Penerapan Metode Pengganda Lagrange Dalam Bidang Ekonomi. The Application of The Method of Lagrange Multipliers in The Economy

Jurnal Eksponensial Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011

ISSN 2085-7829

Penerapan Metode Pengganda Lagrange Dalam Bidang Ekonomi The Application of The Method of Lagrange Multipliers in The Economy Syaripuddin Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman Samarinda Abstract This paper discusses the application of the method of Lagrange multipliers in the economy. The purpose of this study was to change the shape optimization problem in economics is a problem of constrained optimization without constraints and modeled in the form of optimization, the discussion focused on the issue of partial and marginal utility of consumption and production balance and equilibrium partial marginal production. Keywords : Lagrange Multipliers, Optimization Problem, Partial and Marginal Utility, Partial Marginal Production.

I. Pendahuluan Teori optimasi sangat aplikatif pada permasalahan-permasalahan yang menyangkut pengoptimalan, baik itu kasus maksimasi atau minimasi. Ada banyak metode-metode optimasi yang berkembang mengikuti perkembangan terutama dibidang industri, perdagangan dan bidang-bidang lain yang juga menggunakan teori optimasi. Metode Pengganda Lagrange adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan ini untuk program-program non-linear. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh Joseph Louis Langrange (1736-1813). Teori ini dapat digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan program non-linear. Dalam bidang ekonomi optimasi sangat dibutuhkan, sering kita dihadap-kan pada persoalan penyelesaian termurah dengan memenuhi kendala yang ada. Kasus optimasi bersyarat banyak dijumpai misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas. Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Utilitas dibagi dua yaitu utilitas total dan utilitas marginal. Utilitas total ialah fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Sedangkan utilitas marginal ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah. Secara matematik, persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan

kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Sedangkan fungsi utilitas marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Dengan kata lain jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f (Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya: MU=U’=

dQ dU

Penelitian ini membahas tentang aplikasi metode Pengganda Lagrange dalam bidang ekonomi dimodelkan dalam bentuk optimasi. Akan disajikan contoh-contoh persoalan bidang ekonomi dalam bentuk optimasi dengan kendala dan akan diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala menggunakan fungsi Lagrange. II. Tinjauan Pustaka Optimasi Bersyarat Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi yang memiliki syarat atau memiliki batasan batasan yang merupakan masalah pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh solusi optimal yaitu syarat yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Maksimumkan/Minimumkan f = f (X) Kendala gj(X), j = 1, 2, 3, ..., m dengan: X = ( x1, x2, x3, ..., xn )T dan m ≤ n Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi adalah metode Pengganda Lagrange. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:

L( X ,  )  f ( X ) 

m

 g j

j (X )

j 1

Teorema 1: Suatu matriks Anxn disebut definite positif jika determinan dari setiap sub matriknya

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

29

Jurnal Eksponensial Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011 lebih besar nol dan disebut definite negatif jika determinan dari sub matrik pertama lebih kecil nol, determinan dari sub matrik kedua lebih besar nol, determinan dari sub matrik ketiga lebih kecil nol dan seterusnya.

utility, MU) merupakan utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal merupakan derivative pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U=f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal:

Teorema 2: Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(X) dengan kendala gj(X) = 0, dengan j=1,2,…,n agar mempunyai maksimum/minimum relatif pada titik X* adalah turunan parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L=( x1, x2, …, xn, λ1, λ2,…, λn) terhadap setiap argumentnya mempunyai nilai nol.

MU=U’=

2L Q   dxi dx j i 1 j 1 x i x j (L11  z) L21  Ln1 g11 g21

L12

n

L13 

L1n

g11 g21  gm1

(L22  z) L23  L2n g12 g12  gm2         Ln2 Ln3  (Lnn  z) gm1 gm2  gmn g12 g22

g13  g23 

g1n g2n

0 0

0 0

 

0 0

         gm1 gm2 gm3  gmn 0 0  0 * Dievaluasi pada titik X=X harus definit positif (atau definit negatif) untuk setiap variasi nilai dx adalah setiap akar dari polinomial zi, yang didapat dari determinan persamaan dibawah ini harus positif (atau negatif).

dimana: Lij 

L( X ,  )  f ( X ) 

0

m

 g j

j (X )

j 1

3.

Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim

L L L L    0 x1 xn 1 m 4.

g ( X * )  2 ( L( X * ,  ) , g ij  i . xi x j x j

Fungsi Utilitas Marginal Fungsi utilitas merupakan fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah. Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Adapun persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka kebawah. Utilitas marginal (marginal

dQ dU

III. Metode Penelitian Metode penelitian dalam tulisan ini dilakukan dengan melakukan penelitian melalui tinjauan pustaka. Adapun langkah – langkahnya adalah: 1. Membuat langkah–langkah menentu-kan nilai ekstrim suatu fungsi dengan kendala fungsi lain menggunakan pengganda Lagrange. Maksimumkan/Minimumkan f = f (X) Kendala gj(X), j = 1, 2, 3, ..., m dengan: X = ( x1, x2, x3, ..., xn )T dan m ≤ n 2. Fungsi baru Lagrange yang telah dimodifikasi menjadi :

Teorema 3: Syarat cukup bagi sebuah sebuah fungsi f(X) agar mempunyai minimum/maksimum relatif pada titik X* adalah jika fungsi kuadrat Q yang didefinisikan sebagai : n

ISSN 2085-7829

Mencari semua solusi syarat cukup untuk ekstrim relatif . Dievaluasi pada titik X=X* harus definit positif (atau definit negatif) untuk setiap variasi nilai dx adalah setiap akar dari polinomial zi, yang didapat dari determinan persamaan : n

2L dxi dx j j 1 x i x j n

Q   i 1

5.

6.

harus positif (atau negatif). Ini digunakan untuk mengetahui prilaku dari L(x , λ ) pada nilai kritisnya. Menentukan solusi optimal dari persoalan optimasi bersyarat meng-gunakan metode pengganda Lagrange serta penerapannya didalam bidang ekonomi. Menarik beberapa kesimpulan yaitu menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan optimasi yang telah diselesaikan.

IV. Hasil dan Pembahasan 1. Optimasi Bersyarat Metode pengganda Lagrange merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai ekstrim bersyarat. Misalkan

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

30

Jurnal Eksponensial Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011

f ( x, y )

akan

dimaksimumkan

diminimumkan dengan syarat Bentuk fungsi objektifnya adalah :

atau

200 200  2 (5  x) (10  y ) 2

g ( x, y )  0 .

F ( x , y ,  )  f ( x , y )   g ( x, y ) dimana  adalah pengganda Lagrange. Syarat

(5  x) 2  (10  y ) 2 …………….…(4) Subtitusi persamaan (3) ke (4) diperoleh :

(5  25  y ) 2  (10  y ) 2 30  y  10  y

perlu untuk mendapatkan titik eksrim fungsi F ( x, y,  ) adalah :

F f g    0 …….(1) x x x F f g    0 …….(2) y y y F  g ( x, y )  0 ………..(3) x

y  10, x  15 dan   

L12 g11   L11  z  Q   L21 L22  z g12   g11 g12 0   1  0 1  20  z   1  0   z 1  0 20   1 0  1  

Contoh-1: Hubungan antara jumlah penjualan S dengan jumlah-jumlah x dan y yang dibelanjakan untuk dua macam media iklan adalah

200 x 100 y . Laba bersih adalah  (5  x) (10  y )

seperlima dari jumlah penjualan dikurangi biaya iklan. Anggaran belanja untuk iklan adalah 25. Tentukan alokasi anggaran belanja untuk kedua macam media iklan itu supaya diperoleh laba maksimum. Penyelesaian Fungsi Langrange adalah :

1  200 x 100 y   F ( x, y,  )    5  (5  x) (10  y )   x  y   ( x  y  25) 40 x 20 y   (5  x) (10  y )  x  y   ( x  y  25) Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim:

F 200  1    0 x (5  x) 2 1  

200 ……….(1) (5  x) 2

F 200  1    0 y (10  y ) 2 200 ………(2) 1   (10  y ) 2 F  x  y  25  0 ………..(3) x Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

1 2

Jadi titik ekstrimnya (x0,y0) = (10, 15). Selanjutnya akan titik ekstrim ini akan di uji apakah titik ekstrimnya (x0,y0) = (10, 15) maksimum atau minimum.

Dengan memecahan ketiga persamaan diatas maka diperoleh titik-titik kritis fungsi F ( x, y,  ) yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.

S

ISSN 2085-7829

Diperoleh z = 

1 . Karena nilai z semua (satu80

satunya titik kritis) negatif maka titik ekstrim (x0,y0) = (10, 15) maksimum. 2. Utilitas Marginal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi Bentuk umum fungsi utilitas adalah U  f ( g1 , g 2 ,, g n ) . Pada pembahasan ini konsumen dimisalkan hanya mengkonsumsi dua macam barang saja, misalkan x dan y sehingga fungsi utilitasnya adalah U  f ( x, y ) . Turunan pertama terhadap-x disebut utilitas marginal yang besesuaian dengan x ditulis

U dan Turunan x

pertama terhadap-y disebut utilitas marginal yang besesuaian dengan y ditulis

U . y

Keseimbangan konsumsi adalah suatu keadaan dimana kombinasi konsumsi beberapa macam barang memberikan kepuasan optimum. Keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungna kurva U  f ( x, y ) dengan garis anggaran konsumsi consumen yaitu M  xPx  yPy dimana M adalah pendapatan konsumen, Px adalah harga barang x dan Py adalah harga barang y. Keseimbangan konsumen dicari menggunakan metode penggada Lagrange dengan fungsi Lagrange sebagai berikut:

F ( x, y,  )  f ( x, y )   ( xPx  yPy Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

31

Jurnal Eksponensial Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011 Syarat supaya F ( x, y,  ) mencapai maksimum adalah:

F f U   Px   Px  0 x x x F f U   Py   Py  0 y y y

ISSN 2085-7829

produksinya adalah P  f ( x, y ) . Turunan pertama terhadap-x disebut produksi marginal yang besesuaian dengan x ditulis

P dan turunan x

pertama terhadap-y disebut produksi marginal yang besesuaian dengan y ditulis

Dari kedua persamaan diatas diperoleh ,

P . y

Dengan kata lain keseimbangan konsumsi akan terjadi jika hasil bagi antara utilitas marginal masing-masing barang terhadap harga barang masing-masing bernilai sama.

