PEMODELAN SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (STAR) PADA KURS THAI BATH TERHADAP RUPIAH RAHMA NUR CAHYANI

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PEMODELAN SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (STAR) PADA KURS THAI BATH TERHADAP RUPIAH

oleh

RAHMA NUR CAHYANI M0105059

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2010 commit to user i


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK Rahma Nur Cahyani, 2010. PEMODELAN SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (STAR) PADA KURS THAI BATH TERHADAP RUPIAH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret Runtun waktu finansial dan perekonomian suatu negara, termasuk kurs mempunyai kecenderungan nonlinier sehingga diperlukan suatu uji nonlinieritas. Jika asumsi nonlinier dipenuhi maka diperlukan model yang nonlinier untuk memodelkan runtun waktu tersebut. Runtun waktu nonlinier dapat dimodelkan menggunakan model Smooth Transition Autoregressive (STAR). Terdapat dua tipe model STAR, yaitu Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR). Tujuan skripsi ini adalah menentukan model runtun waktu nonlinier yang sesuai untuk kurs thai bath terhadap rupiah kemudian menggunakan model tersebut untuk meramalkan kurs dolar thai bath terhadap rupiah pada satu periode ke depan. Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi kasus. Data yang digunakan adalah kurs thai bath terhadap rupiah periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 sebagai in-sample dan periode 12 April 2010 sampai 9 Juli 2010 sebagai out-of sample. Hasil pemodelan nonlinier yang diperoleh adalah model LSTAR (2,2). Berdasarkan nilai standar deviasi dan Akaike Info Criterion (AIC) pada pembentukan model data in-sample, model LSTAR (2,2) berhasil memodelkan kenonlinearan runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah dengan cukup baik. Akan tetapi berdasarkan mean squared error (MSE) dan mean percentage error (MAPE), evaluasi peramalan pada out-of sample menunjukkan bahwa hasil ramalan model LSTAR (2,2) kurang akurat. Kata kunci : runtun waktu, nonlinearitas, STAR.

commit to user ii


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT Rahma Nur Cahyani, 2010. SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (STAR) MODELLING IN THAI BATH EXCHANGE RATE OF THAILAND TO THE INDONESIAN RUPIAH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University During the past years investigators have found evidence indicating that financial and economic time series, such as exchange rate may be nonlinear. In this final project it is assumed that the time series is nonlinear, then it can be adequately described by a Smooth Transition Autoregressive (STAR) model. The STAR-type nonlinearities are Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) and Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR). The purpose of this final project is to determine nonlinear time series model that appropriate for thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah and then use the model to forecast the thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah in one period to the future. The method applied in this final project is case study. Data applied for modelling this nonlinear time series is thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah between 1 Januari 2005 to 9 April 2010 periods as in-sample and 12 April 2010 to 9 July 2010 as out-of sample. The result of modelling nonlinearity is LSTAR (2,2) model. Based on the value of standarized deviation and Akaike Info Criterion (AIC), the model described the nonlinearity of thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah succesfully. Nevertheless, forecast evaluation to the out-of sample showed less forecast accuracy. Key words: time series, nonlinearity, STAR.

commit to user iii


digilib.uns.ac.id

MOTO

“… dan tiada sehelai daun pun yang gugur melainkan Dia mengetahuinya (pula)....” (Al-An’aam: 59)

”Aku sesuai dengan prasangka hambaKu kepadaKu, maka Berprasangkalah ia kepadaKu sesukanya.” (Hadist Qudsi)

commit to user iv


digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk: ♥ Orang tuaku tercinta Yang selalu melimpahkan kasih sayang, mendidik, mendoakan, dan memberikan dukungan. Terima kasih untuk semuanya.

♥ Kakak dan adikku tersayang Yang selalu memberikan kebahagiaan, keceriaan, dan semangat. Kalian membuat hariku lebih berwarna.

♥ Sahabat-sahabatku Untuk setiap waktu, semangat, dukungan, dan perhatian kalian. Tetaplah menjadi sahabat-sahabat terbaikku.

commit to user v


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Bismillahirohmanirrohim. Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan skripsi ini banyak pihak yang telah membantu. Untuk itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada 1. Drs. Sugiyanto, M.Si., sebagai Pembimbing I yang telah dengan sabar dan teliti memberikan bimbingan dalam penulisan skripsi ini. 2. Supriyadi Wibowo, M.Si., sebagai Pembimbing II yang telah dengan sabar dan teliti memberikan bimbingan dalam penulisan skripsi ini. 3. Winita Sulandari, M.Si., selaku pembimbing akademik yang dengan sabar membimbing dan memotivasi penulis. 4. Bapak dan ibu, atas doa, dukungan, kasih sayang, perhatian, dan pengorbanan yang diberikan selama ini. 5. Kakak dan adikku, atas keceriaan yang diberikan, kalian membuat hariku lebih berwarna. 6. Sahabat-sahabatku, untuk setiap waktu, semangat, dukungan, dan perhatian kalian. 7. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi seluruh pembaca. Surakarta, Juli 2010

Penulis

commit to user vi


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ………………………………………………………....

i

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………..

ii

ABSTRAK………………………………………………………………….....

iii

ABSTRACT…………………………………………………………………...

iv

MOTO…………………………………………………………………………

v

PERSEMBAHAN…………………………………………………………….

vi

KATA PENGANTAR ……………………………………………………......

vii

DAFTAR ISI ………………………………………………………………….

viii

DAFTAR GAMBAR..………………………………………………………..

x

DAFTAR TABEL….………………………………………………………….

xi

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL…………………………………………...

xii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang……………….…………………………….………… 1 1.2 Perumusan Masalah………………………………..……………….... 2 1.3 Batasan Masalah……………………………………..……………….

2

1.4 Tujuan Penelitian…………………………………..………………… 2 1.5 Manfaat………………………………….………………..………….. 3 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka……………………………………………………. 2.1.1

Return………………...………………………………………..

2.1.2

Stasioneritas Proses Autoregresif Linear ……………………… 4

2.1.3

Estimasi Parameter AR Linear…………………………………

2.1.4

Model Smooth Transition Autoregressive (STAR) …..……..… 9

2.1.5

Uji Nonlinearitas……………………………………………….. 11

2.1.6

Pemilihan Variabel Transisi…………..……………………….. commit to user vii

4 4

7

14


digilib.uns.ac.id

2.1.7

Pemilihan Fungsi Transisi……………………….……………..

2.1.8

Estimasi Parameter Model STAR……………………………… 14

2.1.9

Pemeriksaan diagnostik………………………………...………

17

2.1.10 Kriteria Pemilihan Model………………………………………

19

2.1.11 Peramalan………………………………………………………

19

2.1.12 Evaluasi Hasil Peramalan………………………………………

20

2.2 Kerangka Pemikiran……….………………………………………...

21

BAB III METODE PENELITIAN……….……………………………………

22

14

BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Data………………………………………………………

23

4.2 Stasioneritas Data…………….………………………………………

24

4.3 Identifikasi Model AR LInear………………..………………………

24

4.4 Estimasi dan Evaluasi Model AR Linear……..……………………...

25

4.5 Uji Nonlinearitas………………………...…………………………… 27 4.6 Identifikasi Model STAR…………………………………………….

27

4.7 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR (2,1) …………………………

29

4.8 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR (2,2).…………………………

31

4.8.1

Uji Autokorelasi Residu…………………………………..…..

4.8.2

Uji Efek Heteroskedastisitas……...…………………………... 33

4.8.3

Distribusi Residu……………………………….……………..

32

34

4.9 Peramalan dan Evaluasi………………...…………………….……… 35 BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan…………………………………..………………….…… 38 5.2 Saran……………………………………………………….…………

38

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………..…………… 39 LAMPIRAN……………………………………………………………………

commit to user viii

40


digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 4.1

Plot Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010………………………………………………………..… 23

Gambar 4.2

Plot Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010………………...……………….…………

Gambar 4.3

24

Plot ACF dan PACF Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010…………….…...……… 25

Gambar 4.4

Plot Log Return, Hasil Estimasi, dan Residu Model LSTAR (2,2) …. 32

Gambar 4.5

Histogram dan Ringkasan Statistik Residu Model LSTAR (2,2) …… 34

commit to user ix


digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1

Halaman Ringkasan Statistik Data Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010…………………………………..

Tabel 4.2

23

Hasil Estimasi Model AR(2) Tanpa Konstanta pada Data Log Return…………………………………………….……….………… 26

Tabel 4.3

Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu Model AR(2)…… 26

Tabel 4.4

Uji Nonlinearitas pada Data Log Return ……………………...……

Tabel 4.5

Model Regresi Bantu dengan Variabel Transisi X t −1 pada Uji

27

Nonlinearitas pada Data Log Return……………………….……….

28

Tabel 4.6

Hasil Estimasi Model LSTAR (2,1) ……………………….……….

29

Tabel 4.7

Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR (2,1) …...

30

Tabel 4.8

Model Regresi Bantu dengan Variabel Transisi X t −2 pada Uji Nonlinearitas pada Data Log Return…………………………..……

31

Tabel 4.9

Hasil Estimasi Model LSTAR (2,2)……………………..………….

31

Tabel 4.10

Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR (2,2) …...

