10.1016/j.ejor.2006.04.035. Beligiannis GN, Moschopoulos C, Likothanassis SD. 2009. A genetic algorithm apporoach to school timetabling. Journal of the Operational Research Society. (60):23-42 doi: 10.1057/palgrave.jors.2602525. Deb K. 2001. Multi-objective Optimization using Evolutionary Algorithms. Ed ke-4. New York (US): Duxbury. Garfinkel RS, Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. New York (US): Wiley. Papoutsis K, Valouxis C, Housos E. 2003. A column generation approach for the timetabling problem of Greek high schools. Journal of the Operational Research Society. (54):230–238 doi:10.1057/palgrave.jors.2601495. Sarker RA, Newton CS. 2008. Optimization Modelling: A Practical Approach. (US): CRC Press.

13

LAMPIRAN lampiran 1 Model pada LINGO 11.0 untuk kasus 1 dan hasilnya model: sets: guru/1..12/; mapel/1..13/; ! 1. matematika 2. ipa 3. bahasa indonesia 4. bahasa inggris 5. IPS 6. PKn 7. Agama 8. PLH 9. SBK 10.OR 11.bahasa arab 12.kelas baca 13.Komputer ; kelas/1..3/; hari/1..6/; sesi/1..3/; link1(guru,mapel,kelas):x; link2(mapel,kelas,hari,sesi):y; link3(mapel,kelas):b; link4(kelas,hari,sesi); link5(guru,hari,sesi); link6(mapel,kelas,hari); link7(mapel,sesi):c; link8(guru,mapel):a; link9(kelas,hari); link10(guru,hari); endsets data: !keahlian guru; a= 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1; !jumlah sesi dalam seminggu; b= 2 2 3

14 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1; !bobot mata pelajaran per sesi; c= 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1; enddata @for(link10(g,h):@sum(mapel(p):@sum(kelas(k):@sum(sesi(s):x(g,p,k) *y(p,k,h,s))))<=2); !mapel; @for(link3(p,k):@sum(hari(h):@sum(sesi(s):y(p,k,h,s)))=b(p,k)); !1 guru dan pelajaran per sesi; @for(link4(k,h,s):@sum(guru(g):@sum(mapel(p):x(g,p,k)*y(p,k,h,s))) =1); @for(link5(g,h,s):@sum(mapel(p):@sum(kelas(k):x(g,p,k)*y(p,k,h,s)) )<=1); !tidak berturut-turut; @for(link6(p,k,h):@sum(sesi(s):y(p,k,h,s))<=1); !guru 7 tidak bisa mengajar sesi 3; @for(link6(p,k,h):x(7,p,k)*y(p,k,h,3)=0); !guru 8 tidak bisa mengajar sesi pertama; @for(link6(p,k,h):x(8,p,k)*y(p,k,h,1)=0); !or tidak senin atau kamis; @sum(kelas(k):@sum(sesi(s):y(10,k,1,s)))=0; @sum(kelas(k):@sum(sesi(s):y(10,k,4,s)))=0; !1 guru untuk tiap pelajaran dan kelas;

15 @for(link3(p,k):@sum(guru(g):x(g,p,k))=1); !guru hanya mengajar sesuai dengan keahliannya; @for(link1(g,p,k):x(g,p,k)<=a(g,p)); !nilai x dan y selalu biner; @for(link1(g,p,k):@bin(x(g,p,k))); @for(link2(p,k,h,s):@bin(y(p,k,h,s))); min=@sum(link2(p,k,h,s):y(p,k,h,s)*c(p,s));

Hasil Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: Variable X( 1, 1, 1) X( 1, 1, 3) X( 1, 2, 2) X( 2, 1, 2) X( 2, 2, 1) X( 2, 2, 3) X( 3, 12, 1) X( 3, 12, 2) X( 3, 12, 3)

Value 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

56.00000 56.00000 0.000000 1 963 Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

