Pendekatan Model Matematika
PENDEKATAN MODEL MATEMATIKA SATU DIMENSI PADA SALURAN PENGENDAP PASIR Oleh: Imam Suprayogi, Anton Ariyanto Abstract Sandtrap channels are usually found at rivers intake for irrigation purposes. These channel were made to settle sands and prevent them from entering the irrigation channel. As result, the water that enter the irrigation channel will be relatively clean (with small concentration). This objective of this research applying finite different method to solve water flow differential equation as the basis computer`s software construction using Borland Delphi 5 language for sand trap, testing model`s ability against field measurement result, also applying efficiency point and sediment simulation of sandtraps. The analysis of discharge data, flow velocity, water depth, and field measurement result data as basis for total load calculation using Engelund Hansen, Leo Van Rijn, and Enstein Brown formulation approach. The result is using as an input data for sandtrap`s one dimensional empirical model formulation , which was developed by Eysink Vermaas (1983). Form the result using steady state test at tertiary channel in Prambon, Sidoarjo, we conclude that relation beetwen field measurement and model`s discharge was logarithm transformation function. For mean grain diameter 0.00018 m, and sandtrap`s effective length 5 m, we could know the efficiency value (%) at the end of sandtraps, sediment load 99,999% , that the sediment that the enter the irrigation channel 0.00002 %. Keywords : mathematics model, sandtrap, sediment, eficiency
1. PENDAHULUAN Saluran pengendap pasir (sand trap) banyak dijumpai di bangunan pengambilan air dari sungai untuk kepentingan irigasi. Saluran dibuat dengan maksud untuk mengendapkan pasir agar tidak masuk ke saluran irigasi diharapkan air yang masuk ke saluran irigasi relatip bersih (dengan konsentrasi kecil). Karena fungsinya adalah sebagai saluran pengendap maka pada saluran ini kecepatan aliran di buat cukup rendah sehingga memungkinkan terjadinya pengendapan. Kemudian secara periodik endapan digelontor masuk kembali ke sungai. Untuk membuat aliran menjadi lebih lambat saluran diperlebar dan atau diperdalam (Bouvard, 1992). Studi model banyak digunakan untuk mendukung perencanaan bangunan air. Ada dua tipe model yaitu model matematika (mathematical modeling) dan model fisik (physical modeling). Model matematika digunakan apabila permasalahan yang ada Page 78
dapat dirumuskan secara matematis diselesaikan secara numeris dengan menggunakan bantuan komputer. Model fisik dapat digunakan apabila fenomena fisik di reproduksi dengan kesamaan yang cukup dengan memperkecil dimensi bangunan yang berbeda. Penelitian dapat dilakukan di laboratorium yang hasilnya berupa suatu formula atau grafik yang dapat dimanfaatkan untuk pemecahan masalah prototip ini juga dapat dipergunakan sebagai masukan di dalam pemakaian atau pengembangan suatu model matematis (Triatmodjo,1993). Dikatakan Triatmodjo (1993) bahwa model matematika merupakan penyelesaian numerik dari persamaan matematis yang menggambarkan fenomena alam yang berpengaruh. Model matematika dapat dikembangkan dalam model satu,dua dan tiga dimensi (1-D, 2-D, dan 3-D). Dalam model 1D permasalahan yang ada disederhanakan jika JURNAL APTEK Vol. 2 No. 1 Juli 2010
Pendekatan Model Matematika
