PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI NOSOKOMIAL
JUNIAWAN PRASETYO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2015 Juniawan Prasetyo NIM G54090059
ABSTRAK JUNIAWAN PRASETYO. Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA. Infeksi nosokomial merupakan infeksi yang berasal dari rumah sakit. Infeksi tersebut berkembang dan menyebar disebabkan beberapa faktor antara lain kekebalan mikroorganisme dalam tubuh dari antibiotik, penyebaran mikroorganisme antar pasien, kurangnya menjaga kebersihan pada tenaga medis dan alat medis. Jika penyebab infeksi nosokomial diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov maka banyaknya infeksi nosokomial dapat dimodelkan dengan model Poisson hidden Markov. Model Poisson hidden Markov dicirikan oleh parameternya. Parameter model diduga menggunakan metode maximum likelihood dan algoritme expectation maximization. Model Poisson hidden Markov kemudian diaplikasikan pada data infeksi nosokomial untuk menduga banyaknya infeksi nosokomial yang terjadi. Untuk mempermudah proses pendugaan parameter, proses komputasi dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 10.0. Setelah penduga parameter didapatkan maka dapat dibangkitkan barisan data observasi. Diperoleh model terbaik adalah model Poisson hidden Markov 3-state dengan root mean square error . Kata kunci: infeksi nosokomial, model Poisson hidden Markov.
ABSTRACT JUNIAWAN PRASETYO. The Poisson Hidden Markov Modeling for Nosocomial Infection. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA. Nosocomial infections are infections from the hospital. Development and spread of the infections is caused by several factors such as the immunity of microorganisms in the body of antibiotics, the spread of microorganisms between patients, the lack of hygiene in medical personnel and medical devices. If we assume that the cause of nosocomial infection is not observed directly and form a Markov chain then the number of nosocomial infections can be modeled by a Poisson hidden Markov. Poisson hidden Markov model is characterized by its parameters. Model parameters are estimated using maximum likelihood method and the expectation maximization algorithm. Poisson hidden Markov model is then applied to the data of nosocomial infections for estimating the number of nosocomial infections that occur. To simplify the process of estimating the parameters, the computation conducted by using the software Mathematica 10.0. After the model parameters are derived, observation data can be generated. The best model obtained is 3-state Poisson hidden Markov model with root mean square error . Keywords: nosocomial infections, Poisson hidden Markov model.
PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI NOSOKOMIAL
JUNIAWAN PRASETYO
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
Judul Skripsi : Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial Nama : Juniawan Prasetyo NIM : G54090059
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS Pembimbing I
Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini tidak terlepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan kali ini, penulis juga ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak dan Ibu yang saya cintai, terima kasih atas kasih sayang, didikan, nasihat, semangat serta doa yang tiada henti-hentinya buat penulis. 2. Dr Berlian Setiawaty, MS selaku pembimbing I dan Ir N K Kutha Ardhana, M.Sc selaku pembimbing II. Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis. 3. Dr Ir I Endar H Nugrahani, M.S selaku dosen penguji. Terima kasih atas waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis. 4. Adik Rezki M Ardiyanti dan Nurul Fiandari yang selalu memberi dukungan, doa, dan semangat kepada penulis. 5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang diberikan. 6. Seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis. 7. Keluarga besar Sosetomo dan keluarga besar Sumanto yang telah memberikan dukungan, doa, dan semangat kepada penulis. 8. Seluruh teman-teman Matematika Angkatan 46 yang. Terima kasih atas doa, semangat, dan dukungan yang diberikan kepada penulis. 9. Kakak-kakak Matematika Angkatan 45. 10. Adik-adik Matematika Angkatan 47. Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika.
