PENGURAIAN PENDAPATAN GABUNGAN DUA PRODUK DARI SUATU PERUSAHAAN Thomas J. Kakiay Fakultas Ilmu Komputer Universitas Gunadarma Jl. Margonda 100 Pondok Cina Depok
ABSTRAK Penguraian pendapatan atau pendapatan dalam usaha kehidupan sehari-hari dari suatu perusahaan sangat tergantung juga pada model optimasi yang terbaik untuk digunakan. Distribusi marginal dapat digunakan untuk memodelkan dan menguraikan pendapatan gabungan. Distribusi probabilitas marginal dapat menjelaskan beberapa variabel acak untuk menentukan satu nilai angka tertentu dari distribusi marginal tersebut. Gabungan pendapatan dua produk A dan B dari suatu perusahaan dapat diuraikan melalui fungsi gabungan probabilitas bivariat pada semua nilai yang dapat diperhitungkan. Pendapatan dari masing-masing produk dengan demikian dapat diperhitungkan dengan cara oenguraian melalui distribusi gabungan pada fungsi densitas masingmasing. Penguraian distribusi marginal gabungan pendapatan dari kedua produk selanjutnya akan bermanfaat dalam penentuan nilai rata-rata (ekspektasi) dan internal kepercayaan dari gabungan pendapatan kedua produk tersebut. Kata Kunci : Gabungan Pendapatan, Distribusi Marginal
PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari perusahaan besar maupun kecil akan selalu membahas dan meneliti pendapatan dari hasil jerih payah yang sudah dapat dilaksanakan. Pendapatan yang dihasilkan perusahaan dari produk-produknya dapat juga dikaitkan dan diuraikan melalui suatu distribusi probabilitas marginal yang dapat menguraikan banyaknya variabel acak untuk menen-
156
tukan satu nilai angka tertentu dari distribusi marginal tersebut. Sebagai variabel acak diskret, x dan y dapat diuraikan melalui gabungan dari fungsi probabilitas bivariat pada semua nilai yang dimungkinkan dan akan dapat dijabarkan seperti variabel random yang dihasilkan dari probabilitas univariat fung-si x. Demikian juga apabila x dan y adalah variabel random kontinu, maka proses kumulatif dengan integralnya melalui fungsi probabilitas
JURNAL EKONOMI & BISNIS NO. 1, Jilid 9, Tahun 2004
densitas bivariat yang diperoleh dari semua nilai yang mungkin dapat dihasilkan dari univariat probabilitas densitas fungsi x.
PEMBAHASAN
kan gabungan dari dua distribusi densitas sebagai variabel random x dan y. Variabel random x dan y ini merupakan produk 1 dan 2. Beberapa definisi akan diperlukan sebelum melakukan penguraian.
Penguraian fungsi distribusi probabilitas densitas bivariate merupa1. Definisi – I Diberikan x dan y adalah dua variabel random diskret dengan fungsi gabungan probabilitas: p (x, y), maka fungsi probabilitas marginal dari x dan y akan dirumuskan dengan : pX (x) =
∑
p ( x, y )
pY (y) =
∑
p ( x, y )
y
(1)
x
2. Definisi – II Diberikan X dan Y adalah dua variabel random kontinu dengan fungsi gabungan probabilitas densitas f(x, y), maka fungsi probabilitas densitas marginal dari X dan Y dirumuskan dengan : ∞
fx(x) =
∫
f ( x, y )dy
∫
f ( x, y )dx
−∞ ∞
fy(y) =
(2)
−∞
