PENGARUH SURPLUS PRIMER, TINGKAT PAJAK, DAN INVESTASI PUBLIK TERHADAP MODAL DAN UTANG PUBLIK DALAM MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DANTY KARTIKA SARI

PENGARUH SURPLUS PRIMER, TINGKAT PAJAK, DAN INVESTASI PUBLIK TERHADAP MODAL DAN UTANG PUBLIK DALAM MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI

DANTY KARTIKA SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PERNYATAAN MENGENAI SRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengaruh Surplus Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik terhadap Modal dan Utang Publik dalam Model Pertumbuhan Ekonomi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Maret 2014 Danty Kartika Sari NIM G54090051

ABSTRAK DANTY KARTIKA SARI. Pengaruh Surplus Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik terhadap Modal dan Utang Publik dalam Model Pertumbuhan Ekonomi. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan ALI KUSNANTO. Pertumbuhan ekonomi suatu negara dapat dikatakan stabil bila keadaan pertumbuhan ekonomi negara tersebut berlangsung secara berkelanjutan, artinya pertumbuhan antara modal dan utang publik berjalan seimbang. Dalam tugas akhir ini akan dipelajari pengaruh tiga buah faktor terhadap dua buah komponen, yaitu modal publik dan utang publik. Ketiga faktor tersebut ialah pengaruh surplus primer, tingkat pajak, dan investasi publik. Model pertumbuhan ekonomi diasumsikan bahwa surplus primer terhadap PDB merupakan fungsi linear positif dari utang publik. Simulasi karya ilmiah ini dibagi menjadi tiga kasus yaitu: pengaruh faktor surplus primer terhadap modal publik dan utang publik; pengaruh faktor tingkat pajak terhadap modal publik dan utang publik; dan pengaruh investasi publik terhadap modal publik dan utang publik. Hasil simulasi menunjukan bahwa tingkat pertumbuhan ekonomi yang stabil terjadi saat ketiga faktor tersebut mengalami kenaikan. Kenaikan ini menyebabkan utang publik mengalami penurunan bahkan mencapai kondisi tidak adanya utang publik dan modal publik mengalami peningkatan, sehingga modal publik dapat digunakan untuk investasi publik. Kata kunci : investasi publik, modal publik, surplus primer, tingkat pajak, utang publik

ABSTRACT DANTY KARTIKA SARI. Effects of Primary Surplus, Tax Rate, and Public Investment on Capital and Public Debt in Economic Growth Model. Suvervised by RETNO BUDIARTI dan ALI KUSNANTO. Economic growth of a country is stable if the state economic growth is sustainable. It means that public capital and public debt of economic are in balance. In this work, the influence of three factors into two components, there are public capital and public debt. The factors are the influence of the primary surplus, the tax rate, and the public investment. The economic growth model studied was assumed in such a way that the primary surplus of GDP ratio is a positive linear function of the public debt. A simulation conducted in this study is divided into three cases i.e,: the effect of the primary surplus to public capital and public debt, the effect of the tax rate on public capital and public debt, and the effect of public investment on public capital and public debt. The simulation results showed that stable economic growth rate occurred when all of these three factors increased. The increase causes the public debt get decreased even reached the situation with no public debt and public capital increased. As a consequence, the public capital can be used for public investment. Keywords :

public investment, public capital, primary surplus, tax rate, public debt

PENGARUH SURPLUS PRIMER, TINGKAT PAJAK, DAN INVESTASI PUBLIK TERHADAP MODAL DAN UTANG PUBLIK DALAM MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI

DANTY KARTIKA SARI

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

Judul Skripsi : Pengaruh Surplus Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik terhadap Modal dan Utang Publik dalam Model Pertumbuhan Ekonomi Nama : Danty Kartika Sari NIM : G54090051

Disetujui oleh

Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing I

Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

Judul Skripsi: Pengaruh Surplus Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik terhadap Modal dan Utang Publik dalam Model Pertumbuhan Ekonomi Nama Danty Kartika Sari NIM : G54090051

Disetujui oleh

Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing I

Tanggal Lulus:

D5 MAR 2014

Drs Ali Kusnanto, MSi

Pembimbing II

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam karya ilmiah ini adalah pertumbuhan ekonomi, dengan judul Pengaruh Surplus Primer, Tingkat Pajak, dan Investasi Publik terhadap Modal dan Utang Publik dalam Model Pertumbuhan Ekonomi. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Ir Retno Budiarti, MS dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran dan bimbingannya. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapakku, Ibuku, dan Kakakku yang sudah memberikan doa, nasihat, semangat dan dukungannya selama ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Wirdania, Ivonne, Meliza, Uwi, Widia, Dita, Windi, Bari, Yoyok, Putri, Amelia, Risa, Tita, Dedew, dan teman-teman Kost Putri rumah warna atas dukungan serta bantuannya selama ini. Penulis juga sampaikan terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika, keluarga Matematika IPB, serta teman-teman satu almamater IPB. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Maret 2014 Danty Kartika Sari

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Karya Ilmiah

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Istilah Ekonomi

2

Istilah Matematis

4

PEMBAHASAN Surplus Primer dan Dinamika Utang Publik

8 8

Struktur Model Pertumbuhan Ekonomi

10

Kondisi Ekuilibrium pada Dinamika Model Pertumbuhan Ekonomi

14

SIMULASI

16

Pengaruh Parameter 𝛽 terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi

17

Pengaruh Parameter 𝜏 terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi

19

Pengaruh Parameter 𝜙 terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi

21

SIMPULAN

24

Simpulan

24

Saran

25

DAFTAR PUSTAKA

25

LAMPIRAN

26

RIWAYAT HIDUP

38

DAFTAR TABEL 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh parameter β Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat 𝛽 = 0.35 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat 𝛽 = 3.5 Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh parameter τ Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat 𝜏 = 0.25 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat 𝜏 = 0.55 Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh parameter 𝜙 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat 𝜙 = 0.001 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat 𝜙 = -0.1

17 17 17 18 18 20 22 22 22

DAFTAR GAMBAR 1 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat β = 0.35 2 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat 𝛽 = 3.5 3 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat β = 0.35 4 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat β = 3.5 5 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat 𝜏 = 0.25 6 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat 𝜏 = 0.55 7 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat τ = 0.25 8 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat τ = 0.55 9 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat 𝜙 = 0.001 10 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat 𝜙 = - 0.1 11 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat 𝜙 = 0.001 12 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat 𝜙 = - 0.1

18 18 18 18 20 20 21 21 23 23 23 23

DAFTAR LAMPIRAN 1 Penurunan laju pertumbuhan ekonomi pada kondisi yang seimbang dengan kendala modal swasta (Persamaan (24)) 2 Penurunan persamaan differensial tiga dimensi terhadap waktu 3 (Persamaan (28), (29), (30)) 4 Kode program Gambar 1 5 Kode program Gambar 2 6 Kode program Gambar 3 7 Kode program Gambar 4 8 Kode program Gambar 5 9 Kode program Gambar 6 10 Kode program Gambar 7 11 Kode program Gambar 8 12 Kode program Gambar 9 13 Kode program Gambar 10 14 Kode program Gambar 11 15 Kode program Gambar 12

26 27 29 30 30 31 32 32 33 34 34 35 36 37

PENDAHULUAN Latar Belakang Pertumbuhan ekonomi adalah pertumbuhan output riil suatu perekonomian sepanjang tahun. Pertumbuhan ekonomi diukur dengan peningkatan pendapatan per kapita sepanjang waktu, dari peningkatan Produk Nasional Bruto (PNB) atau Produk Domestik Bruto (PDB) (Mankiw 2003). Pertumbuhan ekonomi dikaitkan dengan sebuah proses pembangunan ekonomi suatu negara. Pembangunan ekonomi tersebut bertujuan untuk mencapai target pertumbuhan ekonomi yang pada akhirnya mendorong perekonomian sehingga mampu menyejahterakan masyarakatnya. Setiap negara membutuhkan pertumbuhan ekonomi agar menjadi negara yang maju. Oleh karena itu, pentingnya pertumbuhan ekonomi mengakibatkan banyak para ahli ekonomi yang semakin tertarik untuk mempelajari teori pertumbuhan ekonomi. Pertama ialah teori pertumbuhan ekonomi Solow-Swan. Teori ini menjelaskan bagaimana tingkat tabungan, investasi, dan kemajuan teknologi mempengaruhi tingkat output perekonomian dan pertumbuhan sepanjang waktu. Dalam teori ini kemajuan teknologi diasumsikan sebagai variabel eksogen (Mankiw 2003). Seiring dan berjalannya waktu, teori pertumbuhan ekonomi Solow-Swan mendapatkan banyak kritik, salah satunya dipelopori oleh Paul M Romer pada tahun 1986. Teori ini muncul karena ketidakpuasan Paul M Romer terhadap model pertumbuhan ekonomi Solow-Swan yang dinilai memiliki kelemahan karena tidak cukup menjelaskan pertumbuhan ekonomi jangka panjang. Kelemahan dari model pertumbuhan ekonomi Solow-Swan adalah tingkat tabungan akan mendorong pertumbuhan ekonomi, sementara pengembalian modal akan terus menurun secara berangsur-angsur. Sebaliknya, model pertumbuhan ekonomi yang diterangkan oleh Paul M Romer adalah tingkat tabungan dan investasi dapat mendorong pertumbuhan ekonomi yang berkesinambungan. Teori pertumbuhan ekonomi Paul M Romer lebih dikenal dengan teori pertumbuhan ekonomi endogen (Mankiw 2003). Para ahli ekonomi semakin tertarik untuk mempelajari teori pertumbuhan ekonomi endogen. Menurut Futugami et al (1993), model pertumbuhan ekonomi endogen diartikan sebagai sebuah model dengan modal publik yang menghasilkan pertumbuhan ekonomi per-kapita. Teori Futugami menjelaskan adanya kemungkinan dari pengeluaran publik yang bersifat produktif maupun non produktif. Hal tersebut menunjukkan bahwa pertumbuhan yang dapat memaksimalisasi kesejahteraan mungkin berbeda bahkan pada saat kondisi pertumbuhan ekonomi yang seimbang. Salah satu ahli ekonomi Turnovsky (1995) juga mempelajari mengenai teori pertumbuhan ekonomi endogen. Menurut Turnovsky model pertumbuhan ekonomi endogen memungkinkan adanya utang publik. Turnovsky menunjukkan bahwa peningkatan investasi publik oleh utang publik yang lebih tinggi dapat meningkatkan tingkat pertumbuhan ekonomi yang seimbang. Hal tersebut karena modal publik dapat merangsang investasi dan utang publik.

