PENGENDALIAN CHAOS MENGGUNAKAN SLIDING MODE CONTROL (SMC) PADA SISTEM PERSAMAAN RӦSSLER YANG TERMODIFIKASI
Muhammad Hajarul Aswad1, Moh. Isa Irawan2, Mardlijah3 E-mail :
[email protected],
[email protected],
[email protected] Staf Pengajar MAN 1 Kendari, Mahasiswa Pascasarjana Matematika ITS Surabaya 1 Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya2,3 Kampus ITS, Sukolilo - Surabaya 60111
Abstrak: Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi merupakan suatu sistem persamaan yang berkaitan dengan kinetika kimia. Pada sistem tersebut akan terjadi osilasi secara terus menerus menurut waktu t. Dalam penelitian ini, terlebih dahulu dianalisa stabilitas yang terjadi di sekitar titik setimbang. Kemudian, dengan menggunakan rata-rata Lyapunov exponent, diperoleh bahwa Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi merupakan suatu system yang bersifat chaos. Terakhir, diterapkan Sliding Mode Control (SMC) untuk mengontrol perilaku sistem. Dari hal tersebut perilaku sistem yang awalnya tidak stabil dan bersifat chaos dapat diarahkan menuju titik setimbang. Kata kunci : Sistem Persamaan Rӧssler, Chaos, Sliding Mode Control (SMC).
1. Pendahuluan Sistem Persamaan Rӧssler pertamakali diperkenalkan oleh Otto Rӧssler pada tahun 1970-an sebagai suatu sistem persamaan yang berkaitan dengan laju perubahan konsentrasi dari reaktan atau produk dari suatu reaksi kimia. Karena reaksinya yang kompleks, maka dimungkinkan Sistem Persamaan Rӧssler tersebut akan bersifat chaos (Gaspard, 2005). Chaos merupakan suatu fenomena sistem yang tidak teratur yang disebabkan oleh sensitifitas sistem terhadap kondisi awal. Salah satu metode yang digunakan untuk menjelaskan suatu sistem berperilaku chaos atau tidak, adalah dengan menggunakan Lyapunov exponent. Hilborn (1993) mendefinisikan suatu sistem bersifat chaos apabila dalam
sistem tersebut terdapat satu Lyapunov exponent yang bernilai positif. Beberapa metode yang telah digunakan untuk mengontrol chaos diantaranya OGY, differential geometry, adaptife control, inverse optimal control, dan adaptive fuzzy control (Dadras dkk, 2008) Sliding Mode Control (SMC) merupakan salah satu metode pengendalian yang bersifat robust sehingga mampu bekerja pada sistem linear maupun nolinear yang memiliki ketidakpastian. Pendekatan SMC telah efektif diaplikasikan untuk mengontrol sistem nonlinear (Nazzal dkk, 2007) dan sistem dengan ketidakteraturan (Feki, 2008). Dalam Nikolov (2006) telah diteliti transisi hyperchaos-chaoshyperchaos yang terjadi pada Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi.
Transisi tersebut dikarenakan adanya perubahan parameter bifurkasi yang berdampak pada perubahan tipe titik setimbang. Sistem Persamaan Rӧssler dibuat menjadi 8 sistem dengan memodifikasi parameter b menjadi b + b1x + b2y + b3z + b4w kemudian menambahkan sebuah persamaan linear ẇ. Pada sistem yang ke-8 (dengan parameter a = 0.25, b = 3, c = 0.5, d = 0.05, b1 ∈ [0.01, 1.5], b2 = -0.1, b3 = b4 = 0.1) , perubahan perilaku dari hyperchaos-chaos terjadi pada saat b1 = 0.3 dan b1= 0.4. Setelah itu terjadi perubahan perilaku chaos-hyperchaos pada saat b1 = 0.6. lebih lanjut dikatakan bahwa, sistem yang ke-8 memiliki perilaku yang lebih chaos dibandingkan ketujuh sistem lainnya. Berdasarkan hal tersebut, maka dalam penelitian ini akan dikaji bagaimana penerapan Sliding Mode Control (SMC) dalam mengontrol chaos yang terjadi pada Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi.