Bogor, Februari 2015
Juniawan Prasetyo
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Infeksi Nosokomial
2
Teori Peluang
2
Rantai Markov
6
Teori Pengukuran Kesalahan
8
MODEL POISSON HIDDEN MARKOV Definisi Model Poisson Hidden Markov dan Karakteristiknya
8 8
Pendugaan Parameter
10
Algoritme Pemrograman
13
APLIKASI MODEL POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI NOSOKOMIAL YANG DISEBABKAN METHICILLIN-RESISTANT STAPHYLOCOCCUS AUREUS
14
Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus dan Data infeksi Methicillinresistant Staphylococcus Aureus
14
Pemodelan Infeksi Nosokomial dengan Model Poisson Hidden Markov
15
Hasil Komputasi
15
SIMPULAN DAN SARAN
17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
18
DAFTAR TABEL 1
Nilai loglikelihood dan nilai kesalahan berdasarkan barisan data bangkitan setiap state terhadap data observasi
16
DAFTAR GRAFIK 1 2
Grafik banyaknya infeksi nosokomial per bulan Perbandingan data dugaan berdasarkan model Poisson hidden Markov tiga state dengan data observasi
15 17
DAFTAR LAMPIRAN 1 2
Data infeksi observasi Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus beserta data dugaannya Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica 10.0
19 20
PENDAHULUAN Latar Belakang Infeksi nosokomial merupakan infeksi yang berasal dari rumah sakit. Infeksi tersebut muncul ketika seseorang yang dirawat di rumah sakit atau setelah dirawat memiliki gejala–gejala terinfeksi suatu penyakit. Secara umum infeksi nosokomial terjadi ketika seseorang yang baru masuk rumah sakit dan telah terinfeksi setelah beberapa hari dirawat di rumah sakit. Infeksi nosokomial ini dapat berasal dari tubuh pasien sendiri atau berasal dari pasien lain. Infeksi nosokomial berkembang dari beberapa faktor. Pertama, adanya kekebalan dari mikroorganisme di dalam tubuh dari antibiotik. Dalam hal ini, bakteri resisten terhadap antibiotik yang diminum oleh pasien yang terinfeksi (Harniza 2009). Kemudian adanya penyebaran mikroorganisme antar pasien. Hal tersebut terjadi akibat adanya kontak langsung dari seorang pasien yang terinfeksi dengan dokter atau perawat kemudian dokter atau perawat tersebut kontak langsung dengan pasien yang lain sehingga pasien yang lain bisa terinfeksi. Selain itu, ada beberapa faktor yang menyebabkan seseorang terinfeksi yaitu karena faktor alat medis. Infeksi nosokomial menyebabkan kerugian yaitu semakin memburuknya keadaan seorang pasien. Akibatnya seorang pasien harus lebih lama dirawat di rumah sakit. Oleh karena itu perlu adanya pengamatan terhadap berapa banyak mikroorganisme yang memiliki peluang untuk menginfeksi seorang pasien. Hal tersebut bertujuan untuk membantu rumah sakit dalam menanggulangi infeksi nosokomial. Pengamatan data terhadap penularan bakteri patogen nosokomial biasanya menggunakan analisis deret waktu yang pendek dengan low numbered counts dari pasien yang terinfeksi. Namun biasanya analisis tersebut menunjukan penyebaran yang berlebihan dan autokorelasi. Selain menggunakan metode tersebut, pengamatan data bisa dilakukan dengan analisis model hidden Markov. Analisis model hidden Markov merupakan metode baru dalam menganalisis model mekanistik dari proses epidemik. Dalam menganalisis, dibuatkan model hidden Markov yang terstruktur dengan deret waktu tertentu dari sebuah bakteri nosokomial yang diamati (Cooper et al. 2004). Kemudian melalui analisis hidden Markov, dapat diramalkan berapa banyak infeksi nosokomial yang mungkin terjadi di rumah sakit. Tujuan Penelitian Tujuan umum karya ilmiah ini adalah memodelkan infeksi nosokomial yang biasa terjadi di rumah sakit dengan model Poisson hidden Markov dan menduga barisan observasi berdasarkan model Poisson hidden Markov yang diperoleh.
LANDASAN TEORI Infeksi Nosokomial Infeksi nosokomial adalah infeksi yang berasal dari rumah sakit, yang awalnya tidak ada atau sedang mengalami masa inkubasi sebelum dirawat di rumah sakit. Infeksi nosokomial juga disebabkan oleh adanya kekebalan mikroorganisme seperti virus, jamur, dan bakteri terhadap antibiotik. Penyebaran infeksi sendiri lebih banyak terjadi di rumah sakit. Banyak kasus penyebaran infeksi nosokomial disebabkan karena penggunaaan alat-alat medis yang tidak bersih. Hal tersebut mengakibatkan infeksi lebih mudah dalam penyebarannya. Penyebaran infeksi nosokomial berasal dari pasien yang menderita suatu penyakit. Mikroorganisme yang ada di dalam tubuh penderita menempel di alatalat medis atau di bagian tubuh tenaga medis. Mikroorganisme yang menempel di alat-alat medis atau di bagian tubuh tenaga medis akan menempel di alat-alat makan atau pasien lain yang tidak terinfeksi sebelumnya. Selain itu, mikroorganisme juga bisa menginfeksi orang yang masih sehat. Infeksi nosokomial akan menginfeksi seseorang dalam jangka waktu tertentu. Jika mikroorganisme yang menginfeksi termasuk kuat, maka masa inkubasinya hanya 24 jam. Tetapi dalam beberapa kasus, masa inkubasi bakteri nosokomial di dalam tubuh rata-rata mencapai 72 jam. Beberapa faktor yang membuat seseorang bisa terinfeksi atau tidak juga bisa tergantung sistem imun dari orang yang terinfeksi. Selain itu faktor lainnya adalah resistensi bakteri terhadap sistem imun dari orang yang akan terinfeksi. Jika sistem imun seseorang yang akan terinfeksi lemah dan resistensi mikroorganisme cukup kuat, maka orang tersebut bisa terinfeksi. Beberapa kasus infeksi nosokomial terjadi di Indonesia. Infeksi nosokomial ini sering terjadi di Unit Gawat Darurat (UGD). Beberapa penyebabnya adalah penggunaan alat-alat medis yang kurang steril, tenaga medis yang kurang steril dalam melakukan pemeriksaan, bank darah yang terkontaminasi, dan lain-lain. Selain itu penyebabnya bisa dari dalam tubuh seseorang seperti kurang kuatnya sistem imun seseorang. Teori Peluang Definisi Percobaan Acak Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. (Ross 2000) Definisi Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω. (Ghahramani 2005) Definisi Medan-σ Medan-σ adalah suatu koleksi yang anggotanya himpunan bagian dari Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut.
