BAB I
PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS
INTEGRAL I A
RANGKUMAN INTEGRAL
1. Pengertian Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada selang I sedemikian hingga F (x) = f(x), maka anti turunan (integral) dari f(x) adalah F(x) + C, dengan C konstanta sembarang. 2. Integral Tak Tentu ∫ f(x) dx = F(x) + C dengan F(x) adalah fungsi integral umum bersifat F (x)= f(x) f(x) disebut integran, dan C konstanta integrasi. Sifat-sifat Integral Tak Tentu a. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx b. ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx c. ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx Rumus Dasar Integral Tak Tentu a. ∫ dx = x + C b. ∫ a dx = ax + C c. ∫ xn dx = n11 xn + 1 + C, n –1 d. e. f. g.
h. ∫ csc2 x dx = –cot x + C i. ∫ sec x tan x dx = sec x + C j. ∫ csc x cot x dx = –csc x + C 1 k. dx = ln x + CAL x l. ∫e x dx = e x + C ax m. ∫a x dx = +C ln a
∫ a xn dx = na1 xn + 1 + C, n –1 ∫ sin x dx = –cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C ∫ sec2 x dx = tan x + C
Penerapan intagral tak tentu dy = f(x) atau gradien garis singgung kurva m = f(x), dx dengan syarat awal y = y0 bila x = x0 diberikan untuk memperoleh nilai konstanta C, maka ini setara dengan y = ∫ f(x) dx b. Dalam bidang fisika tentang gerak, dikenal s(t) = posisi/jarak, v(t) = kecepatan dan a(t) = percepatan, pada saat waktu t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka berlaku ds dv d 2s = v(t) s = ∫ v(t) dt dan = a(t) = v = ∫ a(t) dt dt dt dt 2 3. Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Andaikan f kontinu (karenanya terintegralkan) pada [a, b] dan andaikan F sebarang antiturunan dari f
a. Jika diketahui persamaan F (x) = f(x) atau
disana, maka
b b a f ( x)dx = [F(x)] a = F(b) – F(a)
Sifat-sifat integral tentu Jika fungsi-fungsi f dan g terintegralkan pada [a, b] dan k konstanta, maka integral tentu memenuhi sifatsifat umum sebagai berikut : a.
a a f ( x)dx = 0
b.
a f ( x)dx b f ( x)dx
c.
a kdx = k (b – a)
d.
a k f ( x)dx k a f ( x)dx
b
a
b
b
b
b
b
b
e.
a [ f ( x) g ( x)]dx a f ( x)dx a g ( x)dx
f.
b c c a f ( x)dx + b f ( x)dx = a f ( x)dx , dengan a < b < c
g.
b b a f ( x)dx a g ( x)dx , jika f(x) g(x)
h.
b a f ( x)dx 0, jika f(x) 0
4. Integral Substitusi pada integral tak tentu Jika g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan F adalah suatu antiturunan dari f, maka jika u = g(x) f (g(x)) g (x) dx = f (u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C pada integral tentu Jika g mempunyai turunan kontinu pada [a, b] dan f kontinu pada daerah nilai dari g dan F adalah suatu antiturunan dari f, maka jika u = g(x) 1 Integral
Sikat Habis UN 2014
b
g (b )
a
g (a)
g (b ) f (g(x)) g (x) dx = f (u) du = [F(u)] g ( a ) = F(g(b)) – F(g(a))
5. Teknik Pengintegralan Trigonometri Rumus Identitas Trigonometri yang Perlu Diketahui a. b. c. d. e.
h. 2 cos x sin y = sin (x + y) – sin (x – y) i. 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x – y) j. –2 sin x sin y = cos(x + y) – cos (x – y)
sin2 x + cos2 x = 1 tan2 x + 1 = sec2 x cot2 x + 1 = csc2 x sin 2x = 2 sin x cos x sin2 x = 12 – 12 cos 2x 2
1 2
1 2
f. cos x = + cos 2x g. 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x – y)
k. bentuk
a 2 x 2 , misalkan x = a sin t
l.
