Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik dan Sifat-Sifatnya Pembimbing Soleha, M

Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik dan Sifat-Sifatnya Pembimbing Soleha, M.Si Dita Marsa Yuanita 1209 100 019

Abstrak Permasalahan kendali optimal adalah mendapatkan aturan Bab 1

kendali optimal

Penyelesaian PRAWD dan matriks gain umpan balik

Bab 2

Invarian waktu untuk proses kendali tak berhingga (steady

Bab 3

Penyelesaian PRAWD (steady state) didapat dengan

Bab 4

state) membalik waktu pada PRAWD non steady state (kasus pendulum terbalik)

Analisis PRAWD menghasilkan persamaan tetap apabila

Bab 5

matriks pemberat indeks performansi diganti

PRAWD memiliki penyelesaian minimum yang unik

Penggunaan dan Sifat Penyelesaian

Dita Marsa Yuanita

Bab 1|Pendahuluan Pendahuluan Bab 2 Bab 3 Bab 4 Bab 5

Latar Belakang Masalah Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat

Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik

Dita Marsa Yuanita

Bab 1|Pendahuluan Latar Belakang Masalah Pendahuluan Bab 2

Persamaan Riccati Aljabar dasar teori kendali modern muncul pada masalah kendali optimal

dianggap sebagai

Bab 3

[1] Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in Optimal Control Theory“. Mathematics Theses, Georgia State University. Penelitian sebelumnya

Bab 4 Bab 5

Membahas masalah optimal kuadratik menggunakan penyelesaian persamaan Riccati aljabar kontinu

Penggunaan dan Penyelesaian

Dita Marsa Yuanita

Bab 1|Pendahuluan Latar Belakang Masalah Pendahuluan Bab 2 Bab 3

Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit (PRAWD) berbentuk

P = Q + F * PF − F * PG ( R + G * PG ) −1 G * XF

untuk menyelesaikan masalah kendali optimal linier kuadratik dari sistem waktu diskrit

x(t + 1) = Fx(t ) + Gx(t )

dan indeks

Bab 4

∞

x(0) = c

performansi kuadratik

J = x* ( N ) Sx( N ) + ∑ [ x* (k )Qx(k ) + u * (t ) Ru (t )] t =0

diminimalkan dengan

Bab 5

aturan umpan balik

u (t ) = − K (t ) x(t )


Dita Marsa Yuanita

Bab 1|Pendahuluan Latar Belakang Masalah Pendahuluan Bab 2 Bab 3

Pada Tugas Akhir ini dibahas

Kendali Optimal Linier Kuadratik yang memunculkan Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit

Keadaan Steady State (Kasus Pendulum Bab 4 Bab 5

Terbalik dengan Sistem Servo)

Sifat Penyelesaian PRAWD


Dita Marsa Yuanita

Bab 1|Pendahuluan Rumusan Masalah Pendahuluan

Bagaimana mendapatkan penyelesaian pada Bab 2

masalah Sistem Servo dengan plant Pendulum Terbalik menggunakan persamaan Riccati Aljabar

Bab 3

Bagaimana mengkaji sifat terkait penyelesaian Bab 4

PRAWD

Bab 5


Dita Marsa Yuanita

Bab 1|Pendahuluan Batasan Masalah Pendahuluan Bab 2 Bab 3 Bab 4

1. Keadaan steady state serta non steady state dengan kasus sistem pendullum terbalik.

2. Penyelesaian dengan MATLAB

Bab 5


Dita Marsa Yuanita

Bab 1|Pendahuluan Tujuan Pendahuluan Bab 2 Bab 3 Bab 4 Bab 5

Menunjukkan cara mendapatkan penyelesaian pada masalah Sistem Servo dengan plant Pendulum Terbalik menggunakan persamaan Riccati Aljabar

1

2

Memberikan kajian sifat terkait penyelesaian PRAWD


Dita Marsa Yuanita

Bab 1|Pendahuluan Manfaat Pendahuluan Bab 2 Bab 3

Memberikan suatu

referensi yang mudah

dimengerti mengenai kendali optimal kuadratik menggunakan persamaan Riccati aljabar.

