Parametrick´y popis kˇrivek Jan Suchomel Sm´ıchovsk´a stˇredn´ı pr˚ umyslov´a ˇskola Maturitn´ı pr´ace 2013/2014 Garant: Mgr. Zbyˇsek Nechanick´y Konzultanti: RNDr. Alena Ryb´akov´a a RNDr. Vladim´ıra H´ajkov´a, Ph.D.
Obsah 1 Kuˇ zeloseˇ cky 1.1 Kruˇznice . 1.2 Parabola . 1.3 Elipsa . . 1.4 Hyperbola
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2 3 10 22 30
2 Dalˇ s´ı rovinn´ e kˇ rivky
39
ˇ 3 Sroubovice
45
4 Dalˇ s´ı prostorov´ e kˇ rivky
59
5 Pˇ r´ıklady na procviˇ cen´ı 5.1 V´ ysledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72 73
6 Kˇ rivky v praxi
78
1
1. Kuˇ zeloseˇ cky Kuˇzeloseˇcky naz´ yv´ame tak´e kvadratick´e kˇrivky, nebot’ mohou b´ yt pops´an´ y pomoc´ı kvadratick´eho polynomu dvou promˇenn´ ych x a y. Obecn´a rovnice kuˇzeloseˇcky je Ax2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0 (alespoˇ n jedno z ˇc´ısel A, B, E je nenulov´e). Takto mohou b´ yt pops´any regul´arn´ı kuˇzeloseˇcky (kruˇznice, elipsa, parabola, hyperbola) i singul´arn´ı kuˇzeloseˇcky (jeden bod, jedna pˇr´ımka, dvˇe r˚ uznobˇeˇzn´e pˇr´ımky, dvˇe rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky) a pr´azdn´a mnoˇzina. Jsou-li osy regul´arn´ıch kuˇzeloseˇcek rovnobˇeˇzn´e se souˇradnicov´ ymi osami soustavy souˇradn´e (O, x, y), v obecn´e rovnici se nevyskytuje ˇclen Exy, tj. E = 0. V dalˇs´ım textu se budeme zab´ yvat v´ yhradnˇe regul´arn´ımi kuˇzeloseˇckami s osami rovnobˇeˇzn´ ymi se souˇradnicov´ ymi osami. Pˇripomeˇ nme, jak z obecn´e rovnice pozn´ame, o jakou kuˇzeloseˇcku se jedn´a. Je-li jedno z ˇc´ısel A, B nulov´e, kuˇzeloseˇcka je parabola. Je-li A · B > 0, je kuˇzeloseˇcka elipsa, je-li nav´ıc A = B, je kuˇzeloseˇcka kruˇznice. Je-li A · B < 0, je kuˇzeloseˇcka hyperbola. U elipsy a hyperboly pˇrevedeme obecnou rovnici na stˇredov´ y tvar, pak snadno urˇc´ıme souˇradnice stˇredu a velikost poloos. U paraboly pˇrevedeme obecnou rovnici na vrcholov´ y tvar a snadno urˇc´ıme souˇradnice vrcholu a parametr.
2
ˇ 1.1. KRUZNICE
1.1
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
Kruˇ znice
Pro urˇcov´an´ı hodnot goniometrick´ ych funkc´ı vyuˇz´ıv´ame jednotkovou kruˇznici x2 + y 2 = 1. Souˇradnice bodu kruˇznice jsou x = cos t a y = sin t, kde t je orientovan´ yu ´hel.
Obr´azek 1.1: Jednotkov´a kruˇznice Kruˇznici m˚ uˇzeme tedy popsat takto k(t) = [cos t, sin t] a to je pr´avˇe parametrick´ y popis kruˇznice (tak´e parametrick´e rovnice kruˇznice), t se naz´ yv´a parametr. Parametr t je promˇenn´ y a jeho hodnoty m˚ uˇzeme vyb´ırat z r˚ uzn´ ych interval˚ u: t∈R kruˇznice je prob´ıh´ana neust´ale t ∈ h0, 2πi v´ ychoz´ı bod je k(0) = [cos 0, sin 0] = [1, 0] koncov´ y bod je k (2π) = [cos 2π, sin 2π] = [1, 0] jeden obˇeh kruˇznice t ∈ h0, 4πi v´ ychoz´ı bod je k(0) = [1, 0] koncov´ y bod je k (4π) = [1, 0] dva obˇehy kruˇznice t ∈ h0, πi v´ ychoz´ı bod je k(0) = [1, 0] koncov´ y bod je k (π) = [−1, 0] popis p˚ ulkruˇznice (horn´ ı p˚ ulkruˇznice)
π π π v´ ychoz´ı bod je k − 2 = cos (− π2 ), sin (− π2 ) = [0, −1] t ∈ −2, 2 koncov´ y bod je k π2 = [0, 1] popis p˚ ulkruˇznice (prav´a p˚ znice)i hulkruˇ √ √
3π π 2 2 t∈ −4,3 v´ ychoz´ı bod je k − 3π = − , − 4 2 2 h i √ koncov´ y bod je k π3 = 12 , 23 popis ˇca´sti kruˇznice 3
ˇ 1.1. KRUZNICE
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
y
y
O
y
O
x
(a) t ∈ R
O
x
(b) t ∈ h0, 2πi
x
(c) t ∈ h0, 4πi
y
y
y
O
x O
O
x
x
(d) t ∈ h0, πi
(e) t ∈ − π2 , π2
π (f) t ∈ − 3π 4 , 3
Obr´azek 1.2: Kruˇznice k pro r˚ uzn´e intervaly parametru t
Pˇri parametrick´em vyj´adˇren´ı k(t) = [cos t, sin t] je kruˇznice, ˇci jej´ı ˇca´st, prob´ıh´ana vˇzdy v kladn´em smˇeru (tj. proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek). Jak parametrick´ y popis upravit, aby byla kruˇznice nebo jej´ı ˇc´ast prob´ıh´ana v z´aporn´em smˇeru? Zkus´ıme zamˇenit parametr t hodnotou −t: k(t) = [cos (−t), sin (−t)] = [cos t, − sin t] (vyuˇz´ıv´ame, ˇze cos je sud´a funkce a sin je lich´a funkce). Uvaˇzujme pro parametr t interval h0, 2πi. ychoz´ı i Snadno vypoˇc´ıt´ame k(0) = [1, 0], k π2 = [0, −1], k(π) = [−1, 0] a k(2π) = [1, 0]. V´ koncov´ y bod je [1, 0] a kruˇznice je prob´ıh´ana v z´aporn´em smˇeru (tj. ve smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek). M˚ uˇzeme vyzkouˇset i dalˇs´ı kombinace. Pro jeden obˇeh kruˇznice je v´ yhodn´e pouˇz´ıt vˇzdy interval h0, 2πi.
4
ˇ 1.1. KRUZNICE
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
k(t) = [− cos t, sin t]
v´ ychoz´ı bod je k(0) = [−1, 0] pro urˇcen´ı smˇeru pouˇzijeme bod k π2 = [0, 1] tj. kruˇznice je prob´ıh´ana v z´aporn´em smˇeru k(t) = [− cos t, − sin t] v´ ychoz´ ı bod je k(0) = [−1, 0] k π2 = [0, −1] tj. kruˇznice je prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru
Jeˇstˇe m˚ uˇzeme zamˇenit souˇradnice (st´ale k(t) = [sin t, cos t] k(0) = [0, 1] k(t) = [sin t, − cos t] k(0) = [0, −1] k(t) = [− sin t, cos t] k(0) = [0, 1] k(t) = [− sin t, − cos t] k(0) = [0, −1]
t ∈ h0, 2πi): k π2 = [1, 0] k π2 = [1, 0] k π2 = [−1, 0] k π2 = [−1, 0]
z´aporn´ y smˇer kladn´ y smˇer kladn´ y smˇer z´aporn´ y smˇer
Pro kruˇznici, kter´a m´a stˇred [0, 0] a jej´ı polomˇer r nen´ı roven 1, lze vyuˇz´ıt podobn´e popisy k(t) = [r · cos t, r · sin t], k(t) = [r · cos t, −r · sin t] atd. Ve vˇsech pˇredchoz´ıch popisech jednotkov´e kruˇznice, kde t ∈ h0, 2πi, je v´ ychoz´ı bod na jedn´e ze souˇradnicov´ ych os x a y. Jak popsat kruˇznici, aby v´ ychoz´ı bod mohl b´ yt vybr´an obecnˇeji? Jistˇe bychom mohli zmˇenit interval pro parametr t, t ∈ hα, βi, ale urˇcen´ı u ´hlu α nemus´ yt vˇzdy jednoduch´e. Chceme vˇzdy pouˇz´ıt pro jeden obˇeh interval h0, 2πi. Vyberme h ı b´ √ i 1 ychoz´ı a kruˇznice byla bod 2 , 23 na jednotkov´e kruˇznici. Chceme, aby tento bod byl v´ prob´ıh´ana v kladn´em eru. h smˇ √ i h √3 1 i 3 1 π Poˇzadujeme k(0) = 2 , 2 a k 2 = − 2 , 2 . y
k
O
x
Obr´azek 1.3: Kruˇznice prob´ıh´ana z obecn´eho bodu V prvn´ı i druh´e souˇradnici parametrick´eho popisu se mus´ı objevit funkce cos i sin: " # √ √ 1 3 3 1 k(t) = cos t − sin t, cos t + sin t , t ∈ h0, 2πi. 2 2 2 2 5
ˇ 1.1. KRUZNICE
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
Pro obˇeh kruˇznice v z´aporn´em smˇeru staˇc´ı zmˇenit znam´enka u funkce sin, jak jsme mohli vypozorovat v pˇredchoz´ım popisu. Pro kruˇznici o stˇredu S = [0, 0] a pro v´ ychoz´ı bod P = [p, q] m˚ uˇzeme ps´at k(t) = [p cos t − q sin t, q cos t + p sin t], t ∈ h0, 2πi, kladn´ y smˇer, k(t) = [p cos t + q sin t, q cos t − p sin t], t ∈ h0, 2πi, z´aporn´ y smˇer. Lze tak´e pouˇz´ıt z´apis s vyuˇzit´ım vektor˚ u k(t) = [0, 0] + (p, q) cos t + (−q, p) sin t nebo k(t) = [0, 0] + (p, q) cos t + (q, −p) sin t, [0, 0] je stˇred S, vektor (p, q) = P − S, vektor (−q, p) nebo (q, −p) je kolm´ y k vektoru P − S. Nyn´ı jiˇz snadno z´ısk´ame parametrick´ y popis libovoln´e kruˇznice o stˇredu S = [m, n], jej´ıˇz v´ ychoz´ı bod je bod P = [p, q]: y
k S
n
q P
p
m
x
Obr´azek 1.4: Libovoln´a kruˇznice prob´ıh´ana z obecn´eho bodu
P − S = (p − m, q − n) a vektor kolm´ y je (−(q − n), p − m), pro kladn´ y smˇer nebo (q − n, −(p − m)), pro z´aporn´ y smˇer. Tedy k(t) = [m, n] + (p − m, q − n) cos t + (−(q − n), p − m) sin t, 6
ˇ 1.1. KRUZNICE
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
tj.: k(t) = [m + (p − m) cos t − (q − n) sin t, n + (q − n) cos t + (p − m) sin t], t ∈ h0, 2πi. kruˇznice prob´ıh´ana (1 obˇeh) od bodu P v kladn´em smˇeru. Pro zmˇenu smˇeru staˇc´ı zmˇenit znam´enko u funkce sin. Tento popis nevyˇzaduje znalost polomˇeru kruˇznice, polomˇer si lze ovˇsem vˇzdy spoˇc´ıtat, je to vzd´alenost bod˚ u P, S : p r = (p − m)2 + (q − n)2 . Je vidˇet, ˇze parametrick´ y popis m´a oproti obecn´e rovnici nav´ıc d˚ uleˇzitou informaci. Parametr t si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako ˇcas a z parametrick´eho popisu lze vyˇc´ıst, jak je kˇrivka prob´ıh´ana v ˇcase.