bentuk
a 2 x 2 , misalkan x = a tan t
m. bentuk
x 2 a 2 , misalkan x = a sec t
Integral berbentuk sinm x cosn x dx a. Jika m + n ganjil : misalnya cos x berpangkat ganjil, maka keluarkan cos x satu buah, kemudian substitusi cos2 x = 1 – sin2 x u = sin x du = cos x dx b. Jika m + n genap : gunakan rumus dasar sin2 x = 12 – 12 cos 2x cos2 x =
1 2
+
1 2
cos 2x
6. Integral Parsial Andaikan u = u(x) dan v = v(x), maka b
b
a
a
u dv = u v – v du atau u dv = [u v] ba – v du 7. Menentukan Luas Daerah a. Dibatasi satu kurva, a x b , f(x) > 0 b
b
a
a
y = f (x)
L = f (x) dx = y dx a a
b. Dibatasi satu kurva, a x b , f(x) < 0 b
b
a
a
b b
L = – f (x) dx = – y dx
c.
y = f (x) y1 = f (x)
Dibatasi dua kurva, a x b, f(x) > g(x) b
b
a
a
L = [f (x) – g (x)] dx = (y1 – y2) dx
y2 = g (x) a
8. Menentukan Volume Benda Putar mengelilingi sumbu X a. Dibatasi satu kurva, a x b , f(x) > 0 b
b
a
a
b
V = [f (x)]2 dx = y2 dx b. Dibatasi dua kurva, a x b, f(x) > g(x) b
V = [f (x)]2 – [g (x)]2 dx a b
= (y12 – y22) dx a
mengelilingi sumbu Y a. Dibatasi satu kurva, c y d , f(y) > 0 d
d
c
c
V = [f (y)]2 dy = x2 dy
2 Integral
Sikat Habis UN 2014
b. Dibatasi dua kurva, c y d, f(y) > g(y) d
V = [f (y)]2 – [g (y)]2 dy c
II B 1.
SOAL DAN PEMBAHASAN
6
(x
4
2 x 9)dx ......
Jawaban :
6
(x
4
2 x 9)dx . (6 x 4 2 x 9)dx
2 x 2 9 x C 2 x 3 2 x 9 x C 3 x
2. ∫(x – 2)(x + 3) dx = …. 1 1 1 3 1 2 a. ( x2 – x)( x2 + 3x) + C c. x + x – 6x + C 2 2 3 2 b. x2 + x – 6 + C d. 2x3 + x2 – 6x + C Jawaban: c Penyelesaian: ∫(x – 2)(x + 3) dx = ∫( x2 + x – 6) dx 1 1 = x3 + x2 – 6x + C 3 2
e.
1 3 1 2 x – x – 6x + C 3 2
3. Ebtanas 1998 Gradien garis singgung kurva pada setiap titik (x, y) dinyatakan oleh (1, 4), maka persamaan kurva adalah …. a. y = 2x3 x2 + x + 6 c. y = 2x3 x2 + x + 2 b. y = 2x3 x2 + x + 4 d. y = 3x3 2x2 + x + 2 Jawaban: d Penyelesaian: dy = 6x2 – 2x + 1 dx dy = (6x2 – 2x + 1) dx y = 2x3 x2 + x + C Karena kurva melalui titik (1, 4), maka 4 = 2(1)3 – (1)2 + (1) + C C=2 Jadi, persamaan kurva adalah y =2x3 x2 +x +2.
dy = 6x2 – 2x + 1. Jika kurva melalui titik dx
e. y = 3x3 2x2 + x + 4
4. sin x sec2 x dx = …. a. sin x + C b. cos x + C c. tan x + C d. cotan x + C Jawaban: e Penyelesaian: 1 sin x 1 . sin x sec2 x dx = sin x dx = dx = tan x sec x dx = sec x + C 2 cos x cos x cos x
e. sec x + C
5. Ebtanas 2001 Hasil dari x 2 x 2 1 dx = …. 3 a. 2x 2 1 + C 2 b.
3
2 2x 2 1 Jawaban: e Penyelesaian:
+C
c. d.
2
+C
3 2x 1 2 (2 x 2 1) 2 x 2 1 + C 3 2
e.
1 (2 x 2 1) 2 x 2 1 + C 6
3 Integral
Sikat Habis UN 2014
1
3
1 1 1 2 2 2 2 2 2 x 2 x 1 dx = (2 x 1) 2 d(2x + 1) = (2 x 1) 2 + C = (2x + 1) 2 x 1 + C 6 4 4 3 2
6. UAN 2003 Nilai x sin (x2 + 1) dx = …. a. –cos (x2 + 1) + C c. 2 cos (x2 + 1) + C 1 1 b. cos (x2 + 1) + C d. cos (x2 + 1) + C 2 2 Jawaban: b Penyelesaian: 1 x sin (x2 + 1) dx = sin (x2 + 1) d(x2 + 1) 2 1 = cos (x2 + 1) + C 2
e. cos (x2 + 1) + C
7. UAN 2002 1
Hasil dari x2(x – 6) dx = …. 1
a.