Dengan demikian akan dapat disusun variabel random gabungan kontinu yang menunjukan fungsi distribusi kumulatif [F(x,y)]. F (x,y) disebut juga dengan distribusi kumulatif marginal dari x dan y. Fungsi distribusi kumulatif ini dapat diuraikan sebagai berikut: x ∞
p(X ≤ x) = Fx(x) =
∫∫
f x (t , y )dy dt
−∞−∞
157
JURNAL EKONOMI & BISNIS NO. 1, Jilid 9, Tahun 2004
x
∫
Fx(x) =
f x (t ) dt
(3)
−∞
= F(x, ∞) y ∞
p(Y ≤ y) = Fy(y) =
∫∫
f ( x, t )dx dt
−∞−∞ y
Fy(y) =
∫
f y (t ) dt
(4)
−∞
= F(∞, y) Distribusi kumulatif marginal dari x
dapat diuraikan dengan menyatakan y sebagai batas atas dan di dalam fungsi distribusi gabungan dari x dan y. Demikian juga dapat dilakukan untuk variabel random y dalam fungsi distribusi marginal. Dalam kejadian statistikal independen apabila kedua variabel random x dan y bergabung dalam probabilitas gabungan distribusi adalah sama dengan hasil dari probabilitas marginal kedua distribusi tersebut, dan juga harus dapat dinyatakan sebagai dua variabel random yang independen. Dengan demikian perlu juga konsistensi dalam pengertian untuk statistikal independen dari variabel random dengan Joint Probabilitas P(a < x < b, c < y < d) adalah sama dengan hasilnya dari probabilitas individual yaitu : P(a < x < b) dan P(c < y < d) sebagai pengertian lainnya.
KAKIAY, PENGURAIAN PENDAPATAN… 158
3. Definisi – III Diberikan x dan y adalah dua variabel random yang mempunyai distribusi gabungan dapat dikatakan sebagai bebas secara statistik bila dan hanya bila : p(x, y) = pX(x) . pY(y) → untuk x dan y → Diskret f(x, y) = fX(x) . fY(y) → untuk x dan y → Kontinu Untuk semua x dan y, dimana p(x, y) dan f(x, y) secara berturutturut adalah probabilitas bivariate dan fungsi densitas dinyatakan bahwa px(x), py(y), fx(x) dan fY(y) adalah probabiltas marginal ataupun fungsi-fungsi densitas yang sebenarnya. Selanjutnya bila diberikan variabel random kontinu dengan fungsi gabungan probabilitas densitasnya f(x, y), maka untuk nilai ekspektasi dari suatu fungsi linear dari x dan y dapat dirumuskan dengan:
∞ ∞
E(ax + by) =
∫ ∫ (ax + by ). f ( x, y) dy dx
−∞−∞
∞ ∞
= a
∫∫
−∞−∞
∞ ∞
x ⋅ f ( x, y )dy dx + b ∫
∫ y⋅
f ( x, y )dy dx
−∞−∞
= aE(x) + bE(y)
(5)
Rumus (5) menunjukkan bahwa variabel x dan y mempunyai nilai a dan b yang konstan. Varians dari fungsi linear x dan y adalah : Var(ax + by)
= E(ax + by)2 – [E(ax + by)]2 = E(a2x2 + 2abxy + b2y2) – [aE(x) + bE(y)]2 = a2E(x2) + 2abE (x,y) + b2 E(y2) – a2E(x2) - 2abE (x) E(y) - b2
[E(y)]2 = a2var (x) + b2var (y) + 2a.b Cov(x,y) =0
Proses perumusan ini akan menghasilkan 2 a.b Cov(x,y) = 0, karena kedua variabel random x dan y adalah bebas secara statistik yang dapat dirumuskan menjadi : Var(ax + by) = a2 Var(x) + b2 Var(y) (6) •
•
Ekspektasi dari dua variabel random gabungan distribusi probabilitas. Varians dari dua variabel random gabungan distribusi probabilitas.
Rumus (5) digunakan untuk menghitung ekspektasi dua variabel random gabungan distribusi probabilitas. Persamaan (6) digunakan untuk menghitung varians
159
dua variabel random gabungan distribusi probabilitas.