Keseimbangan produksi adalah suatu keadaan dimana kombinasi faktor-faktor produksi memberikan pencapaian produksi dengan biaya yang terendah (optimum). Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli faktor x dan y adalah M serta harga faktor x dan faktor y masing-masing Px dan Py maka persamaan tersebut ditulis M  xPx  yPy . Keseimbangan produksi dicari

Contoh-2: Fungsi utilitas untuk kedua komoditas

menggunakan metode pengganda Lagrange dengan fungsi Lagrange sebagai berikut:

 U   x Px

  U    =  y Py

  

U  x 2 y dan 3x  6 y  18 . Dari

F ( x, y,  )  f ( x, y )   ( xPx  yPy )

yang diberikan oleh fungsi

anggaran pengeluaran persamaan nilai x dan y yang memberikan kepuasan optimum : Penyelesaian : Fungsi Lagrange adalah :

Syarat supaya F ( x, y,  ) mencapai maksimum adalah:

F f P   Px   Px  0 x x x F f P   Py   Py  0 y y y

L( x, y,  )  x 2 y   (3x  6 y  18) Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim:

L  2 xy  3  0 x 2xy   ..............................(1) 3 L  x 2  6  0 y  

x2 ............................(2) 6

L  3 x  6 y  18  0 .....(3)  Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

Dari kedua persamaan diatas diperoleh,

 P   P       x  =  y  Px Py Dengan kata lain keseimbangan produksi akan tercapai jika hasil bagi antara produksi marginal masing-masing masukan terhadap harga masukan masing-masing bernilai sama. Contoh-3: Sebuah pabrik menghasilkan dua tipe mesin berat yakni x dan y. Fungsi produksinya adalah:

P ( x, y )  x 2  2 y 2  xy .

2

2 xy x x  atau 12 xy  3 x 2 atau y  . 3 6 4 x Subtitusi y  kepersamaan (3) 4  x diperoleh 3x  6   18 4 Jadi x=4 dan y=1 dengan nilai U=16.

Untuk meminimumkan biaya berapa banyak mesin dari tiap-tiap tipe harus diproduksi, apabila jumlah produksi mesin ini harus 8 buah. Penyelesaian : Fungsi Lagrange adalah :

L( x, y,  )  x 2  2 y 2  xy   ( x  y  8) Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim:

3. Produksi Marginal Parsial dan Keseimbangan Produksi Bentuk umum fungsi produksi adalah P  f ( x1 , x2 ,, xn ) . Pada pembahasan ini dimisalkan hanya diproduksi dua macam barang saja, misalkan x dan y sehingga fungsi Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

L  2x  y    0 x    2 x  y .......................(1) L  4y  x    0 y

32

Jurnal Eksponensial Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011

ISSN 2085-7829

   4 y  x .......................(2) L  x  y  8  0 .............(3)  Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

2 x  y  4 y  x atau 3x  5 y atau y 

3x . 5

3x ke persamaan (3) diperoleh : 5  3x  x  8  5 

Subtitusi y 

Jadi x=5 dan y=3 dengan nilai P(x,y)=28. V. Kesimpulan 1. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dalam bidang ekonomi. 2. Keseimbangan konsumsi akan terjadi jika hasil bagi antara utilitas marginal masingmasing barang terhadap harga barang masing-masing bernilai sama. 3. Keseimbangan produksi akan tercapai jika hasil bagi antara produksi marginal masingmasing masukan terhadap harga masukan masing-masing bernilai sama. Daftar Pustaka Aminudin. 2005. Prinsip-prinsip Riset Oprasi. Erlangga. Jakarta. Handali dan Pamuntjak.,1987. Kalkulus Perubah Banyak, Penerbit ITB Bandung. Luknanto, J. 2000. Pengantar Optimasi Nonlinier. Spiegel, Murray R. Pantur Silaban, 1999,.Kalkulus lanjutan, Penerbit Erlangga, Jakarta. Setya Budhi, Wono,. 1996. Diktat Kalkulus Peubah Banyak, Jurusan Matematika, FMIPA ITB, Bandung. http://staff.ui.ac.id/internal/131803524/ material/Bab_IV.Penggunaan Turunan.pdf . Diakses pada tanggal 19 juni 2011

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

33

Jurnal Eksponensial Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011

ISSN 2085-7829

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

34

ISSN 2085-7829

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

35

HALAMAN INI JANGAN DIPRINT

Jurnal Eksponensial Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011