PEMANFAATAN BLOK PECAHAN DALAM PEMBELAJARAN PENJUMLAHAN PECAHAN DI KELAS III SD Kita sadari bersama bahwa mata pelajaran matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang kurang disukai anak. Hal ini sangat disadari pula oleh guru. Namun demikian masih banyak guru yang belum secara maksimal mencari upaya agar keadaan demikian dapat berkurang atau bahkan berubah. Untuk mengurangi keadaan tersebut, PPPPTK Matematika bersama-sama dengan Direktorat TK/SD dan dunia usaha telah berupaya mengembangkan 43 macam alat peraga yang menarik dan mudah digunakan, salah satunya adalah blok pecahan. Penggunaan alat peraga diyakini bermanfaat berdasar pernyataan Bruner (dalam Orton,1992) yaitu anak belajar konsep matematika melalui tiga tahap: enactive, econic, dan simbolic. Sedangkan menurut Piaget (dalam Hudoyo, 1998) taraf berpikir anak seusia SD adalah masih konkret operasional, artinya untuk memahami suatu konsep anak masih harus diberikan kegiatan yang berhubungan dengan benda nyata atau kejadian nyata yang dapat diterima akal mereka. Demikian pula Z.P. Dienes (dalam Hudoyo, 1998) berpendapat bahwa setiap konsep atau prinsip matematika dapat dimengerti secara sempurna hanya jika pertama-tama disajikan kepada peserta didik dalam bentuk konkret. Suatu fakta yang patut direnungkan dan disadari sepenuhnya untuk dilakukan tindak lanjut secara nyata bagi semuanya yang terlibat di dunia pendidikan bahwa: pengajaran matematika SD dengan menggunakan alat peraga dan media lainnya secara tepat dibandingkan dengan yang tanpa menggunakan adalah 6 berbanding 1. Jadi penggunaan alat peraga dan media lainnya dalam pembelajaran matematika (khususnya dalam memberikan penanaman konsep) akan membawa hasil 6 kali lebih baik dan lebih cepat dibandingkan dengan pengajaran drill tanpa konsep (Prof. Dr. Ruseffendi, M.Sc. pada Seminar Pengajaran Matematika SD lustrum Fak. MIPA ITB tahun 1991. Berdasar suatu hasil penelitian di Amerika Serikat). Pembelajaran penjumlahan pecahan merupakan salah satu materi yang dianggap sulit oleh sebagian besar guru SD. Oleh karena itu, penggunaan peraga blok pecahan terasa sangat diperlukan dalam pembelajaran. Macam-macam blok pecahan
1 2
1 12
1 3
1 10
1 5
1 4
1 8
1 6
1
Warna yang berbeda pada blok pecahan untuk memudahkan anak memahami perbedaan nilai dari pecahan yang diwakilinya. Alat peraga blok pecahan dapat digunakan untuk urutan pembelajaran pecahan di kelas III, IV, V, VI SD dalam konsep materi: 1 1 1 1 1 1 1 1 • pecahan , , , , , , , 2 4 8 3 6 12 5 10 • membandingkan pecahan • pecahan senilai • penjumlahan dan pengurangan pecahan Memperagakan penjumlahan pecahan 1. Penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama 1 1 Contoh 1. + = …. 4 4
1 4
+
2 4
=
.... + .... 4
=
1 1 + = …. 3 3
Contoh 2.
1 3 Contoh 3.
1 4
1 3
+
2 3
=
=
.... + .... ....
2 3 + = …. 6 6
2 6
+
3 6
=
5 6
=
.... + .... ....
Kesimpulan Penjumlahan 2 pecahan berpenyebut sama dapat dilakukan dengan menjumlahkan pembilang dari kedua pecahan tersebut, sedangkan penyebutnya tetap. 2. Penjumlahan pecahan yang berpenyebut tidak sama (beda penyebut) Pembelajaran penjumlahan pecahan beda penyebut diawali dengan peragaan penjumlahan pecahan yang penyebut satu merupakan kelipatan dari penyebut yang lain.
2
1 1 + = …. Bila blok pecahan hijau langsung digabung dengan blok 4 2 pecahan merah maka nilai pecahan yang diwakili belum tampak. Maka harus diubah yang sewarna.
Contoh 1.
diubah menjadi
digabung
1 4
1 = 2 1 3 Contoh 2. + = …. 3 6
1 4
+
2 4
+
3 4
=
diubah menjadi
digabung
1 3
3 6
+
=
2 6
3 6
+
=
5 6
Contoh 3. 1 + 3 = …. 4
8
diubah menjadi
digabung
1 4
+
3 8
=
2 8
+
3 8
=
5 8
Kesimpulan Penjumlahan dua pecahan berpenyebut tidak sama dan salah satu penyebutnya merupakan kelipatan penyebut yang lain, dapat dilakukan dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu kemudian baru dijumlahkan Catatan Dengan cara yang sama dapat dilakukan penjumlahan 2 pecahan yang berpenyebut tidak sama dan penyebut satu bukan kelipatan penyebut yang lain dengan menyesuaikan tingkat kelas dan semester.
3
Daftar pustaka Hudojo, H. 1998. Mengajar Belajar Matematika. Jakarta: Depdikbud. Tim PPPPTK Matematika. 2008. Petunjuk Penggunaan Alat Peraga Matematika Untuk Guru. Yogyakarta: Empat Pilar.
4
Bagaimana Cara Guru Matematika Membantu Siswanya Mempelajari Pernyataan Berkuantor
Fadjar Shadiq, M.App.Sc (
[email protected] & fadjarp3g.wordpress.com) Widyaiswara PPPPTK Matematika
Kemampuan bernalar telah ditetapkan sebagai tujuan nomor 2 pelajaran matematika di SMA dan SMK (Depdiknas, 2006). Bagi setiap guru matematika, amanah tersebut harus ditunaikan dengan seluruh daya dan kekuatan yang ada. Secara khusus, penalaran dapat dipelajari dengan mempelajari Logika dan secara umum dapat dipelajari dengan mempelajari Matematika, Bahasa Indonesia atau Sains. Logika sendiri merupakan bagian dari matematika. Pembelajaran Logika di Bahasa Indonesia dikenal dengan Argumentasi. Keempat hal tersebut, yaitu: (1) penalaran, (2) logika, (3) argumentasi, dan 4) matematika sangatlah penting untuk kemajuan setiap bangsa di dunia ini. Pernyataan berkuantor merupakan salah satu topik logika yang cukup penting; namun sebagian siswa mengalami kesulitan mempelajarinya; sehingga naskah berikut diharapkan dapat membantu para guru matematika mengatasi permasalahan tersebut. Pengertian Pernyataan Berkuantor Perhatikan tiga kalimat matematika berikut. Apa yang Anda ketahui tentang perbedaan dua kalimat ini? (1). 3 + 4 = 6 (2). x2 – 5x + 6 = 0, x∈A Kalimat nomor (1) jelas bernilai salah, seharusnya 3 + 4 = 7; sedangkan kalimat nomor (2) belum dapat ditentukan nilai kebenarannya sebelum peubah atau variabel x-nya diganti dengan salah satu anggota semesta pembicaraannya. Karenanya, kalimat pertama dikategorikan sebagai pernyataan. Pernyataan sendiri didefinisikan sebagai kalimat yang memiliki nilai benar saja atau salah saja. Sedangkan kalimat nomor (2) dikategorikan sebagai kalimat terbuka, karena tidak memenuhi definisi tersebut di atas. Kalimat terbuka nomor (2) yaitu: x2 – 5x + 6 = 0 ⇔ (x − 2)(x − 3) = 0 dengan syarat x∈A akan bernilai benar hanya jika peubahnya diganti dengan x = 2 atau x = 3. Artinya, hanya ada dua anggota bilangan asli A yang jika digantikan atau disubstitusikan ke kalimat terbuka nomor (2) akan menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang bernilai benar. Perhatikan sekarang tiga kalimat di bawah ini yang didapat dari tiga kalimat nomor (2) di atas dengan penambahan katakata tertentu. (1) Untuk setiap bilangan asli x, berlaku x2 – 5x + 6 = 0. (2) Terdapat bilangan asli x sedemikian sehingga x2 – 5x + 6 = 0. (3) Tidak ada bilangan asli x, sedemikian sehingga x2 – 5x + 6 = 0. Kalimat nomor (1), yaitu: “Untuk setiap bilangan asli x, akan berlaku x2 – 5x + 6 = 0,” harus bernilai salah karena untuk x = 1 misalnya, kalimat matematika nomor (1) tersebut menjadi: 12 – 5×1 + 6 = 2 yang jelas tidak sama dengan 0 sehingga kalimat
nomor (1) bernilai salah. Kalimat nomor (2), yaitu: “Terdapat bilangan asli x, sedemikian sehingga x2 – 5x + 6 = 0.” jelas bernilai benar. Alasannya, untuk x = 2 atau x = 3 kalimat matematika tersebut menjadi bernilai benar. Terakhir, kalimat nomor (3), yaitu: “Tidak ada bilangan asli x, sedemikian sehingga x2 – 5x + 6 = 0.” Jelas bernilai salah karena kenyataannya ada dua bilangan, yaitu x = 2 atau x = 3, yang menyebabkan kalimat matematika nomor 3 tersebut menjadi benar Tiga contoh di atas menunjukkan bahwa terhadap suatu kalimat terbuka dapat ditambahkan kata-kata berikut: (1) “Untuk semua x … ” atau “Untuk setiap x … ”; (2) “Beberapa x … ”; “Terdapat x … ”; ataupun “Ada x …”; dan (3) “Tidak ada x … .” Dengan penambahan kata-kata tersebut di atas, suatu kalimat terbuka yang asalnya tidak atau belum memiliki nilai kebenaran lalu berubah menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja. Karena itulah Wheeler (1977:23) menyatakan: “Quantifiers are most useful in rewriting assertions that cannot be classified as true or false … so that they can be classified either as true or false.” yang dapat diterjemahkan menjadi: “Kuantor sangat berguna dalam mengubah kalimat yang tidak dapat dinyatakan bernilai benar atau salah … sedemikian sehingga kalimat tersebut dapat dikategorikan sebagai kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja.” Ada dua jenis kuantor, yaitu kuantor universal (kuantor umum) yang menggunakan kata “untuk setiap” atau “untuk semua”; serta kuantor eksistensial (kuantor khusus) yang menggunakan kata “beberapa”, “terdapat’” atau “ada”. Sedangkan kuantor “tidak ada x” dapat diubah ke bentuk “semua x tidak” atau “setiap x tidak”. Secara lengkap kedua macam kuantor tersebut akan dibahas pada bagian berikut ini. Kuantor Universal Kuantor jenis ini mempunyai lambang ∀ dan dibaca “untuk setiap” atau “untuk semua”. Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, pernyataan ∀x.p(x) dibaca “untuk setiap x berlaku p(x)” atau “untuk semua x berlaku p(x)”. Berikut ini adalah contoh pernyataan berkuantor universal. ‘Semua artis adalah cantik.’ Pernyataan berkuantor universal di atas menggambarkan adanya dua himpunan, yaitu himpunan artis dan himpunan orang cantik. Di samping itu, pernyataan tadi menjelaskan tentang semua artis namun tidak menjelaskan tentang semua orang cantik. Dengan kata lain, pernyataaan itu hanya menjelaskan bahwa setiap anggota himpunan artis adalah merupakan anggota himpunan orang cantik, namun pernyataan itu tidak menjelaskan bahwa setiap anggota himpunan orang cantik adalah merupakan anggota himpunan artis. Hal terpenting yang pada akhirnya didapat, pernyataan berkuantor: “Semua artis adalah orang cantik,” menunjukkan bahwa pernyataan tersebut akan bernilai benar hanya jika himpunan artis harus termuat atau menjadi himpunan bagian dari himpunan orang cantik.
Tentunya, pernyataan “Semua artis adalah cantik,” ini akan bernilai benar jika telah ditentukan kriteria artis dan kriteria cantik serta dapat ditunjukkan bahwa setiap artis yang merupakan anggota himpunan artis adalah cantik. Namun pernyataan berkuantor universal tadi akan bernilai salah jika dapat ditunjukkan adanya satu atau beberapa orang yang dapat dikategorikan sebagai artis namun ia tidak termasuk pada kriteria cantik. Contoh yang menunjukkan salahnya suatu pernyataan berkuantor universal ini disebut dengan counterexample atau contoh sangkalan; sebagaimana dinyatakan Clemens, O’daffer, dan Cooney (1984: 49) berikut: “A counterexample is a single example that shows a generalization to be false ” Jika pernyataan berkuantor universal, seperti “Semua artis adalah cantik” adalah bernilai benar maka pernyataan itu dapat ditunjukkan dengan diagram Venn berikut. Sebagaimana dijelaskan di bagian depan, himpunan artis A harus termuat atau menjadi himpunan bagian dari himpunan manusia cantik C; atau A ⊂ C. Namun, A dan C bisa saja sama atau A = C. M
A
C
M = {semua manusia} A = {artis} C = {cantik}
Berdasarkan Diagram Venn di atas, para siswa diharapkan dapat menyimpulkan bahwa suatu pernyataan berkuantor universal dapat diubah menjadi suatu implikasi. Pada contoh di atas, pernyataan berkuantor universal: “Semua artis adalah cantik.” adalah ekivalen dengan implikasi: “Jika x adalah artis maka x adalah cantik.” Pernyataan berkuantor dengan kata awal “Tidak ada… .” dapat diubah ke bentuk pernyataan berkuantor universal. Contohnya, jika pernyataan berkuantornya adalah: “Tidak ada murid SMU yang senang mendapat nilai ulangan jelek,” maka pernyataan tersebut dapat diubah menjadi pernyataan berkuantor universal: “Semua murid SMU tidak senang mendapat nilai ulangan jelek.” Kuantor Eksistensial Kuantor jenis ini mempunyai lambang ∃ dan dibaca “beberapa”, “terdapat”, atau “ada”. Jika dimisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka maka ∃x.p(x) dibaca “untuk beberapa x berlaku p(x)” atau “ada x sedemikian sehingga berlaku p(x)”. Berikut ini adalah contoh pernyataan berkuantor eksistensial. “Ada pria yang berkacamata,” Pernyataan tersebut menunjukkan adanya himpunan manusia sebagai himpunan semestanya (E), adanya himpunan pria (P), serta adanya himpunan manusia yang berkacamata (B). Jika pernyataan berkuantor eksistensial “Ada pria yang berkacamata,” bernilai benar maka dapatlah ditarik suatu kesimpulan akan adanya anggota pada himpunan semesta (minimal satu anggota) yang merupakan anggota himpunan pria dan juga merupakan anggota manusia yang berkacamata. Artinya,
kedua himpunan tersebut tidak saling asing (saling lepas). Dengan demikian, P∩B ≠ φ , yang dapat ditunjukkan dengan Diagram Venn berikut.
E
P
B
E = {semua manusia} P = {semua pria} B = {semua orang berkacamata}.