33

Tabel 4.11

Uji Lagrange Multiplier sampai lag-1 untuk Residu Model LSTAR (2,2) ………………………………………………………………… 34

Tabel 4.12

Evaluasi Peramalan Model LSTAR (2,2) dan AR (2)………………

commit to user x

37


digilib.uns.ac.id

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

Xt

:

log return pada waktu t

T

:

jumlah observasi

:

harga harapan

γk

:

autokovariansi pada lag-k

ck

:

estimasi autokovariansi pada lag-k

ρk

:

autokorelasi pada lag-k

rk

:

estimasi autokorelasi pada lag-k

φ kk

:

autokorelasi parsial pada lag-k

φˆk

:

estimator autokorelasi parsial pada lag-k

B

:

operator Backward Shift

φ

:

parameter autoregresif

θ

:

parameter STAR

φˆ

:

estimasi parameter autoregresif

θˆ p

:

estimasi parameter STAR

:

order parameter autoregresif

µ

:

rata-rata

σ2

:

variansi

SSR*

:

jumlah kuadrat residu

R2

:

koefisien determinasi

εt

:

residu model autoregresif pada waktu t

{ε t }

:

deret white noise

Ωt

:

himpunan semua informasi X t pada saat sampai di waktu t

γ

:

parameter slope pada STAR

E(

)

commit to user xi


digilib.uns.ac.id

c

:

parameter lokasi pada STAR

X t −d

:

variable transisi pada STAR

d

:

delay

G (γ , c, X t −e )

:

fungsi transisi

R• (γ , c, X t − d )

:

fungsi remainder

T• (γ , c, X t − d )

:

pendekatan Taylor untuk fungsi transisi

Xˆ

:

estimasi log return

β

:

parameter regresi bantu

e

:

residu model regresi bantu

b

:

estimasi parameter regresi bantu

r

:

jumlah observasi out-of sample

E (X t +h Ω t )

:

harga harapan bersyarat dari X t + h diberikan Ω t

D(

:

turunan pertama

l

:

fungsi log likelihood

χ2

:

statistik uji Breusch-Godfrey

M

:

jumlah parameter

n

:

jumlah rasidu

ξ*

:

statistik uji Lagrange Multiplier

χ p2

:

distribusi Chi-Squared dengan derajat bebas p

)

commit to user xii


digilib.uns.ac.id 1

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Globalisasi dalam bidang ekonomi menyebabkan berkembangnya sistem perekonomian dan perdagangan ke arah yang lebih terbuka antar negara. Hal ini membawa suatu dampak ekonomis terjadinya perdagangan internasional antar negara-negara di dunia. Perbedaan mata uang yang digunakan oleh negara-negara yang bersangkutan baik negara pengekspor maupun pengimpor menimbulkan suatu perbedaan nilai tukar mata uang (kurs). Perubahan nilai tukar disebut fluktuasi nilai tukar, dengan adanya perbedaan nilai tukar ini memberikan kesempatan bagi pihak-pihak tertentu untuk mengambil keuntungan. Kurs juga dapat dijadikan alat untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara. Mata uang Thailand (thai bath) dianggap sebagai salah satu mata uang regional yang mempengaruhi perekonomian Asia. Krisis ekonomi yang terjadi di kawasan Asia, termasuk Indonesia pada tahun 1997 berawal dari devaluasi nilai thai bath (www.wikipedia.com). Mengingat besarnya dampak dari fluktuasi kurs terhadap perekonomian maka diperlukan suatu manajemen kurs yang baik. Fluktuasi dapat diprediksi menggunakan analisis runtun waktu finansial karena deretan observasi dari variabel random kurs thai bath terhadap rupiah dapat dinyatakan sebagai data runtun waktu. Dalam analisis runtun waktu, nilai masa kini dipengaruhi oleh nilai sejenis di masa lalu. Jika hanya nilai data masa lalu yang berpengaruh maka proses yang terjadi dinamakan proses autoregresif. Dengan metode Box-Jenkins dapat disusun model autoregresif untuk proses tersebut. Model yang dihasilkan dalam metode ini adalah model-model linear, sementara tidak semua runtun waktu finansial adalah linear (Tsay, 2002). Menurut Derek (2007), kurs termasuk runtun waktu finansial yang memiliki kecenderungan nonlinear. Jika uji nonlinearitas menunjukkan bahwa asumsi nonlinearitas dipenuhi maka kurang sesuai jika digunakan model linear konvensional seperti metode Box-Jenkins. Oleh karena itu, diperlukan model baru yang nonlinear terhadap data tersebut. Model Smooth

commit to user


digilib.uns.ac.id 2

Transition Autoregressive (STAR) merupakan model nonlinear yang sesuai untuk pemodelan kurs (Derek, 2007). Model STAR terbagi menjadi model Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR). Sejak adanya artikel dari Terasvirta dan Anderson (1992) dan Terasvirta (1994), model STAR telah menjadi pemodelan nonlinear yang populer dalam terapan bidang ekonomi modern. Model STAR telah diterapkan dalam pemodelan dinamik dari berbagai macam runtun waktu finansial dan ekonomi, seperti produksi industri oleh Terasvirta dan Anderson (1992), suku bunga oleh Van Dijk dan Franses (2000), nilai tukar mata uang oleh Taylor, Peel, dan Sarno (2001), dan tingkat pengangguran oleh Skalin dan Terasvirta (2002). Oleh karena itu, pada penelitian ini akan diterapkan pemodelan STAR pada kurs thai bath terhadap rupiah. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang, masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah 1. bagaimana model kurs thai bath terhadap rupiah menggunakan model STAR, 2. bagaimana ramalan kurs thai bath terhadap rupiah pada periode selanjutnya menggunakan model STAR. 1.3 Batasan Masalah Peramalan dalam penelitian ini dibatasi hanya pada ramalan untuk satu periode selanjutnya. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan yang akan dicapai dalam penelitian ini adalah 1. menentukan model yang sesuai untuk kurs thai bath terhadap rupiah menggunakan model STAR, 2. menentukan ramalan kurs thai bath terhadap rupiah pada periode selanjutnya dengan menggunakan model STAR.

commit to user


digilib.uns.ac.id 3

1.5 Manfaat Manfaat yang dapat diperoleh adalah 1.

mengetahui lebih mendalam tentang penerapan model STAR sebagai salah satu model alternatif nonlinear dalam runtun waktu finansial,

2.

mendapatkan informasi tentang hasil ramalan kurs thai bath terhadap rupiah pada satu periode selanjutnya.

commit to user


digilib.uns.ac.id 4

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka Untuk mencapai tujuan penulisan skripsi, diperlukan beberapa pengertian dan teori yang relevan dengan pembahasan yang akan dilakukan. Oleh karena itu pada sub bab ini akan disajikan beberapa teori yang berhubungan dengan pembahasan. 2.1.1 Return Sebagian

besar

studi

mengenai

ekonomi

dan

finansial

lebih

menitikberatkan pada return daripada nilai sebenarnya. Hal ini disebabkan karena untuk data finansial, yang menjadi pusat perhatian adalah fluktuasi harga yang terjadi. Pendekatan untuk fluktuasi harga adalah perubahan relatif atau return yang sering didefinisikan sebagai log return. Menurut Tsay (2002), log return dirumuskan sebagai X t = ln

Pt , Pt −1

dengan Pt adalah observasi pada waktu t. 2.1.2 Stasioneritas Proses Autoregresif (AR) Linear Menurut Box dan Jenkins (1976), data runtun waktu adalah himpunan observasi yang terurut terhadap dimensi waktu. Observasi pada waktu t dapat dituliskan sebagai Pt . Barisan T observasi runtun waktu dapat dinyatakan dengan

P1 , P2 , P3 ,..., PT . Menurut Tsay (2002), apabila suatu log return diperlakukan

sebagai kumpulan dari variabel random terhadap waktu t , maka terdapat runtun waktu {Pt }. Pola stasioner terjadi jika data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata konstan, data runtun waktu seperti ini adalah stasioner terhadap nilai rata-ratanya (Makridakis dkk, 1995).

commit to user


digilib.uns.ac.id 5

Autocorrelation Function (ACF)

Kovariansi antara observasi pada saat t yaitu X t , dengan observasi pada saat t + k yaitu X t + k , didefinisikan sebagai

γ k = cov( X t , X t + k ) = E[( X t − µ )( X t + k − µ )] , yang diestimasi oleh

( )∑

ck = 1 T

k

t =1

( X t − µ )( X t +k − µ ),

k = 0, 1, 2 , ..., K

dengan k adalah nilai lag. Autokorelasi antara X t dengan X t + k didefinisikan sebagai cov( X t , X t + k )

ρk =

var( X t ) var( X t + k )

.

Karena var( X t ) = var( X t + k ), maka

ρk =

E [( X t − µ )( X t + k − µ )] γ k . = var( X t ) γ0

Autokorelasi antara X t dengan X t + k diestimasi oleh

∑ =

T

ρˆ k

(X − X )(X ∑ (X − X )

t +k

t

t = k +1

T

t =1

2

−X)

, k = 0,1,2,..., K ,

t

dengan X t adalah observasi dari suatu runtun waktu pada waktu t dan X adalah rata-rata dari deret runtun waktu. Himpunan dari ρ k ,

{ρ k ; k = 1,2,...}

untuk

berbagai lag k disebut Autocorrelation Function (ACF) (Wei, 1990). Menurut Pankratz (1983), jika suatu runtun waktu dengan rata-rata stasioner maka estimasi nilai dari ACF turun secara cepat mendekati nol dengan semakin bertambahnya lag, tetapi jika rata-ratanya tidak stasioner maka estimasi nilai dari ACF turun secara perlahan mendekati nol. Partial Autocorrelation Function (PACF)

Autokorelasi parsial pada lag k dapat dipandang sebagai korelasi antara observasi X t dan X t + k setelah menghilangkan hubungan dari X t +1 , X t + 2 ,..., X t + k −1 (Wei, 1990).

commit to user


digilib.uns.ac.id 6

Autokorelasi parsial dari {X t } pada lag k didefinisikan sebagai 1

ρ1

ρ1

1

ρ2 ρ1

M

φ kk =

ρ k −1 ρ k −2 1 ρ1 ρ1 1 M

ρ k −1 ρ k −2

K ρ k −2 K ρ k −3

ρ k − 3 K ρ1 ρ 2 K ρ k −2 ρ1 K ρ k −3 ρ k −3 K

ρ1

ρ1 ρ2 M

ρk . ρ k −1 ρ k −2 M 1

Himpunan dari φ kk , {φ kk ; k = 1,2,...} , disebut sebagai Partial Autocorrelation Function (PACF). Fungsi φ kk menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial antara observasi X t dan X t + k dalam analisis runtun waktu. Fungsi φ kk akan bernilai nol untuk lag k > p. Sifat ini dapat digunakan untuk identifikasi model AR, yakni pada model autoregresif berlaku ACF akan meluruh secara eksponensial menuju nol sedangkan nilai PACF φ kk = 0, k > p (Wei, 1990). Proses White Noise

Proses {ε t } dikatakan White Noise dengan rata-rata nol dan variansi σ 2 dapat ditulis ε t ~ WN (0, σ 2 ) jika dan hanya jika mempunyai mean nol dan fungsi autokovariansi ⎧σ 2 , jika k = 0 γk = ⎨ ⎩ 0, jika k ≠ 0,

fungsi autokorelasi

⎧ 1, jika k = 0 ⎩0, jika k ≠ 0,

ρk = ⎨ dan fungsi autokorelasi parsial

⎧ 1, jika k = 0 ⎩0, jika k ≠ 0.

