PENGARUH ANGKAH PRANDTL DALAM PERPINDAHAN PANAS PADA SUATU BENDA BULAT Kaprawi 1 ABSTRACT The flow past a unmoveble sphere will produce friction between wall of sphere and fluid arround the sphere. Near the wall sphere occurs the variations of velocity and this flow characteristics is explained by the boundary layer. This numerical study, application of finite difference, shows that boundary layer thickness increase with θ from the stgnation point and the velocity also increase with θ. The separation of flow occurs at θ = 111o. The heat transfer from fluid to the sphere depends on Pr number, as Pr increases so the heat transfer increase and thermal boundary layer decrease. Keywords : sphere, thermal boundary layer, heat transfer, velocity, drag coefficient
ABSTRAK Aliran fluida mengenai suatu benda bulat yang diam akan terjadi gesekan antara dinding benda dengan fluida disekelilingnya. Didekat permukaan benda bulat tersebut terjadi perubahan-perubahan kecepatan aliran dan hal ini diterangkan oleh lapisan batas. Studi numerik dengan metode beda berhingga memberikan bahwa tebal lapisan batas naik seiring dengan kenaikan sudut θ dari titik stagnasi dan kecepatan juga semakin naik. Separasi aliran terjadi pada θ = 111o. Besar perpindahan panas dari fluida sekeliling ke benda bulat tergantung dengan angka Pr, semakin naik Pr maka perpindahan panas semakin naik dan tebal lapisan batas termal semakin turun. Kata Kunci: benda bulat, lapisan batas termal, perpindahan panas, kecepatan, koefisien drag
1
Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Sriwijaya, E-mail :
[email protected] Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No. 1, Februari 2008
49
1.
atau lapisan batas, selain komponen kecepatan, diantaranya angka Reynolds, kekentalan dan tekanan. Dua variabel yaitu angka Reynolds an kekentalan telah diberikan oleh Maged (ElShaarawi, M.A.I. dkk. 1997) untuk bola tidak pejal (liquid drop) maupun benda bulat pejal. Angka Reynolds untuk memvariasikan kecepatan ekteriur dari fluida dan kekentalan untuk memvariasikan jenis fluida. Untuk angka Reynolds yang rendah telah dipelajari (Choudhury, P.N. dan D.G. Drake, 1971) perpindahan panas untuk aliran nonsteady. Dalam solusi numerik skema beda berhingga sering kali digunakan. Persamaan lapisan batas yang mana komponen konvektif ∂u/∂y didiskretisasi menjadi bagian unknown value. Perpindahan panas dari fluida ke benda bulat atau sebaliknya dalam suatu proses pemanasan atau pendinginan adalah sesungguhnya problem unsteady apabila berhubungan dengan waktu. Disekitar benda bulat selain terjadi lapisan batas hidrodinamik terjadi juga lapisan batas termal. Antara fluida dekat dengan dinding dengan dinding bola terjadi keseimbangan termal. Pada studi ini akan diberikan karakteristik aliran disekitar sebuah bola yang menerima panas dari fluida sekeliling dengan asumsi diantaranya bilangan Reynolds tinggi (aliran laminer), aliran incompresible dua dimensi, aliran mantap (steady flow). Bagian konvektif ∂u/∂y didiskretisasi menjadi bagian known value dengan metode numerik implisit. Besar perpindahan panas ingin dihitung dengan mencari terlebih dahulu profil temperatur.