7
ˇ 1.1. KRUZNICE
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
Pˇ r´ıklad Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı kruˇznice zadan´e obecnou rovnic´ı x2 + y 2 − 6x − 8y = 0. Ovˇeˇrte, zda kruˇznice proch´az´ı poˇca´tkem soustavy souˇradn´e. Pokud ano, napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı kruˇznice (jeden obˇeh), v´ ychoz´ı bod necht’ je poˇca´tek [0, 0] a kruˇznice je prob´ıh´ana v z´aporn´em smˇeru. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Obecnou rovnici uprav´ıme na stˇredov´ y tvar (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25, popˇr.
(x − 3)2 (y − 4)2 + = 1. 25 25
Bod S = [3, 4] je stˇred, polomˇer r = 5. Pokud n´am nez´aleˇz´ı, jak´ ym zp˚ usobem je kruˇznice prob´ıh´ana, m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt vzorec cos2 t + sin2 t = 1. D´ame do rovnosti
x−3 = cos t 5
a
= sin t a (nebo x−3 5 Vyj´adˇr´ıme x a y:
y−4 = sin t 5 y−4 5
= cos t). x = 3 + 5 cos t, y = 4 + 5 sin t.
Parametrick´ y popis kruˇznice je k(t) = [3 + 5 cos t, 4 + 5 sin t], t ∈ h0, 2πi. Dosazen´ım t = 0 a t =
π 2
k(0) = [8, 4], k
π 2
= [3, 9]
zjist´ıme, ˇze v´ ychoz´ı bod je [8, 4] a kruˇznice je prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru. 2. Bod [0, 0] je bodem kruˇznice (dosad´ıme do zadan´e rovnice x = 0 a y = 0). Nyn´ı m˚ uˇzeme pouˇz´ıt vzorec k(t) = [m + (p − m) cos t + (q − n) sin t, n + (q − n) cos t − (p − m) sin t], t ∈ h0, 2πi 8
ˇ 1.1. KRUZNICE
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
kde [m, n] = [3, 4], [p, q] = [0, 0]. Nebo m˚ uˇzeme vyj´adˇrit vektor O−S = [0, 0]−[3, 4] = (−3, −4) a vektor kolm´ y (−4, 3): k(t) = [3, 4] + (−3, −4) cos t + (−4, 3) sin t, t ∈ h0, 2πi. k(t) = [3 − 3 cos t − 4 sin t, 4 − 4 cos t + 3 sin t], t ∈ h0, 2πi. y
k
x
3
Obr´azek 1.5: Kruˇznice prob´ıh´ana v z´aporn´em smˇeru pro t ∈ h0, 2πi
9
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
1.2
Parabola
Uvaˇzujme zn´amou parabolu y = x2 . Tato rovnice je ve vrcholov´em tvaru a vrchol paraboly je bod [0, 0], osa paraboly je osa y. Parametr p je p = 21 (x2 = 2py, 2p =1). Parametr je vzd´alenost ohniska F od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky d. Ohnisko m´a souˇradnice F = 0, 14 , ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka m´a obecnou rovnici d : y = − 41 .
Obr´azek 1.6: Parabola y = x2 Souˇradnice libovoln´eho bodu jsou [x, x2 ]. Parametrick´ y popis t´eto paraboly je napˇr.: k(t) = [t, t2 ]. Aby byla pops´ana cel´a parabola, je potˇreba pro parametr t br´at interval (−∞, ∞), k(0) = [0, 0]. Pˇri kreslen´ı paraboly s vyuˇzit´ım grafick´eho programu mus´ıme interval omezit z obou stran, napˇr. t ∈ h−10, 10i.
10
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
Parametrick´ ych popis˚ u zadan´e paraboly je stejnˇe jako u kruˇznice nekoneˇcn´e mnoho a liˇs´ı se t´ım, jak je parabola prob´ıh´ana. k(t) = [t, t2 ], t ∈ h−3, 3i y
O
x
Obr´azek 1.7: Parabola k pro t ∈ h−3, 3i
k(t) = [−t, t2 ], t ∈ h−3, 3i y
O
x
Obr´azek 1.8: Parabola k pro t ∈ h−3, 3i 11
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
k(t) = [t + 1, (t + 1)2 ], t ∈ h−3, 3i y
O
x
Obr´azek 1.9: Parabola k pro t ∈ h−3, 3i
k(t) = [1 − t, (1 − t)2 ], t ∈ h−3, 3i y
O
x
Obr´azek 1.10: Parabola k pro t ∈ h−3, 3i
12
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA Podobnˇe m˚ uˇzeme postupovat pro dalˇs´ı paraboly x2 = −2py
x = t, t2 = −2py
y 2 = 2px
y = t, t2 = 2px
y 2 = −2px
y = t, t2 = −2px
i h t2 , t ∈ R, k(t) = t, − 2p h 2 i t k(t) = 2p , t , t ∈ R, h 2 i t k(t) = − 2p , t , t ∈ R.
V pˇr´ıpadˇe parabol s vrcholem V = [m, n] vol´ıme ˇcasto parametrizaci tak, aby k(0) = V . Volbou intervalu pro parametr t snadno vybereme poˇzadovanou ˇc´ast paraboly. Napˇr. (x − m)2 = 2p(y − n), t = x − m, x = t + m, t2 t2 = 2p(y − n), y = + n, 2p t2 + n , t ∈ R, k(t) = t + m, 2p (y − n)2 = −2p(x − m), t = y − n, y = t + n, t2 t2 = −2p(x − m), x = − + m, 2p 2 t k(t) = − + m, t + n , t ∈ R. 2p
13
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
Pˇ r´ıklad 1 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı paraboly zadan´e obecnou rovnic´ı x2 − 6x − 10y + 49 = 0. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇca´sti paraboly mezi jej´ımi body P a Q, jejichˇz y-ov´e souˇradnice jsou rovny 13 . 2 ˇ sen´ı: Reˇ 1. Obecnou rovnici uprav´ıme na vrcholov´ y tvar (x − 3)2 = 10(y − 4). Bod V = [3, 4] je vrchol, parametr p = 5, ohnisko F = 3, 13 , ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka d : y = 23 . 2 t2 Vol´ıme t = x − 3, pak t2 = 10(y − 4). Vypoˇc´ıt´ame x = t + 3, y = 10 + 4. Parametrick´e vyj´adˇren´ı paraboly je t2 + 4 , t ∈ R. k(t) = t + 3, 10
Obr´azek 1.11: Parabola pro t ∈ h−10, 10i 14
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
2. Souˇradnice bod˚ u P a Q m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat z obecn´e rovnice nebo z parametrick´eho vyj´adˇren´ı 13 + 49 = 0 2 x2 − 6x − 16 = 0 x1 = 8, x2 = −2 x = t + 3, t = x − 3 t1 = 5, t2 = −5 Pro parametr t vybereme interval h−5, 5i, 13 k(−5) = −2, , 2 13 k(5) = 8, . 2 x2 − 6x − 10 ·
t2 13 +4= 10 2 5 t2 = 10 2 2 t = 25 t1 = 5, t2 = −5
Obr´azek 1.12: Parabola pro t ∈ h−5, 5i
15
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
Pˇ r´ıklad 2 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı paraboly zadan´e obecnou rovnic´ı x2 − 6x + 10y − 31 = 0. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇca´sti paraboly mezi body P a Q, xP = −2 a xQ = 13. Parametrizaci volte tak, aby k(0) = P a ˇca´st paraboly byla prob´ıh´ana smˇerem od bodu P do bodu Q. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Obecnou rovnici uprav´ıme na vrcholov´ y tvar (x − 3)2 = −10(y − 4). Bod V = [3, 4] je vrchol, parametr p = 5, ohnisko F = 3, 23 , ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka d : y = t2 + 4. Vol´ıme t = x − 3, pak t2 = −10(y − 4). Vypoˇc´ıt´ame x = t + 3, y = − 10 Parametrick´e vyj´adˇren´ı paraboly je t2 k(t) = t + 3, − + 4 , t ∈ R. 10
Obr´azek 1.13: Parabola pro t ∈ h−10, 10i 16
13 . 2
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
2. Interval pro parametrizaci paraboly mezi body P a Q m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat napˇr´ıklad z parametrick´eho vyj´adˇren´ı
t + 3 = −2 t1 = −5
t + 3 = 13 t2 = 10
Dan´a parabola by tedy byla prob´ıhan´a z bodu P do bodu Q pro parametr t ∈ h−5, 10i. Aby bylo k(0) = P , zmˇen´ıme parametr t = s − 5 a m´ame: (s − 5)2 + 4 , s ∈ h0, 15i k(s) = s − 2, − 10 (s = t + 5, s1 = −5 + 5 = 0, s2 = 10 + 5 = 15).
Obr´azek 1.14: Parabola pro s ∈ h0, 15i
17
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
Pˇ r´ıklad 3 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı paraboly, bod V = [3, 4] je vrchol, osa paraboly je rovnobˇeˇzn´a s osou x a bod P = [13, 14] je bodem paraboly. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇca´sti paraboly mezi bodem P a pr˚ useˇc´ıkem paraboly s osou x. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Abychom mohli parabolu parametricky vyj´adˇrit, nejdˇr´ıve nap´ıˇseme vrcholov´ y tvar 2 rovnice paraboly. Parabola m´a rovnici (y − n) = 2p(x − m). Dosazen´ım bod˚ uV a P z´ısk´ame parametr p: (14 − 4)2 = 2p(13 − 3), 100 = 20p, p = 5. Obecn´a rovnice paraboly je tedy (y − 4)2 = 10(x − 3). , 4 , ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka d : x = 21 . Parametr je p = 5, ohnisko F = 11 2 t2 Vol´ıme t = y − 4, pak t2 = 10(x − 3). Vypoˇc´ıt´ame x = 10 + 3, y = t + 4. Parametrick´e vyj´adˇren´ı paraboly je 2 t + 3, t + 4 , t ∈ R. k(t) = 10
Obr´azek 1.15: Parabola pro t ∈ h−10, 10i 18
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
2. Hodnoty parametru t pro poˇzadovanou ˇca´st paraboly z´ısk´ame z rovnic
t + 4 = 0 (pr˚ useˇc´ık s osou x ) t1 = −4
t + 4 = 14 (bod P ) t2 = 10
ˇ ast paraboly mezi bodem P a pr˚ C´ useˇc´ıkem s osou x m´a parametrick´e vyj´adˇren´ı 2 t k(t) = + 3, t + 4 , t ∈ h−4, 10i. 10
Obr´azek 1.16: Parabola pro t ∈ h−4, 10i
19
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
Pˇ r´ıklad 4 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı paraboly, bod F = 21 , 4 je ohnisko, obecn´a rovnice ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky d je x = 11 . 2 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇca´sti paraboly mezi pr˚ useˇc´ıkem P paraboly s osou x a pr˚ useˇc´ıkem Q paraboly s osou y, yQ > 0. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Abychom mohli parabolu parametricky vyj´adˇrit, nejdˇr´ıve nap´ıˇseme vrcholov´ y tvar rovnice paraboly. Protoˇze ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka je rovnobˇeˇzn´a s osou y, je osa paraboly rovnobˇeˇzn´a s osou x. Parametr p je vzd´alenost ohniska F od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky d, p = 5. Snadno zjist´ıme i vrchol V = [3, 4]. Parabola m´a vrcholovou rovnici (y − n)2 = −2p(x − m). Po dosazen´ı konkr´etn´ıch hodnot n´am vyjde (y − 4)2 = −10(x − 3). 2
t + 3, y = t + 4. Vol´ıme t = y − 4, pak t2 = −10(x − 3). Vypoˇc´ıt´ame x = − 10 Parametrick´e vyj´adˇren´ı paraboly je 2 t k(t) = − + 3, t + 4 , t ∈ R. 10
Obr´azek 1.17: Parabola pro t ∈ h−10, 10i 20
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.2. PARABOLA
2. Hodnoty parametru t pro poˇzadovanou ˇca´st paraboly z´ısk´ame z rovnic
t + 4 = 0 (pr˚ useˇc´ık s osou x ) t1 = −4
−
t2 + 3 = 0 (bod Q) 10 t2 = 30 √ t2 = 30 (yQ > 0)
ˇ ast paraboly mezi pr˚ C´ useˇc´ıky P a Q m´a vyj´adˇren´ı 2 √ t k(t) = − + 3, t + 4 , t ∈ h−4, 30i. 10
√ Obr´azek 1.18: Parabola pro t ∈ h−4, 30i
21
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.3. ELIPSA
1.3
Elipsa
Kruˇznice je speci´aln´ı pˇr´ıpad elipsy. D´a se pˇredpokl´adat, ˇze parametrizace elipsy bude podobn´a parametrizaci kruˇznice. Uvaˇzujme nejprve elipsu o stˇredu O = [0, 0], velikost hlavn´ı poloosy znaˇc´ıme a, velikost vedlejˇs´ı poloosy znaˇc´ıme b. Plat´ı a > b. Rovnice elipsy ve stˇredov´em tvaru je pak x2 y 2 + 2 =1 a2 b a hlavn´ı osa elipsy je osa x, nebo x2 y 2 + 2 =1 b2 a a hlavn´ı osa elipsy je osa y. Pro parametrizaci elipsy pouˇzijeme vzorec cos2 t + sin2 t = 1. 2
2
Pro rovnici xa2 + yb2 = 1 d´ame do rovnosti xa = cos t a yb = sin t (popˇr. Parametrick´ y popis elipsy je k(t) = [a cos t, b sin t] (popˇr. k(t) = [a sin t, b cos t]), pro jeden obˇeh bereme t ∈ h0, 2πi. 2 2 Pro rovnici xb2 + ay2 = 1 d´ame do rovnosti xb = cos t a ay = sin t (popˇr. Parametrick´ y popis elipsy je k(t) = [b cos t, a sin t]
x a
= sin t a
y b
= cos t).
x b
= sin t a
y a
= cos t).
