Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar
IIR sz r tervezés
Radványi Mihály Gergely Sándor Alpár Antal
Digitális jelfeldolgozás 2006
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék ............................................................................................................2 Általános sz r k.............................................................................................................3 Átviteli függvény konstrukció .......................................................................................5 Alulátereszt sz r .....................................................................................................8 Felülátereszt sz r ...................................................................................................8 Sávátereszt sz r ......................................................................................................9 Sávzáró sz r .............................................................................................................9 Folytonos idej sz r k approximációja .......................................................................10 Butterworth közelítés ...............................................................................................10 IIR sz r tervezés .........................................................................................................13 Impulzus invariáns transzformáció ..........................................................................13 Bilineáris transzformáció .........................................................................................15 Példa IIR sz r tervezésére..........................................................................................19 H(s) meghatározása a specifikációból: ....................................................................19 H(z) számítása H(s)-b l: ..........................................................................................21 Impulzus invariáns transzformáció ......................................................................21 a tervezés bilineáris transzformációval:...............................................................22 Irodalomjegyzék ..........................................................................................................26
2
Általános sz r k A rádiótechnika fejl dése során nagyon sokszor felmerült a jelek spektrális manipulációjának a kérdése. A középfrekvenciás rezg körökön át a hangfrekvenciás jel kiegyenlítésénél, számtalanszor el fordult, hogy a jel frekvenciáit kellet manipulálni. A televíziózás történetében különösen nagy szerephez jutottak a különböz
sz r fajták, amiket ellenállás-kondenzátor-tekercs hálózatokkal sikerült
realizálni. Az 1970-es évek elején merült fel a spektrálanalízis, illetve a frekvenciasz rés digitális kivitelezésének gondolata. Erre a célra a napjainkban is tért hódító digitális jelfeldolgozó mikroszámítógépek, illetve mikrovezérl k fejl dése adta a kezünkbe azt az eszközt, ami lehet vé tette a nagyobb frekvenciák digitális feldolgozását. Manapság szinte minden szórakoztató elektronikai, illetve kommunikációs eszköznek meg kell birkóznia a sz rés feladatával, hiszen e nélkül szinte elképzelhetetlen lenne a mobilkommunikáció, a házimozi, a televízió, a rádió, és még sok más elektronikai eszköznek a m ködése. Bizonyos sz r k zajokat, zavaró jeleket, mások frekvenciákat próbálnak eltávolítani a jelekb l. Mi most az utóbbival fogunk foglalkozni: miként lehet egy adott bemeneti jel spektrális karakterisztikáját valós id ben manipulálni? Az RLC hálózatoknál tudjuk, hogy a bemeneti feszültség deriválásával (kondenzátor), illetve integrálásával (tekercs) meg tudjuk valósítani a kívánt specifikációt kielégít sz r karakterisztikát. A digitális jeleknél azonban másképp kell gondolkodni, hiszen ebben az esetben mind id ben, mind pedig értékkészletben kvantált jeleket kapunk. Ilyenkor beszélünk diszkrét idej megvalósításról. A digitális jelfeldolgozó architektúrák lehet séget adnak késleltet k, szorzók, valamint összeadók implementálására, amikkel diszkrét id ben is el tudunk végezni spektrális transzformációkat. Mind diszkrét, mind pedig analóg (folytonos) esetben a sz r ket az átviteli függvényük írja le. Az átviteli függvényb l inverz Laplace (folytonos), vagy inverz Z (diszkrét) transzformációval kapjuk meg az impulzusválaszt vagy súlyfüggvényt, amivel szintén jól lehet jellemezni az adott sz r t.
3
Jelen esetben mi arra leszünk kíváncsiak, hogy miként lehet az adott specifikációt kielégít különböz
H(s) analóg átviteli függvényt konstruálni, majd ebb l
transzformációkkal hogyan lehet el állítani a diszkrét idej
sz r
szorzóinak együtthatóit, illetve H(z) átviteli függvényét.
4
Átviteli függvény konstrukció A sz r tervezés legels lépése a specifikáció rögzítése. A sz r vel az a célunk, hogy a bemeneti jel frekvencia-karakterisztikáját a specifikációban meghatározott formára alakítsuk. Specifikáción egy átviteli jelleget értünk, ami megadja, hogy milyen frekvenciákat szeretnénk kisz rni (záró tartomány), illetve megtartani (átereszt tartomány). Az átereszt és záró tartományok elhelyezkedése alapján négy nagy csoportba sorolhatjuk a sz r ket.