Bab 4 Bab 5


Dita Marsa Yuanita

Bab 2|Tinjauan Pustaka Inversi Matriks Bab 1 Tinjauan Pustaka Bab 3

Sistem Contoh Sistem (Pendulum Terbalik) Desain Sistem Servo

Bab 4 Bab 5

Kendali Optimal Linier Kuadratik


Dita Marsa Yuanita

Bab 2|Tinjauan Pustaka Inversi Matriks Bab 1

Sifat 2.1. [2] Sifat Inversi Matriks Tinjauan Pustaka Bab 3 Bab 4

Jika diberikan matriks persegi

A ∈ M n×n , B ∈ M n×m , C ∈ M m×n dan D ∈ M m×m dan matriks A + BDC memiliki invers

Maka ( A + BDC ) −1 = A−1 − A−1 B ( D −1 + CA−1 B ) −1 CA−1

Bab 5


Dita Marsa Yuanita

Bab 2|Tinjauan Pustaka Sistem Bab 1 Tinjauan Pustaka Bab 3 Bab 4

Persamaan Keadaan

x(t + 1) = Fx(t ) + Gu (t )

Persamaan Output y (t ) = Cx (t ) + Du (t )

dengan x(t ) vektor keadaan u (t ) vektor input y (t ) vektor output

Bab 5


Dita Marsa Yuanita

Bab 2|Tinjauan Pustaka Sistem Bab 1 Tinjauan Pustaka Bab 3 Bab 4 Bab 5

Linier Misal terdapat operator T bila diberikan input u1 (t ) terdapat output y1 (t ) dan input u2 (t ) outputnya, y2 (t ) maka T (αu1 (t ) + βu2 (t )) = αy1 (t ) + βy2 (t ) = αT (u1 (t )) + βT (u2 (t )) Invarian Waktu Jikadiberikan input u (t ) dengan output y (t ) maka input u (t − τ ) memiliki output y (t − τ )


Dita Marsa Yuanita

Bab 2|Tinjauan Pustaka

Contoh Sistem (Pendulum Terbali Bab 1 Tinjauan Pustaka Bab 3 Bab 4 Bab 5

Gambar 1. Pendulum Terbalik


Dita Marsa Yuanita



Persamaan gerak pendulum pada arah sumbu x d 2x

d2 M 2 + m 2 ( x + l sin θ ) = u dt dt ( M + m) x − ml (sin θ )θ 2 + ml (cos θ )θ = u

Persamaan gerak massa pada arah sumbu z

 d2   d2  m  2 ( x + l sin θ ) (l cos θ ) − m  2 (l cos θ ) (l sin θ ) = mgl sin θ  dt   dt  mx cos θ + mlθ = mg sin θ Linearisasi ( M + m) x + mlθ = u mx + mlθ = mgθ


Dita Marsa Yuanita



Definisikan x1 = θ x2 = θ x3 = x x4 = x

Persamaan Keadaan Pendulum Terbalik

1 0 0 x 0  1  1     0 0 0  x  −  2  + Ml u 0 0 1  x3   0     1  0 0 0   x4     M   Persamaan Output  x1  x  y = [0 0 1 0] 2   x3     x4 

0  x1   M + m  x   g  2   = Ml 0  x3    m   −   x4   M g


Dita Marsa Yuanita

Bab 2|Tinjauan Pustaka Desain Sistem Servo Bab 1 G

Tinjauan Pustaka

F

Bab 3 Bab 4 Bab 5

Gambar 2. Denah Sistem Servo Dari gambar v(t ) = v(t − 1) + r (t ) − y (t ) didapat x(t + 1) = Fx(t ) + Gu (t ) dan y (t ) = Cx (t )

u (t ) = − K 2 x(t ) + K1v(t )


Dita Marsa Yuanita

Bab 2|Tinjauan Pustaka Desain Sistem Servo Bab 1 Tinjauan Pustaka Bab 3 Bab 4 Bab 5

Dalam bentuk persamaan matriks F  x(t + 1)  = u (t + 1)  K − K F − K CF    2 2 1

G   x(t )  0  + r I − K 2G − K1CG  u (t )  K1 

Definisikan xE (t ) = x(t ) − x(∞) u E (t ) = u (t ) − u (∞)

Menjadi F  xE (t )  = u (t )  K − K F − K CF 2 1  E   2

G   xE (t ) I − K 2G − K1CG  u E (t )