(popˇr. k(t) = [b sin t, a cos t]), t ∈ h0, 2πi. Snadno ovˇeˇr´ıme: je-li funkce cos v x -ov´e souˇradnici, v´ ychoz´ı bod k(0) je vrchol na ose x, je-li funkce cos v y-ov´e souˇradnici, je v´ ychoz´ı bod k(0) vrchol elipsy na ose y. Pro obecnˇejˇs´ı pˇr´ıpad, kdy stˇred elipsy je bod S = [m, n] a rovnice ve stˇredov´em tvaru je (x − m)2 (y − n)2 + =1 a2 b2 nebo
(x − m)2 (y − n)2 + = 1, b2 a2 zmˇen´ıme pˇredchoz´ı parametrick´ y popis pˇriˇcten´ım vektoru posunut´ı S − O = (m, n), tedy k(t) = [m + a cos t, n + b sin t] (popˇr. k(t) = [m + a sin t, n + b cos t]) nebo k(t) = [m + b cos t, n + a sin t]. 22
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.3. ELIPSA (popˇr. k(t) = [m + b sin t, n + a cos t]) t ∈ h0, 2πi pro 1 obˇeh.
Zmˇenou znam´enka u funkce cos mˇen´ıme v´ ychoz´ı vrchol elipsy, zmˇenou znam´enka u funkce sin mˇen´ıme smˇer prob´ıh´an´ı elipsy. Ot´azka je, zda m˚ uˇzeme vybrat za v´ ychoz´ı bod jin´ y bod elipsy neˇz vrchol. To je moˇzn´e, ale museli bychom br´at v u ´vahu sdruˇzen´e pr˚ umˇery elipsy, nebylo by to tak jednoduch´e jako u kruˇznice. T´ımto se v textu zab´ yvat nebudeme. V t´eto ˇca´sti si uk´aˇzeme, jak jednoduˇse m˚ uˇzeme popsat teˇcny parametricky zadan´ ych kˇrivek. Mˇejme kˇrivku k(t) = [x(t), y(t)], t ∈ I(interval), vybereme si bod na t´eto kˇrivce K = k(t0 ) (t0 je vybran´e ˇc´ıslo z intervalu I ). Teˇcna kˇrivky souvis´ı s derivac´ı, u parametricky zadan´ ych ’ kˇrivek derivujeme zvl´aˇst kaˇzdou souˇradnici a znaˇc´ıme k 0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)), t ∈ I. To jsou teˇcn´e vektory kˇrivky k. Teˇcn´ y vektor v bodˇe K = k(t0 ) je vektor k 0 (t0 ) = (x0 (t0 ), y 0 (t0 )). Velikost tohoto vektoru vypov´ıd´a nav´ıc o rychlosti, jakou je kˇrivka v dan´em bodˇe prob´ıh´ana. Teˇcna kˇrivky k v bodˇe K je urˇcena bodem K = k(t0 ) a smˇerov´ ym vektorem k 0 (t0 ).
23
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.3. ELIPSA
Pˇ r´ıklad 1 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı elipsy zadan´e obecnou rovnic´ı 9x2 + 16y 2 − 72x − 96y = 0. D´ale napiˇste souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u se souˇradnicov´ ymi osami a napiˇste obecn´e rovnice teˇcen elipsy v tˇechto pr˚ useˇc´ıc´ıch. ˇ sen´ı: Obecnou rovnici uprav´ıme na stˇredov´ Reˇ y tvar (x − 4)2 (y − 3)2 + = 1. 32 18 Stˇred √ elipsy je bod S = [4, 3], hlavn´ı osa√je rovnobˇeˇzn´a s osou x, velikost hlavn´ı poloosy je a = 4 2, velikost vedlejˇs´ı poloosy b = 3 2. D´ame do rovnosti napˇr. x−4 √ = cos t, 4 2 y−3 √ = sin t. 3 2 a m´ame parametrick´e vyj´adˇren´ı √ √ k(t) = [4 + 4 2 · cos t, 3 + 3 2 · sin t], t ∈ h0, 2πi. √ V´ ychoz´ı bod je bod k(0) = [4 + 4 2, 3], coˇz je prav´ y hlavn´ı vrchol. Protoˇze k π2 = √ [4, 3 + 3 2] je horn´ı vedlejˇs´ı vrchol, je elipsa prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru. Souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u se souˇradnicov´ ymi osami m˚ uˇzeme urˇcit z obecn´e rovnice nebo z parametrick´eho vyj´adˇren´ı: 1. pr˚ useˇc´ıky s osou x (y = 0) nebo √ 3 + 3 2 sin t = 0
9x2 − 72x = 0 9x(x − 8) = 0 x1 = 0 x2 = 8
sin t = −
24
2 2
5π 4 7π t2 = 4 (vyb´ır´ame ˇreˇsen´ı v h0, 2πi) 5π k = [0, 0] 4 7π k = [8, 0] 4 t1 =
Pr˚ useˇc´ıky s osou x jsou body P1 = [0, 0] a P2 = [8, 0].
√
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.3. ELIPSA 2. pr˚ useˇc´ıky s osou y (x = 0)
√ 4 + 4 2 cos t = 0
16y 2 − 96y = 0 16y(y − 6) = 0 y1 = 0 y2 = 6
cos t = −
√
2 2
5π 4 3π t3 = 4 5π = [0, 0] k 4 3π = [0, 6] k 4 t1 =
Pr˚ useˇc´ıky s osou y jsou body P1 = [0, 0] a P3 = [0, 6].
Nyn´ı vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory: √ √ k 0 (t) = (−4 2 · sin t, 3 2 · cos t). V bodˇe k 5π = [0, 0] je teˇcn´ y vektor k 0 5π = (4, −3) a obecn´a rovnice teˇcny je 4 4 p1 : 3x + 4y = 0. = [0, 6] je teˇcn´ y vektor k 0 3π = (−4, −3) a obecn´a rovnice teˇcny je V bodˇe k 3π 4 4 p3 : 3x − 4y + 24 = 0. 0 7π = [8, 0] je teˇ c n´ y vektor k = (4, 3) a obecn´a rovnice teˇcny je V bodˇe k 7π 4 4 p2 : 3x − 4y − 24 = 0. Posledn´ı dvˇe teˇcny jsou rovnobˇeˇzn´e.
25
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.3. ELIPSA
y
P3 p1
p2
p3
P2
P1
x
O
Obr´azek 1.19: Elipsa pro t ∈ h0, 2πi
26
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.3. ELIPSA
Pˇ r´ıklad 2 √ √ Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı elipsy, √ body E = [3, 4 + 14] a F = [3, 4 − 14] jsou jej´ı ohniska, velikost vedlejˇs´ı poloosy b = 3 2 Elipsu parametrizujte tak, aby v´ ychoz´ı bod k(0) byl lev´ y vedlejˇs´ı vrchol a elipsa byla prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru. Napiˇste obecn´e rovnice norm´al elipsy v jejich pr˚ useˇc´ıc´ıch se souˇradn´ ymi osami. Pozn´ amka: Norm´ala kˇrivky v bodˇe K je pˇr´ımka kolm´a k teˇcnˇe v tomto bodˇe K. √ ˇ sen´ı: Ze zadan´ Reˇ ych ohnisek snadno z´ısk´ame excentricitu e = 14 a pomoc´ı vztahu √ a2 = e2 + b2 dopoˇc´ıt´ame velikost hlavn´ı poloosy a = 4 2. Stˇred leˇz´ı ve stˇredu u ´seˇcky EF a jeho souˇradnice jsou tedy S = [3, 4]. Hlavn´ı osa je rovnobˇeˇzn´a s osou y. Vypoˇc´ıtan´e hodnoty pouˇzijeme pro naps´an´ı stˇredov´eho tvaru obecn´e rovnice elipsy: (x − m)2 (y − n)2 + = 1, b2 a2 (x − 3)2 (y − 4)2 + = 1. 18 32 Pro parametrizaci d´ame do rovnosti napˇr.: x−3 √ = cos t, 3 2 y−4 √ = sin t. 4 2 a m´ame parametrick´e vyj´adˇren´ı √ √ k(t) = [3 + 3 2 · cos t, 4 + 4 2 · sin t], t ∈ h0, 2πi. √ V´ ychoz´ı bod je bod k(0) = [3 + 3 2, 4], coˇz je prav´ y vedlejˇs´ı vrchol. Abychom napsali vyj´adˇren´ı s v´ ychoz´ ım bodem√v lev´em vedlejˇs´ım vrcholu, zmˇen´ıme znam´enko u funkce cos. Protoˇze je k π2 = [3, 4 + 4 2], je elipsa prob´ıh´ana v z´aporn´em smˇeru. Zmˇen´ıme tedy i znam´enko u funkce sin. Poˇzadovan´e parametrick´e vyj´adˇren´ı elipsy je pak √ √ k(t) = [3 − 3 2 · cos t, 4 − 4 2 · sin t], t ∈ h0, 2πi. Souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u se souˇradnicov´ ymi osami m˚ uˇzeme urˇcit napˇr´ıklad z parametrick´eho vyj´adˇren´ı:
27
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.3. ELIPSA 1. pr˚ useˇc´ıky s osou x (y = 0)
√ 4 − 4 2 sin t = 0 √ 2 sin t = 2 π t1 = 4 3π t2 = 4 (vyb´ır´ame ˇreˇsen´ı v h0, 2πi) π k = [0, 0] = P1 4 3π k = [6, 0] = P2 4 2. pr˚ useˇc´ıky s osou y (x = 0) √ 3 − 3 2 cos t = 0 √ 2 cos t = 2 π t1 = 4 7π t3 = 4 π k = [0, 0] = P1 4 7π = [0, 8] = P3 k 4 Nyn´ı vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory √ √ k 0 (t) = (3 2 · sin t, −4 2 · cos t) y vektor k 0 π4 = (3, −4) a obecn´a rovnice norm´aly je V bodˇe k π4 = [0, 0] je teˇcn´ n1 : 3x − 4y =0. V bodˇe k 3π = [6, 0] je teˇcn´ y vektor k 0 3π = (3, 4) a obecn´a rovnice norm´aly je 4 4 n2 : 3x + 4y −18 = 0. 0 7π V bodˇe k 7π = [0, 8] je teˇ c n´ y vektor k = (−3, −4) a obecn´a rovnice norm´aly je 4 4 n3 : 3x + 4y − 32 = 0.