Alulátereszt
Sávátereszt
Felülátereszt
Sávzáró
A célunk az, hogy olyan sz r t tervezzünk, aminek az átviteli karakterisztikája „nem lóg ki” a szürke vonallal határolt részb l. Az átviteli karakterisztikát az átviteli függvény írja le, aminek abszolút értéke adja az amplitúdó átvitelt, argumentuma (szöge) pedig a fáziseltolás mértékét a frekvencia függvényében. IIR sz r tervezésénél nem vesszük figyelembe a fáziseltolást, csak az amplitúdó spektrumot
5
optimalizáljuk, és ha esetleg a fáziskarakterisztika nagyon eltér a megengedett l, akkor egy mindent átereszt sz r vel korrigáljuk. Az átviteli függvényt a következ alakban keressük: M
A( z ) a 0 + a1 z −1 + a 2 z − 2 + ... + a M z − M H ( z) = = = a0 B( z ) 1 + b1 z −1 + b2 z −2 + ... + bN z − N
∏ (1 − z z
−1
∏ (1 − p
−1
i =1 N
j =1
i
j
) ,
z )
ahol A(z) és B(z) polinomok, melyeknek együtthatói valósak, így zi zérusok és p j pólusok valósak vagy konjugált komplexek. A stabilitás érdekében a pólusok
szigorúan az egységkörön belül kell, hogy elhelyezkedjenek. Elvárás a sz r t l az is, hogy minél lineárisabb legyen az átvitel a megadott határokon belül. A teljesen lineáris („szép”) karakterisztika csak végtelen fokszámú sz r vel érhet
el, ezért ezt csak közelíteni tudjuk. Ennek a módszere az ún.
approximáció, mely az alábbi kérdésre próbál választ adni: Milyen M , N , a ö , a1 ,..., a M , b1 ,..., b N értékek esetén elégíti ki H (e jωT ) a kívánt specifikációt? Az IIR sz r k tervezését folytonos idej (analóg) sz r k tervezésére vezetjük vissza. A folytonos idej sz r k átviteli függvényei egyrészt egyszer bbek, másrészt a módszerek már kidolgozottak. Megfelel transzformációkkal a folytonos idej sz r átviteli függvénye, súlyfüggvénye (impulzus-válasza), vagy akár maga az analóg hálózat is a specifikációt kielégít
diszkrét idej
sz r be transzformálható. Ezért
megnézzük, hogy miként lehet ezeket a transzformációkat elvégezni. Célszer
bevezetni az átviteli tényez t, mellyel a számolások egy kicsivel
leegyszer södnek a kés bbiekben:
Γ( s ) =
"bemenet" B ( s ) 1 = = " kimenet" A( s ) H ( s )
Ez a függvény a csillapítást határozza meg a frekvencia függvényében folytonos idej sz r esetén. Tulajdonságai:
•
Γ( jω ) ≥ 1 , mert a sz r természeténél fogva a kimeneti jel értéke vagy egyenl a bemenet értékével, vagy pedig kisebb.
•
Γ(s ) a H (s ) átviteli függvényhez hasonlóan racionális törtfüggvény
•
B (s ) : Hurwitz-polinom, gyökeinek valós része negatív, vagyis a bal félsíkon helyezkednek el (a stabilitás miatt)
6
•
A(s ) : a zárótartomány hatékony kialakítása végett gyökeit a képzetes tengelyre helyezzük
Az abszolút érték függvényt a képzetes (a jω ) tengely mentén az alábbi módon számíthatjuk ki: 2
Γ ( jω ) = Γ ( s ) Γ ( − s ) s = j ω =
B( s) B(− s) ≥1 A( s ) A(− s ) s = jω
Az approximációs eljárás f nehézsége az els és a harmadik tulajdonság együttes kielégítése. Ennek megkönnyítése érdekében vezessük be a g ( s ) / A( s ) alakú, úgynevezett karakterisztikus függvényt a következ módon: Γ( s )Γ( − s ) = 1 +
g ( s ) g (− s ) A( s ) A(− s )
Mivel: 2
g ( s) g (− s) h ( jω ) = ≥0 A( s ) A(− s ) s = jω A( jω ) Ezzel a
g (s )
választással az els
tulajdonsága az átviteli tényez nek
automatikusan kielégül. A racionális tört alakú karakterisztikus függvényt (amelyre nézve már nincs a Hurwitz megkötés) válasszuk meg olyannak, hogy elégítse ki a specifikációt. Ennek módszereit kés bb fogjuk látni. A fenti egyenletet közös nevez re hozva: Γ( s )Γ( − s ) = 1 +
g ( s ) g (− s ) A( s ) A(− s ) + g ( s ) g (− s ) B ( s ) B (− s ) = = A( s ) A(− s ) A( s ) A(− s ) A( s ) A(− s )
Ebb l: B ( s ) B (− s ) = A( s ) A(− s ) + g ( s ) g (− s ) = 0 2n-ed fokú egyenletet megoldva, a bal félsíkra es
s k gyökökb l ( k = 1,2,..., n )
felépíthetjük B (s ) Hurwitz polinomot, kielégítve a harmadik feltételt: n
B( s) = cn ∏ ( s − sk ) , k =1
ahol
cn
a
B ( s ) B (− s ) = A( s ) A(− s ) + g ( s ) g (− s ) = 0
egyenlet
legmagasabb
hatványához tartozó együttható négyzetgyöke. A gyökök kiválasztásának fenti módszerét hívjuk szeparációnak. A sz r katalógusok nagyon sokféle, különböz specifikációhoz tartozó sz r k adatait tartalmazzák. Az átviteli tényez adatain kívül, kiolvashatóak bel lük az RLC
7
(realizált analóg) hálózat elemértékei is. A katalógusokban csak alulátereszt sz r ket találunk, melyek határfrekvenciája mindig 1. Valóságos (fizikai frekvencia el írással bíró) alulátereszt , felülátereszt , sávátereszt , illetve sávzáró sz r ket a katalógus használatával úgy tudunk tervezni, hogy a specifikációnkat transzformáljuk a normalizált frekvencia értékekre, majd a katalógusban kikeressük a megfelel sz r t. A katalógusból kiolvasott függvényt ezek után vissza kell transzformálnunk, hogy az eredeti specifikációnak eleget tev sz r t kapjuk meg. Az alábbiakban ezeket a lépéseket fejtjük ki részletesebben.