𝑎−
𝑐 𝑑
−𝐴 + 𝐷 , 2
− 𝑒1 =
−𝐴 + 𝐷 , 2
−𝐴 + 𝐷 , 2 𝑐 −𝐴 + 𝐷 𝑑 2 𝑐 −𝐴 − 𝐷 𝑎− , 𝑑 2 −
𝑒2 =
−𝐴 − 𝐷 , 2
−𝐴 − 𝐷 , 2 𝑐 −𝐴 − 𝐷 𝑑 2
,
dengan 𝐴=
𝑏1 𝑎𝑑 − 𝑐 − 𝑏2 𝑑 + 𝑏3 𝑑 + 𝑏4 𝑐 𝑎𝑑 − 𝑐
dan 𝐷=
2. Kestabilan Sistem di Sekitar Titik Setimbang Definisi 1 Suatu titik 𝑥 ∈ ℝ dikatakan sebagai suatu titik setimbang dari ẋ = f (x) jika f (𝑥 ) = 0. □ Adapun Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi yang dimaksud dalam penelitian ini adalah 𝑥 = −𝑦 − 𝑧 𝑦 = 𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑤 𝑧 = 𝑏 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑏3 𝑧 + 𝑏4 𝑤 + 𝑥𝑧 𝑤 = −𝑐𝑧 + 𝑑𝑤 (2.1) dengan a = 0.25, b = 3, c = 0.5, d = 0.05, b1 = 0.5, b2 = -0.1, b3 = b4 = 0.1. Berdasarkan Definisi 1, diperoleh titik setimbang dari Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi sebagai berikut
𝑏1 𝑎𝑑 − 𝑐 − 𝑏2 𝑑 + 𝑏3 𝑑 + 𝑏4 𝑐 𝑎𝑑 − 𝑐 𝑏𝑑 4 . 𝑎𝑑 − 𝑐
2
−
Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi merupakan suatu sistem persamaan yang nonlinear, sehingga perlu diterapkan linearisasi di sekitar titik setimbang (Phillips, 1996). Metode ini menghasilkan suatu matriks Jacobian yang merupakan interpretasi dari sistem nonlinear yang telah dilinearisasi. Akibat dari Linearisasi tersebut, maka kestabilan system akan bersifat local (Ogata, 1985). Misalkan titik setimbang e1 dan e2 disimbolkan sebagai 𝑥 , 𝑦, 𝑧, 𝑤 , maka linearisasi Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi di seiktar titik setimbang 𝑥 , 𝑦, 𝑧, 𝑤 adalah 0 𝓊 1 𝓋 = 𝑏1 + 𝑧 𝓏 𝓌 0
−1 𝑎 𝑏2 0
−1 0 𝑏3 + 𝑥 −𝑐
0 1 𝑏4 𝑑
𝓋 𝓋 𝓏 𝓌
Jadi, matriks Jacobian pada setimbang 𝑥 , 𝑦, 𝑧, 𝑤 adalah 0 1 𝐽= 𝑏1 + 𝑧 0
−1 −1 𝑎 0 𝑏2 𝑏3 + 𝑥 0 −𝑐
0 1 𝑏4 𝑑
(2.2) titik
𝑥=𝑥 ,𝑦 =𝑦 ,𝑧=𝑧 ,𝑤 =𝑤
Setelah dilinearisasi sehingga diperoleh matriks Jacobiannya, maka
2
selanjutnya dianalisa kestabilan Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi di sekitar titik setimbang