50
Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No.1, Februari 2008
PENDAHULUAN Aliran fluida disekitar sekeliling suatu benda bulat atau bola banyak dijumpai dalam bidang teknik dan begitu juga perpindahan panasnya dari sekeliling atau sebaliknya. Hal ini terjadi pada bola jatuh, butiran liquid keluar dari nosel ke atmosfer dengan asumsi butiran liquid pejal dan pendinginan butiran urea dalam menara pendinginan. Karakteristik aliran di dekat dinding bola diperlukan untuk mengetahui drag sehingga didalam perencanaan bidang teknik peralatan dapat dirancang dengan lebih baik. Aliran disekitar benda bulat sesungguhnya adalah aliran tiga dimensi. Untuk mengetahui karakteristik aliran tiga dimensi memerlukan persamaan lebih banyak, persamaan momentum tiga dimensi. Oleh karena geometri bola maka bola merupakan bentuk aksisimetris (∂/∂Φ=0) sehingga hal tersebut dapat dipelajari secara dua dimensi. Tekanan pada bagian belakang bola adalah yang paling rendah bila dibandingkan dengan di depan bola. Oleh karena tekanan tetap rendah dan hampir konstan, biasa disebut pressure drag yang mana besarnya sekitar 90% dari total drag di daerah ini. Sisanya 10% disebabkan oleh skin-friction drag yaitu gesekan antara aliran dan dinding. Sebagian besar skin-friction drag dihasilkan pada dinding bagian depan dimana lapisan batas kecil dan gradien kecepatan pada permukaan bola besar. Untuk menghitungnya maka perlu penyelesaian persamaan lapisan batas. Dalam lapisan batas, tekanan statis dan kecepatan aktual tergantung dari geometri penampang aliran. Ada beberapa variabel yang dapat masuk dalam persamaan momentum
2. METODE PENELITIAN 2.1. Persamaan lapisan Batas Persamaan lapisan batas hidrodinamik diberikan oleh persamaan Navier-Stokes berikut : ∂u ∂u 1 dp ∂ 2u u +v =− +υ 2 ∂x ∂y ρ dx ∂y
.....(1) dimana u dan v adalah masing-masing kecepatan arah x dan y, p adalah tekanan dan υ adalah kekentalan fluida. Persamaan kontinuitas diberikan berikut: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y .....(2) Aplikasi persamaan (1) pada aliran sekeliling bola (gambar 1) mempunyai kondisi batas sebagai berikut : - u = v = 0 pada x = 0 (pada stagnasi) - u = v = 0 pada y = 0 (dinding bola) - u = U pada y = ∞ (jauh dari dinding) Tekanan statis dalam (1) diberikan dengan persamaan bernoulli. Persamaan lapisan batas termal diberikan berikut ini (Incropera, F.P. dan D. P. Dewitt, 2005) : ∂T ∂T ∂ 2T u +v =λ 2 ∂x ∂y ∂y .....(3) dimana T : Temperatur fluida λ : Difusivitas termal fluida U∞ θ U∞
U∞
Koefisien drag diberikan oleh : CD =
D 1 2 . ρ U ∞2 L
.....(4) L
Dimana : Drag, D = τ w (x ).dx dengan ∫ 0
τw adalah tegangan geser pada dinding L adalah panjang bidang gesek arah x U∞ aliran jauh dari dinding. Persamaan (1) dan (3) dirubah ke persamaan tak-berdimensi dengan menggunakan variabel berikut : x + y 1/ 2 + u , y = Re , u = , d d U∞ p v 1/ 2 , v+ = Re , p + = U∞ ρU ∞ 2 T − Ts + U d R e = ∞ ,U + = U , T = T∞ − T s υ U x+ =
∞
Dimana - d adalah diameter bola, - p adalah tekanan, - Re adalah angka Reynolds, - U adalah aliran jauh dari dinding arah normal - T∞ adalah temperatur fluida jauh dari dinding benda bulat - Ts adalah temperatur dinding benda bulat (bola) Aliran diluar lapisan batas adalah aliran potensial yang mempunyai solusi sebagai berikut [1]: Ψ = -(½) U∞ r2 sin2 θ(1 – a3/r3) Dalam persamaan diatas U∞ adalah kecepatan aliran jauh dari dinding (pada tak berhingga), a adalah radius bola dan r adalah koordinat radial diukur dari sumbu bola. Persamaan (1) dan kondisi batas berubah ke bentuk tak berdimensi dengan menggunakan variabel tak berdimensi diatas menjadi :
Gambar 1. Pola Aliran Sekitar Benda Bulat Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No. 1, Februari 2008
