Přechodové jevy RC. Řešení přechodového jevu v obvodech 1. řádu RC. a) varianta nabíjení ideálního kondenzátoru u C (t)

Učební texty pro Elektrotechniku

Ing. Kindrát Alexandr

Přechodové jevy RC Účelem této knihy je naučit studenty řešit přechodové jevy v obvodech 1. řádu typu RC a seznámit je s teoretickou problematikou přechodových jevů v obvodech 1. řádů typu RC.

Přechodové jevy v obvodech 1. řádu Řešení přechodových jevů v obvodech 1. řádu spočívá zpravidla v sestavení a vyřešení diferenciální rovnice 1. řádu. Odvod obsahuje pouze jeden akumulační prvek (cívku nebo kondenzátor), pasivní prvky (rezistory) a zdroj napětí, popř. proudu a samozřejmě spínač, který slouží k sepnutí eventuelně rozepnutí obvodu Ö k zahájení přechodového jevu, a to ať už spojením obvodu nebo jeho rozpojením. Standardní postup spočívá v základní znalosti řešení přechodových jevů, znalosti derivace a exponenciální funkce, proto je nejprve obvod popsán a následně spočítán.

Řešení přechodového jevu v obvodech 1. řádu RC (sériové spojení ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru)

a) varianta nabíjení ideálního kondenzátoru uC(t) Schéma zapojení:

Náhradní schéma zapojení:

Popis obvodu: Obvod je složen ze zdroje stejnosměrného napětí U0, ideálního rezistoru s odporem R, ideálního kondenzátoru s kapacitou C, spínače S. Obvod se před okamžikem sepnutí spínače S, tj. v čase t = 0, nachází v ustáleném stavu, nazvěme tento stav minulý ustálený stav. O tomto stavu můžeme říci, že za předpokladu nenabitého kondenzátoru v tomto obvodu neteče proud, a proto na rezistoru s odporem R nemůže vzniknout úbytek napětí dle Ohmova zákona vlivem protékajícího proudu a kondenzátor nemůže akumulovat energii. Po sepnutí spínače S do polohy 1 je připojen zdroj stejnosměrného napětí U0 do obvodu s ideálním kondenzátorem s kapacitou C sériově spojeným s ideálním rezistorem s odporem R, chování obvodu je nyní lépe patrné z náhradního schématu zapojení. V okamžiku sepnutí spínače S do polohy 1 se ideální nenabitý kondenzátor chová jako zkrat a velikost napětí na něm bude u C (t = 0) = 0 . Proud tekoucí obvodem v okamžiku připojení stejnosměrného zdroje U0 do obvodu spínačem S je omezen pouze velikosti odporu ideálního rezistoru, a tudíž tímto obvodem v okamžiku připojení stejnosměrného zdroje U0 do obvodu spínačem S prochází největší možný nabíjecí proud, kdy jeho velikost je dána vztahem Přechodové jevy v obvodech 1. řádu

-7-



U0 = I 0 , neboť jak již bylo řečeno, nenabitý kondenzátor se chová v okamžiku R připojení stejnosměrného zdroje U0 do obvodu spínačem S jako zkrat, není v něm tedy nahromaděna žádná energie elektrického pole, a protože platí Ohmův zákon je velikost proudu procházejícího obvodem dána podílem hodnoty napětí U0 stejnosměrného zdroje a hodnoty odporu R ideálního rezistoru, tuto velikost proudu označíme velkým písmenem, neboť se jedná o počáteční hodnotu, která je v daném okamžiku stálá a neměnná. U − u C (t ) . Proud procházející obvodem Odvodem začne procházet nabíjecí proud iC (t ) = 0 R vytváří elektrické pole kondenzátoru, toto pole se zvětšuje Ö v kondenzátoru se hromadí energie elektrického pole Ö kondenzátor se nabijí Ö vzrůstá na něm napětí. Ze zákona o zachování energie víme, že se energie nemůže měnit skokem, pouze spojitě, a tudíž i napětí na kondenzátoru se může měnit pouze spojitě, toto napětí je úměrné velikosti náboje, který v závislosti na čase kondenzátor dosud nahromadil. Hodnota nabíjecího proudu bude tím menší, čím větší bude napětí na ideálním kondenzátoru. Hodnota napětí na ideálním kondenzátoru roste, hodnota nabíjecího proudu klesá, úbytek napětí na rezistoru je podle Ohmova zákona roven součinu hodnoty odporu rezistoru a velikosti proudu procházejícího odporem, takže se bude také zmenšovat. Proud kondenzátorem se zpočátku rychle zmenšuje, což je dáno skutečností, že se kondenzátor začíná nabíjet a tudíž se na něm rychle mění velikost napětí, pak se pokles proudu zpomaluje, až zcela zanikne, jiný slovy dosáhne nulové hodnoty, respektive napětí na kondenzátoru z počátku rychle stoupá, pak se jeho růst zpomalí, a nakonec se ustálí na hodnotě napětí U0 stejnosměrného zdroje. Velikost napětí na ideálním kondenzátoru je závislá na velikosti nabíjecího proudu a pro určitý časový okamžik odpovídá velikosti napětí dané vztahem: u C (t ) = U 0 − R ⋅ iC (t ) , který vychází iC (t = 0) =

z II. Kirchhoffova zákona pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = U 0 , pro výpočet použijeme spojitou veličinu uC(t), neboť se proud iC(t) nemění spojitě v čase, nýbrž se jeho hodnota mění 1 v čase skokově, jak je patrné z následují rovnice R ⋅ iC (t ) + ∫ iC (t )∂t + u C (t = 0) = U 0 , kdy je C v této rovnici proud iC(t) integrován, a nelze tudíž tuto rovnici použít pro sestavení homogenní diferenciální rovnice 1. řádu a následně ji vyřešit. Postup je následující, do původní rovnice plynoucí z II. Kirchhoffova zákona u R (t ) + u C (t ) = U 0 , dosadíme za napětí ∂u C (t ) , tím získáme diferenciální rovnici 1. řádu, kterou ∂t již můžeme následně řešit. Nabíjecí proud je úměrný časové změně velikosti napětí ∂u (t ) na kondenzátoru: iC (t ) = C ⋅ C , tomuto stavu obvodu se říká přechodový jev. ∂t Přechodový jev je stav, kdy se obvod nachází mezi dvěma ustálenými stavy, a to minulým a budoucím. Do budoucího ustáleného stavu se obvod dostane až po určité době, přesně po skončení přechodového jevu, po zániku přechodné složky stavové veličiny. Stavová veličina je veličina, která se s časem mění spojitě, je zachován její směr, není z hlediska času přerušena. Doba, která je nezbytně nutná k ukončení přechodového jevu se pohybuje okolo 5τ, kde hodnota τ se označuje jako časová konstanta, usuzujeme z ní na rychlost zániku přechodné složky stavové veličiny. Časová konstanta je reálné číslo, větší jak nula a má rozměr času, tedy sekundy. Časová konstanta je udána tečnou vedenou v počátku k exponenciální křivce zobrazující průběh stavové veličiny, neboli exponenciální křivka má v každém svém bodě subtangentu rovnou časové konstantě, je to tedy doba, za kterou by veličina exponenciálního charakteru závislá

na rezistoru u R (t ) = R ⋅ iC (t ) = R ⋅ C ⋅

-8-

Přechodové jevy v obvodech 1. řádu


Ing. Kindrát Alexandr −

t

na této časové konstantě, dle vztahu: y (t ) = Y ⋅ e , klesla na nulu, kdyby se zmenšovala stejnou rychlostí jako v čase t, tj. ve směru tečny k exponenciální křivce v okamžiku t. Laicky řečeno, představuje časová konstanta dobu, za kterou by stavová veličina dosáhla hodnoty budoucího ustáleného stavu, kdyby vzrůstala lineárně. V našem případě lze konstatovat, že hodnota veličiny exponenciálního charakteru závislá na této časové konstantě y(t), klesne od kteréhokoliv okamžiku za dobu ∆t = τ na 36,8 % své hodnoty. Dá se tedy konstatovat, že časová konstanta je doby, za kterou klesne námi sledovaná veličina exponenciálního charakteru závislá na této časové konstantě y(t) na 36,8 % své hodnoty. Dále za dobu ∆t = 2τ klesne na 13,5 % své hodnoty, za dobu ∆t = 3τ klesne na přibližně 5 % své hodnoty, za dobu ∆t = 4τ klesne na přibližně 2 % své hodnoty, za dobu ∆t = 5τ klesne na 0,67 % své hodnoty. Za dobu 5τ, která uplynula od začátku přechodového jevu, sepnutí spínače S1, je patrné z vypočtené hodnoty veličiny exponenciálního charakteru závislé na časové konstantě y(t), že hodnota této veličiny klesne na 0,67 % své hodnoty a tudíž lze považovat přechodnou složku za prakticky zaniklou, přechodový jev za ukončený. Nyní se obvod nachází v novém ustáleném stavu, říkejme mu budoucí ustálený stav. V tomto stavu je již přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je nabitý na celé napětí U0 stejnosměrného zdroje u C (t = 5τ ) = U 0 . Ideální kondenzátor nyní představuje prvek s akumulovanou energií τ

C ⋅ U 02 , která zůstane nahromaděna v polarizovaném dielektriku. 2 Při zániku elektrického pole viz b) varianta vybíjení ideálního kondenzátoru, se tato energie vrací do obvodu ve formě vybíjecího proudu kondenzátoru, i z této skutečnosti, že energie je neměnná a tudíž se nemůže měnit skokově, ale musí se měnit spojitě vyplývá důsledek časové spojitého průběhu napětí uC(t) na kondenzátoru, navíc vzhledem k tomu, že je napětí uC(t) na kondenzátoru dáno integrálem protékajícího proudu iC(t), musí být při ohraničené velikosti tohoto proudu iC(t) vždy spojitou veličinou. Velikost energie nahromaděné v kondenzátoru je poloviční, neboť druhá polovina se spotřebuje v odporu R ideálního rezistoru na teplo. elektrického pole WC =

Postup výpočtu:

1. Určení stavové veličiny 2. Sestavení rovnic pro stavovou veličinu popisujících stav obvodu po vzniku přechodového jevu 3. Obecné řešení diferenciální rovnice 4. Nalezení partikulárního řešení, tj. v době, kdy se obvod nacházel v budoucím ustáleném stavu 5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, tj. v době, kdy se obvod nalézal v minulém ustáleném stavu 6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení 7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny 8. Kontrola správnosti výsledků 9. Výsledky řešení, jejich grafické časové vyjádření (zamyšlení se nad reálností výsledků) 1. Určení stavové veličiny: uC(t) Pozn.: Zvolili jsme napětí na kondenzátoru, neboť se jeho smysl (polarita) nemění a zůstává spojité po celou dobu trvání přechodového jevu, jak je patrné z průběhů grafů řešených veličin, o proti tomu proud obvodem je nespojitý a tudíž je nevhodné zvolit ho za stavovou veličinu, jeho nespojitost spočívá v skutečnosti, že při nabíjení kondenzátoru, kdy se kondenzátor chová jako spotřebič, teče obvodem jedním směrem, a při vybíjení kondenzátoru,


-9-



kdy se kondenzátor chová jako zdroj napětí, teče obvodem směrem opačným vzhledem k původnímu směru. Vychází se ze spojitosti energie WC(t),jenž závisí právě na hodnotě uC(t). 2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí:

u R (t ) + u C (t ) = U 0 Rovnici přepíšeme do následujícího tvaru Ö získáme diferenciální rovnici 1. řádu: R ⋅C ⋅

∂u C (t ) + u C (t ) = U 0 ∂t

Řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu 3. Obecné řešení diferenciální rovnice: Z předešlé diferenciální rovnice vytvoříme homogenní diferenciální rovnici, a to tak, že levou část rovnice položíme rovnu nule a osamostatníme člen obsahující stavovou veličinu bez derivace: R ⋅C ⋅

∂ u C (t ) + u C (t ) = 0 ∂t

Řešení této homogenní rovnice hledáme ve tvaru u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t , toto řešení dosadíme do homogenní diferenciální rovnice a spočteme. Po dosazení: R ⋅C ⋅

∂ (K ⋅ e λ ⋅t ) + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , řešíme derivaci: ∂t

R ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : 1 R ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = − R ⋅C Dosadíme do hledaného řešení a získáme řešení v následujícím tvaru: u 0 (t ) = K ⋅ e

λ ⋅t

⇒ K ⋅e

−

1 ⋅t R ⋅C

Provedeme dosazení za konstantu λ, kdy platí, že τ = −

1

λ

= R ⋅ C a výsledné obecné řešení a

řešení homogenní rovnice má konečnou podobu ve tvaru: −

t

u 0 (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C je časová konstanta 4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé po sepnutí spínače S. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela

- 10 -




zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je nabitý na celé napětí U0 stejnosměrného zdroje u C (t = 5τ ) = U 0 . Ideální kondenzátor nyní představuje prvek C ⋅ U 02 , která zůstane nahromaděna 2 v polarizovaném dielektriku. Tím je budoucí ustálený stav vyřešen:

s akumulovanou energií elektrického pole WC = u P = u C (t → ∞) = konst. = U 0

5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, obvod v minulém ustáleném stavu: Ustálený stav před vznikem přechodového jevu, tedy v době těsně před sepnutím spínače S. Víme, že v tomto stavu v rozpojeném obvodu neteče žádný proud, a proto na rezistoru s odporem R nemůže vzniknout úbytek napětí dle Ohmova zákona vlivem protékajícího proudu, a ideální kondenzátor se nebude nabíjet na žádné napětí, z čehož plyne, že nemůže hromadit náboj a tudíž jeho dielektrikum nebude hromadit energii. Tím je vyřešen minulý ustálený stav: u C (t < 0) = 0 , ekvivalentní zápis u C (t = 0−) = 0 6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení: Do řešení přechodového jevu dosadíme za obecné a partikulární řešení spočtené hodnoty: −

t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e , kde τ = R ⋅ C a u P = U 0

u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

+ U 0 , kde τ = R ⋅ C

τ

Pro určení integračních konstant vycházíme z počátečních podmínek, kdy platí, že stav obvodu těsně před sepnutím je roven stavu obvodu těsně po sepnutí. u C (t = 0−) = u C (t = 0+ ) 0 = u 0 (t = 0) + u P 0 = K ⋅e

−

0

τ

+U0 , e

−

0

τ

=1

0 = K + U 0 , odtud je integrační konstanta rovna: K = −U 0 Po dosazení integrační konstanty K do vzorce pro řešení přechodového jevu: u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

u C (t ) = −U 0 ⋅ e

+ U 0 , kde τ = R ⋅ C , získáme: −

t

τ

+ U 0 , kde τ = R ⋅ C , po vytknutí U0 dostaneme:

t −  −t   u C (t ) = U 0 ⋅  − e τ + 1 = U 0 ⋅ 1 − e τ   

  , kde τ = R ⋅ C  

7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní dopočítáme pomocí předchozího vztahu velikost procházejícího proudu odvodem a následně dopočítáme pomocí Ohmova zákona hodnotu úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru způsobeného procházejícím proudem:


- 11 -



 ∂U 0  ∂u (t ) iC (t ) = C ⋅ c = C ⋅  ∂t   −t  ∂ e τ  = C ⋅ (− U 0 ) ⋅   ∂t   

t −  ⋅ 1 − e τ  ∂t

t t    − −    −U0 ⋅ e τ +U0  −U0 ⋅ e τ ∂ ∂        =C⋅  =C⋅   ∂t ∂t   

  −τt   ∂ e    + 0 = −U ⋅ C ⋅  0  ∂t    t

    ∂ (U ) + 0  = ∂t    

  t t   = −U ⋅ C ⋅  − 1  ⋅ e −τ = U 0 ⋅ e −τ , kde τ = R ⋅ C   0 R  R ⋅C 

t

− − U u R (t ) = R ⋅ iC (t ) = R ⋅ 0 ⋅ e τ = U 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C R

Napětí uR(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = U 0 , odtud: u R (t ) = U 0 − u C (t ) , po dosazení za uC(t): t −  τ  u R (t ) = U 0 − U 0 ⋅ 1 − e  t   − τ  u R (t ) = U 0 ⋅ 1 − 1 − e  

 , kde τ = R ⋅ C , po vytknutí U0:  

t −     = U 0 ⋅ 1 − 1 + e τ    

t −   = U 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C  

Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR(t) v obou případech stejně. 8. Kontrola správnosti výsledků: 9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření: Grafické průběhy přechodových veličin v závislosti na čase:

- 12 -




b) varianta vybíjení ideálního kondenzátoru uC(t) Schéma zapojení:


Popis obvodu: Vycházejme z předpokladu, že další přechodový jev nastane v čase t = 0 a nezávisí tudíž z časového hlediska na předchozí variantě a) nabíjení ideálního kondenzátoru uC(t). Obvod je stejný jako v předchozí variantě a) nabíjení ideálního kondenzátoru uC(t), skládá se opět ze zdroje stejnosměrného napětí U0, ideálního rezistoru s odporem R, ideálního kondenzátoru s kapacitou C a spínače S. Obvod se před okamžikem sepnutí spínače S, tj. v čase t = 0, nachází v ustáleném stavu, nazvěme tento stav minulý ustálený stav. Z řešení varianty a) nabíjení ideálního kondenzátoru uC(t) již víme, že tento stav byl v předešlém řešení označován jako budoucí ustálený stav, můžeme tedy o tomto stavu říci, že obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je nabitý na celé napětí U0 stejnosměrného zdroje u C (t = 5τ ) = U 0 . Ideální kondenzátor nyní

C ⋅ U 02 , která zůstane představuje prvek s akumulovanou energií elektrického pole WC = 2 nahromaděna v polarizovaném dielektriku. V okamžiku přepnutí spínače S do polohy 2 je odpojen zdroj stejnosměrného napětí U0 od obvodu s ideálním kondenzátorem s kapacitou C sériově spojeným s ideálním rezistorem s odporem R, chování obvodu je nyní lépe patrné z náhradního schématu zapojení. V okamžiku sepnutí spínače S do polohy 2 se ideální nabitý kondenzátor chová jako zdroj stejnosměrného napětí U0 a velikost napětí na něm bude u C (t = 0) = U 0 . Odvodem začne procházet vybíjecí proud, který má obrácený smysl, než v předchozí variantě a) nabíjení ideálního kondenzátoru uC(t), je omezen pouze velikosti odporu ideálního rezistoru, a tudíž tímto obvodem v okamžiku odpojení stejnosměrného zdroje U0 od obvodu spínačem S U prochází největší možný vybíjecí proud, jeho velikost je dána vztahem iC (t = 0) = 0 = I 0 , R neboť jak již bylo řečeno, ideální kondenzátor je nabitý na celé napětí U0 stejnosměrného zdroje a chová se v okamžiku připojení stejnosměrného zdroje U0 do obvodu spínačem S jako zdroj tohoto napětí, a protože platí Ohmův zákon je velikost proudu procházejícího obvodem dána podílem hodnoty napětí U0 plně nabitého kondenzátoru a hodnoty odporu R ideálního rezistoru, tuto velikost proudu označíme velkým písmenem, neboť se jedná o počáteční hodnotu, která je v daném okamžiku stálá a neměnná. Veškerá energie nahromaděná v dielektriku ideálního kondenzátoru se bude měnit v ideální rezistoru na tepelnou energii Ö teplo Ö Jouleovo teplo. Nyní se obvod nachází stavu, který se označuje jako přechodový jev. Z uvedeného vyplývá, že velikost napětí na ideálním kondenzátoru bude rovna velikosti úbytku napětí na ideálním rezistoru způsobeném podle Ohmova zákona procházejícím proudem, neboť ideální kondenzátor nahromaděnou Přechodové jevy v obvodech 1. řádu

- 13 -



energii elektrického pole předává ideálnímu rezistoru, kde se mění, jak již bylo uvedeno na teplo. Podle II. Kirchhoffova zákona lze pro tento obvod napsat rovnici: u R (t ) + u C (t ) = 0 , dalo by se namítnout, že rovnice podle II. Kirchhoffova zákona vypadá jinak, a to u R (t ) − u C (t ) = 0 , ale tak to není, neboť kondenzátor je ve skutečnosti pořád spotřebič, ačkoliv nyní přebral funkci zdroje, navíc průběh napětí na obou prvcích je z hlediska polarit obrácený a tudíž bychom se dopustili určité chyby, neboť musí platit z principu zachování energie, že u R (t ) = −u C (t ) . Proud ideálním kondenzátorem je úměrný časové změně velikosti ∂u (t ) napětí, lze proto napsat vztah pro vybíjecí proud: iC (t ) = C ⋅ C . Podle Ohmova zákona, ∂t který říká, že úbytek napětí na ideálním rezistoru je přímo úměrný procházejícímu proudu a velikosti odporu ideálního rezistoru proudem protékaným, lze psát vztah pro úbytek napětí: u R (t ) = R ⋅ iC (t ) . Jinými slovy řečeno, dochází k zániku elektrického pole a energie nahromaděná v dielektriku se vrací do obvodu formou vybíjecího proudu kondenzátoru i z této skutečnosti, že je energie neměnná, a tudíž se nemění skokově, ale spojitě vyplývá důsledek časové spojitého průběhu napětí uC(t) na kondenzátoru, navíc vzhledem k tomu, že je napětí uC(t) na kondenzátoru dáno integrálem protékajícího proudu iC(t), musí být při ohraničené velikosti tohoto proudu iC(t) vždy spojitou veličinou. Velikost energie nahromaděné v kondenzátoru je poloviční, neboť druhá polovina se spotřebuje v odporu R ideálního rezistoru na teplo. Odvodem prochází u (t ) vybíjecí proud iC (t ) = − C . Elektrické pole zaniká kondenzátoru, respektive pole se R zmenšuje Ö v kondenzátoru klesá energie elektrického pole Ö kondenzátor se vybijí Ö klesá na něm napětí. Ze zákona o zachování energie víme, že se energie nemůže měnit skokem, pouze spojitě, a tudíž i napětí na kondenzátoru se mění spojitě, toto napětí je úměrné velikosti náboje, který v závislosti na čase kondenzátor dosud přeměnil. Vybíjecí proud bude tím menší, čím menší bude napětí na ideálním kondenzátoru. Napětí na ideálním kondenzátoru klesá, vybíjecí proud klesá, úbytek napětí na rezistoru je podle Ohmova zákona roven součinu odporu rezistoru a proudu procházejícího odporem, takže se bude také zmenšovat. Proud kondenzátorem se zpočátku rychle zmenšuje, což je dáno skutečností, že se kondenzátor začíná vybíjet a tudíž se na něm rychle mění velikost napětí, pak se pokles proudu zpomaluje, až zcela zanikne, jiný slovy dosáhne nulové hodnoty, respektive napětí na kondenzátoru z počátku rychle klesá, pak se jeho pokles zpomalí a nakonec se ustálí na nulovém napětí. Velikost napětí na ideálním kondenzátoru je závislá na vybíjecím proudu a pro určitý časový okamžik odpovídá velikosti napětí dané vztahem: u C (t ) = − R ⋅ iC (t ) , jenž vychází z II. Kirchhoffova zákona pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = 0 , pro výpočet použijeme spojitou veličinu uC(t), neboť proud iC(t) se nemění v čase spojitě, nýbrž se skokově, jak je patrné 1 z následují rovnice R ⋅ iC (t ) + ∫ iC (t )∂ t + u C (t = 0) = 0 , kdy je v této rovnici proud iC(t) C integrován, a nelze tudíž tuto rovnici použít pro sestavení homogenní diferenciální rovnice 1. řádu a následně ji vyřešit. Postup je následující, do původní rovnice plynoucí u R (t ) + u C (t ) = 0 , dosadíme za napětí na rezistoru z II. Kirchhoffova zákona ∂u (t ) u R (t ) = R ⋅ iC (t ) = R ⋅ C ⋅ C , tím získáme diferenciální rovnici 1. řádu, kterou již můžeme ∂t následně řešit. Vybíjecí proud je úměrný časové změně napětí na kondenzátoru: ∂u (t ) iC (t ) = C ⋅ C , tomuto stavu obvodu se říká přechodový jev. Přechodový jev je stav, kdy ∂t

- 14 -




se obvod nachází mezi dvěma ustálenými stavy, a to minulým a budoucím. Do budoucího ustáleného stavu se obvod dostane až po určité době, přesně po skončení přechodového jevu, po zániku přechodné složky stavové veličiny. Stavová veličina je veličina, která se s časem mění spojitě, je zachován její směr, není z hlediska času přerušena. Doba, která je nezbytně nutná k ukončení přechodového jevu se pohybuje okolo 5τ, kde hodnota τ se označuje jako časová konstanta, usuzujeme z ní na rychlost zániku přechodné složky stavové veličiny. Časová konstanta je reálné číslo, větší jak nula a má rozměr času, tedy sekundy. Časová konstanta je udána tečnou vedenou v počátku k exponenciální křivce zobrazující průběh stavové veličiny, neboli exponenciální křivka má v každém svém bodě subtangentu rovnou časové konstantě, je to tedy doba, za kterou by veličina exponenciálního charakteru závislá −

t

na této časové konstantě, dle vztahu: y (t ) = Y ⋅ e τ , klesla na nulu, kdyby se zmenšovala stejnou rychlostí jako v čase t, tj. ve směru tečny k exponenciální křivce v okamžiku t. Laicky řečeno, představuje časová konstanta dobu, za kterou by stavová veličina dosáhla hodnoty budoucího ustáleného stavu, kdyby vzrůstala lineárně. V našem případě lze konstatovat, že hodnota veličiny exponenciálního charakteru závislá na této časové konstantě y(t), klesne od kteréhokoliv okamžiku za dobu ∆t = τ na 36,8 % své hodnoty. Dá se tedy konstatovat, že časová konstanta je doby, za kterou klesne námi sledovaná veličina exponenciálního charakteru závislá na této časové konstantě y(t) na 36,8 % své hodnoty. Dále za dobu ∆t = 2τ klesne na 13,5 % své hodnoty, za dobu ∆t = 3τ klesne na přibližně 5 % své hodnoty, za dobu ∆t = 4τ klesne na přibližně 2 % své hodnoty, za dobu ∆t = 5τ klesne na 0,67 % své hodnoty. Za dobu 5τ, která uplynula od začátku přechodového jevu, sepnutí spínače S1, je patrné z vypočtené hodnoty veličiny exponenciálního charakteru závislé na časové konstantě y(t), že hodnota této veličiny klesne na 0,67 % své hodnoty a tudíž lze považovat přechodnou složku za prakticky zaniklou, přechodový jev za ukončený. Nyní se obvod nachází v novém ustáleném stavu, říkejme mu budoucí ustálený stav. V tomto stavu je již přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je zcela vybitý, jinými slovy řečeno napětí ne něm je nulové u C (t = 5τ ) = 0 . Veškerá energie elektrického pole nahromaděná v ideálním kondenzátoru se přeměnila na ideálním rezistoru v tepelné ztráty Ö teplo Ö Jouleovy ztráty, tudíž je elektrické pole ideálního kondenzátoru bez energie a zanikne. Napětí na ideálním kondenzátoru je nulové. Na ideálním rezistoru se již žádná energie elektrického pole nepřemění na tepelné ztráty, neboť je elektrické pole ideálního kondenzátoru bez energie. Navíc obvodem neprochází žádný proud, který by způsoboval podle Ohmova zákona úbytek napětí na ideálním rezistoru a proto bude i tento úbytek napětí na ideálním rezistoru nulový. Postup výpočtu:

1. Určení stavové veličiny 2. Sestavení rovnic pro stavovou veličinu popisujících stav obvodu po vzniku přechodového jevu 3. Obecné řešení diferenciální rovnice 4. Nalezení partikulárního řešení, tj. v době, kdy se obvod nacházel v budoucím ustáleném stavu 5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, tj. v době, kdy se obvod nalézal v minulém ustáleném stavu 6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení 7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny 8. Kontrola správnosti výsledků 9. Výsledky řešení, jejich grafické časové vyjádření (zamyšlení se nad reálností výsledků) Přechodové jevy v obvodech 1. řádu

- 15 -



1. Určení stavové veličiny: uC(t) Pozn.: Zvolili jsme napětí na kondenzátoru, neboť se jeho smysl (polarita) nemění a zůstává spojité po celou dobu trvání přechodového jevu, jak je patrné z průběhů grafů řešených veličin, o proti tomu proud obvodem je nespojitý a tudíž je nevhodné zvolit ho za stavovou veličinu, jeho nespojitost spočívá v skutečnosti, že při nabíjení kondenzátoru, kdy se kondenzátor chová jako spotřebič, teče obvodem jedním směrem, a při vybíjení kondenzátoru, kdy se kondenzátor chová jako zdroj napětí, teče obvodem směrem opačným vzhledem k původnímu směru. Vychází se ze spojitosti energie WC(t),jenž závisí právě na hodnotě uC(t). 2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí:

u R (t ) + u C (t ) = 0 , rovnici přepíšeme do následujícího tvaru Ö diferenciální rovnice 1. řádu: R ⋅C ⋅

∂ u C (t ) + u C (t ) = 0 , řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: ∂t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu 3. Obecné řešení diferenciální rovnice: Předešlá diferenciální rovnice je již homogenní diferenciální rovnicí, jinak bychom ji vytvořili tak, že levou část rovnice položíme rovnu nule a osamostatníme člen obsahující stavovou veličinu bez derivace: R ⋅C ⋅

∂ u C (t ) + u C (t ) = 0 ∂t


(

)

∂ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , řešíme derivaci: ∂t

R ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : R ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = −

1 R ⋅C

Dosadíme do hledaného řešení a získáme řešení v následujícím tvaru: u 0 (t ) = K ⋅ e

λ ⋅t

⇒ K ⋅e

−

1 ⋅t R ⋅C


1

λ



t

u 0 (t ) = K ⋅ e , kde τ = R ⋅ C je časová konstanta.