3 1. ; 2. Jika , maka ; 3. Jika maka , dengan himpunan A. (Ghahramani 2005)
menyatakan komplemen dari
Definisi Ukuran Peluang Suatu ukuran peluang P pada adalah suatu fungsi yang memenuhi syarat-syarat berikut. 1. dan ; 2. Jika adalah himpunan-himpunan yang saling lepas, yaitu , untuk setiap dengan , maka . Pasangan disebut ruang peluang. (Ghahramani 2005) Definisi Kejadian Saling Bebas Misalkan adalah ruang peluang dan . Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika . Secara umum, misalnya I adalah himpunan indeks, himpunan kejadian disebut saling bebas jika untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Peluang Bersyarat Misalkan adalah ruang peluang dan . Jika peluang kejadian A dengan syarat diketahui kejadian B adalah
maka
(Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Peubah Acak Misalkan adalah ruang peluang. Peubah acak X merupakan fungsi di mana untuk setiap . Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Peubah Acak Diskret Misalkan adalah ruang contoh, adalah medan- dari dan adalah himpunan berhingga. Suatu fungsi disebut peubah acak diskret jika memenuhi sifat untuk setiap berlaku (Ghahramani 2005) Definisi Fungsi Sebaran Misalkan adalah peubah acak dengan ruang . Misalkan kejadian , maka peluang dari kejadian adalah . Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak . (Hogg et al. 2013)
4 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak Fungsi sebaran bersama dari dua peubah dan yang diberikan oleh
adalah fungsi
(Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Misalkan adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak disret X adalah fungsi yang didefinisikan oleh untuk setiap . (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret Misalkan adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh untuk setiap . (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat Jika X dan Y adalah peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X jika diberikan dengan untuk setiap y adalah
(Ross 2000) Definisi Fungsi Kerapatan Marginal Misalkan adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari dua peubah acak diskret dan . Misalkan adalah himpunan nilai yang mungkin dari dan adalah himpunan nilai yang mungkin dari Y. Selanjutnya fungsi
dan
masing-masing disebut fungsi kerapatan marginal dari Stirzaker 2001)
dan
. (Grimmet &
Definisi Kejadian Saling Bebas Misalkan kejadian tidak mempengaruhi kejadian dengan peluang sedemikian sehingga peluang bersyarat jika diketahui adalah maka kejadian dan dikatakan saling bebas. Kemudian dapat diperoleh peluang bersamanya dan untuk peluang bersyarat jika diketahui adalah
(Hogg et al. 2013)
5 Definisi Bebas Stokastik Identik Misalkan adalah barisan peubah acak yang memiliki fungsi kerapatan yang sama, yaitu sehingga
maka fungsi kerapatan bersamanya adalah Peubah acak disebut bebas stokastik identik. (Hogg et al. 2013) Definisi Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang maka nilai harapan dari peubah acak X adalah
(Ghahramani 2005) Definisi Ragam Misalkan merupakan sebuah peubah acak diskret dan adalah
. Ragam dari
(Ghahramani 2005) Teorema (Ghahramani 2005) Definisi Peubah Acak Poisson Suatu peubah acak dengan nilai parameter , dengan , jika
disebut peubah acak Poisson dengan
(Ghahramani 2005) Teorema
(Ghahramani 2005) Teorema Jika X adalah peubah acak yang menyebar Poisson dengan parameter , maka
(Ghahramani 2005)
.