28
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.3. ELIPSA
p3
p3
y
p2
k
O
x
Obr´azek 1.20: Elipsa pro t ∈ h0, 2πi
29
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.4. HYPERBOLA
1.4
Hyperbola
Uvaˇzujme hyperbolu o stˇredu O = [0, 0], osy hyperboly jsou souˇradnicov´e osy. Rovnice hyperboly ve stˇredov´em tvaru je x2 y 2 − 2 = 1. a2 b hlavn´ı osa je osa x, vrcholy jsou body A = [a, 0], B[−a, 0] nebo x2 y 2 − 2 + 2 = 1. b a hlavn´ı osa je osa y, vrcholy jsou body A = [0, a], B[0, −a] Kladn´e ˇc´ıslo a je velikost hlavn´ı poloosy, kladn´e ˇc´ıslo b je velikost vedlejˇs´ı poloosy. y
y
O
(a) Hyperbola
x
x2 16
−
y2 9
O
x
2
=1
(b) Hyperbola − x9 +
y2 16
=1
Obr´azek 1.21: Hyperboly v z´akladn´ı poloze Pˇripomeˇ nme, ˇze m˚ uˇze b´ yt a > b i a < b. Je-li a = b, hyperbola se naz´ yv´a rovnoos´a. Kaˇzd´a hyperbola m´a 2 tzv. asymptoty, jsou to pˇr´ımky, ke kter´ ym se tato kˇrivka pˇribliˇzuje. x2 a2
y2 b2
2
= 1 z´ısk´ame asymptoty z rovnice xa2 − x y x y − · + = 0. a b a b Rovnice asymptot ve smˇernicov´em tvaru jsou Pro hyperbolu
−
b y= x a a
b y = − x. a 30
y2 b2
= 0, tj.:
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.4. HYPERBOLA 2
Pro hyperbolu − xb2 +
y2 a2
2
= 1 z´ısk´ame asymptoty z rovnice − xb2 + x y x y − + · + = 0, b a b a
y2 a2
= 0, tj.:
a y= x b a
a y = − x. b y
x
O
Obr´azek 1.22: Asymptoty y = x a y = −x rovnoos´e hyperboly
x2 16
−
y2 16
=1
Vzhledem k pˇredchoz´ım poznatk˚ um bychom pro parametrizaci hyperboly chtˇeli naj´ıt dvˇe funkce f a g, pro kter´e by platilo f 2 (t) − g 2 (t) = 1. Takov´e funkce se naz´ yvaj´ı hyperbolick´e a jsou jimi funkce f (t) =
et + e−t 2
g(t) =
et − e−t . 2
a
Df = Dg = R 31
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.4. HYPERBOLA
y
y
O
O
x
(a) Funkce f
(b) Funkce g
Obr´azek 1.23: Grafy hyperbolick´ ych funkc´ı f a g Snadno uk´aˇzeme, ˇze f 0 (t) = g(t), f 00 (t) = f (t), g 0 (t) = f (t) a f 00 (t) = g(t). Nˇeco podobn´eho zn´ame pro funkce sin a cos (aˇz na znam´enka): (cost)0 = − sin t, (cost)00 = − cos t , (sin t)0 = cos t a (sint)00 = − sin t. t
−t
naz´ yv´a kosinus hyperbolick´ y, znaˇc´ıme cosh t. Funkce Proto se funkce f (t) = e +e 2 et −e−t g(t) = 2 se naz´ yv´a sinus hyperbolick´ y a znaˇc´ıme sinh t. Nyn´ı si ovˇeˇr´ıme, ˇze plat´ı cosh2 t − sinh2 t = 1: 2 2 1 t 1 t −t −t (e + e ) − (e − e ) 2 2 1 2t 1 2t e + 2et · e−t + e−2t − e − 2et · e−t + e−2t 4 4 1 2t 1 1 1 1 1 e + · 2 · 1 + e−2t − e2t + · 2 · 1 − e−2t 4 4 4 4 4 4 1 1 + =1 2 2
32
x
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.4. HYPERBOLA Pro parametrizaci hyperboly
d´ame do rovnosti
x a
= cosh t a
y b
x2 y 2 − 2 =1 a2 b = sinh t a z´ısk´ame parametrick´e vyj´adˇren´ı
k(t) = [a cosh t, b sinh t] , t ∈ R. Toto je ovˇsem parametrick´ y popis jedn´e vˇetve hyperboly. V´ıme, ˇze cosh t ≥ 1 pro vˇsechna t ∈ R (viz graf f ). Uveden´ y parametrick´ y popis je popisem prav´e vˇetve hyperboly. Parametrick´ y popis obou vˇetv´ı (symetrie podle osy y) je k(t) = [±a cosh t, b sinh t] , t ∈ R. 2
2
Pro parametrick´ y popis hyperboly − xb2 + ay2 = 1 d´ame do rovnosti xb = sinh t a (zd˚ uraznˇeme, ˇze se rozhodujeme podle znam´enek v obecn´e rovnici). Parametrick´ y popis obou vˇetv´ı je
y a
= cosh t
k(t) = [b sinh t, ±a cosh t] , t ∈ R. (znam´enko + je pro horn´ı vˇetev, znam´enko - je pro doln´ı vˇetev). Souˇradnice vrchol˚ u jsou k(0) = [b sinh 0, ±a cosh 0] = [0, ±a · 1] = [0, ±a]. Pro obecnˇejˇs´ı pˇr´ıpad, kdy stˇred hyperboly je bod S = [m, n] a rovnice ve stˇredov´em tvaru je (x − m)2 (y − n)2 − =1 a2 b2 nebo (x − m)2 (y − n)2 − + =1 b2 a2 zmˇen´ıme pˇredchoz´ı parametrizaci pˇriˇcten´ım vektoru posunut´ı S − O = (m, n). 2 2 − (y−n) = 1 je Parametrick´ y popis hyperboly (x−m) a2 b2 k(t) = [m ± a cosh t, n + b sinh t], t ∈ R. 2
parametrick´ y popis hyperboly − (x−m) + b2
(y−n)2 a2
= 1 je
k(t) = [m + b sinh t, n ± a cosh t], t ∈ R. Pˇri kreslen´ı hyperboly s vyuˇzit´ım grafick´eho programu mus´ıme interval pro parametr t omezit z obou stran, napˇr. t ∈ h−10, 10i
33
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.4. HYPERBOLA
Pˇ r´ıklad 1 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı hyperboly zadan´e obecnou rovnic´ı 9x2 − 16y 2 − 54x + 128y − 319 = 0. Napiˇste souˇradnice vrchol˚ u a ohnisek hyperboly. D´ale napiˇste obecn´e rovnice asymptot. ˇ sen´ı: Obecnou rovnici uprav´ıme na stˇredov´ Reˇ y tvar: (x − 3)2 (y − 4)2 − = 1. 16 9 Stˇred hyperboly je bod S = [3, 4], hlavn´ı osa je rovnobˇeˇzn´a s osou x. Velikost hlavn´ı poloosy je a = 4, velikost vedlejˇs´ı poloosy je b = 3. Pro parametrizaci d´ame do rovnosti x−3 = cosh t, 4 y−4 = sinh t 3 a z´ısk´ame parametrick´ y popis prav´e vˇetve k(t) = [3 + 4 cosh t, 4 + 3 sinh t], t ∈ R. Parametrick´ y popis obou vˇetv´ı je k(t) = [3 ± 4 cosh t, 4 + 3 sinh t], t ∈ R. Vrcholy m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat z parametrick´eho vyj´adˇren´ı k(0) = [3 ± 4 · 1, 4 + 3 · 0], tedy A = [7, 4], B = [−1, 4]. Pro velikost excentricity e plat´ı vztah e2 = a2 + b2 . V naˇsem pˇr´ıpadˇe e2 = 16 + 9 a tedy e = 5. E = [3 + 5, 4] = [8, 4] F = [3 − 5, 4] = [−2, 4] Rovnice asymptot z´ısk´ame z rovnice (x − 3)2 (y − 4)2 − =0 16 9 tj.: 9(x − 3)2 − 16(y − 4)2 = 0 [3(x − 3)]2 − [4(y − 4)]2 = 0 [3(x − 3) − 4(y − 4)] · [3(x − 3) + 4(y − 4)] = 0. 34
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.4. HYPERBOLA Rovnice asymptot jsou
a1 : 3x − 4y + 7 = 0 a a2 : 3x + 4y − 25 = 0.
a2
y
O
x
k a1
Obr´azek 1.24: Hyperbola pro t ∈ h−2, 2i
35
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.4. HYPERBOLA
Pˇ r´ıklad 2 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı hyperboly zadan´e obecnou rovnic´ı 9x2 − 16y 2 − 54x + 128y − 31 = 0. Napiˇste souˇradnice vrchol˚ u, ohnisek a pr˚ useˇc´ık˚ u hyperboly se souˇradnicov´ ymi osami. D´ale napiˇste obecn´e rovnice asymptot. ˇ sen´ı: Obdobnˇe jako v minul´em pˇr´ıkladu uprav´ıme obecnou rovnici na stˇredov´ Reˇ y tvar: (y − 4)2 (x − 3)2 − = 1. 9 16 Stˇred hyperboly je bod S = [3, 4], hlavn´ı osa je rovnobˇeˇzn´a s osou y. Velikosti poloos jsou a = 3 a b = 4. Pro parametrizaci d´ame do rovnosti y−4 = cosh t, 3 x−3 = sinh t 4 a z´ısk´ame parametrick´ y popis horn´ı vˇetve k(t) = [3 + 4 sinh t, 4 + 3 cosh t], t ∈ R. Parametrick´ y popis obou vˇetv´ı je k(t) = [3 + 4 sinh t, 4 ± 3 cosh t], t ∈ R. Vrcholy m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat z parametrick´eho vyj´adˇren´ı k(0) = [3 + 4 · 0, 4 ± 3 · 1], tedy A = [3, 7], B = [3, 1]. Pro velikost excentricity e plat´ı vztah e2 = a2 + b2 . V naˇsem pˇr´ıpadˇe e2 = 9 + 16 a tedy e = 5. E = [3, 4 + 5] = [3, 9] F = [3, 4 − 5] = [3, −1] Rovnice asymptot z´ısk´ame z rovnice (y − 4)2 (x − 3)2 − =0 9 16 tj.: 16(y − 4)2 − 9(x − 3)2 = 0 [4(y − 4)]2 − [3(x − 3)]2 = 0 [4(y − 4) − 3(x − 3)] · [4(y − 4) + 3(x − 3)] = 0. 36
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.4. HYPERBOLA Rovnice asymptot jsou
a1 : 3x − 4y + 7 = 0 a a2 : 3x + 4y − 25 = 0. Souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u hyperboly se souˇradnicov´ ymi osami m˚ uˇzeme urˇcit a) z obecn´e rovnice nebo b) z rovnice ve stˇredov´em tvaru nebo c) z parametrick´eho vyj´adˇren´ı. 1. Pr˚ useˇc´ıky s osou x (y = 0) a)
b) 16 (x − 3)2 − =1 9 16 (x − 3)2 7 − =− 16 9 7 2 (x − 3) = · 16 9√ 4 7 |x − 3| = 3 √ 4 7 x1 = 3 + 3 √ 4 7 x2 = 3 − 3
9x2 − 54x − 31 = 0 √ 54 ± 4032 x1,2 = 18 √ 54 ± 24 7 x1,2 = 18 √ 4 7 x1 = 3 + 3 √ 4 7 x2 = 3 − 3
c) pr˚ useˇc´ıky s osou x m´ a pouze doln´ı vˇetev
pro et =
4 − 3 cosh t = 0 1 4 − 3 · (et + e−t ) = 0 2 8 − 3 · (et + e−t ) = 0 1 8 − 3et − 3 t = 0 e 8et − 3(et )2 − 3 = 0
√ 4+ 7 3
je sinh t = 12 (et −
1 et )
=
√ 1 4+ 7 3 √ )= = ( − 2 3 4+ 7 √ √ 1 4 + 7 3(4 − 7) = ( − )= 2 √3 9 √ 1 2 7 7 = · = 2 3 3
3(et )2 − 8et + 3 = 0 √ 8 ± 28 t e = 6√ 4 ± 7 et = 3
pro et =
√ 4− 7 3
√
je sinh t = 12 ( 4−3 7 − 4−3√7 ) = −
√ 4 7 x1 = 3 + 3 √ 4 7 x2 = 3 − 3 Z v´ ypoˇctu je vidˇet, ˇze nejrychlejˇs´ı v´ ypoˇcet vych´az´ı z rovnice ve stˇredov´em tvaru. Pr˚ useˇc´ıky h i h i √ √ s osou x jsou body P1 = 3 + 4 3 7 , 0 a P2 = 3 − 4 3 7 , 0 .
