PÁSMOVÉ SIGNÁLY (Bandpass signals) SaSM5

PÁSMOVÉ SIGNÁLY (Bandpass signals) SaSM5 Definice: Pásmovými signály nazýváme reálné signály, které mají spektrum omezeno do určitého kmitočtového pásma, neobsahujícího nulový kmitočet: S()  0, pro 1    2

S() = 0, pro   1

S(f)

-f2

-f1

f1

f2

f

Kmitočty 1, 2 (f1, f2) nazýváme mezními kmitočty pásmového signálu. f f 2  f1 f 2  f1 b    2 Relativní šířka pásma: f 2  f1 f0 f 2  f1 2

Klasifikace: Úzkopásmové (narrow band) b  2% Širokopásmové (broad/wide band) b(2%, 20%) Ultra širokopásmové (ultra-wide-band) b  20% Poznámka: Relativní šířka pásma b může dosáhnout maximální hodnoty 200%, pokud f1  0. Příklady:  Signál mobilního telefonu GSM - f0 = 890 MHz, f = 200 kHz:  b = 0,022 %  úzkopásmový signál  TV signál pozemního analogového vysílání - f0 = 400 MHz, f = 6 MHz: b = 1,5 %  úzkopásmový signál



Telefonní kanál – f1 = 300 Hz, f2 = 3 700 Hz: b = 170 % ultraširokopásmový signál

Další kroky mají: a) Cíl: Vyjádřit signál jako V(t).exp(j0t), kde V(t) je nízkofrekvenční signál se šířkou pásma B (komplexní obálka) a exp(j0t) je komplexní nosná, přitom f0 = 0/2  B. b) Motivaci: a) Zpracování – nosná umožňuje vysílání, nebo multiplex, zprávu přenáší A(t) b) Matematicky se lépe pracuje s komplexní exponenciálou. Postup – podobně jako Heaviside: A) Heaviside pro harmonické kmitočty: Nahradil cos(t)  exp(jt) a výrazně tím usnadnil výpočetní operace. Jeho postup vypadá ve spektrální oblasti takto: Scos()

1)

cos(0t):

(½).(f+f0)

(½).(f-f0)

0

-0

2)

Vytvoří se nový „pomocný signál“

s1 (t)=j.sin(0t):



S1() (½).(f-f0) -0

-(½).(f-f0)

0



Se spektrem: S1() = S().sign() 3) Ten je však ryze imaginární, takže se ještě podělí imaginární jednotkou a vznikne reálný, tzv. sdružený signál: sˆt  

s1 t   sin t  j

4) Nyní vytvoříme nový komplexní signál jako lineární kombinaci těchto dvou signálů: exp(j0t) = s(t) + s1(t) = cos(0t) + j.sin(0t): Sexp() (f-f0)



0

5) Původní reálný signál dostaneme z komplexního signálu exp(j0t) následující operací: cos(0t) = Reexp(0t) B) Pro pásmové signály: 1) Vyjdeme z reálného pásmového signálu s(t) se spektrem S(): S(f)

-f2

-f1

f1

f2

f

2) Vytvoříme pomocný signál s1(t), jehož spektrum je rovno: S1() = S().sign() S1(f)

-f2

-f1 f1

f2

f

Ten ale není reálný, nýbrž čistě imaginární u reálného signálu by muselo být S(-) = S*() 3) Proto vydělíme s1(t) imaginární jednotkou a vytvoříme tzv.

ˆ sdružený signál: s t  

s1 t  j , který už je reálný.

4) Nakonec vytvoříme tzv. analytický (Hilbertův) signál: sH t   st   jsˆt   st   s1 t  . Pro jeho spektrum platí: SH() = S() + S1(), a proto: SH() = 0 pro   0, SH() = 2S() pro   0: SH(f)

f1

f2

f

5) Původní reálný signál s(t) dostaneme z analytického signálu takto:

s(t) = ResH(t)

6) V časové oblasti: 6a) nejprve vyjádříme pomocný signál s1(t): spektrum pomocného signálu je rovno:

