Peluang. Ilham Rais Arvianto, M.Pd. STMIK AKAKOM Yogyakarta

Peluang

Ilham Rais Arvianto, M.Pd

STMIK AKAKOM Yogyakarta

Ruang Sampel dan Titik Sampel 

Ruang sampel adalah himpunan dari semua kejadian yang mungkin muncul pada suatu percobaan. Ruang sampel dilambangkan dengan S



Titik sampel adalah anggota dari ruang sampel.



Kejadian adalah himpunan dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik. Kejadian dilambangkan dengan huruf kapital (misal: A, B, C, atau D) dan anggota-anggotanya disebut juga titik sampel.

Ruang Sampel dan Titik Sampel S A

Ruang sampel  Himpunan semesta S Kejadian  Himpunan bagian A Titik sampel  Anggota himpunan

Contoh 1.

Percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali, dan A adalah kejadian muncul mata dadu lebih dari 4.  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  A = {5,6}

2.

Pada pelemparan 2 buah mata uang logam sekali, dan B adalah kejadian muncul satu angka.  S = {AA, AG, GA, GG}  B = {AG, GA}

Latihan 1.

Tuliskan ruang sampel dari kejadian berikut. a. Pelemparan dua buah uang logam. b. Pelemparan sebuah dadu. c. Pelemparan tiga uang logam sekaligus.

2.

Diketahui dua buah dadu dilambungkan sekaligus. M adalah kejadian munculnya kedua dadu dengan sisi yang sama dan N kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu adalah 10. Tuliskan ruang sampelnya (S) dan nyatakan M dan N dalam bentuk himpunan!

Peluang Peluang secara matematis, dirumuskan sebagai berikut:

n A P A  n(S ) dimana : n(A) = banyak anggota A n(S) = banyak anggota S

Contoh 1.

Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan: a. Peluang ketiganya sisi gambar; b. Peluang satu gambar dan dua angka.

Contoh 2.

Dalam kantong ada 6 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng sekaligus secara acak, tentukan peluang terambil: a. kelereng merah; b. kelereng putih; c. 2 merah dan 2 putih; d. 3 merah dan 1 putih.

Kisaran dan Sifat Nilai Peluang 

Kisaran nilai peluang kejadian A adalah 0  P(A)  1.



Kejadian mustahil (tidak mungkin dapat terjadi) ditandai dengan P(A) = 0



Kejadian yang pasti terjadi ditandai dengan P(A) = 1

Frekuensi Harapan (Fh) Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis:

Fh  n  P A

Contoh

Latihan 1.

Jika sebuah dadu dilambungkan sekali, tentukan peluang munculnya angka-angka: a. lebih dari 4, c. ganjil, b. kurang dari 3, d. kelipatan 3

2.

Dalam suatu kotak terdapat 10 bola, di mana 6 bola berwarna merah dan empat bola berwarna putih. Jika 2 bola diambil sekaligus, berapakah peluang munculnya bola: a. merah, b. putih

3.

Dalam satu set kartu bridge, berapakah peluangnya jika terambil: a. kartu As berwarna merah, b. kartu bernomor yang kurang dari 6, c. kartu bernomor lebih dari 4?

Peluang Komplemen Suatu Kejadian Bila A  C maka AC adalah himpunan S yang bukan anggota A.

Rumus probabilitasnya: P(AC) = 1 – P(A) atau P(A) + P(AC) = 1

Contoh 1.

Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya: a. Mata dadu ganjil b. Mata dadu tidak ganjil

2.

Dalam sebuah kotak terdapat sepuluh bola yang diberi nomor 1 sampai dengan 10, berapakah peluang munculnya: a. Bola dengan nomor prima b. Bola dengan nomor tidak prima

Peluang Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian A dan B, maka probabilitas kejadian gabungan A dan B adalah:

P A  B   P A  PB   P A  B 

Contoh Dalam melambungkan sebuah dadu, jika A adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil, dan B adalah kejadian munculnya mata dadu prima. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil atau prima!