51
j=M
+ + ∂u + ∂ 2u + + ∂u + dU u + v = − U + 2 ∂x + ∂y + dx + ∂y +
i=L
+
y
.....(5) Dan persamaan kontinuitas (2) :
Dengan kondisi batas : - u+ = v+ = 0 pada x = 0 (titik stagnasi) - u+ = v+ = 0 pada y = 0 (dinding bola) - u+ = U+ pada y = ∞ (jauh dari dinding) Aliran ekteriur U+ diberikan oleh (White, F.M. 1991): U 3 = sin θ U 2 ∞
Persamaan (3) menjadi : ∂T + ∂T + 1 ∂ 2T + + v+ = ∂x + ∂y + Pr ∂y + 2
.....(7) dimana Pr adalah Bilangan Prandtl. Kondisi batas : - T+ = 0 pada dinding (y+ = 0, ∀ x) + - T = 1 jauh dari dinding (y+ = ∞, ∀ x) - T+ = 0 pada x+ = 0 (titik stagnasi) Koefisien drag menjadi : L s ∂u + 2 dx + CD = 1 / 2 + 0 Re ∂y y = 0
∫
2.2. Metode Penyelesaian Diskretisasi bidang seperti ditunjukkan oleh gambar 2. Oleh karena bola aksisimetris maka hanya setengah bagian saja yang dipelajari yaitu bagian setengah bola atas. Disekitar bola dibuat garis sekeliling yang sejajar dinding bola dan garis ini menunjukkan arah x yang dimulai pada garis stagnasi (x = 0). Arah normal dinding dibuat garis yang memotong garis arah x dan titik perpotongan adalah i,j. Jumlah garis 52
j=3 j=2 j=1
x
i=1
.....(6)
u+
∆θ
i=2
∂u + ∂v + + = 0 ∂x + ∂y +
U+ =
i=3
i=0 dinding bola
Gambar 2. Grid Numerik
diskretisasi dalam masing-masing arah x dan y adalah L dan M. Persamaan (5) didiskretisasi dengan metode beda berhingga skema implisit karena metode ini stabil tanpa syarat sebagai berikut : u+ − ui+, j + i+1, j ui, j +
∆x
+ ui+, j+1 − ui+, j−1 +v = i, j 2∆y+
+ + + 9 ui+1, j+1 − 2ui+1, j + ui+1, j−1 sin(i.∆θ) cos(i.∆θ) + ∆y+2 4
Dalam persamaan terakhir diatas variabel yang berindek i diketahui (known value) dan i+1 adalah yang tak diketahui atau yang dicari. Oleh karena setelah dikelompokkan dua jenis tersebut didapatlah persamaan berikut :
a j u i++1, j −1 + b j u i++1, j + c j u i++1, j +1 = d j .....(8) Dimana :
aj = cj =
2∆x+ ∆x + b = − , j , ∆y + 2ui+, j ∆y + 2ui+, j
d j = −ui+, j −
9 1 sin(i.∆θ ) cos(i.∆θ ) 4 ui+, j
+ C (ui+, j +1 − ui+, j −1 )
Dengan C =
∆ x + v i+, j 2 ∆ y + u i+, j
Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No.1, Februari 2008
Kecepatan vertikal dihitung dari persamaan kontinuitas diatas dengan mengambil gradien kecepatan rata-rata untuk (∂u+/∂x+) dan menjadi : v
+ i +1, j
=v
+ i +1, j −1
∆y + − 2
u i++1, j − u i+, j u i++1, j −1 − u i+, j −1 + + ∆x + ∆x
.....(9) Bagian sebelah kanan dari + persamaan (8) yaitu u yang berindek i diketahui sedangkan yang berindek i+1 pada bagian sebelah kiri adalah yang ingin dihitung. Untuk menghindari uo,j = 0 sebagai pembagi dalam (8) yang menghasilkan nilai tak berhingga maka untuk kondisi ini persamaan (8) dikalikan dengan uo,j . Perhitungan dimulai dengan memasang i = 0 dan j = 1,2,3,…, M-1 pada persamaan (8) maka didapat persamaan yang mana koefisiennya membentuk matrik tridiagonal. Untuk ini diselesaikan dengan metode Choleski dan didapatkan nilai kecepatan + + + + u1,1 , u1, 2 , u1,3 ,..., u1, M −1 . Kemudian nilai ini dimasukkan dalam persamaan kontinuitas (9) dan didapatkan komponen kecepatan vertikal + + + v1,1 , v1, 2 ,..., v1, M −1 . Kemudian dilanjutkan dengan memasang i = 1 dan j = 1,2,3,…, M-1 kedalam persamaan yang sama (8) seperti diatas dan didapatkan + + + + u 2,1 , u 2, 2 , u 2,3 ,..., u 2, M −1 . Kemudian nilai ini dimasukkan dalam persamaan kontinuitas dan didapat v2+,1 , v2+, 2 ,..., v2+,M −1 . Dengan cara yang sama dilanjutkan dengan i = 2 dan j = 1,2,3,…M-1, i = 3 dan j = 1,2,3,..M-1, i = 4 dan j = 1,2,3,..M-1 dan seterusnya sampai selesai pada i = L (Gambar 2). Jumlah titik M = 15 pada x = 0 dan naik seiring dengan kenaikan x secara linier dan M = 112 pada x = L. Jumlah arah x titik L = 100.