S1    S   sign 

Proto bude pomocný signál roven konvoluci signálu s(t) a signálu, jehož spektrum je rovno sign(). Z cvičení víme, že: FA/t = -jA.sign()  F-1 sign() = j/(t). Takže:  j j st  s1 t   st     dt  t    t  t  Ten je zjevně ryze imaginární, takže zavedeme reálný „sdružený signál“ vztahem:  s1 t  1 st  sˆt     dt  j    t  t 6b) a teď analytický signál sH(t):

s H t   st   j.sˆt   st   j

st  dt      t  t  1



st   t  t dt nazýváme Hilbertovou transformací Symbolicky se značí: sˆt  = Hs(t). Převádí signál (časový průběh) s(t) na jiný signál (časový průběh) sˆt  , kterému říkáme sdružený.

Vztah: sˆt   

1



Inverzní transformaci označujeme s(t) = H-1 sˆt  . Vztah pro inverzní Hilbertovu transformaci odvodíme velmi snadno ve spektrální oblasti. Všimněmě si, že přímá Hilbertova transformace vypadá ve spektrální oblasti takto: 1 Sˆ    S  sign  j

Vynásobením této rovnice funkcí sign() dostaneme: 1 1 sign Sˆ    S  sign 2    S   pro   0 j j 0 pro   0

Pokud ovšem bude hodnota hustoty spektra signálu s(t) v bodě  

= 0 nulová: S   0   st dt  0 , pak platí sign Sˆ    S   pro 

1 j

všechna  a zpětnou transformaci ve spektrální oblasti lze upravit na tento tvar: 1 S    jSˆ  sign    Sˆ  .sign  j

Pro signály s nulovou hodnotou S(0) = 0 tedy platí: H-1s(t) = - Hs(t) Podmínka S(0) = 0 je pro platnost uvedeného vztahu nezbytná. Linearita Hilbertovy transformace: Nechť u(t) a v(t) jsou signály a s(t) = a.u(t) + b.v(t), kde a, b jsou konstanty je jejich lineární kombinací. Pak: Hs(t) = a. Hu(t) + b. Hv(t) - plyne z definičního vztahu HT.

REPREZENTACE PÁSMOVÉHO SIGNÁLU: Obálka pásmového signálu s(t):  Definujeme ji takto: At   sH t   Re 2 sH t  Im2 sH t   s 2 t   sˆ 2 t 

 Vlastnosti obálky: a) -A(t)  s(t)  A(t) b) V místech, kde s(t) =  A(t) platí: s´(t) =  A´(t)  obálka se tečně stýká se signálem c) A(t)  0 d) A(t) = 0 pouze tam, kde se současně signál i sdružený signál rovnají 0.  A(t) tedy obepíná (obaluje) signál s(t). Příklad:

+A(t)

s(t)

-A(t)

t

Okamžitá fáze pásmového signálu s(t):  Definice: Definujeme nejprve pomocnou funkci (t):  Ims H t    ResH t 

 t   argsH t   arctg 

 Ims H t   arctg        Re s t H  

pro Res H t   0, ImsH t   0 pro Res H t   0

 Ims H t   arctg    2 pro Res H t   0, ImsH t   0     Re s t H   Tímto vztahem je (t) jednoznačně definována v rozmezí 0 - 2. Přitom, pokaždé když (t) protíná hranici 2, změní se její hodnota skokem o 2. Pokud je ale sH(t) spojitý, měla by být i jeho fáze spojitou funkcí času.

Okamžitou fázi (t) signálu s(t) tedy definujeme takto:  t   t mod 2 , přitom při průchodu mezemi k.2, kde k je celé číslo, je (t) spojitou funkcí času. Označíme-li (t) = (t) 0t , pak: (t) = 0t + (t) Analytický signál sH(t) pak lze vyjádřit v exponenciálním tvaru: sH(t) = A(t).expj(t) Pásmový signál s(t) = ResH(t)lze vyjádřit vztahem: s(t) = A(t).cos(t) = A(t).cos0t + (t)

Okamžitý kmitočet pásmového signálu s(t):  Definice: f t  

1 dt  dt  , nebo úhlový kmitočet:  t   dt 2 dt

Komplexní obálka pásmového signálu s(t):  Definice: V(t) = sH(t).exp(-jct),

přitom se nosný kmitočet c volí tak, že spektrum SV() signálu V(t) zabírá pásmo v okolí nulového kmitočtu -01, +02, takže se z pásmového signálu stane signál nízkofrekvenční:

S()

01 = 1 - c 02 = 2 - c

c c

01

02

1

2



Je zřejmé, že nosný kmitočet c není touto definicí určen jednoznačně, takže ani komplexní obálka není jednoznačně definována a závisí na volbě c.

