Přehled základních vztahů pro předmět Vysokofrekvenční a mikrovlnná technika 1. KOVOVÝ VLNOVOD OBECNÉHO PRŮŘEZU Elektromagnetickou vlnu šířící se ve vlnovodu ve směru osy z můžeme popsat pomocí funkce Z(z ) = C 1 e z + C 2 e −z kde konstanta C1 , resp. C2 vyjadřuje počáteční amplitudu (v rovině z = 0) vlny odražené, resp. vlny postupné, γ je konstanta šíření vlny ve vlnovodu v podélném směru =
+ j 8, 68
kde α je konstanta útlumu (měrný útlum) v [dB/m] β je fázová konstanta šíření (měrný fázový posun) v [rad/m] j je imaginární jednotka (j2 = -1) Konstanta příčného průřezu (někdy bývá také označována jako konstanta šíření v příčném směru) k c = k 2 + 2 [m-1] kde k je vlnové číslo (konstanta šíření vlny ve volném prostoru)
k = ' 0 0 = 2 kde ω je úhlový kmitočet v [rad/s] λ je vlnová délka ve volném prostoru v [m] µ0 je permeabilita vakua, µ0 = 1,2566.10-6 [H/m] ε0 je permitivita vakua, ε0 = 8,854.10-12 [F/m] Pro bezeztrátové vedení bude vždy =0 a tudíž = j k 2c = k 2 − 2 = k 2 − k 2c
Velikost konstant k a kc , resp. jejich vzájemný vztah má vliv na charakter elektromagnetického pole. V praxi mohou nastat tyto případy: 1) k > k c e > 0 funkce Z(z) má tvar Z(z) = C 1 e jz + C 2 e −jz V tomto případě nastává šíření netlumené harmonické vlny ve směru osy z. První člen reprezentuje vlnu odraženou, druhý člen vlnu postupnou. 2) k < k c e = j funkce Z(z) má tvar Z(z) = C 1 e −
z
(Z obecného řešení Z(z) = C 1 e − z + C 2 e z má smysl pouze první člen, neboť pro z d ∞ musí Z(z) d 0). V tomto případě je elektromagnetické pole ve směru osy z exponenciálně tlumeno, šíření elektromagnetické vlny nenastává. 3) k = k c e = 0 funkce Z(z) má tvar Z(z)=konst. Toto je tzv. mezní případ mezi případy uvedenými pod 1) a 2). Kmitočet a vlnová délka odpovídající tomuto případu se označují jako mezní nebo kritické. Platí, že 2 f ' k = k c = 2 = c m r r = cm r r m kde c je rychlost světla, c = 2,997924562.108 { 3.10 8 m/s λm je mezní vlnová délka v [m] fm je mezní kmitočet v [Hz] ωm je mezní úhlový kmitočet v [rad/s] εr je relativní permitivita prostředí (pro vzduch je r { 1) µr je relativní permeabilita prostředí (pro vzduch je r { 1) Odtud mezní vlnová délka vedení je m = 2 [m] kc
nebo mezní kmitočet vedení c k 2 r r c
fm =
[Hz]
Z předešlého rozboru vyplývá, že šíření elektromagnetické vlny ve směru osy z nastává tehdy, jsou-li splněny následující požadavky na vzájemný vztah mezi jmenovitým a mezním kmitočtem, resp. mezi jmenovitou a mezní vlnovou délkou f > fm ; λ < λ m V opačném případě, kdy f < fm
; λ > λm
je elektromagnetické pole ve směru osy z tlumeno. 4) k c = 0 e = k funkce Z(z) má tvar Z(z) = C 1 e jkz + C 2 e −jkz V tomto případě se jedná o vedení bez mezního kmitočtu, na němž se může šířit vlna TEM (vedení má ve svém průřezu minimálně dva galvanicky oddělené vodiče).