16 X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y(

4, 3, 1) 4, 3, 2) 4, 3, 3) 5, 4, 1) 5, 4, 2) 5, 4, 3) 6, 5, 1) 6, 5, 2) 6, 5, 3) 6, 8, 1) 6, 8, 2) 6, 8, 3) 7, 6, 1) 7, 6, 2) 7, 6, 3) 8, 7, 1) 8, 7, 2) 8, 7, 3) 9, 10, 1) 9, 10, 2) 9, 10, 3) 10, 11, 1) 10, 11, 2) 10, 11, 3) 11, 9, 1) 11, 9, 2) 11, 9, 3) 12, 13, 1) 12, 13, 2) 12, 13, 3) 1, 1, 4, 1) 1, 1, 5, 1) 1, 2, 4, 1) 1, 2, 6, 1) 1, 3, 2, 1) 1, 3, 3, 2) 1, 3, 6, 1) 2, 1, 2, 1) 2, 1, 3, 1) 2, 2, 1, 1) 2, 2, 3, 1) 2, 3, 1, 1) 2, 3, 2, 2) 2, 3, 5, 1) 3, 1, 2, 3) 3, 1, 3, 2) 3, 2, 5, 2) 3, 2, 6, 3) 3, 3, 3, 3) 3, 3, 5, 3) 3, 3, 6, 2) 4, 1, 1, 1) 4, 1, 2, 2) 4, 2, 2, 1) 4, 2, 6, 2) 4, 3, 1, 2) 4, 3, 3, 1) 4, 3, 4, 2) 5, 1, 1, 3)

1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

17 Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y(

5, 1, 6, 1) 5, 2, 2, 3) 5, 2, 3, 3) 5, 3, 4, 3) 6, 1, 1, 2) 6, 2, 4, 2) 7, 1, 4, 3) 7, 2, 5, 3) 7, 3, 6, 3) 8, 1, 5, 2) 8, 2, 2, 2) 9, 1, 3, 3) 9, 2, 1, 2) 9, 3, 4, 1) 10, 1, 6, 2) 10, 2, 3, 2) 10, 3, 5, 2) 11, 1, 6, 3) 11, 2, 4, 3) 11, 3, 1, 3) 12, 1, 5, 3) 12, 2, 1, 3) 13, 1, 4, 2) 13, 2, 5, 1) 13, 3, 2, 3)

1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

18 lampiran 2 Model pada LOINGO 11.0 untuk kasus 2 dan hasilnya model: sets: guru/1..12/; mapel/1..13/; ! 1. matematika 2. ipa 3. bahasa indonesia 4. bahasa inggris 5. IPS 6. PKn 7. Agama 8. PLH 9. SBK 10.OR 11.bahasa arab 12.kelas baca 13.Komputer ; kelas/1..4/; hari/1..6/; sesi/1..3/; link1(guru,mapel,kelas):x; link2(mapel,kelas,hari,sesi):y; link3(mapel,kelas):b; link4(kelas,hari,sesi); link5(guru,hari,sesi); link6(mapel,kelas,hari); link7(mapel,sesi):c; link8(guru,mapel):a; link9(kelas,hari); link10(guru,hari); endsets data: !keahlian guru; a= !1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1; !jumlah sesi dalam seminggu; b= 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3

19 2 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1; !bobot mata pelajaran per sesi; c= 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1; enddata !2jam per hari; @for(link10(g,h):@sum(mapel(p):@sum(kelas(k):@sum(sesi(s):x(g,p,k) *y(p,k,h,s))))<=2); !jumlah mata pelajaran memenuhi jumlah sesi ditetapkan; @for(link3(p,k):@sum(hari(h):@sum(sesi(s):y(p,k,h,s)))=b(p,k)); !1 guru dan pelajaran per sesi; @for(link4(k,h,s):@sum(mapel(p):y(p,k,h,s))=1); !setiap guru maksimal mengajar 1kelas tiap sesi; @for(link5(g,h,s):@sum(mapel(p):@sum(kelas(k):x(g,p,k)*y(p,k,h,s)) )<=1); !tidak berturut-turut; @for(link6(p,k,h):@sum(sesi(s):y(p,k,h,s))<=1); !guru 7 tidak bisa mengajar sesi 3; @for(link6(p,k,h):x(7,p,k)*y(p,k,h,3)=0); !guru 8 tidak bisa mengajar sesi pertama; @for(link6(p,k,h):x(8,p,k)*y(p,k,h,1)=0); !olah raga tidak senin atau kamis; @sum(kelas(k):@sum(sesi(s):y(10,k,1,s)))=0; @sum(kelas(k):@sum(sesi(s):y(10,k,4,s)))=0; !1 guru untuk tiap pelajaran dan kelas; @for(link3(p,k):@sum(guru(g):x(g,p,k))<=1);

20 !guru hanya mengajar sesuai dengan keahliannya; @for(link1(g,p,k):x(g,p,k)<=a(g,p)); !nilai x dan y selalu biner; @for(link1(g,p,k):@bin(x(g,p,k))); @for(link2(p,k,h,s):@bin(y(p,k,h,s))); !guru kelas 1 dan 2 harus sama; @for(guru(g):@for(mapel(p):x(g,p,1)=x(g,p,2))); min=@sum(link2(p,k,h,s):y(p,k,h,s)*c(p,s))2*@sum(link1(g,p,k):x(g,p,k));