37
√
7 3
ˇ ˇ KAPITOLA 1. KUZELOSE CKY
1.4. HYPERBOLA
2. Pr˚ useˇc´ıky s osou y (x = 0) vypoˇc´ıt´ame z rovnice ve stˇredov´em tvaru: (y − 4)2 9 − =1 9 16 (y − 4)2 9 =1+ 9 16 25 ·9 (y − 4)2 = 16 5·3 |y − 4| = 4 31 15 = y1 = 4 + 4 4 15 1 y2 = 4 − = 4 4 Pr˚ useˇc´ıky s osou y jsou body P4 = 0, 31 a P3 = 0, 41 . 4
a2
y
k
P4
P3 P2
P1
O
a1
Obr´azek 1.25: Hyperbola pro t ∈ h−2, 2i
38
x
2. Dalˇ s´ı rovinn´ e kˇ rivky Nyn´ı si m˚ uˇzeme definovat nejr˚ uznˇejˇs´ı kˇrivky sami. Napˇr. k(t) = [t, cos t], t ∈ h0, 2πi je ˇca´st (1 perioda) grafu funkce cos, k(t) = [cos ´seˇcka, kter´a leˇz´ı na pˇr´ımce y = x, 1 t, cos t], t ∈ h0, 2πi je u k(t) = t , 1 − t , t ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞) je rovnoos´a hyperbola se stˇredem S = [0, 1]. Mnoho kˇrivek je zn´amo, nˇekter´e maj´ı i sv´e n´azvy a nebo se po nˇekom jmenuj´ı. Neˇz si nˇekter´e z nich uk´aˇzeme, zavedeme si pojmy singul´arn´ı bod kˇrivky a uzlov´y bod kˇrivky. Singul´ arn´ı bod kˇ rivky je takov´ y bod K = k(t0 ), ve kter´em neexistuje teˇcna. To nastane tehdy, kdyˇz neexistuje nˇekter´a z derivac´ı x0 (t0 ), y 0 (t0 ) (k 0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)) je teˇcn´ y vektor) 0 nebo teˇcn´ y vektor je nulov´ y, tj. k (t0 ) = (0, 0). Uˇz jsme poznamenali, ˇze d´elka teˇcn´eho vektoru vypov´ıd´a o rychlosti, s jakou je kˇrivka v dan´em bodˇe prob´ıh´ana. Pokud je k 0 (t0 ) = (0, 0), dojde pˇri prob´ıh´an´ı kˇrivky v bodˇe K = k(t0 ) k zastaven´ı. Uzlov´ y bod kˇ rivky je bod, kter´ ym kˇrivka projde v´ıcekr´at a teˇcny v tomto bodˇe jsou r˚ uzn´e.
tena
te na
(a) Singul´ arn´ı bod
(b) Uzlov´ y bod
39
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 2. DALSˇ´I ROVINNE
Pˇ r´ıklad 1 Je d´ana kˇrivka
# √ 2 2 sin t, cos t sin t , t ∈ h0, 2πi. k(t) = cos t − 2 "
Napiˇste souˇradnice singul´arn´ıch bod˚ u kˇrivky. D´ale napiˇste parametrick´e i obecn´e rovnice teˇcen kˇrivky v jej´ıch pr˚ useˇc´ıc´ıch s osou x. ˇ sen´ı: Vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory kˇrivky k, tj.: Reˇ √ k 0 (t) = (− sin t − 2 sin t cos t, cos2 t − sin2 t). Abychom naˇsli singul´arn´ı body, ˇreˇs´ıme soustavu √ − sin t − 2 sin t cos t = 0 a z´aroveˇ n cos2 t − sin2 t = 0. M˚ uˇzeme naj´ıt vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnic na intervalu h0, 2πi a pak udˇelat pr˚ unik. Nebo m˚ uˇzeme naj´ıt vˇsechna ˇreˇsen´ı jedn´e rovnice na intervalu h0, 2πi a vybrat z nich ta ˇreˇsen´ı, kter´a splˇ nuj´ı i druhou rovnici (ovˇeˇr´ıme dosazen´ım). Jednoduˇsˇs´ı je pouˇz´ıt druh´ y zp˚ usob. Vybereme rovnici √ − sin t − 2 sin t cos t = 0 √ − sin t(1 + 2 cos t) = 0, bud’ sin t = 0 nebo cos t = −
√ 2 . 2
Vˇsechna ˇreˇsen´ı na intervalu h0, 2πi jsou 3π 5π t ∈ 0, , π, , 2π . 4 4
Dosazujeme postupnˇe do rovnice cos2 t − sin2 t = 0. T´eto rovnici vyhovuj´ı pouze t1 = . Singul´arn´ı body jsou body t2 = 5π 4 # " √ 3π 3 2 1 S1 = k = − ,− . 4 4 2 # " √ 5π 3 2 1 S2 = k = − , . 4 4 2 Pr˚ useˇc´ıky s osou x (y = 0) vypoˇc´ıt´ame z parametrick´eho vyj´adˇren´ı kˇrivky k. cos t · sin t = 0 40
3π 4
a
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 2. DALSˇ´I ROVINNE π 3π t ∈ 0, , π, , 2π 2 2 Pr˚ useˇc´ıky kˇrivky k s osou x jsou 3 body P1 = k(π) = [−1, 0], # " √ π 3π 2 =k = − ,0 , P2 = k 2 2 2 P3 = k(0) = [1, 0] = k(2π). Vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory a nap´ıˇseme rovnici teˇcen: k(π) = [−1.0], k 0 (π) = (0, 1), p1 (s) = [−1, s], s ∈ R parametrick´ a rovnice, p1 : x = −1 obecn´ a rovnice, # " √ 3π 2 k = − ,0 , 2 2 0 3π k = (1, −1), 2 " √ # 2 + s, −s , s ∈ R, p2 (s) = − 2 √ 2 p2 : x + y + = 0, 2 " √ # π 2 k = − ,0 , 2 2 π k0 = (−1, −1) ∼ (1, 1), 2 " # √ 2 + s, s , s ∈ R, q2 (s) = − 2 √ 2 q2 : x − y + = 0, 2 h √ i bod − 22 , 0 je uzlov´ y bod kˇrivky k, k(0) = [1, 0] = k(2π), k 0 (0) = k 0 (2π) = (0, 1), p3 (s) = [1, s], s ∈ R, p3 : x = 1.
41
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 2. DALSˇ´I ROVINNE Nakresl´ıme-li zadanou kˇrivku, vid´ıme na obr´azku singul´arn´ı body (ˇspiˇcky) i uzlov´ y bod. Je tak´e jasn´e proˇc se kˇrivka naz´ yv´a ryba“ (fish curve). ” p3
y
k
O
x
p3
Obr´azek 2.2: Fish curve pro t ∈ h0, 2πi
42
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 2. DALSˇ´I ROVINNE
Pˇ r´ıklad 2 Je d´ana kˇrivka k(t) = [16 sin3 t, 13 cos t − 5 cos 2t − 2 cos 3t − cos 4t], t ∈ h0, 2πi. Napiˇste souˇradnice singul´arn´ıch bod˚ u kˇrivky. D´ale napiˇste souˇradnice bod˚ u kˇrivky, ve kter´ ych m´a kˇrivka teˇcny rovnobˇeˇzn´e s osou y, napiˇste obecn´e rovnice tˇechto teˇcen. ˇ sen´ı: Vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory kˇrivky k, tj.: Reˇ k 0 (t) = (48 sin2 t cos t, −13 sin t + 10 sin 2t + 6 sin 3t + 4 sin 4t). Abychom naˇsli singul´arn´ı body, ˇreˇs´ıme soustavu rovnic 48 sin2 t cos t = 0 a z´aroveˇ n −13 sin t + 10 sin 2t + 6 sin 3t + 4 sin 4t = 0. Najdeme vˇsechna ˇreˇsen´ı prvn´ı rovnice na intervalu h0, 2πi, jsou to t ∈ 0, π2 , π, 3π , 2π . 2 Tato ˇreˇsen´ı dosazujeme do druh´e rovnice, druh´e rovnici vyhovuj´ı 3 hodnoty t1 = 0, t2 = π a t3 = 2π. Kˇrivka m´a dva singul´arn´ı body: S1 = k(0) = k(2π) = [0, 5], S2 = k(π) = [0, −17]. Teˇcn´ y vektor je rovnobˇeˇzn´ y s osou y, je-li jeho prvn´ı sloˇzka nulov´a a druh´a nenulov´a. To . Obecn´e rovnice teˇcen rovnobˇeˇzn´ ych s osou y jsou: nastane pro hodnoty t4 = π2 a t5 = 3π 2 3π k = [−16, 4] = P1 , 2 3π 0 k = (0, 19), 2 p1 : x = −16 a k k0
π 2 π
= [16, 4] = P2 ,
= (0, −19), 2 p2 : x = 16.
43
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 2. DALSˇ´I ROVINNE Nakresl´ıme-li zadanou kˇrivku, vid´ıme na obr´azku singul´arn´ı body (ˇspiˇcky na kˇrivce). Tato kˇrivka se naz´ yv´a srdce“ (heartcurve) a ˇrad´ıme ji mezi dalˇs´ı kˇrivky, kter´e se ˇcasto souhrnnˇe ” oznaˇcuj´ı srdcovky.
Obr´azek 2.3: Rovinn´a kˇrivka pro t ∈ h0, 2πi
44
ˇ 3. Sroubovice Nyn´ı se budeme vˇenovat prostorov´ ym kˇrivk´am. Nejˇcastˇeji se v praxi pouˇz´ıv´a ˇsroubovice na v´alcov´e ploˇse. Abychom mohli popsat ˇsroubovici bodu, mus´ıme zadat ˇsroubov´y pohyb. ˇ Sroubov´ y pohyb je d´an 1. osou o, 2. smyslem (pravotoˇciv´ y a levotoˇciv´ y), 3. v´ yˇskou z´avitu v. Osa ˇsroubov´eho pohybu m˚ uˇze b´ yt libovoln´a pˇr´ımka v prostoru, pro zjednoduˇsen´ı budeme v dalˇs´ım textu pouˇz´ıvat osu z souˇradn´e soustavy (O, x, y, z). Pouˇz´ıv´ame vˇzdy pravotoˇcivou kart´ezskou souˇradnou soustavu, kterou vyuˇz´ıvaj´ı i grafick´e programy. ˇ Sroubov´ y pohyb je sloˇzen´ım rovnomˇern´eho rotaˇcn´ıho pohybu a rovnomˇern´eho translaˇcn´ıho pohybu. Pokud je rotaˇcn´ı pohyb proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek a translaˇcn´ı pohyb ve smˇeru kladn´e poloosy osy z nebo rotaˇcn´ı pohyb ve smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek a translaˇcn´ı pohyb ve smˇeru z´aporn´e poloosy osy z, je ˇsroubov´ y pohyb pravotoˇciv´ y, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe je levotoˇciv´ y.
z=o
z=o
O
O
y
y
x
x
(a) Pravotoˇciv´ y ˇsroubov´ y pohyb
(b) Levotoˇciv´ y ˇsroubov´ y pohyb
45
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE Vyberme si bod A v prostoru, kter´ y neleˇz´ı na ose ˇsroubov´eho pohybu. Bod se pˇri ˇsroubov´em pohybu rovnomˇernˇe ot´aˇc´ı kolem osy o a z´aroveˇ n se rovnomˇernˇe posunuje ve smˇeru osy o. ˇ Sroubovice bodu A leˇz´ı na v´alcov´e ploˇse, jej´ıˇz osou je osa o ˇsroubov´eho pohybu a polomˇer je roven vzd´alenost´ı bodu A od osy o. V´ yˇska z´avitu v je vzd´alenost bodu A a bodu A0 , kde A a A0 jsou body na povrchov´e pˇr´ımce ˇ ast ˇsroubovice mezi body p v´alcov´e plochy a mezi nimi nen´ı ˇza´dn´ y jin´ y bod ˇsroubovice. C´ 0 A a A je tzv. 1 z´avit ˇsroubovice a odpov´ıd´a otoˇcen´ı o u ´hel 2π. o
p
v
A
ˇ Obr´azek 3.2: Sroubovice na v´alcov´e ploˇse Po rozstˇriˇzen´ı v´alcov´e plochy pod´el p a rozvinut´ı do roviny m´ame n´asleduj´ıc´ı obr´azek.