Fázová rychlost šíření vf = ' =
c . 1 rr 1 − 2
=
fm 'm = ' = f m
[m/s]
kde
Skupinová rychlost šíření v sk = d' = d
c . 1 − 2 [m/s] rr
Poznámka: Skupinová rychlost je rychlostí přenosu energie. Délka vlny na vedení v =
vf = f
c . 1 .1 = r r 2 1− f
kde λ0 je vlnová délka ve vakuu v [m]
0 rr . 1 − 2
[m]
Vlnová impedance E Z = HT [Ω] T kde ET je příčná složka intenzity elektrického pole ve [V/m] HT je příčná složka intenzity magnetického pole v [A/m] Charakteristická impedance vlnovodu s videm TE
Z=
1 − 2
=
' [Ω]
Vlnová impedance vlnovodu s videm TM Z=
2 . 1 − = ' [Ω]
Vlnová impedance volného prostoru Z0 =
0 0 = 120 [Ω]
Ekvivalentní hloubka vniku d=
2 ' [m]
kde σ je měrná vodivost v [S/m] Vysokofrekvenční měrný odpor vf =
' = 1 [Ω] 2 d
2. KOVOVÝ VLNOVOD OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU Konstanta příčného průřezu 2
m + n a b
kc =
2
kde a je vnitřní rozměr širší strany vlnovodu v [m] b je vnitřní rozměr užší strany vlnovodu v [m] m,n jsou celá nezáporná čísla (tzv. vidová čísla) označující vid elektromagnetické vlny (TEmn , TMmn) m udává počet půlvln intenzity elektrického pole (u vidů TE) nebo magnetického pole (u vidů TM) podél strany a obdélníkového vlnovodu, podobně vidové číslo n udává počet půlvln podél kratší strany b Maximální výkon přenášený vlnovodem 2
E P max = ab . max Z 4
[W]
kde E max
je maximální hodnota intenzity elektrického pole, při níž ještě nedochází k průrazu dielektrika vyplňujícího vlnovod (označuje se též jako elektrická pevnost daného dielektrika) ve [V/m]
Vysokofrekvenční proud tekoucí pláštěm vlnovodu a. E I vf = 2. Z
[A]
Měrný útlum vlnovodu 2
1 vf b + 2a 3 = 8, 68. Z . 0 1 − 2
[dB/m]
Měrný útlum vlnovodu je možné vyjádřit též na základě znalosti výkonu ztraceného v plášti vlnovodu a výkonu vstupujícího do vlnovodu =
8, 68 P z . 2 P 0 [dB/m]
kde Pz je výkon na jednotku délky ztracený v plášti vlnovodu ve [W/m] P0 je výkon na vstupu vlnovodu ve [W]
3. KOVOVÝ VLNOVOD KRUHOVÉHO PRŮŘEZU Konstanta příčného průřezu vlnovodu s videm kmitání TMmn k c = amn [m-1] kde αmn je n-tý kořen (nulový bod) Besselovy funkce m-tého řádu a je vnitřní poloměr vlnovodu v [m] Konstanta příčného průřezu vlnovodu s videm kmitání TEmn ∏
k c = amn [m-1] ∏
kde mn je n-tý kořen derivace Besselovy funkce m-tého řádu Přehled nulových hodnot (kořenů) Besselových funkcí a jejich derivací je pro prvních 30 vidů uveden v tabulce 1. Mezní vlnová délka dominantního vidu TE11 mTE 11 { 1, 7d [m] kde d je vnitřní průměr vlnovodu v [m] Mezní vlnová délka nejbližšího vyššího vidu, kterým je vid TM01 mTM 01 { 1, 3d [m] Maximální výkon přenášený vlnovodem s videm kmitání TE11 2 E P max TE 11 = 0, 2. .a 2 . Zmax TE 11
[W]
kde Z TE 11 je vlnová impedance vlnovodu s videm TE11 v [Ω] Maximální výkon přenášený vlnovodem s videm kmitání TE01 2 E P max TE 01 = 0, 2. .a 2 . Zmax [W] TE 01
kde Z TE 01 je vlnová impedance vlnovodu s videm TE01 v [Ω] Měrný útlum vlnovodu s videm kmitání TE11 vf 2 + 0, 418407 TE 11 = 8, 68. Z . 1a . [dB/m] 0 1 − 2 Měrný útlum vlnovodu s videm kmitání TE01 vf TE 01 = 8, 68. Z . 1a . 0
2 1 − 2
[dB/m]
vidy TM
vidy TE indexy m, n
vid
α'mn
1, 1
TE11
1,8412
2, 1
TE21
3,0542
0, 1
TE01
3,8317
3, 1
TE31
4,2012
8
4, 1
TE41
5,3176
9
1, 2
TE12
5,3314
12
5, 1
TE51
6,4156
13
2, 2
TE22
6,7061
0, 2
TE02
7,0156
6, 1
TE61
7,5013
3, 2
TE32
8,0152
20
1, 3
TE13
8,5363
21
7, 1
TE71
8,5778
24
4, 2
TE42
9,2824
25
8, 1
TE81
9,6474
2, 3
TE23
9,9695
0, 3
TE03
10,1735
Pořadí
indexy m, n
vid
αmn
1 2
0, 1
TM01
2,4048
3 4., 5.