6 Rantai Markov Definisi Ruang State Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Proses Stokastik Proses stokastik yang terdefinisi pada ruang peluang adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh ke suatu ruang state S sehingga untuk setiap adalah peubah acak. Dalam hal ini, dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu k. (Ross 2000) Definisi Rantai Markov dengan Waktu Diskret Misalkan adalah ruang peluang dan S disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap berlaku untuk semua kemungkinan nilai dari
. (Ross 2000)
Definisi Matriks Peluang Transisi Misalkan adalah rantai Markov yang terdefinisi pada dengan ruang state S berukuran N. Matriks adalah matriks peluang transisi di mana untuk semua . Nilai menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state I maka berikutnya proses akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah tak negatif dan proses harus mengalami transisi ke suatu state, maka berlaku: 1. , untuk semua ; 2. , untuk semua . (Ross 2000) Definisi Rantai Markov Homogen Rantai Markov yang terdefinisi pada dengan ruang state S dikatakan homogen jika untuk semua . Pada rantai Markov homogen, nilai tidak bergantung pada . (Ross 2000) Definisi Peluang Transisi n-step Misalkan adalah rantai Markov yang terdefinisi pada dengan ruang state S. Peluang transisi n-step adalah peluang suatu proses berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan sebagai . (Ross 2000)
7 Definisi Terakses Misalkan adalah rantai Markov yang terdefinisi pada dengan ruang state S. Suatu state j disebut terakses dari state i, dinotasikan jika ada sebuah bilangan bulat sehingga . (Ross 2000)
,
Definisi Berkomunikasi Misalkan adalah rantai Markov yang terdefinisi pada dengan ruang state S. Dua state i dan state j disebut berkomunikasi, dinotasikan , jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i. (Ross 2000) Definisi Kelas State Misalkan adalah rantai Markov yang terdefinisi pada dengan ruang state S. Suatu kelas state adalah suatu himpunan tak kosong sehingga semua pasangan state anggota C berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota C. (Ross 2000) Definisi Rantai Markov Tak Tereduksi Suatu rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan yang lainnya. (Ross 2000) Definisi Berulang State i dari suatu rantai Markov disebut berulang (recurrent) jika (Ross 1996)
.
Definisi Periode, Periodik, dan Aperiodik Misalkan adalah rantai Markov yang terdefinisi pada dengan ruang state S. Suatu state i disebut memiliki periode d ditulis d(i) jika d adalah persekutuan terbesar bagi n sehingga , dinotasikan . Suatu state i disebut periodik jika dan aperiodik jika . (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Positive Recurent dan Null Recurrent Misalkan adalah rantai Markov yang terdefinisi pada dengan ruang state . Suatu state disebut positive recurrent jika state tersebut adalah recurrent serta berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga. State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 2000) Definisi Ergodik Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik. (Ross 2000) Teorema Misalkan
adalah rantai Markov ergodik yang terdefinisi pada dengan ruang state S berukuran . Misalkan merupakan
8 matriks peluang transisi berukuran dengan Nilai harapan Nilai harapan dari dinotasikan dan , di mana (Ross 2000)
. yang memenuhi
Teori Pengukuran Kesalahan Definisi Root Mean Square Error Pengukuran kesalahan pada data duga dengan menghitung rata-rata kuadrat dari perbedaan nilai estimasi dengan nilai observasi suatu variabel. Jika nilai RMSE semakin kecil maka estimasi model atau variabel tersebut semakin valid. Nilai statistik RMSE adalah
dengan merupakan nilai dari data duga pada waktu , merupakan nilai dari data observasi pada waktu , dan merupakan banyaknya data. (Hyndman & Koehler 2006)
MODEL POISSON HIDDEN MARKOV Definisi Model Poisson Hidden Markov dan Karakteristiknya Pada bab ini akan dibahas model Poisson hidden Markov (MPHM) beserta karakteristiknya. Model Poisson hidden Markov adalah model hidden Markov dengan waktu diskret yang terdiri atas pasangan . merupakan penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan membentuk suatu rantai Markov. Sedangkan adalah proses observasinya yang bergantung pada . Jika diasumsikan untuk setiap t, dengan diketahui adalah peubah acak Poisson, maka pasangan disebut model Poisson hidden Markov. Karakteristik dari model Poisson hidden Markov dapat dicirikan sebagai berikut. 1. Diasumsikan adalah rantai Markov yang diskret, homogen, aperiodik, dan tak tereduksi dengan ruang state . 2. Matriks peluang state transisi , di mana matriks berukuran
Dalam model Poisson hidden Markov peubah yang diamati menyebar Poisson untuk setiap . Saat berada pada state i , maka sebaran bersyarat jika diketahui adalah peubah acak Poisson dengan
9 parameter observasi
. Untuk setiap , dengan
3. Vektor peluang state awal dengan
, matriks peluang dari proses