Dita Marsa Yuanita

Bab 2|Tinjauan Pustaka Desain Sistem Servo Bab 1 Tinjauan Pustaka Bab 3

Dapat ditulis sebagai  xE (t )   F u (t )  =  0  E  

Dengan

G   xE (t )  0 u (t )  +  I  w(t ) 0  E   

w(t ) = [K 2 − K 2 F − K1CF

I − K 2G − K1CG ]

Definisikan Bab 4

 xE (t ) ˆ  F ,F =   0 u E (t )

ξ (t ) =  Bab 5

G 0  G = , I  0   

Menjadi ˆ w(t ) ξ (t + 1) = Fˆ ξ (t ) + G


Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Linier Kuadrati Bab 1 Tinjauan Pustaka

Pandang persamaan

x(t + 1) = Fx(t ) + Gu (t ) Indeks performansi N −1

J = x ( N ) Sx( N ) + ∑ [ x* (t )Qx(t ) + u * (t ) Ru (t )] *

t =0

Bab 3

Aturan kendali optimal u (t ) = − Kx (t )

Indeks Performansi dengan Pengali Lagrange [{x* (t )Qx(t )

Bab 4

N −1

Bab 5

L = x ( N ) Sx( N ) + ∑ + u * (t ) Ru (t )}λ* (t + 1){Fx(t ) + Gu (t ) − x(t + 1)} *

t =0

+ {Fx(t ) − Gu (t ) − x(t + 1)}* λ (t + 1)]


Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Linier Kuadrati Bab 1 Tinjauan Pustaka Bab 3 Bab 4 Bab 5

Didiferensialkan δL = 0; λ (t ) = Qx(t ) + F *λ (t + 1) δx (t ) δL = 0; Sx( N ) = λ ( N ) δx ( N ) δL = 0; u (t ) = − R −1G *λ (t + 1) δu (t ) δL = 0; x(t + 1) = Fx(t ) + Gu (t ) δλ (t ) Diselesaikan menjadi X (t ) = Q + F * X (t + 1) F − F − F * X (t + 1)G[ R + G * X (t + 1)G ]−1 GX (t + 1) F


Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Linier Kuadrati Bab 1 Tinjauan Pustaka Bab 3

Persamaan Riccati Aljabar P(t ) = Q + F * P(t + 1) F − F − F * P(t + 1)G[ R + G * P(t + 1)G ]−1 GP(t + 1) F

Matriks gain umpan balik K (t ) = [ R + G * P(t + 1)G ]−1 G * P(t + 1) F

Indeks Performansi minimum Bab 4

J = x* (0) P(0) x(0)

Bab 5


Dita Marsa Yuanita

Bab 2|Tinjauan Pustaka Penyelesaian PRAWD Bab 1 Tinjauan Pustaka Bab 3 Bab 4

Persamaan Riccati Aljabar sebagai fungsi D( P ) = P − F * PF + ( S + G * XF )* ( R + G * PG ) −1 ( S + G * PF ) − Q

Aturan kendali optimal uopt (t ) = [ F − G ( R + G * Popt G ) −1 ( S + G * Popt F )]x(t ) Indeks performansi ∞

J =∑ t =0

Bab 5

 Q S *  x(t )    x (t ) u (t )   u ( t )   S R 

(

*

*

)

Matriks Loop tertutup

FP (t ) = F − G ( R + G * Popt G ) −1 ( S + G * Popt F )


Dita Marsa Yuanita

Bab 3|Metode Penelitian Studi Literatur Bab 1

Analisis Bab 2 Metode Penelitian

Penyelesaian Contoh Permasalahan Evaluasi

Bab 4 Bab 5

Penarikan Kesimpulan Dan Penulisan Tugas Akhir


Dita Marsa Yuanita

Bab 4|Analisis dan Pembahasan Bab 1

Kendali Optimal Linier Kuadratik Steady State

Bab 2 Bab 3

Kendali Optimal Linier Kuadratik dari Sistem Servo

Analisis dan Pembahasan Bab 5

Sifat Penyelesaian Riccati Aljabar


Dita Marsa Yuanita

Bab 4|Analisis dan Pembahasan Bab 1 Bab 2 Bab 3 Analisis dan Pembahasan Bab 5

Kendali Optimal Linier Kuadrati Steady State Ketika proses kendali berhingga, matriks P(t ) dan K (t ) menjadi matriks invarian waktu Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit Steady State P = Q + F * PF − F − F * PG[ R + G * PG ]−1 GPF