perubahan variabel aliran dalam arah memanjang lebih dominan daripada arah lain. Model 2-D dapat dibedakan menjadi dua dimensi vertikal dan horisontal. Model dua dimensi vertikal (2-DV) jika variasi parameter dalam arah vertikal lebih penting sedang model dua dimensi horisontal (2-DH) jika variasi parameter dalam arah horisontal lebih penting. Masih dikatakan Triatmodjo (1993) apabila perubahan variabel dalam ketiga arah dianggap penting maka model tiga dimensi (3D). Konsekuensi pembuatan model dengan dimensi yang lebih tinggi mempunyai tingkat kesulitan yang lebih besar. Pengendapan sedimen di bangunan saluran pengendap pasir (sand trap) yang lurus tanpa belokan melibatkan paling tidak dua dimensi perubahan yaitu arah aliran dan arah vertikal. Salah satu model matematika yang telah dikembangkan adalah model dua dimensi horisontal (2-DH) dari suatu saluran pengendap pasir (sand trap). Ahli hidrolika Eysink dan Vermaas melakukan riset yang menghasilkan model satu dimensi (1-D) pada saluran pengendap pasir (sand trap) yang lebih terkenal disebut Formula Eysink Vermaas (1983). Berdasarkan identifikasi masalah tersebut diatas maka tujuan utama dari penelitian adalah menerapkan metode beda hingga (finite different method) perilaku dari
saluran pengendap pasir (sandtrap) menggunakan pendekatan model matematika satu dimensi (1-D) yang terdiri dari persamaan differensial aliran air, persamaan kontinuitas sedimen dan persamaan Eysink Vermaas (1983) serta menguji kemampuan model terhadap hasil pengukuran di lapangan. Saluran Pengendap Pasir (Sand Trap) Rumus Dasar dan Asumsi Desain model dan analisa yang dikembangkan oleh De Vries (1985) mempergunakan bilangan Froude (Fr) kurang dari 0.6 sampai 0.8. Nilai ini didapatkan dengan memperbandingkan perambatan yang disebabkan gangguan dasar dengan perambatan yang disebabkan aliran. Masih menurut Vries (1985) dari hasil penelitian menyimpulkan bahwa skala waktu pada perambatan gelombang aliran lebih pendek bila dibandingkan pada profil dasar memanjang. Aliran dapat dipertimbangkan kondisi quassy steady. Delft Hydraulic menurunkan perumusan dengan memperdalam saluran yang didasarkan gangguan pada kondisi alam dan perubahan relatip pada sedimen difusif vertikal. Eysink Vermaas (1983) menyelesaikan dengan cara numerik dan hasilnya untuk S(x) didapatkan perumusan sebagai berikut:
Ws < 0.3 – 0.4 u* B B x. S(x)= 0 .S 0 - 0 .S 0 S1 1 exp ...................................................................... (1) B1 a1 B1
Untuk
Disini besaran dengan indeks 0 menunjukkan dalam situasi aliran di hulu dari saluran pengendap. Besaran dengan indeks 1 adalah di dalam saluran pengendap.
2Ws Ws =0.015 1 u*1 u*1
Angkutan S0 adalah besarnya angkutan untuk x menuju ~
0.25 kn 1 4.1 .................................................................................... (2) a1
Untuk B1= B0 dan s1 < < < s1 kedua persamaan diatas dapat digabungkan menjadi s( x) = exp x = exp Ws x s ( 0) u a1 a1 Imam Suprayogi, Jurusan Teknik Sipil Fak. Teknik - Universitas Riau Anton Ariyanto, Jurusan Teknik Sipil - Universitas Pasir Pengaraian
~ s( x) = exp ' x s ( 0) u Dimana ' = ws
Page 79
Pendekatan Model Matematika
Dengan bantuan persamaan Strickler a C= 25 kn
a =0..24 1 kn
1 6
1 6
1 6 a 1 8 1 ws 1 4.1 a1 kn u kn
Maka penyelesaian persamaan diatas untuk Ws < 0.3 – 0.4 u* u c = u* g
0.25 ....................................................................
(3)
Dimana s1 adalah angkutan sedimen kondisi seimbang, s0 adalah perubahan terus menerus sedimen yang masuk ke sistem dalam satuan volume per waktu, kn adalah koefisien kekasaran Nikuradse (m), Ws adalah kecepatan mengendap (m/dt), B adalah lebar saluran pengendap pasir (m) dan u adalah kecepatan aliran (m/dt).
metode differensi hingga (finite difference methods) dengan pendekatan Metode Euler (Euler Method). Selanjutnya model sedimen yang dibangun dari dua rumus dasar yakni rumus kontinuitas sedimen dan rumus adaptasi konsentrasi yang dikembangkan oleh Eysink Vermaas ( Moerwanto, 1990).