Berdasar Diagram Venn di atas yang menunjukkan P∩B ≠ φ , maka pernyataan berkuantor eksistensial dapat dinyatakan dalam bentuk konjungsi. Contohnya, pernyataan berkuantor eksistensial: “Ada pria yang berkacamata,” adalah sama dengan konjungsi berikut: “Ada x sedemikian sehingga x adalah pria dan x adalah berkacamata”. Negasi Pernyataan Berkuantor Perlu diingatkan bahwa suatu pernyataan p yang bernilai benar akan menyebabkan negasinya (dengan notasi ~p) bernilai salah, namun jika p bernilai salah maka negasinya (dengan notasi ~p) akan bernilai benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran pernyataan p dan negasinya di bawah ini. p B S
~p S B
Dengan demikian jelaslah bahwa negasi pernyataan berkuantor adalah pernyataan lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah dan akan bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar. Kesimpulan inilah yang menjadi dasar penentuan negasi atau ingkaran suatu pernyataan berkuantor. Bagian berikut ini akan membahas tentang negasi atau ingkaran pernyataan berkuantor, dimulai dengan negasi pernyataan berkuantor universal dan diikuti dengan negasi pernyataan berkuantor eksistensial. Perhatikan pernyataan berkuantor r berikut: r : Semua Guru Indonesia sudah bersertifikasi. Di dalam kehidupan nyata sehari-hari, jika ada orang yang menyatakan di depan Bapak atau Ibu Guru bahwa “Semua Guru Indonesia bersertifikasi”, apa yang Bapak atau Ibu akan lakukan? Mungkin Bapak atau Ibu akan menyatakan “Yang benar saja, masak semua guru sudah bersertifikasi?” Hal ini menunjukkan bahwa satu orang gurupun yang tidak termasuk kategori kaya dapat dijadikan dasar untuk mengingkari atau menegasikan pernyataan berkuantor tadi. Dengan demikian, negasi dari pernyataan berkuantor universal tadi adalah pernyataan berkuantor eksistensial yang dapat dipenuhi oleh minimal satu orang saja yang tidak memenuhi kriteria bersertifikasi tadi. Dengan demikian, negasi atau ingkaran “Semua Guru Indonesia bersertifikat.” adalah pernyataan berkuantor eksistensial yang tidak memenuhi
kriteria bersertifikasi tersebut, yaitu “Beberapa (atau terdapat) Guru Indonesia yang tidak bersertifikasi.” Dengan cara sama, negasi atau ingkaran dari pernyataan berkuantor universal “Semua bilangan jika dibagi 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri,” dengan nilai benar adalah pernyataan berkuantor eksistensial “Beberapa (ada atau terdapat) bilangan jika dibagi 1 akan tidak menghasilkan bilangan itu sendiri.” Yang bernilai salah. Negasi atau ingkaran dari “Semua bunga indah” adalah “Tidak benar bahwa semua bunga indah” atau “Beberapa bunga tidak indah”. Dengan menggunakan simbol akan didapat bahwa negasi dari “∀x (x2 ≥ 0)” adalah “∃x (x2 < 0)”. Secara umum negasi pernyataan kuantor universal dapat dinyatakan dalam tabel berikut. Pernyataan ∀x p(x)
Negasi ~ (∀x p(x)) ≡ ∃x ~p(x)
Berikut ini adalah pembahasan mengenai negasi pernyataan berkuantor eksistensial. Contoh pernyataan berkuantor eksistensial adalah: “Beberapa Guru Indonesia memiliki hutang.” Pernyataan ini jelas bernilai benar. Lalu, bagaimana dengan negasi pernyataan berkuantor eksistensial tersebut? Yang perlu diingat, karena pernyataan tersebut bernilai benar, maka negasinya harus bernilai salah. Jika ada orang yang menyatakan bahwa negasinya adalah: “Semua Guru Indonesia memiliki hutang;” maka pernyataan ini masih mungkin untuk bernilai benar juga seperti nilai pernyataan awal. Sebagai akibatnya, pernyataan tersebut tidak mungkin menjadi negasinya. Lalu, jika ada orang yang menyatakan bahwa negasinya adalah: “Beberapa Guru Indonesia tidak memiliki hutang;” maka pernyataan ini, seperti pernyataan sebelumnya, masih mungkin untuk bernilai benar juga. Akibatnya, pernyataan tersebut tidak mungkin menjadi negasinya. Karena kedua pernyataan berkuantor tersebut bukanlah negasinya, maka masih tersisa satu pernyataan berkuantor lainnya yang akan menjadi negasinya, yaitu: “Semua Guru Indonesia tidak memiliki hutang.” Pernyataan berkuantor “Beberapa Guru Indonesia memiliki hutang.” di atas dapat digambarkan dengan Diagram Venn berikut yang menunjukkan adanya (paling sedikit satu anggota) dari himpunan Guru Indonesia (G) yang sekaligus merupakan anggota dari himpunan orang-orang memiliki hutang (K).
E
G
K
Berdasar Diagram Venn di atas, dapatlah disimpulkan bahwa negasi pernyataan “Beberapa Guru Indonesia memiliki hutang” adalah bukan “Semua Guru Indonesia memiliki hutang”, dan juga bukan “Beberapa Guru Indonesia tidak memiliki hutang”. Alasannya, dua pernyataan terakhir ini dapat bernilai benar juga, padahal yang akan
dicari adalah pernyataan yang bernilai salah. Berdasar Diagram Venn di atas, dapatlah disimpulkan bahwa negasi “Beberapa Guru Indonesia memiliki hutang” dengan nilai benar adalah ‘semua’ Guru Indonesia harus tidak termasuk himpunan K. Dengan kata lain, semua anggota G harus tidak menjadi anggota K sebagaimana ditunjukkan Diagram Venn berikut.
E
G
K
Dengan cara sama, negasi atau ingkaran dari pernyataan berkuantor: “Beberapa segitiga merupakan segitiga siku-siku samakaki,” adalah “Semua segitiga tidak ada yang merupakan segitiga siku-siku samakaki.” Dengan menggunakan simbol akan didapat bahwa negasi dari “∃x.p(x)” adalah “∀x.~p(x)”. Secara umum negasi pernyataan kuantor eksistensial dapat dinyatakan sebagai berikut: Pernyataan ∃x p(x)
Negasi ~ (∃x p(x) ≡ ∀x ~p(x)
Demikian gambaran umum proses didapatkannya teori-teori yang terkait dengan pernyataan berkuantor. Harapannya, dengan pengetahuan tersebut, proses pembelajaran pernyataan berkuantor di kelas tidak hanya ke arah penghafalan rumus saja, namun proses pembelajarannya akan lebih ke arah pemahaman. Dengan cara seperti itu, sangatlah diharapkan kemampuan bernalar para siswa akan meningkat dengan tajam sebagaimana dituntut oleh tujuan nomor 2 pelajaran matematika di SMA dan SMK yaitu meningkatkan kemampuan bernalar. Daftar Pustaka Clemens, S.R; O’daffer, P.G.; Cooney, T.J. (1984) Geometry. California: AddisonWesley Publishing Co Depdiknas (2006). Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 Tentang Standar Isi Sekolah Menengah Kejuruan. Jakarta: Depdiknas Depdiknas (2006). Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 Tentang Standar Isi Sekolah Menengah Atas. Jakarta: Depdiknas Wheeler, R.E. (1977). Modern Mathematics. An Elementary Approach (4th Ed). Monterey: Brooks/Cole Publishing Company
LEBIH MEMAHAMI IMPLIKASI PADA LOGIKA MATEMATIKA (Sumardyono, M.Pd., Ketua Unit R&D pada PPPPTK Matematika) Pada kesempatan ini, penulis mengulas mengenai implikasi pada logika matematika yang menurut pengamatan penulis masih merupakan kendala bagi para guru untuk memahami logika matematika. Mudah-mudahan tulisan ini dapat memberi pemahaman yang lebih komprehensif.
Pernyataan majemuk yang menggunakan kata “maka” atau yang semakna, yaitu bahwa pernyataan yang satu merupakan syarat bagi berlakunya pernyataan kedua, dinamakan implikasi atau pernyataan bersyarat. Subpernyataan yang menjadi sebab disebut anteseden (antecedent) dan subpernyataan yang menjadi akibat disebut konsekuen (consequent). Pada beberapa literatur, lambang “⇒” digunakan untuk implikasi. Literatur yang lain menggunakan “⇒” untuk implikasi yang (selalu) bernilai benar saja atau implikasi logis (suatu tautologi), misalnya pernyataan teorema/dalil dimana anteseden disebut syarat cukup, konsekuen disebut syarat perlu, sedang untuk implikasi biasa menggunakan notasi “→”. Sekarang pandang pernyataan: jika p maka q , atau dalam bentuk simbolik: p → q Pada implikasi, kita hanya memandang bahwa p adalah syarat terjadinya q. Perhatikan, kita tidak mengatakan apa-apa mengenai p maupun q selain yang telah disebutkan di atas. Jadi, pernyataan “jika hari hujan maka jalan basah” sudah benar, tidak peduli bahwa mungkin masih ada sebab lain selain hari hujan yang mengakibatkan jalan basah. Demikian pula, jika hari hujan, kita tidak peduli walaupun pohon dan lainnya atau bahkan beberapa orang tidak jadi bepergian sebagai akibat yang mungkin. Kita hanya memperhatikan kaitan antara “hari hujan” dan “jalan basah”. Berkenaan dengan batasan tersebut, dapat kita simpulkan bahwa pernyataan tersebut salah hanya bila hari hujan tetapi jalan tidak basah. Mengapa? Karena pernyataan ini mendeklarasikan bahwa hari hujan mengakibatkan jalan basah. Jadi, pernyataan bersyarat bernilai salah jika anteseden terjadi (benar) tetapi konsekuen tidak terjadi (salah). “pernyataan p → q bernilai salah bila p salah dan q benar” 1
Kita telah menganalisis implikasi bila subpernyataan sebab terjadi. Sekarang bagaimana bila anteseden tidak terjadi (salah)? Di sini mulai timbul sedikit masalah. Perhatikan pernyataan: “Hari tidak hujan maka jalan tidak basah”
(1)
Sesungguhnya kita tidak dapat mengatakan apa-apa mengenai nilai kebenaran pernyataan (1), yang kita tahu, jalan basah karena hari hujan. Apakah tidak ada sebab lain agar jalan basah? Dalam konteks ini mungkin saja ada penyebab lain misalnya jalan disiram air kran. Tetapi apakah jika tidak hujan maka jalan pasti disiram air kran? Tidak juga. Hal yang sama dapat dianalisis untuk pernyataan: “Hari tidak hujan maka jalan basah”
(2)
Ini benar bila sebab-sebab lain tidak terjadi, tetapi menjadi salah bila sebab-sebab lain yang mengakibatkan jalan basah terjadi. Sekarang, kita akan menelaah pernyataan implikasi yang berkaitan dengan subjek yang sama, sebagai contoh Amir menyatakan: “Jika saya lulus maka saya akan bersedekah”. Jika ternyata Amir lulus dan ia bersedekah, maka disimpulkan Amir berkata benar (jujur). Jika ternyata Amir lulus tetapi tidak bersedekah, maka disimpulkan Amir berkata salah atau tidak benar (tidak jujur). Jika ternyata Amir tidak lulus dan tetap bersedekah, maka kita tidak dapat mengatakan bahwa Amir berbohong. Jika ternyata Amir tidak lulus dan tidak bersedekah, maka kita juga tidak dapat mengatakan bahwa Amir berbohong. Nah, pada dua kasus terakhir ini kita tidak dapat mengatakan bahwa Amir berbohong (tidak benar atau salah). Sebab, Amir dipastikan berbohong hanya jika ia lulus tetapi kemudian tidak bersedekah. Jadi, kedua pernyataan terakhir tidaklah mungkin bernilai salah. Nah, karena dalam logika matematika hanya memperhatikan 2 nilai: benar dan salah, maka kedua pernyataan terakhir dianggap bernilai benar. Jadi, persoalan sesungguhnya adalah mendefinisikan implikasi sedemikian rupa sehingga kita mendapatkan suatu aturan yang jelas dalam membuat tabel kebenaran. Hal ini perlu, karena pada 2
konjungsi
maupun
disjungsi
juga
merupakan
“fungsi”
dari
nilai
kebenaran
sub-
subpernyataannya. Dari contoh kedua yang dianalisis sebelumnya, kita dapat memilih “aturan” bahwa jika anteseden bernilai salah, maka keseluruhan implikasi kita anggap tetap bernilai benar (tidak salah), apa pun nilai kebenaran dari konsekuen. Jadi, sekarang kita peroleh tabel kebenaran implikasi sebagai berikut: p
q
p→q
B
B
B
B S S
S B S
q
→
B
S
B
B
S
S
B
B
S B
p
B
Jadi, walaupun menurut logika sehari-hari ada contoh yang janggal bagi kebenaran 2 baris terakhir, tetapi ini disepakati sebagai suatu implikasi dalam matematika yang disebut implikasi material. Secara persis kita menyebut kebenaran implikasi pada 2 baris terakhir (yaitu jika anteseden tidak terjadi) sebagai benar karena kosong (vacuous truth). Akan tetapi logika matematika hanya dikenal benar atau salah saja, sehingga kita menganggapnya sebagai benar. Perhatikan kembali bahwa aturan umum yang dipakai pada implikasi material ini adalah bahwa sebuah implikasi bernilai salah jika sebab terjadi (benar) tetapi akibat tidak terjadi (salah), selain itu (dianggap) benar. Lebih lanjut, perlu dipahami bahwa dalam implikasi material kita tidak mempermasalahkan ada atau tidak ada “hubungan makna” antara anteseden dengan konsekuen. Hal ini terjadi karena kita hanya memandang implikasi material sebagai fungsi dari nilai kebenaran subsubpernyataannya. Karena itu, implikasi material disebut pula implikasi fungsi kebenaran. Jadi, pernyataan-pernyataan: “Bulan lebih kecil dari bumi maka 2 bilangan genap”, “Bulan lebih besar dari bumi maka 2 bilangan genap” maupun “Bulan lebih besar dari bumi maka 2 bilangan ganjil” semuanya bernilai benar. Pernyataan yang bernilai salah adalah “Bulan lebih kecil dari bumi maka 2 bilangan ganjil” (p benar, q salah).
3
Bila anggapan-anggapan di atas dihilangkan, kita berbicara mengenai jenis implikasi yang lain lagi, misalnya implikasi indikatif, implikasi korespondensi, dan lain-lain yang kesemuanya bukan jenis implikasi yang dibahas dalam logika matematika sekarang ini. Jadi, bila disebut implikasi pada logika matematika maka yang kita maksudkan adalah implikasi material. Implikasi Tapal Kuda Pada beberapa bidang ilmu, tanda implikasi menggunakan tanda tapal-kuda yang mirip simbol superset himpunan “⊃”. Perhatikan contoh berikut ini. “Manusia memiliki perasaan maka orang Indonesia juga memiliki perasaan” Pernyataan implikasi di atas bernilai benar. Akan tetapi ada satu hal yang menentukan mengapa pernyataan di atas benar yaitu bahwa “orang Indonesia termasuk manusia”. Dengan kata lain, himpunan manusia adalah superset dari himpunan orang Indonesia. Dalam contoh di atas, bila p = “manusia memiliki perasaan”, q = “orang Indonesia juga memiliki perasaan” maka pernyataan di atas ditulis p ⊃ q. Penggunaan tanda tapal kuda ini memiliki kelemahan karena bermasalah jika ditinjau dari sudut diagram Venn. Pada kasus tertentu, penggunaan tanda tapal kuda ini membingungkan dengan tanda superset (karena keterbatasan halaman, masalah ini tidak dibahas lebih lanjut). Walaupun demikian, ada juga yang menyarankan penggunaan tanda tapal kuda ini. Hal ini disebabkan pada logika formal, implikasi yang dibahas adalah implikasi material. Padahal pengertian implikasi material ini lebih merupakan bentuk lain dari suatu negasi konjungsi atau disjungsi (ingat, p → q ≡ ∼(p ∧ ∼q) ≡ ∼p ∨ q). Adanya implikasi lain serta penggunaan tanda yang mirip (⇒) untuk implikasi-logis, maka muncul saran penggunaan tanda tapal-kuda untuk implikasi material ini. Kelemahan dan Kelebihan Implikasi Material Implikasi ini merupakan suatu fungsi kebenaran yang didefinisikan sebagai berikut: p → q bernilai salah jika p benar dan q salah, selain itu p → q bernilai benar Pemilihan fungsi seperti di atas untuk implikasi memiliki keuntungan dalam matematika. 4
Keuntungan terbesar adalah bahwa kita dapat menganalisis seluruh pernyataan dalam matematika (dalil/teorema, lemma, atau sifat/corollary) dengan menggunakan fungsi dari data benar (B) dan salah (S). Hal ini berakibat kita dapat menurunkan suatu penalaran (aturan penarikan kesimpulan) yang valid juga dapat menguji apakah suatu penalaran (aturan penarikan kesimpulan) itu valid atau tidak. Tersedianya suatu aturan penalaran (bayangkan sebagai sebuah “mesin”) merupakan hal yang penting untuk dapat menyelesaikan masalah dalam matematika. Suatu aturan penalaran dikatakan valid jika “mesin” itu dapat digunakan untuk menarik kesimpulan yang seharusnya menjadi kesimpulan (ingat! validitas dalam teori statistika). Semua ini tidak akan tercapai, bila implikasi material tidak didefinisikan. Selain itu, karena mengabaikan adanya “relevansi” antara anteseden dan konsekuen, maka implikasi material tentu tidak dapat diterapkan untuk semua masalah sehari-hari. Kita dapat saja mengaitkan relevansi antar subpernyataan ini tetapi implikasi akan memiliki bentuk yang sangat kompleks dan tidaklah praktis dalam matematika. Kekompleksan ini timbul akibat banyaknya jenis kaitan makna antara anteseden dan konsekuen, sebanding dengan banyaknya makna bahasa yang dipergunakan. Walaupun demikian, telah terdapat beberapa cabang logika lain, seperti logika intuisionistik atau logika konstruktivis, logika modal, logika relevan, logika parakonsisten, dan lain-lain. Pada logika relevan, misalnya, kita mengenal “pernyataan bersyarat indikatif” yang menunjukkan adanya keterkaitan hubungan sebab-akibat antara anteseden dengan konsekuen.