–4
b. –
1 2
c. 0
d.
1 2
e.
4 12
e.
Jawaban: a Penyelesaian: 1
1
1
1
1
1
2 3 4 3 x (x – 6) dx = (x – 6x) dx = x 2 x = 2 2 = – 4 4 4 1 4 1 1
8. Ebtanas 1999 2
Nilai cos 2x sin x dx = …. 0
1 12 Jawaban: b Penyelesaian:
a.
b.
2
4 12
c.
5 12
d.
10 12
11 12
1 2 cos 2x sin x dx = (sin 3x – sin x) dx 2 0 0
2 = 1 1 cos 3x cos x
2 3
0
1 1 3 1 cos cos 0 cos 0 cos 2 3 2 2 3
=
1 0 2 1 = 3
=
2 3
9. UAN 2003 2
Hasil dari cos x sin2 x dx = .... 0
1 a. 3 Jawaban: a Penyelesaian:
b.
2
2
0
0
1 2
2 2 cos x sin x dx = sin x d(sin x) =
c.
1 3
d.
1 2
e.
1 1 1 1 [sin3 x] 02 = [sin3 – sin3 0] = [1 – 0] = 3 3 3 3 2
10. UAN 2003 4 Integral
Sikat Habis UN 2014
x cos x dx = ….
0
a. 2 Jawaban: a Penyelesaian:
b. 1
c. 0
d. 1
e. 2
Metode Praktis: Diferensialkan (+) x (–) 1 0
Pilih u = x du = dx dv = cos x dx v = cos x dx = sin x, sehingga
0
0
x cos x dx = [x sin x] 0 – sin x dx
Integralkan cos x sin x cos x
x cos x dx = [x sin x + cos x]
x] 0
= [ sin – 0] + [cos = [0] + [cos – cos 0] = (1 – 1) = 2
0
0
= [ sin + cos] – [0 + cos 0] = (1 – 1) = –2
11. Ebtanas 2000 Luas daerah yang dibatasi kurva y = 2x2 – 8 dan sumbu X pada 0 ≤ x ≤ 3 adalah …. satuan luas. a. 10 23 b. 14 13 c. 15 13 d. 17 23 e. 18 13
Jawaban: c Penyelesaian: Luas daerah yang diarsir terdiri dari dua bagian, di bawah sumbu X dan diatas sumbu X, sehingga 2
L1 = – (2x2 – 3) dx atau L1 = 0 2
2 = x 3 8 x 3 0 16 =– + 16 3 = 10 23
=
Y 10
3 2 luas OABC dan L2 = (2x2 – 3) dx 3 2 3
2 = x 3 8x 3 2
2 [(2)(8)] 3
y = 2x2 – 8
= 18 – 24 + 10 23
= 10 23
=4
C 2
2 3
Jadi, luas daerah yang diminta adalah 10 23 + 4 23 = 15 13 satuan luas.
1 O
1
A
X 2
3
B
8
12. UAN 2003 Jika f (x) = (x – 2)2 – 4 dan g (x) = f (x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah …satuan luas. a. 10 23 b. 21 13 c. 22 23 d. 42 23 e. 45 13 Jawaban: b Penyelesaian: Kurva fungsi f (x) = (x – 2)2 – 4 = x2 – 4x dan g(x) = f (x) = 4x – x2 diperlihatkan pada gambar di bawah. Daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi f dan g. 4
L = (4x – x2 – x2 + 4x) dx 0 4
= (8x – 2x ) dx 2
0 4
2 = 4 x 2 x 3 3 0 128 = 64 – 3 = 21 13
Metode Praktis: Persekutuan antara parabola f (x) = (x – 2)2 – 4 = x2 – 4x dan g(x) = f (x) = 4x – x2 adalah x2 – 4x = 4x – x2 2x2 – 8x = 0 dengan a = 2, b = –8, c = 0 dan D = (–8)2 – 4(2)(0) = 64, maka 64 64 D D L= = = 21 13 2 6(2) 2 6a
Y 4 y = x2 4x
O
2
4
X y = 4x – x2
4
Jadi, luas daerah yang diminta adalah 21 13 satuan luas. 13. Ebtanas 2001 5 Integral
Sikat Habis UN 2014
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva x = mengelilingi sumbu Y sejauh 360o adalah ...satuan volume. 1 1 7 a. b. c. 2 6 48 Jawaban: c Penyelesaian: 4
2 V = 2 2 y
2
dy 4
4 = 3 3y 2
1 48
e.