- 16 -

τ




4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé po sepnutí spínače S. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je zcela vybitý, jinými slovy řečeno napětí ne něm je nulové u C (t = 5τ ) = 0 . Veškerá energie elektrického pole nahromaděná v ideálním kondenzátoru se přeměnila na ideálním rezistoru v tepelné ztráty Ö teplo Ö Jouleovy ztráty, tudíž je elektrické pole ideálního kondenzátoru bez energie a zanikne. Napětí na ideálním kondenzátoru je nulové. Na ideálním rezistoru se již žádná energie elektrického pole nepřemění na tepelné ztráty, neboť je elektrické pole ideálního kondenzátoru bez energie. Navíc obvodem neprochází žádný proud, který by způsoboval podle Ohmova zákona úbytek napětí na ideálním rezistoru a proto bude i tento úbytek napětí na ideálním rezistoru nulový. Tím je budoucí ustálený stav vyřešen:

u P = u C (t → ∞) = konst. = 0 5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, obvod v minulém ustáleném stavu: Ustálený stav před vznikem přechodového jevu, tedy v době těsně před přepnutím spínače S do polohy 2. Víme, že v tomto stavu v obvodu neteče žádný proud, a proto na rezistoru s odporem R nemůže vzniknout úbytek napětí dle Ohmova zákona vlivem protékajícího proudu. Ideální kondenzátor je nabitý na celé napětí U0 stejnosměrného zdroje a v jeho C ⋅ U 02 dielektriku je nahromaděna energie elektrického pole WC = . Tím je vyřešen minulý 2 ustálený stav: u C (t < 0) = U 0 , ekvivalentní zápis u C (t = 0−) = U 0 6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení: Do řešení přechodového jevu dosadíme za obecné a partikulární řešení spočtené hodnoty: −

t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C a u P = 0 u C (t ) = K ⋅ e

−

t

−

t

+ 0 = K ⋅ e , kde τ = R ⋅ C

τ

τ

Pro určení integračních konstant vycházíme z počátečních podmínek, kdy platí, že stav obvodu těsně před sepnutím je roven stavu obvodu těsně po sepnutí. u C (t = 0−) = u C (t = 0+ ) U 0 = u 0 (t = 0) + u P U0 = K ⋅e

−

0

τ

+0, e

−

0

τ

=1

U 0 = K + 0 , odtud je integrační konstanta rovna: K = U 0 Po dosazení integrační konstanty K do vzorce pro řešení přechodového jevu: −

t

u C (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C , získáme: −

t

u C (t ) = U 0 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C τ


- 17 -



7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní dopočítáme pomocí předchozího vztahu velikost procházejícího proudu odvodem a následně dopočítáme pomocí Ohmova zákona hodnotu úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru způsobeného procházejícím proudem: t −    −τt  τ   ∂U 0 ⋅ e  ∂ e  t t ∂u c (t ) U 0 −τ 1  −τ      iC (t ) = C ⋅ =C⋅ = C ⋅U 0 ⋅ = U0 ⋅C ⋅− ⋅e ⋅e = − ∂t ∂t ∂t R  R ⋅C  t t −  −  U u R (t ) = R ⋅ iC (t ) = R ⋅  − 0 ⋅ e τ  = −U 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C  R  Napětí uR(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = 0 , odtud: −

t

u R (t ) = −u C (t ) , po dosazení za uC(t): u R (t ) = −U 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR(t) v obou případech stejně. 8. Kontrola správnosti výsledků: 9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření: Grafické průběhy přechodových veličin v závislosti na čase:

- 18 -




Řešené příklady: Příklad 1 Stanovte časový průběh napětí uC(t) v obvodu zapojeného podle schématu a to po sepnutí spínače S v čase t = 0, nacházel-li se odvod před tímto sepnutím spínače S v ustáleném stavu, dále spočtete napětí U0 stejnosměrného zdroje, z něhož se nabíjí ideální kondenzátor s kapacitou C = 2 [µF] přes ideální rezistor, který má odpor R = 500 [Ω], víme-li, že byl před sepnutím kondenzátor zcela vybitý a nabíjecí proud v čase t = 3 [ms] byl 5 [mA]. Schéma zapojení:


Řešení: Pozn.: Kapacitu ideálního kondenzátoru vypočtete ze vztahu pro časovou konstantu τ daného obvodu přechodového jevu. Časovou konstantu τ určete zlogaritmováním (přirozeným logaritmem, abyste odstranily exponenciální funkci, charakterizovanou Eulerovou konstantou „e“ a získaly tak exponent této exponenciální funkce, ve kterém je obsažena velikost hodnoty časové konstanty daného obvodu přechodového jevu) výsledného vztahu pro časový průběh napětí uC(t) v obvodu po sepnutí spínače S v čase t = 0. 1. Určení stavové veličiny: uC(t) 2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí:

u R (t ) + u C (t ) = U 0 Rovnici přepíšeme pomocí Ohmova zákona do tvaru Ö získáme diferenciální rovnici 1. řádu: ∂u (t ) R ⋅ C ⋅ C + u C (t ) = U 0 ∂t Řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu 3. Obecné řešení diferenciální rovnice: z předešlé diferenciální rovnice vytvoříme homogenní diferenciální rovnici, a to tak, že levou část rovnice položíme rovnu nule, což už je splněno vlivem chování obvodu a osamostatníme ∂ u (t ) člen obsahující stavovou veličinu bez derivace: R ⋅ C ⋅ C + u C (t ) = 0 ∂t


- 19 -



Řešení této homogenní rovnice hledáme ve tvaru u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t , toto řešení dosadíme do homogenní diferenciální rovnice a spočteme. Po dosazení:

R ⋅C ⋅


R ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : 1 R ⋅C Dosadíme do hledaného řešení a získáme řešení v následujícím tvaru: R ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = −

u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t ⇒ u 0 (t ) = K ⋅ e

−

1 ⋅t R⋅C


1

λ


řešení homogenní rovnice má konečnou podobu ve tvaru: t

u 0 (t ) = K ⋅ e , kde τ = R ⋅ C = 500 ⋅ 2 ⋅ 10 −6 = 0,001 [s ] = 1 [ms ] je časová konstanta. −

τ

4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé po sepnutí spínače S. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je nabitý na celé napětí U0 stejnosměrného zdroje u C (t = 5τ ) = U 0 . Ideální kondenzátor nyní představuje prvek

C ⋅ U 02 , která zůstane nahromaděna 2 v polarizovaném dielektriku. Tím je budoucí ustálený stav vyřešen:

s akumulovanou energií elektrického pole WC = u p = u C (t → ∞) = konst. = U 0


t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C a u P = U 0 u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

+ U 0 , kde τ = R ⋅ C

Pro určení integračních konstant vycházíme z počátečních podmínek, kdy platí, že stav obvodu těsně před sepnutím je roven stavu obvodu těsně po sepnutí.

- 20 -




u C (t = 0−) = u C (t = 0+) 0 = u 0 (t = 0) + u P 0 = K ⋅e

−

0

τ

+U0 ,

e

−

0

τ

=1


−

t

τ

u C (t ) = −U 0 ⋅ e


t

τ


t −  −t   u C (t ) = U 0 ⋅  − e τ + 1 = U 0 ⋅ 1 − e τ   

  , kde τ = R ⋅ C  

τ = R ⋅ C = 500 ⋅ 2 ⋅ 10 −6 = 0,001 [s ] = 1 [ms ] 7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní dopočítáme pomocí vztahu pro uC(t) hodnotu nabíjecího proudu, z něhož následně dopočítáme v čase t = 3 [ms], kdy byl nabíjecí proud 5 [mA], napětí U0 stejnosměrného zdroje, z něhož se ideální kondenzátor nabíjí. Dále pomocí Ohmova zákona dopočteme hodnotu úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru způsobeného procházejícím proudem: t t t  −      − −    τ  τ τ       ∂ U 0 ⋅ 1 − e  ∂ − ⋅ + ∂ − ⋅ U e U U e  0 0 0     ∂ (U )   ∂u c (t )       +  0  =C⋅ = C⋅ = =C⋅ iC (t ) = C ⋅ ∂t ∂t ∂t ∂t  ∂t    

  −t  ∂ e τ  = C ⋅ (− U 0 ) ⋅   ∂t  

   −τt   e  ∂  t t      + 0 = −U ⋅ C ⋅   = −U ⋅ C ⋅  − 1  ⋅ e −τ = U 0 ⋅ e −τ , kde τ = R ⋅ C   0 0  R ⋅C  ∂t R    t t − U 0 −τ τ u R (t ) = R ⋅ iC (t ) = R ⋅ ⋅ e = U 0 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C R t − U iC (t = 3 [ms ]) = 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C R Napětí uR(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = U 0 , odtud: u R (t ) = U 0 − u C (t ) , po dosazení za uC(t): t −   u R (t ) = U 0 − U 0 ⋅ 1 − e τ , kde τ = R ⋅ C , po vytknutí U0:   t t t   −  −  −  τ  τ  τ   u R (t ) = U 0 ⋅ 1 − 1 − e  = U 0 ⋅ 1 − 1 + e  = U 0 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C     

Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR(t) v obou případech stejně.


- 21 -



Dosadíme hodnoty: iC(t) = 5 [mA], R = 500 [Ω], t = 3 [ms], τ = 1 [ms], e = 2,7182818 [-]: U 0 − 13 5 ⋅ 10 −3 = ⋅ e , spočteme hodnotu exponenciální funkce e-3: 500 U0 5 ⋅ 10 −3 = ⋅ 0,05 , celou rovnici vynásobíme 500 a vydělíme 0,05: 500 U 0 = 50 [V ] , toto je výsledek, tedy hledané napětí U0 stejnosměrného zdroje, z něhož se ideální kondenzátor nabíjí. 8. Kontrola správnosti výsledků: Pro ověření správnosti spočteme hodnotu úbytku napětí uR(t = 3 [ms]) a hodnotou napětí na ideálním kondenzátoru uC(t = 3 [ms]). Obě tyto hodnoty sečteme a podle II. Kirchhoffova zákona by mělo platit, že se jejich součet rovná hodnotě napětí stejnosměrného zdroje U0:

u R (t ) + u C (t ) = U 0 Dosadíme známé hodnoty: U0 = 50 [V], R = 500 [Ω],t =3 [ms], τ = 1 [ms], e = 2,7182818 [-]: u R (t = 3[ms ]) = R ⋅ iC (t = 3[ms ]) = 500 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = 2,5 [V ] t 3 −  −    τ  1    u C (t = 3[ms ]) = U 0 ⋅ 1 − e  = 50 ⋅ 1 − e  = 50 ⋅ (1 − 0,05) = 50 ⋅ 0,95 = 47,5 [V ]     u R (t ) + u C (t ) = U 0

Obě napětí sečteme:

2,5 + 47,5 = 50 50 = 50

Výsledky jsou správné, jak o tom svědčí kontrola správnosti výsledků. 9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření: t −   −τt   τ     Časový průběh napětí uC(t): u C (t ) = U 0 ⋅  − e + 1 = U 0 ⋅ 1 − e  , kde τ = R ⋅ C     Napětí U0 stejnosměrného zdroje, z něhož se ideální kondenzátor nabíjí: U 0 = 50 [V ]

Grafické znázornění časového průběhu napětí uC(t) a uR(t):

- 22 -




Simulace časového průběhu napětí uC(t) provedená v programu Multisim:

Řešené příklady: Příklad 2 Stanovte časový průběh napětí uC(t) v obvodu reálného kondenzátoru, dále vypočtěte svodový odpor tohoto kondenzátoru, víte-li, že je jeho kapacita C = 40 [µF], a že byl kondenzátor nabit na napětí U1 = 250 [V] a vybíjením přes vlastní svodový odpor na něm toho napětí kleslo na U2 = 100 [V] za dobu 50 [min]. Schéma zapojení:

Řešení: Pozn.: Svodový odpor reálného kondenzátoru vypočtete ze vztahu pro časovou konstantu τ daného obvodu přechodového jevu. Časovou konstantu τ určete zlogaritmováním (přirozeným logaritmem, abyste odstranily exponenciální funkci, charakterizovanou Eulerovou konstantou „e“ a získaly tak exponent této exponenciální funkce, ve kterém je obsažena velikost hodnoty časové konstanty daného obvodu přechodového jevu) výsledného vztahu pro časový průběh napětí uC(t). 1. Určení stavové veličiny: uC(t)


- 23 -



2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí:

u R (t ) + u C (t ) = 0 Rovnici přepíšeme pomocí Ohmova zákona do tvaru Ö získáme diferenciální rovnici 1. řádu: ∂u (t ) R ⋅ C ⋅ C + u C (t ) = 0 ∂t Řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu 3. Obecné řešení diferenciální rovnice: Předešlá diferenciální rovnice je již homogenní diferenciální rovnici, neboť je levá část rovna nule a osamostatněný člen obsahující stavovou veličinu bez derivace: ∂ u (t ) R ⋅ C ⋅ C + u C (t ) = 0 ∂t



R ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : 1 R ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = − R ⋅C Dosadíme do hledaného řešení a získáme řešení v následujícím tvaru: u 0 (t ) = K ⋅ e

λ ⋅t

⇒ u 0 (t ) = K ⋅ e

−

1 ⋅t R ⋅C


1

λ



t

u 0 (t ) = K ⋅ e , kde τ = R ⋅ C je časová konstanta. τ

4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé od okamžiku počátku vybíjení. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je zcela vybitý vlastním svodovým odporem a je na něm nulové napětí u C (t = 5τ ) = 0 . Veškerá energie elektrického pole nahromaděná v reálného kondenzátoru se přeměnila na svodovém odporu v tepelné ztráty Ö teplo Ö Jouleovy ztráty, tudíž je elektrické pole ideálního kondenzátoru bez energie a zanikne. Na svodovém odporu se již žádná energie elektrického pole nepřemění na tepelné ztráty, neboť je elektrické pole reálného kondenzátoru bez energie.