Alulátereszt sz r Már tárgyaltuk, hogy az IIR sz r tervezéskor alulátereszt sz r b l indulunk ki, és ezt különböz transzformációkkal alakítjuk a specifikációnak megfelel en. Alulátereszt
sz r
esetében egyszer en csak az Ω =
ω ωh
alkalmazzuk. A zárótartomány kezdete relatív egységekben: Ω z =
transzformációt
ωz > 1. ωh
Az átereszt sávi tolerancia, Ω z és a zárótartományban el írt minimális csillapítás alapján megkeressük a katalógusban a megfelel
sz r t, és kiolvassuk az analóg
átviteli tényez paraméterei. n 2
Például azt találjuk a katalógusban, hogy Γkat ( p ) = C ⋅
∏( p
2
k =1
+ 2ς k Ω 0 k + Ω 02k )
n 2
∏( p k =1
2
+ Ω 2pk )
A paraméterek: C , ς 1 , Ω 01 , Ω p1 , ς 2 , Ω 02 , Ω p 2 ,… A valóságos sz r átviteli tényz je:
Γ( s ) = Γkat p =
s
ωh
Felülátereszt sz r Az alkalmazott transzformáció: p =
ωh s
8
A zárótartomány: Ω z =
ωh >1 ωz
Átviteli tényez : Γ( s ) = Γkat p =
ωh s
Sávátereszt sz r Az alkalmazott transzformáció: p =
1
s
+
δ ω0
ω0 s
Ahol a sávközép frekvencia ( ω0 ) és a relatív sávszélesség ( δ ):
ω 0 = ω haω hf δ=
ω hf − ω ha ω0
A zárótartományok szélei: Ω z1 =
1 ω zf
δ ω0
+
ω0 ω zf
Ωz2 =
1 ω0
δ ω za
+
ω za ω0
Ezek közül kiválasztjuk a kisebbet (szigorúbbat), és az lesz az alulátereszt sz r nk záró tartománya: Ω z = min{Ω z1 , Ω z 2 } Az átviteli tényez : Γ( s ) = Γkat p =
1
s
δ ω0
+
ω0 s
Sávzáró sz r Az eljárás hasonló a sávátereszt höz, az alkalmazott transzformáció: p=
δ s
ω0
+
ω0 s
A zárótartományok közül most is a kisebbet (szigorúbbat választjuk).
Az átviteli tényez : Γ( s ) = Γkat p =
δ s
ω0
+
ω0 s
9
Folytonos idej sz r k approximációja A katalógusos módszernél láthattuk, hogy alulátereszt
sz r b l kiindulva
konstruálhatunk tetsz leges karakterisztikájú sz r t, ezért ha tudjuk, hogy hogyan lehet ilyet tervezni, levezethetjük a többi sz r jelleget is. A célunk most az lesz, hogy olyan zárt összefüggést találjunk, amely segítségével meghatározhatjuk az adott specifikációt kielégít , folytonos idej sz r Γ(s ) átviteli tényez t. A módszer, amit alkalmazni fogunk, az úgynevezett maximális-lapos vagy
Butterworth közelítés. Adottak tehát az alulátereszt sz r adatai: •
Az átereszt tartomány:
[0;ω h ]
•
Az átereszt sávban megengedett ingadozás:
aa
•
A zárótartomány:
•
A zárótartományban a minimális csillapítás:
[ω z ;+∞] a z [dB ]
Célszer
bevezetni az Ω =
[dB]
ω normalizált frekvencia változót, mellyel az ωh
átereszt sáv a [0;1] tartomány, a zárósáv kezdete pedig az Ω z =
ωz érték lesz. ωh
A normalizált változóval kiszámított Γ(s ) átviteli tényez ben az s ←
s
ωh
helyettesítést elvégezve az eredeti frekvenciasávban fog teljesülni a specifikáció. Módszerünk gondolatmenete a következ lesz: heurisztikus módon választunk egy karakterisztikus függvényt, majd a benne lév paramétereket úgy választjuk meg, hogy a specifikáció kielégüljön. A karakterisztikus függvényb l ezután kiszámítjuk a B( s ) B(− s ) = A( s ) A(− s ) + g ( s ) g (− s ) = 0 egyenlet összes gyökét. A gyökök közül szeparálva a bal félsíkra es ket, megkapjuk a megengedett Γ(s ) átviteli tényez t, ami már megfelel a fentebb felsorolt négy tulajdonságnak.