φ kk = ⎨

Menurut definisi di atas, suatu proses {ε t } disebut White Noise jika proses tersebut merupakan variabel random yang tidak berkorelasi dari suatu distribusi

commit to user


digilib.uns.ac.id 7

tertentu dengan mean konstan E (ε t ) = µ biasanya diasumsikan nol, variansi σ 2 , dan γ (k ) = Cov(ε t , ε t + k ) = 0 untuk setiap k ≠ 0 (Wei, 1990). Proses Autoregresif Orde p

Menurut Wei (1990), proses AR(p) dapat didefinisikan sebagai

X t = φ1 X t −1 + φ2 X t −2 + ... + φ p X t − p + ε t , dengan AR(p) adalah proses autoregresif sampai lag ke-p dan ε t adalah nilai residu sampai waktu ke-t dari model AR(p), atau dapat ditulis dalam bentuk φ (B ) X t = ε t ,

di mana φ (B ) = 1 − φ1 B − φ2 B 2 − ... − φ p B p dan operator backward-shift (lag operator) didefinisikan sebagai

(B X ) j

t

= X t − j , j, t ∈ Z .

2.1.3 Estimasi Parameter AR Linear

Menurut Cryer (1983), estimasi dari parameter model dapat diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (least square method), yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat residu (sum squared error) berikut 2

∑ ε t = SSE = ∑ (X t − φ1 X t −1 − φ2 X t−2 − ... − φ p X t − p ) . T

2

t =2

(2.1)

Jumlah kuadrat residu pada persamaan (2.1) di atas akan minimum jika turunan parsial pertama terhadap φ1 , φ 2 ,..., φ p sama dengan nol. Misal dipunyai model AR(1) sebagai berikut X t = φX t −1 + ε t ,

(2.2)

dengan t=1, 2, ...,T dan ε t ~ WN (0,σ 2 ) . Nilai estimasi dari φ dapat diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat residu berikut

∑ε

2 t

T

2

= SSE = ∑ ( X t − φX t −1 ) . t =2

(2.3)

Jumlah kuadrat residu pada persamaan (2.3) di atas akan minimum jika turunan parsial terhadap φ sama dengan nol,

commit to user


digilib.uns.ac.id 8

T ∂SSE = −2 X t −1 ∑ ( X t − φX t −1 ) = 0 ∂φ t =2 T

T

⇔ ∑ X t −1 X t −φ ∑ X t2−1 = 0 t =2

t =2

T

⇔φ =

∑X t =2 T

t −1

∑X t =2

Xt .

2 t −1

Estimasi dari φ dapat dinyatakan sebagai T

φˆ =

∑X t =2 T

t −1

∑X t =2

Xt .

2 t −1

Untuk model AR(p)

X t = φ1 X t −1 + φ2 X t −2 + ... + φ p X t − p + ε t , dengan t=1,...,T, φ1 , φ 2 ,..., φ p ∈ R , dan ε t ~ WN (0, σ 2 ) diperoleh sistem persamaan

linear dengan p parameter sebagai berikut T ∂SSE = −2 X t −1 ∑ (X t − φ1 X t −1 − φ2 X t − 2 − ... − φ p X t − p ) = 0 ∂φ1 t =2 T ∂SSE = −2 X t − 2 ∑ (X t − φ1 X t −1 − φ2 X t − 2 − ... − φ p X t − p ) = 0 ∂φ2 t =2

M T ∂SSE = −2 X t − p ∑ (X t − φ1 X t −1 − φ2 X t − 2 − ... − φ p X t − p ) = 0. ∂φ p t =2

(2.4)

Dari persamaan (2.4) diperoleh T

T

t =2

t =2

T

T

φ1 ∑ X t2−1 + φ 2 ∑ X t −1 X t − 2 + ... + φ p ∑ X t −1 X t − p = ∑ X t −1 X t t =2

t =2

T

T

T

T

t =2

t =2

t =2

t =2

T

T

φ1 ∑ X t −1 X t − 2 + φ 2 ∑ X t2− 2 + ... + φ p ∑ X t − 2 X t − p = ∑ X t − 2 X t M T

φ1 ∑ X t −1 X t − p + φ 2 ∑ X t − p X t − 2 + ... + φ p ∑ X t =2

t =2

t =2

commit to user

T

2 t− p

= ∑ X t− p X t t =2

(2.5)


digilib.uns.ac.id 9

Jika direpresentasikan ke dalam bentuk matriks maka persamaan (2.5) dapat disederhanakan menjadi ⎡ T 2 ⎢ ∑ X t −1 ⎢ T t =2 ⎢ X X t −2 t −1 ⎢∑ t =2 ⎢ M ⎢T ⎢∑ X t − p X t −1 ⎢⎣ t =2

T

∑ X t −1 X t −2 t =2

T

∑X t =2

T

∑X t =2

2 t −2

M t− p

X t −2

⎤ ⎡ T ⎤ X X X t −1 X t ⎥ ∑ ∑ t −1 t − p ⎥ ⎢ φ t =2 ⎥ ⎥ ⎡⎢ 1 ⎤⎥ ⎢ tT= 2 T L ∑ X t − 2 X t − p ⎥ ⎢φ 2 ⎥ = ⎢ ∑ X t −2 X t ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ t =2 t =2 M ⎥ ⎢ ⎥ O M M T ⎥ ⎥ ⎢⎢φ p ⎥⎥ ⎢ T ⎣ ⎦ ⎢ X X ⎥ 2 ⎥ X L ∑ t − p t ⎥⎦ ∑ t− p ⎢⎣ t =2 ⎥⎦ t =2 T

L

atau dapat dituliskan menjadi

x'xφ = x'X , dengan

⎡ X 1( t −1) ⎢ ⎢ X 2( t − 2 ) x=⎢ ⎢ M ⎢ X n t− p ⎣ ( )

X 1( t − 2) X 2( t − 3 ) M X n( t − p −1)

X 1( t − p ) ⎤ ⎡ φ1 ⎤ ⎡ X 1t ⎤ ⎥ ⎢φ ⎥ ⎢ ⎥ L X 2( t − p −1) ⎥ X 2t ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ , X = ⎢ M ⎥ , dan φ = ⎢ M ⎥ . O M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ X nt ⎦⎥ L X n( t − n ) ⎥ ⎣ ⎣⎢φ p ⎦⎥ ⎦ L

Estimasi parameter dari φˆ dalam bentuk vektor menjadi sebagai berikut ) -1 φ = ( x'x ) x'X .

2.1.4 Model Smooth Transition Autoregressive (STAR) Model STAR merupakan pemodelan nonlinear perluasan dari model autoregresif di mana dalam modelnya terdapat dua rezim dan nilai dari parameternya dimuluskan dengan pemulusan transisi. Menurut Terasvirta (1994), model STAR(p,d) untuk runtun waktu univariat yang diobservasi pada saat t=1,…,T-1,T dimodelkan sebagai

X t = φ 1 ' Xt (1 − G ( γ , c, X t − d ) ) + φ 2 ' Xt G ( γ , c, X t − d ) + ε t ,

(2.6)

dengan STAR(p,d) : model STAR dengan orde p dan variabel transisi X t − d ,

(

%' Xt = 1, X t

)

'

% = ( X , X ,..., X )' : log return saat periode ke-t, di mana X t t −1 t − 2, t− p '

φ 1 = ⎡⎣φ1,0 , φ1,1 , φ1,2 ,..., φ1, p ⎤⎦ : parameter pada rezim 1,

commit to user


digilib.uns.ac.id 10

'

φ 2 = ⎡⎣φ2,0 , φ2,1 , φ2,2 ,..., φ2, p ⎤⎦ : parameter pada rezim 2,

X t − d : variabel transisi di mana 1 ≤ d ≤ p , G (γ , c, X t − d ) : fungsi transisi bernilai [0,1], c : parameter lokasi,

γ : slope, dan ε t : nilai residu sampai waktu ke-t dari model STAR (p,d). Persamaan (2.6) di atas dapat dijabarkan sebagai

X t = (φ1, 0 + φ1,1 X t −1 + ... + φ1, p X t − p )(1 − G (γ , c, X t − d )) + (φ 2, 0 + φ 2,1 X t −1 + ... + φ 2, p X t − p )

G (γ , c, X t − d ) + ε t , atau dapat dituliskan menjadi

p p ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ X t = ⎜⎜ φ1, 0 + ∑ φ1, j X t − j ⎟⎟(1 − G (γ , c, X t − d )) + ⎜⎜ φ2,0 + ∑ φ2, j X t − j ⎟⎟G (γ , c, X t − d ) + ε t . j =1 j =1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Fungsi transisi G (γ , c, X t − d ) bergantung pada nilai variabel transisi ( X t − d ), slope ( γ ), dan parameter lokasi (c). Besarnya parameter slope ( γ ) menentukan kemulusan antar rezim, sedangkan nilai dari parameter lokasi (c) mengindikasikan lokasi transisi. Menurut Terasvirta (1994), model STAR terbagi dalam dua tipe berdasarkan fungsi transisinya, yaitu logistik dan eksponensial. Jika fungsi transisi pada persamaan (2.6) berupa fungsi logistik G (γ , c, X t − d ) =

1

1 + exp(− γ ( X t − d − c ))

, γ >0

maka disebut model Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR). Jika fungsi transisi pada persamaan (2.6) berupa fungsi eksponensial

(

)

G (γ , c, X t − d ) = 1 − exp − γ ( X t − d − c ) , γ > 0 2

maka disebut model Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR). Sifat dari fungsi transisi logistik dan eksponensial yaitu pada saat parameter slope

γ = 0 , model LSTAR dan ESTAR akan menjadi model linear.

commit to user



2.1.5 Uji Nonlinearitas Diketahui model STAR dari persamaan (2.6) sebagai berikut X t = φ 1 ' Xt (1 − G ( γ , c, X t − d ) ) + φ 2 ' Xt G ( γ , c, X t − d ) + ε t .