p
p
v A
Obr´azek 3.3: V´alcov´a plocha rozstˇriˇzen´a pod´el pˇr´ımky p a rozvinut´a do roviny
46
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE To je tak´e n´avodem, jak si snadno ˇsroubovici vyrobit“. Staˇc´ı slepit pap´ır, na kter´em jsme ” nar´ ysovali u ´seˇcku pro jeden z´avit nebo v´ıce rovnobˇeˇzn´ ych u ´seˇcek pro v´ıce z´avit˚ u. V technick´e praxi se ˇcasto uˇz´ıv´a m´ısto v´ yˇsky z´avitu tzv. redukovan´a v´yˇska z´avitu, kterou znaˇc´ıme v0 . Je to v´ yˇska posunut´ı odpov´ıdaj´ıc´ı otoˇcen´ı o u ´hel 1 radi´an (pˇribliˇznˇe 57◦ 170 4500 ). ´ Uhlu 1 radi´an odpov´ıd´a d´elka oblouku kruˇznice rovn´a polomˇeru r kruˇznice. Z obr´azku
v
r
Obr´azek 3.4: Ilustraˇcn´ı obr´azek snadno odvod´ıme vztah mezi v´ yˇskou v z´avitu a redukovanou v´ yˇskou v0 : v v0 = r 2πr v v0 = 2π Jak napsat parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇsroubovice bodu A = [a1 , a2 , a3 ]? Zadejme ˇsroubov´ y pohyb: 1. osa o je souˇradnicov´a osa z, 2. pravotoˇciv´ y (resp. levotoˇciv´ y), 3. v´ yˇskou z´avitu je v (nebo redukovan´a v´ yˇska je v0 ). ˇ Sroubovice leˇz´ı na v´alcov´e ploˇse, jej´ıˇz osou je osa z. Pr˚ unik t´eto plochy s p˚ udorysnou (x, y) je kruˇznice. Zaˇcneme parametrick´ ym popisem kruˇznice v rovinˇe (x, y), stˇred kruˇznice je bod [0, 0] a kruˇznice proch´az´ı bodem [a1 , a2 ]. Je-li ˇsroubov´ y pohyb pravotoˇciv´y, mus´ıme kruˇznici popsat tak, aby byla prob´ıh´ana proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek, tj. v kladn´em smˇeru. Nav´ıc poˇzadujeme, aby pro t = 0 byl v´ ychoz´ı bod [a1 , a2 ]. Je-li ˇsroubov´ y pohyb levotoˇciv´ y, mus´ıme kruˇznici popsat tak, aby byla prob´ıh´ana ve smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek, tj. v z´aporn´em smˇeru. Opˇet v ˇcase t = 0 jsme v bodˇe [a1 , a2 ]. Tedy m(t) = [a1 cos t − a2 sin t, a2 cos t + a1 sin t] pro kladn´ y smˇer, m(t) = [a1 cos t + a2 sin t, a2 cos t − a1 sin t] pro z´aporn´ y smˇer. 47
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE Tˇret´ı z -ov´a souˇradnice se t´ yk´a posunut´ı, parametrick´ y popis pravotoˇciv´e ˇsroubovice je k(t) = [a1 cos t − a2 sin t, a2 cos t + a1 sin t, a3 + v0 t], t ∈ R. Parametrick´ y popis levotoˇciv´e ˇsroubovice je k(t) = [a1 cos t + a2 sin t, a2 cos t − a1 sin t, a3 + v0 t], t ∈ R. ˇ Sroubovice je neomezen´a kˇrivka v obou smˇerech. D˚ uleˇzit´ y je jeden z´avit ˇsroubovice, kter´ y se d´ale jen posunuje. Pokud chceme popsat 1 z´avit, bereme parametr t z intervalu d´elky 2π. Pouˇzijeme-li v´ yˇse uveden´ y parametrick´ y popis, je k(0) = A a pro jeden z´avit s krajn´ım bodem A bereme t ∈ h0, 2πi.
48
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE
Pˇ r´ıklad 1 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇsroubovice bodu A = [0, 4, 0]. Osa ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je 1. pravotoˇciv´ y 2. levotoˇciv´ y V´ yˇska z´avitu v = 12. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Pop´ıˇseme kruˇznici m v rovinˇe (x, y), stˇred je bod [0, 0], v´ ychoz´ı bod je bod [xA , yA ] = [0, 4], kruˇznice je prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru: m(t) = [−4 sin t, 4 cos t] . Pro popis pravotoˇciv´e ˇsroubovice dopln´ıme z -ovou souˇradnici zA + v0 t, kde v0 = 12 = π6 : 2π 6 k(t) = −4 sin t, 4 cos t, t , t ∈ R, π
v 2π
=
(nebo t ∈ h0, 2πi pro 1 z´avit ˇsroubovice). 2. Parametrick´ y popis levotoˇciv´e ˇsroubovice z´ısk´ame z pˇredchoz´ıho popisu zmˇenou znam´enka u funkce sin (obˇeh kruˇznice v z´aporn´em smˇeru): 6 k(t) = 4 sin t, 4 cos t, t , t ∈ R, π (nebo t ∈ h0, 2πi pro 1 z´avit).
49
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE
z k
O
m
A y
x Obr´azek 3.5: Pravotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 4πi
z
k
O
m
A y
x Obr´azek 3.6: Levotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 4πi
50
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE
Pˇ r´ıklad 2 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇsroubovice bodu A = [−4, 0, 0]. Osa ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je 1. pravotoˇciv´ y 2. levotoˇciv´ y V´ yˇska z´avitu je v = 18. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Pop´ıˇseme kruˇznici v rovinˇe (x, y), stˇred je bod [0, 0], v´ ychoz´ı bod je bod [xA , yA ] = [−4, 0], kruˇznice je prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru: m(t) = [−4 cos t, −4 sin t] . Pro popis pravotoˇciv´e ˇsroubovice dopln´ıme z -ovou souˇradnici zA + v0 t, kde v0 = 18 = π9 : 2π 9 k(t) = −4 cos t, −4 sin t, t , t ∈ R, π (nebo t ∈ h0, 2πi pro 1 z´avit ˇsroubovice). z
k
A
O m
y
x Obr´azek 3.7: Pravotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 4πi
51
v 2π
=
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE 2. Parametrick´ y popis levotoˇciv´e ˇsroubovice z´ısk´ame z pˇredchoz´ıho popisu zmˇenou znam´enka u funkce sin (obˇeh kruˇznice v z´aporn´em smˇeru): 9 k(t) = −4 cos t, 4 sin t, t , t ∈ R, π (nebo t ∈ h0, 2πi pro 1 z´avit). z
k
A
O m
y x
Obr´azek 3.8: Levotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 4πi
52
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE
Pˇ r´ıklad 3 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇsroubovice bodu A = [0, −4, 0]. Osa ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je 1. pravotoˇciv´ y 2. levotoˇciv´ y Redukovan´a v´ yˇska z´avitu je v0 = 3. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Pop´ıˇseme kruˇznici v rovinˇe (x, y), stˇred je bod [0, 0], v´ ychoz´ı bod je bod [xA , yA ] = [0, −4], kruˇznice je prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru: m(t) = [4 sin t, −4 cos t] . Pro popis pravotoˇciv´e ˇsroubovice dopln´ıme z -ovou souˇradnici zA + v0 t: k(t) = [4 sin t, −4 cos t, 3t] , t ∈ R, (nebo t ∈ h0, 2πi pro 1 z´avit ˇsroubovice). z
k
A
O y m
x
Obr´azek 3.9: Pravotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 4πi
53
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE 2. Parametrick´ y popis levotoˇciv´e ˇsroubovice z´ısk´ame z pˇredchoz´ıho popisu zmˇenou znam´enka u funkce sin (obˇeh kruˇznice v z´aporn´em smˇeru): k(t) = [−4 sin t, −4 cos t, 3t] , t ∈ R, (nebo t ∈ h0, 2πi pro 1 z´avit). z
k
A
O m y x
Obr´azek 3.10: Levotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 4πi
54
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE
Pˇ r´ıklad 4 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇsroubovice bodu A = [4, 0, 3]. Osa ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je 1. pravotoˇciv´ y 2. levotoˇciv´ y Redukovan´a v´ yˇska z´avitu je v0 = 2. D´ale popiˇste teˇcnu ˇsroubovice v bodˇe A. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Pop´ıˇseme kruˇznici v rovinˇe (x, y), stˇred je bod [0, 0], v´ ychoz´ı bod je bod [xA , yA ] = [4, 0], kruˇznice je prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru: m(t) = [4 cos t, 4 sin t] . Pro popis pravotoˇciv´e ˇsroubovice dopln´ıme z -ovou souˇradnici zA + v0 t: k(t) = [4 cos t, 4 sin t, 2t + 3] , t ∈ R, (nebo t ∈ h0, 2πi pro 1 z´avit ˇsroubovice). Teˇcn´e vektory z´ısk´ame derivov´an´ım k 0 (t) = (−4 sin t, 4 cos t, 2). Pro bod A = k(0) je teˇcn´ y vektor k 0 (0) = (0, 4, 2) a parametrick´ y popis teˇcny p je p(s) = [4, 4s, 3 + 2s], s ∈ R. 2. Parametrick´ y popis levotoˇciv´e ˇsroubovice z´ısk´ame z pˇredchoz´ıho popisu zmˇenou znam´enka u funkce sin (obˇeh kruˇznice v z´aporn´em smˇeru): k(t) = [4 cos t, −4 sin t, 2t + 3] , t ∈ R, (nebo t ∈ h0, 2πi pro 1 z´avit). Teˇcn´e vektory z´ısk´ame derivov´an´ım k 0 (t) = (−4 sin t, −4 cos t, 2). Pro bod A = k(0) je teˇcn´ y vektor k 0 (0) = (0, −4, 2) 55
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE a parametrick´ y popis teˇcny p je p(s) = [4, −4s, 3 + 2s], s ∈ R. z
k
A O
p
y m
x
Obr´azek 3.11: Pravotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 2πi z
k
p
m
A
O y x
Obr´azek 3.12: Levotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 2πi
56
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE
Pˇ r´ıklad 5 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇsroubovice bodu A = [3, 4, 2]. Osa pravotoˇciv´eho ˇsroubov´eho pohybu je osa z, v´ yˇska z´avitu je v = 20. D´ale popiˇste teˇcny ˇsroubovice v bodech A, k π2 , k(π) a k(2π). ˇ sen´ı: Pop´ıˇseme kruˇznici v rovinˇe (x, y), stˇred je bod [0, 0], v´ Reˇ ychoz´ı bod je bod [xA , yA ] = [3, 4], kruˇznice je prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru: m(t) = [3 cos t − 4 sin t, 4 cos t + 3 sin t] . Pro popis pravotoˇciv´e ˇsroubovice dopln´ıme z -ovou souˇradnici zA + v0 t, kde v0 = 10 : π 10 k(t) = 3 cos t − 4 sin t, 4 cos t + 3 sin t, t + 2 , t ∈ R, π (nebo t ∈ h0, 2πi pro 1 z´avit ˇsroubovice). Teˇcn´e vektory z´ısk´ame derivov´an´ım 10 0 . k (t) = −3 sin t − 4 cos t, 3 cos t − 4 sin t, π Konkr´etn´ı teˇcn´e vektory jsou tedy: 10 k (0) = −4, 3, , π 10 0 π k = −3, −4, , 2 π 10 0 k (π) = 4, −3, , π 10 0 . k (2π) = −4, 3, π 0
V bodech: k(0) = A = [3, 4, 2] , π k = [−4, 3, 7] , 2 k(π) = [−3, −4, 12] , k(2π) = [3, 4, 22]
57
v 2π
=
20 2π
=
ˇ KAPITOLA 3. SROUBOVICE je parametrick´ y popis teˇcen:
10 p1 (s) = 3 − 4s, 4 + 3s, 2 + s , s ∈ R, π 10 p2 (s) = −4 − 3s, 3 − 4s, 7 + s , s ∈ R, π 10 p3 (s) = −3 + 4s, −4 − 3s, 12 + s , s ∈ R, π 10 p4 (s) = 3 − 4s, 4 + 3s, 22 + s , s ∈ R. π
z
p3
k
p4
p2 m
O A y
x p1
Obr´azek 3.13: Pravotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 5π i 2
58
4. Dalˇ s´ı prostorov´ e kˇ rivky Nyn´ı si m˚ uˇzeme definovat nejr˚ uznˇejˇs´ı kˇrivky sami. Napˇr´ıklad k(t) = [cos t, ln t · sin t, ln t], t ∈ (0, +∞), z k
O y
x
Obr´azek 4.1: Kˇrivka k pro t ∈
1 10
, 10
t t2 1 k(t) = 2 , , , t ∈ R, t + 1 t2 + 1 t2 + 1
z k O
y
x
Obr´azek 4.2: Kˇrivka k pro t ∈ h−10, 10i (je to elipsa v rovinˇe x + z − 1 = 0),
59
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE k(t) = [sinh t, cosh t, sin 6t], t ∈ h−π, πi.
z O
x y Obr´azek 4.3: Kˇrivka k pro t ∈ h−π, πi Stejnˇe jako u rovinn´ ych kˇrivek mohou na prostorov´ ych kˇrivk´ach b´ yt singul´arn´ı body nebo ’ uzlov´e body. Teˇcn´ y vektor v singul´arn´ım bodˇe K(t0 ) bud neexistuje nebo je nulov´ y, tj.: k 0 (t0 ) = (0, 0, 0).