Setelah kecepatan didapat maka temperatur dihitung dari persamaan berikut yang didapat dengan skema beda berhingga implisit seperti diatas : T i ++1, j − T i ,+j u i+, j ∆x + 1 Pr
T + − T i ,+j −1 + v + i , j +1 i, j 2∆y +
T i ++1, j +1 − 2T i ++1, j + T i ++1, j −1 ∆y + 2
=
.....(10) Persamaan (10) disederhanakan menjadi: e j Ti ++1, j + f j Ti ++1, j + g j Ti ++1, j = h j
.....(11) Dimana ej,fj, gj dan hj adalah koefisien persamaan. Pada persamaan (11), temperatur yang berindeks i +1 adalah yang dihitung. Diskretisasi (∆x, ∆y, jumlah titik) dan proses perhitungan sama seperti pada penyelesaian persamaan (8). 3.
HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil perhitungan untuk distribusi kecepatan dalam lapisan batas ditunjukkan oleh gambar 3. Dari gambar dapat kita lihat bahwa kecepatan naik dengan semakin naiknya θ. Kecepatan akan maksimum pada daerah sekitar 90o oleh karena aliran ekteriur akan maksimum pada daerah tersebut dal hal ini dilihat dari hubungan U+ = (3/2).sinθ yang merupakan kondisi batas pada persamaan. Kecepatan mulai menurun ketika θ > 90o dan profil pada θ = 103o merupakan profil kecepatan didekat daerah separasi. Tebal lapisan batas berkembang mulai dari titik stagnasi dan semakin naik dengan semakin naik θ. Gambar 4 menunjukkan profil tegangan geser pada dinding bola dan ini merupakan representasi dari gradien kecepatan dekat dinding bola. Tegangan geser dinormalisir terhadap tegangan geser maksimum yang terjadi pada θ =
Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No. 1, Februari 2008
53
+
u 0.8 1.6
96o
Cd
103o
0.7
1.4 72o
0.6
1.2 0.5
1 0.4
48o
0.8
0.3
0.6 0.2 0.1 0.4 o θ = 25
0
0.2
0
1
2
3
4
5 Log(Re)
Gambar 5 : Koefisien drag
0 0
2
4
6
y+
Gambar : ProfilKecepatan kecepatan Gambar 3. 3Profil τ / τ (59 º) 1.2
1
0.8
Penulis sekarang 0.6
Maged A 0.4
. [1] terdapat perbedaan dengan hasil sekarang yang mana perbedaan hanya terjadi pada daerah mulai θ > 80o, separasi yang didapat oleh [1] adalah pada106o. Perbedaan ini akibat bagian konvektif ∂u/∂y yang mana pada perhitungan disini menjadi bagian known value dari persamaan diskretisasi (8). Koefisien drag ditunjukkan oleh gambar 5. Koefisien ini dihitung mulai dari titik stagnasi sampai ke titik separasi. Dapat kita lihat bahwa CD turun dengan cepat seiring dengan kenaikan Profil kecepatan tak Log(Re). bergantung kepada angka Reynolds seperti dapat dilihat pada persamaan (5) diatas dan dengan demikian profil kecepatan adalah konstan (gambar 3). Oleh karena itu koefisien drag hanya fungsi bilangan Reynolds atau CD = f(1/√Re). Gambar 6 menunjukkan contoh profil temperatur arah normal dari dinding benda bulat untuk Pr = 0,72 (gas). Pada gambar dapat diamati bahwa temperatur lebih besar pada θ yang kecil
0.2 Cd
0 0
20
40
60
80
100
120
140
θ(º)
Gambar 4 4. : Tegangan geserGeser Gambar Tegangan
0.7 0.6
59o. Dapat dilihat bahwa kurva tegangan geser simetris. Mulai dari titik stagnasi tegangan geser nol dan naik secara linier dengan θ (θ < 40o) dan mencapai maksimum kemudian turun ke nol pada θ = 111o. Pada titik ini terjadi separasi aliran. Setelah titik tersebut kecepatan tidak bisa diprediksi. Tegangan geser (garis putus- putus) yang telah didapatkan oleh 54
0.8
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1
2
3