diinterpretasi menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Misalkan Persamaan (2.3) ditulis dalam bentuk berikut p(s) = a41s4 + a31s3 + a21s2 + a11s + a01 (2.4) Berdasarkan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, perilaku sistem di sekitar titik setimbang e1 dikatakan stabil jika tidak terdapat perubahan tanda pada kolom pertama dalam tabel Routh (Subiono, 2008) Karena a41 > 0, maka 𝑎31 > 0 𝑎31 𝑎21 − 𝑎41 𝑎11 𝑏11 = >0 𝑎31 𝑏11 𝑎11 − 𝑏21 𝑎31 𝑐11 = >0 𝑏11 dan 𝑐11 𝑏21 − 𝑏11 𝑐21 𝑑11 = > 0. 𝑐11 Dengan menurunkan peridaksamaan di atas, maka perilaku sistem di sekitar titik setimbang pertama (e1) dikatakan stabil jika memenuhi keadaan berikut 1. 𝑎31 > 0 (2.5) 2. 𝑎31 𝑎21 − 𝑎41 𝑎11 > 0 (2.6) 3. 𝑎11 𝑎21 𝑎31 − 𝑎11 𝑎41 > 𝑎01 𝑎31 𝑎31 (2.7) 4. 𝑎01 > 0 (2.8) 5. 𝑎11 > 0 (2.9)
2.1 Analisa Sistem di Sekitar Titik Setimbang Pertama (e1) Hasil linearisasi sistem di seiktar titik setimbang e1 adalah 0 1
−1 𝑎
𝓊 𝓋 −𝐴 + 𝐷 = 𝑏1 + 𝓏 2 𝓌
−1 0
𝑎− 𝑏2
0
𝑏3 +
𝑐 𝑑
−𝐴 + 𝐷 2 −𝑐
0
0 1
𝓋 𝓋 . 𝓏 𝓌
𝑏4 𝑑
Sehingga diperoleh matriks Jacobian pada titik setimbang e1 adalah 0 1
𝐽=
−1 𝑎
−1 0
𝑎−
−𝐴 + 𝐷 𝑏1 + 2
𝑏2
0
𝑏3 +
𝑐 𝑑
−𝐴 + 𝐷 2 −𝑐
0
0 1
𝑏4
.
𝑑
Dengan menyelesaikan |λI – J| = 0, maka polynomial akar-akar karakteristiknya adalah 𝜆4 +
𝑎−
𝑏3 𝑑 −
𝑐 𝑑
𝐴− 𝐷 2 𝑐 𝑑
𝑎−
𝑎 𝑑 + 𝑏3 −
− 𝑑 − 𝑏3 − 𝑎 𝜆3 +
𝐴− 𝐷 2 𝑐 𝑑
𝑎−
𝑑 + 𝑏4 𝑐 +
𝐴− 𝐷 2
+ 𝜆2 +
𝐴− 𝐷 2
1 + 𝑏1 −
𝑐 𝑑 𝐴− 𝐷 2 𝑎−
𝑏2 𝑐 − 𝑎 𝑏3 𝑑 −
𝑑 + 𝑏3 −
𝑎−
𝑐 𝑑
2.2 Analisa Sistem di Sekitar Titik Setimbang Kedua (e2) Linearisasi sistem di sekitar titik setimbang e2 adalah
𝑑 + 𝑏4 𝑐 −
𝐴− 𝐷 2
+
𝜆+
0 1
𝓊 𝓋 −𝐴 − 𝐷 = 𝑏1 + 𝓏 2 𝓌
𝐴− 𝐷 𝑏2 − 𝑏1 𝑑 + 𝑑− 2 𝑎𝑏1 + 𝑎 𝑏3 𝑑 −
𝑐 𝑎− 𝑑
𝑏4 𝑐−𝑏1 𝑐 + 𝑎𝑏1 𝑑 − 𝑎
𝐴− 𝐷 2
𝐴− 𝐷 2
−1 0
𝑎− 𝑏2
0
𝑏3 +
0
0 1
=0
(2.3)
𝐽=
𝐴− 𝐷 𝑑 − 𝑏2 𝑑 2
−𝐴 − 𝐷 𝑏1 + 2 0
−1 𝑎
−1 0
0
𝑏3 +
0 1
𝑐 𝑑
−𝐴 − 𝐷 2 −𝑐
𝓋 𝓋 . 𝓏 𝓌
𝑏4 𝑑
pada
𝑎− 𝑏2
𝑐 𝑑
−𝐴 − 𝐷 2 −𝑐
Jadi matriks Jacobian setimbang e2 adalah
𝑑+
𝐴− 𝐷 𝑐+ 2
−1 𝑎
titik 0 1 𝑏4
.