Hipotesis nol dari nonlinearitas dapat diekspresikan sebagai persamaan dari parameter AR dalam dua rezim sebagai berikut H 0 : φ 1 = φ 2 (model linear),

H1 : φ 1,i ≠ φ 2,i ,

untuk minimal satu i ∈ {0,1,... p} (model nonlinear).

Menurut Van Dijk (1999), pada masalah uji nonlinearitas untuk alternatif dari tipe STAR dianjurkan sejumlah solusi untuk mengganti fungsi transisi G (γ , c, X t − d ) dengan pendekatan Taylor yang sesuai. Nonlinearitas dapat diuji dengan statistik Lagrange Multiplier (LM), di mana statistik uji ini memiliki

( )

distribusi asimtotis standar Chi-Squared χ 2 di bawah H 0 .

Uji terhadap LSTAR Model STAR pada persamaan (2.6) dapat ditulis dalam bentuk X t = φ'1Xt + ( φ 2 − φ 1 ) Xt G ( γ , c, X t − d ) + ε t . '

(2.7)

Menurut Van Dijk (1999), fungsi transisi G (γ , c, X t −d ) diganti dengan pendekatan Taylor orde tiga di sekitar γ = 0 , T3 ( X t −d , γ , c ) = G ( X t −d ,0, c ) + γ

∂G ( X t −d , γ , c ) 1 ∂ 2G ( X t −d , γ , c ) + γ2 ∂γ 2 ∂γ 2 γ =0 γ =0

1 ∂ 3G ( X t −d , γ , c ) + γ3 + R3 ( X t −d , γ , c ) 6 ∂γ 3 γ =0 =

1 1 1 3 + γ ( X t −d − c ) + γ 3 ( X t −d − c ) + R3 ( X t −d , γ , c ), 2 4 48

(2.8)

di mana R3 ( X t − d , γ , c ) merupakan fungsi remainder. Dengan mensubstitusikan T3 ( X t − d , γ , c ) dalam persamaan (2.8) pada G (γ , c, X t − d ) dalam persamaam (2.7) didapatkan model bantuan, ' % 2 ' % 3 % + β' X % X t = β 0,0 + β'0 X t 1 t X t − d + β 2 Xt X t − d + β 3 Xt X t − d + et ,

commit to user

(2.9)



di mana

et = ε t + ( φ 2 − φ 1 ) Xt R3 ( X t − d , γ , c ) , dan '

β 0 , βi

di mana i=1,2,3

merupakan fungsi parameter dari φ 1 , φ 2 , γ , dan c. Uji

hipotesisnya

menunjukkan

H '0 : γ = 0

berhubungan

dengan

H 0'' : β1 = β 2 = β 3 = 0 , yang dapat diuji menggunakan uji LM. Uji statistik tersebut

disebut sebagai LM 3 , di bawah hipotesis nol linear dan memiliki distribusi asimtotis Chi-Squared dengan derajat bebas 3p ( χ 32p ) (Van Dijk, 1999).

Uji terhadap ESTAR

Menurut Van Dijk (1999), nonlinearitas dapat diuji melalui alternatif ESTAR yang diberikan oleh persamaan (2.7) dengan mengganti fungsi transisi eksponensial dengan pendekatan Taylor orde pertama di sekitar γ = 0 ,

T1 ( X t −d , γ , c ) = G( X t −d ,0, c ) + γ

(

(

∂G( X t −d , γ , c ) + R1 ( X t −d , γ , c ) ∂γ γ =0

= 1 − exp − γ ( X t −d − c )

2

)) + ( X

− c ) exp(− γ ( X t −d − c )) + R1 ( X t −d , γ , c ) 2

t −d

= (1 − exp(0)) + γ ( X t −d − c ) + R1 ( X t −d , γ , c ) 2

2 (2.10) = γ ( X t −d − c ) + R1 ( X t −d , γ , c ), di mana R1 ( X t − d , γ , c ) merupakan fungsi remainder. Dengan mensubstitusikan

T1 ( X t − d , γ , c ) dalam persamaan (2.10) pada G (γ , c, X t − d ) dalam persamaan (2.7)

didapatkan model bantuan, ' % 2 % + β' X % X t = β 0,0 + β'0 X t 1 t X t − d + β 2 X t X t − d + et ,

di mana et = ε t + ( φ2 − φ1 ) Xt R1 ( X t − d , γ , c ) , dan β 0 , βi '

(2.11)

di mana i=1,2,3

merupakan fungsi parameter dari φ 1 , φ 2 , γ , dan c. Ekspresi dari β 0,0 dan

βi , i = 1, 2,3 menunjukkan bahwa pembatasan γ = 0 berhubungan dengan β1 = β 2 = 0 dalam persamaan (2.11). Uji statistik untuk hipotesis nol ini adalah LM 2 dengan distribusi asimtotis χ 22 p .

Pada penentuan tipe fungsi transisi model STAR digunakan prosedur dari Terasvirta yaitu melalui uji LM 3 . Meskipun LM 3 dikembangkan untuk uji

commit to user



alternatif LSTAR, namun uji ini memiliki kemampuan yang sama untuk alternatif ESTAR. Cara intuitif untuk memahami hal ini adalah dengan membandingkan persamaan (2.9) dan (2.11) yang digunakan untuk menghitung statistik statistik LM 2 dan LM 3 . Terlihat bahwa semua regreser bantuan dalam persamaan (2.11)

terkandung dalam persamaan (2.9). Oleh karena itu, statistik LM 3 diduga memiliki kemampuan yang sama baiknya terhadap ESTAR (Van Dijk, 1999). Statistik LM 3 berdasarkan persamaan (2.9) dapat diperoleh dengan cara ~ 1. meregresikan X t terhadap X t , menghitung residual εˆt , dan jumlah kuadrat

residual T

2 SSR0 = ∑ εˆt , i =1

2. menduga regresi bantuan (auxiliary regression) εˆt terhadap

(1, X% ) t

dan

% X i , i = 1, 2,3 , X t t −d ' % 2 ' % 3 % + β' X % εˆt = β0,0 + β'0 X t 1 t X t − d + β 2 Xt X t − d + β 3 Xt X t − d + et ,

kemudian menghitung jumlah residual kuadrat T

2 SSR1 = ∑ eˆt , i =1

3. dengan hipotesis H 0 : β1,1 = ...β1, p = β 2,1 = ...β 2, p = β 3,1 = ...β 3, p = 0 (model linear),

H 1 : minimal ada satu β yang tidak sama dengan nol (model nonlinear), statistik uji LM 3 dapat dihitung berdasarkan LM 3 = T

(SSR0 − SSR1 ) , SSR0

di mana distribusinya mengikuti distribusi χ 32p .

2.1.6 Pemilihan Variabel Transisi

Variabel transisi dapat ditentukan lebih dahulu tanpa menspesifikasikan bentuk alternatif dari fungsi transisi. Dengan menghitung statistik uji LM 3 untuk beberapa kandidat dari variabel transisi, dipilih variabel transisi dengan p-value

commit to user



terkecil atau statistik uji LM 3 terbesar. Dasar pemikiran di balik prosedur ini adalah bahwa uji harus memiliki kekuatan maksimum dalam hal model alternatif telah dispesifikasikan dengan benar. 2.1.7 Pemilihan Fungsi Transisi

Jika uji nonlinearitas ditolak, dan variabel transisi yang tepat telah dipilih maka langkah selanjutnya adalah memilih bentuk dari fungsi transisi G (γ , c, X t − d ) berdasarkan statistik uji LM 3 (Van Dijk, 1999). Berdasarkan model regresi bantuan pada persamaan (2.9) , ' % 2 ' % 3 % + β' X % X t = β 0,0 + β'0 X 1 t X t − d + β 2 Xt X t − d + β 3 X t X t − d + et , t

uji hipotesisnya adalah

H 0 : β1,1 = ...β1, p = β 2,1 = ...β 2, p = β 3,1 = ...β 3, p = 0 (model linear), H 1 : minimal ada satu β yang tidak sama dengan 0 (nonlinear). Pemilihan fungsi transisi G (γ , c, X t − d ) dilakukan dengan menguji urutan hipotesis nol berikut

( i ) H 0,3 : β3 = 0 , ( ii ) H 0,2 : β 2 = 0 β3 = 0, ( iii ) H 0,1 : β1 = 0 β3 = β 2 = 0, yaitu (i) jika β3 ≠ 0 maka model adalah LSTAR, (ii) jika β3 = 0, tetapi β 2 ≠ 0 maka model adalah ESTAR, (iii) jika β3 = 0 dan β 2 = 0, tetapi β1 ≠ 0 maka model adalah LSTAR dan jika β1 = 0, maka model adalah ESTAR. 2.1.8 Estimasi Parameter Model STAR

Van Dijk (1999) menggunakan metode nonlinear least square (NLS) untuk mengestimasi parameter dari model STAR(p,d). Estimasi parameter pada

commit to user



metode NLS ditentukan dengan memiminimumkan jumlah kuadrat residu yang didefinisikan sebagai

θˆ = arg min QT ( θ ) = arg min

T

∑( X t =1

− F ( X t , θ)) , 2

t

dengan p p ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ F ( X t , θ ) = ⎜ φ1,0 + ∑ φ1, j X t − j ⎟ (1 − G ( γ , c, X t − d ) ) + ⎜ φ2,0 + ∑ φ2, j X t − j ⎟ G ( γ , c, X t − d ) , j =1 j =1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ di mana

G (γ , c, X t − d ) =

1

1 + exp(− γ ( X t − d − c ))

(

, γ > 0 untuk model LSTAR, dan

)

2 G (γ , c, X t − d ) = 1 − exp − γ ( X t − d − c ) , γ > 0 untuk model ESTAR.

Proses pencarian nilai parameter pada metode NLS ini dilakukan dengan menggunakan metode numerik untuk melakukan estimasi secara iterasi. Metode Gauss-Newton