Matriks gain umpan balik

K = [ R + G * PG ]−1 G * PF

Indeks Performansi Minimum J = x* (0) Px(0)


Dita Marsa Yuanita

Bab 4|Analisis dan Pembahasan Bab 1 Bab 2

Kendali Optimal Linier Kuadrati Steady State Diberikan sistem 0  0 1 + x(t + 1) =  x ( t )  0u (t ) − 0 . 5 1    

Bab 3

Dengan Analisis dan Pembahasan

 2 x(0) =    2

Indeks performansi kuadratik Bab 5

1 0  * + J = ∑ [ x* (t )  x ( t ) u (t )u (t )]  t =0 0 0.5 ∞


Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Linier Kuadrati Steady State Penyelesaian PRAWD Steady State

Bab 2 Bab 3 Analisis dan Pembahasan

P(t + 1) = Q + F * P(t ) F − F − F * P(t )G[ R + G * P(t )G ]−1 GP(t ) F

Iterasi dengan batas 0 0  P (t ) =   0 0 

Matriks gain umpan balik Bab 5

K = [0.2207 − 0.4414]

Didapat nilai matriks yang tetap  1.5664 − 1.1328 Pss =   − 1.1328 2.7556 

Indeks Performansi Minimum J = 8.2656


Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik) Diketahui

Bab 2

M = 2.5kg , m = 0.25kg , l = 2m

Maka persamaan keadaan Bab 3 Analisis dan Pembahasan Bab 5

 x1   0  x   5.3955  2 =   x3   0     x4  − 0.981

Persamaan output y = [0

0

1 0 0  x1   0  0 0 0  x2  − 0.2 + u 0 0 1  x3   0      0 0 0  x4   0.4  1

 x1  x  0] 2   x3     x4 


Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik) Pendiskritan pada sistem

Bab 2 Bab 3 Analisis dan Pembahasan Bab 5

0.1009  x1 (t + 1)   1.0271  x (t + 1)  0.5444 1.0271 =  2  x3 (t + 1)  − 0.0049 − 0.0002    x t ( + 1 )   − 0.099 − 0.0049  4

0 0   x1   − 0.001  0 0   x2  − 0.0202 u + 1 0.1  x3   0.002      0 1   x4   0.04 

y = [0

0

1


 x1  x  0] 2   x3     x4 

Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik) Persamaan ruang keadaan


0.1009 0 0  1.0271  0.5444 1.0271 0 0  ξ (t + 1) = − 0.0049 − 0.0002 1 0.1  1  − 0.099 − 0.0049 0  0.0049 0.0002 − 1 − 0.1

w(t ) = u E (t ) = −[K

0  − 0.001  − 0.0202 0   0ξ (t ) +  0.002  w(t )    0 0 . 04    − 0.002  1

Dengan ˆ ξ (t ) w(t ) = − K Perhatikan bahwa dan 0 ˆ   xE (t ) ˆ  F  xE (t ) t = F = ξ K1] ( ) ,     , G =   vE (t ) 

 vE (t ) 

− CF


1

G   − CG 

Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik) Indeks Performansi Kontinu

Bab 2

∞

J = ∫ [ξ * (t )Qξ (t ) + w* (t ) Rw(t )]dt 0

Bab 3 Analisis dan Pembahasan Bab 5

didiskritkan ∞

J = ∑ ξ * (t )Qξ (t ) + w* (t ) Rw(t ) t =0

Dengan

10 0  Q=0  0  0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 100 0 0, R = 1  0 0 1 0 0 0 0 1


Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik) Matriks gain umpan balik

Bab 2 Bab 3

K = [− 116.5430 − 74.1883 − 17.2665 − 20.0594]

Konstanta gain integral K1 = −0.6623

Analisis dan Pembahasan Bab 5


Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik) Persamaan ruang keadaan

Bab 2

GK1   x(t ) 0  x(t + 1)  F − GK =  v(t + 1)  − CF + CGK 1 − CGK   v(t )  +  I  r       1

Respon Tangga Satuan Bab 3 Analisis dan Pembahasan Bab 5

 x(t ) x1 = [1 0 0 0 0]   v(t )  HH = [1 0

0 0 0] Dengan JJ = [0 1 0 0 0] CC = [0 0 1 0 0] LL = [0 0 0 1 0] MM = [0 0 0 0 1]


Dita Marsa Yuanita


Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)