𝑑
Selanjutnya, dengan menyelesaikan |λI – J| = 0, maka polynomial akar-akar karakteristiknya adalah
Karena tanda bilangan real dari Persamaan (2.3) tidak mudah untuk ditentukan, maka kestabilan sistem di sekitar titik setimbang pertama (e1) akan
3
𝜆4 +
𝑎−
𝑏3 𝑑 −
𝑐 𝑑
𝐴+ 𝐷 2 𝑐 𝑑
𝑎−
𝑎 𝑑 + 𝑏3 −
𝐴+ 𝐷 2 𝑐 𝑑
𝑎−
1 + 𝑏1 −
𝑏2 𝑐 − 𝑎 𝑏3 𝑑 −
𝑑 + 𝑏3 −
𝑏2 − 𝑏1 𝑑 + 𝑎𝑏1 + 𝑎 𝑏3 𝑑 −
𝑎−
𝑐 𝑑
𝑏4 𝑐−𝑏1 𝑐 + 𝑎𝑏1 𝑑 − 𝑎
𝑑 + 𝑏4 𝑐 +
𝐴+ 𝐷 2
𝐴+ 𝐷 2 𝑐 𝑎− 𝑑 𝐴+ 𝐷 2
𝑎−
𝑐 𝑑
3. Existensi Chaos Chaos pada Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi dihitung dengan menggunakan Lyapunov exponent. Untuk sistem dua dimensi atau lebih, maka existensi chaos diperoleh dengan menghitung rata-rata Lyapunov exponent pada sistem tersebut. Suatu sistem bersifat chaos jika pada sistem tersebut terdapat paling sedikit satu rata-rata Lyapunov exponent (Hilborn, 1993). Rata-rata Lyapunov exponent di sekitar titik setimbang 𝑥 , 𝑦, 𝑧, 𝑤 adalah 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 𝐿= 4 𝜕𝑓 𝑥 𝜕𝑓 𝑦 𝜕𝑓 𝑧 𝜕𝑓 𝑤 + + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑤 = 4 𝑎 + 𝑏3 + 𝑥 + 𝑑 = (3.1) 4
− 𝑑 − 𝑏3 − 𝑎 𝜆3 +
+ 𝜆2 +
𝑑 + 𝑏4 𝑐 −
𝐴+ 𝐷 2
+
𝜆+
𝐴+ 𝐷 𝑑− 2 𝐴+ 𝐷 2
𝐴+ 𝐷 2
𝑑+
𝐴+ 𝐷 𝑐+ 2
=0
4. Sliding Mode Control Sliding Mode Control (SMC) merupakan salah satu metode pengontrol sistem yang memiliki performa yang baik dalam mengontrol system linear maupun nonlinear. Perancangan Control law pada SMC bertujuan untuk mengeliminasi perilaku sistem yang tidak stabil sehingga konvergen ke titik setimbang. u = ueq – K sign S (4.1) dengan −1 jika 𝑥 < 1 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑥 = 1 jika 𝑥 ≥ 1 Pada proses SMC, terlebih dahulu ditentukan sliding surface yang melalui titik setimbang.