Hasil Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: Variable X( 1, 1, X( 1, 2, X( 1, 2, X( 2, 1, X( 2, 1, X( 2, 2,

3) 1) 2) 1) 2) 3)

Value 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

-28.00000 -28.00000 0.000000 1 456758 Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

21 X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y(

3, 3, 1) 3, 3, 2) 3, 3, 4) 3, 12, 1) 3, 12, 2) 3, 12, 3) 3, 12, 4) 4, 3, 3) 4, 4, 3) 5, 4, 1) 5, 4, 2) 5, 4, 4) 6, 5, 1) 6, 5, 2) 6, 5, 3) 6, 5, 4) 6, 8, 1) 6, 8, 2) 6, 8, 3) 6, 8, 4) 7, 6, 1) 7, 6, 2) 7, 6, 3) 7, 6, 4) 8, 7, 1) 8, 7, 2) 8, 7, 3) 8, 7, 4) 9, 10, 1) 9, 10, 2) 9, 10, 3) 9, 10, 4) 10, 11, 1) 10, 11, 2) 10, 11, 3) 10, 11, 4) 11, 9, 1) 11, 9, 2) 11, 9, 3) 11, 9, 4) 12, 13, 1) 12, 13, 2) 12, 13, 3) 12, 13, 4) 1, 1, 2, 1) 1, 1, 3, 1) 1, 2, 1, 1) 1, 2, 4, 1) 1, 3, 3, 1) 1, 3, 4, 1) 1, 4, 1, 1) 1, 4, 2, 1) 1, 4, 6, 1) 2, 1, 1, 1) 2, 1, 5, 1) 2, 2, 2, 1) 2, 2, 6, 1) 2, 3, 5, 1) 2, 3, 6, 1)

1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

22 Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y( Y(

2, 4, 3, 1) 2, 4, 4, 1) 2, 4, 5, 1) 3, 1, 1, 3) 3, 1, 5, 2) 3, 2, 2, 2) 3, 2, 4, 2) 3, 3, 1, 1) 3, 3, 3, 3) 3, 4, 1, 2) 3, 4, 5, 3) 3, 4, 6, 2) 4, 1, 1, 2) 4, 1, 6, 3) 4, 2, 3, 3) 4, 2, 5, 3) 4, 3, 3, 2) 4, 3, 6, 3) 4, 4, 1, 3) 4, 4, 2, 3) 4, 4, 3, 2) 5, 1, 2, 3) 5, 1, 4, 3) 5, 2, 1, 3) 5, 2, 6, 2) 5, 3, 1, 2) 5, 3, 2, 1) 5, 4, 4, 2) 6, 1, 4, 1) 6, 2, 5, 2) 6, 3, 6, 2) 7, 1, 3, 2) 7, 3, 2, 3) 7, 2, 4, 3) 7, 4, 2, 2) 8, 1, 6, 1) 8, 2, 3, 1) 8, 3, 5, 2) 9, 1, 2, 2) 9, 2, 1, 2) 9, 3, 1, 3) 9, 4, 4, 3) 10, 1, 6, 2) 10, 2, 3, 2) 10, 3, 2, 2) 10, 4, 5, 2) 11, 1, 5, 3) 11, 2, 5, 1) 11, 3, 4, 2) 11, 4, 6, 3) 12, 1, 3, 3) 12, 2, 6, 3) 12, 3, 4, 3) 13, 1, 4, 2) 13, 2, 2, 3) 13, 3, 5, 3) 13, 4, 3, 3)

1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

23

RIWAYAT HIDUP

Muhammad Izzuddin dilahirkan di Sidney pada tanggal 26 Oktober 1990. Penulis merupakan anak kedua dari pasangan Sidikrubadi Pramudito dan Lisda Fauziah yang bertempat tinggal di Kampung Carang Pulang Bogor 16680. Pada tahun 2002 penulis bersekolah di SMPIT Ummul Quro yang kemudian pada tahn 2005 penulis melanjutkan sekolahnya di SMA KORNITA Bogor. Pada tahun 2008 penulis diterima di Departemen Matematika FMIPA IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Selama mengikuti kegiatan perkuliahan penulis pernah menjadi asisten dosen pada mata kuliah Fisika Dasar, Pemodelan Riset Operasi, Pemodelan Matematika, dan Matematika Ekonomi. Penulis aktif dalam keanggotaan himpunan profesi matematika sebagai anggota Badan Pengawas Gumatika periode 2009/2010 dan menjadi ketua Badan Pengawas Gumatika pada periode 2010/2011.