DAFTAR BACAAN: Hermann, Robert A. 2006. Logic for Everyone. Annapolis: Mathematics Department of U.S. Naval Academy Jacobs, Harold R., 1977. Mathematics A Human Endeavour. USA: Llyod O`Neil Ltd. Lipschutz, Seymur. 1989. Teori Himpunan. terjemahan Pantur Silaban. Jakarta: Penerbit Erlangga Magnus. 2009. An Introduction to Formal Logic. New York: Creative Commons. Miller, Charles D., & Heeren, Vern E. 1978. Mathematical Ideas. Edisi 3. Glenview (Illinois, USA): Scott, Foresman and Company. Simpson, Stephen G.2006. Mathematical Logic. 2008. Pennsylvania: Department of Mathematics, The Pennsylvania State University. 5
Mengeliminir Unsur Guessing (Menebak) pada Tes Bentuk Pilihan Ganda Oleh: Kusaeri1
Pengantar Tes tertulis dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu tes uraian (essay test), dan test objektif (objective test). Tes objektif banyak digunakan oleh dunia pendidikan yang umumnya disajikan dalam bentuk pilihan ganda (multiple choice). Banyak orang beranggapan bahwa tes pilihan ganda lebih mudah dari pada tes uraian (Wijaya, 2005). Salah satu alasannya adalah karena jawaban tes pilihan ganda dapat diterka-terka atau dengan kata lain banyak memberikan kesempatan kepada peserta tes untuk berspekulasi, sedangkan tes uraian akan mengeksplor kemampuan peserta tes dalam menyusun jawaban, bernalar sesuai dengan jalan pikirannya, dan gaya bahasanya sendiri. Hal inilah yang menjadi penyebab tes uraian lebih sulit. Uraian di atas menunjukkan bahwa tes bentuk pilihan ganda memiliki kelemahan terhadap perilaku spekulasi atau menebak (guessing) dibandingkan pertanyaan terbuka. Namun tes bentuk pilihan ganda memiliki bias respon yang lebih kecil dibanding pertanyaan terbuka. Selain itu, bentuk pilihan ganda dapat mempermudah penilaian dan meminimalisir bias subjektivitas penilai dalam memberikan penilaian. Nunnally (1970) menyatakan bahwa peserta tes seringkali guessing dengan melakukan eliminasi terhadap pilihan jawaban yang mereka anggap tidak mungkin benar. Oleh karena itu, alternatif pilihan sesungguhnya cenderung lebih kecil dari alternatif pilihan yang diberikan sehingga estimasi efek guessing cenderung lebih kecil dari efek sesungguhnya (underestimate). Salah satu penyebab peserta tes melakukan guessing dalam menjawab soal jenis pilihan ganda karena soal tersebut tidak sesuai dengan kemampuan mereka. Artinya, soal terlalu sulit untuk level kemampuan mereka. Padahal, perilaku menebak (guessing) merupakan salah satu sumber kesalahan pengukuran dalam tes, khususnya bagi test pencapaian (achievement test). Hal ini sesuai dengan pendapat Nunnally (1970) yang menyatakan bahwa, salah satu faktor yang harus dipertimbangkan dalam pengukuran maximum performance adalah pengaruh perilaku guessing. Guessing akan berkonstribusi terhadap varians kesalahan pengukuran dan mengurangi reliabilitas tes. Mengeliminir Efek Guessing dengan Model Penskoran Alternatif Model penskoran tes pilihan ganda dewasa ini yang cenderung digunakan adalah menjumlahkan skor jawaban yang benar saja (correct score) sebagai skor peserta tes. Model penskoran seperti itu dan bila diketahui secara terbuka oleh peserta tes akan menyebabkan peserta tes berspekluasi dalam menjawab tes. Model penskoran tes pilihan ganda dengan correct score sebagai skor pencapaian prestasi, selain memberi peluang melakukan guessing menurut Shuford (dalam Individual and social in Objective Testing, tt) juga berimplikasi pula pada kurang validnya tes tersebut serta menurunnya tingkat indeks reliabilitas tes. Hal senada juga diungkapkan oleh 1
Penulis adalah Dosen Jurusan Pendidikan Matematika FT IAIN Sunan Ampel Surabaya, e-mail:
[email protected].
Hopkins & Antes (1985) bahwa guessing dalam tes pilihan ganda dapat menurunkan nilai validitas butir dan reliabilitas tes. Selain itu, skor pencapaian peserta tes yang diperoleh secara murni karena peserta tes mengetahui pilihan jawaban yang benar dan peserta yang dipengaruhi oleh guessing juga sulit dibedakan bila penskorannya menggunakan model correct score. Apabila dikaitkan dengan hasil penskoran hasil suatu tes pilihan ganda dengan butir-butir soal yang dibiarkan tidak dijawab (omit) oleh peserta tes, tentu akan lain pencapaian skornya. Demikian pula, bila penskoran tersebut dikaitkan dengan banyaknya pilihan jawaban (option) yang diberikan. Ada model penskoran lain untuk menghindari sedikit mungkin guessing yaitu dengan cara model penskoran hukuman (punishment score) dan model penskoran hadiah (reward score). Model punishment score merupakan model penskoran yang memperhitungkan jawaban salah yang direspon oleh peserta tes dengan jalan memberi hukuman dalam bentuk mengurangi skor dengan menggunakan rumus tertentu. Brown (1983) menawarkan rumus umum untuk mengoreksi guessing melalui formula: Xc = R −
W A −1
Xc = skor pengoreksian guessing R = banyaknya respon yang benar W = banyaknya respon yang salah A = banyaknya pilihan jawaban per butir soal. Rumus di atas memiliki asumsi bahwa peserta tes menjawab secara acak atau guessing ketika tak meyakini suatu pilihan jawaban yang benar. Rumus penskoran yang ditawarkan Brown di atas digunakan untuk mempertimbangkan unsur guessing dalam menjawab. Hal senada juga diajukan oleh Guilford (1982) yang menawarkan rumusan penskoran apriori. Rumusan apriori yang paling umum digunakan adalah sebagai berikut: S=R−
W A −1
Rumusan apriori Guilford ini sejalan dengan Hopkin & Antes (1985) yang menyebutnya sebagai rumusan yang umum untuk mengoreksi faktor guessing dalam jawaban peserta tes. Rumus Hopkins & Antes didasari oleh pengoreksian terhadap faktor guessing dalam menjawab tes pilihan ganda. Crocker & Algina (1986) juga menyebutkan rumus model yang diajukan oleh Brown & Guilford dengan nama right-minus wrong correction atau punishment score. Asumsi dasar dari penggunaan rumus punishment score adalah jawaban yang merupakan hasil guessing, sehingga jumlah jawaban salah dibagi dengan A − 1 merupakan hukuman bagi peserta tes yang menjawab dengan guessing. Menurut Davis & Ebel (dalam Brown, 1983) terjadi perdebatan antara model correct score dengan model punishment score. Para pendukung correct score berpendapat bahwa hasil skor relatif sama secara peringkat antara model correct score maupun model punishment score. Mereka berpendapat bahwa kecil kemungkinan
seorang peserta tes akan mendapatkan nilai tinggi akibat hasil guessing. Sementara pendukung model punishment score berpendapat bahwa memberikan skor dengan hukuman akan menghasilkan skor yang lebih baik, serta dapat meningkatkan validitas butir (Wijaya, 2005). Di sisi lain, model reward score merupakan model penskoran yang memperhitungkan jawaban yang tidak diisi atau dikosongkan yang direspon oleh peserta tes dengan jalan memberi hadiah dalam bentuk tambahan skor melalui penggunaan rumus tertentu. Rowley & Traub (dalam Crocker & Algina, 1986) mencatat bahwa rumusan penskoran model reward score didasarkan pada suatu model yang mempertimbangkan tiga kemungkinan situasi: (1) peserta tes mengetahui pilihan jawaban yang benar dan memilihnya, (2) peserta tes tidak memilih sama sekali pilihan jawaban yang ada, dan (3) peserta tes menebak buta dan memilih salah satu dari pilihan jawaban secara acak. Didasarkan pada model tebakan-acak ini, dibuat suatu rumusan dasar yang mempertimbangkan pengaruh guessing untuk mengoreksi skor-skor mentah sebagai berikut: Xc = R +
O A
Xc = skor koreksi R = jumlah jawaban benar O = jumlah butir yang tidak dijawab (dikosongkan) A = jumlah alternative jawaban per butir (option). Rumus di atas memberikan nilai tambah (skor dengan hadiah) atau reward score bagi peserta tes yang tidak menjawab (mengosongkan) butir yang tidak diketahui, probabilitas dari menyeleksi respon yang benar adalah
1 . Secara A
ilustrasi, perbandingan kedua model penskoran dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel Ilustrasi Perhitungan Menggunakan Dua Model Penskoran Peserta Tes
Jumlah
Tidak Diisi
Jumlah Salah
Xc = R +
Benar Dedi
14
0
6
Rina
14
6
0
Taufik
14
3
3
O A
Xc = R−
W A −1
14 +
0 = 14 4
14−
6 = 12 3
14 +
6 = 15,5 4
14 −
0 = 14 3
14 +
3 = 14,75 4
14 −
3 = 13 3
Berdasarkan tabel terlihat 3 orang peserta tes mengerjakan 20 butir dengan 4 pilihan jawaban (option) dan masing-masing peserta tes memiliki skor jumlah benar yang sama yaitu 14. Jika digunakan rumus secara konvensional atau correct score maka ketiga peserta tersebut mendapatkan skor yang sama yaitu 14. Bila
menggunakan rumus punishment score atau reward score maka ketiga peserta tes tersebut akan mendapatkan skor yang berbeda. Pada rumus reward score, rumus ini menerapkan tambahan skor untuk butirbutir yang tidak dijawab oleh peserta sehingga skor meningkat untuk peserta yang sedikit melakukan kesalahan, sedangkan rumus punishment score menerapkan hukuman untuk peserta yang menjawab salah sehingga makin banyak skor salah maka makin banyak pengurangan. Bila dicermati rumus punishment score atau reward score keduanya memberikan skor akhir dari ketiga peserta tersebut berbeda, namun peringkatnya tidak berbeda. Kedua model penskoran menempatkan Rina sebagai peringkat tertinggi, disusul secara berturut-turut oleh Taufik dan Dedi. Ini menunjukkan bahwa kedua rumus punishment score atau reward score dapat diterapkan secara bersama-sama. Mudah-mudahan model alternatif penskoran ini dapat memberikan inspirasi bagi guru dalam melakukan proses penskoran jawaban siswa. Dengan demikian akan terjadi keadilan (fairness) dalam proses penilaian. Artinya, skor yang diberikan oleh guru dapat membedakan antara siswa yang benar-benar serius dalam menjawab soal dan siswa yang berspekulasi. Amien… Referensi
Angoff, W. H., 1989. Does guessing really help? Journal of Educational Measurement, 26 (3): 323-336. Arianto, D. 2009. Estimasi kesalahan pengukuran soal-soal matematika kelas IX ulangan akhir semester (UAS) I SMP di kota Yogyakarta.Tesis tidak dipublikasikan. Yogyakarta: PPS Universitas negeri Yogyakarta. Brown, F.G. 1983. Principles of educational and psychological testing. New York: CBS College Publishing. Crocker, L. & Algina, J. 1986. Introduction to classical and modern test theory. Tokyo: Harcourt Brace Jovanovich College Publisher. Guilford, J.P. 1982. Psychometric methods. New York: McGraw-Hill Inc. Hopkins, C. D. and Antes, R. L. 1985. Classroom measurement and Illinois: Peacock Publisher, Inc
evaluation.
Http://www.p-mmm.com/founders/emir/justice.htm p.1. Diakses tanggal 17 Desember 2009. Kumaidi, 2009. Analisis dan seleksi aitem. Materi kuliah Konstruksi Instrumen tidak diterbitkan. Yogyakarta: PPs Universitas Negeri Yogyakarta. Nunnally, J.C.1970. Introduction to psychological measurement. New York: McGraw-Hill Book Company. Nunnally, J.C.1983. Psychometric theory. New York: McGraw-Hill Book Inc.
Salehudin, I. 2009. Aplikasi Certainty Based Marking (CBM) dalam achievement test menggunakan bentuk pertanyaan benar-salah. Jakarta: Program Pascasarjana Terapan Psikometri Fakultas Psikologi Universitas Indonesia. Wijaya, Y. S. 2005. Perbandingan fungsi informasi butir model logistic dua parameter ditinjau dari model penskoran tes pilihan ganda pada peserta tes SMAN DKI Jakarta tahun 2004. Disertasi tidak dipublikasikan.Jakarta: PPs Universitas Negeri Jakarta. Zimmerman, D.W & Williams, S. 2003. A new look at the influence of guessing on the reliability of multiple choice test. Applied Psychological Measurement, 27 (5): 357-371. Zimmerman, D.W. 2009. The reliability of difference score in population and sample. Journal of Educational Measurement, 46(1):19-42.
MENDISAIN TAMPILAN DALAM PEMBELAJARAN BERBASIS WEB Indarti Keberadaan online learning ataupun distance learning saat ini tak lepas dari pemanfaatan website sebagai media pembelajaran yang efektif dan menyebar luas secara mudah. Akan tetapi, pendidik cenderung kurang menyadari bahwa pembelajaran berbasis web – seperti juga metode pembelajaran yang lain – menuntut strategi yang berbeda terutama dalam hal disain, penulisan konten, aplikasi dan hubungannya dengan target keterbacaan oleh pengguna. Umumnya, pendidik terjebak untuk menulis isi pembelajaran dalam bentuk linear text-book style (Henderson, 2008). Hal ini mungkin sekali dikarenakan kebiasaan kita menerima teks sebagai sesuatu yang immovable dan aturan bahwa teks harus muncul dalam urutan tertentu; dimulai dengan pengantar, definisi, diikuti contoh soal dan latihan yang bisa dikerjakan oleh murid setelah membaca teks secara berurutan. Namun tanpa sadar, ini membawa kita kepada teori pembelajaran behaviourist. Tidak kita pungkiri bahwa teori ini juga berguna, namun dalam lingkungan pembelajaran berbasis web mungkin kita perlu untuk mengeksplorasi teori lain sebagai alternatif. Lepas dari masalah teori pembelajaran, pengembangan pembelajaran berbasis web memerlukan desain khusus karena pembelajaran berbasis web tidak dapat tergantung pada kharisma dan cara seorang instruktur menyajikan materi. Materi harus ditampilkan sedemikian rupa sehingga menarik. Tampilan tidak hanya penting untuk menarik dan memotivasi pengguna, tetapi juga untuk memfasilitasi perpaduan dari materi yang dipresentasikan (Greenberry, 2005). Kemampuan untuk mendesain suatu konten dalam laman web merupakan skill dasar yang sangat dibutuhkan dalam online learning. Menulis konten dalam website yang tidak didesain dengan benar bisa menghabat proses pembelajaran. Dan yang penting untuk disadari adalah konten dalam website memiliki format yang berbeda dan harus dibedakan dengan format cetakan dalam kertas. Dalam konteks pembelajaran online, dikenal istilah usability. Usability bisa diartikan sebagai takaran atau ukuran keefektifan website. Suatu tool bisa saja sangat membantu pengguna dalam menyelesaikan masalah, membuat lebih cepat dan lebih tepat; tetapi ada juga yang justru mengganggu dan membuat pengguna menjadi frustasi (Dillon, 2008). Dalam kaitannya dengan usability dalam risetnya, Dr Jakob Nielsesn (1997) menyebutkan bahwa 79% pengguna web hanya melakukan scanning yaitu membaca dengan cepat/sepintas kilas dan hanya 16% saja pengguna web yang benar-benar membaca kata demi kata. Selanjutnya
Nielsen juga menemukan bahwa membaca dari layar komputer 25% lebih lambat dibanding dengan membaca langsung dari kertas. Dia juga menganjurkan bahwa sebaiknya naskah online (online content) hanya memuat 50% dari jumlah kata dalam versi cetaknya. Mengingat bahwa sebagian besar pengguna web hanya melakukan scanning, maka desain web sebaiknya juga mendukung konten untuk bisa dibaca secara sekilas (scannability). Selain beberapa teknik mendesain konten untuk pembelajaran berbasis web yang akan diuraikan nanti, menurut Henderson, M. & Henderson, L., (2006) scannability juga dapat ditempuh dengan beberapa cara, antara lain: -
penyorotan kata kunci (highlighted keywords), misalnya dengan hypertext link, huruf tebal, atau huruf berwarna,
-
sub judul yang mengandung arti,
-
daftar list (bulleted list),
-
satu ide dalam satu paragraph,
-
inverted pyramid style; mulai dengan kesimpulan kemudian berkembang dengan penjelasan yang lebih rinci,
-
efisiensi jumlah kata menjadi maksimal ½ dari naskah asli.
Struktur piramida terbalik Tata tulis formal mengajarkan kita untuk menulis dengan struktur tertentu, misalnya berangkat dari kejadian atau contoh-contoh yang mendukung argumen menuju suatu kesimpulan. Penggunaan daftar list (bulleted list) di dalam paragraf juga kurang dianjurkan. Umumnya paragraf diawali dengan kalimat pengantar dan kemudian ide-ide diberikan secara terurai. Akan tetapi, jika metode ini diterapkan dalam pembelajaran online tentulah pengguna akan cenderung mengabaikan atau kemudian mencetak-nya jika terpaksa. Dengan kata lain metode ini tidak mendukung keterbacaan media online.