60
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
Pˇ r´ıklad 1 Je d´ana kˇrivka k(t) = [cos3 t, sin3 t, cos 2t], t ∈ h0, 2πi. Napiˇste souˇradnice singul´arn´ıch bod˚ u. D´ale popiˇste teˇcnu kˇrivky v bodˇe T = k
π 6
.
ˇ sen´ı: Vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory Reˇ k 0 (t) = (−3 cos2 t · sin t, 3 sin2 t · cos t, −2 sin 2t). M´a-li b´ yt nˇejak´ y bod singul´arn´ı, mus´ı b´ yt teˇcn´ y vektor nulov´ y. ˇ Reˇs´ıme soustavu rovnic na intervalu h0, 2πi: −3 cos2 t sin t = 0, 3 sin2 t cos t = 0, −2 sin 2t = 0. M˚ uˇzeme naj´ıt ˇreˇsen´ı vˇsech tˇr´ı rovnic na intervalu h0, 2πi a pak udˇelat pr˚ unik ˇreˇsen´ı. V´ yhodnˇejˇs´ı je naj´ıt vˇsechna ˇreˇsen´ı jedn´e rovnice na intervalu h0, 2πi a do zb´ yvaj´ıc´ıch 2 rovnic tato ˇreˇsen´ı dosadit. Vybereme ta ˇreˇsen´ı, kter´a vyhovuj´ı pro vˇsechny rovnice. Vybereme si posledn´ı rovnici sin 2t = 0 2t = kπ π t=k 2 Na intervalu h0, 2πi m´ame 5 ˇreˇsen´ı 3π π t ∈ 0, , π, , 2π 2 2 Vˇsech 5 ˇreˇsen´ı vyhovuje i zb´ yvaj´ıc´ım rovnic´ım. M´ame 4 singul´arn´ı body S1 = k(0) = k(2π) = [1, 0, 1], π S2 = k = [0, 1, −1], 2 S3 = k(π) = [−1, 0, 1], 3π S4 = k = [0, −1, −1]. 2 h √ i √ √ uˇzeme Teˇcn´ y vektor v bodˇe T = k π6 = 3 8 3 , 81 , 21 je k 0 π6 = − 98 , 3 8 3 , − 3 , ten m˚ √ nahradit vektorem (3 3, −3, 8). Teˇcna p kˇrivky k v bodˇe T je " √ # √ 1 3 3 1 p(s) = + 3 3s, − 3s, + 8s , s ∈ R. 8 8 2 61
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
z
k T O x y
p Obr´azek 4.4: Prostorov´a kˇrivka pro t ∈ h0, 2πi
62
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
Pˇ r´ıklad 2 Je d´ana kˇrivka
1 sin 2t, sin t, cos t , t ∈ h0, 2πi. k(t) = 2
Napiˇste souˇradnice singul´arn´ıch bod˚ u. D´ale popiˇste teˇcnu kˇrivky v bodˇe T = k (0) a napiˇste rovnici norm´alov´e roviny v bodˇe T. Pozn´ amka: Norm´alov´a rovina v bodˇe T je mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek (norm´al), kter´e proch´azej´ı bodem T a jsou kolm´e k teˇcnˇe v bodˇe T. ˇ sen´ı: Vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory Reˇ k 0 (t) = (cos 2t, cos t, − sin t). Pro singul´arn´ı body ˇreˇs´ıme soustavu rovnic na intervalu h0, 2πi: cos 2t = 0, cos t = 0, − sin t = 0. Druh´a a tˇret´ı rovnice nejsou splnˇeny z´aroveˇ n pro ˇz´adn´e t. Kˇrivka nem´a singul´arn´ı body. Teˇcn´ y vektor v bodˇe T = k(0) = [0, 0, 1] je vektor k 0 (0) = (1, 1, 0). Teˇcna p kˇrivky k v bodˇe T je p(s) = [s, s, 1], s ∈ R. Teˇcn´ y vektor (1, 1, 0) je vektor kolm´ y k hledan´e norm´alov´e rovinˇe α. Rovina α m´a rovnici x + y + d = 0, ˇc´ıslo d urˇc´ıme dosazen´ım bodu T, d = 0, α : x + y = 0.
63
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
p
T z O
x
k y Obr´azek 4.5: Prostorov´a kˇrivka pro t ∈ h0, 2πi
64
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
Pˇ r´ıklad 3 Je d´ana kˇrivka k(t) = [cos 3t, sin 2t, cos 4t], t ∈ h0, 2πi. Popiˇste teˇcnu kˇrivky v bodˇe T = k (0) a napiˇste rovnici norm´alov´e roviny v bodˇe T. ˇ sen´ı: Vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory Reˇ k 0 (t) = (−3 sin 3t, 2 cos 2t, −4 sin 4t). Teˇcn´ y vektor v bodˇe T = k(0) = [1, 0, 1] je vektor k 0 (0) = (0, 2, 0) (ten m˚ uˇzeme v popisu teˇcny nahradit vektorem (0, 1, 0)). Teˇcna p kˇrivky k v bodˇe T je p(s) = [1, s, 1], s ∈ R. Teˇcn´ y vektor (0, 1, 0) je vektor kolm´ y k hledan´e norm´alov´e rovinˇe α. Rovina α m´a rovnici y + d = 0, ˇc´ıslo d urˇc´ıme dosazen´ım bodu T, d = 0, α : y = 0, Je to rovina (x, z).
65
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
(a) t ∈ 0, π4
(b) t ∈ 0, π2
(c) t ∈ 0, 3π 4
(d) t ∈ h0, πi
(e) t ∈ 0, 5π 4
(f) t ∈ 0, 3π 2
(g) t ∈ 0, 7π 4
(h) t ∈ h0, 2πi
Obr´azek 4.6: Prostorov´a kˇrivka k pro r˚ uzn´e intervaly parametru t
66
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
z p T O
k
y
x
Obr´azek 4.7: Teˇcna a norm´alov´a rovina kˇrivky k (t ∈ h0, 2πi)
67
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
Pˇ r´ıklad 4 Je d´ana kˇrivka k(t) = [sin 2t, 1 − cos 2t, 2 cos t], t ∈ h0, 2πi. Zjistˇete, zda m´a kˇrivka uzlov´ y bod. Pokud ano, popiˇste vˇsechny teˇcny v tomto bodˇe. Pokud vˇsechny teˇcny v uzlov´em bodˇe leˇz´ı v jedn´e rovinˇe, napiˇste obecnou rovnici t´eto roviny. ˇ sen´ı: Z pˇredpisu kˇrivky k(t) = [sin 2t, 1 − cos 2t, 2 cos t] m˚ Reˇ uˇzeme z´ıskat 3 rovinn´e kˇrivky. Kˇrivka l v rovinˇe (x, y) l(t) = [sin 2t, 1 − cos 2t, 0], t ∈ h0, 2πi. je pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet kˇrivky k do roviny (x, y) (tzv. p˚ udorys kˇrivky k ). Kˇrivka m v rovinˇe (y, z) m(t) = [0, 1 − cos 2t, 2 cos t], t ∈ h0, 2πi je pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet kˇrivky k do roviny (y, z) (tzv. bokorys kˇrivky k ). Kˇrivka n v rovinˇe (x, z) n(t) = [sin 2t, 0, 2 cos t], t ∈ h0, 2πi je pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet kˇrivky k do roviny (y, z) (tzv. n´arys kˇrivky k ). Zaj´ımav´a je pro n´as kˇrivka l, ve kter´e snadno rozpozn´ame kruˇznici o stˇredu S = [0, 1, 0] a polomˇeru r = 1.Tato kruˇznice je pˇri t ∈ h0, 2πi obˇehnuta dvakr´at.
Obr´azek 4.8: P˚ udorys kˇrivky k pro t ∈ h0, 2πi Kˇrivka k leˇz´ı na rotaˇcn´ı v´alcov´e ploˇse, kruˇznice l je jej´ı ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice, osa v´alcov´e plochy je pˇr´ımka o rovnobˇeˇzn´a s osou z.
Tˇret´ı z -ov´e souˇ r adnice kˇrivky k jsou kladn´e pro t ∈ 0, π2 , z´aporn´e pro t ∈ π2 , 3π a kladn´e 2 3π pro t ∈ 2 , 2π
).
Pro intervaly 0, π2 a π, 3π (prav´a polovina kruˇznice l ) m´a kˇrivka k r˚ uznˇe z -ov´e souˇradnice. 2 68
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE Stejnˇe je tomu tak pro intervaly π2 , π a 3π , 2π (lev´a polovina kruˇznice l ). 2 Stejn´e souˇradnice pˇri r˚ uzn´ ych hodnot´ach parametru t jsou pouze k(0) = k(2π) = [0, 0, 2] = T, π 3π k =k = [0, 2, 0] = U. 2 2 Vypoˇcteme teˇcn´e vektory k 0 (t) = (2 cos 2t, 2 sin 2t, −2 sin t). a dosad´ıme k 0 (0) = k 0 (2π) = (2, 0, 0), 0 π k = (−2, 0, −2) ∼ (1, 0, 1), 2 3π k0 = (−2, 0, 2) ∼ (1, 0, −1). 2 V bodˇe T je jen jedna teˇcna rovnobˇeˇzn´a s osou x. Kˇrivka zaˇc´ın´a a konˇc´ı v jednom bodˇe T, kˇrivka je uzavˇren´a. V uzlov´em bodˇe U m´a kˇrivka dvˇe r˚ uzn´e teˇcny: p(s) = [s, 2, s], s ∈ R, q(u) = [u, 2, −u], u ∈ R. Tyto teˇcny urˇcuj´ı rovinu: α : y − 2 = 0. Pod´ıvejme se jeˇstˇe na kˇrivky m a n, tedy na bokorys a n´arys kˇrivky k. Kˇrivku m(t) = [0, 1 − cos 2t, 2 cos t], t ∈ h0, 2πi upravme m(t) = [0, 1 − cos2 t + sin2 t, 2 cos t] = [0, 2 − 2 cos2 t, 2 cos t]. a provedeme substituci v = cos t. Dostaneme jinou parametrizaci kˇrivky m: m(v) = [0, 2 − 2v 2 , 2v], v ∈ h−1, 1i. Odsud jiˇz vid´ıme, ˇze bokorysem kˇrivky k je ˇca´st paraboly.
69
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
Obr´azek 4.9: Bokorys kˇrivky k pro t ∈ h0, 2πi Kˇrivku n(t) = [sin 2t, 0, 2 cos t], t ∈ h0, 2πi nakresl´ıme s vyuˇzit´ım grafick´eho programu. Z tohoto obr´azku je jiˇz zˇrejm´e, ˇze kˇrivka m´a uzlov´ y bod.