Metode Penyelesaian Metode yang digunakan dalam penelitian ini guna menyelesaikan persamaan diferensial parsial dalam persoalan model matematika pada saluran pengendap pasir (sand trap) terdiri dari persamaan kontinuitas air, persamaan momentum pendekatan gelombang diffusi, persamaan kontinuitas sedimen dengan menggunakan metode differensi hingga (finite difference methods). Untuk persamaan model gerak air yang terdiri dari persamaan kontinuitas air dan persamaan momentum menggunakan pendekatan gelombang diffusi (Abbot,1980; Cunge,1980; Wignyosoekarto, 1986)
Persamaan Adaptasi Konsentrasi Eysink Vermaas (1983)
Persamaan Kontinuitas Air a q + = 0 ................................................ (4) t x
Persamaan momentum gelombang diffusi a x
+
QQ z + 2 2 x c Aa
pendekatan
= 0 ........................... (5)
S(x)= B0 .S0B1
x. ....... B0 .S 0 S1 1 exp a1 B1
(6)
Persamaan Kontinuitas Sedimen Z b S + = 0 ............................................ (7) t x
Persamaan (6) dan (7) diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga (finite difference methods) dalam bentuk integrasi. Persamaan adaptasi konsentrasi Eysink Vermaas (1983) dapat dihitung jika kondisi bidang aliran (u,a), tinggi kekasaran Nikuradse ekuivalen (kn) dan kondisi keseimbangan angkutan sedimen diketahui. Keseimbangan angkutan sedimen pada penelitian ini menggunakan tiga perumusan yaitu formula Engelund Hansen, Leo Van Rijn, dan Enstein Brown (Breuser, 1988). Untuk selanjutnya diskripsi gerak sedimen di saluran pengendap pasir (sand trap) yang disajikan seperti pada Gambar.1 di bawah ini:
Menurut Moerwanto (1990) bentuk persamaan differensial parsial persamaan (4) dan (5) dapat diselesaikan menggunakan Page 80
JURNAL APTEK Vol. 2 No. 1 Juli 2010
Pendekatan Model Matematika
Ej =
S0 S j
x 100% ................................. (9) Sj dimana j = 1,2,3........j S0
SL
H Z¯ L
Gambar.1. Diskripsi Gerak Sedimen Di Saluran Pengendap Pasir (Sand Trap) Dengan mengintegrasikan dari persamaan kontinuitas sedimen yang disajikan pada persamaan 7 di atas, maka akan didapatkan hasil sebagai berikut : L
0
L s z .dx + .dx = 0 0 x t
L L z dx + s dx = 0 t 0 x 0
z.x 0L + S.x 0L = 0 t x zL + S(L–0) =0 t x
z L + ( -S 0 + S L ) = 0 t z ( S0 S L ) = ............................... (8) L t
Formula Nilai Effisiensi sebagai Fungsi Jarak ( E j ) Menurut De Vries (1985) mendefinisikan nilai efisiensi dari saluran pengendap pasir (sand trap) adalah hasil bagi nilai angkutan sedimen total yang ditinjau dibagi dengan nilai angkutan sedimen total awal (sebelum masuk saluran pegendap pasir atau (sand trap) sebagai fungsi jarak. Atau secara matematis dapat diformulasikan seperti pada persamaan 10 di bawah ini: Imam Suprayogi, Jurusan Teknik Sipil Fak. Teknik - Universitas Riau Anton Ariyanto, Jurusan Teknik Sipil - Universitas Pasir Pengaraian
2. METODE PENELITIAN Lokasi Penelitian Penelitian dilakukan di Saluran Tersier Prambon (Pr.8.Ki.3), Sidoarjo dan pengujian diameter butiran di lakukan di Laboratorium Keairan dan Teknik Pantai Jurusan Teknik Sipil Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya. Kebutuhan Data Primer Penelitian Kebutuhan data primer di Saluran Tersier Prambon (Pr.8.Ki.3), Sidoarjo meliputi: lebar saluran tersier (B), kemiringan dasar saluran (I0), nilai koefisien kekasaran Manning (n) ditinjau pada kondisi eksisting saluran (Chow,1988), kedalaman air (h), dan kecepatan aliran (V) dan sampel sedimen untuk diuji di laboratorium. Penerapan Kondisi Awal dan Kondisi Batas pada Saluran Pengendap Pasir (Sand trap) Menurut Moerwanto (1990) penerapan kondisi awal (initial condition) dan kondisi batas (boundary condition) adalah sebagai berikut : Kondisi Batas Awal Kondisi geometri dari saluran pengendap pasir (sand trap) lebar saluran ( B ( x , 0 ) ) dan elevasi dasar saluran (Z ( x , 0 ) ). Kondisi Batas Hulu Debit pengambilan Q (0,t ) sedimen yang masuk C
( 0 ,t )
dan konsentrasi .