Sebuah studi menganjurkan format penulisan berbeda untuk pembelajaran online yaitu inverted pyramid. Struktur piramida terbalik ini menempatkan kesimpulan di bagian awal kemudian diikuti dengan informasi-informasi penting dan diakhiri dengan latar belakang permasalahan (Nielsen, 1997). Dari hal ini, pembaca akan menemukan (scanning) poin-poin penting dahulu kemudian akan membaca lebih lanjut jika dia memang merasa membutuhkan. Intinya, kita tidak ingin membiarkan pengguna lelah membaca suatu informasi yang ternyata tidak dibutuhkannya. Ini merupakan salah satu bentuk dari efektifitas transmisi informasi.
http://www.delawarenationalguard.com/upar/de_uparc_elo5.htm
Pemenggalan semantik Pemenggalan semantik (semantic chunking) merupakan cara kita memisahkan phrase, kalimat, atau bahkan paragraph menjadi satuan-satuan yang berarti dengan tujuan meningkatkan keterbacaan naskah. Tekhnik ini banyak digunakan ketika kita mendesain slide dalam PowerPoint ataupun menulis untuk pembelajaran online (Henderson, 1996). Perhatikan contoh berikut (diambil dan dimodifikasi sebagai contoh dari ’Strategi Umum Problem Solving dalam Pembelajaran Matematika’ (Setiawan, 2009)):
Georgi Polya di dalam karyanya yang diberinya judul How to Solve It (dalam Posamentier dan Stepelman, 1999), menyarankan metode heuristc di dalam problem solving. Langkah pertama adalah memahami persoalannya. Apa yang tidak diketahui? Bagaimana data yang ada dari persoalan tersebut? Langkah kedua yaitu merumuskan suatu rencana penyelesaian. Yaitu antara lain dengan menelusuri hubungan antara data dengan yang tidak diketahui dan menemukan relasi antara data yang diberikan dengan permasalahannya. Selanjutnya adalah melaksanakan rencana. Mengecek langkah demi langkah dan meyakinkah bahwa masing-masing tahap sudah benar. Terakhir adalah Melihat kembali serta menguji solusi yang diperoleh.
Kita dapat memecah paragraph tersebut menjadi bentuk berikut:
Georgi Polya di dalam karyanya yang diberinya judul How to Solve It (dalam Posamentier dan Stepelman, 1999), menyarankan Metode heuristc di dalam problem solving: 1. Memahami persoalannya. o
Apa yang tidak diketahui?
o
Bagaimana data yang ada dari persoalan tersebut?
2. Merumuskan rencana penyelesaian. o
menelusuri hubungan antara data dengan yang tidak diketahui
o
menemukan relasi antara data yang diberikan dengan permasalahannya.
3. Maksanakan rencana. o
Mengecek langkah demi langkah
o
meyakinkah bahwa masing-masing tahap sudah benar.
4. Melihat kembali serta menguji solusi yang diperoleh.
Pemahaman dalam teknik semantic chunking adalah bahwa kita menggunakan teks yang sama dengan mengaturnya sedemikian rupa untuk membantu pemahaman isi. Dalam semantic chunking kita diperbolehkan menghilangkan beberapa kata sambung tetapi tetap harus mempertahankan kaidah gramatikal.
Ruang putih Ruang putih atau white space merupakan bagian kosong yang tidak harus berwarna putih dalam halaman web. White space membingkai layar dan memisahkan tiap-tiap konten. Penyediaan white space merupakan strategi penting dalam mendesain website. Namun, umumnya ketika kita akan mencetak naskah online, kita menghilangkan bagian kosong ini dan memadatkan teks dengan tujuan penghematan cetakan. Terkadang kita memaksakan 3 halaman web dalam satu lembar folio A4. Sebenarnya cara ini merugikan karena disamping membutuhkan energi ketika kita meringkas naskah juga akan mengurangi keterbacaan dan melelahkan mata. Andrew Greenberry (2005) menganjurkan 25% halaman web sebagai white space. White space refers to the blank space on a screen; it does not have to be white! Space should be left between blocks of text, paragraphs, headings and illustrations/graphics. A significant contribution of white space is that it offers the user respite from blocks of text. It has been suggested that 25% of a screen should be white space. The best judge for white space is your eye; if you feel a screen is somewhat overcrowded with text, then revise it. Prinsip PARC Prinsip PARC (proximity, alignment, repetition, contrast) merupakan strategi penting dalam desain visual untuk slide ataupun web page. Proximity artinya kedekatan, yaitu melakukan
grouping atas beberapa elemen yang berhubungan. Dalam menempatkan suatu obyek kita perlu memperhatikan keterkaitan obyek tersebut dengan lingkungannya. Misalnya clipart; serta merta pengguna akan mencari hubungan antar clipart tersebut dengan teks yang ada. Contoh lain adalah penempatan anak judul. Anak judul yang terpisah dari teks di atasnya dan lebih mendekat pada teks di bawahnya akan lebih nyaman dari pada yang tak jelas posisinya dari teks di sekitarnya. Alignment artinya penjajaran. Dalam prinsip ini segala sesuatu kita tempatkan dengan aturan tertentu, sehingga pengguna dapat menangkap bahwa konten-konten yang berkaitan seakan terhubung oleh garis yang tak tampak. Sebagai contoh dalam membuat sub judul; antara yang satu dengan yang lain harus ada kesejajaran (William, 1993). Repetition dimaksudkan sebagai pengulangan bagian-bagian yang senada dalam keseluruhan teks. Misalnya kita menggunakan huruf tebal, warna, dan ukuran tertentu pada sub judul, kita harus melakukan hal yang sama untuk sub judul berikutnya. Prinsip Contrast digunakan untuk menarik pandangan kepada sesuatu yang penting. Kontras bisa ditimbulkan dengan pemakaian ukuran huruf atau warna yang berbeda . Tetapi tetap harus mempertimbangkan keseimbangan, terlalu banyak perbedaan dalam satu page menyebabkan pengguna sibuk menterjemahkan mana konten yang lebih penting. Berikut adalah contoh website yang menerapkan prinsip PARC dengan baik. Proximity ditunjukkan dengan posisi anak judul yang jelas melekat pada teks yang menyertainya. Alignment jelas digunakan pada pemisahan antara heading dengan konten yang menjorok ke dalam. Repetition digunakan secara konsisten pada penggunaan shadow, warna huruf dan huruf tebal untuk sub judul dan konten. Repetition juga ditunjukkan pada penggunaan bullet yang konsisten sesuai dengan kategori isinya. Contrast digunakan pada ukuran huruf sehingga pengguna dengan cepat mengidentifikasi heading-heading yang penting.
Bahan bacaan: Dillon, A. (2008). Web style guide. Diambil dari http://www.webstyleguide.com/ Greenberry, A. (2005). PACMAN: An instructional design guide for the web. Diambil dari http://ausweb.scu.edu.au/aw05/papers/refereed/greenberry/paper.html Henderson, M. & Henderson, L. (2006). Content design for online learning. QUICK: Journal of the Queensland. Society for Information Technology in Education, 99(Winter). Make it looks good. http://www.keyknox.com/bwit/classpages/looks.htm Neilsen, J. (1997) How users read on the web. Diambil dari www.useit.com/alertbox/9710a.html
CONTOH KOMUNIKASI TULIS PADA JAWABAN SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Wiworo
Olimpiade Sains Nasional (OSN) sudah berlangsung sejak 2002. Pernahkah Anda mencermati model soal-soal OSN, khususnya matematika? Apabila dicermati, ternyata soal-soal OSN bidang studi matematika hampir semuanya bertipe soal uraian (kecuali pada seleksi tingkat kabupaten/kota dan tingkat provinsi, beberapa soal masih bertipe pilihan ganda dan isian singkat). Soal uraian memerlukan langkah-langkah yang jelas, logis dan sistematis pada saat menuliskan jawabannya. Oleh karena itu peserta olimpiade perlu memiliki kemampuan berkomunikasi secara tertulis. Tulisan yang dibuat harus efektif. Artinya tulisan tersebut dapat dibaca dan dimengerti orang lain serta menyatakan dengan tepat apa yang dipikirkan oleh penulis. Karena OSN adalah tes dengan waktu terbatas, maka peserta harus dapat melakukan hal-hal di atas secara efisien. Kenyataan yang muncul selama ini ternyata siswa sangat mengalami kesulitan ketika harus menjawab soal-soal olimpiade yang bertipe uraian. Banyak peserta olimpiade yang sebenarnya mempunyai kemampuan bernalar dan memecahkan masalah yang cukup baik, tetapi mereka tidak mampu ketika harus menuangkan gagasannya dalam bentuk kalimat-kalimat tertulis. Mereka tidak tahu harus mulai menulis dari apa dan bagaimana alur tulisannya sehingga tidak ada ide yang “loncat”. Hery Susanto, Team Leader Tim Olimpiade Matematika Indonesia, pernah menyatakan bahwa kelemahan utama peserta International Mathematical Olympiad (IMO) dari Indonesia adalah kemampuan menuangkan gagasan atau ide yang muncul ke dalam bahasa tertulis. Supaya siswa mempunyai kemampuan komunikasi tertulis yang cukup baik jelas diperlukan pembiasaan. Untuk membiasakan hal tersebut, berdasarkan pengalaman penulis membina siswasiswa SMPN 8 Yogyakarta untuk menghadapi olimpiade matematika, langkah pertama yang dilakukan adalah meminta siswa untuk menulis sebanyak-banyaknya tentang cita-cita, target, keinginan ataupun hal-hal sejenis. Ini untuk melatih supaya siswa terbiasa mengeluarkan ide-ide atau pendapatnya. Ide apapun harus dituliskan. Kemudian terkait dengan kemampuan menjawab soal-soal matematika, siswa harus dibebaskan untuk mengeluarkan kreativitas mereka pada saat menjawab. Cara menjawab seperti apapun, sepanjang tidak melanggar konsep-konsep matematika, harus dihargai oleh guru. Ini hanya bisa berjalan dengan baik jika sejak awal kita selalu memberikan soalsoal tipe uraian. Dengan langkah-langkah seperti tersebut di atas, justru sering sekali muncul proses jawaban dari siswa yang unik, kreatif dan di luar dugaan kita. Arsip-arsip jawaban siswa yang seperti ini perlu dikoleksi oleh para guru untuk menambah wawasan dan referensi. Proses pembiasaan ini memang memerlukan waktu. Penulis mencermati, dengan latihan yang intensif, para siswa tersebut perlu sekitar satu sampai dua tahun untuk dapat mempunyai kemampuan menulis yang cukup baik. Berikut ini adalah beberapa contoh komunikasi tulis yang cukup baik dari siswa sebagai akibat proses pembiasaan. Soal yang dikerjakan adalah soal OSN matematika SMP tahun 2009 dan dijawab oleh Gusnadi Wiyoga. Siswa tersebut adalah siswa kelas VIII SMPN 8 Yogyakarta yang berhasil meraih medali emas matematika SMP pada OSN VIII tahun 2009 di DKI Jakarta. Jawaban berikut ditulis ulang oleh siswa tersebut empat hari setelah OSN dan dibuat persis seperti pada saat dia menjawabnya di OSN.
1. Soal OSN VIII 2009 Matematika SMP, Hari I, nomor 1 Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar bilangan asli a dan b. Persamaan kuadrat lainnya memiliki akar-akar b dan c dengan . Jika a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan prima yang kurang dari 15, ada berapa macam pasangan yang mungkin memenuhi syarat tersebut (dengan syarat koefisien dari suku kuadratnya sama dengan 1)? Jawaban siswa:
2. Soal OSN VIII 2009 Matematika SMP, Hari I, nomor 4 Diketahui segitiga ABC dengan A sebagai puncak dan BC sebagai alas. Titik P terletak pada sisi CA. Dari titik A ditarik garis sejajar PB dan memotong perpanjangan alas di titik D. Titik E terletak pada alas sehingga CE : ED = 2 : 3. Jika F adalah tengah-tengah antara E dan C, dan luas segitiga ABC sama dengan 35 cm2, berapakah luas segitiga PEF?