Butterworth közelítés Válasszuk a karakterisztikus függvényt hatványfüggvénynek! Az átviteli tényez így legyen az alábbi alakú: 2
Γ( jΩ) = 1 + e02 Ω 2 n , ahol n a sz r fokszáma lesz.
10
Az e0 paraméter értékét a monoton növekv csillapítás függvény átereszt sávjának szélén ( Ω = 1 ) el írt, maximálisan megengedett értékéb l számítjuk ki: a adB = 20 lg Γ( j1) = 20 lg 1 + e02 = 10 lg(1 + e02 ) e0 = 10
aadB 10
−1
A szükséges fokszámot pedig a zárótartomány szélén el írt minimális csillapításból határozzuk meg:
a zdB = 20 lg Γ( jΩ z ) = 20 lg 1 + e02 Ω 2z n = 10 lg(1 + 1 + e02 Ω 2z n )
ln n≥
10
a zdB 10
−1
e0 ln Ω z
Az s = jΩ frekvenciaváltozót bevezetve az átviteli tényez : Γ ( s )Γ ( − s ) = 1 + e
2 0
2n
s j
Ezek után a karakterisztikus függvény:
g ( s ) g (− s ) s = e02 A( s ) A(− s ) j
2n
= (−1) e s n
2 2n 0
=
e02 s 2 n −e s
2 2n 0
n : páros n : páratlan
A nevez polinom A( s ) zérus fokú:
A( s ) = 1
A(− s ) = 1
és
A számláló polinom g ( s ) n-ed fokú:
g ( s ) = e0 s n
g (− s) =
és
g (s)
n : páros
− g ( s ) n : páratlan
Az átviteli tényez zérusait a következ egyenletb l kapjuk meg: 1+ e
2 0
s j
2n
=0
Ezt átrendezve:
sk j
2n
=−
1 e j ( 2 k −1)π = = A2 n e j ( 2 k −1)π e02 e02
Majd 2n-ik gyököt vonva:
sk = jAe
j ( 2 k −1)
π 2n
= Ae jϕk
k = 1,2,....,2n
11
ahol:
A=
ϕk =
π 2
1 n e 0
+ (2k − 1)
π 2n
A gyökök tehát az A sugarú körön, ϕ k fázis szög értékeken helyezkednek el. Az összes gyökb l a k = 1,2,...., n indexhez tartozók esnek a bal félsíkra, míg a
k = n + 1,....,2n indexekhez tartozók a jobb félsíkon lesznek. Az index határ megválasztásával a bal félsíkú gyökök szeparálása egyszer en megoldhatóm így az átviteli tényez gyöktényez s alakja: n
s sk
Γ( s ) = B ( s ) = ∏ 1 − k =1
Kihasználva, hogy a gyökök konjugált komplexek, n=páros esetben: n n
Γ( s ) = ∏ k =1
n
2 s s( s + s ∗ ) s 2 1− ∗ = ∏ 1− k ∗ k + = sk s k sk sk sk∗ k =1
2 s s 1− = ∏ 1− sk sk k =1 n 2
= ∏ 1− 2 k =1
s s2 cos ϕ k + 2 A A
Ha n=páratlan:
s Γ( s ) = 1 − A
Mivel az átviteli tényez
n −1 2
∏
1− 2
k =1
s s2 cos ϕ k + 2 A A
az átviteli függvény reciproka, továbbiakban ezt az
összefüggést felhasználva vezetjük le a folytonos idej sz r b l a diszkrét idej IIR sz r k egyenleteit.
H (s) =
1 Γ( s )
12
IIR sz r tervezés Egy sz r
tervezésénél az a feladatunk, hogy olyan diszkrét-idej
hálózatfüggvényt keressünk, amihez tartozó amplitúdó karakterisztika megfelel a specifikációban el írtnak. Ha ismerjük a rendszer átviteli függvényét, átalakíthatjuk olyan formára, amib l a rendszer paraméterei már kiolvashatóak. A FIR sz r kkel ellentétben az IIR sz r k H(z) átviteli függvénye pólusokat és zérus helyeket egyaránt tartalmaz. Ezért hasonlóan az analóg sz r khöz, tervezésük gyakran a pólus és zérus helyes leírásból indul ki. Mivel egy fizikailag megvalósítható és stabil IIR sz r nek nem lehet lineáris fázisa, a tervezés során a válasz nagyságával fogunk els sorban foglalkozni és nem a fázissal. A folytonos idej sz r tervezés már egy jól kiismert terület, úgyhogy az IIR sz r
tervezésénél is a legáltalánosabb módszer, hogy
visszavezetjük a feladatot egy folytonos idej
sz r
tervezésére. A legnehezebb
feladat az approximáció (közelítés),ezért a diszkrét-idej
átviteli függvényt a
folytonos-idej transzformálásával fogjuk számolni. Az alábbiakban erre két módszert ismertetünk; az impulzus invariáns transzformációt és a bilineáris transzformációt.