(2.10)
𝐴+ 𝐷 𝑑 − 𝑏2 𝑑 2
Misalkan Polinomial (2.10) ditulis dalam bentuk berikut p(s) = a42s4 + a32s3 + a22s2 + a12s + a02 (2.11) Karena a42 > 0, maka a32 > 0 𝑎32 𝑎22 − 𝑎42 𝑎12 𝑏12 = > 0, 𝑎32 𝑏12 𝑎12 − 𝑏22 𝑎32 𝑐12 = > 0, 𝑏12 dan 𝑐12 𝑏22 − 𝑏12 𝑐22 𝑑12 = > 0. 𝑐12 Dengan menurunkan pertidaksamaan tersebut di atas,, maka perilaku sistem di sekitar titik setimbang e2 dikatakan stabil jika memenuhi keadaan berikut yaitu 1. 𝑎32 > 0 (2.12) 2. 𝑎32 𝑎22 − 𝑎42 𝑎12 > 0 (2.13) 3. 𝑎12 𝑎22 𝑎32 − 𝑎12 𝑎42 > 𝑎02 𝑎32 𝑎32 (2.14) 4. 𝑎02 > 0 (2.15) 5. 𝑎12 > 0 (2.16)
𝑑
𝑛−1
𝑆 = 𝑑𝑡 + 𝜆 𝑒 𝑡 (4.2) dengan e(t) = x(t) – xd(t) (4.3) Kemudian, dirancang pengontrol u sehingga mampu mengarahkan state system ke sliding surface dan terus berada pada posisi sliding hingga menuju ke titik setimbang. Selanjutnya, dengan menggunakan konsep kestabilan Lyapunov akan ditemukan K sehingga memenuhi reaching condition (Palm, 1996).
4
0, dan a12≯ 0. Jadi, perilaku sistem di sekitar titik setimbang e2 tidak stabil. Perilaku Sistem Rossler di Sekitar Titik Setimbang e2
10000
z(t)
5000
Gambar 4.1 Kondisi Sliding
0 X: 7.55 Y: 0.7743 Z: -0.7743
-5000 5000
5. Interpretasi Numerik Telah ditunjukkan bahwa Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasiasi sebagaimana yang terlihat pada Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi merupakan suatu sistem dengan dua titik setimbang. Selain itu, berdasarkan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, telah diperoleh analisa kestabilan sistem di sekitar titik setimbang tersebut. Selanjutnya akan diperoleh interpretasi numerik dengan mensubtitusi parameter sistem. Dengan mensubtitusi parameter sistem a = 0.25, b = 3, c = 0.5, d = 0.05, b1 = 0.5, b2 = -0.1, b3 = b4 = 0.1 ke dalam e1, maka diperoleh e1 = (-3.8745, -0.3974, 0.3974, 3.9738). Dari hasil perhitungan yang telah dilakukan, diperoleh bahwa nilai 𝑎01 = −0.5712, 𝑎11 = 3.3399, 𝑎21 = 0.8276, 𝑎31 = 3.4745, dan 𝑎41 = 1. Sehingga diperoleh a31 = 3.4745; a31a21 – a41a11 = –0.4647; a11(a21a31 – a11a41) = –1.5519; a01a31a31 = –6.8954; a01 = –0.5712; a11 = 3.3399. Berdasarkan hasil tersebut, terlihat bahwa a31a21 – a41a11 ≯ 0, dan a01 ≯ 0. Jadi perilaku sistem di sekitar titik setimbang e1 tidak stabil. Dengan cara yang sama diperoleh e2 = (7.5495, 0.7743, -0.7743, -7.7430), dan berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, diperoleh nilai 𝑎02 = 0.5712, 𝑎12 = −7.8753, 𝑎22 = 3.0830, 𝑎32 = −7.9495, dan 𝑎42 = 1 sehingga a32 = –7.4495; a32a22 – a42a12 = – 16.6331; a12(a22a32 – a12a42) = 130.9907; a02a32a32 = 36.0960; a02 = 0.5712; a12 = –7.8753. Berdasarkan hasil tersebut, terlihat bahwa a32 ≯ 0, a32a22 – a42a12 ≯
0 -5000 y(t)
-10000
-40
0
-20
40
20
x(t)
w(t)
0 w(t)
-2000 -4000 -6000
0
500
1000
1500
t
Gambar 5.1 Perilaku sistem di sekitar titik setimbang kedua (e2) sebelum diberikan pengontrol u Perilaku sistem di sekitar titik setimbang e1 dan e2 tidak stabil dengan trajectory sistem yang terus bergerak menjauhi titik setimbang. Masing-
masing species memiliki laju yang lambat dengan konsentrasi yang terus berubah menurut waktu t. Molekul dari masing-masing species memiliki energi aktivasi yang terlalu tinggi sehingga kemungkinan terbentuknya produk sangat kecil. Karena perilaku sistem di sekitar titik setimbang e1 = (–3.8745, –0.3974, 0.3974, 3.9738) dan titik setimbang e2 = (7.5495, 0.7743, –0.7743, –7.7430) tidak stabil, maka dapat dikatakan bahwa Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi merupakan suatu sistem yang tidak stabil. Dengan menggunakan Persamaan (3.1), diperoleh rata-rata Lyapunov exponent -0.8686 pada titik setimbang e1 dan 1.9874 pada titik setimbang e2. Karena terdapat satu rata-rata Lyapunov exponent yang bernilai positif, maka Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi merupakan suatu sistem persamaan yang bersifat chaos.