Jawaban siswa:
3. Soal OSN VIII 2009 Matematika SMP, Hari II, nomor 4
Pada suatu segitiga bahwa
titik
terletak pada sisi
dan titik
. Jawaban siswa:
terletak pada sisi
Tunjukkan
Tugas dan Peran PPPPTK Matematika dalam Implementasi Program BERMUTU Oleh: Sri Wardhani Pengantar Sejak digulirkannya program BERMUTU oleh pemerintah pada tahun 2008, PPPPTK Matematika langsung terlibat dalam kegiatan-kegiatannya. Agar hasil kegiatan dari keterlibatan itu terus meningkat dari waktu ke waktu, optimal dan sesuai dengan ketentuan yang telah ditetapkan maka perlu didukung adanya pemahaman yang memadai dari semua pihak terkait dan khususnya seluruh warga PPPPTK Matematika tentang program BERMUTU dan tugas PPPPTK Matematika dalam implementasi program BERMUTU. Tulisan ini bertujuan mensosialisasikan tentang program BERMUTU dan tugas PPPPTK Matematika dalam implementasi program BERMUTU kepada warga PPPPTK Matematika pada khususnya, dan para pendidik, tenaga kependidikan, serta para pemangku kepentingan pendidikan yang berkaitan dengan pengelolaan pembelajaran matematika di sekolah pada umumnya. Latar Belakang Program BERMUTU Kata BERMUTU merupakan akronim dari Better Education Through Reformed Management and Universal Teacher Upgrading. Program BERMUTU merupakan salah satu program pemerintah dalam upaya meningkatkan kompetensi dan kinerja guru. Program ini akan berkontribusi terhadap pengembangan kualitas sumber daya manusia ke arah pertumbuhan produktivitas dan peningkatan daya saing Indonesia dalam ekonomi global (Project Operational Manual atau POM BERMUTU, hal II-4). Mengapa program BERMUTU digulirkan? Kita ingat kembali bahwa pemerintah telah melakukan reformasi guru yang diawali dengan disahkannya Undang-Undang Guru dan Dosen (UUGD) pada tahun 2005. Dengan disahkannya UUGD itu maka pekerjaan sebagai guru diiakui sebagai suatu profesi. Akibatnya, setiap orang yang berperan sebagai guru di tanah air ini harus bersertifikasi. Oleh karena itu mulai tahun 2007 pemerintah melakukan kegiatan sertifikasi guru kepada sekitar 2,7 juta guru yang telah menjalankan tugas sebagai guru namun belum bersertifikasi atau belum memiliki sertifikat guru (pendidik). Kegiatan tersebut diharapkan selesai dalam waktu 10 tahun sejak UUGD disahkan (tahun 2015). Selain itu pemerintah juga mengelola kegiatan pendidikan profesi guru yang ditujukan kepada para calon guru. Berbagai penelitian tentang guru dan hasil belajar siswa memberikan sejumlah implikasi akan pentingnya berbagai strategi peningkatan mutu guru dalam rangka memperbaiki proses pembelajaran. Tingkat pendidikan, prestasi dan sertifikasi tidak dapat menjamin para guru mampu menyampaikan pengetahuan yang diperoleh sepanjang hidupnya dalam bentuk materi pelajaran yang memadai selama proses belajar mengajar. Penguasaan materi dan keterampilan mengajarkan materi, akan menentukan keberhasilan peningkatan pembelajaran siswa. Pengembangan Profesional Berkelanjutan (Continuous Professional Development) diyakini akan menjadi salah satu faktor penentu utama dari performansi/kinerja guru dan pembelajaran siswa. Pengalaman negara-negara lain mendukung kenyataan bahwa partisipasi dalam workshop, kursus dan pelatihan, mengarah pada peningkatan kualitas guru secara signifikan. Rancangan Program BERMUTU dikembangkan dalam kerangka pikir tersebut. ”Nilai tambah” program adalah
membantu upaya pemerintah yang mengarah kepada guru yang bersertifikat yang selanjutnya diharapkan dapat menghasilkan praktek pembelajaran yang baik (POM BERMUTU hal II-1,2) Tujuan Program BERMUTU dan Indikator Kunci Guru bersertifikat akan menerima tunjangan profesional (sepadan dengan satu bulan gaji pokok), tunjangan jabatan, dan tunjangan khusus bagi yang mengajar di daerah khusus (juga sepadan dengan satu bulan gaji pokok). Secara keseluruhan berarti bahwa di bawah UUGD tersebut, seluruh guru akan mendapatkan gaji dua kali lipat setelah mendapatkan sertifikat pendidik. Para guru di daerah terpencil atau daerah sulit akan menerima gaji tiga kali lipat setelah bersertifikat, dan menerima tunjangan khusus, sebagai tambahan selain tunjangan profesional dan tunjangan fungsional (POM BERMUTU, hal II-2). Strategi pemerintah menegaskan kepada seluruh pemangku kepentingan pendidikan bahwa tunjangan dan insentif finansial yang dinaikkan pemerintah harus sejalan dengan peningkatan kinerja guru secara berkelanjutan sehingga berdampak positif pada peningkatan kualitas pendidikan di Indonesia. (POM BERMUTU, hal II-2). Penjaminan terkait hal itu antara lain dilaksanakan melalui program BERMUTU. Adapun tujuan Program BERMUTU adalah untuk mendukung upaya peningkatan kualitas dan kinerja guru melalui peningkatan penguasaan materi pembelajaran dan keterampilan mengajar di kelas. Indikator kunci untuk mengukur peningkatan kualitas dan kinerja guru sebagai berikut. (POM BERMUTU, hal II-4,5) 1. Peningkatan jumlah guru yang memenuhi kualifikasi akademik sebagaimana ditetapkan dalam UUGD. 2. Peningkatan jumlah guru SD dan SLTP di kabupaten/kota mitra Program BERMUTU yang mengajar sesuai dengan latar belakang pendidikannya, dan menggunakan strategi mendidik yang sesuai dengan usia siswa; dan 3. Penurunan angka kemangkiran guru di kabupaten/kota mitra Program BERMUTU. Sasaran tersebut akan dicapai melalui: inisiasi reformasi kebijakan dasar dalam pendidikan prajabatan (pre-service) dan pendidikan dalam jabatan (in-service) guna menyediakan akses yang merata bagi guru untuk meningkatkan kualifikasi pendidikan, kompetensi dan kinerja mengajarnya; pengembangan sistem insentif dan promosi atau peningkatan karir guru yang mencerminkan peningkatan kompetensi dan kinerja guru; dan peningkatan pengembangan profesional berkelanjutan/CPD (Continuous Professional Development) bagi para guru bersertifikat; serta monitoring dan evaluasi terhadap seluruh kegiatan tersebut. Komponen Program BERMUTU Program BERMUTU berfokus pada nilai tambah reformasi guru yang digagas pemerintah dengan cara memperkuat hubungan antara proses sertifikasi dan pemberian tunjangan profesi untuk percepatan pembelajaran siswa. Program ini bukan untuk membiayai tunjangan baru untuk guru; tapi sebagai gantinya, berdasarkan pengalaman internasional akan memberikan nilai tambah dengan cara sebagai berikut (POM BERMUTU, hal II-2). 1. Mengkaji ulang kebijakan dan struktur pendidikan pra-jabatan (preservice education) untuk memastikan bahwa program pendidikan tersebut mampu membentuk kompetensi yang ditetapkan;
2. Mendukung rancangan dan penyediaan program-program bagi guru yang belum memenuhi syarat untuk disertifikasi karena kurang kualifikasi dan atau kompetensi; 3. Menemukan dampak perubahan kebijakan untuk membantu peningkatan kompetensi dan kinerja guru secara berkelanjutan; dan 4. Melaksanakan monitoring selama pelaksanaan program dan evaluasi untuk mengukur dampak, dan memandu mplementasi undang-undang tersebut. Mutu guru bergantung kepada sejumlah faktor, antara lain sebagai berikut (POM BERMUTU, hal II-5). 1. kemampuan akademis yang kuat tentang materi yang diajarkan; 2. penguasaan keterampilan mengajar, terutama komunikasi dengan peserta didik; 3. keterampilan menggunakan media pembelajaran; 4. penguasaan manajemen kelas; 5. pengetahuan dan penggunaan berbagai macam teknik penilaian; 6. keterampilan sosial yang diperlukan untuk bekerja dengan sejawat, orangtua dan masyarakat; 7. pengembangan profesi berkelanjutan selama bertugas untuk mendukung pengembangan karir; dan 8. sistem pemantauan dan evaluasi yang baik untuk menyediakan umpan balik yang memadai dan tepat waktu bagi pengembangan mutu guru secara berkelanjutan. Seluruh faktor tersebut, dalam Program BERMUTU dicakup melalui penyelenggaraan empat komponen program yang saling terkait, sinergis dan dirancang secara komprehensif. Empat komponen program tersebut sebagai berikut. (POM BERMUTU, 2008: hal. II-5 s.d. II-14). 1. Reformasi Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan atau LPTK. 2. Pengembangan Struktur Pengembangan Guru di Tingkat Daerah. 3. Reformasi Akuntabilitas Guru dan Sistem Insentif untuk Peningkatan Kinerja dan Karir Guru. 4. Peningkatan Program Koordinasi, Pemantauan dan Evaluasi. Terkait dengan empat komponen program BERMUTU tersebut maka unit-unit utama Depdiknas yang terkait dengan program BERMUTU sebagai berikut (POM BERMUTU, hal. III-2). 1. Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan (Ditjen PMPTK), dengan melibatkan 3 (tiga) direktorat yaitu Direktorat Profesi Pendidik (Dit. Prodik),Direktorat Tenaga Kependidikan (Dit. Tendik), dan Direktorat Pembinaan Pendidikan dan Pelatihan (Dit. Bindiklat); 2. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (Ditjen Dikti), dengan satuan kerja Direktorat Ketenagaan dan perguruan tinggi pelaksana kegiatan; 3. Badan Penelitian dan Pengembangan (Balitbang) Depdiknas (Kemdiknas) dengan melibatkan Pusat Statistik Pendidikan (PSP), Pusat Penelitian Kebijakan dan Inovasi Pendidikan (Puslitjaknov), Pusat Penilaian Pendidikan (Puspendik), dan Badan Akreditasi Nasional Perguruan Tinggi (BAN-PT). Dalam pelaksanaan Program BERMUTU, Ditjen PMPTK bertindak sebagai Program Coordinating Unit (PCU) atau Unit Koordinasi Program pada tingkat nasional secara keseluruhan. Di samping itu Ditjen PMPTK melalui Direktorat Pembinaan Pendidikan dan Pelatihan (Dit. Bindiklat) akan sekaligus berperan sebagai Program Implementation Unit (PIU) atau Unit Implementasi Program. Begitu pula Ditjen Dikti dan Balitbang masing-masing
bertindak sebagai PIU, sehingga secara keseluruhan program BERMUTU akan terdapat 3 (tiga) PIU. Tanggungjawab utama Ditjen PMPTK dalam implementasi program BERMUTU adalah mengkoordinasikan pengembangan berbagai kebijakan peningkatan kualitas guru, dan memfasilitasi implementasi kebijakan pemberian Dana Bantuan Langsung kepada kelompok kerja guru (KKG/MGMP), kepala sekolah(KKKS/MKKS), pengawas (KKPS/MKPS), dan LPMP serta PPPPTK dalam lingkup komponen 2, dan kegiatan-kegiatan peningkatan kompetensi pasca sertifikasi pada komponen 3 (melalui gugus kerja yang mewakili berbagai pemangku kepentingan yang relevan). Disamping itu, unit ini berperan sebagai Program Coordinating Unit (PCU) yang bertanggungjawab mengkoordinasikan seluruh kegiatan program pada sub komponen 4.3 (kegiatan-kegiatan untuk mendukung koordinasi dan monitoring program BERMUTU), menyusun laporan terkonsolidasi, dan dalam hubungan dengan misi supervisi Bank Dunia, memonitor kemajuan implementasi program.selanjutnya dalam kaitan dengan substansi kualitas guru. PCU berkolaborasi dengan 2 Program Implementation Unit (PIU) lain (Dikti dan Balitbang); dan juga bertindak sebagai sekretariat Steering Committee (SC). Tugas PPPPTK Matematika dan Instansi Lingkup Ditjen PMPTK PPPPTK Matematika merupakan salah satu instansi unit pelaksana teknis dari Ditjen PMPTK sehingga tanggungjawab PPPPTK Matematika dalam program BERMUTU merupakan bagian dari tanggungjawab Ditjen PMPTK dalam program BERMUTU. Dalam lingkup Ditjen PMPTK, ada beberapa instansi lain yang terlibat dalam program BERMUTU. Dalam implementasi program BERMUTU, PPPPTK Matematika harus menjalin kerjasama yang sinergis dengan instansi-instansi tersebut. Berikut ini uraian tanggungjawab masing-masing instansi terkait yang diambil diambil dari POM BERMUTU halaman III-7 dan III-8. Ditjen PMPTK sebagai PIU program BERMUTU bertanggungjawab mengembangkan kebijakan dan berbagai panduan untuk meningkatkan kualitas guru, pemberian Dana Bantuan Langsung kepada kelompok kerja guru (KKG/MGMP), kepala sekolah (KKKS/MKKS), pengawas (KKPS/MKPS), forum KKG/MGMP dan forum KKKS/MKKS dan bantuan program bagi LPMP dan P4TK. Dengan lingkup tanggung jawab tersebut, PIU Ditjen PMPTK mencakup tiga direktorat yang tugas pokok dan fungsinya relevan dengan program yang dikembangkan melalui Program BERMUTU, yakni Direktorat Pembinaan Pendidikan dan Pelatihan (Dit Bindiklat), Direktorat Profesi Pendidik (Dit Prodik), dan Direktorat Tenaga Kependidikan (Dit Tendik). PIU Ditjen PMPTK juga bertanggungjawab untuk mengkompilasi Interim Financial Report/IFR dari setiap penanggungjawab kegiatan dan bertanggungjawab menyampaikan Surat Permintaan Pembayaran/SPP kepada Biro Keuangan yang akan menerbitkan Surat Perintah Membayar/SPM. Dit Bindiklat bertanggung jawab dalam mengembangkan modul pelatihan untuk meningkatkan kapasitas KKG/MGMP, LPMP dan P4TK sebagai sistem pendukung peningkatan kualitas guru, dalam upaya peningkatan kualifikasi dan kompetensi guru. Dit Tendik bertanggung jawab mengembangkan kebijakan dan prosedur untuk meningkatkan kapasitas KKKS/MKKS dan KKPS/MKPS sebagai sistem pendukung untuk mengembangkan
kemampuan manajerial pada tingkat sekolah dan kemampuan supervisi para pengawas, termasuk menyelenggarakan pelatihan bagi kepala sekolah dan pengawas agar mampu menggunakan prosedur penilaian guru berbasis kinerja dan berbasis kompetensi, serta melakukan pembinaan guru berdasarkan hasil penilaian dalam program magang (Induksi Guru Baru). Dit Prodik bertanggung jawab mengembangkan berbagai kebijakan dan prosedur: (i) mengembangkan sistem Recognition Prior Learning (RPL) dalam upaya proses percepatan peningkatan kualifikasi guru ke jenjang yang lebih tinggi; termasuk model peningkatan kualifikasi guru; (ii) peningkatan kemampuan profesional guru secara berkelanjutan pascasertifikasi. Disamping itu juga bertanggung jawab untuk menyusun mekanisme, prosedur dan instrumen yang terkait dengan kemajuan karir dan promosi yang sejalan dengan prestasi dan kinerja guru. Pengembangan mekanisme dan prosedur tersebut dilakukan melalui uji coba terbatas di kabupaten/kota mitra Program BERMUTU. PPPPTK bertanggungjawab dalam mengembangkan modul-modul diklat terakreditasi yang akan digunakan dalam kegiatan di KKG dan MGMP serta menyelenggarakan pelatihan untuk PCT (Provincial Core Team) dan DCT (District Core Team). Di samping itu P4TK juga bertanggungjawab dalam mengkoordinasikan pelaksanaan Monitoring dan Evaluasi (M&E kegiatan KKG dan MGMP secara regional. LPMP bertanggungjawab dalam menentukan alokasi Bantuan Dana Langsung per kabupaten, mengembangkan pedoman penyelenggaraan program Bantuan Dana Langsung serta memonitor dan mengevaluasi pelaksanaan BG (block grant). Di samping itu LPMP bertanggungjawab dalam pengembangan sistem pendukung bagi guru, kepala sekolah, dan pengawas, penyediaan bantuan teknis oleh LPMP untuk mengembangkan kapasitas kepala sekolah dan pengawas, pengembangan kapasitas KKG/MGMP sebagai cara menyediakan pelatihan yang efektif pada tingkat sekolah, Pustekkom, bertanggung jawab pengembangkan modul-modul pelatihan berbasis ICT yang akan digunakan oleh kelompok kerja guru (KKG/MGMP), kepala sekolah (KKKS/MKKS), pengawas (KKPS/MKPS) dalam pelatihan yang efektif, serta mendukung penyebarluasan modul tersebut melalui TVE dan Jardiknas (POM BERMUTU, 2008: hal. III-8). Program BERMUTU PPPPTK Matematika Telah diuraikan bahwa tugas utama dari PPPPTK Matematika dalam implementasi program BERMUTU adalah mengembangkan modul-modul diklat terakreditasi yang akan digunakan dalam kegiatan di KKG dan MGMP serta menyelenggarakan pelatihan untuk PCT dan DCT. Di samping itu P4TK juga bertanggungjawab dalam mengkoordinasikan pelaksanaan monitoring dan evaluasi kegiatan KKG dan MGMP secara regional. Tanggungjawab tersebut telah dilaksanakan oleh PPPPTK Matematika mulai tahun 2008. Adapun kegiatan terkait program BERMUTU yang telah (tahun 2008, 2009) dan akan (tahun 2010) dilaksanakan oleh PPPPTK Matematika sebagai berikut. Tahun 2008: Beberapa kegiatan yang telah dilaksanakan PPPPTK Matematika pada tahun 2008 sebagai berikut.
1. Para pejabat struktural, Widyaiswara, dan para pembantu pimpinan mengikuti sosialisasi program BERMUTU yang diselenggarakan oleh Ditjen PMPTK dalam periode waktu sepanjang tahun 2008. 2. Megirimkan Widyaiswara untuk menjadi penulis dalam penyusunan Bahan Belajar Mandiri (BBM) Penelitian Tindakan Kelas (PTK) lingkup mata pelajaran Matematika SD dan SMP dalam periode waktu bulan Juli s.d. Desember 2008. 3. Mengirimkan Widyaiswara untuk mengikuti TOT NCT (National Core Team)yang diselenggarakan oleh Direktorat Bindiklat pada bulan Desember 2008. Ada 8 orang Widyaiswara sebagai peserta.. 4. Menyelenggarakan TOT PCT (Provincial Core Team) dan DCT (District Core Team) pada bulan Desember 2008. Tahun 2009 Pada tahun 2009, di bawah koordinasi Direktorat Pembinaan Diklat, PPPPTK Matematika telah mengelola kegiatan BERMUTU sebagai berikut. 1. Rapat Kerja Teknis Penyusunan dan Finalisasi Modul-modul dan Sistem Pelatihan, 26 September s.d. 8 Oktober 2009. Kegiatan mencakup penilaian, editing dan lay outing modul. Sejatinya sebelum rapat, kegiatan telah diawali dengan penulisan modul pada bulan Agustus 2009. Dari rapat telah dihasilkan 20 judul modul (9 judul-SD, 11 judul-SMP). Modul dapat diakses di http://www.p4tkmatematika.com. 2. Pelatihan Penggunaan Modul , tanggal 9 s.d 14 Oktober 2009 dengan sasaran 16 propinsi. 3. National Training bagi Tim Pengembang KKG dan MGMP pada tanggal 15 – 20 Oktober 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel) 4. ToT PCT KKG dan ToT PCT MGMP, tanggal 21 – 26 Oktober 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). 5. ToT DCT KKG dan ToT DCT MGMP pada tanggal 27 Oktober s.d 1 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). 6. ToT KKKS/MKKS dan ToT KKPS/MKPS, tanggal 1 s.d. 6 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). 7. Monitoring pelatihan KKG dan MGMP di kabupaten/kota oleh Tim Pengembang pada tanggal 12 – 30 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). 8. Monitoring di KKG dan MGMP oleh Tim Pengembang pada tanggal 12 – 30 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). Tahun 2010 Sesuai dengan tanggungjawab implementasi program BERMUTU yang telah ditentukan dalam POM, PPPPTK Matematika bertugas mengelola beberapa kegiatan program BERMUTU pada tahun 2010. Kegiatan yang direncanakan sebagai berikut. No 1.
Nama dan Rencana Waktu Workshop Pengembangan Modul dan Sistem Pelatihan,
Rencana Tujuan • Mengidentifikasi topik dan judul, modul • Mengidentifikasi garis besar isi tiap modul dan naskah sistem pelatihan
Rencana Peserta/ Sasaran • Widyaiswara, calon Widyaiswara/staf PPPPTK Matematika • Widyaiswara LPMP dan Guru Pemandu KKG/MGMP dari kabupaten/kota mitra
tanggal 15-20 Februari 2010
2.
3.
4.
5.