Metode Gauss-Newton merupakan suatu algoritma untuk meminimumkan jumlah kuadrat residu. Konsep yang mendasari teknik tersebut adalah uraian deret Taylor yang digunakan untuk menyatakan persamaan nonlinear semula dalam

suatu bentuk pendekatan yang linear. Dengan demikian, teori NLS dapat digunakan untuk memperoleh estimator-estimator baru dari parameter yang bergerak ke arah yang meminimumkan jumlah kuadrat residu tersebut. Secara umum iterasi Gaus-Newton dinyatakan sebagai θ

( i +1)

( ) ( )

−1

( )

' ' = θ − ⎡ D θ( i ) D θ( i ) ⎤ D θ( i ) ⎡⎣ X t − F ( X t , θ ) ⎤⎦ , ⎢⎣ ⎥⎦

(i )

dengan

( )

D θ

(i )

⎡ ∂F ( X 1 , θ( i ) ) =⎢ , ∂θ ⎣

∂F ( X 2 , θ( i ) ) ∂F ( X T , θ( i ) ) ⎤ , L , ⎥ . ∂θ ∂θ ⎦ '

Misal dipunyai model STAR(p,d) sedemikian hingga p p ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ X t = ⎜⎜ φ1,0 + ∑ φ1, j X t − j ⎟⎟(1 − G (γ , c, X t − d )) + ⎜⎜ φ2, 0 + ∑ φ2, j X t − j ⎟⎟G (γ , c, X t − d ) + ε t , j =1 j =1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

commit to user



dengan G (γ , c, X t − d ) =

1

1 + exp(− γ ( X t − d − c ))

(

, γ > 0 untuk model LSTAR,

)

2 G (γ , c, X t − d ) = 1 − exp − γ ( X t − d − c ) , γ > 0 untuk model ESTAR, dan

ε t adalah nilai residu dari model. Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter θ sebagai

(

)

'

θ = φ1,0 ,..., φ1, p , φ2,0 ,..., φ2, p , γ , c . Menurut Nainggolan (2010), langkah awal algoritma Gauss-Newton adalah menentukan nilai awal dan kemudian didekati dengan F ( X t ,θ ) untuk T pengamatan oleh bentuk linear menggunakan ekspansi deret Taylor di sekitar nilai awal g ( 0) , yaitu ⎡ ∂F ( X t , θ ) ⎤ θ - g (0) , F ( X t , θ ) ≈ F X t ,g (0) + ⎢ ⎥ ˆ ⎣ ∂θ ⎦ θ=g

(

)

(

)

(2.12)

dengan g ( 0) = ⎡⎣ g 0( 0)

g1( 0) K g k( 0) ⎤⎦ adalah vektor dari parameter nilai awal. '

Dengan penyederhanaan notasi

(

)

Ft ( 0) = F X t , g ( 0) , (0)

β = θ − g( 0) , ⎡ ∂F ( X t , θ ) ⎤ , Dt( 0) = ⎢ ⎥ ∂θ ⎣ ⎦ θˆ (0) =g(0)

pendekatan pada persamaan (2.12) dapat ditulis menjadi

F ( X t , θ ) ≈ Ft ( 0 ) + Dt( 0)β( 0) . Oleh karena itu, diperoleh pendekatan model nonlinear X t = F ( X t , θ ) + ε t sebagai X t ≈ Ft ( 0 ) + Dt( 0)β( 0) + ε t .

commit to user



Karena X t(0 ) ≈ X t − Ft (0 ) , maka diperoleh pendekatan model regresi linear X t( 0) ≈ Dt( 0)β( 0) + ε t ,

atau dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut X ( 0 ) ≈ D( 0 ) β ( 0 ) + ε ,

dengan X( 0) = ⎡⎣ X 1 − F1( 0 ) , X 2 − F2( 0) ,K , X T − FT( 0) ⎤⎦

D(

0)

⎡ ∂F1( 0) ⎢ ⎢ ∂φ1,0 ⎢ ( 0) ⎢ ∂F2 = ⎢ ∂φ1,0 ⎢ ⎢ M ⎢ ( 0) ⎢ ∂FT ⎢⎣ ∂φ1,0

'

∂F1( ) L ∂φ1, p

∂F1( ) ∂φ2,0

∂F1( ) L ∂φ2, p

∂F1( ∂γ

0)

∂F2( ) ∂φ1, p

∂F2( ) ∂φ2,0

∂F2( ) ∂φ2, p

∂F2( ∂γ

0)

L

M

M

0

0

L

∂FT( ) ∂φ1, p 0

L

0

0

0

0

M

∂FT( ) ∂φ2,0 0

M

∂FT( ) ∂φ2, p 0

L

∂FT( ∂γ

0)

∂F1( ) ⎤ ⎥ ∂c ⎥ 0 ⎥ ∂F2( ) ⎥ ∂c ⎥ ⎥ M ⎥ 0 ⎥ ∂FT( ) ⎥ ∂c ⎥⎦ 0

'

β( 0) = ⎡⎣ β 0( 0) , β1( 0) ,K , β k( 0) ⎤⎦ . Parameter β( 0) dapat di taksir dari persamaan normal pada model regresi linear sederhana dan diperoleh −1

b( 0) = θ( i ) − ⎡⎣ D( 0) ' D( 0) ⎤⎦ D( 0) ' X( 0) , di mana b( 0) adalah vektor dari koefisien regresi kuadrat terkecil yang ditaksir dan dapat digunakan untuk memperoleh taksiran parameter regresi berikutnya dengan koefisien regresi g (1) = g ( 0) + b ( 0) .

commit to user



2.1.9 Pemeriksaan Diagnostik Model yang diperoleh perlu diperiksa lebih lanjut untuk mengetahui ada tidaknya autokorelasi di dalam residu yang dihasilkan, efek heteroskedastisitas, dan distribusi residu (Terasvirta, 1994). Model stasioner yang baik akan memenuhi asumsi bahwa tidak ada autokorelasi dan efek heteroskedastisitas di dalam residu yang dihasilkan serta residu yang berdistribusi normal. Bentuk Distribusi Residu Bentuk distribusi residu dari model dapat dilihat melalui nilai kurtosis dan skewness yang dimiliki. Pada distribusi normal, kurtosis bernilai 0 dan skewness bernilai 3. Uji Autokorelasi Residu Salah satu uji yang dapat digunakan untuk menguji autokorelasi adalah uji Breusch-Godfrey. Langkah-langkah uji Breusch-Godfrey adalah 1. meregresikan suatu model, sehingga diperoleh nilai residunya ε t , 2. meregresikan ε t terhadap seluruh variabel independen dalam model, ditambah dengan ε t −1, ε t − 2, K, ε t − p , yaitu

ε t = λ1 X t −1 + ... + λ p X t − p + λ p +1ε + K + λ p + q ε t − q , dengan p adalah orde model dan q adalah lag yang diinginkan, kemudian dihitung koefisien nilai determinasi R 2 nya. 3. menguji hipotesis H0: tidak terdapat autokorelasi dalam residu model H1: terdapat autokorelasi dalam residu model, 4. menghitung statistik uji Breusch-Godfrey. Statistik uji yang digunakan adalah Chi-Squared dengan derajat bebas p yaitu

χ 2 = nR 2 , dengan n adalah banyaknya residu, dan R 2 adalah koefisien determinasi, 5. H0 ditolak jika nR 2 > χ p2 .

commit to user



Uji Efek Heteroskedastisitas Pengujian efek heteroskedastisitas dilakukan menggunakan uji Lagrange Multiplier dengan langkah-langkah sebagai berikut 1. menentukan persamaan yang paling sesuai untuk data runtun waktu, dari persamaan tersebut diperoleh residu kuadrat ( ε t2 ), 2. meregresikan ε t2 pada konstanta dan q lag-nya sendiri,

ε t2 = α 0 + α1ε t2−1 + K + α qε t2− q , kemudian dihitung koefisien nilai determinasi R 2 nya,

3. menguji hipotesis dengan H0 : α1 = α 2 = K = α q = 0 (tidak ada efek ARCH sampai lag m) H1 : paling sedikit terdapat satu α k ≠ 0, k = 1, 2,K , q , 4. menggunakan asumsi normalitas, statistik uji yang digunakan adalah

ξ * = nR 2 , dengan n adalah banyaknya residu dan R 2 adalah koefisien determinasi, 5. H0 ditolak jika ξ * > χ q2 .

2.1.10 Kriteria Pemilihan Model Model terbaik dapat dipilih berdasarkan nilai Akaike Info Criterion (AIC) (Wei, 1990). AIC dirumuskan sebagai AIC = − 2l + 2 M , dengan l adalah fungsi log likelihood, dan M adalah jumlah parameter yang diestimasi. 2.1.11 Peramalan Misal Xˆ t + h t merupakan peramalan dari X t + h pada waktu t, dengan prediksi residu sebagai berikut et + h t = X t + h − Xˆ t + h .

commit to user



Peramalan Xˆ t + h t meminimumkan prediksi residu kuadrat berikut

[ ]

(

E et2+ h t = E ⎡ X t + h − Xˆ t + h t ⎢⎣

) Ω ⎤⎥⎦ , 2

(2.13)

t

di mana Ω t merupakan himpunan semua informasi dari waktu lampau sampai waktu t. Peramalan yang meminimumkan persamaan (2.13) merupakan ekspektasi bersyarat dari X t + h pada waktu t, Xˆ t + h t = E [X t + h Ω t ] . Jika terdapat model AR(1) sebagai berikut X t = φ1 X t −1 + ε t , maka peramalannya adalah Xˆ t + h t = E [φ1 X t + h −1 + ε t + h Ωt ] = φ1 Xˆ t + h −1 t , dengan Xˆ t + h −1 t = X t , untuk h=1. Model umum AR nonlinear untuk orde 1 adalah X t = F ( X t −1 , θ ) + ε t .

