PANAS DAN DISTRIBUSI MOLEKUL DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKUL GAS 121. JUMLAH MOLEKUL BERKECEPATAN KE SATU ARAH Dengan adanya panas, molekul gas bergerak ke segala arah dan dari pergerakan ini, kita mencari distribusi kecepatan molekul itu pada arah pergerakan tersebut. Besar kecepatan pergerakan molekul bermacam-macam, demikian juga arahnya. Dengan perantaraan sistem koordinat, kita dapat menguraikan yektor kecepatan ini ke dalam komponen, ~an setingkat demi setingkat kita memperhatikan pergerakan dari satu arah hingga seluruh arah. Pada sistem koordinat kartesius, yektor kecepatan molekul v dapat diuraikan ke dalam ketiga komponennya
masing-masing
y2 = y2x + y2y + y2z
yx' yy' dan yz' sehingga (291)
Bagi tiap kecepatan terdapat bermacam-macam jumlah molekul, demikian juga bagi komponen kecepatan itu. Penentuan jumlah molekul bagi tiap kecepatan merupakari persoalan distribusi kecepatan molekul. Salah seorang yang mencoba menentukan distribusi kecepatan ini adalah James Clerk Maxwell, dan hasil penentuannya dikenal sebagai distribusi Maxwell. Di samping 184
Maxwell, pada waktu dulu, terdapat juga distribusi lainnya, namun menurut Boltzmann bahwa pada dasamya distribusi Maxwell adalah satu-satunya distribusi yang stabil karena bentuk distribusi lainnya itu selalu hampir pasti dapat berubah oleh tubrukan sehingga mendekati bentuk distribusi Maxwell. Belakangan setelah teori mengenai distribusi berkembang, kita mengenal lagi distribusi melalui mekanika statistik atau statistik kuantum yang lebih baik lagi.
Gambar 64 Daerah kom p onen kecep atan mo/eku/ antara vx dan vx + dvx , vy dan
vy + dvy serta vz dan vz + dvz
Di sini kita akan melihat dulu distribusi (komponen) kecepatan pada satu arah, yakni arah sumbu koordinat. Pandanglah suatu daerah kecepatan seperti pada gambar 64 dan daerah kecepatan ini meliputi perubahan kecepatan dvx' dv y' dan dvz yang terdiri dari molekul yang mempunyai komponen kecepatan terletak di antara v x dan vx + dv x vy dan vy + dvy vz dan v z + dv z Misalkan dari seluruh jumlah molekul N, terdapat sejumlah dNyX molekul dengan komponen kecepatan antara vx dan vx + dvx itu. Demikian juga sejumlah dNyy dan dNyz mo1ekul yang mempunyai komponen kecepatan an tara vy dan vy + dv y serta antara v z dan
vz + dv.z Pada setiap arah kecepatan dengan kecepatan yang berbeda-beda, terdapat jumlah molekul yang berbeda-beda pula, sehingga jumlah molekul dengan komponen kecepatan ke tiap arah merupakan fungsi dari kecepatan bersangkutan, yakni f(vx), f(vy), dan f(vz) yang disebut fungsi distribusi atau fungsi probabilitas.