7 320
4
= 4y – 4 dy 2
4 4 = 3 3 3 ( 4 ) 3 ( 2 )
=
Jadi, volume benda putar yang diminta adalah C
d.
2 pada interval 2 y 4 diputar y2
7 48
7 satuan volume. 48
LATIHAN SOAL
1. Ebtanas 1992 Hasi dari ∫(4x3 + 3x2 + 2x + 1) dx = .… a. x4 + x3 + x2 + c d. 4x4 + 3x3 + 2x2 + x +c 4 3 2 b. x + x + x + x + c e. 12x4 + 6x3 + 2x2 + c 4 3 2 c. 4x + 3x + 2x + c 2. Hasil dari a. b. c. d. e.
(x
x
1 x
)dx ...
3 2 x +C 2 5 2 1 x x x C 2 2 2 2 x x 2 x C 5 2 3 x x 2 x C 7 2 2 2 x x x x C 5 3
3. UN 2004 Gradien garis singgung di sembarang titik pada suatu kurva ditentukan oleh rumus y = 3x2 – 6x + 2. Jika kurva tersebut melalui titik (1, –5), maka persamaan kurvanya adalah …. a. y = x3 – 3x2 + 2x + 5 d. y = x3 – 3x2 + 2x + 1 b. y = x3 – 3x2 + 2x – 5 e. y = x3 – 3x2 + 2x c. y = x3 – 3x2 + 2x – 1 4. Ebtanas 1990 3
Nilai dari (3x 1)( x 1) dx adalah …. 1
a. 34 b. 33 5. UN 2008 4
Hasil
x 1
c. 32 d. 25 2
e. 28
dx = .... x
a. –12
c. 2 3 d. 2
b. –4
e. –3
6. UN 2007 3
Diketahui (3x2 + 2x + 1)dx = 25. Nilai a
1 a = …. 2 6
Integral
Sikat Habis UN 2014
a. –4 b. –2
c. 1 d. 2
e. –1
7. [1 – sin2 2x] dx = .... a. b.
1 1 x – sin 4x + C d. 2 8 1 1 x + sin 4x + C e. 2 8
1 1 x + sin4x + C 2 4 1 1 x + cos4x + C 2 4
c. x + cos2 2x + C 8. UN 2006 3
Nilai
sin 2x dx = ….
0
a. b.
3 4 1 2
1 4 1 3
c. d.
e. 0
9. UN 2006
Nilai
sin 2x cos x dx = ….
0
4 3 1 b. – 3 10. Ebtanas 2001
a. –
Hasil a. b.
x 2 dx x3 5
c. d.
2 3 4 3
e.
1 3
= ....
2 3 x 5 + C 3 1 x3 5 + C 3
d. e.
1 x3 5 + C 9 1 x3 5 + C 12
1 x3 5 + C 6 11. UN 2006
c.
4
Nilai
2 x x 9 dx ....
0
a. 32 2
c. 50 2
3 40 2 3
d. 98 2
e. 41 2
3
3
b.
3
12. 3x2 sin (x3 + 2) dx = .... a. cos(x3 + 2) + C d. 9cos(x3 + 2) + C 3 b. – cos(x + 2) + C e. –9cos(x3 +2) +C 1 cos(x3 + 2) + C 2 1 sin 13. 2 x dx = .... x 1 a. sin + C x
c.
(UAN 2003) d. cos
1 +C x
b. cos x + C e. cos x2 + C 2 c. sin x + C 14. UN 2008 Hasil dari cos2 x sin x dx adalah .... 1 1 3 a. cos3 x + C d. sin x + C 3 3 1 b. – cos3 x + C e. 3 sin3 x + C 3 1 c. – sin3 x + C 3 15. UAN 2003 7 Integral
Sikat Habis UN 2014
x2 cos x dx = .... a. x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + C b. x2 sin x – 2x cos x – 2 sin x + C c. x2 sin x – 2x cos x + 2 sin x + C d. x2 cos x + 2x cos x – 2 cos x + C e. x2 cos x – 2x cos x – 2 cos x + C 16. UAN 2002
x sin x dx =
....