ILUSTRASI Penggabungan distribusi probabilitas marginal ini telah digunakan untuk menghitung pendapatan dari 2 produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Kedua produk disimbolkan sebagai A dan B. Berdasarkan pengalaman beberapa bulan sebelumnya volume penjualan produk A tidak mempunyai pengaruh sama sekali pada volume penjualan produk B. Pendapatan bulanan dari produk A sebesar 10% dalam bentuk dolar, dan 15% dalam bentuk dolar dari produk B. Selanjutnya diketahui ratarata penjualan produk A sebesar $10.000 per bulan, dengan standar deviasinya $ 2.000 dan demikian juga rata-rata penjualan dari produk B sebesar $ 8.000 per bulan dengan standar deviasi sebesar $ 1.000. Data ini akan digunakan untuk menentukan rata-rata gabungan distri-
JURNAL EKONOMI & BISNIS NO. 1, Jilid 9, Tahun 2004
busi marjinal penjualan produk A dan B, varians dam standar deviasi, serta selang kepercayaan untuk x = 5%. Penentuan rata-rata gabungan pendapatan dilakukan menggunakan persamaan (5). Data ekspektasi pendapatan per unit produk A dan B telah diketahui dan diringkaskan sebagai berikut: E(x) = 10.000 ; S.D (x) = 2.000 ; a = 0,10 ;
Var(ax + by)
E(y) = 8.000 S.D (y) = 1.000 b = 0,15
Nilai rata-rata adalah: E(ax + by)
fungsi
linearnya
= aE(x) + bE(y) = 0,10(10.000)
+
0,15(8.000) = 1.000) +1.200 = 2.200
Perhitungan ini menunjukkan bahwa rata-rata gabungan pendapatan produk A dan B perusahaan tersebut adalah US$ 2.200. Standar deviasi pendapatan gabungan produk A dan B dihitung menggunakan rumus (6).
= a2 Var(x) + b2 Var(y) = (0,10)2 (2.000)2 + (0,15)2 (1.000)2 = (0,01) (4.000.000) + (0,0225) (1.000.000) = 40.000 + 22.500 = 62.500
Varians pendapatan gabungan adalah US$ 62.500. Sedangkan standar deviasi adalah 250 Selang kepercayaan rata-rata gabungan pendapatan dihitung menggunakan rumus di bawah. Rumus itu daoat digunakan dengan asumsi data yang diperoleh berdistribusi normal. Data yang dikumpulkan cukup banyak (n ≥ 30), dengan demikian asumsi kenormalan dipenuhi. C.I. = X ± (σ ⋅ Z ) C.I. = 2.200 ± (250 ∗ 0,96) C.I. = 2.200 ± 240 Selang kepercayaan bagi rata-rata gabungan pendapatan kedua produk adalah US$ 1.980 – US$ 2.440.
PENUTUP
KAKIAY, PENGURAIAN PENDAPATAN… 160
Pendapatan gabungan dua produk dapat dihitung menggunakan prinsip fungsi distribusi probabilitas densitas bivariaat. Fungsi distribusi probabilitas densitas bivariat dibentuk dari fungsi probabilitas marjinal dan fungsi probabilitas densitas marjinal.
DAFTAR PUSTAKA George C. Canavos. 1984. Applied Probability and Statistical Methods. Little, Brown and Company. Copyright and Printed Boston, USA. Lawrence L. Lapin. 1973. Statistic For Modern Business Decisions. Harcourt Brace. Jovanovich Inc. New York, USA. Lyman Ott, 1984. An Introduction to Statistical Methods and Data Analysis. Second Edition. Dux-
burry Press. PWS Publishers. 20 Park Plaza. Boston. USA. Meyers.1970. Introduction Probability and Statistical Application. Second Edition. Additional Wesley Publishing Company, Inc. Copyright Washington. USA. 1970.
161
Mosteller. F., R.E.K. Rourke, and. G.B. Thomas Jr. 1973. Probability With Statistical Applications. Second Edition. Addision Wasley Publishing Company. Massachusetts. USA.
JURNAL EKONOMI & BISNIS NO. 1, Jilid 9, Tahun 2004