Jika terdapat model STAR (1,1) sedemikian hingga F ( X t −1 , θ ) = (φ1,0 + φ1,1 X t −1 ) (1 − G ( γ , c, X t −1 ) ) + (φ2,0 + φ2,1 X t −1 ) G (γ , c, X t −1 ) , dengan asumsi E [ε t +1 Ω t ] = 0 , maka peramalan satu langkah ke depan X t +1 dapat diperoleh sebagai Xˆ t +1 t = E ⎡⎣ X t +1 Ωt ⎤⎦ = F ( X t ; θ ) . Pada peramalan lebih dari satu periode ke depan (multi-step forecast) berlaku

(

)

Xˆ t + 2 t = E ⎡⎣ X t + 2 Ωt ⎤⎦ = E ⎡⎣ F ( X t +1 Ωt ) ⎤⎦ ≠ F ⎡⎣ E ( X t +1 Ωt ) ⎤⎦ = F Xˆ t +1 t , θ

sehingga perhitungannya akan lebih rumit. 2.1.11 Evaluasi Hasil Peramalan Evaluasi hasil peramalan bertujun untuk mengevaluasi kualitas dari hasil peramalan model runtun waktu. Hasil peramalan relatif dapat juga digunakan

commit to user



sebagai kriteria pemilihan model, sebagai alternatif atau pelengkap perbandingan dalam sampel (in-sampel) dari model yang berbeda (Van Dijk, 1999). Ukuran yang digunakan untuk evaluasi hasil peramalan adalah 1. Mean Squared Error (MSE) MSE =

(

1 n ∑ Pt − Pˆt r t =1

)

2

dengan Pt :data asli kurs thai bath terhadap rupiah periode ke-t, Pˆt : ramalan kurs thai bath terhadap rupiah periode ke-t,

r : jumlah ramalan. 2. Mean Absolute Percentage Error (MAPE) MAPE =

1 n ⎛⎜ Pt − Pˆt ∑ r t =1 ⎜⎝ Pt

⎞ ⎟ × 100 . ⎟ ⎠

Model dengan MSE dan atau MAPE yang lebih kecil memiliki hasil peramalan yang lebih baik (Van Dijk, 1999). 2.2 Kerangka Pemikiran Banyak kasus runtun waktu seperti runtun waktu finansial dan perekonomian suatu negara, termasuk kurs mempunyai kecenderungan nonlinear sehingga diperlukan suatu uji nonlinearitas. Jika asumsi nonlinear dipenuhi maka kurang sesuai jika digunakan model linear konvensional. Oleh karena itu, diperlukan model baru yang nonlinear terhadap runtun waktu tersebut. Pada penelitian ini, akan digunakan model STAR sebagai salah satu alternatif model nonlinear untuk diterapkan pada runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah guna mencari model dan ramalan yang paling tepat untuk satu periode selanjutnya.

commit to user



BAB III METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi kasus. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa data runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah dalam frekuensi harian dari 1 Januari 2005 sampai 9 Juli 2010. Data periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 sebanyak 1285 observasi sebagai in-sample dan data selanjutnya sebanyak 63 observasi sebagai out-of-sample. Analisis data dilakukan dengan bantuan software Eviews. Langkah-langkah yang ditempuh untuk mencapai tujuan penelitian ini adalah 1. Memodelkan data dengan proses AR. a. Membuat plot runtun waktu untuk data asli (menggunakan data in-sample) untuk melihat pola data dan stasioneritasnya. b. Data yang belum stasioner diubah ke dalam bentuk log-return untuk menstasionerkan data terhadap rata-rata. c. Menentukan model AR(p) yang sesuai berdasarkan plot ACF dan PACF. d. Melakukan estimasi parameter AR(p). e. Melakukan uji autokorelasi residu model AR yang diperoleh. Orde model AR yang terbentuk akan digunakan dalam pengujian nonlinearitas pada model STAR. 2. Memodelkan data dengan STAR. a. Memeriksa kelinearan data. b. Jika data terbukti nonlinear, maka dipilih variabel transisi dan bentuk fungsi transisi yang tepat. c. Melakukan estimasi parameter model STAR. 3. Melakukan pemeriksaan diagnostik tehadap model STAR yang terbentuk dan evaluasi berdasarkan nilai AIC dan standar deviasinya. 4. Modifikasi model jika diperlukan. 5. Menentukan ramalan untuk satu periode berikutnya. 6. Evaluasi peramalan berdasarkan nilai MSE dan MAPE.

commit to user



BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Data Dalam skripsi ini digunakan data runtun waktu finansial berupa nilai tukar mata uang atau kurs yang bersumber dari data Bank Indonesia, yaitu kurs mata uang Thailand (thai bath) terhadap rupiah pada periode 1 Januari 2005 sampai 9 Juli 2010. Data periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 sebanyak 1285 observasi digunakan untuk spesifikasi model (in-sample) dan data selanjutnya digunakan untuk evaluasi dalam peramalan (out-of-sample). Plot data dapat dilihat pada Gambar 4.1 dan ringkasan statistiknya dapat dilihat pada Tabel 4.1. 340 320 300 280 260 240 220 200 250

500

750

1000

1250

DATA_ASLI

Gambar 4.1 Plot Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 Dari plot data terlihat bahwa kurs thai bath terhadap rupiah berfluktuasi dari waktu ke waktu. Tabel 4.1 Ringkasan Statistik Data Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 Estimasi

Nilai

Rata-rata

254,62

Median

253,29

Maksimum

337,49

Minimum

217,52

Standar Deviasi

26,81733

commit to user



Dalam rentang waktu 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010, kurs terendah berada di titik 217,52 yang merupakan data pada tanggal 12 Mei 2006, dan kurs tertinggi berada di titik 337,49 yang merupakan data pada tanggal 25 November 2008. Rata-rata kurs thai bath terhadap rupiah dalam periode tersebut adalah 254,62 dengan median 253,29 dan standar deviasi 26,81733. 4.2 Stasioneritas Data Pada penelitian ini data kurs thai bath terhadap rupiah diubah ke dalam bentuk log return. Perubahan data ke dalam fungsi log return menyebabkan jumlah observasi berubah menjadi T-1 = 1284 observasi. Perubahan data ke dalam bentuk log return bertujuan untuk menjadikan data lebih stasioner dengan nilai yang mendekati nol. Hal ini dapat dilihat pada plot log return yang tersaji pada Gambar 4.2. .15 .10 .05 .00 -.05 -.10 -.15 250

500

750

1000

1250

RETURN

Gambar 4.2 Plot Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 4.3 Identifikasi Model AR Linear Spesifikasi model STAR diawali dengan identifikasi proses AR linear. Identifikasi awal dalam mencari model AR yang sesuai untuk data log return yang stasioner dapat dilihat dari nilai ACF dan PACF. Pada Gambar 4.3 tampak bahwa nilai ACF meluruh menuju nol dan nilai PACF terpotong menuju nol setelah lag-2 sehingga dapat dikatakan terjadi proses AR(2) dalam data.

commit to user



Gambar 4.3 Plot ACF dan PACF Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 4.4 Estimasi dan Evaluasi Model AR Linear Hasil uji pada identifikasi model awal menghasilkan proses AR(2) tanpa konstanta merupakan model yang paling tepat untuk menggambarkan log return. Hasil estimasi model AR(2) dapat dilihat pada Tabel 4.2. Hasil estimasi parameter memperlihatkan nilai φ1 dan φ 2 signifikan tidak sama dengan nol karena memiliki p-value kurang dari 0,05. Selain itu, estimasi parameter φ telah memiliki kondisi stasioner karena nilai φˆ kurang dari satu. Model AR(2) yang diperoleh adalah X t = -0,495213 X t −1 - 0,286011X t − 2 + ε t ,

(4.1)

dengan X t adalah data log return saat periode ke-t dan ε t adalah residu yang dihasilkan oleh model. Output model AR(2) selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 3.

commit to user



Tabel 4.2 Hasil Estimasi Model AR(2) Tanpa Konstanta pada Data Log Return Parameter

Koefisien Standar deviasi t-Statistik

Probabilitas

φ1

-0,495213

0,026770

-18,49885

0,0000

φ2

-0,286011

0,026745

-10,69392

0,0000

Standar Deviasi

0,013659

AIC

-5,747221

Model AR(2) yang telah diperoleh akan diperiksa lebih lanjut. Model ini diperiksa apakah terdapat autokorelasi di dalam residu yang dihasilkan. Uji autokorelasi residu dilakukan dengan menggunakan uji statistik Breusch-Godfrey. Uji ini menggunakan hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model AR(2). Statistik Breusch-Godfrey sampai lag5 menghasilkan p-value = 0,999001. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 4.3. Tabel 4.3 Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu Model AR(2) Koefisien Uji Breusch-Godfrey

Probabilitas 0,999001

AR(1)

0,264090

0,7225

AR(2)

0,063912

0,8347

Residu pada lag-1

-0,267255

0,7194

Residu pada lag-2

0,060191

0,9063

Residu pada lag-3

0,030402

0,8423

Residu pada lag-4

-0,047929

0,7029

Residu pada lag-5

0,005482

0,9460

Apabila diberikan tingkat signifikansi α = 0,05 , maka hipotesis nol akan ditolak jika p-value uji Breusch-Godfrey lebih kecil dari α = 0,05 . Karena p-value uji Breusch-Godfrey = 0,999001 lebih besar dari α = 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model AR(2). Berdasarkan Tabel 4.3 dapat dilihat bahwa residu model AR(2) tidak terdapat

commit to user



autokorelasi sampai lag ke-5 sekalipun. Output uji Breusch-Godfrey residu AR(2) selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 5. 4.5 Uji Nonlinearitas Orde model STAR diperoleh berdasarkan orde model AR linear. Diperoleh orde AR linear p=2 sehingga kandidat variabel transisi dalam model STAR adalah X t −1 dan X t −2 . Uji nonlinearitas dilakukan terhadap kedua kandidat variabel transisi dengan menggunakan uji Lagrange Multiplier ( LM 3 ). Apabila diberikan hipotesis nol yang menyatakan bahwa parameter AR kedua rezim pada model STAR adalah sama (model linear) dan diberikan tingkat signifikansi

α = 0,05 , maka hipotesis nol tersebut akan ditolak jika nilai statistik uji LM 3 lebih besar dari nilai χ 32p pada tabel distribusi Chi-Squared, yaitu sebesar 12,59. Tabel distribusi Chi-Squared dapat dilihat pada lampiran 6. Tabel 4.4 Uji Nonlinearitas pada Data Log Return Variabel