1, 1
TM11
3,8317
6 7
2, 1
TM21
5,1356
10
0, 2
TM02
5,5201
11
3, 1
TM31
6,3802
14., 15.
1, 2
TM12
7,0156
16 17
4, 1
TM41
7,5883
18 19
2, 2
TM22
8,4172
22
0, 3
TM03
8,6537
23
5, 1
TM51
8,7715
26
3, 2
TM32
9,761
27
6, 1
TM61
9,9361
28 29., 30.
1, 3
TM13
10,1735
Tab. 1. Přehled kořenů Besselových funkcí a kořenů derivací Besselových funkcí pro prvních 30 vidů v kruhovém vlnovodu
Provozuje-li se vlnovod s videm kmitání TE01 na kmitočtu mnohem vyšším než je kmitočet mezní, tj. f >> fm , můžeme vyjádřit hodnotu měrného útlumu zjednodušeným vztahem vf TE 01 { 8, 68. Z . 1a . 2 [dB/m] 0
4. VLNOVOD V PODKRITICKÉM REŽIMU O vlnovodu v podkritickém režimu hovoříme v tom případě, kdy je vlnovod buzen vlnou o kmitočtu nižším než je mezní kmitočet vlnovodu. Taková vlna bývá někdy označována jako evanescentní. Fázová konstanta šíření v tomto případě bude = k 1 − 2 = j k 2 − 1 = j protože ν > 1. Potom lze charakterizovat elektromagnetickou vlnu v podkritickém bezeztrátovém (α = 0) vlnovodu ve směru osy z funkcí Z(z) = C 1 .e −
z
Elektromagnetické pole uvnitř vlnovodu je exponenciálně tlumeno, velikost útlumu je dána velikostí fázové konstanty šíření. Útlum podkritického vlnovodu L = 8, 68. l [dB] kde l je délka vlnovodu v [m]
5. KOAXIÁLNÍ VEDENÍ Konstanta příčného průřezu kc = 0 Mezní kmitočet, resp. mezní vlnová délka fm = 0 , resp. m d ∞ Délka vlny na vedení λv = λ Konstanta šíření elektromagnetické vlny v podélném směru, předpokládáme-li bezeztrátové vedení = j = j' = j. 2 = jk Fázová a skupinová rychlost v f = v sk =
1 =
c rr
[m/s]
Charakteristická impedance Z v = U [Ω] I kde U je napětí mezi vnitřním a vnějším vodičem R0
U = ¶ E r dr [V] r0
r0 je poloměr vnitřního vodiče v [m] R0 je poloměr vnějšího vodiče v [m] Er je radiální složka vektoru intenzity elektrického pole ve [V/m] I je proud tekoucí vedením → → 2 I =“ H . ds = ¶ H $ R 0 d$ [A] s 0
H $ je azimutální složka vektoru intenzity magnetického pole v [A/m] Po úpravě lze zapsat vzorec pro výpočet vlnové impedance ve tvaru Zv = 1 2
R0 . ln r 0 [Ω]
Za předpokladu, že = 0 , můžeme psát, že platí R Z v = 60 ln r 00 [Ω] r
nebo R Z v = 138 log r 00 [Ω] r Výkon přenášený koaxiálním vedením U 2 P = 1 . Z = 1 . I 2 .Z v = 1 . U . I [W] 2 2 2 v Maximální výkon přenášený koaxiálním vedením P max =
r 20
R . E max 2 . ln r 00 [W]
Měrný útlum koaxiálního vedení = v + d [dB/m] kde αv je měrný útlum vyvolaný ztrátami ve vodiči R
8, 68 vf 1 + r00 v = . . [dB/m] R 2 R 0 . ln r 00 αd je měrný útlum vyvolaný ztrátami v dielektriku d = 8, 68.'.