2 Teori pertumbuhan ekonomi endogen Futugami et al. (1993) dan Turnovsky (1995) terus mengalami perkembangan. Penggabungan kedua teori tersebut menghasilkan sebuah analisis yaitu rasio antara surplus primer terhadap produk domestik bruto (PDB) merupakan fungsi linear positif dari rasio utang publik terhadap produk domestik bruto (PDB). Hal tersebut, jika pemerintah menaikkan surplus primer akibat kenaikan utang publik dibutuhkan tindakan yang dapat menstabilkan rasio utang publik. Rasio utang publik menunjukkan adanya tingkat pengembalian. Oleh karena itu, rasio utang publik akan tetap dibatasi yang menyiratkan bahwa kondisi utang publik yang berkelanjutan (Greiner A 2007). Dalam karya ilmiah ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai pengaruh surplus primer, tingkat pajak, dan investasi publik terhadap besarnya modal dan utang publik suatu negara sehingga pertumbuhan ekonomi mencapai kestabilan. Tingkat pajak dan investasi publik ditetapkan oleh pemerintah sebagai bentuk tindakan dari kebijakan fiskal perekonomian suatu negara. Selanjutnya, dilakukan simulasi untuk mengetahui sifat stabilitas model pertumbuhan ekonomi. Tujuan Karya Ilmiah Berdasarkan latar belakang di atas, tujuan karya ilmiah ini ialah: 1 Mempelajari pengaruh surplus primer, tingkat pajak, dan investasi publik terhadap modal dan utang publik dalam model pertumbuhan ekonomi. 2 Menganalisis kestabilan titik tetap dari model pertumbuhan ekonomi. 3 Melakukan simulasi dan mempelajari pengaruh dari perubahan parameter berdasarkan simulasi tersebut.

TINJAUAN PUSTAKA Definisi Beberapa Istilah Ekonomi Pertumbuhan ekonomi (economic growth) adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menujukkan persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu dibandingkan pada pendapatan riil pada tahun sebelumnya (Sukirno 2004). Pendapatan nasional adalah jumlah pendapatan yang diterima oleh faktorfaktor produksi yang digunakan untuk memproduksikan barang dan jasa dalam suatu tahun tertentu. Berikut ini adalah persamaan dari pendapatan nasional: Y = C + I + G + (X − M), dengan Y merupakan pendapatan nasional, C merupakan konsumsi rumah tangga, I merupakan investasi, G merupakan pengeluaran pemerintah, X merupakan ekspor, dan M merupakan impor. Data yang dikumpulkan dalam perhitungan pendapatan nasional adalah jumlah pembelanjaan yang dilakukan dalam satu tahun (Sukirno 2004). Salah satu faktor lain dari pendapatan nasional

3 adalah investasi. Investasi adalah pembelian alat-alat modal, persediaan barang (inventory) dan struktur usaha (Mankiw 2006). Konsumsi rumah tangga merupakan suatu kegiatan yang dilakukan oleh masyarakat yaitu jumlah pembelian rumah tangga atas barang dan jasa yang dilakukan untuk memenuhi kebutuhannya. Untuk memaksimumkan tingkat konsumsi sebuah rumah tangga biasanya dipengaruhi oleh faktor diskon. Faktor diskon adalah pengurangan jumlah yang seharusnya dibayarakan yang dibayar dimuka (Sukirno 2004). Ada tiga macam ukuran untuk menilai pertumbuhan ekonomi yaitu pertumbuhan output, pertumbuhan output per pekerja, dan pertumbuhan output per kapita. Pertumbuhan output digunakan untuk menilai pertumbuhan kapasitas produksi yang dipengaruhi oleh adanya peningkatan tenaga kerja dan modal. Pertumbuhan output per tenaga kerja sering digunakan sebagai indikator adanya perubahan daya saing di suatu wilayah. Sedangkan pertumbuhan output per kapita digunakan sebagai indikator perubahan kesejahteraan ekonomi di suatu wilayah. Umumnya tingkat pertumbuhan perekonomian suatu wilayah diukur dari Produk Domestik Bruto (PDB). Produk Domestik Bruto adalah nilai barang dan jasa dalam suatu negara yang diproduksikan oleh faktor-faktor produksi milik warga negara tersebut dan juga negara asing. Berikut adalah persamaan Produk Domestik Bruto (PDB): PDB = C + I + G, dengan PDB merupakan Produk domestik bruto, C merupakan konsumsi pemerintah, I merupakan investasi, dan G merupakan pengeluaran pemerintah (Sukirno 2004). Ada beberapa pandangan mengenai teori pertumbuhan ekonomi. Menurut teori Solow, ada beberapa hal yang dilakukan untuk memacu pertumbuhan ekonomi. Pertama, meningkatkan porsi tabungan akan meningkatkan akumulasi modal dan mempercepat pertumbuhan ekonomi. Kedua, meningkatkan investasi yang sesuai dalam perekonomian baik dalam bentuk maupun non-fisik dapat mendorong kemajuan teknologi dan dapat meningkatkan pendapatan per tenaga kerja sehingga pemberian kesempatan untuk berinovasi pada sektor swasta akan berpengaruh besar dalam pertumbuhan ekonomi. Teori pertumbuhan Solow juga berpegang pada konsep skala hasil yang terus berkurang dari input tenaga kerja dan modal jika keduanya dianalisis secara terpisah. Model pertumbuhan Solow dalam bentuk formal memakai fungsi produksi agregat standar, yakni: 𝑌 = 𝐾 ∝ (𝐴𝐿)1−∝ , pada persamaan tersebut Y adalah Produk Domestik Bruto (PDB), K adalah stok modal fisik dan modal manusia, L adalah tenaga kerja, dan A adalah produktivitas tenaga kerja yang pertumbuhannya ditentukan secara eksogen. Adapun simbol α melambangkan elastisitas (Mankiw 2003). Teori pertumbuhan ekonomi Solow semakin mengalami perkembangan, diantaranya adalah teori pertumbuhan ekonomi endogen. Teori pertumbuhan endogen adalah peningkatan akumulasi modal. Modal dalam hal ini tidak hanya dalam sifat fisik tetapi juga yang bersifat non-fisik berupa ilmu pengetahuan dan teknologi. Perkembangan teknologi ini akan mengembangkan inovasi sehingga meningkatkan produktivitas dan berujung pada peningkatan pertumbuhan

4 ekonomi. Adanya penemuan-penemuan baru berawal dari proses learning by doing dapat memunculkan penemuan-penemuan baru yang meningkatkan efisiensi produksi. Efisiensi ini dapat meningkatkan produktivitas, sehingga dalam hal ini kualitas sumber daya manusia adalah faktor yang berpengaruh terhadap pertumbuhan ekonomi (Todaro & Smith 2006). Adapun yang dilakukan pemerintah untuk mencapai pertumbuhan perekonomian yang stabil yaitu dengan melakukan sebuah kebijakan. Kebijakan tersebut terdiri dari kebijakan fiskal dan kebijakan moneter. Kebijakan fiskal merupakan satu instrumen dari kebijakan makroekonomi yang bertujuan untuk mencapai output yang tinggi dengan laju pertumbuhan yang cepat, kesempatan kerja yang tinggi, stabilitas harga serta keseimbangan dalam neraca pembayaran. Kebijakan fiskal merupakan salah satu proses pembentukan perpajakan dan pengeluaran pemerintah atau publik. Proses tersebut merupakan upaya menekan fluktuasi siklus ekonomi dan ikut berperan menjaga ekonomi yang tumbuh dengan penggunaan tenaga kerja penuh dimana tidak terjadi laju inflasi yang tinggi dan berubah-ubah. Berdasarkan definisi tersebut terdapat dua instrumen pokok di dalamnya, yaitu belanja negara dan perpajakan. Pemerintah dapat menetapkan program pengeluaran publik serta penerimaannya yang sebagian besar adalah pajak. Pajak adalah beralihnya sumber daya dari sektor swasta ke sektor pemerintah wajib dibayar oleh sektor swasta dan berdasarkan ketentuan yang ditetapkan pemerintah, penerimaan pajak digunakan untuk pembiayaan pembangunan negara (Mankiw 2003). Kebijakan fiskal yang dilakukan oleh pemerintah bertujuan untuk dapat menutupi utang pemerintah dan mencegah terjadinya defisit anggaran pemerintah. Utang pemerintah adalah akumulasi pinjaman dari sektor swasta yang digunakan untuk mendanai defisit anggaran. Keadaan ini terjadi bila pengeluaran pemerintah lebih banyak daripada kegiatan mengumpulkan dana melalui pajak. Defisit anggaran pemerintah adalah selisih pengeluaran pemerintah dengan penerimaan pemerintah, yang sama dengan jumlah utang baru yang dibutuhkan pemerintah untuk mendanai operasinya (Mankiw 2006).