5
−𝑥𝑧 − 𝑏1 𝑥 − − 𝑏2 𝑦 − 𝑏3 𝑧 − 𝑏4 𝑤 − 𝑏 𝐾 𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝑧 − 𝑧) 𝑢4 = 𝑐𝑧 − 𝑑𝑤 − 𝑐𝑧 − 𝑑𝑤 − 𝐾 𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝑤 − 𝑤 )
Suatu input control diletakkan pada masing-masing state dari Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi, sehingga diperoleh suatu sistem persamaan sebagai berikut 𝑥 = −𝑦 − 𝑧 + 𝑢1 𝑦 = 𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑤 + 𝑢2 𝑧 = 𝑏 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑏3 𝑧 + 𝑏4 𝑤 + 𝑥𝑧 + 𝑢3 𝑤 = −𝑐𝑧 + 𝑑𝑤 + 𝑢4 (5.1) Misalkan suatu titik setimbang sebagai 𝑥 , 𝑦, 𝑧, 𝑤 . Karena e(t) = x(t) – xd(t), dengan xd(t) adalah state yang diinginkan, maka diperoleh eror dinamik dari Sistem Persamaan (5.1) 𝐸1 = −𝐸2 − 𝐸3 + 𝑢1 𝐸2 = 𝐸1 + 𝑎𝐸2 + 𝐸4 + 𝑢2 𝐸3 = 𝐸1 𝐸3 + 𝐸1 𝑧 + 𝑥 𝐸3 + 𝑏1 𝐸1 + 𝑏2 𝐸2 + 𝑏3 𝐸3 + 𝑏4 𝐸4 + ℝ + 𝑢3 𝐸4 = −𝑐𝐸3 + 𝑑𝐸4 + 𝑢4 (5.2) dengan ℝ = 𝑏 + 𝑏1 𝑥 + +𝑏2 𝑦 + 𝑏3 𝑧 + 𝑏4 𝑤 + 𝑥 𝑧 Selanjutnya, akan diturunkan aturan pengontrol u untuk masing-masing state. 𝐸1 = −𝐸2 − 𝐸3 + 𝑢1 sliding surface untuk n = 1 adalah 𝑆 = 𝐸1 (𝑡) (5.3) Berdasarkan (5.3), maka 𝑆 = 𝐸1 𝑡 = −𝐸2 − 𝐸3 + 𝑢1 Untuk 𝑆 = 0, maka 𝑢 = 𝑢𝑒𝑞 = 𝐸2 + 𝐸3 (5.4) Sehingga aturan pengontrolan u berdasarkan control law adalah 𝑢1 = −𝐸1 − 𝑎𝐸2 − 𝐸4 − 𝐾 𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝑆) (5.5) Reaching condition terpenuhi jika 𝑆. 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑆 ≤ −𝜂, dengan η > 0 Sehingga −𝐾 𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝑆) 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑆 ≤ −𝜂 −𝐾 ≤ −𝜂 𝐾≥𝜂 Artinya, K > 0 Jadi, aturan pengontrol u untuk state pertama adalah 𝑢1 = 𝑦 + 𝑧 − 𝑦 + 𝑧 − 𝐾 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑥 − 𝑥 (5.6) Dengan cara yang sama diperoleh 𝑢2 = −𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑤 + 𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑤 −𝐾 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑦 − 𝑦
𝑢3 =