, di mana
merupakan vektor berukuran
Karena rantai Markov diasumsikan rantai Markov yang ergodic, maka merupakan sebaran stasioner sehingga memenuhi persamaan . 4. Untuk setiap , fungsi sebaran marginal dari yaitu
Selanjutnya akan dicari nilai harapan dan ragam dari diberikan oleh
dengan merupakan vektor yang didefinisikan sebagai untuk ragam dari diberikan oleh
. Nilai harapan dari
. Kemudian
ar ar
dengan merupakan diag . Dari persamaan tersebut dapat ditunjukkan bahwa terjadinya overdispersi, yaitu (Bukti lihat Gustra 2014) Jadi model Poisson hidden Markov { dan dengan
dicirikan oleh parameter
dan
10 Pendugaan Parameter Suatu barisan observasi diasumsikan dibangkitkan oleh model Poisson hidden Markov. Didefinisikan fungsi likelihood dengan parameter sebagai berikut
dengan
Pada subbab sebelumnya telah diketahui model Poisson hidden Markov bergantung pada beberapa parameter. Parameter tersebut adalah vektor peluang state awal , matriks peluang transisi dengan dan peluang state dari proses observasinya dengan dan . Misalkan adalah vektor dari parameter yang akan diduga dengan metode maksimum likelihood dengan fungsi likelihood yang sudah didefinisikan sebelumnya dan merupakan ruang paramaternya. Algoritma Expectation Maximization Mendapatkan penduga maksimum likelihood secara analitik sangatlah sulit. Oleh sebab itu, digunakanlah metode numerik untuk menemukan maksimum likelihood. Salah satu metode yang bisa digunakan untuk menduga maksimum likelihood adalah menggunakan algoritme Expectation Maximization (Algoritme EM). Algoritme EM terdiri atas dua langkah pada setiap iterasinya. Langkah pertama adalah langkah E yang menduga data yang tidak diamati. Setelah pendugaan data yang tidak diamati, kemudian akan diduga parameter-parameter pada langkah M. Ambil sebagai fungsi yang didefinisikan pada langkah E, yaitu untuk setiap vektor yang berada pada ruang parameter . Langkah-langkah dalam algoritme EM adalah sebagai berikut. Ambil sebagai vektor penduga yang didapat pada iterasi kepada iterasi kelangkah E dan M didefinisikan sebagai berikut. , hitung 1. Langkah E – diberikan 2. Langkah M – cari untuk setiap langkah
yang memaksimumkan .
, sehingga
11 Langkah E dan M diulang hingga
konvergen atau selisih
kurang dari galat yang diinginkan. Teorema Misal untuk setiap dan bilangan kecil yang sebarang, maka 1. himpunan bagian yang terbatas dari ; 2. kontinu di dan terturunkan di interior ; kompak untuk setiap ; 3. 4. kontinu pada dan . (Bukti lihat Paroli et al. 2000). Jika algoritme konvergen pada iterasi ke, maka bisa dikatakan adalah titik stasioner dan adalah penduga maksimum lokal dari fungsi likelihood. Dalam MPHM, parameter Poisson harus positif dan terbatas. Akan tetapi titik stasioner yang konvergen dalam algoritme EM belum tentu merupakan titik yang maksimum global. Maka untuk mengidentifikasi titik yang maksimum global, penentuan titik awal sangatlah penting. Algoritme Forward-Backward Algoritme forward-backward digunakan untuk menentukan peluang munculnya barisan observasi , yaitu Peluang forward yang dinotasikan adalah peluang dari observasi dan berada pada state i di waktu t, yaitu Prosedur algoritme forward 1. Diberikan nilai awal untuk
.
2. Dengan cara induksi akan diperoleh
dengan Sedangkan peluang backward yang dinotasikan adalah peluang observasi parsial dan berada pada state i di waktu t, yaitu Prosedur algoritme backward 1. Diberikan nilai awal untuk
.
12 2. Dengan cara induksi akan diperoleh
dengan (Bukti lihat MacDonald & Zucchini 1997; Wijayanti 2010) Re-estimasi Parameter Pada tahap ini, akan dimaksimumkan peluang observasi untuk memperoleh nilai parameter model Poisson hidden Markov yang dapat dengan baik mendeskripsikan rangkaian observasi yang terjadi. Dengan memaksimumkan fungsi yaitu , maka dapat meningkatkan nilai fungsi likelihood. Fungsi pada langkah E pada iterasi kepada algoritma EM adalah
(Bukti lihat Gustra 2014) di mana dan nilainya didapatkan berdasarkan formula dari persamaan , , , , dan , masing-masing persamaan berdasarkan nilai dari parameter yang didapat pada iterasi ke- , sedangkan untuk didapat dari persamaan . Berdasarkan asumsi, memuat informasi tentang matriks peluang transisi , karena untuk setiap Menurut Basawa dan Rao (1980), untuk T yang sangat besar, pengaruh dari bisa diabaikan. Sehingga pada langkah M pada iterasi ke, untuk mendapatkan , penjumlahan pertama pada formula dapat dilewati pada saat memaksimumkan . Penduga maksimum likelihood yang didapat pada iterasi kedengan algoritme EM, yaitu
untuk setiap state i dan state j pada rantai Markov maksimum likelihood yang didapat pada iterasi ke-
untuk setiap state i pada rantai Markov
. Sedangkan penduga , yaitu
. (Bukti lihat Gustra 2014)
13 Algoritme Pemrograman Diketahui barisan data . Akan diduga parameter model Poisson Hidden Markov yang memaksimumkan fungsi likelihood. Algoritme yang digunakan adalah sebagai berikut: Langkah 1: Input data
dengan banyaknya data .