Istilah Matematika Current-Value Hamilton Tingkat diskon merupakan ciri dasar dalam masalah pengoptimuman dinamik, terutama dalam bidang ekonomi. Dalam kontrol optimum fungsi nilai sekarang (present value) sering memuat faktor diskon e- rt . Secara umum fungsi nilai sekarang dari fungs integran f0 dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑓0 𝑡, 𝑠, 𝑢 = 𝐺(𝑡, 𝑠, 𝑢) 𝑒 − 𝑟𝑡 , sehingga masalah kontrol optimum dengan faktor diskon yang memaksimumkan fungsi suatu nilai didefinisikan dengan persamaan sebagai berikut: 𝑡

𝐺 𝑡, 𝑠, 𝑢 𝑒 − 𝑟𝑡 𝑑𝑡,

max 𝑉 = 0

5 dengan kendala 𝑠 = f(𝑡, 𝑠, 𝑢) ditambah dengan syarat batas. Dalam Pontryagin et al (1962), definisi fungsi Hamilton dari masalah kontrol optimum diatas dapat dituliskan dalam bentuk: 𝐻 𝑡, 𝑠, 𝑢, 𝑝 = 𝐺 𝑡, 𝑠, 𝑢 𝑒 − 𝑟𝑡 + 𝑝 𝑡 𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑢). Prinsip maksimumkan menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap s dan u. Hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Oleh karena itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru yang sering disebut dengan current-value Hamiltonian. Untuk mendapatkan persamaan current-value Hamiltonian diperlukan konsep current-value adjoin. Misalkan λ(t) menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan 𝜆 (𝑡) = 𝑝(𝑡) 𝑒 �𝑟𝑡 berimplikasi dengan persamaan 𝑝(𝑡) = 𝜆(𝑡) 𝑒 − 𝑟𝑡 , sehingga fungsi current-value Hamiltonian yang dinotasikan dengan ℋ dapat dituliskan menjadi: ℋ = 𝐻 𝑒 𝑟𝑡 = 𝐺 (𝑡, 𝑠, 𝑢) + 𝜆 (𝑡) 𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑢). Perhatikan bahwa ℋ, sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon (ℋ = 𝐻 𝑒 𝑟𝑡 ). Penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap ℋ harus disesuaikan, karena u yang memaksimumkan H maka juga akan memaksimumkan ℋ, maka max �𝑢

ℋ,

∀𝑡 ∈ [0, 𝑇].

Persamaan state yang muncul dalam sistem kanonik aslinya adalah 𝑠 = Karena 𝑠 =

𝜕ℋ 𝜕𝜆

𝜕𝐻 𝜕𝑝

= 𝑓0 𝑡, 𝑠, 𝑢 =

𝜕ℋ 𝜕𝜆

𝜕ℋ 𝜕𝑝

.

, maka persamaan ini disesuaikan menjadi

. Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik 𝜕𝐻

aslinya adalah dalam bentuk 𝑃 (t) = − 𝜕𝑠 . Pertama, transformasikan masingmasing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, 𝜆 (𝑡), kemudian hasilnya disamakan. Persamaan suku kiri dari persamaan 𝑃 = − 𝜕𝐻 adalah 𝜕𝑠 sebagai berikut: 𝑃(𝑡) = 𝜆(𝑡) 𝑒 − 𝑟𝑡 – 𝑟 𝜆(𝑡) 𝑒 − 𝑟𝑡 .

Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dari persamaan 𝑃 = − dituliskan kembali dalam bentuk: −

𝜕𝐻 𝜕ℋ − 𝑟𝑡 = − 𝑒 . 𝜕𝑠 𝜕�𝑠

(1) 𝜕𝐻 𝜕𝑠

dapat (2)

Dengan menyamakan kedua persamaan dari persamaan (1) dan (2), persamaan adjoin menjadi seperti berikut: 𝜆(𝑡) = −

𝜕ℋ 𝜕𝑠

+ 𝑟 𝜆(𝑡),

6 selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat) batas. Syarat batas yang sesuai untuk syarat batas p(T) = 0 adalah 𝜆(𝑡) 𝑒 − 𝑟𝑡 = 0 dan syarat batas yang sesuai untuk syarat batas [𝐻]�𝑡 = 𝑇 = 0 [ℋ e- rt ]�𝑡 = 𝑇 = 0 (Pontryagin et al 1962). Titik Tetap dan Jenis Kestabilan Diberikan sistem persamaan diferensial sederhana dalam bentuk sebagai berikut: 𝑦 = 𝑓 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝑹𝑛 ,

(3)

y(t) adalah nilai real fungsi dari waktu dan 𝑓(𝑦) adalah nilai real fungsi dari y. Persamaan (3) disebut sistem dimensi satu atau sistem orde satu. Persamaan (3) mempunyai titik tetap y = y* ketika memenuhi 𝑓( 𝑦 ∗ ) = 0. Titik tetap juga disebut sebagai titik keseimbangan. Ada dua jenis titik tetap yaitu titik tetap stabil dan titik tetap tak stabil (Strogatz 1994). Menurut Verhulst (1990) titik 𝑦 ∗ disebut sebagai titik tetap stabil jika untuk sebarang radius ε > 0 ada r > 0 sedemikian sehingga jika posisi awal 𝑦0 memenuhi 𝑦0 − 𝑦 ∗ < 𝑟 maka solusi y(t) memenuhi 𝑦(𝑡) − 𝑦 ∗ < 𝜀, untuk setiap t > t0 . Titik 𝑦 ∗ disebut sebagai titik tetap tak stabil jika ada radius ε > 0 dan r > 0. Posisi awal 𝑦0 dan suatu t0 memenuhi 𝑦0 − 𝑦 ∗ < 𝑟 tetapi solusi y(t) memenuhi 𝑦(𝑡) − 𝑦 ∗ > 𝜀, untuk t > t0 . Misalkan dilakukan perluasan Taylor terhadap persamaan (3) pada titik tetapnya akan diperoleh sebagai berikut: 𝑦 = 𝑨𝑦 + 𝜑 𝑦 ,

𝑨 = 𝐷𝑓 𝑦 ∗ = �𝐷𝑓 𝑦 |𝑦 = 𝑦 ∗ ,

(4)

sehingga 𝜕𝑓1 𝜕𝑦1 𝜕𝑓2 A = 𝜕𝑦1 ⋮ 𝜕𝑓𝑛 𝜕𝑦1

𝜕𝑓1 𝜕𝑦2 𝜕𝑓2 𝜕𝑦2 ⋮ 𝜕𝑓𝑛 𝜕𝑦2

𝜕𝑓1 𝜕𝑦𝑛 𝜕𝑓2 ⋯ 𝜕𝑦𝑛 ⋱ ⋮ 𝜕𝑓𝑛 ⋯ 𝜕𝑦𝑛 ⋯

,

𝑦 = 𝑦∗

A disebut matriks Jacobi pada titik tetap y* dan fungsi  𝑦 memenuhi limy→0  y = 0, hal ini menyebabkan persamaan diferensial (3) dapat didekati oleh persamaan 𝑦 = 𝑨𝑦.

(5)

Persamaan (5) disebut sebagai pelinearan dari persamaan diferensial (3) (Tu 1994). Anton & Rorres (2004) menyatakan jika A adalah sebuah matriks berukuran n x n, sebuah vektor tak nol 𝑦 di Rn dinamakan vektor eigen dari A jika A𝑦 adalah kelipatan skalar dari 𝑦, yaitu:

7 𝑨𝑦 = 𝜆𝑦.

(6)

Skalar 𝜆 ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan 𝑦 dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆. Matriks A yang berukuran n x n digunakan untuk mencari nilai eigen, maka: 𝑨�𝑦 = 𝜆𝑦, 𝑨� � = 𝜆 𝑰𝑦, 𝑨 − 𝜆𝑰 𝑦 = 0,

(7)

persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika: det 𝑨 − 𝜆𝑰 = 0.

(8)

Persamaan (8) adalah sebuah persamaan polinomial dalam 𝜆 yang dinamakan polinomial karakteristik dari A. Misalkan 𝑎 𝑏 . 𝑐 𝑑 Dari persamaan (8), maka persamaan karakteristiknya menjadi 𝑨=

𝑎−𝜆 𝑏 = 0, 𝑐 𝑑−𝜆 sedemikian sehingga diperoleh persamaan 𝜆2 − 𝜏𝜆 + Δ = 0, dengan 𝜏 = trace 𝑨 = 𝑎 + 𝑑 = 𝜆1 + 𝜆2 , Δ = det 𝑨 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝜆1 𝜆2 . Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks 𝐴 sebagai berikut: 𝜏 ± 𝜏 2 − 4Δ . 2 Menurut Strogatz (1994), untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem dapat dilihat dari nilai Δ . Ada tiga kasus untuk nilai Δ, yaitu: 𝜆1,2 =

1

Δ < 0. Jika kedua nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap bersifat sadel.

2

Δ > 0. 



𝜏 2 − 4Δ > 0.  Jika 𝜏 > 0 dan kedua nilai eigen real bernilai positif, maka titik tetap bersifat simpul tak stabil.  Jika 𝜏 < 0 dan kedua nilai eigen real bernilai negatif, maka titik tetap bersifat simpul stabil. 2 𝜏 − 4Δ < 0.

8 

3

Jika 𝜏 > 0 dan kedua nilai eigen imajiner (𝛼 ± 𝑖𝛽), maka titik tetap bersifat spiral tak stabil.  Jika 𝜏 < 0 dan kedua nilai eigen imajiner (𝛼 ± 𝑖𝛽), maka titik tetap bersifat spiral stabil.  Jika 𝜏 = 0 dan kedua nilai eigen imajiner (𝛼 ± 𝑖𝛽), maka titik tetap bersifat center. 2  𝜏 − 4Δ = 0. Parabola 𝜏 2 − 4Δ = 0 adalah garis batas antara simpul dan spiral. Star nodes atau degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua nilai eigen bernilai sama mama titik tetap bersifat simpul sejati. Δ = 0. Jika salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik asal bersifat titik tetap tak terisolasi.