- 24 -




Navíc obvodem neprochází žádný proud, který by způsoboval podle Ohmova zákona úbytek napětí na svodovém odporu a proto bude i tento úbytek napětí na svodovém odporu nulový. Tím je budoucí ustálený stav vyřešen: u P = u C (t → ∞) = konst. = 0 5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, obvod v minulém ustáleném stavu: Ustálený stav před vznikem přechodového jevu, tedy v době těsně před okamžikem počátku vybíjení. Víme, že v tomto stavu byl reálný kondenzátor nabit na hodnotu napětí U1 a následně se začal vybíjet, předpokládejme, že v tomto okamžiku začalo vybíjení a tudíž v době těsně před tímto okamžikem přes reálným kondenzátorem přes svodový odpor netekl žádný proud, a proto na svodovém odporu nemůže vzniknout úbytek napětí dle Ohmova zákona vlivem protékajícího proudu. Reálný kondenzátor je nabitý na napětí U1 a v jeho C ⋅U 2 . Tím je dielektriku je nahromaděna určitá energie elektrického pole, dle vztahu WC = 2 vyřešen minulý ustálený stav: u C (t < 0) = U 1 = 250 [V ], ekv. zápis u C (t = 0−) = U 1 = 250 [V ] 6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení: Do řešení přechodového jevu dosadíme za obecné a partikulární řešení spočtené hodnoty: −

t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e , kde τ = R ⋅ C a u P = 0 u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

+ 0 , kde τ = R ⋅ C

τ

Pro určení integračních konstant vycházíme z počátečních podmínek, kdy platí, že stav obvodu těsně před počátkem vybíjení je roven stavu obvodu těsně po začátku vybíjení. u C (t = 0−) = u C (t = 0+ ) U 1 = u 0 (t = 0) + u P U1 = K ⋅ e

−

0

τ

+0,

e

−

0

τ

=1

U 1 = K , toto je hodnota integrační konstanty

Po dosazení integrační konstanty K do vzorce pro řešení přechodového jevu: −

t

u C (t ) = U 1 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C τ

7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní dopočítáme pomocí předchozího vztahu velikost procházejícího proudu odvodem a následně dopočítáme pomocí Ohmova zákona hodnotu úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru způsobeného procházejícím proudem: t −  ∂U 0 ⋅ e τ ∂u (t ) iC (t ) = C ⋅ c = C ⋅  ∂t ∂t t −  U u R (t ) = R ⋅ iC (t ) = R ⋅  − 0 ⋅ e τ  R

  −τt  e ∂    = C ⋅U ⋅  0 ∂t

  t t   = U ⋅ C ⋅  − 1  ⋅ e − τ = − U 0 ⋅ e −τ   0 R  R ⋅C 

t −   = −U 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C  


- 25 -



Napětí uR(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = 0 , odtud: u R (t ) = −u C (t ) , po dosazení za uC(t): −

t

u R (t ) = −U 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR(t) v obou případech stejně. Nyní dopočítáme pomocí vztahu pro uC(t) hodnotu časové konstanty, kdy víme, že byl reálný kondenzátor nabitý na hodnotu napětí U1 = 250 [V], a v čase t = 50 [min] = 3000 [s] se přes vlastní svodový odpor vybil na napětí U2 = 100 [V], následně z velikosti vypočtené časové konstanty dopočítáme velikost svodového odporu reálného kondenzátoru: t

u C (t = 3000 [ms ]) = U 1 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C −

τ

Abychom získaly hodnotu časové konstanty τ, musíme nejprve osamostatnit člen exponenciální funkce. Celou rovnici vydělíme hodnotu U1: t

− u C (t ) = e τ , odstraníme exponenciální funkci, celou rovnici zlogaritmujeme přirozeným U1 logaritmem („ln“ – jde o inverzní operaci k „e“, kdy platí, že ln(e) = 1, respektive ln(ex) = x):  u (t )  t ln C  = − , osamostatníme hodnotu časové konstanty τ (vynásobíme rovnici zápornou τ  U1 

časovou konstantou τ a vydělíme hodnotou celého členu levé strany: t , tím je hodnota časové konstanty τ vyjádřena. Dosadíme známe hodnoty a  u C (t )   ln  U1  spočtete její velikost U1 = 250 [V], uC(t = 3000 [ms]) = U2 = 100 [V],t = 3000 [ms]:

τ =−

3000 3000 − 3000 3000 =− = = = 3274,07 [s ] ln(0,4 ) − 0,91629073 0,91629073  100  ln   250  Ze známé hodnoty časové konstanty τ a vztahu pro tuto konstantu τ = R.C, spočteme hodnotu svodového odporu reálného kondenzátoru, přičemž víme, že C = 40 [µF]:

τ =−

τ = R ⋅C ⇒ R =

τ C

=

3274,07 = 81,85 [MΩ] 40 ⋅ 10 −6

A toto je již výsledek, tedy hledaná hodnota svodového odporu reálného kondenzátoru, kterým se reálný kondenzátor vybil z 250 [V] na 100 [V] za 50 [min]. 8. Kontrola správnosti výsledků: Pro ověření správnosti spočteme hodnotu napětí na reálném kondenzátoru uC(t = 3000 [s]) při známé velikosti svodového odporu reálného kondenzátoru, tuto hodnotu porovnáme s hodnotou U2 = 100 [V], na níž by se měl v tomto časovém okamžiku reálný kondenzátor vybít:

- 26 -


Učební texty pro Elektrotechniku −


t

u C (t = 3000[s ]) = U 1 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C = 81,85 ⋅ 10 6 ⋅ 40 ⋅ 10 −6 = 3274 [s ] τ

Dosadíme známé hodnoty: U1 = 250 [V], uC(t = 3000 [ms]) = U2 = 100 [V], t = 3000 [ms], e = 2,7182818 [-]: 100 = 250 ⋅ e

−

3000 3274

100 = 250 ⋅ 2,7182818 −0,91631032376 100 = 250 ⋅ 0,4 100 = 100

Výsledky jsou správné, jak o tom svědčí kontrola správnosti výsledků. 9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření: −

t

Časový průběh napětí uC(t): u C (t ) = U 1 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C τ

Hodnota svodového odporu, přes nějž se vybíjí reálný kondenzátor: R = 81,85 [MΩ] Grafické znázornění časového průběhu napětí uC(t) a uR(t):


- 27 -



Řešené příklady: Příklad 3 Určete časový průběh napětí uC(t) na ideálním kondenzátoru při nabíjení kondenzátoru, dále stanovte dobu t, za níž bude velikost napětí na ideálním kondenzátoru stejně velká jako velikost napětí na ideálním rezistoru. Schéma zapojení:


Řešení: Pozn.: Hodnotu času, za níž budou obě napětí stejně velká, vypočtete ze vztahu pro časovou konstantu τ daného obvodu přechodového jevu. Časovou konstantu τ určete zlogaritmováním (přirozeným logaritmem, abyste odstranily exponenciální funkci, charakterizovanou Eulerovou konstantou „e“ a získaly tak exponent této exponenciální funkce, ve kterém je obsažena velikost hodnoty časové konstanty daného obvodu přechodového jevu) konečného výsledku plynoucího z rovnosti obou napětí uC(t) = uR(t). 1. Určení stavové veličiny: uC(t) 2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí:

u R (t ) + u C (t ) = U 0 Rovnici přepíšeme pomocí Ohmova zákona do tvaru Ö získáme diferenciální rovnici 1. řádu: R ⋅C ⋅

∂u C (t ) + u C (t ) = U 0 ∂t

Řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu 3. Obecné řešení diferenciální rovnice: Předešlá diferenciální rovnice je již homogenní diferenciální rovnici, neboť je levá část rovna nule a osamostatněný člen obsahující stavovou veličinu bez derivace: R ⋅C ⋅

- 28 -

∂ u C (t ) + u C (t ) = 0 ∂t





(

)


R ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : R ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = −

1 R ⋅C

Dosadíme do hledaného řešení a získáme řešení v následujícím tvaru: u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t ⇒ u 0 (t ) = K ⋅ e

−

1 ⋅t R ⋅C


1

λ



t

u 0 (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C je časová konstanta. 4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé po sepnutí spínače S. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je nabitý na celé napětí U0 stejnosměrného zdroje u C (t = 5τ ) = U 0 . Ideální kondenzátor nyní představuje prvek

C ⋅ U 02 , která zůstane nahromaděna s akumulovanou energií elektrického pole WC = 2 v polarizovaném dielektriku. Tím je budoucí ustálený stav vyřešen: u p = u C (t → ∞) = konst. = U 0 5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, obvod v minulém ustáleném stavu: Ustálený stav před vznikem přechodového jevu, tedy v době těsně před sepnutím spínače S. Víme, že v tomto stavu v rozpojeném obvodu neteče žádný proud, a proto na rezistoru s odporem R nemůže vzniknout úbytek napětí dle Ohmova zákona vlivem protékajícího proudu, a ideální kondenzátor se nebude nabíjet na žádné napětí, z čehož plyne, že nemůže hromadit náboj a tudíž jeho dielektrikum nebude hromadit energii. Tím je vyřešen minulý ustálený stav: u C (t < 0) = 0 , ekvivalentní zápis u C (t = 0−) = 0 6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení: Do řešení přechodového jevu dosadíme za obecné a partikulární řešení spočtené hodnoty: −

t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C a u P = U 0 u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

+ U 0 , kde τ = R ⋅ C

Pro určení integračních konstant vycházíme z počátečních podmínek, kdy platí, že stav obvodu těsně před sepnutím je roven stavu obvodu těsně po sepnutí.


- 29 -



u C (t = 0−) = u C (t = 0+ ) 0 = u 0 (t = 0) + u P 0 = K ⋅e

−

0

τ

+U0 ,

e

−

0

τ

=1


−

t

τ

u C (t ) = −U 0 ⋅ e


t

τ


t −  −t   u C (t ) = U 0 ⋅  − e τ + 1 = U 0 ⋅ 1 − e τ   

  , kde τ = R ⋅ C  

7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní dopočítáme pomocí vztahu pro uC(t) hodnotu nabíjecího proudu, z něhož následně dopočítáme pomocí Ohmova zákona hodnotu úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru způsobeného procházejícím proudem. Obě hodnoty porovnáme a získáme tak hodnotu hledané doby t: t t t  −      − −    τ   − U 0⋅ e τ + U 0   − U 0⋅ e τ  ∂ U 0 ⋅ 1 − e   ∂ ∂        ∂ (U )  ∂u c (t )     = C⋅   = C⋅  + 0  = C⋅  = iC (t ) = C ⋅  ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t     

  −t  ∂ e τ  = C⋅ (− U 0 ) ⋅   ∂t  

   −τt   ∂ e   t t   + 0 = −U ⋅ C⋅   = −U ⋅ C⋅  − 1  ⋅ e −τ = U 0 ⋅ e −τ , kde τ = R ⋅ C   0 0  R ∂t  R ⋅C    t t − − U u R (t ) = R ⋅ iC (t ) = R ⋅ 0 ⋅ e τ = U 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C R Napětí uR(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = U 0 , odtud: u R (t ) = U 0 − u C (t ) , po dosazení za uC(t): t −   τ   u R (t ) = U 0 − U 0 ⋅ 1 − e  , kde τ = R ⋅ C , po vytknutí U0:   t t t   −  −  −  τ  τ  τ   u R (t ) = U 0 ⋅ 1 − 1 − e  = U 0 ⋅ 1 − 1 + e  = U 0 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C     

Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR(t) v obou případech stejně. Nyní spočteme ze známých vztahů pro hodnotu napětí uC(t) na kondenzátoru a pro hodnotu úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru hodnotu času t. Víme, že se má velikost obou napětí v tomto časovém okamžiku t rovnat: - 30 -




u R (t ) = u C (t ) , dosadíme vyjádřené vztahy za obě veličiny U0 ⋅e e e

e

− − −

−

t −  = U 0 ⋅ 1 − e τ 

t

τ

t

τ

−

t

τ

t

= 1 − e τ , členy s exponenciální funkcí převedeme na jednu stranu rovnice

t

τ

  , celou rovnici vydělíme hodnotou U0  

+e

−

t

τ

= 1 , na pravé straně rovnice vytkneme z obou členů exponenciální funkci

⋅ (1 + 1) = 1 , sečteme obě čísla v závorce a výsledek zapíšeme před exponenciální funkci t

t

1 , odstraníme exponenciální funkci, 2 celou rovnici zlogaritmujeme přirozeným logaritmem („ln“ – jde o inverzní operaci k „e“, kdy platí, že ln(e) = 1, respektive ln(ex) = x): 2⋅e

−

= 1 , celou rovnici vydělíme číslem 2: e

τ

−

τ

=

1 = ln  , osamostatníme hodnotu času, celou rovnici vynásobíme hodnotou časové τ 2 konstanty τ a vynásobíme číslem -1: −

t

  1  t = − τ ⋅ ln  , tím je čas t vyjádřen. Nyní dočteme hodnotu přirozeného logaritmu 0,5:  2   t = − [τ ⋅ (− 0,693)] , upravíme rovnici do konečné podoby (záporné znaménko násobené záporným znaménkem je rovno kladnému znaménku):

t = 0,693 ⋅ τ , toto je již hledaný výsledek doby t, za níž budou obě napětí stejně velká, resp. hodnota napětí uC(t) na kondenzátoru a hodnota úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru se budou v tomto časovém okamžiku t rovnat. 8. Kontrola správnosti výsledků: Pro ověření správnosti vyjde ze zadání, kdy je známa skutečnost, že se obě hodnoty napětí v časovém okamžiku t mají rovnat, resp. velikost napětí uC(t) na ideálním kondenzátoru a velikost úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru mají mít v době t stejnou velikost. Dále víme, že námi spočtená velikost tohoto času je t = 0,693. τ: u R (t ) = u C (t ) , dosadíme vyjádřené vztahy za obě veličiny

U0 ⋅e e e

− − −

−

t

τ

t −  τ  = U 0 ⋅ 1 − e 

0 , 693⋅τ

τ

= 1− e

0 , 693⋅τ

τ

+e

−

−

  , celou rovnici vydělíme hodnotou U0 a dosadíme za t = 0,693.τ  

0 , 693⋅τ

τ

, členy s exponenciální funkcí převedeme na jednu stranu rovnice

0 , 693⋅τ

τ

= 1 , na pravé straně rovnice vytkneme z obou členů exponenciální funkci

0 , 693⋅τ

e τ ⋅ (1 + 1) = 1 , sečteme obě čísla v závorce a výsledek zapíšeme před exponenciální funkci, dále v exponentu exponenciální funkce zkrátíme proti sobě hodnotu τ : 1 2 ⋅ e −0, 693 = 1 , celou rovnici vydělíme číslem 2: e −0, 693 = , spočteme exponenciální funkci, 2 neboť víme, že e = 2,7182818 [-]: 0,5 = 0,5 , jak je patrné z vypočtené rovnosti, je výsledek hledané doby t = 0,693 ⋅ τ správný. Výsledky jsou správné, jak o tom svědčí kontrola správnosti výsledků.