Impulzus invariáns transzformáció Az IIR sz r tervezésénél már rendelkezésünkre áll a folytonos idej rendszer impulzusválasza ha (t ) , ezt mintavételezzük T periódusid vel, ez lesz a diszkrét idej átviteli függvényünk:
h(n ) ≡ h(nT ) = ha (t = nT ) ugyanez frekvencia tartományban:
H ( f ) = Fs
∞ k = −∞
H a [( f − k ) Fs ]
ahol H a ( F ) a folytonos idej frekvencia válasz, Fs pedig a mintavételi frekvencia. Vagy másképpen:
H ( e jωt ) =
1 ∞ ∞ 2πk H a ( jω − jkω s ) =? H d (e jθ ) = 1 Ha ω − T k = −∞ T k = −∞ T
13
Ez tehát a frekvencia tartományban periódikus lesz, a mintavételi tételnek megfelel en. Ezt a módszert els sorban alulátereszt sz r kre használjuk, mivel ott megfelel
mintavételi frekvencia felett az átlapolódásból adódó karakterisztikai
torzulás elhanyagolható. Ha már megkaptuk a H a ( s ) átviteli függvényt, ami eleget tesz a specifikációban leírtaknak, ebb l kell meghatározni a H ( z )
z-tartománybeli függvényt. Ezt
kétféleképpen tehetjük: Vagy favágó módra H a ( s ) t úgy ahogy van inverz Laplace transzformáljuk, így megkapjuk az id tartománybeli ha (t ) -t, amit mintavételezünk, majd az így kapott
h(nT ) -t Z transzformáljuk:
H a ( s)
ha (t ) = L−1 {H a ( s )}
h(nT ) = ha (t = nT )
H ( z ) = Z {h( nT )}
Ez a megoldás, habár célravezet , de elég hosszadalmas lehet az oda-vissza transzformálgatások miatt, úgyhogy inkább nézzük meg a másik módszert. Ebben az esetben is a már meglév
H a ( s ) -b l indulunk ki. Ha ezt parciális törtekre
bontanánk:
H a ( s) =
rk k =1 s − s k N
ahol N a nevez fokszáma, s k -k a pólusok, rk pedig az aktuális koefficiens. Ebb l
ha (t ) inverz Laplace-szal:
ha (t ) =
N k =1
rk e sk t
ebb l mintavételezéssel (t=nT) a következ t kapjuk:
h( nT ) =
N k =1
ahol
z k = e sk T
rk e
s k nT
=
N k =1
rk z kn
a Z-síkra transzformált pólus. Itt ha s k < 0 akkor 0< r <1, ha s k >0
akkor r >0. Ez annyit jelent, hogy az s-sík „bal oldalát” a Z-sík beli egységkörbe transzformáltuk, a jobb félsíkot az egységkörön kívülre. De amikor s k =0, akkor r is
14
0, azaz a képzetes tengely pontjait az egységkörvonalra képezzük, ami igazából nem kölcsönösen egyértelm leképzés. Tehát megkaptuk a diszkrét idej
rendszer átviteli függvényét, ezt most Z-
transzformáljuk: ∞
H ( z) =
h(nT ) z
−n
n =0
=
∞
N
n = 0 k =1
−1 n
rk ( z k z ) =
rk −1 k =1 1 − z k z N
azaz a végeredmény:
H ( z) =
rk −1 k =1 1 − z k z N
Tehát, ha adott egy H a ( s ) függvény, ami megfelel a specifikációnak, akkor anélkül hogy áttérnénk id tartományra, egyszer en számolható a H ( z ) átviteli függvény a fenti összefüggés alapján, hiszen rk és s k ismert, z k -t pedig s k -ból számolhatjuk. Az
átlapolódás
minimalizálása
érdekében
érdemes
minél
kisebb
mintavételezési id t választani, és éppen ezért az impulzus invariáns módszert csak alul-, vagy sávátereszt sz r kre lehet alkalmazni.