Dita Marsa Yuanita





Dita Marsa Yuanita





Dita Marsa Yuanita





Dita Marsa Yuanita





Dita Marsa Yuanita

Bab 4|Analisis dan Pembahasan Sifat Penyelesaian PRAWD Bab 1

Definisikan Φ ( P, F , R, S ) = F − G ( R + G * PG ) −1 ( S + G * PF )

Bab 2 Bab 3

[

−1

* −1

Ψ ( z; F , G , R, S , Q ) = G ( z − F ) *

Q S *  ( zI − F ) −1 G  I   I  S R  

]

Sifat 4.1. [4] Misal matriks Hermit dan

~ ~ ~ R = R + G * XG, S = S + G * XF , Q = Q + F * XF − X

Analisis dan Pembahasan

maka ~ ~ ~ D( P; F , G, R, S , Q) = D( P − X ; F , G, R , S , Q )

dan ~ ~ ~ Ψ ( z; F , G , R, S , Q ) = Ψ ( z; F , G , R , S , Q )

Bab 5

dan ~ ~ Φ ( P, F , R, S ) = Φ ( P − X , F , G , R , S )


Dita Marsa Yuanita

Bab 4|Analisis dan Pembahasan Sifat Penyelesaian PRAWD Bab 1

Bukti Dari definisi


Q + F * XF − X I *  S + G XF ~ ~ ~ Ψ ( z; F , G , R , S , Q ) = Ψ ( z; F , G , R, S , Q ) + T ( z )

[

~ ~ ~ Ψ ( z; F , G, R , S , Q ) = G * ( z −1 − F * ) −1

[

−1

* −1

T ( z) = G ( z − F ) *

 F * XF − X I *  G XF

]

]

S * + F * XG  ( zI − F ) −1 G    R + G * XG   I 

F * XG  ( zI − F ) −1 G    G * XG   I 

= G * ( z −1 − F * ) −1 F * X ( F ( zI − F ) −1 + I )G + G * X ( F ( zI − F ) −1 + I )G − G * ( z −1 I − F * ) −1 X ( xI − F ) −1 G

karena

F ( zI − F ) −1 + I = z ( zI − F ) −1

T ( z ) = G *[ I − F * z + F * z − I ] X ( zI − F ) −1 G = 0 ~ ~ ~ Ψ ( z; F , G , R , S , Q ) = Ψ ( z; F , G , R, S , Q )


Dita Marsa Yuanita

Bab 4|Analisis dan Pembahasan Sifat Penyelesaian PRAWD Bab 1 Bab 2 Bab 3 Analisis dan Pembahasan

Sifat 4.2. [4] Misal P2 adalah penyelesaian dari D(P) dan Pˆ adalah suatu penyelesaian dari D(P) dengan FP2 = F − G ( R + G * P2G ) −1 ( S + G * P2 F ) ~ R = R + G * P2G

Maka ∆ = Pˆ − P2 adalah penyelesaian persamaan H (Y ) = Y − FP2 YFP2 + FP2 YG[ R + G *YG]−1 G *YFP2 = 0

Bab 5


Dita Marsa Yuanita

Bab 4|Analisis dan Pembahasan Sifat Penyelesaian PRAWD Bab 1 Bab 2

Bukti Dari Sifat 4.1 Jika P2 dan Pˆ penyeleseaian dari D(P) maka ~ ~ ~ ~ ~ terdapat R = R + G P G, S = S + G P F ,U = R S *

Bab 3

Didapat Analisis dan Pembahasan

−1

*

2

2

Rˆ = R + G * Pˆ G, Sˆ = S + G * Pˆ F , Uˆ = Rˆ −1Sˆ ~ ~ R − R = G * P2G , ( S − S )* = F * P2G Rˆ − R = G * Pˆ G , ( Sˆ − S )* = F * Pˆ G ~ ~ Rˆ − R = G *∆G , ( Sˆ − S )* = F *∆G

~ FP2 = F − GU

Akan dibuktikan bahwa Bab 5

H (∆) = ∆ − FP2 ∆FP2 + FP2 ∆G[ R + G *∆G ]−1 G *∆FP2 = 0

Dengan kata lain ∆ − FP2 ∆FP2 = − FP2 ∆G[ R + G *∆G ]−1 G *∆FP2


Dita Marsa Yuanita

Bab 4|Analisis dan Pembahasan Sifat Penyelesaian PRAWD Bab 1 Bab 2 Bab 3 Analisis dan Pembahasan