185
Jadi bagi N molekul, diperoleh dNyx
dNy y
=N f(v) =N
dvx (292)
f(v y) dv y dNyz = N fey) dvz Hubungan
ini menunjukkan
jUffilah molekul pada tiap-tiap arah bagi komponen
kecepatan antara Vxdan Vx + dvx' vy dan vy + dvy serta Vz dan Vz + dvz'
122. JUMLAH MOLEKUL BERKECEPATAN KE DUA ARAH Telah kita lihat jumlah molekul untuk suatu daerah kecepatan bagi tiap arah. Namun molekul dapat mempunyai komponen kecepatan sekaligus ke dua arah yang sesuai dengan daerah kecepatan pada arah bersangkutan. Jumlah molekul yang mempunyai komponen kecepatan ke dua arah, misalkan arah X dan Y, Pada daerah kece patan antara vx dan vx + dv x serta vy dan vy + dv y dapat ditentukan dengan memandang molekul dv x yang sekaligus mempunyai komponen pada daerah kecepatan dv y . Bagian ini merupakan fungsi dari kecepatan vy , sehingga dari
(292), diperolehmolekuldengan komponenkecepatanpada daerah kecepatandvx yang sekaligus mempunyai komponen kecepatan pada daerah kecepatan dvy, sebagai d2N y Y xy
= dN
yx
f(v)y dv y
demikian juga d2NyyyZ= dNvy fey) dvz
(293)
d2Nyzyx= dNvz f(v) dvx Dan melalui substitusi dari (292), diperoleh d2Ny xyY = N f(v x) f(v y ) dv x dv y d2NyyyZ= N f(vy) f(v) dvy dvz d2Nyzyx= N fey) fey) dvz dvx
(294)
Ini merupakan fungsi dari kedua daerah kecepatan yang bersangkutan.
123. JUMLAH MOLEKUL BERKECEPATAN KE TIGA ARAH Seperti keadaan tersebut di muka, dari jumlah molekul yang mempunyai
komponen
kecepatan pada daerah kecepatan dv x dan dvy dapat ditentukan bagian jumlah molekul komponen kecepatan yang sekaligus pada ketiga daerah kecepatan dvx ' dvy' dan dvz' Bagian ini yakni dar d2NyXYy sekaligus mempunyai komponen pada daerah kecepatan dvz' dari d2NyyyZsekaligus berkomponen kecepatna pada daerah kecepatan dvx dan dari d2Nyzyx yang sekaligus mempunyai komponen kecepatan pada daerah kecepatan dvy adalah masing-masing
186
d3N YxYyYz
= d2NYxYy f (v z)
dv z
d3NyXYYYZ = d2Nyyy, f(v) dvx d3Ny zxy Y Y = d2Ny zxY f(v)y dv y
Substitusi dari (294), rnernberikan harga sarna bagi ketiga hasil ini, yakni d3NyXYyyZ = N f(v) f(v) f(v) dvx dvy+ dvz Bila disubstitusikan f
= f(v x) f(v y)
(295)
f(v z)
diperoleh dari (295), bentuk (297)
d3NyXYyyZ = N fdv x dv y dv z
Temyata di sini bahwa f dv z dv y dv z rnerupakan bagian dari seluruh rnolekul yang rnernpunyai kornponen kecepatan sekaligus pada daerah kecepatan dv x , dv Y, dan dv l ,
sehingga jika bagian ini diintegrasikan, yakni JfJ
{d" x dv y dvz
akan diperoleh jurnlah keseluruhannya,
=1
(298)
atau dari (297) JfJ
N f dv x dv y dv z
= N JfJ f
dv x dv y dv z
=N
Jadi jurnlah rnolekul pada seluruh kornponen bagi seluruh kecepatan rnernberikan seluruh jurnlah rnolekul itu.
124. FUNGSI DISTRIBUSI ATAU FUNGSI ,PROBABILITAS Distribusi rnolekul bagi tiap daerah kecepatan dapat ditentukan dari (297) apabila fungsi distribusi atau fungsi probabilitas telah diketahui bentuknya. Oleh karena itu, ingin kita tentukan bentuk fungsi ini terlebih dahulu dan juga hubungannya dengan panas. Sejalan dengan rapat rnolekul pada (231), kita dapat rnendefinisikan rapat kecepatan.
11= atau
=Nf
dvx dvy dvz (299)
11= N f (vx) f(vy) f(vz)
Perubahan rapat kecepatan atau diferensial total dari rapat kecepatan selanjutnya adalah d11 = -
db dV
x
d11 dv + -.dv x
dV
y
d11 +dv y
dV
z
(300) Z
187
-
--
-
Diferensial dari (299) rnenurut ketentuan pada (300) rnernberikan, dll
=N f(v
x)
f(v y) f(v)z dv x
+ N f (v x) f'(v y) f(v)z dv y + N f (v x) f(v y) f'(v z) dv z
(301)
dengan tanda aksen rnasing-rnasing sebagai turunan terhadap vx, vy dan v.z Di sarnping diferensial atau perubahan pada rapat kecepatan kita dapat juga rnenentukan diferensial atau perubahan pada besaran kecepatan, dari (291), yakni v dv = vx dvx + vy dvy + vz dvz (302) .