- 31 -



9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření: t −  −τt   τ    Časový průběh napětí uC(t): u C (t ) = U 0 ⋅  − e + 1 = U 0 ⋅ 1 − e   

  , kde τ = R ⋅ C  

Doba t, za níž budou obě napětí stejně velká, resp. hodnota napětí uC(t) na kondenzátoru a hodnota úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru se budou v tomto rovnat: t = 0,693 ⋅ τ Grafické znázornění časového průběhu napětí uC(t) a uR(t):


- 32 -




Řešené příklady: Příklad 4 Určete časový průběh napětí uC(t) na ideálním kondenzátoru při nabíjení kondenzátoru, dále stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru C v zapojení dle schématu, víte-li, že ideální rezistor má odpor 200 [Ω] a ideální kondenzátor je nabíjen ze stejnosměrného zdroje napětí U0 = 10 [V]. Dále je známa skutečnost, kdy odvodem za 1 [ms] po sepnutí spínače S procházel nabíjecí proud o velikosti 0,34 [mA]. Schéma zapojení:


Řešení: Pozn.: Velikost kapacity C ideálního kondenzátoru spočtěte z hodnoty časové konstanty τ daného obvodu přechodového jevu. Časovou konstantu τ určete zlogaritmováním (přirozeným logaritmem, abyste odstranily exponenciální funkci, charakterizovanou Eulerovou konstantou „e“ a získaly tak exponent této exponenciální funkce, ve kterém je obsažena velikost hodnoty časové konstanty daného obvodu přechodového jevu) výsledného vztahu pro časový průběh napětí uC(t) v obvodu přechodového jevu. 1. Určení stavové veličiny: uC(t) 2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí:


∂u C (t ) + u C (t ) = U 0 ∂t

Řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu 3. Obecné řešení diferenciální rovnice: Z předešlé diferenciální rovnice vytvoříme homogenní diferenciální rovnici, a to tak, že levou část rovnice položíme rovnu nule, což už je splněno vlivem chování obvodu a osamostatníme člen obsahující stavovou veličinu bez derivace:


- 33 -

Ing. Kindrát Alexandr R ⋅C ⋅


∂ u C (t ) + u C (t ) = 0 ∂t

Řešení této homogenní rovnice hledáme ve tvaru u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t , toto řešení dosadíme do homogenní diferenciální rovnice a spočteme. Po dosazení:

(

)

∂ K ⋅ e λ ⋅t R ⋅C ⋅ + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , řešíme derivaci: ∂t R ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : R ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = −

1 R ⋅C


λ ⋅t

⇒ u 0 (t ) = K ⋅ e

−

1 ⋅t R⋅C


1

λ



t


4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé po sepnutí spínače S. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je nabitý na celé napětí U0 stejnosměrného zdroje u C (t = 5τ ) = U 0 . Kondenzátor teď představuje prvek s akumulovanou

C ⋅ U 02 , ta zůstane nahromaděna v polarizovaném dielektriku. 2 Tím je budoucí ustálený stav vyřešen: u p = u C (t → ∞) = konst. = U 0 = 10 [V ] energií elektrického pole WC =


t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C a u P = U 0 −

t

u C (t ) = K ⋅ e τ + U 0 , kde τ = R ⋅ C Pro určení integračních konstant vycházíme z počátečních podmínek, kdy platí, že stav obvodu těsně před sepnutím je roven stavu obvodu těsně po sepnutí. - 34 -




u C (t = 0−) = u C (t = 0+ ) 0 = u 0 (t = 0) + u P −

0

−

0

0 = K ⋅e +U0 , e =1 0 = K + U 0 , odtud je integrační konstanta rovna: K = −U 0 Po dosazení integrační konstanty K do vzorce pro řešení přechodového jevu: u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

u C (t ) = −U 0 ⋅ e

τ

τ


t

τ


t −  −t   u C (t ) = U 0 ⋅  − e τ + 1 = U 0 ⋅ 1 − e τ   

  , kde τ = R ⋅ C  

7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní dopočítáme pomocí vztahu pro uC(t) hodnotu nabíjecího proudu, z něhož následně dopočítáme v čase t = 1 [ms], kdy byl nabíjecí proud 0,34 [mA], časovou konstantu τ, z níž následně dopočteme velikost kapacity ideálního kondenzátoru C. Dále pomocí Ohmova zákona dopočteme hodnotu úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru způsobeného procházejícím proudem: t t t  −      − −    τ  τ τ       ∂ U 0 ⋅ 1 − e  ∂ − ⋅ + ∂ − ⋅ U e U e U  0 0 0      ∂ (U )  ∂u c (t )        + 0  =C⋅ =C⋅ = C⋅ = iC (t ) = C ⋅ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t     

  −t  ∂ e τ  = C ⋅ (− U 0 ) ⋅   ∂t  

   −τt   e  ∂  t t      + 0 = −U ⋅ C ⋅   = −U ⋅ C ⋅  − 1  ⋅ e −τ = U 0 ⋅ e −τ , kde τ = R ⋅ C   0 0  R R ⋅C  ∂t    t t − U 0 −τ τ u R (t ) = R ⋅ iC (t ) = R ⋅ ⋅ e = U 0 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C R t − U iC (t = 1[ms ]) = 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C R Napětí uR(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = U 0 , odtud: u R (t ) = U 0 − u C (t ) , po dosazení za uC(t): t −   τ   u R (t ) = U 0 − U 0 ⋅ 1 − e , kde τ = R ⋅ C , po vytknutí U0:   t t t   −  −  −  τ τ τ u R (t ) = U 0 ⋅ 1 − 1 − e  = U 0 ⋅ 1 − 1 + e  = U 0 ⋅ e , kde τ = R ⋅ C      Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR(t) v obou případech stejně.


- 35 -



Nyní dopočítáme pomocí vztahu pro iC(t) hodnotu časové konstanty τ, víme-li, že ideální rezistor má odpor 200 [Ω] a ideální kondenzátor je nabíjen ze stejnosměrného zdroje napětí U0 = 10 [V]. Dále víme, že odvodem za 1 [ms] po sepnutí spínače S procházel nabíjecí proud o velikosti 0,34 [mA], následně z velikosti vypočtené časové konstanty τ dopočteme velikost kapacity ideálního kondenzátoru: t

− U iC (t = 1[ms ]) = 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C R

Abychom získaly hodnotu časové konstanty τ, musíme nejprve osamostatnit člen exponenciální funkce. Celou rovnici vydělíme hodnotu U0 a vynásobíme hodnotou R: t − iC (t ) ⋅ R τ = e , odstraníme exponenciální funkci, celou rovnici zlogaritmujeme přirozeným U0 logaritmem („ln“ – jde o inverzní operaci k „e“, kdy platí, že ln(e) = 1, respektive ln(ex) = x):  i (t ) ⋅ R  t  = − , osamostatníme hodnotu časové konstanty τ (vynásobíme celou rovnici ln C τ  U0  hodnotou časové konstanty τ a vydělíme hodnotou celého členu levé strany: t , tím je časová konstanta τ vyjádřena. Dosadíme známe hodnoty a τ =−  iC (t ) ⋅ R   ln U 0  

spočtete její velikost: U0 = 10 [V], R = 200 [Ω], iC(t = 1 [ms]) = 0,34 [mA], t = 1 [ms]:

τ =−

1 ⋅ 10 −3

=−

1 ⋅ 10 −3 − 1 ⋅ 10 −3 = = 0,0002 [s ] = 0,2 [ms ] ln(0,0068) − 4,9908326668

 0,34 ⋅ 10 −3 ⋅ 200   ln 10   Ze známé hodnoty časové konstanty τ a vztahu pro tuto konstantu τ = R ⋅ C , spočteme hodnotu kapacity ideálního kondenzátoru, přičemž víme, že R = 200 [Ω]: τ 0,0002 τ = R ⋅C ⇒ C = = = 0,000001[F ] = 1 [µF ] R 200 A toto je již výsledek, tedy hledaná hodnota kapacity ideálního kondenzátoru. 8. Kontrola správnosti výsledků: Pro ověření správnosti spočteme hodnotu úbytku napětí uR(t = 1 [ms]) a hodnotou napětí na ideálním kondenzátoru uC(t = 1 [ms]). Obě tyto hodnoty sečteme a podle II. Kirchhoffova zákona by mělo platit, že se jejich součet rovná hodnotě napětí stejnosměrného zdroje U0:

u R1 (t ) + u C (t ) = U 0 dosadíme známé hodnoty: U0 = 10 [V],R = 200 [Ω],t =3 [ms],τ = 0,2 [ms],e = 2,7182818 [-]: u R (t = 1[ms ]) = R ⋅ iC (t = 3[ms ]) = 200 ⋅ 0,34 ⋅ 10 −3 = 0,068 [V ] 1 t −   −   0 τ u C (t = 1[ms ]) = U 0 ⋅ 1 − e  = 10 ⋅ 1 − e , 2  = 10 ⋅ (1 − 0,006737947 ) = 10 ⋅ 0,9932 = 9,932 [V ]       u R (t ) + u C (t ) = U 0

Obě napětí sečteme: 0,068 + 9,932 = 10 10 = 10 Výsledky jsou správné, jak o tom svědčí kontrola správnosti výsledků.

- 36 -


Učební texty pro Elektrotechniku 9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření: t −    −t Časový průběh napětí uC(t): u C (t ) = U 0 ⋅  − e τ + 1 = U 0 ⋅ 1 − e τ   


  , kde τ = R ⋅ C  

Hodnota kapacity C ideálního kondenzátoru je: C = 1 [µF ] Grafické znázornění časového průběhu napětí uC(t) a uR(t):



- 37 -



Řešené příklady: Příklad 5 Určete časový průběh napětí uC(t) na ideálním kondenzátoru při nabíjení kondenzátoru, dále stanovte dobu t, za kterou vzroste napětí na tomto kondenzátoru na hodnotu U1 = 140 [V] od okamžiku sepnutí spínače S, resp. připojení zdroje stejnosměrného napětí U0 = 200 [V] do obvodu. Dále jsou dány hodnoty odporu jednotlivých rezistorů R1 = 1 [kΩ], R2 = 2 [kΩ], R3 = 3 [kΩ] a velikost kapacity ideálního kondenzátoru C = 1 [µF]. Schéma zapojení:


Řešení: Pozn.: Velikost doby t, za níž vzroste napětí na kondenzátoru na hodnotu U1 = 140 [V] od okamžiku sepnutí spínače S, resp. připojení zdroje stejnosměrného napětí U0 = 200 [V] do obvodu, určete zlogaritmováním (přirozeným logaritmem, abyste odstranily exponenciální funkci, charakterizovanou Eulerovou konstantou „e“ a získaly tak exponent exponenciální funkce, v níž je obsažena velikost hledaného času t) výsledného vztahu pro časový průběh napětí uC(t) v obvodu přechodového jevu. Nejprve však pro snazší výpočet převeďte schéma zapojení pomocí Théveninovy poučky na náhradní schéma zapojení. Schéma zapojení pro výpočet U0ekv:

Schéma zapojení pro výpočet Riekv:

0. Převedení schématu zapojení pomocí Théveninovy poučky na náhradní schéma zapojení s ekvivalentním (náhradním) zdrojem napětí U0ekv a vnitřním odporem Riekv: Základní podmínka lineárnosti všech obvodových prvků je splněna, a tím platí věta, že libovolný obvod složený z lineárních prvků a mající dvě výstupní svorky, k nimž je připojen klíčový prvek (v našem případě ideální kondenzátor s kapacitou C), se chová k těmto svorkám, resp. ke klíčovému prvku stejným způsobem jako odvod tvořený ekvivalentním (náhradním) zdrojem napětí U0ekv spojený do série s rezistorem Riekv, který představuje vnitřní odpor ekvivalentního zdroje napětí U0ekv. Napětí U0ekv ekvivalentního (náhradního) zdroje je rovno velikosti napětí na výstupních svorkách daného obvodu při odpojeném klíčovém prvku (napětí naprázdno), jak je patrné ze schématu zapojení pro výpočet U0ekv. Toto napětí se pro tento konkrétní případ rovná: R3 3000 3 U 0 ekv = U 0 ⋅ = 200 ⋅ = 200 ⋅ = 150 [V ] R1 + R3 4 1000 + 3000

- 38 -




Pozn.: Přes rezistor R2 neteče žádný proud, neboť se nachází v části obvodu s rozpojenými svorkami. Díky této skutečnosti ho, můžeme zcela z řešení napětí U0ekv ekvivalentního (náhradního) zdroje vypustit. Obvod schématu zapojení pro výpočet U0ekv se tedy chová jako nezatížený dělič napětí. Vzhledem k tomuto faktu je velmi jednoduché spočíst velikost napětí U0ekv ekvivalentního (náhradního) zdroje. Lze vyjít i z rovnosti proudu a Ohmova zákona:

I=I U 0ekv U0 = R3 R1 + R3 U 0 ekv = U 0 ⋅

R3 R3 3000 3 ⇒ U 0ekv = U 0 ⋅ = 200 ⋅ = 200 ⋅ = 150 [V ] R1 + R3 R1 + R3 1000 + 3000 4

Vnitřní odpor Riekv je roven odporu, který bychom naměřili mezi výstupními svorkami daného obvodu při odpojeném klíčovém prvku v případě, že jsou všechny napěťové zdroje zkratovány (tj. nahrazeny zkratem) a všechny proudové zdroje rozpojeny (tj. nahrazeny rozpojenými svorkami), jak je patrné ze schématu zapojení pro výpočet Riekv. Tento odpor se pro tento konkrétní případ rovná: Riekv =

R1 ⋅ R3 3000000 1000 ⋅ 3000 + 2000 = + 2000 = 2750 [Ω] + R2 = R1 + R3 4000 1000 + 3000

Pozn.: Rezistory R1 a R3 jsou k sobě zapojeny paralelně (vedle sebe), proto je jejich výsledný odpor roven podílu součinu jejich odporů ku součtu jejich odporů. Rezistor R2 je k paralelní kombinaci rezistorů R1 a R3 zapojen sériově (za sebou), a tudíž je k výslednému odporu paralelní kombinace rezistorů R1 a R3 hodnota jeho odporu přičtena. Tím je problematika náhradního schématu zapojení vyřešena a díky známé velikosti napětí U0ekv ekvivalentního (náhradního) zdroje a jeho vnitřního odporu Riekv můžeme pokračovat v řešení tohoto přechodového jevu a spočíst velikost doby t, za níž vzroste napětí na kondenzátoru na hodnotu U1 = 140 [V] od okamžiku sepnutí spínače S, resp. připojení zdroje stejnosměrného napětí U0 = 200 [V] do obvodu. 1. Určení stavové veličiny: uC(t) 2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí:

u R (t ) + u C (t ) = U 0 ekv Rovnici přepíšeme pomocí Ohmova zákona do tvaru Ö získáme diferenciální rovnici 1. řádu: Riekv ⋅ C ⋅

∂u C (t ) + u C (t ) = U 0 ekv ∂t

Řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu


- 39 -



3. Obecné řešení diferenciální rovnice: Z předešlé diferenciální rovnice vytvoříme homogenní diferenciální rovnici, a to tak, že levou část rovnice položíme rovnu nule, což už je splněno vlivem chování obvodu a osamostatníme člen obsahující stavovou veličinu bez derivace: Riekv ⋅ C ⋅

∂u C (t ) + u C (t ) = 0 ∂t

Řešení této homogenní rovnice hledáme ve tvaru u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t , toto řešení dosadíme do homogenní diferenciální rovnice a spočteme. Po dosazení: Riekv ⋅ C ⋅

(

)