2 − 1 [dB/m] 1 + ' 2
^ 1), platí přibližný vztah Jsou-li ztráty malé (tg = ' d { 8, 68.'.
tg r [dB/m] 2c
Mezní vlnová délka koaxiálního vlnovodu (vid TE11) m = 2 .
R0 + r0 2
[m]
Mezní vlnová délka hlavního vlnovodového vidu TE11 v koaxiálním vlnovodu je rovna obvodu kružnice, jejíž poloměr je dán aritmetickým průměrem poloměrů vnějšího a vnitřního vodiče. Poznámka: Koaxiální vedení vždy umožňuje přenos vlny TEM. Zvýšíme-li kmitočet přenášené vlny tak, že překročíme hodnotu, kterou označujeme jako mezní, lze touto strukturou přenášet i vlnovodové vidy. V takovém případě hovoříme o koaxiálním vlnovodu.
6. MIKROPÁSKOVÉ VEDENÍ Efektivní permitivita pro případ, kdy je w m h ef =
r + 1 r − 1 + . 2 2
1 1 + 12h w
kde εr je relativní permitivita substrátu h je tloušťka substrátu v [mm] w je šířka horního pásku v [mm]
Efektivní permitivita pro případ, kdy je w [ h ef =
2 r + 1 r − 1 1 + . + 0, 04. 1 − w Obr. 1. Průřez mikropáskovým vedením 2 2 h 1 + 12h w
Charakteristická impedance pro případ, kdy je w m h Zv =
1 . ef
w h
120 [Ω] + 1, 393 + 0, 667. ln wh + 1, 444
Charakteristická impedance pro případ, kdy je w [ h w Z v = 60 . ln 8h w + 4h [Ω] ef Efektivní permitivita jako funkce kmitočtu ef (f ) = r − kde G= fp =
r − ef 2 1 + G. ffp
Zv − 5 + 0, 004.Z v 60 Zv 0, 8. .h [GHz]
Charakteristická impedance jako funkce kmitočtu ef Z v (f ) = Z v . [Ω] ef (f ) h Efektivní šířka horního pásku pro případ, kdy je w [ 2 w ef = w + 1, 25. t . 1 + ln 4 .w t [mm] kde t je tloušťka horního pásku v [mm]
Efektivní šířka horního pásku pro případ, kdy je w m 2h w ef = w + 1, 25. t . 1 + ln 2h t [mm] Efektivní šířka horního pásku jako funkce kmitočtu w ef (f ) = w +
w ef (0 ) − w 2 2w ef (0 ). ef 1+ .f c
[mm]
kde w ef (0 ) = 120 .h [mm] Z v . ef Měrný útlum způsobený konečnou vodivostí vodičů vedení pro případ, kdy je w [ h 2 w 32 − A. vf h v = 1, 38. . 2 [dB/m] h.Z v 32 + wh kde h . 1 + 1, 25 . ln 2B A=1+ w t h B = 2 .w pro w [ 2 h pro w m 2 Měrný útlum způsobený konečnou vodivostí vodičů vedení pro případ, kdy je w m h B=h
v = 6, 1.10 −5 .A.