• Menyusun sistematika isi modul dan naskah rancangan pelatihan Dari workshop diharapkan dapat diidentifikasi dan diurai garis besar isi minimal 20 judul modul dan 1 naskah rancangan pelatihan. Rapat Kerja • Menyusun modul sehingga siap Teknis Tim digunakan dalam kegiatan pelatihan di Pengembang KKG/MGMP melalui program Modul , tanggal BERMUTU 23 Februari s.d. • Menyusun naskah rancangan pelatihan 31 Maret 2010 yang akan dikelola oleh PPPPTK Matematika Pelatihan • Meningkatkan pemahaman dan Penggunaan ketrampilan peserta dalam Modul, tanggal 5menggunakan modul PPPPTK 10 April 2010 Matematika dan Direktorat Pembinaan Diklat • Meningkatkan pemahaman peserta tentang kebijakan terkait implementasi program BERMUTU National Training • Meningkatkan pemahaman dan (NT) bagi Tim menyamakan persepsi peserta tentang Pengembang program kegiatan dan kebijakan KKG, tanggal 20Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit 25 April 2010 Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU National Training • Membangun kemitraan antar lembaga (NT) bagi Tim yang terlibat dalam implementasi Pengembang program BERMUTU di region Jateng MGMP, tanggal dan Sulsel 26 April – 1 Mei • Meningkatkan pemahaman peserta 2010 tentang kegiatan BERMUTU yang dikelola oleh PPPPTK Matematika ToT PCT bagi • Meningkatkan kompetensi para PCT KKG tanggal 3-8 dalam memahami modul-modul Mei 2010 yang disusun oleh PPPPTK Matematika dan Dit Bindiklat serta ToT PCT bagi cara penggunaannya kepada tim MGMP tanggal DCT 10-15 Mei 2010 • Meningkatkan pemahaman para PCT tentang program kegiatan dan
program BERMUTU dari beberapa propinsi mewakili wilayah barat, tengah dan timur Indonesia • Dosen Matematika dari LPTK • Banyak peserta: 40 orang • Idem nomor 1. • Banyak peserta: penulisan (42 orang), penilaian (32 orang), editing (21 orang) dan lay outing (21 orang)
• Widyaiswara Matematika LPMP • Dosen Matematika dari LPTK • Guru (instruktur) wakil PCT dan DCT KKG/MGMP berlatar belakang matematika dari 16 propinsi mitra program BERMUTU • Widyaiswara/Calon Widyaiswara/staf PPPPTK Matematika. • Banyak peserta: 70 orang Pengelola program BERMUTU dari instansi: • Dinas Pendidikan dan wakil pengelola KKG/MGMP dari 16 kabupaten/kota mitra BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel, • LPTK, LPMP di Jateng dan Sulsel, • PPPPTK Matematika. • Banyak peserta: 90 orang dalam 2 angkatan untuk NT Tim Pengembang KKG dan 90 orang dalam 2 angkatan untuk NT Tim Pengembang MGMP • PCT (calon PCT) yang terdiri dari unsur LPMP, LPTK, dan guru (instruktur) berlatar belakang Matematika wakil dari 16 propinsi mitra program BERMUTU • Banyak peserta: 100 orang dalam 2 angkatan untuk ToT PCT bagi KKG dan 100 orang dalam 2 angkatan untuk ToT PCT bagi MGMP
6.
ToT DCT KKG, tanggal 24-29 Mei 2010 ToT DCT MGMP, tanggal 17-22 Mei 2010
7.
ToT KKKS/ MKKS tanggal 15-20 Juni 2010 ToT KKPS/ MKPS tanggal 21-26 Juni 2010
8.
Monitoring pelatihan KKG dan MGMP di kabupaten/kota oleh Tim Pengembang • 11-14 Juni 2010 (persiapan) • Juni – Sept. 2010 (pelaksanaan) • 1-3 Nov. 2010
kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU • Meningkatkan kompetensi para DCT dalam memahami modulmodul yang disusun oleh PPPPTK Matematika dan Dit Bindiklat untuk kegiatan BERMUTU serta cara pembimbingan penggunaannya kepada para guru pemandu di KKG/MGMP • Meningkatkan pemahaman para DCT tentang program kegiatan dan kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU • Meningkatkan pemahaman dan menyamakan persepsi peserta tentang proses dan pengelolaan kegiatan BERMUTU di KKG/MGMP/ KKKS/MKKS/KKPS/MKPS • Meningkatkan pemahaman peserta tentang program kegiatan dan kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU • Meningkatkan pemahaman peserta tentang kegiatan BERMUTU yang dikelola oleh PPPPTK Matematika • Mengetahui kinerja dan hambatan yang dihadapi oleh para DCT dalam mendiseminasikan hasil ToT DCT yang telah diikutinya. • Mendapat masukan terkait ToT DCT yang telah dan akan dilaksanakan oleh PPPPTK Matematika
• DCT (calon DCT) yang terdiri dari unsur LPMP, LPTK, dan guru (instruktur) berlatar belakang Matematika wakil dari 16 propinsi mitra program BERMUTU. • Banyak peserta: 100 orang dalam 2 angkatan untuk ToT DCT bagi KKG dan 100 orang dalam 2 angkatan untuk ToT DCT bagi MGMP
• Kepala Sekolah wakil KKKS/MKKS dan Pengawas wakil KKPS/MKPS yang wilayah KKG/MGMPnya mengikuti program BERMUTU dari 16 kabupaten/kota mitra program BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel, • Widyaiswara LPMP dan Dosen LPTK Jateng dan Sulsel • Widyaiswara PPPPTK Matematika • Banyak peserta: 70 orang untuk ToT KKKS/MKKS dan 70 orang untuk ToT KKPS/MKPS
Responden (2×10 orang × 16 kabupaten/ kota wakil 16 propinsi untuk pelatihan KKG dan MGMP: Wakil alumni ToT DCT oleh PPPPTK Matematika dan peserta pengimbasan (guru pemandu) di 16 kab/kota mewakili 16 propinsi mitra program BERMUTU. Petugas persiapan (2×10 orang untuk KKG dan MGMP): unsur PPPPTK Matematika. Petugas pelaksanaan (2×32 orang petugas pusat dan 2×16 orang petugas daerah untuk KKG dan MGMP):unsur PPPPTK Matematika (NCT
(pengolahan data dan pelaporan hasil)
9.
Monitoring oleh • Mengetahui kondisi atau proses Tim Pengembang kegiatan di KKG/ MGMP dan di KKG dan mengidentifikasi hambatan yang MGMP dihadapi oleh para pengurus • 11-14 Juni KKG/MGMP terkait pengelolaan kegiatan KKG/MGMP dalam kerangka 2010 program BERMUTU (persiapan) • akhir Juli – 31 • Membimbing para guru pemandu dan Okt. 2010 pengurus KKG/MGMP dalam memecahkan permasalahan yang (pelaksanaan) muncul terkait proses kegiatan belajar • 1-3 Nov. 2010 dan pengelolaan KKG/MGMP dalam (pengolahan kerangka program BERMUTU data dan pelaporan hasil)
10
Monitoring PCT • Memfasilitasi alumni PCT dalam KKG/MGMP membantu Tim DCT mengevaluasi oleh Tim KKG/MGMP/KKKS/ MKKS/ Pengembang KKPS/MKPS • 11-14 Juni • Mengetahui kondisi dan proses 2010 kegiatan di KKG/ MGMP dan (persiapan) mengidentifikasi hambatan yang dihadapi oleh para pengurus • akhir Juli – Oktober – KKG/MGMP terkait pengelolaan kegiatan KKG/MGMP dalam (pelaksanaan) kerangka program BERMUTU • 1-3 Nov. 2010 • Membimbing para guru pemandu (pengolahan data dan KKG/MGMP dalam memecahkan pelaporan hasil) permasalahan yang muncul terkait proses kegiatan belajar dan pengelolaan KKG/MGMP dalam implementasi program BERMUTU
dan pendampingnya) atau PCT/DCT sebagai petugas pusat dan alumni NT sebagai petugas daerah Petugas pengolahan data (2×5 orang untuk KKG dan MGMP): unsur PPPPTK Matematika Responden (320 orang di 32 KKG dan 320 orang di 32 MGMP): Guru peserta, guru pemandu dan pengurus KKG/ MGMP di 16 kabupaten/kota mitra program BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel. Petugas persiapan (0 orang): ikut persiapan pada kegiatan monitoring di nomor 8. Petugas pelaksanaan (2×54 orang petugas pusat dan 2×32 orang petugas daerah untuk KKG dan MGMP):unsur PPPPTK Matematika (NCT dan pendampingnya), atau PCT/DCT sebagi petugas pusat dan alumni NT sebagai petugas daerah. Petugas pengolahan data (2×5 orang untuk KKG dan MGMP): unsur PPPPTK Matematika Responden (50 orang): Guru pemandu dari KKG/MGMP wilayah terpencil dan Guru pemandu, pengurus KKG/MGMP, kepala sekolah/pengawas pendamping di KKG/MGMP yang bukan sasaran pada kegiatan monitoring di no. 9 dari kabupaten/kota mitra program BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel. Petugas persiapan (0 orang): ikut persiapan pada kegiatan monitoring di nomor 8 .Petugas pelaksanaan: (54 orang petugas pusat dan 54 orang petugas daerah):unsur PPPPTK Matematika (NCT dan pendampingnya) sebagi petugas pusat, PCT/DCT sebagai petugas pusat/daerah dan alumni NT sebagai petugas daerah. Petugas pengolahan data (5 orang): unsur PPPPTK Matematika
Penutup Sampai dengan saat ini terdapat 16 propinsi terdiri dari 75 kabupaten/kota yang telah bersedia menjadi mitra program BERMUTU. Implementasi program BERMUTU pada lima tahun
pertama (2008-2012) diharapkan akan mampu membentuk sistem dan pola kegiatan pembinaan dan peningkatan kompetensi dan kinerja guru secara berkelanjutan melalui forum organisasi profesi KKG/MGMP dan KKPS/MKPS serta KKKS/MKKS. Pada suatu saat nanti diharapkan semua propinsi dan kabupaten/kota di Indonesia ini dapat mengadopsi sistem dan pola kegiatan dalam program BERMUTU untuk membina dan meningkatkan kompetensi dan kinerja para guru di wilayah masing-masing. Tulisan ini diharapkan dapat menggugah semangat dan tekad para pembaca untuk ikut menyukseskan program BERMUTU. Untuk warga PPPPTK Matematika, tulisan ini diharapkan dapat memperjelas peran dan tugas masing-masing dalam kegiatan program BERMUTU yang dikelola oleh PPPPTK Matematika sehingga akhirnya dapat berhasil optimal sesuai ketentuan yang telah ditetapkan. Daftar Pustaka Depdiknas. 2008. Project Operation Manual (POM) Program BRMUTU. Jakarta: Depdiknas Ditjen PMPTK.2009. Panduan Operasional Tim Inti Peningkatan Profesionalisme Pendidik dan Tenaga Kependidikan Program BERMUTU. Jakarta: Ditjen PMPTK. PPPPTK Matematika.2008. Laporan Pengelolaan Kegiatan BERMUTU PPPPTK Matematika Tahun 2008 Yogyakarta: PPPPTK Matematika. PPPPTK Matematika.2009. Laporan Pengelolaan Kegiatan BERMUTU PPPPTK Matematika Tahun 2009 Yogyakarta: PPPPTK Matematika. PPPPTK Matematika.2010. Rencana Operasioal (RENOP) PPPPTK Matematika Tahun 2010. Yogyakarta: PPPPTK Matematika.
Peranan Beda (Selisih) untuk Menentukan Rumus Jumlah Suatu Deret Oleh: Markaban
Di Sekolah Menengah Atas maupun Sekolah Menengah Kejuruan terkadang masih dijumpai permasalahan dalam materi pembelajaran barisan dan deret. Permasalahan yang dihadapi guru dalam materi tersebut kadangkala hanya dikarenakan kurang cermat dalam memahami soal, atau pemahaman yang hanya bersifat hafalan sebagaimana yang biasa diterangkan kepada siswa, yaitu menyampaikan materi hanya mengenai deret aritmetika dan geometri saja tanpa pengembangan. Berdasarkan hasil pretes pada kegiatan Diklat Guru Pengembang Matematika Jenjang Dasar yang terkait dengan materi barisan dan deret, sebagian jawaban peserta diklat masih kosong, dan masih perlu kecermatan dalam memahami soal. Di samping itu setelah mendiskusikan materi mengenai ciri-ciri, sifat-sifat, dan cara menentukan suku ke-n barisan aritmetika maupun barisan geometri serta jumlah n suku pertama dari deret aritmetika maupun deret geometri, masih banyak juga peserta diklat yang belum dapat menyelesaikan soal yang bukan merupakan deret aritmetika maupun deret geometri seperti misal menentukan jumlah 25 suku pertama (S25) dari deret: 1 + 3 + 6 + 10 + ..... Hal inilah yang kemudian menimbulkan pertanyaan/permasalahan guru: “Bagaimana cara mencari jumlah suatu deret yang bukan deret aritmetika maupun deret geometri?”.
Salah satu cara dalam menentukan rumus umum jumlah n suku pertama dari deret ini adalah dengan memperhatikan beda (selisih) antara dua suku yang berurutan. Bagaimanakah peranan beda tersebut untuk menentukan rumus jumlah suatu deret? Perhatikan proses pencarian beda (selisih) tetap dari suatu barisan yang dimaksud. Apabila pada satu tingkat penyelidikan belum diperoleh selisih tetap, maka penyelidikan dilakukan pada tingkat berikutnya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisan disebut berderajat satu (linear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat penyelidikan, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tingkat penyelidikan dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut: •
Barisan 1, 2, 3, 4, … disebut barisan berderajat satu karena selisih tetap diperoleh pada satu tingkat penyelidikan.
1
1
2
3
1 •
K
4
1
1
selisih tetap = 1
Barisan 1, 3, 6, 10, 15, … disebut barisan berderajat dua karena selisih tetap diperoleh pada dua tingkat penyelidikan. 1
3
6
2
3
4
1 •
15 K
10 5
1
1
selisih tetap = 1
Barisan 2, 6, 19, 46, 92, … disebut barisan berderajat tiga karena selisih tetap diperoleh pada tiga tingkat penyelidikan. 2
6
19
4
13
27
9
92 K
46 46
14 5
19 selisih tetap = 5
5
Secara umum apabila barisan bilangan tersebut adalah: U1, U2, U3, ... dan operator beda (selisih) dilambangkan dengan ∆, maka dapat kita gambarkan sebagai berikut: U1 beda1
U2 ∆U1
beda 2 beda 3
U3 ∆U2
∆2U1
U4 ∆U3
∆2U2 ∆3U1
U5 ∆U4
∆2U3 ∆3U2
U7 ....
U6 ∆U5
∆U6
∆2U4 ∆2U5
∆3U3 ∆3U4
…
…
…
dst
Diperoleh (*) : U2 = U1 + ∆U1 = (1 + ∆) U1 2
U3 = U2 + ∆U2 dengan ∆U2 = ∆U1 + ∆2U1 U3 = U1 + 2∆U1 + ∆2U1 = (1 + ∆)2 U1
U4 = U3 + ∆U3 dengan ∆U3 = ∆U2 + ∆2U2 = ∆U1 + ∆2U1 + ∆2U1+ ∆3U1 = ∆U1 + 2∆2U1 + ∆3U1 U4 = U1 + 2∆U1 + ∆2U1+ ∆U1 + 2∆2U1 + ∆3U1 = U1 + 3∆U1 + 3∆2U1 + ∆3U1 = (1 + ∆)3 U1 Apabila kita amati koefisien suku-suku dari bentuk di atas, dan kita bandingkan dengan apa yang telah kita ketahui bahwa: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 .... maka koefisiennya membentuk segitiga Pascal, yang disajikan sebagai berikut. (a + b)
1
(a + b)2
1
(a + b)3
1
(a + b)4
1
1 2
3 4
1 3
6
1 4
1
.................................................... Secara umum: (a + b)n = a n + na n −1b +
n ( n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n − 3 3 a b + a b +K 2! 3!
Persamaan inilah yang sering kita kenal dengan teorema Binomial yaitu: (a + b)n = a n + na n −1b +
n ( n − 1) n − 2 2 a b + K + nab n −1 + b n 2!
n = ∑ C (n , r ) a n − r b r r =0
3
Pada teorema Binomial, koefisien binomial dari sebarang sukunya dinyatakan dengan C(n,r) n atau , dengan r
n n! , sehingga teorema Binomial dapat juga ditulis: = r r ! (n − r ) !
n n n n n (a + b)n = a n + a n −1b + a n − 2b 2 + a n − 3b3 + K + b n 0 1 2 3 n
Perhatikan kembali barisan bilangan U1, U2, U3, ... Barisan tersebut dimulai dari suku ke-1, tetapi koefisien binomial terbentuk mulai pada suku ke-2 (perhatikan uraian (*) di atas), n − 1 sehingga koefisien suku-suku dari barisan bilangan tersebut adalah , 0
n − 1 , 1
n − 1 2
dan seterusnya.
Oleh karena itu bentuk rumus suku ke-n dari suatu barisan bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut. n − 1 n − 1 n − 1 2 (n − 1)(n − 2)K1 p Un = ∆ U1 U1 + ∆U1 + ∆ U1 + K + 1.2.3K p 0 1 2 = U1 + (n − 1)∆U1 +
(n − 1)(n − 2)K1 2 (n − 1)(n − 2)K1 p ∆ U1 + K + ∆ U1 1.2 1.2.3K p
dengan p menunjukkan derajat barisan.