Bilineáris transzformáció IIR sz r k tervezésekor ez a legáltalánosabb eljárás, hiszen itt nem lép fel az átlapolódásból adódó hiba. Ezzel a transzformációval is az S-síkból képzünk a Zsíkra. Az egész leképzést a következ egyszer kifejezés adja meg:
s=
1 − z −1 z − 1 1+ s = vagy z-re rendezve: z = −1 z +1 1− s 1+ z
(gyakran szerepel egy
2 -s szorzó is a transzformációban, T
de a lényegen ez nem változtat) Az el z höz hasonlóan ez a leképzés is a bal félsíkot az egységkörön belülre a jobb félsíkot az egységkörön kívülre, a képzetes tengelyt pedig a körvonalra transzformálja, de ebben az esetben csak egyszer képzi le a körvonalra, így elkerüljük
15
a frekvenciatartománybeli átlapolást. A transzformációt körtartónak is szokták ezért nevezni, mivel az s-beli kör z-ben is kör lesz. A képzetes tengelyt végtelen sugarú körnek tekintjük: 1 + jΩ 1 + Ω2 z = = =1 1 − jΩ 1 + Ω2 Alkalmazva a fenti transzformációt a meglév H a ( s ) átviteli függvényre, megkapjuk
H ( z ) -t:
H ( z ) = H a ( s) s =1− z −1 1+ z −1
Mivel a bilineáris transzformáció s-beli stabil törtfüggvényb l z-beli stabil törtfüggvényt állít el , ezért H ( z ) -nek is eleget kell tennie a kikötéseknek. Kérdéses persze, hogy az így megkapott H ( z ) frekvenciaválasza H (e jωt ) hasonlít-e a folytonos idej frekvenciaválaszhoz, mivel a H (e jωt ) periodikus, H a ( jΩ) viszont nem. A fenti összefüggéseket egymásba helyettesítve kapjuk, hogy:
H (e jωt ) = H ( z ) z = e jωt = H a ( s) s =1− z −1
1+ z −1 z = e jωt
= H a ( s) s =1−e jωt
1+ e jωt
azaz a függvénybe helyettesítend érték:
1 − e jωt ωT s= = j tg( ) = jΩ jωt 2 1+ e ahol
Ω = tg(
ωT 2
) = tg(π
ω ) , ω s pedig a mintavételi frekvencia ωs
így:
H (e jωt ) = H a ( jΩ) Ω = tg( ω ) = H a ( j tg(π ωs
ω )) ωs
ez utóbbiban azt lehet megfigyelni, hogy amíg az w (fizikai frekvencia ) 0 és között változik, az
ωs 2
(relatív frekvencia) 0 és vételen között változik. Ez annyit
jelent, hogy a folytonos id beli
[0;
] –t a leképzés a [0;
ωs 2
]intervallumra
transzformálja. Ezt a nagymérték frekvenciatorzítást úgy tudjuk a specifikációnak
16
megfeleltetni, hogy magát a specifikációt torzítjuk a Ω = tg(
ωT 2
) = tg(π
ω ) -nak ωs
megfelel en, majd erre írjuk fel a H a ( jΩ) függvényt, ami már eleget tesz a torzított specifikációnak. Hogyha ezek után ezt a bilineáris transzformációval leképezzük, a frekvenciaválasz visszatorzul és megfelel a követelményekben el írtaknak. Tehát a gyakorlatban alkalmazandó eljárás a következ : Adott a specifikáció w tartományban. El ször megkeressük a sz r határfrekvenciájához tartozó relatív frekvenciát:
Ω h = tg(π
ωh ) ωs
Ezután, a korábban már leírtaknak megfelel en ,a specifikáció torzítása következik, mégpedig úgy, hogy a határfrekvenciára normáljuk a frekvencia adatokat, az amplitúdót változatlanul hagyjuk:
Ωi = Így mostmár megvan a specifikáció
ω 1 tg(π i ) Ωh ωs tartománybeli alakja. Most erre oldjuk meg az
approximációs feladatot, ami abból áll, hogy a sz r katalógusból kikeressük a követelményeknek megfelel
H a ( s ) sz r karakterisztikát. Ezt célszer en els - és
másodfokú gyöktényez s alakban írjuk fel:
s2 1+ 2 n −1 Ω 0k 1 1 H a ( s) = s ∏ C s s2 k =1 1+ 1 + 2ς k + Ω p0 Ω pk Ω 2pk Ennek az átviteli függvénynek a határfrekvenciája még az egység, hiszen így normáltuk az egyik korábbi lépésben, éppen ezért az s ⇐
s helyettesítéssel vissza Ωh
kell állítani a függvényt, hogy megfeleljen az eredeti specifikációnak. Ezután végezzük el a bilineáris transzformációt a fent említett módon H a ( s ) re. Az utóbbi két lépés egyszerre is elvégezhet a következ helyettesítéssel:
s=
1 1 − z −1 Ω h 1 + z −1
azaz végül:
17
H ( z ) = H a ( s) s =
1 1− z −1 Ω h 1+ z −1
Ezután már csak azt kell eldöntenünk, hogy milyen struktúrában szeretnénk megvalósítani a sz r t.
18
Példa IIR sz r tervezésére H(s) meghatározása a specifikációból: Adott a specifikáció: Sávátereszt sz r t szeretnénk tervezni a 2-4MHz közötti frekvenciasávra az alábbi adatokkal:
aa = 5 [dB]
a z = 50 [dB] ω za = 2π ⋅1,5 ω ha = 2π ⋅ 2,5 ω hf = 2π ⋅ 3,5
ω zf = 2π ⋅ 4,5 A mintavételezési frekvencia: f s = 20 [MHz] Ha az alulátereszt
sz r
átviteli tényez je ΓLP ( s ) , akkor a nekünk szükséges
sávátereszt sz r é: Γ( s ) = ΓLP
1
s
δ ω0
+
ω0 s
.