2
–1 c. –1 4 2 3 b. –1 d. –1 e. – 1 3 2 UAN 2002 Luas daerah arsiran pada gambar di samping adalah ... satuan luas. Y a. 5 y = 2x 2 b. 7 3 c. 8 1 d. 9 3 X 0 y = 8 – x2 1 e. 10 3 UN 2007 Luas daerah yang dibatasi oleh kurav y = x2 dan garis x + y = 6 adalah …. a. 54 satuan luas d. 18 satuan luas 5 2 b. 20 satuan luas e. 10 satuan luas 6 3 c. 32 satuan luas UN 2008 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x2 + 4x, sumbu X, garis x = 1, dan x = 3 adalah .... 2 1 a. 3 satuan luas d. 9 satuan luas 3 3 1 2 b. 5 satuan luas e. 10 satuan luas 3 3 1 c. 7 satuan luas 3 UN 2008 Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva x – y2 + 1 = 0, –1 x 4, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah … satuan volume. 1 1 a. 8 c. 12 2 2 1 1 1 b. 9 d. 13 e. 11 2 2 2 UAN 2003 Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, 0 ≤ x ≤ π dan sumbu X. Jika daerah D diputar 360o terhadap sumbu X, maka volume benda putar yang terjadi adalah ... satuan volume. a. 2 2 c. 1 2 1 b. d. e. 2 2 2 UN 2007 Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = –x2 + 4 dan y = –2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y adalah … satuan volume.
a.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
8 Integral
Sikat Habis UN 2014
a. 8π
c.
8 π 3 5 π 4
13 π d. e. 4π 2 23. Ebtanas 2001 Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x2 + 4 dan sumbu y = –1 sampai y = 0 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 adalah ... satuan volume. a. 16 π c. 12π
b.
b.
2 π 3
d.
1 π 2
9 2
e. π SOAL SNMPTN DAN YANG SETIPE
9 Integral
Sikat Habis UN 2014
24. Diketahui f(x) = | x – 1 | 2
f ( x)dx ...
Nilai
(SNMPTN 2010)
0
(A) 0 25. Jika
(B) ½ (C) 1
(D) 2
3a
2a
a
a
(E). 4
f ( x)dx K , maka f (5a 2 x)dx
(A) 2K (B) -2K (C) ½ K (D) – ½ (E). 5K (SPMB 2006) 26. Perhatikan gambar berikut!
(TO I SSC)
y 2
y = p + qx – x
(3, 2)
(–1, 2)
x –1
3 2
y = x + ax + b
Luas daerah yang diarsir adalah … satuan luas. (A) 64 (B) 20 (C) 32 (D)10 (E). 16 3 3 3 27. Diketahui daerah D1 dibatasi oleh y
1 , y x , dan x2
1 1 . Daerah D2 dibatasi oleh y 2 , y x , dan 2 x x 2 . Rasio luas D1 dan D2 adalah…(TO II SSC) x
(A) (B)
5:8 6:8
x
b
28. Jika
(C) 7 : 8 (D) 3 : 8
(E). 5 : 4
cos c dx c, c 0. a
x
b
sin 2c dx ...
(SPMB 2004)
a
(A) -c (B) – ½ c (B) ½ (b-a+c)
(C) (b-a+c) (E). ½ (b-a-c)
2
29.
x
2
4 dx ...
(UMB 2008)
2
(A) 64/3 (B) 32/3 (C) 8 (D) 8
(E). 0
30. Jika f(x) = x2, maka luas daerah yang dibatasi y = 4-f(x) dan, y=4-f(x-4) dan y = 4 adalah …..(SNMPTN 2009) (A) 12 (B) 16/3 (C) 5 (D) 4 (E). 11/3 31. Daerah D terletak di kuadran I yang dibatasi oleh parabola y = x2, parabola y = 4x2, dan garis y = 4. Volume benda putar yang terjadi bila D diputar terhadap sumbu y adalah … (Matematika ’96 Rayon A) a. 3 b. 4 c. 6 d. 8 e. 20
~Good Luck~ By Mr Tt
1 Integral
Sikat Habis UN 2014