Hubungan (301) dan (302) berlaku bagi tiap perubahan pada daerah kecepatan serta besaran kecepatan itu yakni seperti penggeseran ternpat pada gambar 64.
Gambar 65 Daerah kecepatan molekul antara v dan v + dv.
Penggeseran daerah kecepatan ini berlaku urnurn dan bleh karenanya seperti pada gambar 65, kita dapat rnenggeserkannya juga sepanjang daerah konsentris dari koordinat kecepatan itu. Ini berarti kita berpindah sepanjang daerah kecepatan yang sarna harganya atau perubahan harga besaran kecepatan dv = 0, dan dari (302) diperoleh vx dvx + vy dvy + vz dvz
=0
(303)
Kita tidak rnernpunyai pilihan arah kecepatan serta rapat kecepatan bagi arah kecepatan, sehingga arah kecepatan adalah seragarn dan bagi arah kecepatan ini dengan harga kecepatan yang sarna, rapat kecepatan juga sarna. Jadi perpindahan sepanjang daerah kecepatan yang sarna, yakni daerah kecepatan yang konsentris, perubahan rapat kecepatan dll = 0, sehingga dari (301), N f'(v x) f(v y) f(v z) dv x + N f(v x) f'(v y) f(v z) dv y + N f(v x) f(v y) f'(v)z
188
=<
0
(304)
atau setelah disusun rnernberikan f' (v ) f'(v ) x dv +~dv
f (vx)
x
f'(v ) +~dv
f(vY)
f(v z)
Y
=0
(305)
z
Perpindahan pada daerah kecepatan dengan harga kecepatan serta rapat kecepatan yang sarna adalah salah satu hal dalam penggeseran pada daerah kecepatan, sehingga perpindahan ini juga dapat rnernberikan hasil bagi bentuk fungsi distribusi. Jadi bentuk fungsi distribusi dapat ditentukan dari salah satu corak perpindahan dalarn kecepatan, juga untuk harga dan rapat kecepatan yang sarna, yakni dari (303) dan (305). Ketiga variabel dvx' dvy dan dvz pada (303) dan (305) dapat bebas tak bergantungan satu sarna lainnya tetapi dapat juga bergantungan. Oleh sebab itu baik kita selesaikan (303) dan (305) dengan metoda Lagrange, yakni rnengalikan suatu faktor A pada (303), sehingga AV dv + AV dv + Av dv = 0 x x y y z z Penjurnlahan dengan (305) niernberikan f'(v ) f'(v ) {~ + Av } dv + { ---2... + AV } dvy f(v x)
x
f(v y)
x
f'(v) + {~ f(v z)
=0
+ AV } dv z
y
(306)
z
Harga A dapat dipilih sehingga dapat dicarikan suatu harga A, dengan ketentuan f'(v ) ~+AV f(VA)
dan sisanya
=0
(307)
x
f'(v ) f'(v ) {~ + Av } dv + { :.. + Av } dv f(v y)
x
y
f(v z)
z
=0 z
Dari tiga variabel, dua di antaranya selalu dapat diarnbil bebas, sehingga kita dapat rnengambil dvy dan dv z yang bebas dan oleh karenanya, diperoleh f'(v) f(v)y serta
f'(vz)
+AV
y
=0
(308)
+AV z =0
f(v)
Bentuk (307) dan (308) setelah disusun, rnernberikan d f(v ) x = _ A vx dvx f(v)
189
d f(v y)
=-
A.
vy dvy
=-
A.