0, 667. wh vf .Z v . ef w . + w [dB/m] h h h + 1, 444
Měrný útlum způsobený ztrátami v dielektriku 0 '. 0 . r ef − 1 − 1 tg d = 27, 3. efr . ef . = 4, 34. 0 . . .tg [dB/m] r − 1 v ef r − 1 kde v =
0 = c ef f. ef
[m]
Celkový měrný útlum mikropáskového vedení = v + d [dB/m]
7. REZONÁTORY VYTVOŘENÉ Z ÚSEKU VEDENÍ Rezonanční vlnová délka čtvrtvlnného rezonátoru (jeden konec rezonátoru je zkratovaný, druhý otevřený) r =
4l . [m] r r 2p − 1
kde l je délka rezonátoru v [m] p je přirozené číslo (1, 2, 3, ...) Rezonanční kmitočet čtvrtvlnného rezonátoru fr =
c . 2p − 1 [Hz] 4l rr
Rezonanční vlnová délka půlvlnného rezonátoru (oba konce rezonátoru jsou otevřené nebo jsou oba zakončeny zkratem) r = 2l p . r r [m] Rezonanční kmitočet půlvlnného rezonátoru fr =
c .p [Hz] r r 2l
Činitel jakosti rezonátoru ' .W Q = Pr z kde ωr je úhlový rezonanční kmitočet v [rad/s] W je energie nahromaděná v rezonátoru v [J] Pz je výkon ztracený v rezonátoru ve [W] Poznámka: Tento vzorec pro výpočet činitele jakosti platí obecně pro jakýkoli typ rezonátoru.
8. DUTINOVÉ REZONÁTORY Dutinovým rezonátorem může být jakékoliv dielektrikum zcela obecného tvaru, uzavřené vodivým pláštěm. Zde se však budeme zabývat pouze dutinovými rezonátory jednoduchých geometrických tvarů, odvozených z průřezů nejčastěji používaných vlnovodů. Toto omezení není nijak významné, neboť z čistě praktických důvodů se téměř výhradně používají dutinové rezonátory právě těchto jednoduchých tvarů. Rezonanční kmitočet fr =
p 2 c . k 2c + l 2 . r r
[Hz]
kde p je nezáporné celé číslo udávající počet půlvln stojatého vlnění v podélném směru l je délka dutinového rezonátoru v [m] Rezonanční kmitočet válcového dielektrikem s videm kmitání TEmnp
dutinového
∏
rezonátoru
vyplněného
vzduchovým
vyplněného
vzduchovým
2
p 2 mn f r = c. .D + 2l [Hz] kde D je vnitřní průměr válcového dutinového rezonátoru v [m] Rezonanční kmitočet válcového dielektrikem s videm kmitání TMmnp
dutinového
rezonátoru
mn 2 p 2 f r = c. .D + 2l [Hz] Celkový činitel jakosti dutinového rezonátoru Qc =
Q 0 .Q d Q0 + Qd
kde Q0 je činitel jakosti nezatíženého rezonátoru (bez přítomnosti ztrátového dielektrika v dutině rezonátoru) Qd je činitel jakosti použitého ztrátového dielektrika Činitel jakosti ztrátového dielektrika Qd = 1 tg kde tg δ je ztrátový činitel dielektrika Činitel jakosti nezatíženého válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TEmnp
2 ∏ 2 + p. .D 2 . 1 − m ∏ mn 2l mn ' r ..D Q0 = . 2 2 2 3 4 vf ∏ p. .m.D + 2p 2 . 2 . D . 1 − m∏ + mn ∏ 2l 2l. mn mn
Činitel jakosti nezatíženého válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TE0np 2
2
∏ 0n p. .D ' r ..D + 2l Q0 = . 3 4 vf ∏ 2 2 . 2 . D + 2p 0n 2l
Činitel jakosti nezatíženého válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TMmnp pro p ! 0 Q0 =
' r ..D 1 . 4 vf 1 + Dl
Činitel jakosti nezatíženého válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TMmn0 Q0 =
' r ..D 1 . D 4 vf 1 + 2l
9. OTEVŘENÉ REZONÁTORY Rezonanční vlnová délka r = 2l p [m] kde l je vzdálenost zrcadel rezonátoru v [m] p je přirozené číslo udávající počet půlvln elektromagnetické vlny v podélném směru (zpravidla p > 100) Rezonanční kmitočet fr =
c.p 2.l [Hz]
Činitel jakosti Q=
.p.Z 0 4 vf
kde Z0 je vlnová impedance volného prostoru v [Ω] Poznámka: Pro zjednodušení uvažujeme rezonátor vytvořený planparalelními zrcadly.