Secara induktif untuk menentukan rumus jumlah n suku pertama adalah sebagai berikut. S1 = U1 = 1. U1 S2 = S1 + U2 = U1 + (U1 + ∆U1) = 2U1 + ∆U1 = 2.U1 +
2.(2 − 1) ∆U1 1.2
S3 = S2 + U3 = (2U1 + ∆U1) + (U1 + 2∆U1 + ∆2U1) = 3U1 + 3∆U1 + ∆2U1 = 3.U1+
3(3 − 1) 3(3 − 2)(3 − 1) 2 ∆U1 + ∆ U1 1.2 1.2.3
4
S4 = S3 + U4= (3U1+ 3∆U1 + ∆2U1)+(U1 + 3∆U1 + 3∆2U1 + ∆3U1) = 4U1 + 6∆U1 + 4∆2U1 + ∆3U1 4(4 − 1) 4(4 − 1)(4 − 2) 2 4(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3) 3 ∆U1 + ∆ U1 + ∆ U1 1.2 1.2.3 1.2.3.4
= 4.U1 + M
Sn = U1 + U2 + U3 +… + Un = nU1 +
n(n − 1)(n − 2)...1 p n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) 2 ∆U1 + ∆ U1 + … + ∆ U1 1.2 1.2.3 1.2.3...( p + 1)
Berikut adalah salah satu jawaban dari pertanyaaan guru dalam menyelesaikan deret: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + .... Terlebih dulu kita cari selisih tetapnya sebagai berikut. 1
3 2
6 3
1
15 K
10 4 1
5 1
selisih tetap = 1
Maka dengan rumus di atas diperoleh, Sn = nU1 + = n.1 +
n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) 2 ∆U1 + ∆ U1 1.2 1.2.3 n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) .2+ .1 1.2 1.2.3
= n + n2 − n +
n 3 − 3n 2 + 2n 6
n 3 + 3n 2 + 2n = 6 Jadi jumlah 25 suku pertama adalah S25 =
253 + 3.25 2 + 2.25 17550 = = 2925 6 6
Contoh:
Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari deret: 2 + 5 + 18 + 45 + 90 + ....
5
2
5 3
18 13
10
27 14
4
90 K
45 45 18 4
selisih tetap = 4
Maka dengan rumus di atas diperoleh,
Sn = nU1 + = n.2 +
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) 3 n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) 2 ∆U1 + ∆ U1 + ∆ U1 2! 3! 4! n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2)(n − 3) .3+ . 10 + .4 2 6 24
=
1 n{12 + (9n – 9) + (10n2 – 30n +20) + (n3 – 6n2 + 11n – 6)} 6
=
1 n( n3 + 4n2 –10n + 17) 6
=
n 4 + 4 n 3 − 10n 2 + 17n 6
Cara menentukan jumlah dari suatu deret seperti ini dapat
dikembangkan dengan
menganggap deret sebagai suatu fungsi. Dimisalkan Vx adalah fungsi yang beda pertamanya
Ux, maka sesuai dengan pengertian beda (selisih) seperti pada penjelasan di atas ∆Vx = Ux, artinya Vx+1 – Vx = Ux. Jika x berturut-turut diberi nilai: 0, 1, 2, 3, ... n diperoleh,
V1 – V0 = U0 V2 – V1 = U1 :
Vn+1 – Vn = Un +
Vn+1 – V0 = U0 + U1 + U2 + U3 + K + Un n
Atau U0 + U1 + U2 + U3 + K + Un =
∑ x =0
n +1
Ux = Vn+1 – V0 = Vx ]0
6
Sekarang didefinisikan bahwa jika ∆Vx = Ux maka Vx = ∆-1Ux dengan ∆-1 disebut operator integral hingga. n
Dengan demikian secara umum dapat dinyatakan:
∑U
= ∆ − 1U x ] n + 1 0
x
x =0
Selanjutnya kita ingat definisi bahwa untuk n bilangan bulat positif, x(n) yang dibaca x, n faktorial adalah: x(n) = x(x−1)(x−2)(x−3) K ( x− (n – 1)) dan x(0) = 1. Sehingga rumus umum jumlah n suku pertama dari deret 1 + 3 + 6 + 10 + K dapat diselesaikan sebagai berikut. Suku umum Ux =
1 1 (x + 1). x = (x + 1)(2) 2 2 n
n
1+ 3 + 6 + 10 + K =
∑U
x
x =1
=
∑ 12 ( x + 1)
(2)
= ∆ −1
x =1
1 ( x + 1)(2) 1n +1 2 ∆-1(a + bx)(n) =
=
(a + bx) ( n +1) b (n + 1)
1 ( x + 1) (3) 1n +1 6
=
1 6
=
1 {(n + 2). (n + 1).n – 2. 1. 0} 6
=
n 3 + 3n 2 + 2n 6
(3)
{( n + 2)
− 2(3)
}
Untuk lebih memperjelas berikut disajikan contoh lain. Bagaimana menentukan rumus umum jumlah n suku pertama deret: 12 + 22 + 32 + K + n2 Penyelesaian: Suku umum Ux = x2 = x (x – 1) + x = x(2) + x(1) n
Maka:
n
∑U x =
∑ x2 =
x =1
x =1
n
n +1
∑ ( x(2) + x(1) ) = ∆ −1 ( x(2) + x(1) )1
x =1
7
n +1
=
1 (3) 1 (2) x + x 3 2 1
1 (3) 1 (2) = ( n + 1) + ( n + 1) − {0 + 0} 2 3
=
1 1 (n + 1)n(n – 1) + (n + 1)n 3 2
=
1 n (n + 1) (2n + 1) 6
Referensi: 1. K.A.Stroud alih bahasa Erwin Sucipto (1996).”Matematika untuk Teknik“ judul asli “Engineering Mathematics”, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2. Soehardjo, (1996), “ Matematika 2”, FMIPA-ITS, Surabaya
8
Manfaat Matematika dalam Kehidupan Oleh Krestanto Guru SMP 2 Ungaran Jawa Tengah Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang diperoleh melalui penalaran. Ini bukan berarti ilmu yang lain tidak diperoleh melalui penalaran. Matematika lebih menekankan aktivitas dalam penalaran atau dunia rasio, sedangkan ilmu lain lebih menekankan hasil observasi atau eksperimen disamping penalaran. Pada tahap awal matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunia secara empiris, kemudian diproses dalam dunia rasio, yaitu diolah secara analisis dan sintesis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga menuju konsep-konsep matematika. Agar konsep yang dibentuk dipahami orang lain, maka digunakan notasi dan istilah secara cermat yang disepakati secara universal dan dikenal dengan bahasa matematika. Matematika memiliki bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas, sistematis, dan keterkaitan antar konsep yang kuat. Unsur utama pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif yang bekerja atas dasar asumsi atau kebenaran konsistensi. Selain itu, matematika bekerja melalui penalaran induktif yang didasarkan fakta dan gejala yang muncul untuk sampai pada perkiraan tertentu. Tetapi penalaran itu harus tetap dibuktikan secara deduktif dan dengan argumentasi yang konsisten. Matematika dapat dipandang sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sebagai contoh, IPA fisika dalam hitungannya selalu menggunakan bantuan matematika. Sebagai raja, perkembangan matematika tidak tergantung dengan ilmu lain. Seiring dengan perkembangan teknologi, banyak cabangcabang matematika murni seperti aritmatika, geometri, dan aljabar dapat diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir, serta dapat dipakai sebagai alat bantu memecahkan masalah kehidupan sehari-hari. Tidak banyak orang yang menyadari, bahwa dibalik setiap teknologi yang dapat menghemat tenaga, sumber daya, dan pikiran, terlebih dahulu telah dipergunakan berbagai hasil pemikiran matematika. Bagaimana kita dapat mengetahui hasil pemilihan Capres dan Cawapres pada pemilu 8 juli 2009 lalu tanpa menggunakan bantuan matematika? Bagaimana kita dapat menentukan persentase laju pertumbuhan penduduk tiap tahun tanpa bantuan matematika? Bagaimana pegawai bank dapat menghitung besar tabungan atau besar bunga dari tabungan seseorang yang menjadi nasabahnya, jika tanpa bantuan matematika? Adakah lini kehidupan sehari-hari yang kita jalani tanpa bantuan matematika? Disadari atau tidak, matematika sangat bermanfaat dalam kehidupan kita sehari-hari. Misalnya, statistika dapat digunakan untuk mengetahui banyaknya formasi tim kesebelasan sepakbola yang dapat dibentuk. Geometri dapat digunakan oleh para ahli teknik sipil untuk menghitung banyak bahan bangunan yang diperlukan. Aritmatika dapat digunakan untuk menghitung keuntungan atau kerugian seorang pedagang, atau untuk menghitung tagihan rekening listrik yang harus dibayar pelanggan
listrik PLN yaitu penghitungan biaya beban yang besarnya tergantung dari daya yang disediakan PLN dan biaya pajak penerangan jalan. Perkembangan peradaban manusia tidak terlepas dari ilmu-ilmu dasar sebagai basis logika berpikir, termasuk matematika. Matematika telah banyak dimanfaatkan manusia untuk mengenal dan menjelaskan hal-hal yang terjadi disekelilingnya. Matematika sebagai wahana pendidikan tidak hanya dapat digunakan untuk mencapai satu tujuan, mencerdaskan siswa, tetapi dapat pula membentuk kepribadian serta mengembangkan keterampilan tertentu. Belajar matematika tidak sekedar belajar perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan atau dalam istilah bahasa jawanya ping, para, lan, suda (pipalanda), melainkan didalamnya ada aljabar, aritmetika, dan geometri. Dalam mempelajari objek matematika seperti fakta, konsep, prinsip, operasi dan prosedur, secara tidak langsung juga terbentuk nilai dan sikap matematis yang dapat dikaitkan dengan pelajaran lain, misalnya sikap positif, disiplin, independen, cara berpikir logis, menghargai keteraturan , jujur dan sebagainya. Matematika memiliki fungsi antara lain sebagai wahana mengembangkan kemampuan komunikasi dengan menggunakan bilangan dan simbol, mengembangkan ketajaman penalaran yang dapat memperjelas dan menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Sajian bentuk model matematika berupa persamaan, pertidaksamaan, rumus fungsi, grafik, diagram atau tabel dapat mengembangkan kemampuan komunikasi siswa. Matematika juga memiliki fungsi sebagai bahasa, cara berpikir secara nalar, dan sebagai alat untuk memecahkan masalah. Bila ketiga fungsi ini dipahami benar oleh pembelajar, mereka akan senang dan mencintai matematika. Menanamkan pemahaman pada siswa bahwa matematika memiliki peran yang tidak kecil dalam kehidupan akan menambah rasa percaya diri dan memotivasi mereka untuk belajar ilmu yang dianggap sulit oleh kebanyakan orang ini. Pemahaman matematika secara sepotong-sepotong, mengakibatkan pembelajar akan bingung serta menimbulkan rasa takut pada pelajaran ini. Padahal peran dan fungsi matematika sangat besar dalam kehidupan. Segala aktivitas manusia dapat dipandang sebagai hasil karya matematis yang tidak membosankan. Bagi yang paham karakteristik matematika, mereka akan senang dan enjoy mempelajari ilmu ini. Semoga!
Guru SD yang Memberikan Inspirasi dalam Mengajarkan Matematika Ditulis oleh Puji Iryanti
Saya merasa sangat bersemangat dan senang berada di kelas dimana guru-guru sedang mengajar matematika, terutama di kelas guru-guru yang dapat menginspirasi guru lain. Saya dapat bersama-sama guru di kelas dikarenakan tugas saya menjadi fasilitator diklat di PPPPTK Matematika dan di SEAMEO QITEP in Mathematics. Proses belajar mengajar tidak hanya terjadi antara guru dan para siswanya, tetapi itu juga terjadi pada saya yang ikut belajar dari guru itu tentang bagaimana mengajar yang baik.
Menurut saya, guru matematika yang memberikan inspiransi itu adalah guru yang menguasai materi matematika dan dapat mengajarkannya dengan baik, memberi kesempatan kepada siswa untuk bereksplorasi dalam memahami konsep matematika, bernalar, memecahkan masalah, dan menghargai matematika. Ia juga sekaligus kreatif, inovatif, dapat mengelola kelas dan waktu dengan baik. Ia juga harus dapat memotivasi siswa-siswanya untuk belajar matematika. Wah, ternyata banyak sekali kriteria yang saya inginkan. Namun demikian, ternyata saya menemukan juga beberapa guru yang bagus dan sangat memberikan inspirasi kepada saya walaupun tentu tidak memenuhi semua yang saya inginkan. Berikut ini adalah seorang guru di antara beberapa guru-guru yang saya maksudkan itu.
Bu H mengajar di kelas VI SD “B”, suatu SD swasta yang relatif kecil di Yogyakarta. Ia masih muda, umur sekitar 24 tahun dan cantik. Saya mendapat kesempatan mengunjungi kelasnya ketika saya menjadi fasilitator diklat. Sewaktu saya dan observer lain datang, ia menenteramkan siswa dan membuat nyaman siswa supaya tidak merasa terganggu dengan kehadiran kami. Apa yang saya ceritakan berikut ini berdasarkan catatan observasi yang saya buat pada hari Selasa, tanggal 28 Juli 2009.
Selanjutnya ia mengatakan kepada siswa, pelajaran matematika kali ini adalah Statistika dengan materi Pengumpulan Data dan Penyajiannya. Siswa ditanya apakah mereka tahu apa pekerjaan wartawan. Mereka menjawab wartawan adalah orang yang menulis berita di koran atau majalah. Bu H mengatakan pelajaran kali ini siswa berpura-pura menjadi wartawan yang akan membuat majalah dinding (mading) tentang laporan berat, tinggi dan umur para siswa kelas ini. Bu H kemudian meminta siswa untuk menyampaikan ide-
ide supaya mading menjadi menarik. Untuk mengetahui apakah para siswa sudah menangkap maksudnya, ia kemudian menanyakan hal itu kepada salah seorang siswa, yaitu Y. Dengan sangat lancar siswa tersebut kemudian menjelaskan. Bu H menyetujui penjelasan itu.
Ia kemudian mengelompokkan siswa menjadi 5 kelompok. Tiap-tiap kelompok diberi tugas yang berbeda. Tugas kelompok adalah mengumpulkan data jarak rumah siswa ke sekolah, data umur, berat dan tinggi badan. Bu H mengatakan untuk mendapatkan data yang ditugaskan, mereka boleh menanyakannya kepada siswa lain. Selanjutnya setiap kelompok beraksi mengumpulkan data. Setelah siswa memperoleh data, mereka diminta untuk menuliskannya pada kertas buram yang dibagikan guru. Dalam proses mengumpulkan dan menyajikan data ini bu H selalu memonitor siswa-siswanya dan memberikan bantuan yang diperlukan. Yang menarik, salah satu kelompok walaupun aktif tetapi ada anggotanya yang bersikap aneh. Anak lelaki itu kadang hanya melihat teman-temannya saja, kadang ia mau terlibat dalam diskusi, tetapi kadang ia acuh saja dan meletakkan kepalanya di meja. Bu H dan anggota kelompoknya menerima saja sikap anak tersebut. Mereka tidak memprotes apa yang dilakukan anak itu. Saya ikut melihat apa yang kelompok-kelompok lakukan. Semua kelompok menuliskan hasilnya di kertas buram, tetapi tulisan mereka kecil dan ini pasti tidak kelihatan jika dipresentasikan kepada seluruh kelas.
Tibalah saat presentasi. Semua siswa diminta menempelkan kertas buram yang memuat data di papan tulis menggunakan isolasi. Kemudian bu H meminta semua siswa mengubah posisi duduk, yang tadinya membentuk kelompok sekarang menghadap ke papan tulis untuk melihat apa yang tersaji di papan. Pada waktu itu saya berpikir bagaimana mereka bisa melihat data yang terkumpul karena tulisan sekecil itu, pasti ini akan menjadi masalah. Tetapi bu H dengan tenangnya bertanya kepada para siswa apakah tulisan-tulisan itu dapat dilihat. Tentu saja sebagian siswa menjawab tidak. Bu H kemudian mengatakan bagi siswa yang tidak dapat melihat dengan jelas mereka dipersilahkan untuk mendekat ke papan tulis. Hampir semua siswa di kelas itu kemudian ramai-ramai mendekat ke papan tulis. Hanya 3 orang siswa yang tidak mendekat. Dua orang siswa memang sudah diamati tidak aktif di kelompoknya. Yang pertama adalah anak lelaki yang saya ceritakan tadi dan yang kedua adalah seorang siswa perempuan yang postur tubuhnya lebih besar daripada teman-temannya.