Riekv ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : 1 Riekv ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = − Riekv ⋅ C Dosadíme do hledaného řešení a získáme řešení v následujícím tvaru: u 0 (t ) = K ⋅ e

λ ⋅t

⇒ u 0 (t ) = K ⋅ e

−

1 ⋅t Riekv ⋅C


1

λ

= Riekv ⋅ C a výsledné obecné řešení

a řešení homogenní rovnice má konečnou podobu ve tvaru: t

u 0 (t ) = K ⋅ e , kde τ = Riekv ⋅ C = 2750 ⋅ 1 ⋅ 10 −6 = 0,00275 [s ] = 2,75 [ms ] je časová konstanta. −

τ

4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé po sepnutí spínače S. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je nabitý na celé napětí U0ekv ekvivalentního (náhradního) zdroje u C (t = 5τ ) = U 0ekv . Ideální kondenzátor nyní představuje

C ⋅ U 02ekv , která zůstane nahromaděna 2 v polarizovaném dielektriku. Tím je budoucí ustálený stav vyřešen:

prvek s akumulovanou energií elektrického pole WC = u p = u C (t → ∞) = konst. = U 0 ekv = 150 [V ]

5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, obvod v minulém ustáleném stavu: Ustálený stav před vznikem přechodového jevu, tedy v době těsně před sepnutím spínače S. Víme, že v tomto stavu v rozpojeném obvodu neteče žádný proud, a proto na rezistoru s odporem Riekv nemůže vzniknout úbytek napětí dle Ohmova zákona vlivem protékajícího proudu, a ideální kondenzátor se nebude nabíjet na žádné napětí, z čehož plyne, že nemůže hromadit náboj a tudíž jeho dielektrikum nebude hromadit energii. Tím je vyřešen minulý ustálený stav: u C (t < 0) = 0 , ekvivalentní zápis u C (t = 0−) = 0 6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení: Do řešení přechodového jevu dosadíme za obecné a partikulární řešení spočtené hodnoty:

- 40 -



Ing. Kindrát Alexandr −

t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e , kde τ = Riekv ⋅ C a u P = U 0ekv u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

τ

+ U 0 ekv , kde τ = Riekv ⋅ C


−

0

τ

+ U 0 ekv ,

e

−

0

τ

=1

0 = K + U 0 ekv , odtud je integrační konstanta rovna: K = −U 0ekv Po dosazení integrační konstanty K do vzorce pro řešení přechodového jevu: u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

+ U 0 ekv , kde τ = Riekv ⋅ C , získáme:

u C (t ) = −U 0 ekv ⋅ e

−

t

τ

+ U 0ekv , kde τ = Riekv ⋅ C , po vytknutí U0ekv dostaneme:

t −    −t u C (t ) = U 0 ekv ⋅  − e τ + 1 = U 0 ekv ⋅ 1 − e τ   

  ,τ = Riekv ⋅ C = 2750 ⋅ 1 ⋅ 10 −6 = 0,00275 [s ] = 2,75 [ms ]  

7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní dopočteme pomocí vztahu pro uC(t) hodnotu času t, za níž vzroste napětí na kondenzátoru na hodnotu U1 = 140 [V] od okamžiku připojení zdroje stejnosměrného napětí U0 = 200 [V]. Dále pomocí Ohmova zákona dopočteme hodnotu úbytku napětí uR(t) na ideálním rezistoru Riekv způsobeného procházejícím proudem: t  −  τ   ∂ U 0ekv ⋅ 1 −e  ∂u c (t )  = C⋅  iC (t ) = C⋅ ∂t ∂t

  −t  ∂ e τ  = C⋅ (− U 0ekv ) ⋅   ∂t  

t t    − −     −U 0ekv ⋅ e τ + U 0 ekv   −U 0 ekv ⋅ e τ ∂ ∂           = C⋅ = C⋅  ∂t ∂t  

   −τt  e ∂      + 0 = −U ⋅ C⋅  0 ekv  ∂t  

u R (t ) = Riekv ⋅ iC (t ) = Riekv ⋅

t

    ∂ (U )  + 0 ekv  = ∂t   

  t t  1  −τ U 0ekv −τ  = −U ⋅ C⋅  −  ⋅ e = ⋅ e ,τ = Riekv ⋅ C 0 ekv  R ⋅C  Riekv iekv   t

− U 0 ekv −τ ⋅ e = U 0 ekv ⋅ e τ , kde τ = Riekv ⋅ C Riekv

Napětí uR(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = U 0 ekv , odtud: u R (t ) = U 0ekv − u C (t ) , po dosazení za uC(t):


- 41 -



t −   τ u R (t ) = U 0 ekv − U 0ekv ⋅ 1 − e , kde τ = Riekv ⋅ C , po vytknutí U0ekv:   t t t   −  −  −  u R (t ) = U 0 ekv ⋅ 1 − 1 − e τ  = U 0ekv ⋅ 1 − 1 + e τ  = U 0 ekv ⋅ e τ , kde τ = Riekv ⋅ C     

Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR(t) v obou případech stejně. Nyní dopočteme pomocí vztahu pro uC(t) hodnotu času t, za níž vzroste napětí na kondenzátoru na hodnotu U1 = 140 [V] od okamžiku připojení zdroje stejnosměrného napětí U0 = 200 [V]: t −   u C (t = ? [ms ]) = U 0 ekv ⋅ 1 − e τ  , kde τ = Riekv ⋅ C   Abychom získaly hodnotu času t, musíme nejprve osamostatnit člen exponenciální funkce. Celou rovnici vydělíme hodnotou U0ekv: t − u C (t ) = 1 − e τ , odečteme 1 U 0ekv t

− u C (t ) −1 = −e τ , celou rovnici vynásobíme – 1, tím se zbavíme záporného znaménka U 0ekv u exponenciální funkce, neboť jinak bychom nemohli logaritmovat, protože logaritmus ze záporného čísla neexistuje.

t

− u (t ) 1− C = e τ , odstraníme exponenciální funkci, celou rovnici zlogaritmujeme přirozeným U 0ekv logaritmem („ln“ – jde o inverzní operaci k „e“, kdy platí, že ln(e) = 1, respektive ln(ex) = x):

 u (t )  t ln1 − C  = − , osamostatníme hodnotu času a to tak, že vynásobíme celou rovnici τ  U 0 ekv  zápornou hodnotou časové konstanty τ :  u (t )  − τ ⋅ ln1 − C  = t , máme vyjádřený hledaný čas a dále už jen dosadíme známé hodnoty a  U 0 ekv  spočtete jeho velikost: U0ekv = 150 [V], uC(t = ? [ms]) = 140 [V], τ = 2,75 [ms]:

 u (t )   140  t = −τ ⋅ ln1 − C  = −2,75 ⋅ 10 −3 ⋅ ln1 −  = −0,00275 ⋅ ln(0,0666666667 ) =  150   U 0 ekv  = −0,00275 ⋅ (− 2,708050201) = 0,00744713805 = 0,007447 [s ] = 7,447 [ms ]

A toto je již výsledek, tedy hledaná hodnota času t, za něhož vzroste napětí na kondenzátoru na hodnotu U1 = 140 [V] od okamžiku připojení zdroje stejnosměrného napětí U0 = 200 [V]. 8. Kontrola správnosti výsledků: Pro ověření správnosti spočteme úbytek napětí uR(t = 7,447 [ms]) a napětí na ideálním kondenzátoru uC(t = 7,447 [ms]). Obě tyto hodnoty sečteme a podle II. Kirchhoffova zákona by mělo platit, že se jejich součet rovná hodnotě napětí stejnosměrného zdroje U0:

- 42 -




u R (t ) + u C (t ) = U 0 ekv Dosadíme známé hodnoty: U0ekv = 150 [V], t = 7,447 [ms], τ = 2,75 [ms],e = 2,7182818 [-], uC(t = 7,447 [ms]) = 140 [V]: u R (t = 7,447[ms ]) = U 0ekv ⋅ e

−

t

τ

= 150 ⋅ e

t −  τ  u C (t = 7,447[ms ]) = U 0ekv ⋅ 1 − e 

−

7 , 447 2 , 75

= 150 ⋅ 0,06667 = 10 [V ]

7 , 447 −    =150⋅ 1 − e 2, 75 = 150 ⋅ (1 − 0,06667 ) =150 ⋅ 0,93333=140 [V ]      

u R (t ) + u C (t ) = U 0ekv


10 + 140 = 150 150 = 150

Výsledky jsou správné, jak o tom svědčí kontrola správnosti výsledků. 9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření:

Časový průběh napětí uC(t): t −   −t  u C (t ) = U 0 ekv ⋅  − e τ +1 = U 0ekv ⋅ 1 − e τ   

 R3  = U 0⋅  R1 + R3 

t −  ⋅ 1 − e τ 

  R ⋅R   ,τ = Riekv ⋅ C =  1 3 + R2 ⋅ C  R +R    1 3  

Hodnota času t, za něhož vzroste napětí na kondenzátoru na hodnotu U1 = 140 [V] od okamžiku připojení zdroje stejnosměrného napětí U0 = 200 [V]: t = 7,447 [ms ] Grafické znázornění časového průběhu napětí uC(t) a uR(t):


- 43 -




Simulace časového průběhu napětí uC(t) pro hodnotu času t, za něhož vzroste napětí na kondenzátoru na hodnotu U1 = 140 [V] od okamžiku připojení zdroje stejnosměrného napětí U0 = 200 [V]: t = 7,447 [ms ] provedená v programu Multisim:

- 44 -




Řešené příklady: Příklad 6 Stanovte časový průběh napětí uC(t) v obvodu zapojeného podle schématu a to po sepnutí spínače S v čase t = 0, nacházel-li se odvod před tímto sepnutím spínače S v ustáleném stavu, dále spočtete odpor ideálního rezistoru R, kterým se nabíjel ideální kondenzátor s kapacitou C = 247 [µF] ze stejnosměrného zdroje napětí U0 = 150 [V], je-li známa skutečnost, že napětí na ideálním rezistoru uR(t) kleslo z hodnoty 55 [V] na hodnotu 20 [V] za dobu odpovídající časovému okamžiku 100 [ms]. Schéma zapojení:


Řešení: Pozn.: Nejprve spočtete hodnoty jednotlivý časových okamžiků t1 a t2 z časového průběhu napětí na ideálním rezistoru uR(t), následně pak odvoďte vztah pro okamžik t, přičemž víte, že t = t2 - t1 = 100 [ms]. Z odvozeného vztahu po té spočtěte velikost časové konstanty τ, ze které pak určíte hodnotu odporu R ideálního rezistoru. Časovou konstantu τ určete zlogaritmováním (přirozeným logaritmem, abyste odstranily exponenciální funkci, charakterizovanou Eulerovou konstantou „e“ a získaly tak exponent této exponenciální funkce, ve kterém je obsažena velikost hodnoty časové konstanty daného obvodu přechodového jevu) výsledného vztahu pro časový průběh napětí uR(t) v obvodu. 1. Určení stavové veličiny: uC(t) 2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí:


∂u C (t ) + u C (t ) = U 0 ∂t

Řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu


- 45 -



3. Obecné řešení diferenciální rovnice: Z předešlé diferenciální rovnice vytvoříme homogenní diferenciální rovnici, a to tak, že levou část rovnice položíme rovnu nule, což už je splněno vlivem chování obvodu a osamostatníme člen obsahující stavovou veličinu bez derivace: ∂ u (t ) R ⋅ C ⋅ C + u C (t ) = 0 ∂t

Řešení této homogenní rovnice hledáme ve tvaru u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t , toto řešení dosadíme do homogenní diferenciální rovnice a spočteme. Po dosazení: ∂ K ⋅ e λ ⋅t R ⋅C ⋅ + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , řešíme derivaci: ∂t

(

)

R ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : 1 R ⋅C Dosadíme do hledaného řešení a získáme řešení v následujícím tvaru: R ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = −

u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t ⇒ u 0 (t ) = K ⋅ e

−

1 ⋅t R⋅C


1

λ



t


4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé po sepnutí spínače S. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor je nabitý na celé napětí U0 stejnosměrného zdroje u C (t = 5τ ) = U 0 . Ideální kondenzátor nyní představuje prvek

C ⋅ U 02 , která zůstane nahromaděna s akumulovanou energií elektrického pole WC = 2 v polarizovaném dielektriku. Tím je budoucí ustálený stav vyřešen: u p = u C (t → ∞) = konst. = U 0 5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, obvod v minulém ustáleném stavu: Ustálený stav před vznikem přechodového jevu, tedy v době těsně před sepnutím spínače S. Víme, že v tomto stavu v rozpojeném obvodu neteče žádný proud, a proto na rezistoru s odporem R nemůže vzniknout úbytek napětí dle Ohmova zákona vlivem protékajícího proudu, a ideální kondenzátor se nebude nabíjet na žádné napětí, z čehož plyne, že nemůže hromadit náboj a tudíž jeho dielektrikum nebude hromadit energii. Tím je vyřešen minulý ustálený stav: u C (t < 0) = 0 , ekvivalentní zápis u C (t = 0−) = 0 6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení: Do řešení přechodového jevu dosadíme za obecné a partikulární řešení spočtené hodnoty: −

t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e , kde τ = R ⋅ C a u P = U 0 - 46 -

τ



u C (t ) = K ⋅ e

−

t


+ U 0 , kde τ = R ⋅ C

τ


−

0

τ

+U0 ,

e

−

0

τ

=1


−

t

τ

u C (t ) = −U 0 ⋅ e


t

τ


t −    −t u C (t ) = U 0 ⋅  − e τ + 1 = U 0 ⋅ 1 − e τ   

  , kde τ = R ⋅ C  

7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní odvodíme pomocí vztahu pro uC(t) vztah pro nabíjecí proud iC(t), z něhož následně odvodíme vztah pro napětí na ideálním rezistoru uR(t). Z časového průběhu napětí na ideálním rezistoru uR(t) vypočteme hodnoty jednotlivý časových okamžiků t1 a t2 odpovídající hodnotám uR(t1) = 55 [V] a uR(t2) = 20 [V], z nich pak t = t2 - t1 = 100 [ms] a následně časovou konstantu τ a odtud pak hodnotu odporu R ideálního rezistoru: t  −  ∂U 0 ⋅ 1 − e τ  ∂u (t )  iC (t ) = C ⋅ c = C ⋅  ∂t ∂t

t t    − −   τ τ     ∂ − U 0 ⋅ e + U 0   ∂ − U 0 ⋅ e      = C⋅  =C⋅ ∂t ∂t  

    ∂ (U )  + 0  = ∂t   

  −τt    ∂ e   t t   = −U ⋅ C ⋅  − 1  ⋅ e −τ = U 0 ⋅ e −τ , kde τ = R ⋅ C  + 0 = −U ⋅ C ⋅    0 0  ∂t R ⋅C  R    t t − − U u R (t ) = R ⋅ iC (t ) = R ⋅ 0 ⋅ e τ = U 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C R   −t  ∂ e τ  = C ⋅ (− U 0 ) ⋅   ∂t  

Napětí uR(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R (t ) + u C (t ) = U 0 , odtud: u R (t ) = U 0 − u C (t ) , po dosazení za uC(t): t −  u R (t ) = U 0 − U 0 ⋅ 1 − e τ 

  , kde τ = R ⋅ C , po vytknutí U0:  


- 47 -



t t t   −  −  −  u R (t ) = U 0 ⋅ 1 − 1 − e τ  = U 0 ⋅ 1 − 1 + e τ  = U 0 ⋅ e τ , kde τ = R ⋅ C      Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR(t) v obou případech stejně.