PEMBAHASAN Surplus Primer dan Dinamika Utang Publik Berkelanjutan Utang merupakan akumulasi dari defisit anggaran yang pembiayaannya dilakukan dengan meminjam. Pinjaman dapat dilakukan melalui bank sentral, bank konvensional, lembaga non bank, ataupun pinjaman dari luar negeri. Pembayaran utang dapat dilakukan dengan menaikkan pajak atau memotong salah satu komponen dalam pembiayaan negara. Secara teori, pemerintah dapat membayar utang tanpa menaikkan pajak ataupun memotong komponen pembiayaan negara dengan cara mengeluarkan utang baru yang berfungsi membayar bunga dan pokok utang lama. Kebijakan ini akan berhasil menurunkan utang pemerintah jika tingkat pertumbuhan PDB lebih tinggi daripada tingkat pertumbuhan bunga. Apabila jumlah utang terus menurun dibandingkan pertumbuhan ekonomi maka utang pemerintah makin lama akan habis. Greiner A (2007) memodelkan model dinamika utang publik yang didefinisikan sebagai laju perubahan utang publik terhadap waktu yang sama dengan besarnya bunga dari utang nominal ditambah belanja pemerintah dikurangi penerimaan pajak. Definisi tersebut dapat dibentuk menjadi persamaan: 𝐵 (𝑡) = 𝐵(𝑡) 𝑟(𝑡) − 𝑆(𝑡), dengan 𝐵 (t) : B(t) : r(t) : S(t) : T(t) : Ip (t) :

laju perubahan utang publik pada periode t, utang pada akhir periode t, tingkat bunga riil pada periode t, surplus primer pada periode t, penerimaan pajak pada periode t, pengeluaran pemerintah pada periode t,

(9)

9 yang didefinisikan sebagai 𝑆(𝑡) = 𝑇(𝑡) − 𝐼𝑝 (𝑡). Model dinamika ini dapat digunakan untuk menganalisis kesinambungan utang pemerintah dengan cara mengubah model tersebut menjadi persamaan rasio utang terhadap PDB. Adapun asumsi yang dicantumkan pada karya ilmiah ini digunakan saat suatu negara mengalami kondisi ekonomi yang efisien dinamis (kondisi dimana anggaran negara dipergunakan sepenuhnya dan mengalami peningkatan dari tahun ke tahun), diasumsikan rasio surplus primer terhadap PDB adalah fungsi linear positif dari rasio utang terhadap PDB, atau dapat ditulis sebagai berikut: 𝑇 𝑡 − 𝐼𝑝 𝑡 𝐵(𝑡) = 𝜙 + 𝛽 , 𝑌(𝑡) 𝑌(𝑡)

(10)

β > 0, 𝜙, β ∈ R.

𝜙 β

Y(t)

: parameter dari rasio persamaan surplus primer terhadap PDB yang menggambarkan tingkat kenaikan atau penurunan dari surplus primer akibat dari kenaikan PDB, : parameter dari koefisien kemiringan persamaan rasio surplus primer terhadap PDB yang menggambarkan bagimana kuatnya reaksi surplus primer untuk merubah utang publik. : Produk Domestik Bruto (PDB),

Perubahan persamaan utang publik yang diperoleh dengan menyubtitusikan persamaan (10) ke persamaan (9) sehingga persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: 𝐵 (𝑡) = 𝐵(𝑡) 𝑟(𝑡) – 𝑇(𝑡) + 𝐼𝑝 (𝑡) = (𝑟(𝑡) – 𝛽) 𝐵(𝑡) − 𝜙 𝑌(𝑡).

(11)

Persamaan (11) diperoleh berdasarkan persamaan (9) dan (10). Pertama formulasikan kembali persamaan (9) dengan S(t) = T(t) + Ip (t), sehingga diperoleh: 𝐵 (𝑡) = �_�(𝑡) 𝑟(𝑡) − 𝑆(𝑡) 𝐵 (𝑡) = 𝐵(𝑡) 𝑟(𝑡) – 𝑇(𝑡) + 𝐼𝑝 (𝑡). Rasio utang terhadap PDB berdasarkan persamaan (10) dilakukan dengan mengalikan kedua ruas tersebut terhadap Y(t), PDB sehingga diperoleh: 𝑇(𝑡) − 𝐼𝑝 (𝑡) = 𝜙 𝑌(𝑡) + 𝛽 𝐵(𝑡). Selanjutnya didapatkan persamaan baru dari utang publik, yaitu: 𝐵 (𝑡) = 𝐵(𝑡) 𝑟(𝑡) – 𝑇(𝑡) + 𝐼𝑝 (𝑡)

10 𝐵 (𝑡) = 𝐵(𝑡) 𝑟(𝑡) – (𝜙 𝑌(𝑡) + 𝛽 𝐵(𝑡)) 𝐵 (𝑡) = (𝑟 (𝑡) – 𝛽) 𝐵(𝑡) − 𝜙 𝑌(𝑡). Struktur Model Pertumbuhan Ekonomi Pertumbuhan ekonomi didefinisikan mengenai faktor-faktor yang menentukan kenaikan output per kapita dalam jangka panjang dan penjelasan mengenai bagaimana faktor-faktor tersebut berinteraksi satu sama lain sehingga terjadi proses pertumbuhan. Teori model pertumbuhan ekonomi yang dimodelkan oleh Greiner A (2007) memiliki struktur ekonomi yang terdiri dari tiga sektor. Pertama, sektor rumah tangga dimana besarnya penerimaan berasal dari pendapatan tenaga kerja dan pendapatan yang dialokasikan untuk tabungan. Kedua, sektor produktivitas. Ketiga, sektor pemerintah. Selanjutnya akan dibahas masing-masing sektor untuk mengetahui dan menggambarkan model dari pertumbuhan ekonomi. Sektor Rumah Tangga Sektor rumah tangga dapat diartikan sebuah rumah tangga dengan tujuan akan memaksimumkan tingkat diskon dari hasil utilitas konsumsi per-kapita yang dilambangkan sebagai C. Konsumsi rumah tangga memiliki porsi yang lebih besar dalam pengeluaran agregat jika dibandingkan dengan konsumsi pemerintah. Selain itu konsumsi rumah tangga bersifat endogen, yaitu besarnya konsumsi rumah tangga berkaitan erat dengan faktor-faktor lain yang mempengaruhinya. Fungsi utilitas dari konsumsi rumah tangga diasumsikan sebagai fungsi logaritma, U(C) = ln C dan dalam sektor rumah tangga diasumsikan memiliki satu unit tenaga kerja, L. Tujuan akhir dari sektor rumah tangga adalah untuk memaksimumkan setiap anggota rumah tangga. Masalah pemaksimuman rumah tangga dapat dituliskan sebagai berikut: ∞

𝑒 − 𝜌𝑡 𝑙𝑛 𝐶 𝑑𝑡,

(12)

𝑊 = (1 − 𝜏) (𝑤 + 𝑟𝑊) – 𝐶,

(13)

max 𝑈(𝐶) = 0

dengan batasan sebagai berikut:

dengan 𝑊 : ρ : w : r : B : K :  :

laju pertumbuhan antara utang publik dan modal swasta, tingkat diskon, tingkat upah, tingkat bunga, utang publik, modal swasta, tingkat pajak, ϵ (0,1)

11 yang didefinisikan sebagai W = B + K. Rumusan model yang diperoleh dari persamaan (10) dan (11) merupakan masalah kontrol optimum dengan W ialah variabel tetap dan C ialah variabel peubah. Tujuan ini adalah memaksimumkan utilitas sektor rumah tangga. Penentuan alokasi optimal konsumsi rumah tangga dapat diselesaikan dengan memformulasikan masalah tersebut dengan menggunakan formula current-value Hamiltonian sehingga dapat dituliskan dalam bentuk: 𝐻 = ln 𝐶 + 𝜆 1 − 𝜏 𝑤 + 𝑟𝑊 − 𝐶 ,

(14)

dengan λ ialah shadow price dari konsumsi. Syarat perlu untuk solusi optimal adalah sebagai berikut: 1 , 𝐶

𝜆 =

𝜆 = 𝜌𝜆 – 𝜆(1 – 𝜏) 𝑟,

(15) (16)

Persamaan (14) diperoleh dengan memformulasikan formula current-value Hamiltonian. Menggunakan teori kontrol optimum pada persamaan (12) yang memaksimumkan konsumsi rumah tangga adalah sebgai berikut: ∞

𝑒 − 𝜌𝑡 𝑙𝑛 𝐶 𝑑𝑡.

max 𝐶 = 0

Kendala pada persamaan (13), yaitu: 𝑊 = (1 − 𝜏) (𝑤 + 𝑟 𝑊) – 𝐶. Jika persamaan (12) ditambah dengan syarat batas pada persamaan (13), fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut: 𝐻 = 𝑒 − 𝜌𝑡 ln 𝐶 + 𝑝(𝑡) ( (1 − 𝜏) (𝑤 + 𝑟 𝑊) – 𝐶). Adanya faktor diskon akan menambah kerumitan karena prinsip maksimum merupakan fungsi turunan terhadap konsumsi rumah tangga, C. Oleh karena itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru yang sering disebut dengan current-value Hamiltonian. Misalkan 𝜆(𝑡) yaitu shadow price dari konsumsi rumah tangga yang menyatakan current-value fungsi adjoin, didefinisikan 𝜆 𝑡 = 𝑝 𝑡 𝑒 𝑟𝑡 yang berimplikasi 𝜆 𝑡 = 𝑝 𝑡 𝑒 𝑟𝑡 . Selanjutnya fungsi current-value Hamiltonian yang dinotasikan dengan ℋ, dapat dituliskan menjadi: ℋ = 𝐻 𝑒 𝑟𝑡 = 𝑙𝑛 𝐶 + 𝜆 1 − 𝜏 𝑤 + 𝑟𝑊 – 𝐶 . Persamaan (15) dan (16) diperoleh dari syarat perlu optimal current-value Hamiltonian. Persamaan (15) diperoleh dengan menurunkan persamaan (14)

12 terhadap fungsi konsumsi rumah tangga, C yang memiliki tujuan untuk memaksimumkan konsumsi rumah tangga ialah sebagai berikut: 𝜕ℋ 𝜕𝐶

= 0

1 − 𝜆 = 0 𝐶 1 . 𝐶 Sebaliknya pada persamaan (16), yaitu persamaan adjoin yang menggambarkan shadow price dari kendala laju pertumbuhan antara utang publik dan modal swasta dapat diperoleh sebagai berikut: 𝜆 =

𝜆 = −

𝜕ℋ + 𝜌𝜆 𝜕𝑊

𝜆 = − 𝜆𝑟 – 𝜆𝜏 𝑟 + 𝜌 𝜆 𝜆 = 𝜌 �𝜆 − 𝜆 1 − 𝜏 𝑟. Sektor Produksi Sektor produksi menggambarkan sebuah perusahaan yang memiliki peran sebagai produsen, pengguna faktor produksi, agen pembangunan, dan penyedia serta penyalur barang dan jasa yang mempunyai tujuan untuk memaksimumkan keuntungan. Fungsi produksi dari sebuah perusahaan adalah sebagai berikut: 𝑄 = 𝐾 1 − 𝛼 (𝐿𝐺)𝛼 , dengan Q : K : L : G : α :

(16)

tingkat output, modal swasta, tenaga kerja, modal publik, elastisitas.