Ahol a sávközép frekvencia ( ω0 ) és a relatív sávszélesség ( δ ):
ω0 = ω haω hf δ= Vagyis
ω hf − ω ha ω0
ω0 = ω haω hf ≈ 2π ⋅ 2,958 [MHz] , illetve
s 2π ⋅ 2,958 + 2π ⋅ 2,958 s A zárótartományok szélei: Γ( s ) = ΓLP 2,958
= ΓLP
δ=
ω hf − ω ha ≈ 0,338 , tehát: ω0
s 2π ⋅ 8,75 + . 2π s
19
Ω z1 =
1 ω zf
δ ω0
+
ω0 ≈ 6,45 ω zf
Ω z2 =
1 ω0
δ ω za
+
ω za ≈ 7,33 ω0
Ezek közül kiválasztjuk a kisebbet (szigorúbbat), és az lesz az alulátereszt sz r nk záró tartománya: Ω z = min{Ω z1 , Ω z 2 } ≈ 6,45
Milyen alulátereszt sz r t használjunk? ( ΓLP ( s ) = ? ) Célszer
bevezetni az Ω =
ω normalizált frekvencia változót, mellyel az ωh
átereszt sáv a [0;1] tartomány, a zárósáv kezdete pedig az Ω z =
Butterworth közelítés:
ωz érték lesz. ωh
2
Ilyenkor tudjuk, hogy az átviteli tényez t Γ( jΩ) = 1 + e02 Ω 2 n alakban kell keresni. Az e0 paraméter értéke:
e0 = 10
aadB 10
− 1 ≈ 1,47
A szükséges fokszám: a zdB 10
10 − 1 e0 ln Ω z
ln
n≥
n ≥ 2,88 n=3 Ezekb l már kiszámolható:
A=
ϕk =
π 2
n
1 ≈ 0,88 e0
+ (2k − 1)
π 2n
=
π 2
+ (2k − 1)
π 6
Az átviteli tényez pedig (n páratlan):
s ΓLP ( s ) = 1 − A
n −1 2
∏ k =1
1− 2
s s2 cos ϕ k + 2 = A A
= 1,47 s 3 + 2,59 s 2 + 2,27 s + 1 Az általunk keresett sávátereszt sz r átviteli tényez jét a már fentebb kiszámolt behelyettesítéssel kapjuk:
20
Γ( s ) = ΓLP
s 2π ⋅ 8,75 + ≈ 2π s
≈ 0,0059 s 3 + 0,66 s 2 + 6,51s +
2247 7817 244354 + 2 + + 46,26 s s s3
Mivel az átviteli tényez az átviteli függvény reciproka, ezért:
H (s) =
1 168,69 s 3 = 6 Γ ( s ) s + 11,05s 5 + 1097,3s 4 + 7803,3s 3 + 379071s 2 + 1,32 ⋅ 10 6 s + 4,12 ⋅ 10 7
Nézzük meg, hogy néz ki ez a valós frekvencia tartományban: H ( jω )
A vízszintes tengelyen már a valós frekvencia f =
ω látható. 2π
H(z) számítása H(s)-b l: Impulzus invariáns transzformáció H ( z ) -t a következ összefüggésb l kapjuk:
H ( z) =
rk −1 k =1 1 − z k z N
ahol rk -k a H a ( s ) parciális törtjeinek koefficiensei, z k -k pedig H a ( s ) pólusaiból számolhatók a
z k = e sk T összefüggéssel.
Tehát a meglév H a ( s ) függvényt parciális törtalakban keressük: Ehhez el ször kiszámoljuk H a ( s ) pólusait:
s1= -2.76268 - 18.3794
21
s2= -2.76268 + 18.3794
s3= -1.55818 - 21.0817
s4= -1.55818 + 21.0817
s5= -1.2045 - 16.2966
s6= -1.2045 + 16.2966 majd rk -k rk = lim ( s − sk ) H a ( s ) alapján: s → sk
r1= 2.76268 - 0.41527 r2= 2.76268 + 0.41527 r3= -1.50116 + 1.00058 r4= -1.50116 - 1.00058 r5= -1.26153 - 0.594458 r6= -1.26153 + 0.594458
tehát felírhatnánk H a ( s ) -t részlettörtekre bontva. zi-k, pedig a z k = e összefüggésb l: z1= 1 – 9.18972*10^-7 sk T
z2= 1 + 9.18972*10^-7 z3= 1 – 1.05408*10^-6 z4= 1 + 1.05408*10^-6 z5= 1 – 8.14829*10^-7 z6= 1 + 8.14829*10^-7 azaz az átviteli függvény: 2.10939 10 6 2.00115 z 6.32816 10 6 8.00462 z2 6 3 6 6.32816 10 12.0069 z 2.10939 10 8.00463 z4 1. 8.14829 10 7 1. 9.18972 10 7
z z
1. 8.14829 10 7 1. 9.18972 10 7
z z
8.88178 10 16 2.00116
1. 1.05408 10 6
z5
z
a tervezés bilineáris transzformációval: Ebben az esetben nem kell parciális törtekre bontanunk H a ( s ) -t, hanem elvégezzük a s =
1 − z −1 z − 1 = transzformációt. 1 + z −1 z + 1
Ekkor H(z): 3.92972 10 6 1. z 3 1 z 3 0.968602 1.95724 z z2 0.982184 1.96739 z z2 0.98618 1.97731 z z2
22
a pólusai pedig: {{z -0.988655-0.0934924 0.983697-0.12052 0.10444 az
},{z -0.988655+0.0934924
},{z -0.983697+0.12052
},{z -0.978619+0.10444
egységkörön
megnézzük
belül
H a ( jΩ) és
},{z -
},{z -0.978619-
}}
vannak,
tehát
stabil.