10. SMITHŮV DIAGRAM Dříve než se budeme věnovat konkrétním aplikacím Smithova diagramu, zopakujme základní pojmy a definice veličin, s nimiž budeme v této kapitole přicházet do styku. Činitel odrazu Z −Z = Zk + Zv k v kde Zk je zakončovací impedance v [Ω] Zv je charakteristickáá impedance vedení v [Ω] Geometrickým místem absolutní hodnoty činitele odrazu ve Smithově diagramu je kružnice se středem ve středu diagramu (v bodě 1). Poměr stojatých vln p=
U max U min
kde Umax je maximální napětí stojaté vlny ve [V] Umin je minimální napětí stojaté vlny ve [V] Poměr stojatých vln lze též vyjádřit pomocí absolutní hodnoty činitele odrazu p=
1+ 1−
Konstantní hodnota poměru stojatých vln se ve Smithově diagramu zobrazí rovněž jako kružnice se středem v bodě 1. Ve Smithově diagramu pracujeme s normovanými hodnotami impedancí. Normovaná impedance z = ZZ v
ZÁKLADNÍ PŘÍKLADY POUŽITÍ SMITHOVA DIAGRAMU
Transformace impedance podél vedení Do Smithova diagramu zakreslíme zadanou impedanci. Touto impedancí proložíme l0 přímku konstantní hodnoty βl a na obvodu Smithova diagramu zjistíme poměr , který v odpovídá této impedanci. Chceme-li zjistit hodnotu impedance ve vzdálenosti l, musíme provést ve Smithově diagramu posunutí příslušným směrem (buď ke zdroji nebo k zátěži) o l hodnotu a v tomto místě opět sestrojíme přímku konstantního βl. Je-li vedení v
bezeztrátové, bude hledaná impedance ležet v průsečíku této přímky a kružnice konstantního poměru stojatých vln, na níž leží původní impedance. V případě ztrátového vedení bude hledaná impedance ležet v průsečíku téže přímky a kružnice konstantního útlumu, jejíž poloměr je definován vztahem r = R.e − 8,68 [mm] 2l
kde R je poloměr kružnice konstantního útlumu, na níž leží původní impedance v [mm]
Měření impedance V prvním kroku stanovíme délku vlny na vedení. Změříme vzdálenost dvou sousedních minim stojaté vlny. Délka vlny na vedení je pak rovna dvojnásobku této vzdálenosti. V druhém kroku změříme poměr stojatých vln jako podíl p=
U max U min
Ve Smithově diagramu sestrojíme kružnici konstantního poměru stojatých vln. V třetím kroku změříme vzdálenost prvního minima stojaté vlny od zátěže l a ve Smithově diagramu provedeme posun o l z bodu minimální impedance směrem k zátěži. Hledaná v
impedance pak leží v průsečíku přímky konstantní hodnoty βl a kružnice konstantního poměru stojatých vln.