Sektor produksi suatu perusahaan memiliki tujuan untuk memaksimumkan keuntungan. Diasumsikan bahwa tenaga kerja bersifat elastis, sehingga dari persamaan (17) diinterpretasikan bahwa keuntungan maksimum suatu perusahaan dibagi menjadi dua bagian, yaitu untuk modal publik yang diinterpretasikan dengan memiliki tingkat upah, w, untuk para tenaga kerja suatu perusahaan tersebut dan untuk modal swasta yang diinterpretasikan dengan memiliki tingkat bunga, r, untuk para tenaga kerja perusahaan tersebut. Persamaan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut: 𝑤 = 𝛼 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 ,

(18)

𝑟 = (1 – 𝛼) 𝐾 − 𝛼 𝐺 𝛼 .

(19)

13 Berdasarkan kedua sektor antara konsumsi rumah tangga dan sektor produktivitas suatu perusahaan memiliki hubungan yang harus memenuhi kondisi yang seimbang. Sehingga muncul persamaan tingkat pertumbuhan konsumsi dalam keadaan seimbang yang diperoleh dari persamaan (15), (16), (18), dan (19) dapat dituliskan sebagai berikut: Ċ = − 𝜌 + 1 − 𝜏 1 − 𝛼 𝐾 − 𝛼 𝐺𝛼 . 𝐶

(20)

Persamaan (20), yaitu persamaan tingkat pertumbuhan konsumsi dapat diperoleh dari persamaan (15), (16), (18), dan (19): 𝜆 =

1 𝐶

⟺

𝜆 = −

𝐶 𝐶2

𝜆 = 𝜌𝜆 − 𝜆 1 − 𝜏 𝑟 −

1 𝐶 = 𝜌𝜆 − 𝜆 1 − 𝜏 𝑟 𝐶2 1 𝐶

𝐶 𝐶

= 𝜌𝜆 − 𝜆 1 − 𝜏 𝑟

−𝜆

𝐶 𝐶

= 𝜌𝜆 − 𝜆 1 − 𝜏 𝑟

−

𝐶 = −𝜌 + 1 − 𝜏 𝑟 𝐶 𝐶 = − 𝜌 + 1 − 𝜏 (1 – 𝛼) 𝐾 − 𝛼 𝐺 𝛼 . 𝐶 Sektor Pemerintah Pemerintah adalah suatu sistem yang menjalankan wewenang dan kekuasaan dalam mengatur kehidupan sosial, ekonomi, dan politik suatu negara atau bagianbagiannya. Peran utama pemerintah dalam bidang ekonomi adalah meminimalisir terjadinya kegagalan pasar. Suatu mekanisme pasar tidak dapat berfungsi tanpa keberadaan hukum yang dibuat oleh pemerintah. Sistem pemerintah dalam model ekonomi disini ialah pemerintah menerima pajak penerimaan dari pajak pendapatan serta dari pengeluaran pemerintah untuk obligasi yang kemudian dialokasikan untuk kegiatan investasi publik. Selanjutnya pemerintah harus tetap dalam kondisi pada persamaan (13) yang menyatakan bahwa surplus primer memiliki fungsi produksi yang positif dari utang publik dimana kondisi ini menjamin keseimbangan dari utang publik. Sejak pemerintah tetap pada kondisi persamaan (13), besarnya investasi publik berasal dari persamaan tersebut yang dituliskan sebagai berikut:

14 𝐼𝑝 = 𝑇 1 −

𝜙

𝜏

− 𝛽 𝐵 = 𝑖𝑝 𝑇 − 𝛽 𝐵,

(21)

𝜙

yang didefinisikan 𝑖𝑝 = (1 − ). 𝜏 Persamaan diferensial dari perubahan modal publik dengan mengabaikan penyusutan dapat dituliskan sebagai berikut: Ġ = 𝑖𝑝 𝑇 – 𝛽 𝐵.

(22)

Selanjutnya dengan menyubtitusikan persamaan (19) ke dalam persamaan (9) dan definisi dari ip , persamaan kendala anggaran pemerintah atau yang disebut pengeluaran pemerintah dapat dituliskan pada persamaan sebagai berikut: 𝐵 + 𝑇 = 𝑟𝐵 + 𝐼�𝑝 ↔ 𝐵 = (1 – 𝜏) 𝐵 + 𝑇 (𝑖𝑝 − 1).

(23)

Persamaan (23), yaitu persamaan kendala anggaran pengeluaran pemerintah diperoleh dengan menyubstitusikan persamaan (21) ke persamaan (11) dengan menggunakan definisi ip ialah sebagai berikut: 𝐵 = �𝑟𝐵 – 𝑇 + 𝐼𝑝 𝐵 + 𝑇 = 𝑟𝐵 + 𝐼𝑝 𝐵 = 𝑟𝐵 +

𝑖𝑝 𝑇 − 𝛽𝐵 − 𝑇

𝐵 = 𝑟 − 𝛽 𝐵 + 𝑇 ( 𝑖𝑝 − 1). Ada dua poin parameter utama berdasarkan kondisi sektor pemerintah tersebut. Pertama, pada kendala anggaran pengeluaran pemerintah terdapat pada Persamaan (8) dan kemudian mengalami perubahan menjadi persamaan (21) yaitu pemerintah harus mengkontrol investasi publik. Kondisi tersebut disebabkan karena adanya kenaikan dari utang publik yang menyebabkan penurunan dari investasi publik, yang digambarkan dari parameter yang diberikan yaitu parameter 𝜙 dan β. Pemerintah melakukan kebijakan fiskal terhadap perubahan anggaran pemerintah dengan menaikan surplus primer untuk mencapai kondisi yang seimbang pada saat terjadi kenaikan utang publik. Kedua, terdapat parameter ip yang didalamnya terdapat parameter 𝜙 dan τ yang menggambarkan bahwa investasi publik berasal dari pajak penerimaan. Kondisi tersebut menggambarkan bahwa seberapa besar pajak penerimaan yang dialokasikan untuk investasi publik dan untuk pembayaran utang publik. Pemerintah kemudian melakukan kebijakan fiskal dengan mengubah parameter 𝜙, β, dan τ. Variasi dari parameter 𝜙 dan τ terdapat dari definisi ip . Kondisi ekuilibrium pada dinamika model pertumbuhan ekonomi Kondisi ekuilibrium didefinisikan dari alokasi perusahaan memaksimumkan keuntungan yang mengimplikasikan adanya faktor harga sama dengan produk marjinal yang terdapat pada persamaan (18) & (19), serta alokasi konsumsi rumah

15 tangga yang terdapat pada persamaan (11) & (13) dan kendala anggaran pemerintah pada persamaan (23). Kondisi ekuilibrium berdasarkan ketiga sektor tersebut harus terpenuhi sehingga diperoleh persamaan yang menggambarkan laju 𝐾

pertumbuhan ekonomi dengan kendala modal swasta yang dinotasikan sebagai 𝐾 ialah sebagai berikut: 𝐾 𝐶 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 𝑇 𝐵 = − + − 𝑖𝑝 − 𝛽 . 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾

(24)

Pembuktian persamaan (24) dapat dilihat pada Lampiran 1. Kondisi pertumbuhan ekonomi yang seimbang didefinisikan dengan semua jalur pada variabel pertumbuhan endogen memiliki tingkat yang sama yang diidentitasikan sebagai

𝐾 𝐾

=

Ġ G

=

Ḃ B

=

Ċ C

, seperti yang telah dijelaskan pada

persamaan (10), yaitu pemerintah menetapkan surplus primer yang dikaitkan dengan utang publik, dengan β > 0. Penjelasan lebih lanjut lagi akan dibahas mengenai pertumbuhan ekonomi yang seimbang. Analisis untuk menjelaskan model dari pertumbuhan ekonomi yang seimbang dinotasikan dengan adanya variabel baru, yaitu dapat didefinisikan sebagai berikut: 𝑥 ≡

𝐺

,

(25)

,

(26)

𝑐 ≡ 𝐾,

(27)

𝑏 ≡

𝐾 𝐵 𝐾 𝐶

sehingga dari ketiga variabel tersebut memiliki model dalam bentuk system persamaan diferensial sebagai berikut: 𝑥 = 𝑥 (𝑐 – 𝛽 𝑏 1 + 𝑥 −1 − 𝑥 + 𝜏 𝑖𝑝 + 𝜏 𝑖𝑝 𝑥 −1 ),

(28)

𝑏 = 𝑏 (𝑐 – 𝛽 1 + 𝑏 + 𝑥 − 𝜏 𝑏 −1 𝑖𝑝 − 1 + 𝜏 𝑖𝑝 ),

(29)

𝑐 = 𝑐 𝑐 − 𝜌 − 𝑥 − 𝛽 𝑏 + 𝑖𝑝 𝜏 , dengan x(t) : b(t) : c(t) : x(t) : b(t) : c(t) :

laju pertumbuhan ekonomi terhadap modal publik, laju pertumbuhan ekonomi terhadap utang publik, laju pertumbuhan ekonomi terhadap tingkat konsumsi, tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap modal publik, tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap utang publik, tingkat pertumbuhan ekonomi terhadap tingkat konsumsi,

(30)

16 β ρ ip

𝜙 τ

: parameter dari koefisien kemiringan persamaan rasio surplus primerPDB yang menggambarkan bagaimana kuatnya reaksi surplus primer untuk merubah utang publik, : tingkat diskon, : parameter yang menggambarkan investasi publik yang berasal dari pajak penerimaan, : parameter dari rasio persamaan surplus primer-PDB yang menggambarkan tingkat kenaikan atau penurunan dari surplus primer akibat dari kenaikan PDB, : tingkat pajak,

yang didefinisikan sebagai 𝑖𝑝 = (1 −

𝜙 ). 𝜏

Pembuktian persamaan (28), (29), dan (30) dapat dilihat pada Lampiran 2. Simulasi yang akan dilakukan untuk menganalisis struktur model sistem persamaan diferensial (28), (29), dan (30) yang akan dijelaskan pada bab selanjutnya. Tujuan menganalisis struktur ketiga model tersebut untuk menyelidiki bagaimana peningkatan keuangan yang defisit dalam investasi publik yang mempengaruhi kestabilan dari laju pertumbuhan ekonomi.