Pro jednotlivé časové okamžiky t1 a t2 platí: u R (t1 ) = U 0 ⋅ e

−

t1

τ

, kde τ = R ⋅ C a u R (t 2 ) = U 0 ⋅ e

−

t2

τ

, kde τ = R ⋅ C

Z uvedených vztahů vyjádříme hodnoty časových okamžiků t2 a t1: Nejprve časový okamžik t1: −

t1

u R (t1 ) = U 0 ⋅ e τ , abychom získaly hodnotu časového okamžiku t1, musíme osamostatnit člen exponenciální funkce, tedy celou rovnici vydělíme hodnotu U0: t

−1 u R (t1 ) = e τ , odstraníme exponenciální funkci, celou rovnici zlogaritmujeme přirozeným U0 logaritmem („ln“ – jde o inverzní operaci k „e“, kdy platí, že ln(e) = 1, respektive ln(ex) = x):

 u (t )  t ln R 1  = − 1 , osamostatníme dobu t1, násobíme rovnici zápornou časovou konstantou τ: τ  U0   u (t )   U0   , tím je časový okamžik t1 vyjádřen. t1 = −τ ⋅ ln R 1  = τ ⋅ ln  u R (t1 )   U0 

Obdobným způsobem vyjádříme i časový okamžik t2: −

t2

u R (t 2 ) = U 0 ⋅ e τ , abychom získaly hodnotu časového okamžiku t2, musíme osamostatnit člen exponenciální funkce, tedy celou rovnici vydělíme hodnotu U0: t

− 2 u R (t 2 ) = e τ , odstraníme exponenciální funkci, celou rovnici zlogaritmujeme přirozeným U0 logaritmem („ln“ – jde o inverzní operaci k „e“, kdy platí, že ln(e) = 1, respektive ln(ex) = x):

 u (t )  t ln R 2  = − 2 ,osamostatníme dobu t2,násobíme rovnici zápornou časovou konstantou τ: τ  U0   u (t )   U0   , tím je časový okamžik t2 vyjádřen. t 2 = −τ ⋅ ln R 2  = τ ⋅ ln U u t ( ) 0  R 2   

Nyní oba časové okamžiky odečteme a tím získáme dobu t, jejíž hodnota je 100 [ms]: Po dosazení vztahů za časové okamžiky t2 a t1 a vytknutí časové konstanty τ a použití poučky, že rozdíl logaritmů je roven logaritmu podílu logaritmovaných čísel jednotlivých logaritmů:   U0   U0   U0   U 0   u (t )   − τ ⋅ ln  = τ ⋅ ln  − ln  = τ ⋅ ln R 1  t = t 2 − t1 = τ ⋅ ln  u R (t 2 )   u R (t1 )   u R (t1 )   u R (t 2 )    u R (t 2 )  Vyjádříme časovou konstantu τ a dosadíme: t = 100 [ms], uR(t1) = 55 [V], uR(t2) = 20 [V]. 100 ⋅ 10 −3 0,1 0,1 t τ= = = = = 0,09885 [s ] = 98,85 [ms ] ln(2,75) 1,0116009116  u R (t1 )   55  ln   ln  20   u R (t 2 )  - 48 -




Ze známé hodnoty časové konstanty τ a vztahu pro tuto konstantu τ = R ⋅ C , spočteme hodnotu odporu R ideálního rezistoru, přičemž víme, že C = 247 [µF]:

τ

0,09885 98850 = = 400,2 [Ω] , což se přibližně rovná R = 400 [Ω]. C 247 ⋅ 10 −6 247 Toto je již výsledek, tedy hledaná hodnota odporu ideálního rezistoru.

τ = R ⋅C ⇒ R =

=

8. Kontrola správnosti výsledků: Pro ověření správnosti spočteme hodnotu úbytku napětí uR(t = 9,885 [ms]) a hodnotou napětí na ideálním kondenzátoru uC(t = 9,885 [ms]). Obě hodnoty sečteme a podle II. Kirchhoffova zákona by mělo platit, že se jejich součet rovná hodnotě napětí stejnosměrného zdroje U0:

u R (t ) + u C (t ) = U 0 Dosadíme: U0 = 150 [V], t = 9,885 [ms], τ = 98,85 [ms], e = 2,7182818 [-]: u R (t = 9,885 [ms ]) = U 0 ⋅ e

−

t

τ

= 150 ⋅ e

t −  τ  u C (t = 9,885 [ms ]) = U 0 ⋅ 1 − e 

−

9 ,885 98 ,85

= 150 ⋅ e −0,1 = 135,73 [V ]

9 ,885 −     = 150 ⋅ 1 − e 98,85  = 150 ⋅ (1 − e −0,1 ) = 14,72 [V ]      

u R (t ) + u C (t ) = U 0

Obě napětí sečteme: 135,73 + 14,27 = 150 150 = 150 Výsledky jsou správné, jak o tom svědčí kontrola správnosti výsledků. 9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření: t −   −t   Časový průběh napětí uC(t): u C (t ) = U 0 ⋅  − e τ + 1 = U 0 ⋅ 1 − e τ  , kde τ = R ⋅ C     Odpor R ideálního rezistoru, kterým se ideální kondenzátor nabíjí: R = 400 [Ω]

Grafické znázornění časového průběhu napětí uC(t) a uR(t):


- 49 -




Simulace časového průběhu napětí uC(t) pro časový úsek t = 100 [ms], za něhož vzroste napětí na ideálním kondenzátoru z hodnoty uC(t1) = 95 [V] na hodnotu uC(t2) = 130 [V], což odpovídá skutečnosti, že na ideálním rezistoru klesne v tomto časovém úseku napětí z hodnoty uR(t1) = 55 [V] na hodnotu uR(t2) = 20 [V] provedená v programu Multisim:

- 50 -




Řešené příklady: Příklad 7 Stanovte časový průběh napětí uC(t) a hodnotu napětí, na níž se ideální kondenzátor nabije, pro obě varianty v obvodech dle jednotlivých schémat, dojde-li v čase t = 0 [s] k přepnutí přepínače z polohy 1 do polohy 2. Hodnoty jednotlivých prvků odvodů jsou následující, napětí prvního zdroje U01 = 20 [V], napětí druhého zdroje U02 = 10 [V], hodnoty odporů ideálních rezistorů R1 = 100 [Ω], R2 = 200 [Ω] a velikost kapacity ideálního kondenzátoru C = 100 [µF]. Obvod se v době před sepnutím spínače nacházel v ustáleném stavu, což znamená, že byl kondenzátor nabit na napětí U01 = 20 [V]. Pro variantu a) spočtěte hodnotu časového okamžiku t0, při níž je na kondenzátoru nulové napětí. Varianta a) Schéma zapojení:


Řešení: Pozn.: V tomto příkladě jde o přebíjení ideálního kondenzátoru, a to z hodnoty prvního zdroje napětí U01 = 20 [V] na hodnotu druhého zdroje napětí U02 = 10 [V]. Hodnotu doby t0, při níž je na kondenzátoru nulové napětí uC(t0) = 0 [V], určete zlogaritmováním (přirozeným logaritmem, abyste odstranily exponenciální funkci, charakterizovanou Eulerovou konstantou „e“ a získaly tak exponent této exponenciální funkce, ve němž je obsažena velikost hodnoty časové konstanty daného obvodu přechodového jevu) výsledného vztahu pro časový průběh napětí uC(t) v obvodu přechodového jevu. Napětí U02 má opačnou polaritu než napětí U01. 1. Určení stavové veličiny: uC(t) 2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí: u R 2 (t ) + u C (t ) = −U 02 , napětí U02 je opačné polarity než napětí U01, proto záporné znaménko

rovnici přepíšeme pomocí Ohmova zákona do tvaru Ö získáme diferenciální rovnici 1. řádu: ∂u (t ) R2 ⋅ C ⋅ C + u C (t ) = −U 02 ∂t Řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu


- 51 -



3. Obecné řešení diferenciální rovnice: Z předešlé diferenciální rovnice vytvoříme homogenní diferenciální rovnici, a to tak, že levou část rovnice položíme rovnu nule, což už je splněno vlivem chování obvodu a osamostatníme člen obsahující stavovou veličinu bez derivace: R2 ⋅ C ⋅

∂ u C (t ) + u C (t ) = 0 ∂t

Řešení této homogenní rovnice hledáme ve tvaru u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t , toto řešení dosadíme do homogenní diferenciální rovnice a spočteme. Po dosazení: ∂ (K ⋅ e λ ⋅t ) R2 ⋅ C ⋅ + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , řešíme derivaci: ∂t R2 ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : R2 ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = −

1 R2 ⋅ C


λ ⋅t

⇒ u 0 (t ) = K ⋅ e

−

1 ⋅t R2 ⋅C


1

λ

= R2 ⋅ C a výsledné obecné řešení a


u 0 (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R2 ⋅ C = 200 ⋅ 100 ⋅ 10 −6 = 0,02 [s ] = 20 [ms ] je časová konstanta. −

4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé po přepnutí spínače S do polohy 2. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor se přebil na celé napětí U02 druhého zdroje, které má však opačnou polaritu, než napětí prvního zdroje napětí U01, na které byl kondenzátor nabitý před vznikem přechodového jevu. u C (t = 5τ ) = −U 02 . Ideální kondenzátor nyní představuje prvek s akumulovanou energií elektrického pole C ⋅ U 022 WC = , která zůstane nahromaděna v polarizovaném dielektriku. Tím je budoucí 2 ustálený stav vyřešen: u p = u C (t → ∞) = konst. = −U 02 = −10 [V ] 5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, obvod v minulém ustáleném stavu: Ustálený stav před vznikem přechodového jevu, tedy v době těsně před přepnutím spínače S do polohy 2, resp. v době, kdy se přepínač S nacházel v poloze 1. Víme, že v tomto stavu se obvod nacházel v ustáleném stavu a kondenzátor je nabitý na hodnotu napětí prvního zdroje C ⋅ U 012 U01 = 20 [V], představuje prvek s akumulovanou energií elektrického pole WC = , 2 která zůstane nahromaděna v polarizovaném dielektriku. Tím je vyřešen minulý ustálený stav: u C (t < 0) = U 01 , ekvivalentní zápis u C (t = 0−) = U 01 = 20 [V ]

- 52 -




6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení: Do řešení přechodového jevu dosadíme za obecné a partikulární řešení spočtené hodnoty: −

t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e , kde τ = R2 ⋅ C a u P = −U 02 u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

τ

− U 02 , kde τ = R2 ⋅ C

Pro určení integračních konstant vycházíme z počátečních podmínek, kdy platí, že stav obvodu těsně před sepnutím je roven stavu obvodu těsně po sepnutí. u C (t = 0−) = u C (t = 0+ ) U 01 = u 0 (t = 0) + u P U 01 = K ⋅ e

−

0

τ

− U 02 , e

−

0

τ

=1

U 01 = K − U 02 , odtud je integrační konstanta rovna: K = U 01 + U 02 Po dosazení integrační konstanty K do vzorce pro řešení přechodového jevu: u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

− U 02 , kde τ = R2 ⋅ C , získáme:

u C (t ) = (U 01 + U 02 ) ⋅ e

−

t

τ

− U 02 , kde τ = R2 ⋅ C

7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní odvodíme pomocí vztahu pro uC(t) vztah pro nabíjecí proud iC(t), z něhož následně odvodíme vztah pro napětí uR2(t) na ideálním rezistoru R2. Z časového průběhu napětí na ideálním kondenzátoru uC(t) vypočteme hodnotu časového okamžiku t0, při níž je na ideálním kondenzátoru nulové napětí uC(t0) = 0 [V] a následně spočteme hodnotu napětí, na níž se kondenzátor nabil, je zřejmé, že by se měla blížit hodnotě partikulárního řešení: t t    − −    τ τ     ∂ (U 01 + U 02 ) ⋅ e − U 02   ∂ (U 01 + U 02 ) ⋅ e   ∂ (U 02 )  ∂u c (t )      iC (t ) = C ⋅ − = = C⋅ =C⋅ ∂t ∂t ∂t  ∂t       −t    −τt  τ  e   e ∂ ∂    t        = (U + U ) ⋅ C ⋅  − 1  ⋅ e −τ =  − 0 = (U + U ) ⋅ C ⋅  = C ⋅ (U 01 + U 02 ) ⋅  01 02 01 02  R ⋅C   ∂t ∂t 2       t

=−

U 01 + U 02 −τ ⋅ e , kde τ = R2 ⋅ C R2

 U + U 02 u R 2 (t ) = R2 ⋅ iC (t ) = R2 ⋅  − 01 R2 

t −  −τt  ⋅ e = −(U 01 + U 02 ) ⋅ e τ , kde τ = R2 ⋅ C 

Napětí uR2(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R 2 (t ) + u C (t ) = −U 02 , odtud: u R 2 (t ) = −U 02 − u C (t ) , po dosazení za uC(t):


- 53 -


u R 2 (t ) = −U 02


t −   τ − (U 01 + U 02 ) ⋅ e − U 02 , kde τ = R2 ⋅ C , po odstranění hranaté závorky:  

u R 2 (t ) = −U 02 − (U 01 + U 02 ) ⋅ e −

−

t

+ U 02 , kde τ = R2 ⋅ C , po odečtení hodnot -U02 + U02:

τ

t

u R 2 (t ) = −(U 01 + U 02 ) ⋅ e τ , kde τ = R2 ⋅ C Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR2(t) v obou případech stejně. Z časového průběhu napětí na ideálním kondenzátoru uC(t) vypočteme hodnotu časového okamžiku t0, při níž je na ideálním kondenzátoru nulové napětí uC(t0) = 0 [V]: u C (t 0 = ? [ms ]) = (U 01 + U 02 ) ⋅ e

−

t0

τ

− U 02 , kde τ = R2 ⋅ C

Abychom získaly hodnotu času t0, musíme nejprve osamostatnit člen exponenciální funkce. Přičteme hodnotu U02 a celou rovnici vydělíme hodnotou (U01 + U02): t