Kondisi Batas Hilir Elevasi air pada bagian akhir dari saluran pengendap pasir. Kondisi Batas Internal Z ( x ,t ) Z ( x ,t ) S ( xx,t )
S
( x ,t )
3. ANALISA DAN PEMBAHASAN
Page 81
Pendekatan Model Matematika
Data-data hasil pengukuran di Saluran Tersier Prambon (Pr.8.Ki.3), oleh Suprayogi (2002) di dapat hasil pengukuran sebagai berikut: Lebar saluaran (B) Kemiringan dasar saluran (I 0 ) Koefisien kekasaran Manning (n)
: 2.84 m : 0.0003 : 0.03
Pada tanggal 2 Juni 2002 dilakukan pengambilan sampel sedimen di hilir saluran tersier Prambon, yang untuk selanjutnya dilakukan pengujian Grain Size Analysis di Laboratorium Keairan dan Teknik Pantai Jurusan Teknik Sipil Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya. Berdasarkan hasil pengujian Grain Size Analysis menunjukkan bahwa diameter butiran rata-rata (drata-rata) di hilir Saluran Tersier Prambon (Pr.8.Ki.3) adalah sebesar 0.00018 m. Masih bersumber dari hasil penelitian yang dilakukan oleh Kustini (2002) di bangunan alat ukur tipe Faiyum pada peilscaal 0.510 diperoleh nilai pembacaan sebagai berikut: Kedalaman air di saluran (h) : 0.327 m Debit saluran irigasi (Q) : 0.250 m3/dt Kecepatan aliran (v) : 0.300 m/dt Uji
Model Hidrodinamika Menurut Moerwanto, dkk (1988) salah satu pengujian keandalan kerja dari model adalah dengan steady state model. Pengkondisian mempergunakan steady state model mempertimbangkan berbagai hal a. Kemiringan dasar saluran cukup kecil (small bed slope) b. Debit konstan pada kedua kondisi batas, baik di hulu saluran (upstream condition) maupun hilir saluran (downstream condition) c. Distribusi angkutan sedimen dari hulu saluran (upstream condition) adalah konstan. Dari hasil perhitungan persamaan kontinuitas air dan persamaan momentum gelombang difusif menggunakan pendekatan metode differensi hingga (finite difference methods) dengan pendekatan Metode Euler (Euler Method) menggunakan Program bantu Page 82
Borland Delphi 5 memberikan hasil cukup baik. Hal ini ditandai galat (error) dari nilai perkiraan (predictotion step) dan nilai eksak (correction step) mendekati galat nol. Salah satu persyaratan penggunaan perumusan Eysink Vermaas satu dimensi dapat dihitung jika kondisi bidang aliran (u,a), tinggi kekasaran Nikuradse ekuivalen (k n ) dan kondisi keseimbangan angkutan sedimen diketahui. Keseimbangan angkutan sedimen pada penelitian ini menggunakan tiga perumusan yaitu formula Engelund - Hansen, Leo Van Rijn, dan Enstein- Brown (Breuser, 1988). Aplikasi Hasil dari Model Matematika Satu Dimensi Pada Saluran Pengendap Pasir Menggunakan Program Bantu Borland Delphi Dengan menggunakan Program bantu Borland Delphi 5 yang dikembangkan oleh peneliti dengan Laboratorium Komputasi Sekolah Tinggi Ilmu Komputer (STIKOM), Surabaya maka akan didapat hasil seperti yang disajikan seperti pada Tabel 1 dibawah ini: Tabel 1. Hasil Perhitungan Angkutan Sedimen Untuk Berbagai Formula Dengan Diameter Butiran 0.000018 m No