SIMULASI Simulasi dari persamaan (28), (29), dan (30) akan dilakukan pada bab ini. 𝜙

), sehingga sistem persamaan Definisikan terlebih dahulu ip , yaitu ip = (1 − τ diferensial (28), (29), dan (30) dapat dituliskan menjadi persamaan (31) ialah sebagai berikut: dx 𝜙 𝜙 = x c – x β b − b β – x x + x τ (1 − ) + τ (1 − ), dt τ τ db 𝜙 𝜙 𝑔 x, b, c = = b c – b β – b b β + b x – τ (1 − ) − 1 + b τ (1− ), dt τ τ dc 𝜙 h x, b, c = = c c − c 𝜌 − c x − c b 𝛽 + c 𝜏 (1 − ). dt τ f ( x, b, c) =

(31)

Dalam model tersebut, diasumsikan pemerintah sebagai pengatur dari seluruh kegiatan ekonomi yang berwenang melakukan kebijakan fiskal untuk mencapai perekonomian yang seimbang. Dari ketiga persamaan tersebut yaitu laju pertumbuhan ekonomi terhadap modal publik, laju pertumbuhan ekonomi terhadap utang publik, serta laju pertumbuhan ekonomi terhadap tingkat konsumsi dipengaruhi oleh besranya surplus primer, tingkat pajak, dan investasi publik. Selanjutnya dilakukan penentuan kestabilan titik tetap dari model persamaan diferensial (31). Kestabilan dari sistem persamaan diferensial (31) dapat ditentukan dengan menganalisis nilai eigen yang diperoleh dari masing-masing matriks Jacobi pada setiap titik tetap. Diasumsikan titik tetap pada setiap kasus

17 ialah bernilai positif. Matriks Jacobi dan nilai eigen dari masing-masing titik tetap tersebut cukup sulit diperoleh sehingga untuk mendapatkannya dengan cara memasukkan nilai-nilai parameter. Hal tersebut akan dibahas lebih lanjut ke dalam beberapa kasus untuk mengetahui kestabilan dari pertumbuhan ekonomi. Pengaruh Parameter 𝜷 terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi Pengaruh surplus primer terhadap kestabilan sistem pertumbuhan ekonomi diberikan pada kasus pertama dengan 𝛽 adalah parameter yang menggambarkan koefisien rasio tingkat kenaikan atau penurunan surplus primer terhadap perubahan utang publik. Kasus ini akan menganalisis pengaruh dari nilai parameter 𝛽, sedangkan nilai parameter lain tetap. Nilai-nilai parameter yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 1. Kasus 1 2

Tabel 1 Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh 𝛽 𝛽 𝜏 𝜙 0.35 0.1 0.015 3.5 0.1 0.015

𝜌 0.03 0.03

Selanjutnya pada kasus 1 saat β = 0.35 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan. Nilai nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat β = 0.35 Titik tetap A1 A2

(x, b, c)

𝜆1

𝜆2

𝜆3

(0.377, 0.505, 0.590) (0.304, 0.590, 0.439)

A5 A6

-

0.1860.746i -0.0890.655i -

0.338

A3 A4

0.186+ 0.746i -0.089+ 0.655i -

-0.594 -

Jenis Kestabilan Spiral tak stabil Spiral stabil -

Selanjutnya pada kasus 2 saat β = 3.5 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan. Nilai nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Tabel 3 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat β = 3.5 Titik tetap A1 A2 A3 A4

(x, b, c)

𝜆1

𝜆2

𝜆3

(0.278, 0.267, 0.497) (0.074, 0.072, 0.534)

1.351 -0.136

3.961 -3.187

-0.271 -0.757

A5 A6

-

-

-

-

Jenis Kestabilan Sadel Simpul stabil -

18 Berdasarkan Tabel 2 dan 3 dari kedua kasus tersebut memberikan informasi bahwa banyaknya titik tetap tidak mengalami perubahan. Selanjutnya perbedaan antara kasus β = 0.35 dan β = 3.5 dapat dilihat dengan menggunakan gambar, yaitu sebagai berikut:

x

Gambar 1

b

c

Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat β = 0.35

x

Gambar 2

b

c

Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat β = 3.5

Gambar 3 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat β = 0.35

Gambar 4 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat β = 3.5

19 Kestabilan dari pertumbuhan ekonomi pada Gambar 1 terjadi pada titik (x, b, c) = (0.304, 0.754, 0.439). Gambar tersebut menunjukkan bahwa pada awal waktu terjadi peningkatan pada utang publik, sedangkan modal publik dan tingkat konsumsi mengalami penurunan. Setelah itu, utang publik kian waktu mengalami peningkatan sedangkan modal publik dan tingkat konsumsi tetap mengalami penurunan. Hal tersebut dikarenakan besarnya nilai surplus primer tidak dapat menutupi nilai utang publik yang terlalu tinggi, sehingga pada akhirnya dari ketiga tingkat pertumbuhan ekonomi tersebut stabil menuju suatu nilai. Gambar 2 menggambarkan terjadi peningkatan suplus primer akibat naiknya utang publik. Kestabilan dari pertumbuhan ekonomi terjadi pada titik (x, b, c) = (0.074, 0.072, 0.534). Terlihat perbedaan pada Gambar 2 jika dibandingkan dengan Gambar 1, yaitu terjadi penurunan yang sangat besar pada utang publik, tetapi pada kondisi tersebut modal publik masih belum dapat menutupi nilai utang publik. Hal tersebut dikarenakan besarnya kenaikan surplus primer secara perlahan dapat menutupi nilai dari utang publik yang semakin mengalami penurunan, sehingga pada akhirnya dari ketiga tingkat pertumbuhan ekonomi tersebut stabil menuju suatu nilai. Pengaruh Parameter 𝝉 terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi Pengaruh tingkat pajak terhadap kestabilan sistem pertumbuhan ekonomi diberikan pada kasus kedua dengan 𝜏 adalah parameter yang menggambarkan tingkat pajak. Kasus ini akan menganalisis pengaruh dari nilai parameter 𝜏 , sedangkan nilai parameter lain tetap. Nilai-nilai parameter dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4 Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh 𝜏 Kasus 𝛽 𝜏 𝜙 1 3.5 0.25 0.015 2 3.5 0.55 0.015

𝜌 0.03 0.03

Selanjutnya pada kasus 1 saat τ = 0.25 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan. Nilai - nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Tabel 5 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat τ = 0.25 Titik tetap A1 A2 A3 A4

(x, b, c)

𝜆1

𝜆2

𝜆3

(0.347, 0.137, 0.440) (0.228, 0.101, 0.564)

-0.457 -0.070

-3.260 -2.971

0.239 -0.611

A5 A6

-

-

-

-

Jenis Kestabilan Sadel Simpul stabil -

20 Selanjutnya pada kasus 2 saat τ = 0.55 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan. Nilai - nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Tabel 6 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat τ = 0.55 Titik tetap A1 A2 A3 A4

(x, b, c)

𝜆1

𝜆2

𝜆3

(0.302, 0.402, 0.511) (0.573, 0.088, 0.601)

-1.671 -0.339

4.171 -2.050

0.283 -0.482

A5 A6

-

-

-

-

Jenis Kestabilan Sadel Simpul stabil -

Berdasarkan Tabel 5 dan 6 dari kedua kasus tersebut memberikan informasi bahwa banyaknya titik tetap tidak mengalami perubahan. Selanjutnya perbedaan antara kasus τ = 0.25 dan τ = 0.55 dapat dilihat dengan menggunakan gambar yaitu sebagai berikut:

x

b

c

Gambar 5 Hubungan kurva modal Gambar 6 publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat τ = 0.25

x

b

c

Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat τ = 0.55

21

Gambar 7 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat τ = 0.25

Gambar 8 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat τ = 0.55 Gambar 5 menggambarkan kestabilan dari pertumbuhan ekonomi terjadi pada titik (x, b, c) = (0.228, 0.101, 0.564). Gambar tersebut menunjukkan bahwa pada awal waktu terjadi penurunan pada utang publik, modal publik, dan tingkat konsumsi. Setelah itu, modal publik dan tingkat konsumsi mengalami peningkatan secara perlahan, sedangkan pada utang publik tetap mengalami penurunan. Hal tersebut karena semakin besar tingkat pajak maka akan mengakibatkan meningkatnya penerimaan negara sehingga dapat menurunkan nilai utang publik yang terlalu tinggi. Dari ketiga tingkat pertumbuhan ekonomi tersebut pada akhirnya akan stabil menuju suatu nilai. Gambar 6 menggambarkan terjadi peningkatan dari tingkat pajak. Kestabilan dari pertumbuhan ekonomi terjadi pada titik (x, b, c) = (0.573, 0.088, 0.601). Terlihat perbedaan antara Gambar 5 dengan Gambar 6 yaitu peningkatan modal publik dalam kasus ini sangat besar sedangkan penurunan utang publik sangat besar, sehingga pada akhirnya dari ketiga tingkat pertumbuhan ekonomi tersebut stabil menuju suatu nilai. Pengaruh Parameter 𝜙 terhadap Kestabilan Pertumbuhan Ekonomi Pengaruh investasi publik terhadap kestabilan sistem pertumbuhan ekonomi diberikan pada kasus ketiga dengan 𝜙 adalah parameter yang menggambarkan tingkat kenaikan atau penurunan surplus primer terhadap perubahan PDB yang