Jumlah Kuadrat

Jumlah Kuadrat

Statistik

Transisi

Residu AR(2)

Residu Regresi Bantu

Uji

( X t −d )

( SSR0 )

( SSR1 )

LM 3

0,204966

182,0184

0,225639

70,8719

X t −1 X t −2

0,238821

Hasil uji nonlinearitas pada Tabel 4.4 menunjukkan bahwa kedua pilihan variabel transisi memberikan model yang nonlinear karena nilai statistik uji LM 3 lebih besar dari 12,59. Variabel transisi terpilih yang akan digunakan dalam model STAR adalah X t −1 karena memiliki nilai LM 3 lebih besar. Output hasil uji nonlinearitas selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 7. 4.6 Identifikasi Model STAR

commit to user



Setelah terbukti nonlinear dan variabel transisi yang tepat telah dipilih maka dilakukan pemilihan bentuk dari fungsi transisi G (γ , c, X t − d ) . Pemilihan fungsi transisi G (γ , c, X t − d ) dilakukan dengan menguji urutan hipotesis nol berikut

( i ) H 0,3 : β3 = 0 , ( ii ) H 0,2 : β 2 = 0 β3 = 0, ( iii ) H 0,1 : β1 = 0 β3 = β 2 = 0, yaitu (i) jika β3 ≠ 0 maka model adalah LSTAR, (ii) jika β3 = 0, tetapi β 2 ≠ 0 maka model adalah ESTAR, (iii) jika β3 = 0 dan β 2 = 0, tetapi β1 ≠ 0 maka model adalah LSTAR dan jika β1 = 0, maka model adalah ESTAR. Berdasarkan Tabel 4.5, parameter β 3,1 dan β 3, 2 signifikan tidak sama dengan nol karena memiliki p-value kurang dari 0,05, artinya hipotesis nol H 0,3 : β3 = 0 dalam prosedur penentuan tipe fungsi transisi ditolak. Oleh karena

itu, model yang harus dipilih adalah model LSTAR(2,1). Tabel 4.5 Model Regresi Bantu dengan Variabel Transisi X t −1 pada Uji Nonlinearitas pada Data Log Return Parameter

Koefisien Standar Deviasi

t-Statistik Probabilitas

β1,1

-7,712112

0,935572

-8,243204

0,0000

β1, 2

-3,231941

1,349183

-2,395480

0,0167

β 2,1

-58,46676

6,172829

-9,471632

0,0000

β 2, 2

-56,22146

6,918879

-8,125805

0,0000

β 3,1

689,3938

77,35728

8,911881

0,0000

β 3, 2

410,0942

117,6363

3,486120

0,0005

commit to user



4.7 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR(2,1) Hasil estimasi model LSTAR(2,1) pada Tabel 4.6 memperlihatkan nilai estimasi dari parameter φ1,0 , φ1,1 , φ1, 2 , φ2,0 , dan φ2,1 signifikan tidak sama dengan nol karena mimiliki p-value kurang dari 0,05. Tabel 4.6 Hasil Estimasi Model LSTAR(2,1) Parameter Koefisien Standar Deviasi t-Statistik Probabilitas

φ1,0

-0,037859

0,010302

-3,674863

0,0002

φ1,1

-1,032200

0,154190

-6,694360

0,0000

φ1, 2

-0,507625

0,063378

-8,009492

0,0000

φ2 , 0

0,020159

0,005236

3,849893

0,0001

φ 2,1

-0,985679

0,074961

-13,14924

0,0000

γ

82,86620

17,01573

4,869977

0,0000

c

-0,008792

0,003171

-2,772503

0,0056

Standar Deviasi

0,0128

AIC

-5,865251

Model LSTAR(2,1) yang diperoleh adalah ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟⎟ ⎟ X t = (- 0,037859 - 1,032200 X t −1 - 0.,07625 X t − 2 ) ⎜⎜ 1 − ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 1 + exp (− 82,86620 ( X t −1 + 0,008792 )) ⎠ ⎠ ⎛ ⎞ 1 ⎟⎟ + ε t + (0,020159 - 0,985679 X t −1 ) ⎜⎜ ⎝ 1 + exp (− 82,86620 ( X t −1 + 0,008792 )) ⎠

dengan X t adalah data log return saat periode ke-t dan ε t adalah residu yang dihasilkan oleh model. Output model LSTAR(2,1) selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 8. Model LSTAR(2,1) yang telah diperoleh ini akan diperiksa lebih lanjut. Model ini diperiksa tingkat kesesuaiannya di dalam memodelkan data runtun waktu log return kurs thai bath terhadap rupiah. Uji autokorelasi residu dilakukan dengan menggunakan uji statistik Breusch-Godfrey. Berdasarkan Tabel 4.7, p-value uji Breusch-Godfrey=0,000000 lebih kecil dari α = 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa masih terdapat

commit to user



autokorelasi di dalam residu model LSTAR(2,1). Hal ini menunjukkan bahwa model LSTAR(2,1) belum sesuai digunakan untuk memodelkan data log return kurs thai bath terhadap rupiah sehingga perlu dilakukan identifikasi kembali untuk menentukan model STAR yang lebih tepat. Output uji Breusch-Godfrey residu LSTAR(2,1) selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 10. Tabel 4.7 Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR (2,1) Koefisien Uji Breusch-Godfrey


φ1,0

0,005379

0,6017

φ1,1

0,550073

0,0015

φ1, 2

0,208833

0,0127

φ2,0

-0,004304

0,4267

φ 2,1

0,576510

0,0000

γ

18.80214

0,2700

c

0,001056

0,7572

Residu pada lag-1

-0,566961

0,0000

Residu pada lag-2

0,130437

0,0151

Residu pada lag-3

0,108098

0,0019

Residu pada lag-4

-0,027394

0,3430

Residu pada lag-5

0,031646

0,2636

Identifikasi dilakukan kembali dengan mengganti pilihan variabel transisi X t −2 dan menentuan kembali tipe fungsi transisi yang tepat. Pada Tabel 4.8, parameter β3, 2 signifikan tidak sama dengan nol karena memiliki p-value kurang dari 0,05, artinya hipotesis nol H 0,3 : β3 = 0 dalam prosedur penentuan tipe fungsi transisi ditolak. Oleh karena itu, model yang harus dipilih adalah model LSTAR(2,2).

commit to user



Tabel 4.8 Model Regresi Bantu dengan Variabel Transisi X t −2 pada Uji Nonlinearitas pada Data Log Return Parameter

Koefisien Standar Deviasi

t-Statistik Probabilitas

β1,1

3,877463

1,492268

2,598369

0,0095

β1, 2

-2,336404

1,009192

-2,313123

0,0208

β 2,1

19,79220

7,594445

2,606142

0,0093

β 2, 2

-21,15918

6,105798

-3,465424

0,0005

β 3,1

-245,1739

135,9705

-1,803141

0,0716

β 3, 2

191,8080

87,51854

2,191627

0,0286

4.8 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR(2,2) Berdasarkan hasil estimasi model LSTAR(2,2) pada Tabel 4.9, nilai estimasi dari parameter φ1,0 , φ1,1 , φ1, 2 , φ2,0 , φ2,1 , dan φ2, 2 signifikan tidak sama dengan nol karena mimiliki p-value kurang dari 0,05. Tabel 4.9 Hasil Estimasi Model LSTAR(2,2) Parameter Koefisien Standar Deviasi t-Statistik Probabilitas

φ1,0

-0,048256

0,013860

-3,481720

0,0005

φ1,1

-0,578928

0,090679

-6,384383

0,0000

φ1, 2

-0,860747

0,168046

-5,122095

0,0000

φ 2, 0

0,013315

0,005206

2,557731

0,0107

φ 2,1

-0,584055

0,036515

-15,99503

0,0000

φ2 , 2

-0,673833

0,085245

-7,904642

0,0000

γ

80,09008

20,41493

3,923113

0,0001

c

-0,017486

0,004514

-3,873322

0,0001

Standar Deviasi

0,013203

AIC

-5,810466

commit to user



Model LSTAR(2,2) yang diperoleh adalah ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟⎟ ⎟ X t = (- 0,048256 - 0,578928 X t −1 - 0,860747 X t − 2 ) ⎜⎜ 1 − ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 1 + exp (− 80,09008 ( X t − 2 + 0,017486 )) ⎠ ⎠ ⎛ ⎞ 1 ⎟⎟ + ε t + (0,013315 - 0,584055 X t −1 - 0,673833 X t − 2 ) ⎜⎜ ⎝ 1 + exp (− 80,09008 ( X t − 2 + 0,017486 )) ⎠

dengan X t adalah data log return saat periode ke-t dan ε t adalah residu yang

dihasilkan oleh model. Output model LSTAR(2,2) selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 8. Plot data log return, hasil estimasi, dan residu model LSTAR(2,2) tersaji pada Gambar 4.4.