Formula Angkutan Sedimen Total
1 Engelund Hansen 2 Van Rijn 3 Enstein – Brown Sumber : Hasil Perhitungan
Nilai Angkutan Sedimen Total (m3/dt) 2.2915. 10 6 3.0053. 10 5 1.3345. 10 5
Perhitungan Nilai Angkutan Sedimen Total terhadap Fungsi Jarak Data-data pendukung perhitungan model matematika satu dimensi dari Eysink Vermaas (1983) Diameter butiran rata-rata (D) = 0.000018 m Kedalaman air rata-rata (h) = 0.3307 m Kerapatan relatip ( ) = 1.65 m3/ dt Gaya gravitasi (g) = 10-6 m/dt2 Kecepatan Aliran (u) = 0.24 m Menghitung Nilai Kecepatan Jatuh Partikel (W) JURNAL APTEK Vol. 2 No. 1 Juli 2010
Pendekatan Model Matematika
1 gD 2 . = 18 1 1.65.9.8.(0.000018) 2 W= . =0.5239 m/dt 18 106
W=
a j =0.24 1 kn
1 6
Menghitung Nilai 1 Formula Eysink Vermaas (1983)
1 6 a 1 8 1 ws 1 4.1 a1 kn u kn
0.25
Untuk j = 1,2,3,...n Dicoba j = 1 0.330798 1 =0.24 0.15
1 = 54.6423 Menghitung Untuk S j
Nilai
1 6
1 6 0.5239 0 . 330798 1 8 0.15 0.234.
Angkutan
Sedimen
( J 1)X S j = S 0 exp hj
Perubahan jarak ( x ) dengan nilai sebesar 0.5 m dan untuk j =1,2,3…………n Dicoba j = 1 54.6423.(1 1).0.5 S 1 = S 0 exp 0.330798
Dengan mengacu hasil perhitungan nilai angkutan sedimen S0 dengan diameter butiran 0.000018 m seperti yang disajikan dalam Tabel 1 tersebut di atas, maka untuk nilai S1 untuk berbagai formula akan didapatkan hasil sebagai berikut:
0.330798 1 4.1 0.15
0.25
Formula Enstein Brown S0= 1.3345.10-5m3/dt maka di dapat S1= 1.335 .10-5m3/dt Selanjutnya S0 sebagai variasi masukan (input) ke program bantu Borland Delphi 5 sehingga akan didapat hasil seperti yang disajikan seperti pada Gambar 3 dan Gambar 4 di bawah ini. Data-data masukan perhitungan dari perumusan Eysink Vermaas (1983): Nilai Perubahan nilai jarak ( x ) = 0.5 m Panjang saluran (L) = 5.00 m Hasil Analisa sedimen menggunakan formula Engelund–Hansen (S0) adalah sebesar 2.2915.10-6m3/dt
Formula Engelund Hansen S0= 2.2915.10-6m3/dt maka di dapat S1 = 2.292.10-6m3/dt Formula Leo Van Rijn S0= 3.005.10-5 m3/dt maka di dapat S1 = 3.005.10-5m3/dt Imam Suprayogi, Jurusan Teknik Sipil Fak. Teknik - Universitas Riau Anton Ariyanto, Jurusan Teknik Sipil - Universitas Pasir Pengaraian
Gambar 3. Grafik Hubungan Perubahan Nilai Angkutan Sedimen Sebagai Fungsi Jarak Yang Masuk Ke Saluran Pengendap Pasir (Sand Trap) Page 83
Pendekatan Model Matematika
Gambar 4. Grafik Hubungan Perubahan Prosentase (%) Nilai Angkutan Sedimen Sebagai Fungsi Jarak Yang Masuk Ke Saluran Pengendap pasir (Sand Trap) Untuk Kondisi Mengendap Dan Melayang. 4.