Gambar 5 : Koefisien drag
4
5 Log(Re)
Gambar 5. Koefisien Drag
Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No.1, Februari 2008
Cd
0.8
Nu/√Re 1
0.7 0.6
0.8
0.5 0.4
0.6
0.3 0.2
0.4
0.1 0 0
1
2
3
4
Gambar 5 : Koefisien drag
5
0.2
Log(Re)
Gambar 6. Profil Temperatur + T 1
0
o
θ = 35
+
o
0
80
o
57
o
103
0.8
0.4
Pr = 10 0.2
0 2
4
6
8
10
Gambar8.8 :Hubungan Hubungan Nu dan Pr Gambar Pu dan Pr
0.6
0
2
4
6 +
Gambar7.7Profil : ProfilTemperatur Temperatur Gambar
y
atau pada daerah dekat stagnasi, temperatur menurun bila θ naik akan tetapi sebaliknya bahwa tebal lapisan batas termal semakin naik kearah θ yang naik. Pada θ = 35o maka tebal lapisan batas adalah 3 dan pada θ = 57o maka tebala lapisan batas adalah 4. Perbedaan temperatur pada sekeliling benda bulat pada x yang berbeda adalah signifikan. Untuk angka Pr = 10 (liquid), profil kecepatan diberikan oleh gambar 7. Perbedaan temperatur disekeliling benda
12
Pr
bulat praktis sama pada daerah dekat dengan dinding dan sedikit berbeda pada jauh dari dinding. Tebal lapisan batas termal praktis hampir sama pada sekeliling benda bulat. Dengan kenaikan angka Pr maka akan semakin cendrung seragam temperatur disekeliling benda bulat tersebut. Semakin tinggi angka Pr maka perpindahan panas terjadi pada daerah yang sempit dari dinding atau pada y kecil. Perpindahan panas yang dinyatakan dengan angka Nusselt rata-rata diberikan dalam gambar 8. Perpindahan tersebut hanya fungsi dari angka Pr. Perpindahan panas akan semakin baik apabila angka Pr semakin naik atau fluida semakin. Seperti dari profil temperatur diatas bahwa gradien temperatur pada dinding benda bulat naik seiring dengan kenaikan Pr. Seperti diketahui bahwa evolusi angka Nusselt terhadap angka Prandtl dalam bentuk fungsi Nu = f(Pr1/3) untuk Re konstan.
Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No. 1, Februari 2008
55
4.
KESIMPULAN Hasil studi numerik ini dapat memprediksi dari karakteristik aliran disekitar sebuah benda bulat atau bola. Profil kecepatan bergerak naik sepanjang dinding bola dan maksimum disekitar θ = 90o dan titik separasi terjadi pada θ = 111o. Tegangan geser bergerak dengan bentuk parabol dan maksimum pada θ = 59o. Perpindahan panas dari fluida ke dinding benda bulat semakin naik bila angka Pr semakin naik, temperatur semakin seragam pada sekeliling benda bulat dan tebal lapisan batas termal semakin turun. DAFTAR PUSTAKA El-Shaarawi, M.A.I., A. Al-Farayedhi, M.A. Antar (1997), “Boundary Layer Flow About and Inside a Liquid Sphere,” Journal of Fluids
56
Engineering, Vol. 119. No.1. Choudhury, P.N. and D.G. Drake (1971), “Unsteady heat transfer from a sphere in a low reynolds Number,” Journal of Mechanics and Applied Mathematics, vol. 24 White, F.M. (1991), Viscous Fluid Flow, Second edition, McGraw-Hill, Singapore. Incropera, F.P. dan D. P. Dewitt (2005), Heat and Mass Transfer, Fifth Edition, John Wiley & Sons. Perepezko, J.H., J.L. Sebright, dan P.G. Ho, G. Wilde (2002), Undercooling and solidification of atomized liquid droplets, Material Science and Engineering, Elsevier, p.144-153. Lienhard, J.H. (2000), A Heat Tranfer Textbook, 3rd edition. Devenport, W. J. (2007), Flow past a circular cylinder, Experiment 3.
Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No.1, Februari 2008