Setelah diberi pengontrol u, perilaku sistem di sekitar titik setimbang tampak berubah. Trajectory system yang awalnya membentuk osilasi, mampu menuju sliding surface dan bergerak menuju ke titik setimbang. Pada saat yang berlainan, konsentrasi masingmasing species tidak lagi mengalami perubahan yang mengindikasikan bahwa perlakuan yang diberikan terhadap reaksi mampu menurunkan energi aktivasi. Reaksi berlangsung semakin cepat sehingga dapat membentuk produk. Perhatikan Gambar 5.2 berikut Perilaku Sistem Rossler di Sekitar Titik Setimbang e2 Dengan Input Control u
1 X: 4 Y: -1 Z: 1
z(t)
0.5
X: 7.55 Y: 0.7736 Z: -0.7735
0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 y(t)
-1
4
6
5
7
8
x(t)
-4 w(t)
w(t)=w -6 -8
0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 t
Gambar 5.2 Perilaku sistem di sekitar titik setimbang kedua (e2) setelah diberi pengontrol u dengan nilai awal (4, –1, 1, –4) Jika dilakukan smoothing dengan cara mengganti fungsi signum sign (S) pada control input u dengan fungsi saturasi sat (S/Φ). maka Persamaan (5.6) menjadi 𝑢1 = 𝑦 + 𝑧 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑥−𝑥 𝐾 𝜙 (5.7)
6
dengan 𝑠𝑖𝑔𝑛
jika 𝑆 Φ
Perubahan Nilai Error 0.5
4
<1
2
0
e1(t)
jika ≥1 Dengan cara yang sama diperoleh 𝑢2 = −𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑤 + 𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑤 𝑦−𝑦 −𝐾 𝜙 −𝑥𝑧 − 𝑏1 𝑥 − 𝑢3 = − 𝑏2 𝑦 − 𝑏3 𝑧 − 𝑏4 𝑤 − 𝑏 𝑧−𝑧 𝐾 𝜙 𝑢4 = 𝑐𝑧 − 𝑑𝑤 − 𝑐𝑧 − 𝑑𝑤 − 𝑤−𝑤 𝐾 𝜙
e2(t)
=
𝑆 Φ 𝑆 Φ
0
-2
-0.5
0
2000
4000
-1
6000
0
2000
t
4000
6000
4000
6000
t
1
1 0
e3(t)
0.5 e4(t)
𝑆 Φ
𝑠𝑎𝑡
𝑆 Φ
0
-1 -2 -3
-0.5
0
2000
4000
6000
-4
0
2000
t
t
Gambar 5.4 Perubahan nilai eror setelah diberi pengontrol u untuk sistem di sekitar titik setimbang kedua (e2)
Perilaku Sistem Rossler di Sekitar Titik Setimbang e2 Dengan Input Control u 1
6. Kesimpulan
X: 4 Y: -1 Z: 1
0.5 z(t)
0
Dari analisis dan pembahasan di atas, diperoleh kesimpulan bahwa 1. Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi merupakan suatu sistem yang memiliki dua titik setimbang hyperbolic yaitu
X: 7.549 Y: 0.7743 Z: -0.7743
-0.5 -1 1 0 -1
y(t)
4.5
4
5.5
5
6
6.5
7
8
7.5
x(t)
𝑒1 =
-4 w(t)
w(t)=w -6 -8
𝑐
𝑎−𝑑
−𝐴+ 𝐷 2
, −
−𝐴+𝐷2, −𝐴+𝐷2, 𝑐𝑑−𝐴+𝐷2 0
10
20
30
40
50
60
70
dengan tipe sadle point, dan
t
Gambar 5.3 Perilaku sistem di sekitar titik setimbang kedua (e2) setelah diberi pengontrol u dengan cara smoothing. (Nilai awal = (4, –1, 1, –4), K = 3, dan Φ = 2)
𝑒2 =
𝑐
𝑎−𝑑
−𝐴− 𝐷 2
, −
−𝐴−𝐷2,−𝐴−𝐷2,𝑐𝑑−𝐴−𝐷2 dengan tipe sources.