Obr´azek 4.10: N´arys kˇrivky k pro t ∈ h0, 2πi Kˇrivka k se naz´ yv´a Vivianiho kˇrivka (nebo tak´e Vivianiho ok´enko) a je pr˚ unikem 2 2 2 2 2 v´alcov´e plochy x + (y − 1) = 1 a kulov´e plochy x + y + z = 4. Viz pr´ace studenta ˇ aka: Parametrick´e vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ıch a ˇsroubov´ Michala Sest´ ych ploch.
70
´ KRIVKY ˇ KAPITOLA 4. DALSˇ´I PROSTOROVE
z T
k
O
U
y
x p
q Obr´azek 4.11: Kˇrivka k pro t ∈ h0, 2πi
71
5. Pˇ r´ıklady na procviˇ cen´ı Pˇ r´ıklad 1 Je d´ana kˇrivka k(t) = [3 cos3 t, 3 sin3 t], t ∈ h0, 2πi. Napiˇste souˇradnice singul´arn´ıch bod˚ u. Pokud tyto body leˇz´ı na jedn´e kruˇznici, napiˇste jej´ı parametrick´e vyj´adˇren´ı. Napiˇste souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u kˇrivky k a pˇr´ımek y = x a y = −x. Napiˇste obecn´e rovnice teˇcen kˇrivky v tˇechto pr˚ useˇc´ıc´ıch. Kˇrivku nakreslete.
Pˇ r´ıklad 2 Je d´ana kˇrivka k(t) = [3 cos t − cos 3t, 3 sin t − sin 3t], t ∈ h0; 2πi. Napiˇste souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u kˇrivky k se souˇradnicov´ ymi osami. Napiˇste obecn´e rovnice teˇcen v tˇechto pr˚ useˇc´ıc´ıch. Kˇrivku nakreslete.
Pˇ r´ıklad 3 Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı 1 z´avitu (t ∈ h0; 2πi) ˇsroubovice bodu A = [−3, 4, 5]. Osa levotoˇciv´eho ˇsroubov´eho pohybu je osa z. Redukovan´ a v´ yˇska v0 = 2. π Popiˇste teˇcnu ˇsroubovice v bodˇe T = k 2 a napiˇste obecnou rovnici norm´alov´e roviny kˇrivky v tomto bodˇe.
Pˇ r´ıklad 4 Je d´ana kˇrivka k(t) = [t2 + 2t, −3t, t3 − t], t ∈ R. Popiˇste teˇcny kˇrivky, kter´e jsou rovnobˇeˇzn´e s rovinou α : 2y + 3z = 0.
72
´ 5.1. VYSLEDKY
5.1
ˇ ´IKLADY NA PROCVICEN ˇ ´I KAPITOLA 5. PR
V´ ysledky
Pˇ r´ıklad 1 y
p1
p2
O x
p4
p3 Obr´azek 5.1: Kˇrivka k pro t ∈ h0, 2πi Kˇrivka se naz´ yv´a astroida. Singul´arn´ı body jsou S1 = k (π) = [−3, 0], π S2 = k = [0, 3], 2 3π S3 = k = [0, −3], 2 S4 = k (0) = k (2π) = [3, 0]. Kruˇznice proch´azej´ıc´ı singul´arn´ımi body je m(s) = [3 cos t, 3 sin t], s ∈ h0, 2πi. 73
´ 5.1. VYSLEDKY
ˇ ´IKLADY NA PROCVICEN ˇ ´I KAPITOLA 5. PR
Pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımek y = x a y = −x s kˇrivkou k jsou " √ √ # 3π 3 2 3 2 , =k , T1 = − 4 4 4 " √ √ # 3 2 3 2 5π T2 = − ,− =k , 4 4 4 " √ √ # 3 2 3 2 7π T3 = ,− =k , 4 4 4 " √ √ # π 3 2 3 2 , =k . T4 = 4 4 4 Rovnice teˇcen v tˇechto bodech jsou p1 p2 p3 p4
√ 3 2 :x−y+ 2 √ 3 2 :x+y+ 2 √ 3 2 :x−y− 2 √ 3 2 :x+y− 2
74
= 0, = 0, = 0, = 0.
´ 5.1. VYSLEDKY
ˇ ´IKLADY NA PROCVICEN ˇ ´I KAPITOLA 5. PR
Pˇ r´ıklad 2 y
p2
O
x
p3 Obr´azek 5.2: Kˇrivka k pro t ∈ h0, 2πi Pr˚ useˇc´ıky kˇrivky k se souˇradnicov´ ymi osami jsou P1 = k(π) = [−2, 0], π P2 = k = [0, 4], 2 3π P3 = k = [0, −4], 2 P4 = k(0) = k(2π) = [2, 0]. Body P1 a P4 jsou singul´arn´ı body, nebot’ k 0 (0) = k 0 (π) = k 0 (2π) = (0, 0). Teˇcny v bodech P2 a P3 jsou p2 : y = 4 p3 : y = −4
75
´ 5.1. VYSLEDKY
ˇ ´IKLADY NA PROCVICEN ˇ ´I KAPITOLA 5. PR
Pˇ r´ıklad 3
z k
A
p
T
O
y
x
m
Obr´azek 5.3: Levotoˇciv´a ˇsroubovice pro t ∈ h0, 2πi Parametrick´e vyj´adˇren´ı jednoho z´avitu ˇsroubovice k je k(t) = [−3 cos t + 4 sin t, 4 cos t + 3 sin t, 5 + 2t], t ∈ h0, 2πi. Teˇcna v bodˇe T = k π2 = [4, 3, 5 + π] je p(s) = [4 + 3s, 3 − 4s, 5 + π + 2s], s ∈ R. Norm´alov´a rovina v bodˇe T je α : 3x − 4y + 2z − 10 − 2π = 0.
76
´ 5.1. VYSLEDKY
ˇ ´IKLADY NA PROCVICEN ˇ ´I KAPITOLA 5. PR
Pˇ r´ıklad 4
z
T2
O p1
T1 p2
x
k
Obr´azek 5.4: Kˇrivka k pro t ∈ h−10, 10i Teˇcn´e vektory kˇrivky k jsou k 0 (t) = (2t + 2, −3, 3t2 − 1). a vektor kolm´ y k α je (0, 2, 3). Aby byla teˇcna rovnobˇeˇzn´a s rovinou α, mus´ı b´ yt (2t + 2, −3, 3t2 − 1) · (0, 2, 3) = 0, tj. −6 + 9t2 − 3 = 0. Tato rovnice m´a 2 ˇreˇsen´ı t = 1 a t = −1. Teˇcna v bodˇe T1 = k(1) = [3, −3, 0] je p1 (s) = k(1) + s · k 0 (1),
p1 (s) = [3 + 4s, −3 − 3s, 2s], s ∈ R.
Teˇcna v bodˇe T2 = k(−1) = [−1, 3, 0] je p2 (u) = k(−1) + u · k 0 (−1),
p2 (u) = [−1, 3 − 3u, 2u], u ∈ R.
77
y
6. Kˇ rivky v praxi Pokud se pozornˇe porozhl´ednete kolem sebe, jistˇe nˇekde uvid´ıte kruˇznici nebo kruh, at’ uˇz je to okraj hrneˇcku, prst´ ynek na ruce nebo kruhov´a znaˇcka. Kruhov´a okna (rozety) pak m˚ uˇzeme vidˇet na gotick´ ych chr´amech.
Obr´azek 6.1: Rozeta v kostele svat´eho Maty´aˇse v Richmondu v Anglii Velmi ˇcasto se setk´ame tak´e s elipsou. Staˇc´ı vz´ıt v´alcovou skleniˇcku s vodou (ne u ´plnˇe plnou) a tu trochu naklonit. Povrch vodn´ı hladiny je ohraniˇcen elipsou. Nebo ukrojte naˇsikmo v´alcovou ˇsiˇsku sal´amu. Elipsu m˚ uˇzeme vidˇet i v architektuˇre, zejm´ena v barokn´ı architektuˇre (p˚ udorysy staveb aj.). Kovov´a vrata u metra Malostransk´a v Praze jsou sestaveny z mnoha nejr˚ uznˇejˇs´ıch elips. Sv´ıt´ı-li vhodnˇe Slunce, jsou st´ıny na zdech zase elipsy (jin´e neˇz na vratech).
78
ˇ KAPITOLA 6. KRIVKY V PRAXI
Obr´azek 6.2: Elipsy na vratech u stanice metra Malostransk´a v Praze V architektuˇre najdeme tak´e ˇc´asti parabol, jsou to ˇcasto mostn´ı oblouky.
Obr´azek 6.3: Mostn´ı oblouk v Bechyni tvoˇren ˇca´st´ı paraboly ˇ ych Budˇejovic´ıch je vyuˇzita parabola pro ohraniˇcen´ı U administrativn´ı budovy v Cesk´ oken. V´alcov´a vˇeˇz je zastˇreˇsena ˇsikmou stˇrechou, hraniˇcn´ı mnoho´ uheln´ık je n´ahradou elipsy.
79
ˇ KAPITOLA 6. KRIVKY V PRAXI
ˇ ych Budˇejovic´ıch Obr´azek 6.4: Administrativn´ı budova v Cesk´ Co se t´ yˇce hyperboly, m˚ uˇzete m´ıt pocit, ˇze tu hned neuvid´ıme. Ale vezmˇete si lampu se st´ın´ıtkem zakonˇcen´ ym kruˇznic´ı v rovinˇe rovnobˇeˇzn´e s podlahou. Lampu postavte bl´ızko zdi. Hranice mezi st´ınem a svˇetlem je ˇc´ast hyperboly.
Obr´azek 6.5: Hranice mezi st´ınem a svˇetlem je ˇca´st hyperboly Jistˇe dok´aˇzete naklonit lampu tak, aby hranic´ı byla elipsa nebo ˇca´st paraboly. Co se t´ yˇce prostorov´ ych kˇrivek, nejˇcastˇeji uvid´ıme ˇsroubovici. B´ yv´a to z´abradl´ı toˇcit´ ych ’ schodiˇst . Na obr´azc´ıch jsou schodiˇstˇe z Lorettsk´e kaple a z Vatik´ansk´eho muzea.
80
ˇ KAPITOLA 6. KRIVKY V PRAXI
Obr´azek 6.6: Toˇcit´e schodiˇstˇe v Lorettsk´e kapli v Santa Fe v Nov´em Mexiku
Obr´azek 6.7: Toˇcit´e schodiˇstˇe tvoˇren´e dvouˇsroubovic´ı ve Vatik´ansk´em muzeu Jistˇe si jeˇstˇe vzpomenete na ˇsrouby, v´ yvrtky aj. V neposledn´ı ˇradˇe si pˇripomeneme molekulu DNA (deoxyribonukleov´e kyseliny), aˇckoliv tu vidˇet pouh´ ym okem nem˚ uˇzeme vzhledem k jej´ım rozmˇer˚ um. DNA m´a tvar pravotoˇciv´e dvouˇsroubovice (ale m˚ uˇze b´ yt i levotoˇciv´a). Dvˇe ˇsroubovice maj´ı spoleˇcnou osu a stejnou v´ yˇsku z´avitu v, jen jsou vz´ajemnˇe posunuty (posunut´ı ve smˇeru spoleˇcn´e osy). Poznamenejme, ˇze existuj´ı i jin´e zp˚ usoby uspoˇra´d´an´ı.
81
ˇ KAPITOLA 6. KRIVKY V PRAXI
Obr´azek 6.8: DNA m´a tvar pravotoˇciv´e ˇsroubovice
Obr´azek 6.9: Dalˇs´ı struktury DNA
82
Literatura [1] Miroslava Jareˇsov´a, Ivo Volf, Matematika kˇrivek. http://fyzikalniolympiada.cz/texty/matematika/mkrivek.pdf [2] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html [3] F. Jeˇzek, Numerick´e a geometrick´e modelov´an´ı (kapitola Popis kˇrivek a ploch pro geometrick´e modelov´an´ı). z´aˇr´ı 2005 http://geometrie.kma.zcu.cz/index.php/www/content/download/299/856/file/ngmall-FJ.pdf [4] http://www.vscht.cz/mat/El pom/sbirka/Kapitola6.pdf [5] Weisstein, Eric W., Singular Point. http://mathworld.wolfram.com/SingularPoint.html [6] http://www.cs.iastate.edu/ cs577/handouts/curves.pdf [7] http://facstaff.bloomu.edu/skokoska/curves.pdf [8] http://cims.nyu.edu/∼kiryl/teaching/c1
83