− 0 u C (t 0 ) + U 02 = e τ , odstraníme exponenciální funkci, rovnici zlogaritmujeme přirozeným (U 01 + U 02 ) logaritmem („ln“ – jde o inverzní operaci k „e“, kdy platí, že ln(e) = 1, respektive ln(ex) = x):

 u (t ) + U 02  t  = − 0 , osamostatníme hodnotu času t0 a to tak, že vynásobíme rovnici ln C 0 τ  U 01 + U 02  zápornou hodnotou časové konstanty τ :  u (t ) + U 02   = t 0 , máme vyjádřený hledaný čas a dále už jen dosadíme známé − τ ⋅ ln C 0  U 01 + U 02  hodnoty a spočtete jeho velikost: U01 = 20 [V], U02 = 10 [V], uC(t = t0) = 0 [V], τ = 20 [ms]:

 u (t ) + U 02   0 + 10   10   = −20 ⋅ 10 −3 ⋅ ln t 0 = −τ ⋅ ln C 0  = −0,02 ⋅ ln  = −0,02 ⋅ ln (0,3333333) =  20 + 10   30   U 01 + U 02  = −0,02 ⋅ (− 1,0986122886681) = 0,0219722457733 [s ] = 21,97 [ms ]

A toto je již výsledek, tedy hledaná hodnota času t0, při níž je na ideálním kondenzátoru nulové napětí uC(t0) = 0 [V]: t 0 = 21,97 [ms ] Nyní spočteme hodnotu napětí uC(t), na níž se kondenzátor nabil, je zřejmé, že by se měla blížit hodnotě partikulárního řešení: u p = u C (t → ∞) = u C (t = 5τ ) = konst. = −U 02 = −10 [V ] Do vyjádřeného vztahu pro napětí na ideálním kondenzátoru uC(t) pro přechodový jev dosadíme známé hodnoty: U01 = 20 [V], U02 = 10 [V], uC(t = t0) = 0 [V], t = 5 ⋅ τ : u C (t = 5τ ) = (U 01 + U 02 ) ⋅ e u C (t = 5τ ) = (20 + 10 ) ⋅ e

- 54 -

−

−

5⋅τ

τ

t

τ

− U 02 , kde τ = R2 ⋅ C , po dosazení dostaneme:

− 10 = 30 ⋅ e −5 − 10 = 30 ⋅ 0,006737 − 10 = −9,7978 [V ]




A toto je již výsledek, tedy hledaná hodnota napětí uC(t), na níž se kondenzátor nabil po skončení přechodového jevu, a to v době t = 5 ⋅ τ , kdy již lze přechodový jev považovat za skončený. 8. Kontrola správnosti výsledků: Pro ověření správnosti spočteme hodnotu úbytku napětí uR2(t = 10 [ms]) a hodnotou napětí na ideálním kondenzátoru uC(t = 10 [ms]). Obě hodnoty sečteme a podle II. Kirchhoffova zákona by mělo platit, že se jejich součet rovná záporné hodnotě napětí druhého zdroje U02:

u R 2 (t ) + u C (t ) = −U 02 Dosadíme: U01 = 20 [V], U02 = 10 [V], t = 10 [ms], τ = 20 [ms], e = 2,7182818 [-]: t

u R 2 (t = 10 [ms ]) = −(U 01 + U 02 ) ⋅ e = −(20 + 10) ⋅ e −

τ

−

t

10 20

u C (t =10 [ms ]) = (U 01 + U 02 ) ⋅ e τ − U 02 = (20 + 10) ⋅ e −

−

= −30 ⋅ e −0,5 = −30 ⋅ 0,6065306 = −18,2 [V ]

10 20

= 18,2 − 10 = 8,2 [V ]

− 10 = 30 ⋅ e −0,5 − 10 = 30 ⋅ 0,006737 − 10 =

u R 2 (t ) + u C (t ) = −U 02


− 18,2 + 8,2 = −10 − 10 = −10

Výsledky jsou správné, jak o tom svědčí kontrola správnosti výsledků. 9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření:

Časový průběh napětí uC(t): u C (t ) = (U 01 + U 02 ) ⋅ e

−

t

τ

− U 02 , kde τ = R2 ⋅ C

Hodnota času t0, při níž je na ideálním kondenzátoru nulové napětí: t 0 = 21,97 [ms ] Grafické znázornění časového průběhu napětí uC(t) a uR2(t):


- 55 -




Simulace časového průběhu napětí uC(t) pro hodnotu časového okamžiku t 0 = 21,97 [ms ], při níž je na ideálním kondenzátoru nulové napětí, provedená v programu Multisim:

- 56 -




Varianta b) Schéma zapojení:


Řešení: Pozn.: V tomto příkladě jde o přebíjení ideálního kondenzátoru, a to z hodnoty prvního zdroje napětí U01 = 20 [V] na hodnotu druhého zdroje napětí U02 = 10 [V]. Napětí U02 má v této variantě b) stejnou polaritu jako napětí U01, takže se napětí na ideálním kondenzátoru uC(t) bude co do grafického znázornění chovat jako by se ideální kondenzátor vybíjel z hodnoty prvního zdroje napětí U01 = 20 [V] na hodnotu druhého zdroje napětí U02 = 10 [V]. 1. Určení stavové veličiny: uC(t) 2. Sestavení rovnic pro uC(t) po vzniku přechodového jevu: Podle II. Kirchhoffova zákona platí:

u R 2 (t ) + u C (t ) = U 02 Rovnici přepíšeme pomocí Ohmova zákona do tvaru Ö získáme diferenciální rovnici 1. řádu: R2 ⋅ C ⋅

∂u C (t ) + u C (t ) = U 02 ∂t

Řešení tohoto přechodového jevu, budeme hledat ve tvaru: u C (t ) = u 0 (t ) + u P kde u0(t) – je obecné řešení, řešení přechodového jevu bez spočetné integrační konstanty K, jedná se pouze o řešení homogenní rovnice uP – je partikulární řešení, řešení budoucího ustáleného stavu, řešení po skončení přechodového jevu 3. Obecné řešení diferenciální rovnice: Z předešlé diferenciální rovnice vytvoříme homogenní diferenciální rovnici, a to tak, že levou část rovnice položíme rovnu nule, což už je splněno vlivem chování obvodu a osamostatníme člen obsahující stavovou veličinu bez derivace: R2 ⋅ C ⋅

∂ u C (t ) + u C (t ) = 0 ∂t

Řešení této homogenní rovnice hledáme ve tvaru u 0 (t ) = K ⋅ e λ ⋅t , toto řešení dosadíme do homogenní diferenciální rovnice a spočteme. Po dosazení: R2 ⋅ C ⋅



- 57 -



R2 ⋅ C ⋅ λ ⋅ K ⋅ e λ ⋅t + K ⋅ e λ ⋅t = 0 , celou rovnici vydělíme K ⋅ e λ ⋅t : R2 ⋅ C ⋅ λ + 1 = 0 , odtud dostaneme: λ = −

1 R2 ⋅ C


λ ⋅t

⇒ u 0 (t ) = K ⋅ e

−

1 ⋅t R2 ⋅C


1

λ

= R2 ⋅ C a výsledné obecné řešení a


u 0 (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R2 ⋅ C = 200 ⋅ 100 ⋅ 10 −6 = 0,02 [s ] = 20 [ms ] je časová konstanta. −

4. Nalezení partikulárního řešení, obvod v budoucím ustáleném stavu: Ustálený stav po skončení přechodového jevu, tedy v době nekonečně dlouhé po přepnutí spínače S do polohy 2. Víme již, že v tomto stavu je přechodový jev skončen a přechodná složka zcela zanikla. Obvodem již neprochází žádný proud, kondenzátor se přebil na celé napětí U02 druhého zdroje u C (t = 5τ ) = U 02 . Kondenzátor představuje prvek s akumulovanou

C ⋅ U 022 , ta zůstane nahromaděna v polarizovaném dielektriku. 2 Tím je budoucí ustálený stav vyřešen: u p = u C (t → ∞) = konst. = U 02 = 10 [V ] energií elektrického pole WC =

5. Stanovení počátečních podmínek pro stavové veličiny, obvod v minulém ustáleném stavu: Ustálený stav před vznikem přechodového jevu, tedy v době těsně před přepnutím spínače S do polohy 2, resp. v době, kdy se přepínač S nacházel v poloze 1. Víme, že v tomto stavu se obvod nacházel v ustáleném stavu a kondenzátor je nabitý na hodnotu napětí prvního zdroje C ⋅ U 012 , U01 = 20 [V], představuje prvek s akumulovanou energií elektrického pole WC = 2 která zůstane nahromaděna v polarizovaném dielektriku. Tím je vyřešen minulý ustálený stav: u C (t < 0) = U 01 , ekvivalentní zápis u C (t = 0−) = U 01 = 20 [V ] 6. Určení integrační konstanty z počátečních podmínek a její dosazení: Do řešení přechodového jevu dosadíme za obecné a partikulární řešení spočtené hodnoty: −

t

u C (t ) = u 0 (t ) + u P , kde u 0 (t ) = K ⋅ e τ , kde τ = R2 ⋅ C a u P = U 02 u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

+ U 02 , kde τ = R2 ⋅ C

Pro určení integračních konstant vycházíme z počátečních podmínek, kdy platí, že stav obvodu těsně před sepnutím je roven stavu obvodu těsně po sepnutí. u C (t = 0−) = u C (t = 0+ ) U 01 = u 0 (t = 0) + u P U 01 = K ⋅ e

−

0

τ

+ U 02 , e

−

0

τ

=1

U 01 = K + U 02 , odtud je integrační konstanta rovna: K = U 01 − U 02 - 58 -




Po dosazení integrační konstanty K do vzorce pro řešení přechodového jevu: u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

+ U 02 , kde τ = R2 ⋅ C , získáme:

u C (t ) = (U 01 − U 02 ) ⋅ e

−

t

τ

+ U 02 , kde τ = R2 ⋅ C

7. Výpočet ostatních přechodových veličin pomocí vyřešené stavové veličiny: Nyní odvodíme pomocí vztahu pro uC(t) vztah pro nabíjecí proud iC(t), z něhož následně odvodíme vztah pro napětí uR2(t) na ideálním rezistoru R2. Dále spočteme hodnotu napětí, na níž se kondenzátor nabil, je zřejmé, že by se měla blížit hodnotě partikulárního řešení: t t    − −    τ τ     ( ) ( ) ∂ U 01 − U 02 ⋅ e + U 02    ∂ U 01 − U 02 ⋅ e  ∂u c (t ) ∂ (U 02 )       iC (t ) = C ⋅ = =C⋅ = C⋅ + ∂t ∂t ∂t ∂t         −t   −τt  τ   ∂ e    ∂ e  t  1  −τ         = (U 01 − U 02 )⋅ C ⋅  − ⋅e = = C ⋅ (U 01 − U 02 ) ⋅  + 0 = (U 01 − U 02 ) ⋅⋅ C ⋅ R2 ⋅ C  ∂t ∂t      t

t

U − U 02 −τ U 02 − U 01 −τ = − 01 ⋅e = ⋅ e , kde τ = R2 ⋅ C R2 R2 t −  U 02 − U 01  −τt τ  ⋅ e = (U 02 − U 01 ) ⋅ e , kde τ = R2 ⋅ C u R 2 (t ) = R2 ⋅ iC (t ) = R2 ⋅  R2  

Napětí uR2(t) lze také spočítat poměrně snadněji a to ze vztahu podle II. Kirchhoffova zákona platícího pro tento obvod: u R 2 (t ) + u C (t ) = U 02 , odtud: u R 2 (t ) = U 02 − u C (t ) , po dosazení za uC(t): t −   u R 2 (t ) = U 02 − (U 01 − U 02 ) ⋅ e τ + U 02  , kde τ = R2 ⋅ C , po odstranění hranaté závorky:  

u R 2 (t ) = U 02 − (U 01 − U 02 ) ⋅ e u R 2 (t ) = −(U 01 − U 02 ) ⋅ e

−

t

τ

−

t

τ

− U 02 , kde τ = R2 ⋅ C , po odečtení hodnot U02 - U02: −

t

= (U 02 − U 01 ) ⋅ e , kde τ = R2 ⋅ C τ

Jak je patrné z výsledků vyšla hodnota napětí uR2(t) v obou případech stejně. Nyní spočteme hodnotu napětí uC(t), na níž se kondenzátor nabil, je zřejmé, že by se měla blížit hodnotě partikulárního řešení: u p = u C (t → ∞) = u C (t = 5τ ) = konst. = U 02 = 10 [V ] Do vyjádřeného vztahu pro napětí na ideálním kondenzátoru uC(t) pro přechodový jev dosadíme známé hodnoty: U01 = 20 [V], U02 = 10 [V], uC(t = t0) = 0 [V], t = 5 ⋅ τ : u C (t = 5τ ) = (U 01 − U 02 ) ⋅ e

−

t

τ

+ U 02 , kde τ = R2 ⋅ C , po dosazení dostaneme:


- 59 -

Ing. Kindrát Alexandr u C (t = 5τ ) = (20 − 10) ⋅ e

Učební texty pro Elektrotechniku −

5⋅τ

τ

+ 10 = 10 ⋅ e −5 + 10 = 10 ⋅ 0,006737 + 10 = 10,067 [V ]

A toto je již výsledek, tedy hledaná hodnota napětí uC(t), na níž se kondenzátor nabil po skončení přechodového jevu, a to v době t = 5 ⋅ τ , kdy již lze přechodový jev považovat za skončený. 8. Kontrola správnosti výsledků: Pro ověření správnosti spočteme hodnotu úbytku napětí uR2(t = 10 [ms]) a hodnotou napětí na ideálním kondenzátoru uC(t = 10 [ms]). Obě hodnoty sečteme a podle II. Kirchhoffova zákona by mělo platit, že se jejich součet rovná záporné hodnotě napětí druhého zdroje U02:

u R 2 (t ) + u C (t ) = U 02 Dosadíme: U01 = 20 [V], U02 = 10 [V], t = 10 [ms], τ = 20 [ms], e = 2,7182818 [-]: t

u R 2 (t = 10 [ms ]) = (U 02 − U 01 ) ⋅ e = (10 − 20) ⋅ e −

τ

−

10 20

= −10 ⋅ e −0,5 = −10 ⋅ 0,6065306 = −6,07 [V ]

t

u C (t = 10 [ms ]) = (U 01 − U 02 ) ⋅e τ + U 02 = (20 − 10 ) ⋅e −

−

10 20

= 6,07 + 10 = 16,07 [V ] u R 2 (t ) + u C (t ) = U 02

+ 10 = 10 ⋅e −0,5 + 10 = 10 ⋅ 0,60653 + 10 =

Obě napětí sečteme: − 6,07 + 16,07 = 10 10 = 10 Výsledky jsou správné, jak o tom svědčí kontrola správnosti výsledků. 9. Výsledky řešení a jejich grafické časové vyjádření:

Časový průběh napětí uC(t): u C (t ) = (U 01 − U 02 ) ⋅ e

−

t

τ

+ U 02 , kde τ = R2 ⋅ C

Grafické znázornění časového průběhu napětí uC(t) a uR2(t):

- 60 -






- 61 -

Přechodové jevy RC. Řešení přechodového jevu v obvodech 1. řádu RC. a) varianta nabíjení ideálního kondenzátoru u C (t)

Recommend Documents