Selanjutnya, perubahan nilai eror akibat input control u dapat dilihat pada Gambar 5.4 berikut
2. Kriteria kestabilan Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi diperoleh dengan menggunakan konsep kestabilan Routh-Hurwitz. Perilaku sistem di sekitar titik setimbang pertama stabil jika memenuhi Pertidaksamaan (2.5), (2.6), (2.7), (2.8), dan (2.9) sedangkan perilaku sistem di sekitar titik setimbang kedua stabil jika memenuhi Pertidaksamaan (2.12), (2.13), (2.14), (2.15), dan (2.16). 7
Chaotic Dynamical System, Chaos, Solitons and fractals. Feki, Moez., 2008, Sliding Mode Control and Synchronization of Chaotic Systems With Parametric Uncertainties, Chaos, Solitons and Fractals. Gaspard, Pierre, 2005. “Rӧssler Sistem” dalam Encyclopedia of Nonlinear Science, ed. Scott, Alwyn., Routledge, New York, hal. 808-811. Hilborn, Robert C., 1993, Chaos and Nonlinear Dynamics :An Introduction For Scientists and Engineers, Oxford University Press, Inc., New York. Nazzal, Jamal M., dan Natshes, Ammar N., 2007, Chaos Control using Sliding-Mode Theory, Chaos, Solitons and Fractals, No. 33, hal. 695–702. Nikolov, Svetoslav., dan Clodong, Sébastien., 2006, Hyperchaos– Chaos–Hyperchaos Transition in Modified Rӧssler Systems, Chaos, Solitons and Fractals, No. 28, hal. 252–263. Ogata, Katsuhiko, 1985, Teknik Kontrol Automatik: Sistem Pengaturan Jilid 2, Penerbit Erlangga, Jakarta. Palm, Rainer., dkk., 1996, Model Based Fuzzy Control: Fuzzy Gain Schedulers and Sliding Mode Fuzzy Control, Springer-Verlag, New York. Phillips, Charles L., dan Harbor, Royce D., 1996, Feedback Control Systems :Third Edition, Prentice Hall, Inc., New Jersey. Subiono, 2008, Matematika Sistem (Diktat), Jurusan Matematika FMIPA-ITS, Surabaya.
3. Rata-rata Lyapunov exponent di sekitar titik setimbang adalah 𝑎 + 𝑏3 + 𝑥 + 𝑑 𝐿= 4 4. Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi dengan parameter sistem a = 0.25, b = 3, c = 0.5, d = 0.05, b1 = 0.5, b2 = –0.1, b3 = b4 = 0.1 merupakan suatu sistem persamaan yang tidak stabil dan bersifat chaos. 5. Sliding Mode Control (SMC) merupakan suatu metode pengontrol yang mampu mengontrol chaos yang terjadi pada Sistem Persamaan Rӧssler yang termodifikasi. Aturan kontrol yang bekerja pada SMC, mampu mengarahkan sistem menuju ke titik setimbang untuk sebarang initial condition. Fenomena chatering yang timbul sebagai akibat dari model pengontrolan yang diskontinu pada SMC murni dapat diminimalkan dengan smoothing yaitu dengan menempatkan suatu boundary layer di sekitar sliding surface sehingga trajectory system hanya akan bergerak di dalam boundary layer lalu menuju ke titik setimbang. 7. Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan mengkombinasikan antara SMC murni dengan metode pengontrol sistem yang lain sehingga sliding surface dapat langsung diperoleh tanpa harus mereduksi sistem. DAFTAR PUSTAKA Chang, Raymond, 2002, Chemistry: Seventh Edition, Boston, McGrawHill. Dadras dkk, Sara., dkk., 2008, Sliding Mode Control for Uncertain New
8