Setelah semua siswa yang mendekat di papan melihat laporan kelompok lain, mereka diminta duduk kembali. Bu H meminta penjelasan dari kelompok-kelompok itu. Seorang siswa yang bernama Y mewakili kelompoknya menjelaskan data yang mereka sajikan. Ternyata kelompok ini adalah kelompok satu-satunya yang menyajikan data menggunakan diagram batang. Bu H bertanya darimana mereka mendapatkan ide itu padahal mereka belum mempelajarinya.Y menjawab mereka mengetahuinya dari komputer. Bu H kemudian memberikan komentar positif atas pekerjaan mereka.
Selanjutnya bu H menanyakan kelompok berikutnya mengapa mereka menyajikan data yang diperoleh menggunakan urutan. Siswa menjelaskan bahwa menurut mereka itu adalah cara yang sistematis. Kelompok ke-3 mendapat giliran. Mereka menyajikan data tidak secara sistematis. Bu H memberikan tanggapan atas semua presentasi dan mengklarifikasinya. Ada siswa yang bertanya kalau ingin tahu berapa banyaknya data bagaimana caranya. Ia memberikan kesempatan kepada siswa lain untuk memberikan jawaban. Selanjutnya ia memberikan konfirmasi atas jawaban tersebut.
Bu H kemudian mengajak siswa untuk menyimpulkan materi pelajaran hari ini. Pada kesempatan itu ia mengarahkan siswa untuk menyimpulkan bahwa cara yang paling efektif untuk menyajikan data adalah menggunakan tabel. Terakhir ia menutup pelajaran.
Menurut saya, bu H sudah mengajarkan Pengumpulan dan Penyajian Data dengan baik, menarik karena menginformasikan secara tidak langsung profesi orang yang sering mengumpulkan dan menyajikan data yaitu wartawan, melibatkan siswa, menggunakan lingkungan sekitar dalam pembelajaran, memberikan kepada siswa keleluasaan bentuk penyajian data, memberikan kesempatan kepada siswa untuk membangun penalaran matematika secara demokratis dan mengelola kelas dengan baik. Menurut catatan yang saya buat pelajaran dimulai jam 09.30 dan berakhir jam 10.52, berarti sekitar 72 menit waktu yang digunakan. Itu juga berarti bu H sudah mengelola waktu dengan cukup baik selama 2 × 35 menit. Saran kepada bu H cuma bagaimana mengoptimalkan penilaian pembelajaran karena belum tampak jelas.
Pada saat refleksi yang dilakukan oleh para observer dan bu H, ada beberapa hal yang saya tanyakan. Pertama mengapa bu H senang bertanya kepada Y, karena beberapa kali
memang ia selalu bertanya kepada Y. Ia menjawab, seperti umumnya guru-guru yang lain, karena Y anak pintar di kelas. Ia menduga dengan memberikan pertanyaan kepada Y, yang memang selalu dapat menjawab pertanyaan dengan baik dan benar, akan menghemat waktu dan memotivasi siswa-siswa lain. Saya memberi saran kepada bu H lain kali untuk mendistribusikan pertanyaan secara merata. Ini bertujuan untuk meningkatkan penalaran siswa-siswa lain. Pertanyaan kedua mengenai dua siswa yang tidak aktif dalam pembelajaran. Bu H menjawab anak lelaki yang acuh saja dalam kelompoknya adalah anak autis. Tetapi bu H sudah mengkondisikan kelas untuk menerima anak itu apa adanya dan tetap mengajaknya belajar apabila ia mau. Anak perempuan yang berpostur tubuh besar adalah anak yang sudah pernah tinggal kelas. Ia memang siswa yang lamban.
Saya merasa bangga terhadap bu H. Ia juga mengkondisikan kepada siswa-siswa untuk menerima anak-anak yang memiliki kekurangan, tetapi tetap mengajak dan memotivasi teman mereka untuk belajar. Ia masih muda, tetapi kreatif. Dengan lebih mengasah kemampuannya dalam mengajar, saya yakin ia akan lebih berkualitas di masa yang akan datang. Saya berharap guru-guru lain yang mengajar matematika terinspirasi untuk mengajar matematika seperti bu H atau mungkin lebih baik lagi.
PERMASALAHAN YANG BERKAITAN DENGAN JARAK, WAKTU, DAN KECEPATAN SERTA ALTERNATIF PEMECAHANNYA DI SEKOLAH DASAR Oleh: Pujiati Salah satu bahasan materi pengukuran yang masih perlu mendapatkan perhatian berdasarkan pengamatan penulis pada saat diklat di PPPTK Matematika adalah menyelesaikan soal/masalah yang berkaitan dengan jarak, waktu, dan kecepatan. Hal itu sejalan dengan hasil kegiatan Training Need Assessment (TNA) yang dilaksanakan oleh PPPPTK Matematika pada tahun 2007, di sepuluh propinsi di Indonesia. Materi matematika yang masih sulit bagi guru-guru sekolah dasar (lebih dari 90 % responden), adalah materi tentang pengukuran, khususnya Jarak (j), Waktu (w), dan Kecepatan (k). (Laporan TNA, 2007: 10). Adapun masalah-masalah yang sering muncul/ditanyakan ke penulis adalah masalah berpapasan dan susul menyusul. Masalah Berpapasan Kasus 1: Berpapasan dengan Waktu Berangkat Bersamaan Contoh: Jarak antara Yogyakarta-Malang adalah 350 km. Ali berangkat dari Yogyakarta menuju Malang pukul 06.00 WIB menggunakan mobil dengan kecepatan 60 km/jam. Pada waktu dan rute yang sama Budi berangkat dari Malang menuju Yogyakarta dengan mengendarai mobil yang kecepatannya 80 km/jam. Pada jarak berapa dan pukul berapa keduanya berpapasan? Alternatif Penyelesaian: Untuk menyelesaikan masalah tersebut di atas, ada beberapa alternatif penyelesaian seperti berikut ini. Alternatif ke-1: Menggunakan Tabel Dalam menggunakan tabel pertama kali dimulai dengan menuliskan jarak yang ditempuh Ali dan Budi pada saat mulai berangkat (0 km). Setelah 1 jam perjalanan berapa jarak yang telah ditempuh Ali dan Budi, 2 jam, dan seterusnya sampai diperoleh jumlah jarak yang telah ditempuh oleh Ali dan Budi merupakan jarak antara Yogyakarta dan Malang.
No
Pukul
1.
Jarak yang telah ditempuh (km) Ali
Budi
Ali dan Budi
06.00
0
0
0
2.
07.00
60
80
140
3.
08.00
120
160
280
4.
08.30
150
200
350
Dari tabel tersebut dapat dilihat ternyata: 1. keduanya berpapasan pada pukul 08.30 WIB 2. keduanya berapapasan setelah Ali menempuh jarak 150 km dari Yogya atau Budi telah menempuh jarak 200 km dari Malang. Alternatif ke-2: Menggunakan Rumus Jarak, Waktu, dan Kecepatan Misalkan lama perjalanan dari berangkat sampai bertemu w jam, dengan menggunakan rumus: jarak (j) = kecepatan (k) × waktu (w), maka diperoleh: jarak tempuh Ali + jarak tempuh Budi = 350 (kecepatan Ali × waktu tempuh) + (kecepatan Budi × waktu tempuh) = 350 60w + 80w = 350 140w = 350 w =
350 1 =2 140 2
Jadi mereka berpapasan setelah perjalanan selama 2
1 jam sesudah pukul 06.00, berarti 2
pukul 08.30 WIB. Jarak sewaktu berpapasan: 1 1. Jarak Ali dari Yogya = (60 × 2 ) km = 150 km 2
2. Jarak Budi dari Malang = (80 × 2
1 ) km = 200 km. 2
Alternatif ke-3: Menggunakan Sketsa/gambar
Kecepatan berkendara Ali 60 km/jam dari Yogya Kecepatan berkendara Budi 80 km/jam dari Malang Jarak Yogya – Malang = 350 km 1. Posisi awal pukul 06.00 350 km 06.00
06.00
Yogyakarta (Y)
Malang (M)
k = 60 km/jam
k = 80 km/jam
Ali
Budi
2. Posisi setelah satu jam perjalanan (pukul 07.00) 350 km
06.00
07.00
07.00
60 km
●
●
80 km
06.00
1 jam
1 jam
Jarak perjalanan yang sudah ditempuh Ali dan Budi selama 1 jam adalah: (60 + 80)km = 140 km 3. Posisi setelah dua jam perjalanan (pukul 08.00) 350 km
06.00
60 km 1 jam
07.00
60 km
08.00
08.00
●
●
1 jam
80 km 1 jam
07.00
80 km
06.00
1 jam
Jarak perjalanan yang sudah ditempuh Ali dan Budi selama 2 jam adalah: (60 + 60 + 80 + 80)km = 280 km. Dari sketsa terlihat bahwa jarak antara Ali dan Budi setelah menempuh perjalanan selama 2 jam tinggal 70 km lagi, padahal setiap jam mereka berdua menempuh jarak 140 km, sehingga mereka akan berpapasan setelah menempuh perjalanan
1 jam lagi. 2
4. Posisi setelah 2
1 jam perjalanan (pukul 08.30) 2 350 km
06.00
07.00
60 km 1 jam
60 km 1 jam
08.00 08.30 08.00 30 km 40 km
●
1 jam 2
07.00
80 km
1 jam 2
80 km
06.00
1 jam
1 jam
Jarak perjalanan yang sudah ditempuh Ali dan Budi selama 2
1 jam adalah: (60 2
+ 60 + 30 + 80 + 80 + 40)km = 350 km. Dengan demikian setelah menempuh perjalanan selama 2
1 jam, jarak yang 2
sudah ditempuh oleh Ali dan Budi sama dengan jarak kota Yogyakarta - Malang setelah berjalan sejak pukul 06.00. Dengan kata lain setelah menempuh perjalanan 2
1 jam dari pukul 06.00 mereka akan bertemu pada pukul 08.30. 2
Bentuk akhir penyelesaiannya dengan satu sketsa adalah sebagai berikut. 200 km
150 km
06.00
●
60 km
07.00
60 km
Y
1 jam k = 60 km/jam
1 jam
08.00 08.30 08.00 30 km 40 km
●●
1 jam 2
1 jam 2
80 km 1 jam
Ali
07.00
80 km
06.00
●
1 jam
M
k = 80 km/jam Budi
Kasus 2: Berpapasan dengan Waktu Berangkat Berbeda Contoh: Adi berangkat dari kota A menuju kota B yang berjarak 159 km pada pukul 07.30 dengan mengendarai sepeda motor yang kecepatan rata-ratanya 48 km/jam. Seno berangkat dari kota B menuju kota A mengendarai sepeda motor dengan kecepatan ratarata 60 km/jam. Jika Seno berangkat setengah jam setelah perjalanan Adi, pada pukul berapakah mereka akan berpapasan? (Sukirman dan Rachmadi W., 2000: 44).
Penyelesaian: Cara penyelesaian contoh di atas sama dengan kasus 1. Pada kasus ini alternatif penyelesaiannya akan menggunakan tabel. No
Pukul
1.
Jarak yang telah ditempuh (km) Adi
Seno
Adi dan Seno
07.30
0
0
0
2.
08.00
24
0
24
3.
08.30
48
30
78
4.
09.00
72
60
132
5.
09.15
84
75
159
Dari tabel di atas, maka Adi dan Seno akan berpapasan pada pukul 09.15, yaitu dengan jarak 84 km dari kota A atau 75 km dari kota B. Silakan Anda mencoba cara lain.
Masalah perjalanan searah sehingga terjadi penyusulan Dalam membuat soal yang berkaitan dengan menempuh suatu perjalanan searah dari suatu tempat pemberangkatan agar kendaraan yang satu memungkinkan untuk tersusul oleh kendaraan yang lain, maka kendaraan yang lebih lambat kecepatannya harus diberi kesempatan berangkat terlebih dahulu. Dengan demikian terjadi selisih pemberangkatan. Contoh: Asvin dan Septo berangkat dari kota A menuju kota B mengendarai sepeda motor dengan kecepatan berturut-turut 30 km/jam dan 50 km/jam. Asvin berangkat terlebih dahulu, kemudian disusul oleh Septo selang 3 jam. Berapa lama Asvin tersusul Septo dan berapa jarak yang telah ditempuhnya? Alternatif Penyelesaian: Alternatif ke-1: Menggunakan Tabel Prinsip pemecahan masalah ini adalah, pada saat Asvin tersusul Septo, maka jarak tempuh keduanya sama. No. 1. 2. 3.
Lama perjalanan (jam) 1 2 3
Jarak tempuh Asvin (km) Septo (km) 30 0 60 0 90 0
No. 4. 5. 6. 7. 8.
Lama perjalanan (jam) 4 5 6 7 7,5
Jarak tempuh Asvin (km) Septo (km) 120 50 150 100 180 150 210 200 225 225
Dari tabel tersebut dapat terlihat bahwa Asvin tersusul Septo setelah 7,5 jam perjalanan atau setelah Septo melakukan perjalanan dalam waktu 4,5 jam. Asvin tersusul Septo setelah menempuh jarak 225 km.
Alternatif ke-2: Menggunakan Rumus 1. Menggunakan rumus jarak sama dengan waktu kali kecepatan Kecepatan Asvin = 30 km/jam atau kA = 30 km/jam Kecepatan Septo = 50 km/jam atau kS = 50 km/jam Setelah 3 jam Septo menyusul Asvin, maka Septo telah bergerak/berjalan wS = wA - 3 Karena saat tersusul jarak tempuhnya sama, maka: jA = jS kA × wA = kS × wS 30wA = 50wS 30wA = 50(wA – 3) 30wA = 50wA – 150 150
= 20wA
150 20
= wA
7,5
= wA
Jadi Asvin tersusul Septo setelah 7,5 jam perjalanan atau setelah Asvin menempuh jarak = (7,5 × 30) km = 225 km.
2. Menggunakan rumus waktu sama dengan jarak dibagi kecepatan (Sukarjono, 1998: 15). Ketika Septo menyusul Asvin, jarak yang ditempuh sama. Jika jarak tersebut, misalkan j km, maka Asvin telah menempuh selama
j jam (waktu tempuh = jarak 30
dibagi kecepatan), sedangkan Septo telah menempuh
j jam. 50
Selisih waktunya 3 jam, sehingga
j j – = 3 atau 30 50
5j 3j – =3 150 150 2j =3 150
j =
3 ×150 = 225 2
Jadi Septo menyusul Asvin setelah menempuh jarak 225 km, dalam jangka waktu = (
225 1 1 ) jam = 4 jam, sedangkan Asvin telah berkendaraan selama = (3 + 4 ) jam = 50 2 2
7
1 jam. 2
Alternatif ke-3: Menggunakan Sketsa/gambar Selisih waktu perjalanan antara Asvin dan Septo = 3 jam. Selisih waktu itulah yang nantinya akan dipakai sebagai dasar perhitungan. Perhatikan bahwa: Asvin 1 jam menempuh jarak 30 km → 3 jam menempuh = 3 × 30 km = 90 km Septo 1 jam menempuh jarak 50 km → 3 jam menempuh = 3 × 50 km = 150 km Perhitungan di atas dapat kita gambarkan dengan dimulai 3 jam pertama Asvin menempuh 90 km, 3 jam pertama Septo menempuh 150 km. Demikian seterusnya sampai Septo dapat menyusul Asvin di jarak tempuh yang sama, digambarkan seperti berikut.
3 jam
Asvin . Septo
0
3 0
1
3 jam
6 0
9 0
3 jam
1 2 0
1 5 0
1 8 0
1
1 jam 2
2 1 0
1 jam 2
2 4 0
2 7 0
Diagram jarak, waktu, dan kecepatan yang digambarkan di atas ternyata cukup dapat memberikan kejelasan bahwa: 1. Budi menyusul Ali tepatnya pada jarak 225 km 2. waktu Septo menyusul Asvin adalah: •
tujuh setengah jam setelah Asvin berangkat atau
•
empat setengah jam setelah Septo berangkat.
Permasalahan-permasalahan di atas adalah permasalahan yang sering ditanyakan ke penulis. Agar dapat memotivasi siswa dalam belajar tentang jarak, waktu dan kecepatan, hendaknya diberikan masalah-masalah yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan nyata siswa.
Referensi: ----. 2007. Laporan Kegiatan Training Need Assessment dan Recruitment SD Tahun 2007. Yogyakarta: PPPPTK Matematika Pujiati. 2007. Modul Fasilitasi Pembelajaran Matematika di KKG: Permasalahan Pembelajaran Jarak, Waktu dan Kecepatan serta Alternatif Pemecahannya. Yogyakarta: PPPPTK Matematika. Sukardjono. 1998. Paket Pembinaan Penataran: Matematika SD dalam Kehidupan Sehari-hari Permasalahan dan Pembelajaran. Yogyakarta: PPPG Matematika. Sukirman dan Rachmadi. 2000. Bahan Penataran Guru SLTP: Aritmetika. Yogyakarta: PPPG Matematika.