Gambar 4.4 Plot Log Return, Hasil Estimasi, dan Residu Model LSTAR (2,2) 4.8.1 Uji Autokorelasi Residu Statistik uji Breusch-Godfrey sampai lag-5 menghasilkan p-value = 0,982539. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 4.10. Output uji Breusch-Godfrey residu LSTAR(2,2) selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 10. Apabila diberikan tingkat signifikansi α = 0,05 , maka hipotesis nol akan ditolak jika p-value uji Breusch-Godfrey lebih kecil dari α = 0,05 . Karena p-value uji Breusch-Godfrey = 0,982539 lebih besar dari α = 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model LSTAR(2,2). Pada Tabel 4.10 dapat dilihat bahwa residu model LSTAR (2,2) tidak terdapat autokorelasi sampai lag ke-5 sekalipun.

commit to user



Tabel 4.10 Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR(2,2) Koefisien Uji Breusch-Godfrey


φ1,0

-0,000341

0,9805

φ1,1

0,005541

0,9646

φ1, 2

0,039056

0,8346

φ2,0

-4,27E-05

0,9935

φ 2,1

0,001404

0,9907

φ2 , 2

0,039383

0,7646

γ

-0,091865

0,9965

c

-0,000154

0,9730

Residu pada lag-1

-0,002210

0,9848

Residu pada lag-2

-0,041795

0,6579

Residu pada lag-3

0,028252

0,6209

Residu pada lag-4

0,010297

0,7479

Residu pada lag-5

0,009848

0,7558

4.8.2 Uji Efek Heteroskedastisitas Efek heteroskedastisitas diuji menggunakan uji Lagrange Multiplier. Uji ini dilakukan untuk melihat apakah masih terdapat efek heteroskedastisitas. Apabila diberikan hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak terdapat efek heteroskedastisitas (ARCH) dan diberikan tingkat signifikansi α = 0,05 , maka hipotesis nol tersebut akan ditolak jika nilai p-value < α = 0,05 . Berdasarkan Tabel 4.11 nilai p-value = 0,000001 maka hipotesis nol ditolak. Jadi masih terdapat efek ARCH di dalam residu model LSTAR(2,2). Output uji Lagrange Multiplier selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 10.

commit to user



Tabel 4.11 Uji Lagrange Multiplier sampai lag-1 untuk Residu Model LSTAR(2,2) Koefisien Uji Lagrange Multiplier


α0

0,000150

0,000000

α1

0,136220

0,000000

4.8.3 Distribusi Residu Ringkasan statistik beserta histogram dari residu model LSTAR(2,2) dapat dilihat pada Gambar 4.5. 700 Series: Residuals Sample 3 1284 Observations 1282

600

500

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

400

300

200

6.96E-11 -0.000738 0.149477 -0.103583 0.013167 2.914779 35.14174

100

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

Gambar 4.5 Histogram dan Ringkasan Statistik Residu Model LSTAR(2,2) Nilai kurtosis residu sebesar 35,14174 signifikan lebih besar dari 3 yang berarti residu memiliki distribusi dengan ekor yang lebih pendek dari distribusi normal yang menyebabkan distribusinya berbentuk leptokurtik. Nilai skewness sebesar 2,914779 bernilai positif menunjukkan bahwa distribusinya memililki ekor bagian kanan yang lebih panjang. Hal ini berarti bahwa residu model LSTAR(2,2) tidak berdistribusi normal. Menurut Wei (1990), asumsi dasar dalam runtun waktu adalah residu merupakan white noise. Hal ini dapat dilihat dari signifikansi nilai autokorelasi residu melalui uji autokorelasi residu. Berdasarkan uji autokorelasi residu pada poin 4.12.1 di atas, diperoleh bahwa tidak terdapat autokorelasi pada residu model LSTAR(2,2) sehingga dapat dikatakan bahwa residu adalah white noise. Oleh

commit to user



karena itu, dapat dikatakan bahwa model LSTAR(2,2) cukup layak dalam memodelkan data log return kurs thai bath terhadap rupiah. Jika dibandingkan dengan model linear AR(2), model LSTAR(2,2) menghasilkan nilai standar deviasi, dan AIC yang lebih baik. Standar deviasi residu model LSTAR(2,2) lebih kecil 3,38 % dibandingkan residu model AR(2). Nilai AIC yang lebih kecil juga menunjukkan bahwa model LSTAR(2,2) berhasil memodelkan kenonlinearan runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah meskipun terjadi penambahan jumlah parameter yang diestimasi. Oleh karena itu, secara umum dapat dikatakan bahwa model nonlinear LSTAR(2,2) berhasil memodelkan data kurs thai bath terhadap rupiah . 4.9 Peramalan dan Evaluasi Ramalan log return dari waktu t menggunakan model LSTAR(2,2) dihitung berdasarkan persamaan ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟⎟ ⎟ F ( X t , X t −1 ; θ ) = (- 0,048256 - 0,578928 X t - 0,860747 X t −1 ) ⎜⎜1 − ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 1 + exp (− 80,09008 ( X t − 2 + 0,017486 )) ⎠ ⎠ ⎛ ⎞ 1 ⎟⎟. + (0,013315 - 0,584055 X t - 0,673833 X t −1 ) ⎜⎜ ( ( ) ) + − + 1 exp 80,09008 0,017486 X t −2 ⎝ ⎠

Ramalan nilai log return untuk satu periode ke depan adalah Xˆ t +1 t = E [X t +1 Ωt ] = F ( X t , X t −1;θ )

(4.1)

sehingga nilai ramalan log return untuk satu periode ke depan periode 1285, berdasarkan data log return sebanyak t = 1284 adalah Xˆ t +1 t = F ( X t , X t −1 ;θ ) ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟⎟ ⎟ = (- 0,048256 - 0,578928 X t - 0,860747 X t −1 ) ⎜⎜1 − ⎜⎜ ⎟ ( ( ) ) X 1 exp 80,09008 0,017486 + − + t −2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎞ ⎛ 1 ⎟⎟. + (0,013315 - 0,584055 X t - 0,673833 X t −1 ) ⎜⎜ ⎝ 1 + exp(− 80,09008( X t − 2 + 0,017486)) ⎠

commit to user



⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟⎟ ⎟ Xˆ 1285 1284 = (- 0,048256 - 0,578928 X 1284 - 0,860747 X 1283 ) ⎜⎜1 − ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 1 + exp(− 80,09008( X 1283 + 0,017486)) ⎠ ⎠

Xˆ 1285 1284

⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ + (0,013315 - 0,584055 X 1284 - 0,673833 X 1283 ) ⎜⎜ ⎝ 1 + exp(− 80,09008( X 1283 + 0,017486)) ⎠ = (- 0,048256 - 0,578928 (0,000718 ) - 0,860747 (0,002234 ))

⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎜1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎝ 1 + exp (− 80,09008 (0,002234 + 0,017486 )) ⎠ ⎠ + (0,013315 - 0,584055 (0,000718 ) - 0,673833 (0,002234 )) ⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 1 + exp (− 80,09008 (0,002234 + 0,017486 )) ⎠ = 0,000798.

Log return dirumuskan sebagai X t = ln Pt − ln Pt −1 ,

(4.2)

dengan Pt adalah data kurs pada periode t dan Pt −1 data kurs pada periode t -1. Log return bukan merupakan data yang sebenarnya sehingga harus dikembalikan ke dalam bentuk semula yaitu data kurs pada periode t ( Pt ). Berdasarkan persamaan (4.2) akan diperoleh persamaan untuk data kurs pada periode t ( Pt ) sebagai Pt = Pt −1e X t .

(4.3)

Nilai ramalan kurs dapat dicari menggunakan persamaan (4.3). Hasil ramalan kurs thai bath terhadap rupiah untuk satu periode ke depan, yaitu tanggal 12 April 2010 adalah Pt = Pt −1e X t

(

= 264,59 e 0.000798

)

= 264,80. Hasil ramalan kurs thai bath terhadap rupiah untuk periode 12 April 2010 memberikan informasi bahwa kurs akan mengalami perubahan yang tidak cukup besar, jika dibandingkan dengan data kurs thai bath asli sebesar 263,41 menghasilkan peramalan yang hampir mirip. Nilai ramalan satu periode ke depan untuk out-of-sample selengkapnya, yaitu periode 12 April 2010 sampai 9 Juli 2010 dapat dilihat pada lampiran 12.

commit to user



Untuk mengevaluasi kualitas dari hasil peramalan model runtun waktu yang diperoleh dilakukan evaluasi peramalan menggunakan MSE dan MAPE. Berdasarkan Tabel 4.12, nilai MAPE hasil ramalan model LSTAR(2,2) menunjukkan angka yang cukup kecil yaitu 0,41664 %. Akan tetapi, nilai MAPE menunjukkan angka yang cukup besar yaitu 2,88875. Nilai MSE dan MAPE hasil ramalan model LSTAR(2,2) ini pun tidak lebih kecil jika dibandingkan dengan model AR(2). Ketidaksesuaian ini dimungkinkan karena efek heteroskedastisitas yang masih terdapat dalam model. Tabel 4.12 Evaluasi Peramalan Model LSTAR (2,2) dan AR (2) Ukuran

LSTAR (2,2)

AR (2)

MSE

2,88875

2,44115

MAPE

0,41664 %

0,35971 %

commit to user



BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut 1. Model STAR yang paling sesuai untuk memodelkan data kurs thai bath terhadap rupiah yang terlebih dahulu diubah ke bentuk log return adalah model LSTAR (2,2) yaitu ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟⎟ ⎟ X t = (- 0,048256 - 0,578928 X t −1 - 0,860747 X t − 2 ) ⎜⎜1 − ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 1 + exp (− 80,09008 ( X t − 2 + 0,017486 )) ⎠ ⎠ ⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ + ε t + (0,013315 - 0,584055 X t −1 - 0,673833 X t − 2 ) ⎜⎜ ⎝ 1 + exp (− 80,09008 ( X t − 2 + 0,017486 )) ⎠

dengan X t adalah log return pada periode ke-t dan ε t adalah residu yang dihasilkan oleh model. 2. Evaluasi peramalan model LSTAR(2,2) berdasarkan mean percentage error (MAPE) menunjukkan nilai yang cukup kecil yaitu 0,41664 %, akan tetapi mean squared error (MSE) menunjukkan nilai yang cukup besar yaitu 2,88875. Hal ini mungkin disebabkan karena efek heteroskedastisitas yang masih terdapat dalam residu model LSTAR (2,2).

5.2 Saran Dari hasil penelitian yang dilakukan, masih terdapat efek heteroskedastis pada residu model yang dihasilkan. Kajian lebih lanjut dapat dikembangkan untuk pemodelan heteroskedastis model runtun waktu nonlinear yaitu model Smooth Transition Autoregressive Conditional Heteroscedastic (STARCH). Selain itu, ramalan dalam skripsi ini dibatasi hanya untuk satu periode ke depan. Oleh karena itu bagi para pembaca dapat melanjutkan untuk ramalan lebih dari satu periode ke depan (multi-step forecast) menggunakan metode Monte Carlo atau Bootstrap.

commit to user

PEMODELAN SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (STAR) PADA KURS THAI BATH TERHADAP RUPIAH RAHMA NUR CAHYANI

Recommend Documents