Langkah 2: . Input kode untuk mencari yang memenuhi syarat Input kode untuk mencari secara acak, di mana dan memenuhi syarat , . dan memenuhi Input kode untuk mencari secara acak, di mana syarat , . Input kode untuk menentukan kelas dari proses yang lebih spesifik. Input kode untuk formula Root Mean Square Error (RMSE). Langkah 3: Tetapkan nilai SeedRandom agar nilai tidak berubah. . Bangkitkan untuk Masukkan nilai parameter awal untuk yaitu pada fungsi HiddenMarkovProcess yang telah ada pada perangkat lunak Mathematica 10.0. Fungsi HiddenMarkovProccess merupakan fungsi yang sudah ada di Mathematica 10.0 yang digunakan untuk memasukkan parameter awal. Langkah 4: Estimasi proses dari fungsi HiddenMarkovProcess yang sudah diisi dengan nilai awal parameter menggunakan fungsi EstimatedProcess yang telah ada pada perangkat lunak Mathematica 10.0. Fungsi EstimatedProcess merupakan fungsi yang sudah ada di Mathematica 10.0 yang digunakan untuk menduga suatu proses dari data yang sudah diperoleh. Langkah 5: Mencari nilai loglikelihood dari model yang telah didapat dari fungsi EstimatedProcess dengan fungsi. Langkah 6: Tetapkan nilai SeedRandom agar barisan data bangkitan tetap. Bangkitkan barisan data bangkitan berdasarkan model estimasi yang didapat. Langkah 7: Hitung besaran error dari barisan data bangkitan dengan RMSE. Kembali ke langkah 3, lakukan untuk .
terhadap data observasi
14
Untuk , bandingkan nilai RMSE dengan lebih kecil dari , kembali ke langkah 3. Berhenti ketika nilai RMSE lebih kecil dari .
. Jika nilai RMSE
APLIKASI MODEL POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI NOSOKOMIAL YANG DISEBABKAN METHICILLIN-RESISTANT STAPHYLOCOCCUS AUREUS Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus dan Data infeksi Methicillinresistant Staphylococcus Aureus Methicilin merupakan antibiotik yang digunakan sebagai terapi pasien dengan infeksi penicillin-resistant Staphylococcus aureus. Semakin bertambah jumlah infeksi penicillin-resistant Staphylococcus aureus maka semakin meningkat pula penggunaan methicillin oleh pasien. Hal tersebut mengakibatkan munculnya bakteri yang resisten terhadap antibiotik methicillin. Methicillin-resistant Staphylococcus aureus (MRSA) merupakan bakteri yang sering ditemukan pada pasien di rumah sakit. Methicillin-resistant Staphylococcus aureus merupakan bakteri primer penyebab infeksi nosokomial, terutama pada pasien usia tua yang dirawat di rumah sakit atau Intensive Care Unit (ICU). Namun beberapa dekade ini ditemukan MRSA di luar rumah sakit (comummunity-associated MRSA/CA-MRSA) dan pasien yang tidak memiliki riwayat pernah dirawat atau terpapar di unit kesehatan lain. CA-MRSA menyebabkan infeksi kulit dan jaringan lunak, pustolosis, furunkulosis, maupun abses. Laporan yang telah ditemukan mengungkapkan bahwa ada juga pasien pneumonia berat yang diakibatkan CA-MRSA. Tentunya semenjak dilaporkan kasus infeksi CA-MRSA unit pelayanan kesehatan dan rumah sakit sudah terpapar oleh bakteri ini (Harniza 2009). MRSA sama seperti bakteri Staphylococcus yang menginfeksi pada bagian kulit dan saluran pernapasan. Pada umumnya ciri-ciri seseorang telah terinfeksi adalah munculnya benjolan yang menyerupai jerawat, bisul, atau gigitan laba-laba. Kemudian benjolan tersebut bisa menyakitkan yang membutuhkan pembedahan. Kadang-kadang infeksi juga dapat masuk ke dalam tubuh dan mengancam nyawa, misalnya menyebabkan infeksi pada tulang, sendi, luka bedah, aliran darah, katup jantung, dan paru-paru. Cara pencegahan penularan infeksi MRSA sangat mudah. Alkohol 70% dapat efektif sebagai sanitasi pencegahan penularan infeksi MRSA. Kemudian dengan pembersihan rutin ruang-ruang rawat dengan Nonflammable Alcohol Vapor in CO2 (NAV-CO2) system yaitu zat yang sering digunakan untuk sanitasi ruangan pasien dengan MRSA. Selain itu para pengunjung juga selalu cuci tangan dengan sabun ketika pulang dari rumah sakit. Pengobatan dari infeksi MRSA dapat dilakukan dengan penggunaan antibiotik selain jenis penicillin beserta turunannya seperti methicillin, dicloxacillin, nafcillin, dan oxacillin. Tetapi dalam beberapa kasus, antibiotik mungkin tidak diperlukan. Terkadang dokter hanya menguras abses dangkal yaitu