Latihan 1.

Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B adalah kejadian terpilihnya kartu Wajik, maka hitunglah kejadian terpilihnya kartu As atau kartu Wajik!

2.

Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia lulus Statistika adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut?

Peluang 3 Kejadian Majemuk Rumus:

P A  B  C   P A  PB   PC   P A  B   P A  C   PB  C   P A  B  C 

Kejadian Saling Lepas/Asing Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku (A  B) = , maka A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas/asing.

Berlaku: P A  B   P A  PB 

Contoh Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masingmasing diberi nomor yang berurutan, sebuah kartu diambil dari dalam kantong secara acak, misal A adalah kejadian bahwa yang terambil kartu bernomor genap dan B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil. a.

Selidiki apakah kejadian A dan B saling asing.

b.

Tentukan peluan kejadian A atau B.

Kejadian Saling Bebas Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B juga tidak mempengaruhi kejadian A. Rumus :

P(A  B) = P(A).P(B)

Contoh Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X  3 dadu pertama dan kejadian munculnya muka Y  5 dadu kedua saling bebas?

Penyelesaian:  n(S) = 36  Kejadian munculnya muka X  3 dadu pertama adalah A. A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}  n(A) = 18  Kejadian munculnya muka Y  5 dadu kedua adalah B. B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)}  n(B) = 18  (A  B) = {(1,5), (2,5), (3,5), (1,6), (2,6), (3,6)}  n(A  B) = 6  Maka: P(A  B) = 6/36 = 1/6 P(A) = 18/36 = 1/2 P(B) = 12/36 = 1/3  Dari nilai di atas berlaku P(A  B) = 1/6 = (1/2).(1/3) = P(A).P(B), maka A dan B saling bebas.

Kejadian Bersyarat Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu terjadi, dikatakan kejadian A bersyarat B dan ditulis (A|B). Peluang terjadinya A bila kejadian B telah terjadi disebut probabilitas bersyarat P(A|B). Rumusnya : P A  B  P A B   P B  atau P A  B   PA B PB 

Contoh Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :

Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Jika pertama kali dipilih berdasar jenis kelamin, berapakah peluang bahwa yang terpilih adalah seorang laki-laki dalam status bekerja?

Rumus Bayes A1, A2, A3 adalah tiga kejadian yang saling lepas. Maka kejadian B dapat ditentukan : B  B  A1   B  A2   B  A3 

maka probabalitas B adalah: PB   PB  A1   PB  A2   PB  A3   PB A1 P A1   PB A2 P A2   PB A3 P A3    PB Ai P Ai  3

i 1

Probabilitas kejadian bersyarat: PB  A1  PB A1 P A1   PA1 B   P B  P B 

PB A2 P A2  PB  A2   PA2 B   P B  P B  PB  A3  PB A3 P A3   PA3 B   P B  P B 

Rumus Bayes

Contoh Ada 3 kotak yang masing-masing berisi 2 bola. Kotak pertama berisi 2 bola merah (2M), kotak kedua berisi 1 bola merah dan 1 bola putih (1M, 1P), dan kotak ketiga berisi 2 bola putih (2P). Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil tersebut. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kotak kedua?

A1 = kejadian terambilnya kotak I A2 = kejadian terambilnya kotak II A3 = kejadian terambilnya kotak III B = kejadian terambilnya bola merah Ditanya : P(A2|B) = … Penyelesaian: Karena diambil secara acak maka P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3, Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak I adalah P(B|A1) = 1, Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak II adalah P(B|A2) = 1/2, Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak III adalah P(B|A3) = 0, P(B) = P(B|A1).P(A1) + P(B|A2).P(A2) + P(B|A3).P(A3) = (1).(1/3) + (1/2).(1/3) + (0).(1/3) = 1/2

1 1 PB A2 P A2  2  3 1 PB  A2  PA2 B      1 P B  P B  3 2

Terima Kasih