Z exponenciálního vyjádření analytického signálu: sH(t) = A(t).expj(t) dostaneme pro komplexní obálku: V(t) = A(t).expj(t)-jct = A(t).expj(t)-ct  A(t).expj(t), kde (t) = (t) - ct … je tzv. fáze komplexní obálky A naopak pro analytický signál: sH(t) = A(t).expjct+j(t) = = A(t).cosct + (t) + j A(t).sinct + (t) Původní reálný pásmový signál s(t) pak lze zapsat takto: s(t) = ResH(t) = A(t).cosct + (t) = A(t)cos(t).cos(ct) – – A(t) sin(t). sin(ct) = Ac(t).cos(ct) + As(t).sin(ct) kde: Ac(t) a As(t) jsou obálky ortogonálních složek cos(ct) a sin(ct) závislé na čase.

Uvedený vztah se nazývá rozklad pásmového signálu do ortogonálních složek. Sdružený signál sˆt  lze zase zapsat takto: sˆ t  = ImsH(t) = A(t).sinct + (t)  A(t).cosct + (t)-/2 Tento vztah lze interpretovat následujícím způsobem:

Sdružený signál je posunutý oproti původnímu signálu o -/2

Pro komplexní obálku pak dostáváme: V(t) = A(t).expj(t) = A(t).cos(t) + jA(t). sin(t) = = Ac(t) – jAs(t) = ReV(t)+j.ImV(t)  ReV(t) = Ac(t) ImV(t) = -As(t) Pro obálku: At   V t  

Ac2 t   As2 t 

A pro fázi komplexní obálky (t):  As t    Ac t 

 t   argV t   arctg 

POSTUPY ZÍSKÁNÍ KOMPLEXNÍ OBÁLKY, OBÁLKY A FÁZE KOMPLEXNÍ OBÁLKY Komplexní obálka: s(t) = Ac(t).cos(ct) + As(t).sin(ct) = ReV(t)cos(ct) - ImV(t)sin(ct) s(t). cos(ct) = ReV(t).cos2(ct) - ImV(t).sin(ct).cos(ct) -s(t). sin(ct) = -ReV(t).cos(ct).sin(ct) + ImV(t).sin2(ct)

ReV(t)/2

INTEG cos(ct)

s(t)

-sin(ct) INTEG

ImV(t)/2

Kvadraturní demodulátor nebo demodulátor komplexní obálky

1 TC

t  TC

 stcos tdt  c

t

1  ReV t  TC

t  TC

1         cos  t d t  Im V t c t TC 2

t  TC

 cos tsin tdt  c

c

t

 1  TC

1 ReV t  2

t  TC

 stsin tdt  c

t

1   ReV t  TC

t  TC

1            cos  t sin  t d t  Im V t c c t TC

t  TC

 sin  tdt  2

c

t



1 ImV t  2

Detekce obálky: a) koherentně (se znalostí nosné včetně fáze) Kvadraturní demodulátor

Ac(t)/2

( )2

INTEG s(t)

cos(ct)

+

sin(ct)



A(t)/2

( )2

INTEG

As(t)/2

Koherentní detektor obálky

b) nekoherentně (bez znalosti nosné) I: ( )2 A2(t) s(t)

+

sˆ t  -/2



( )2

st 2  sˆt 2  A2 t  cos 2 c t   t   A2 t sin 2 c t   t   A2 t  Detektor obálky I

A(t)

c) nekoherentně II: A(t).cosct+(t)

s(t)

s(t)

2.A(t)/

INTEG

Detektor obálky II (s dvoucestným usměrněním)

Fáze obálky (pouze koherentně): Kvadraturní demodulátor INTEG s(t)

Ac(t)

cos(ct) arctg

-sin(ct) INTEG As(t)

Fázový detektor

A s t  A c t 

(t)