Pokud nelze určit polohu prvního minima stojaté vlny, bude postup měření poněkud odlišný. První dva kroky zůstanou nezměněné, v třetím změříme a zaznamenáme polohu libovolného minima stojaté vlny. Ve čtvrtém kroku odpojíme měřenou impedanci a nahradíme jí zkratem. Změříme a zaznamenáme polohu dvou minim stojaté vlny v okolí původního minima (při zakončení měřenou impedancí). Tím určíme tzv. referenční konce vedení. Tuto situaci názorně vystihuje obrázek 15 na straně 74. Vzdálenost minima stojaté vlny při zakončení měřenou impedancí a referenčního konce vedení pak udává posunutí ve Smithově diagramu od bodu minimální impedance. Pozor! Je třeba věnovat pozornost tomu, zdali provádíme posun k zátěži nebo ke zdroji. Sestrojíme přímku konstantní hodnoty βl a hledaná impedance bude ležet v průsečíku této přímky a kružnice konstantního poměru stojatých vln.
Přizpůsobování impedance Přizpůsobování impedancí můžeme provádět buď sériově připojeným kompenzačním prvkem nebo paralelně připojeným kompenzačním prvkem. Podle toho hovoříme buď o sériové kompenzaci nebo o paralelní kompenzaci. Nejpve si vysvětlíme princip sériové kompenzace. Na vedení najdeme takové místo, ve kterém je reálná složka impedance rovna charakteristické impedanci vedení a v tomto místě jalovou složku impedance vykompenzujeme reaktancí stejné velikosti, ale opačného znaménka. Kompenzační reaktanci je možné realizovat mnoha způsoby. Nejčastěji se používá úsek vedení zakončený nakrátko nebo naprázdno. Postup návrhu impedančního přizpůsobení pomocí Smithova diagramu bude následující. Do Smithova diagramu vyneseme zakončovací impedanci a sestrojíme přímku konstantního βl. Pak provedeme posunutí po kružnici l1 konstantního poměru stojatých vln o takový poměr , až se dostaneme na kružnici v l1 jednotkové reálné části impedance, to znamená do bodu z 1 = 1 ! j.x . Z posunutí můžeme v zjistit vzdálenost l1 od zakončovací impedance, ve které je potřeba připojit kompenzační prvek. V případě, že kompenzačním prvkem je úsek vedení, je třeba stanovit jeho délku l2 . Je-li vedení na konci zkratované, bude výchozím bodem pro stanovení jeho délky bod nulové impedance. Je-li vedení na konci otevřené, výchozím bodem bude bod nekonečné impedance. l2 Z tohoto bodu provedeme transformaci o poměr směrem ke zdroji do bodu, v němž je v l2 impedance rovna z 2 = 0 + j.x . Z posunutí určíme délku kompenzačního vedení l2 . v V případě paralelní kompenzace budeme hledat na vedení takové místo, ve kterém je reálná část admitance rovna charakteristické admitanci vedení, a v tomto místě vykompenzujeme jalovou část admitance susceptancí stejné velikosti, ale opačného znaménka. Ve Smithově diagramu to bude vypadat následovně. Nejprve je třeba přejít z impedančního diagramu do admitančního. To je velmi jednoduché. Admitanční diagram je na pohled zcela shodný s diagramem impedančním, rozdíl je pouze v označení. Místo impedancí budeme pracovat s admitancemi. Z impedančního diagramu přejdeme na admitanční inverzí kolem bodu 1, neboť platí y = 1z Další postup návrhu přizpůsobení (paralelní kompenzace) je pak naprosto shodný se sériovou kompenzací, jediný rozdíl je v tom, že místo s impedancemi pracujeme s admitancemi. Někdy se k impedančnímu přizpůsobování používá tzv. čtvrtvlnný transformátor (obr. 2). To je úsek vedení, který musí mít takové vlastnosti (tj. délku a vlnovou impedanci), aby umožnil bezodrazový přenos energie mezi dvěma různými impedancemi. Jeho použití je však dost omezené. Čtvrtvlnný transformátor je nevhodný k přizpůsobování obecných impedancí, hodí se však k přizpůsobování čistě reálných impedancí. Z tohoto důvodu se nejčastěji používá jako přizpůsobovací element při spojování dvou vedení o různě velkých charakteristických impedancích Z1 a Z2 . Jak již název napovídá, délka čtvrtvlnného transformátoru je
l t = v [m] 4 Charakteristická impedance je dána geometrickým průměrem hodnot impedancí, které hodláme přizpůsobit, tedy Z t = Z 1 .Z 2 [Ω] Poznámka: Pro širokopásmové přizpůsobení se používají vícestupňové transformátory.