KESIMPULAN Berdasarkan analisa dan pembahasan di atas, maka dapat ditarik suatu kesimpulan bahwa model matematika satu dimensi yang terdiri dari persamaan aliran, persamaan momentum gelombang difusif, persamaan kontinuitas sedimen dan rumus adaptasi konsentrasi menggunakan pendekatan integrasi yang di kembangkan Eysink Vermaas (1983) bisa menggambarkan fenomena perilaku saluran pengendap pasir (sand trap) pada Saluran Tersier Prambon, Sidoarjo. Saran- Saran a. Model perlu di ujicobakan pada saluran sekunder sebagai bahan pembanding pengambilan keputusan perencanaan desain saluran pengendap pasir (sand trap) dengan mempertimbangan karakter dan perilaku dari model. b. Mempertimbangan karakter dan perilaku dari model saluran pengendap pasir (sand trap) adalah model dua dimensi horisontal (2- DH) dengan variasi dalam arah horisontal lebih penting ,adanya penelitian berkelanjutan guna pengembangan studi model sehingga bisa memberikan diskripsi hasil yang lebih realistis. Ucapan Terima Kasih Penulis menghaturkan terima kasih kepada Ir.Anggrahini, MSc, Dr.Ir.L.F. Piter Bentura, CES, DEA dan Dr. Ir. Wasis Wardoyo, Dipl HE, MSc dari Jurusan Teknik Page 84
Sipil Bidang Keahlian Manajemen dan Rekayasa Sumber Air (MRSA) Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya atas segala saran seta masukan guna kesempurnaan dalam penulisan ini. Rangsang Purnama, SKom, MKom selaku Ketua Laboratorium Komputasi dari Sekolah Tinggi Ilmu Komputer (STIKOM), Surabaya atas bimbingan untuk penyelesaian program bantu menggunakan Borland Delphi . DAFTAR PUSTAKA Abbot,M.B.1980. Computational Hydraulic Elements of The Theory of Free Surface Flow. London : Pitman Advance Publishing Program. Bouvard,M.1992. Mobile Barrage and Intake on Sediment Transporting Rivers, Rotterdam : AA Balkema. Breusers,H.N.C.1988. Lectures Notes on Sediment Transporting, Delft : Delft Hydraulic Laboratory. Cunge, J.A, Holly, F.M, & Verwey, A . 1980. Practical Aspects of Computational River Hydraulics, London : Pitman Advanced Publishing Program. Chow, V.T. 1988. Hidrolika Saluran Terbuka. Jakarta : Penerbit Erlangga. Moerwanto, A.S.1990. On Optimisation of Sediment Exclusion Measures at Intakes, Netherlands : MSc Thesis IHE Delft. Moerwanto, A.S, & Wardoyo, W. 1988. Mathematical Modelling on Morphological Changes, Netherlands : IHE Delft. Suprayogi, I.2002. Model Matematika Satu Dimensi Pada Saluran Pengendap Pasir (Sand Trap). Surabaya : Tesis Master, Jurusan Teknik Sipil, Bidang Keahlian Manajemen dan Rekayasa Sumber Air (MRSA), Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS). Triatmodjo, B.1992, Hidrolika II, Jogyakarta : Beta Offset. Triatmodjo, B.1992, Metode Numerik, Jogyakarta : Beta Offset. Kustini, I.2002, Pengaruh Sedimentasi di Saluran Pengarah Bangunan Ukur Type Faiyum Terhadap Pengukuran Ketelitian Debit, Tesis Master, Jurusan Teknik Sipil Bidang Keahlian Manajemen dan Rekayasa JURNAL APTEK Vol. 2 No. 1 Juli 2010
Pendekatan Model Matematika
Sumber Air (MRSA), Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya. Vries, D.1985, Riverien, Netherland : TH Delft.
Imam Suprayogi, Jurusan Teknik Sipil Fak. Teknik - Universitas Riau Anton Ariyanto, Jurusan Teknik Sipil - Universitas Pasir Pengaraian
Wignyosukarto, B. 1986, Hidraulika Numerik, Jogyakarta : Pusat Antar Universitas Ilmu Teknik (PAU-IT) Universitas Gadjah Mada.
Page 85