22 berpengaruh terhadap investasi publik. Kasus ini akan menganalisis pengaruh dari nilai parameter 𝜙 sedangkan nilai parameter lain tetap. Nilai-nilai parameter dapat dilihat pada Tabel 7. Kasus 1 2

Tabel 7 Nilai-nilai parameter untuk melihat pengaruh 𝜙 𝛽 𝜏 𝜙 3.5 0.55 0.001 3.5 0.55 -0.1

𝜌 0.03 0.03

Selanjutnya pada kasus 1 saat 𝜙 = 0.001 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan. Nilai - nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Titik tetap A1 A2 A3 A4 A5 A6

Tabel 8 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat 𝜙 = 0.001 Jenis (x, b, c) 𝜆1 𝜆2 𝜆3 Kestabilan (0.292, 0.240, 0.462) -0.806 -3.376 0.197 Sadel (0.597, 0.081, 0.573) -0.356 -2.006 -0.438 Simpul stabil -

Selanjutnya pada kasus 2 saat 𝜙 = - 0.1 diperoleh titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan. Nilai - nilai tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Tabel 9 Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan saat 𝜙 = - 0.1 Titik tetap A1 A2

(x, b, c)

𝜆1

𝜆2

𝜆3

(0.313, 0.207, 0.513) (0.870, 0, 0.898) -

-3.003 -0.2270.057i -

0.464 -1.381

A3 A4 A5 A6

-0.517 -0.227 +0.057i -

-

Jenis Kestabilan Sadel Spiral stabil -

Berdasarkan Tabel 8 dan 9 memberikan informasi bahwa banyaknya titik tetap tidak mengalami perubahan. Selanjutnya perbedaan antara kasus 𝜙 = 0.001 dan 𝜙 = - 0.1 dapat dilihat dengan menggunakan gambar, yaitu sebagai berikut:

23

x

b

c

Gambar 9 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat 𝜙 = 0.001

x

b

c

Gambar 10 Hubungan kurva modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi saat 𝜙 = - 0.1

Gambar 11 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat 𝜙 = 0.001

Gambar 12 Hubungan kurva dua dimensi antara modal publik (x), utang publik (b), dan tingkat konsumsi (c) saat 𝜙 = - 0.1

24 Gambar 9 menjelaskan kestabilan dari pertumbuhan ekonomi terjadi pada titik ( x, b, c ) = ( 0.597, 0.081, 0.573). Gambar tersebut menunjukkan bahwa pada awal waktu terjadi penurunan pada utang publik, modal publik, dan tingkat konsumsi. Setelah itu, modal publik dan tingkat konsumsi mengalami peningkatan, sedangkan pada utang publik tetap mengalami penurunan, tetapi dalam kasus ini peningkatan modal publik sangat besar. Perbedaan kasus ini terhadap kasus sebelumnya ialah pada kasus ini adanya penurunan dari parameter 𝜙. Penurunan parameter tersebut diartikan sebagai adanya kenaikan dari investasi publik sejalan dengan penurunan dari nilai utang publik. Hal tersebut dikarenakan peningkataan dari surplus primer yang menyebabkan peningkatan terhadap modal publik digunakan untuk membayar nilai utang publik, sehingga pada akhirnya dari ketiga tingkat pertumbuhan ekonomi tersebut stabil menuju suatu nilai. Gambar 10 menjelaskan kestabilan dari pertumbuhan ekonomi terjadi pada titik (x, b, c) = (0.870, 0, 0.598). Perbedaan antara Gambar 9 dengan Gambar 10 yaitu penurunan dari parameter 𝜙 yang bernilai negatif. Nilai negatif dari parameter 𝜙 menunjukkan bahwa terjadi kenaikan investasi publik. Kenaikan investasi publik menunjukkan bahwa terjadi penurunan pada utang publik bahkan mencapai tidak adanya utang publik atau utang publik sama dengan nol, sedangkan nilai modal publik dan tingkat konsumsi mengalami peningkatan. Pada kondisi disini peningkatan modal publik sangat besar, hal tersebut dikarenakan besarnya modal publik digunakan untuk investasi publik. Oleh karena itu peningkatan modal publik yang semakin menigkat, sehingga pada akhirnya tingkat pertumbuhan ekonomi tersebut stabil menuju suatu nilai.

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Pengaruh surplus primer akibat kenaikan utang publik terhadap kestabilan model pertumbuhan ekonomi ialah semakin besarnya rasio surplus primer maka mengakibatkan penurunan nilai utang publik sedangkan modal publik mengalami peningkatan. Pengaruh tingkat pajak terhadap kestabilan model pertumbuhan ekonomi ialah semakin besarnya tingkat pajak maka mengakibatkan kenaikan nilai modal publik sedangkan utang publik mengalami penurunan. Hal tersebut karena kenaikan modal publik tersebut digunakan untuk membayar utang publik sehingga nilai utang publik mengalami penurunan. Pengaruh investasi publik terhadap kestabilan model pertumbuhan ekonomi ialah semakin besarnya investasi publik mengakibatkan kenaikan nilai modal publik sedangkan nilai utang publik mengalami penurunan. Kenaikan investasi publik ditandai dengan terjadinya penurunan nilai utang publik kian waktu bahkan mencapai kondisi tidak adanya nilai utang publik sehingga besarnya peningkatan modal publik digunakan untuk investasi publik. Kondisi pertumbuhan ekonomi yang stabil ialah semakin meningkatnya surplus primer akibat utang publik, kenaikan tingkat pajak serta kenaikan investasi

25 publik menyebabkan meningkatnya nilai modal publik dan nilai utang publik mengalami penurunan. Saran Analisis model kestabilan pertumbuhan ekonomi pada karya ilmiah ini dilakukan berdasarkan aspek teoritis dan pendapat para ahli ekonomi. Namun, pada kenyataannya analisis pertumbuhan ekonomi pada saat ini sebaiknya dilakukan dengan pendekatan empiris menggunakan data historis yang sudah ada.

DAFTAR PUSTAKA Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-8. Indriasari R, Harmein I, Penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Blanchard OJ, Fischer S. 1989. Lectures on Macroeconomics. Massachusetts (US): MIT Pr. Futugami K, Morita K, Shibata A. 1993. Dynamic Analysis of an Endogenous Growth Model with Public Capital. Scandinavian Journal of Economics. vol. 95, pp. 607-25. Greiner A. 2007. An Endogenous Growth Model with Public Capital and Sustainable Government Debt. The Journal of The Japanese Economic Assosiation. 58: 345-361.doi:10.111/j.1468-5876. Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Ed ke-5. Nurmawan I, penerjemah; Kristiaji WC, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics. Ed ke-5. Mankiw NG. 2006. Pengantar Ekonomi Jilid 2. Munandar H, Salim E, penerjemah; Sumiharti Y, Kristiaji WC, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Principles of Economics. Pontryagin LS, Boltyanskii VG, Gamkrelidze RV, Mishchenko EF. 1962. The Mathematical Theory of Optimal Processes. California (US). Stewart RM. 1998. Kalkulus Jilid 1. Ed ke-4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah; Mahanani N, Hardani W, editor; Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Calculus. Ed ke-4. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley Publishing Company. Sukirno S. 2004. Teori Pengantar Makroekonomi. Jakarta (ID): PT Raja Grafindo Persada. Todaro MP, Smith SC. 2006. Pembangunan Ekonomi Jilid 1. Ed ke-9. Devri B, Suryadi S, Wibi H, Editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Economic Development. Ed ke-9. Tu PNV. 1994. Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag. Turnovsky SJ. 1995. Methods of Macroeconomic Dynamics. Cambridge (GB): The MIT Press. Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System. New York (US): Springer-Verlag.

26 Lampiran 1 Penurunan laju pertumbuhan ekonomi pada kondisi yang seimbang dengan kendala modal swasta (Persamaan (22)) Persamaan (24) diperoleh berdasarkan Persamaan (12), (13), (18), (19), dan (23), tetapi sebelumnya dilakukan rekontruksi kembali persamaan B dari Persamaan (23) untuk mendapatkan nilai T, ialah sebagai berikut: ⟺

𝐵 + T = rB + Ip

𝐵 = 𝑟𝐵 + Ip − 𝑇 𝐵 = 𝑟𝐵 + 𝑇 1 − 𝐵 = 𝑟𝐵 −

𝑟 − 𝛽 𝐵 + 𝑇 𝑖𝑝 − 1

=

𝜙 𝜏

𝜙 𝜏

− 𝛽𝐵 – 𝑇

𝑇 − 𝛽𝐵

𝑟 − 𝛽 𝐵 −

𝜙 𝑇 𝜏

𝜙 = 0 𝜏 𝜙 𝜙 𝑇 1− − 1+ = 0 𝜏 𝜏 T = 0 𝑇 𝑖𝑝 − 1 +

sehingga persamaan 𝐵 ⟹ 𝐵 = 𝑟𝐵 + 𝐼𝑝 − 𝑇 𝐵 = 𝑟𝐵 + 𝐼𝑝 Selanjutnya pada Persamaan (13), diasumsikan tidak adanya pengaruh pajak pendapatan, τ terhadap kendala pemaksimuman rumah tangga, yaitu τ = 0. Sehingga Persamaan (13) menjadi: 𝑊 = 𝑤 + 𝑟 𝐵 + 𝐾