Obr. 2. Čtvrtvlnný transformátor
11. ROZPTYLOVÉ PARAMETRY Libovolný mikrovlnný obvod můžeme popsat pomocí tzv. rozptylových parametrů (S-parametrů), které zavádíme následujícím způsobem. Např. obvod s N branami lze popsat soustavou rovnic V −1 = S 11 V +1 + S 12 V +2 + £ + S 1N V +N V −2 = S 21 V +1 + S 22 V +2 + £ + S 2N V +N § V −N = S N1 V +1 + S N2 V +2 + £ + S NN V +N kde V −n je napěťová vlna vycházející z n-té větve N-branu V +n je napěťová vlna vstupující do n-té větve N-branu Sij je rozptylový parametr Nebo lze zapsat výše uvedené rovnice v maticovém tvaru
V −1 V −2 § V −N
=
S 11 S 21 § S N1
S 12 S 22 § S N2
£ £ • £
S 1N S 2N § S NN
.
V +1 V +2 § V +N
případně [ V − ] = [ S ] .[ V + ] Podobným způsobem lze definovat normované rozptylové parametry b 1 = s 11 a 1 + s 12 a 2 + £ + s 1N a N b 2 = s 21 a 1 + s 22 a 2 + £ + s 2N a N § b N = s N1 a 1 + s N2 a 2 + £ + s NN a N V −n je normovaná napěťová vlna vycházející z n-té větve N-branu Z 0n Z0n je charakteristická impedance n-té větve N-branu V +n an = je normovaná napěťová vlna vstupující do n-té větve N-branu Z 0n sij je normovaný rozptylový parametr
kde b n =
Nebo v maticovém tvaru [ b ] = [ s ] .[ a ] kde [b ] =
b1 b2 § bN
[s ] =
s 11 s 21 § s N1
s 12 s 22 § s N2
£ £ • £
s 1N s 2N § s NN
[a ] =
a1 a2 § aN
Vztah mezi normovanými a nenormovanými rozptylovými parametry s ij = S ij
pro i = j
Z 0j s ij = S ij . Z pro i ! j 0i
Je-li N-bran reciproký, pak je jeho rozptylová matice symetrická podle hlavní diagonály [s T ] = [s ] kde [sT] je transponovaná matice Je-li N-bran bezeztrátový, pak je jeho rozptylová matice unitární [ s T ] .[ s & ] = [ 1 ] kde [s*] je komplexně sdružená matice [1] je jednotková matice
12. ORIENTOVANÉ GRAFY Základní pojmy
Uzel - bod orientovaného grafu odpovídající nezávislé nebo závislé proměnné Větev - přímá spojnice dvou uzlů Cesta - spojení souhlasně orientovaných větví mezi dvěma uzly Přímá cesta - cesta, v níž se každý uzel vyskytuje pouze jednou Smyčka 1. řádu - cesta, která má totožný počáteční a koncový uzel Vlastní smyčka - větev, která začíná a končí ve stejném uzlu Smyčka n-tého řádu - je tvořena n smyčkami 1. řádu, které nemají společné uzly Některé možnosti zjednodušení struktury orientovaného grafu jsou ukázány na obrázku 37. Masonovo pravidlo (n ) P 1 + n (−1 ) n ,r L ,r T ba = ( ) n 1 + n (−1 ) L n
kde Tba je přenos z uzlu a do uzlu b Pµ je přenos µ-té přímé cesty n je řád smyčky (n = 1, 2, 3, ...) Lν(n) je přenos ν-té smyčky n-tého řádu Lν,r(n) je přenos ν-té smyčky n-tého řádu, která se nedotýká cesty, jejíž přenos právě uvažujeme Masonovo pravidlo umožňuje přímý výpočet přenosu bez předběžných úprav grafu.
Obr. 3. Některé možnosti zjednodušení orientovaného grafu