15 suatu cairan nanah akibat reaksi pertahanan tubuh terhadap benda asing yang terlihat. Data yang digunakan pada skripsi ini didapat dari ICARE (Intensive Care Antimicrobial Resistance Epidemiology) project, sebuah studi pengamatan di dalam Intensive Care Units (ICUs) dari bulan April 1998 sampai dengan Oktober 2005 (Cooper et al. 2004). Pengamatan tersebut dilakukan di 41 rumah sakit di Amerika. Tujuan dari pengamatan tersebut adalah untuk mengetahui berapa banyak pasien yang terinfeksi bakteri nosokomial per bulan. 9 8
Banyaknya infeksi
7 6 5 4 3 2 1 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Bulan ke-
Grafik 1 Grafik banyaknya infeksi nosokomial per bulan Pemodelan Infeksi Nosokomial dengan Model Poisson Hidden Markov Diasumsikan kedatangan barisan data infeksi dibangkitkan berdasarkan pengaruh dari proses penyebab kejadian yang membentuk rantai Markov dan tidak diamati secara langsung. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya infeksi nosokomial di rumah sakit diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov yang dinotasikan dengan . Data observasi banyaknya infeksi diasumsikan menyebar Poisson dan mengalami overdispersi yang dinotasikan dengan . Jika diasumsikan untuk setiap t, diketahui dengan diketahui adalah peubah acak Poisson, maka pasangan disebut model Poisson hidden Markov. Hasil Komputasi Dari algoritme pemrograman dibuat program komputasi dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica 10.0. Berdasarkan fungsi EstimatedProcess, banyaknya state yang dapat diestimasi adalah 4 state. Nilai kesalahan yang didapat dari Root Mean Square Error (RMSE) dan nilai loglikelihood dapat dilihat pada Tabel 1.
16 Loglikelihood
RMSE
1
-121.521
1.5239
2 3
-97.8056 -95.3273
1.3663 1.2953
4
-93.9389
1.3944
Tabel 1 Nilai loglikelihood dan nilai kesalahan berdasarkan barisan data bangkitan setiap state terhadap data observasi Dari nilai yang ditunjukkan pada Tabel 1, model Poisson hidden Markov tiga state atau memiliki kesalahan terkecil dibandingkan dengan model Poisson hidden Markov dengan . Nilai kesalahan untuk berdasarkan RMSE adalah . Matriks peluang transisi untuk yang didapat dari proses estimasi, yaitu:
di mana merupakan peluang penyebab infeksi nosokomial. Dapat dilihat peluang infeksi setelah datangnya infeksi yang disebabkan oleh state 1 akan kembali terjadi lagi oleh penyebab state 1 sebesar . Terdapat peluang bahwa akan terjadi infeksi yang disebabkan pada state 2 setelah terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 1 dan seterusnya hingga peluang akan terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 3 setelah terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 3. Berdasarkan matriks peluang transisi yang didapat setelah proses estimasi, peluang vektor awal yang memenuhi syarat , yaitu: di mana peluang terjadinya infeksi pertama yang disebabkan oleh state 1 adalah , peluang terjadinya infeksi pertama yang disebabkan oleh state 2 adalah , peluang terjadinya infeksi pertama yang disebabkan oleh state 3 adalah . Vektor penduga parameter Poisson yang didapat dari proses estimasi, yaitu: di mana dari vektor tersebut diduga akan terjadi infeksi yang disebabkan state 1 dengan laju per bulan, akan terjadi infeksi yang disebabkan state 2 dengan laju per bulan, akan terjadi infeksi yang disebabkan state 1 dengan laju per bulan. Dari parameter yang telah didapat dari proses estimasi untuk yaitu matriks peluang transisi , vektor peluang awal , dan vektor parameter Poisson , telah dibangkitkan barisan data berdasarkan proses estimasi yang dapat dilihat pada Gambar 2. Dari Gambar 2 dapat dilihat infeksi terbanyak adalah lima infeksi per bulan pada bulan ke-41 dan bulan ke-42. Untuk paling sedikit infeksi adalah nol atau tidak ada infeksi per bulan. Rata-rata terjadinya infeksi nosokomial pada data dugaan adalah per bulan. Dari Gambar 2 dilihat beberapa bulan tidak terdapat infeksi nosokomial. Hal tersebut sama dengan data observasinya yang terdapat beberapa bulan tidak ada infeksi nosokomial.