De
ha
H (e jωt ) frekvenciaválaszokat, azok nem
egyeznek, mivel H (e jωt ) periódikus.
H (e jωt ) = H ( z ) z = e jωt = H a ( s) s = 1− z −1
1+ z −1 z = e jωt
a függvénybe helyettesítend
s=
1+ e jωt
érték tehát:
jω t
1− e ωT = j tg( ) = jΩ jω t 1+ e 2
ahol
Ω = tg( így is
= H a ( s) s = 1− e jωt
ωT 2
) = tg(π
ω ) ωs
viszont torzul a frekvencia, ezért a specifikációt torzítani
kell,
mégpedig
minden
egyes
frekvencia
adatot a
ωa =
2 T tg( ω ) összefüggés alapján. T 2
Tehát újból meg kell keresni egy H a ( s ) függvényt, ami már az el torzított specifikációnak megfelel:
aa = 5 [dB]
a z = 50 [dB] 2 T ω za = tg( 2π ⋅1,5) T 2 2 T ω ha = tg( 2π ⋅ 2,5) T 2 2 T ω hf = tg( 2π ⋅ 3,5) T 2
23
2 T tg( 2π ⋅ 4,5) T 2 A mintavételezési frekvencia: f s = 20 [MHz]
ω zf =
Ha az alulátereszt
sz r
átviteli tényez je ΓLP (s ) , akkor a nekünk szükséges
sávátereszt sz r é: Γ( s ) = ΓLP
1
s
δ ω0
+
ω0
.
s
Ahol a sávközép frekvencia ( ω0 ) és a relatív sávszélesség ( δ ):
ω0 = ω haω hf δ= Vagyis
ω hf − ω ha ω0
ω0 = ω haω hf ≈ 20.1526 [MHz] ,
Γ( s ) = ΓLP
1 20.1526 s + 0.3941 20.1526 s
illetve
δ=
ω hf − ω ha ≈ 0.3941 , ω0
tehát:
.
A zárótartományok szélei: Ω z1 =
1 ω zf
δ ω0
+
ω0 ≈ 5.797 ω zf
Ωz2 =
1 ω0
δ ω za
+
ω za ≈ 6.532 ω0
Ezek közül kiválasztjuk a kisebbet (szigorúbbat), és az lesz az alulátereszt sz r nk záró tartománya: Ω z = min{Ω z1 , Ω z 2 } ≈ 5.797
Butterworth közelítés:
2
Ilyenkor tudjuk, hogy az átviteli tényez t Γ( jΩ) = 1 + e02 Ω 2 n alakban kell keresni. Az e0 paraméter értéke:
e0 = 10
aadB 10
− 1 ≈ 1,47
A szükséges fokszám:
ln n≥
a zdB 10
10 − 1 e0 ln Ω z
n ≥ 3.056 ≈ 3 n=3 Ezekb l már kiszámolható:
24
A=
ϕk =
π 2
1 ≈ 0,88 n e 0
+ (2k − 1)
π 2n
=
π 2
+ (2k − 1)
π 6
Az átviteli tényez pedig (n páratlan):
s ΓLP ( s ) = 1 − A
n −1 2
∏ k =1
s s2 1 − 2 cos ϕ k + 2 = A A
= 1,47 s 3 + 2,59 s 2 + 2,27 s + 1 Az általunk keresett sávátereszt sz r átviteli tényez jét a már fentebb kiszámolt behelyettesítéssel kapjuk: Γ( s ) = ΓLP
1 s 20.1526 + 0.3941 20.1526 s
≈ 0,0029 s 3 + 0,014 s 2 + 3.86 s +
≈
1567.96 6760.4 196523 + + + 34.29 s s2 s3
Mivel az átviteli tényez az átviteli függvény reciproka, ezért:
H ( s) =
1 : Γ(s )
58.1394
s
0.143155 s2
48.7961 s3 300.817 2.97241 s
s2
548.308
4.01301 s
s2
és most erre a H ( s ) -re, ami már a torzított specifikációt elégíti ki, erre írjuk fel a s =
2 1 − z −1 2 z − 1 = transzformációt: T 1 + z −1 T z + 1
H ( z) = 0.996586
1.99649 z
5.07062 10 9 z2 0.998035
1. z 3 1. z 3 1.9979 z z2 0.998508
1.99844 z
ez is stabil, meg is felel a specifikációnak, és a torzítást is elkerültük.
25
z2
Irodalomjegyzék • • • • •
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis: Digital Signal Processing Digitális sz r k – Telekommunikáció szakos informatikusoknak (Miskolci Egyetem) Dr. Elek Kálmán: Jelfeldolgozó rendszerek jegyzet (BME, Híradástechnikai Tanszék) Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Bilinear_transform) Dr. YuMing Zhang: EE 422G Signals & Systems II (University of Kentucky, College of Engineering)
26