Bukti Dari persamaan sebelumnya ~ ~ ∆ − FP2 ∆FP2 = ∆ − ( F − GU )* ∆( F − GU )

~ ~ ~ ~ = (∆ − F *∆F ) + (U *G *∆F ) + ( F *∆GU ) − (U *G *∆GU ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ = ( S * R −1S − Sˆ * Rˆ −1Sˆ ) + (( Sˆ * − S * ) R −1S )* ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + (( Sˆ * − S * ) R −1S ) − S * R −1G * ( Pˆ − P2 )GR −1S ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = − S * R −1G * ( Pˆ − P2 )GR −1S − Sˆ * Rˆ −1Sˆ + S * R −1S + Sˆ * R −1S ~ ~ ~ ~ = −( Sˆ * − S * R −1 Rˆ ) Rˆ −1 ( Sˆ * − Rˆ R −1S ) = −(G *∆FP2 )* Rˆ −1 (G *∆FP2 )

Bab 5

= − FP2 ∆G ( R + G * Pˆ G ) −1 G *∆FP2

Terbukti bahwa ∆ adalah penyelesaian dari


H (Y ) = 0

Dita Marsa Yuanita

Bab 5|Penutup Bab 1

Kesimpulan

Bab 2 Bab 3

Saran

Bab 4 Penutup


Dita Marsa Yuanita

Bab 5|Penutup Kesimpulan Bab 1 Bab 2

1. Persamaan

keadaan dan output dari sistem pendulum terbalik berbentuk persamaan kontinu dengan indeks performansi kontinu, pendiskritan dilakukan untuk membentuk suatu sistem linier invariant waktu diskrit dari sistem

Bab 3

2. Desain sistem servo diselesaikan dengan

Bab 4

mendapatkan penyelesaian PRAWD P matriks K dan konstanta integral K1 dari persamaan ruang keadaan ξ (t + 1) = Fˆξ (t ) + Gˆ w(t )

Penutup

w(t ) = − Kˆ ξ (t )


Dita Marsa Yuanita

Bab 5|Penutup Kesimpulan Bab 1

3. Dari matriks K

dan K1 dapat diperoleh respon tangga satuan x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), x4 (t ) dan x5 (t ) = v(t )

Bab 2

4. Fungsi D(P) ,Φ( P, F , R, S ) dan Ψ (z ) mampu Bab 3 Bab 4

mempertahankan sifat invariant jika digantikan oleh dengan ~ ~ ~ R = R + G * XG, S = S + G * XF , Q = Q + F * XF − X

5. Apabila Pˆ dan P merupakan penyelesaian D(P) 2

∆ = Pˆ − P2 penyelesaian dari maka Penutup

H (Y ) = Y − FP2 YFP2 + FP2 YG[ R + G *YG]−1 G *YFP2 = 0 P2

dari

merupakan penyelesaian minimum D(P)


Dita Marsa Yuanita

Bab 5|Penutup Saran Bab 1

1. Dapat diteliti penyelesaian permasalahan kendali optimal Bab 2 Bab 3 Bab 4

pada kasus waktu kontinu

2. Dapat dianalisis juga mengenai persamaan Riccati aljabar kontinu serta sifat penyelesaiannya

3. Dapat ditunjukkan hubungan antara sifat Penutup

penyelesaian Riccati aljabar dengan masalah Kendali Optimal


Dita Marsa Yuanita

Daftar Pustaka Bab 1 Bab 2 Bab 3 Bab 4 Bab 5

[1] Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in Optimal Control Theory“. Mathematics Theses, Georgia State University. [2] Clements, D. J., Wimmer, H.K. (2003). “Existence and Uniqueness of Unmixed Solutions of The Discretetime Algebraic Riccati Equations”. Systems and Control Letters, Vol. 50, Hal 343-340. [3] Ogata, K. (1995). “Discrete-Time Control System”. Prentice-Hall International, London. [4] Subiono. (2010). “Matematika Sistem”. Jurusan Matematika, FMIPA ITS.


Dita Marsa Yuanita

Penggunaan Penyelesaian Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik dan Sifat-Sifatnya Pembimbing Soleha, M.Si Dita Marsa Yuanita 1209 100 019

Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik dan Sifat-Sifatnya Pembimbing Soleha, M

Recommend Documents