17
9 8
7 Banyaknya Infeksi
6 5 data dugaan
4
data observasi
3 2
1 0
0
20
40
60
80
100
Bulan ke-
Grafik 2 Perbandingan data dugaan berdasarkan model Poisson hidden Markov tiga state dengan data observasi
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Model Poisson hidden Markov digunakan untuk memodelkan banyaknya infeksi nosokomial yang terjadi pada 41 rumah sakit di Amerika per bulan dari April 1998 sampai dengan Oktober 2005. Berdasarkan pengukuran kesalahan dari RMSE diperoleh model Poisson hidden Markov yang terbaik adalah 3 state. Nilai kesalahan berdasarkan RMSE yang didapat adalah . Dari data dugaan didapat infeksi terbanyak adalah 5 infeksi per bulan dan paling terkecil adalah tidak terjadi infeksi. Rata-rata infeksi nosokomial per bulan pada data dugaan adalah per bulan. Saran Model Poisson hidden Markov pada karya ilmiah belum secara realistik memodelkan data infeksi nosokomial yang terjadi. Selain itu data yang digunakan adalah data dari rumah sakit yang ada di Amerika sehingga masih belum diketahui apakah model ini cocok untuk data rumah sakit yang ada di Indonesia. Oleh sebab itu karya ilmiah ini masih memungkinkan untuk dilanjutkan dengan membuat model deret waktu Poisson hidden Markov waktu sebelumnya dan dengan menggunakan data terbaru yang ada di Indonesia.
18
DAFTAR PUSTAKA Basawa IV, Rao BLSP. 1980. Statistical Inference for Stochastic Processes. London: Academic Press. Cooper B, Lipsitch M. 2004. The Analysis of hospital infection data using hidden Markov models. Biostatistics, 5:223-237. Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed ke-2. New Jersey: Prentice Hall. Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford: Clarendon Press. Gustra H. 2014. Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson Hidden Markov untuk Data Overdispersi. [Skripsi] IPB. Harniza Y. 2009. Pola Resistensi Bakteri yang Diisolasi dari Bangsal Bedah Rumah Sakit Umum Pusat Nasional Cipto Mangunkusumo pada Tahun 20032006. [Skripsi] Universitas Indonesia. Hyndman RJ, Koehler AB. 2006. Another look at measures of forecast accuracy. International Journal of Forecasting, 22:679-688. Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2013. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey. MacDonald IL, Zucchini W. 1997. Hidden Markov and Other Models for Discrete-valued Time Series. London: Chapman & Hall. Paroli R, Redaelli G, Spezia L. 2000. Poisson hidden Markov models for time series of overdispersed insurance counts. Astin Colloquium: 461-474. Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed ke-2. New York: John Wiley & Sons. Ross SM. 2000. Introduction to Probability Models. Ed ke-7. Burlington: Academic Press. Wijayanti H. 2010. Kajian Model Hidden Markov Diskret dengan Algoritme Rabiner dan Aplikasinya pada DNA. [Tesis] IPB.
19 Lampiran 1 Data infeksi observasi Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus beserta data dugaannya Bulan ke Data Observasi 1 1 2 0 3 1 4 8 5 3 6 5 7 0 8 1 9 3 10 0 11 3 12 3 13 1 14 4 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 21 2 22 2 23 2 24 0 25 0 26 0 27 0 28 0 29 0 30 0 31 0 32 0 33 0 34 2 35 1 36 2 37 1 38 2 39 1
Data Dugaan 3 3 2 1 3 1 0 1 1 2 2 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 1 0 3 2
Bulan ke 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
Data Observasi 2 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
Data Dugaan 1 5 2 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 Bulan ke 79 80 81 82 83 84
Data Observasi 0 2 0 1 1 0
Data Dugaan 0 0 1 0 0 0
Bulan ke 85 86 87 88 89 90
Data Observasi 2 0 0 0 0 1
Data Dugaan 0 0 0 0 0 0
Dari data tersebut didapat dan . Dari kedua hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa data tersebut overdispersi. Kemudian yang berlabel warna kuning merupakan perbedaan nilai antara data observasi dengan data dugaan. Lampiran 2 Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica 10.0
21
22
23
24
25
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Gunung Kidul pada tanggal 4 Juni 1991 dari ayah Subardiyono dan ibu Sugiyanti. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Islam. Penulis adalah putra pertama dari dua bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri 01 Pondok Jaya Tangerang Selatan, tahun 2006 penulis lulus dari SMP Negeri 12 Tangerang Selatan dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Tangerang Selatan. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa departemen Matematika FMIPA IPB. Penulis juga aktif sebagai staf Divisi Kesekretariatan himpunan profesi Matematika GUMATIKA IPB 2010/2011 dan staf Divisi Komunikasi dan Publikasi GUMATIKA IPB 2011/2012. Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti kegiatan seperti kepanitiaan Pesta Sains Nasional 2010/2011 sebagai staf Divisi Kesekretariatan, Pesta Sains Nasional 2011/2012 sebagai staf Divisi Kesekretariatan, dan IPB Mathematics Challenge (IMC) 2011/2012 sebagai ketua Divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi.