–𝐶

sehingga dari Persamaan (12), (13), (18), (19), dan (23) diperoleh Persamaan (24): 𝑊 = 𝑤 + 𝑟 𝐵 + 𝐾 𝐵 + 𝐾 = 𝑤 + 𝑟 𝐵 + 𝐾 𝐾 = 𝑤 + 𝑟 �𝐵 + 𝐾

–𝐶 – 𝐶 – 𝐶 − 𝐵

𝐾 = 𝛼 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 + 𝑟𝐵 + 𝑟𝐾 − 𝐶 − 𝐵 𝐾 =

𝛼 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 + 𝑟𝐵 + 𝑟𝐾 – 𝐶 − (𝑟𝐵 + 𝐼𝑝 )

𝐾 =

𝛼 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 + 𝑟𝐵 + 𝑟𝐾 – 𝐶 − (𝑟𝐵 + (𝑖𝑝 𝑇 – 𝛽𝐵 ))

𝐾 =

𝛼 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 + 𝑟𝐾 – 𝐶 − (𝑖𝑝 𝑇 – 𝛽𝐵 )

𝐾 =

𝛼 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 + (1 – 𝛼) 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 – 𝐶 − (𝑖𝑝 𝑇 – 𝛽𝐵 )

𝐾 = 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 – 𝐶 − 𝑖𝑝 𝑇 + 𝛽𝐵

27 𝐾 𝐶 𝐾 1− 𝛼 𝐺 𝛼 𝑇 𝐵 = − + − (𝑖𝑝 − 𝛽 ) 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 Lampiran 2 

Penurunan persamaan diferensial tiga dimensi terhadap waktu (Persamaan (28), (29), dan (30))

Persamaan (28) Persamaan (28) diperoleh dengan menurunkan Persamaan (28) terhadap waktu, yaitu sebagai berikut: 𝐺 𝐾

𝑥 ≡ 𝑥=

Ġ 𝐾 − 𝐺𝐾 𝐾2

𝑥 =

Ġ 𝐺 𝐾 − 𝐾 �𝐾 𝐾

𝑥 =

𝑖𝑝 𝑇 − 𝛽𝐵 𝐶 𝐾 1−𝛼 𝐺 𝛼 𝑇 𝐵 − 𝑥[− + − 𝑖𝑝 − 𝛽 ] 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾

𝑥 = − 𝛽 𝑏 + 𝑖𝑝

𝑇 𝐺𝛼 𝑇 − 𝑥 − 𝑐 + 𝛼 – 𝑖𝑝 − 𝛽𝑏 𝐾 𝐾 𝐾

𝑥 = 𝑥𝑐 – 𝑥 𝛽 𝑏 – 𝛽 𝑏 − 𝑥. 𝑥 𝛼 + 𝑖𝑝

𝑇 𝑇 + 𝑖𝑝 𝑥 𝐾 𝐾

Asumsikan bahwa tingkat elastisitas tenaga kerja bersifat elastis, yaitu α = 1 T dan rasio K = τ sehingga persamaan tersebut menjadi: 𝑥 = 𝑥𝑐 – 𝑥 𝛽 𝑏 – 𝛽 𝑏 − 𝑥. 𝑥 + 𝑖𝑝 𝜏 + 𝑖𝑝 𝑥 𝜏 𝑥 = 𝑥 (𝑐 – 𝛽�𝑏 1 + 𝑥 −1 − 𝑥 + 𝜏 𝑖𝑝 + 𝜏 𝑖𝑝 𝑥 −1 ) 

Persamaan (29) Persamaan (29) diperoleh dengan menurunkan Persamaan (29) terhadap waktu, yaitu sebagai berikut: 𝑏 ≡

𝐵 𝐾

𝐵 𝐾 − 𝐵𝐾 𝐾2 𝐵 𝐵 𝐾 𝑏 = − �𝐾 𝐾 𝐾 𝑏 =

28 (𝑟 − 𝛽) 𝐵 + 𝑇 (𝑖𝑝 − 1) 𝐶 𝐾1 − 𝛼 𝐺 𝛼 𝑇 𝐵 𝑏 = − 𝑏[− + − 𝑖𝑝 − 𝛽 ] 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝑏=

(𝑟 − 𝛽) 𝐵 𝑇 𝐶 𝐾1 − 𝛼 𝐺 𝛼 𝑇 𝐵 − (𝑖𝑝 − 1) − 𝑏 [ − + − 𝑖𝑝 − 𝛽 ] 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 −𝛼

𝛼

𝑏 = [(1 − 𝛼) 𝐾 𝐺 𝑇 − 𝑖𝑝 − 𝛽 𝑏 ] 𝐾

𝑇 𝐺𝛼 − 𝛽] 𝑏 − (𝑖 − 1) − 𝑏 [ − 𝑐 + 𝛼 �𝐾 𝑝 𝐾

𝐺𝛼 𝑇 𝑇 (𝑖𝑝 − 1) + 𝑏 𝑐 − 𝑏 𝑥 𝛼 + 𝑖𝑝 𝑏 + 𝛽 𝑏 𝑏 𝑏 = [(1 – 𝛼) 𝛼 − 𝛽] 𝑏 − 𝐾 𝐾 𝐾 𝑏 = [(1 − 𝛼) 𝑥 ∝ − 𝛽] 𝑏 −

𝑇 𝑇 (𝑖𝑝 − 1) + 𝑏 𝑐 − 𝑏 𝑥 𝛼 + 𝑖𝑝 𝑏 + 𝛽 𝑏 𝑏 𝐾 𝐾

Asumsikan bahwa tingkat elastisitas tenaga kerja bersifat elastis, yaitu α = 1 dan T rasio K = τ sehingga persamaan tersebut menjadi: 𝑏 = − 𝛽 𝑏 − 𝜏 (𝑖𝑝 − 1) + 𝑏 𝑐 − 𝑏 𝑥 + 𝑖𝑝 𝑏 𝜏 + 𝛽 𝑏 𝑏 𝑏 = 𝑏 (𝑐 – 𝛽 + 𝛽 𝑏 + 𝑥 – 𝜏 𝑏 −1 𝑖𝑝 − 1 + 𝜏 𝑖𝑝 ) 

Persamaan (30) Persamaan (30) diperoleh dengan menurunkan Persamaan (30) terhadap waktu, yaitu sebagai berikut: 𝑐 ≡

𝐶 𝐾

𝑐 =

𝐶 𝐾 − 𝐶𝐾 𝐾2

𝑐 =

𝐶 𝐶 𝐾 − 𝐾 𝐾 𝐾

definisi C diperoleh dari persamaan (30): Ċ = − 𝜌 + 1 − 𝜏 1 − 𝛼 𝐾 – 𝛼 𝐺𝛼 𝐶 𝑐 = 𝑐 − 𝜌 + 1 − 𝜏 1 − 𝛼 𝐾 – 𝛼 𝐺𝛼 𝑐 = �𝑐 𝐾 − 𝜌 +

1 − 𝜏 1 − 𝛼 𝐾 – 𝛼 𝐺𝛼

Oleh karena itu, persamaan tersebut menjadi: 𝑐 = − 𝑐 𝜌 + 𝑐 1 − 𝜏 1 − 𝛼 𝐾 – 𝛼 𝐺𝛼 −

𝐶 𝐾 𝐾 𝐾

29 𝐺∝ 𝐶 𝐾1 − 𝛼 𝐺 𝛼 𝑐 = −𝑐𝜌 + 𝑐 1 − 𝜏 1 − 𝛼 − 𝑐 [− + 𝐾∝ 𝐾 �𝐾 𝑇 𝐵 − 𝑖𝑝 − 𝛽 ] 𝐾 𝐾 𝑇 𝑐 = − 𝑐 𝜌 + 𝑐 1 − 𝜏 1 − 𝛼 𝑥 ∝ − 𝑐 [− 𝑐 + 𝑥 ∝ − 𝑖𝑝 − 𝛽𝑏 ] 𝐾 𝑇 𝑐 = − 𝑐 𝜌 + 𝑐 1 − 𝜏 1 − 𝛼 𝑥 ∝ − 𝑐 𝑐 − 𝑐 𝑥 ∝ + 𝑖𝑝 − 𝛽 𝑏 𝑐 𝐾 Asumsikan bahwa tingkat elastisitas tenaga kerja bersifat elastis, yaitu α = 1 T dan rasio = τ sehingga persamaan tersebut menjadi: K

𝑐 = − 𝑐 𝜌 − 𝑐 𝑐 − 𝑐 𝑥 + 𝑖𝑝 𝜏 − 𝛽 𝑏 𝑐 𝑐 = 𝑐 𝑐 − 𝜌 − 𝑥 − 𝛽 𝑏 + 𝑖𝑝 𝜏 Lampiran 3 Kode program Gambar 1

30

Lampiran 4 Kode program Gambar 2

Lampiran 5 Kode program Gambar 3

31

Lampiran 6 Kode program Gambar 4

32

Lampiran 7 Kode program Gambar 5

Lampiran 8 Kode program Gambar 6

33

Lampiran 9 Kode program Gambar 7

34

Lampiran 10 Kode program Gambar 8

Lampiran 11 Kode program Gambar 9

35

Lampiran 12 Kode program Gambar 10

36

Lampiran 13 Kode program Gambar 11

37 Lampiran 14 Kode program Gambar 12

38

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 11 Juli 1991 sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Sri Hardjono dan Sri Budihatmi dengan kakak bernama Indri Hapsari. Pendidikan formal yang ditempuh yaitu di TK Tunas Muda X Komp. Hankam lulus pada tahun 1997, SD Negeri Grogol Utara 03 Pagi lulus pada tahun 2003, SMP Negeri 48 Jakarta lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 74 Jakarta lulus pada tahun 2009, dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf divisi PSDM (Pengembangan Sumber Daya Manusia) pada tahun 2010 - 2011 dan aktif sebagai panitia dalam kegiatan-kegiatan GUMATIKA sampai tahun 2012.