vz dv z
f(v)y d fey)
(309)
f( vz)
Apabila persarnaan petarna dari (309) diintegrasikan, kita peroleh In f(vx) + In a dengan
In
=-
1/2 A. v2 x
a sebagai konstanta integrasi. Dengan jalan sarna dapat diperoleh bentuk
fungsi lainnya dari (309) itu. Bentuk ini dapat ditulis dalarn bentuk eksponensial, _1/ h2 f(v x) = a e 2 x -'/1..V2 f(v y) = a e 2 y f(v z)
(310)
_1/ 1..V2
=a
e
2
z
Dengan rnenggunakan substitusi (32
= 1/2 A.
ke dalarn (310) diperoleh -(32v2 f(vx) = a e x _~2V2
f(vY) = a e f(v Z) = a e
(311 )
Y
_~2V2 Z
Jadi bentuk kornponen fungsi distribusi atau fungsi probabilitas adalah fungsi eksponensial dari kecepatan. Selanjutnya dari (296), diperoleh fungsi distribusi secara keseluruhan, yakni f
= f( vx)
f(vY) f(vZ)
= a3
_ f.U( v2 + v2 + v2)
e I-'
x
Y
Z
dan dari (291)
(312)
Fungsi distribusi ini rnerupakan fungsi distribusi Maxwell, dan dengan fungsi ini dapat ditentukan distribusi kecepatan rnolekul rnenurut Maxwell. Dari (299) diperoleh rapat kecepatan,
190
_~2V2 11
=N
ex3 e
dengan bentuk grafik seperti pada gambar 66. Distribusi jumlah molekul untuk daerah kecepatan oleh karenanya menjadi d3Ny
Y Y xyz
= 11 dv x dv y dv z
(314 )
atau dengan substitusi dari (313), d3NYxYyYz
=
_~2V2 N ex3e dv x dv Y dv z
(315)
Dengan mengetahui harga parameter ex dan ~, distribusi kecepatan molekul untuk daerah kecepatan yang ditentukan dapat dihitung. Parameter ini tentunya bergantung kepada keadaan molekul terutama temperaturnya.
Gambar 66 Rapat kecepatan molekul terhadap kecepatan pada daerah kecepatan dv x dv y dv.z
125. DISTRIBUSI KECEPATAN MAXWELL DAN PARAMETER FUNGSI DISTRIBUSI Untuk memperoleh harga fungsi distribusi, perlu ditentukan bentuk dan sifat dari kedua parameter exdan ~. Guna penentuan ini, kita memandang suatu distribusi molekul yang mempunyai banyak macam kecepatan dengan memindahkan vektor kecepatan ke suatu titik. Ujung vektor kecepatan ini berbentuk bola konsentris, dan kita pandang suatu daerah kecepatan antara v dan v + dv seperti pada gambar 65. Jumlah molekul untuk daerah kecepatan ini adalah sesuai dengan (314), untuk kulit bola, dNy = 11. 41tv2dv Dari (313) diperoleh dN
y
_~2V2 dv
= 41tNex3 v2 e
(316)
dan dikenal sebagai distribusi Maxwell. Jadi rapat perubahan kecepatan oleh karenanya adalah -WV2 11y= 41tN ex3v2e
(317) 191
denganbentukgrafik sepertipada gambar67. Rapat perubahankecepatanantara vI dan v I + dv aalah sarna dengan luas yang diarsir pada gambar 67 tersebut, dan jumlah seluruh kecepatan, yakni juga jumlah seluruh molekul, adalah sarna dengan seluruh luas di bawah lengkungan rapat kecepatan.
Gambar 67 Rapat perubahan kecepatan Maxwell pada daerah kecepagan dv.
Karena harga kecepatan itu terbentang dari harga yang sangat kecil sarnpai harga yang sangat besar, maka sebagai limit kecepatan secara teoretis kita ambil dari 0 sampai 00,
sehingga 00
N=JdN
o
v
atau 00
N
= 41tN a3 J v2 e
_~2V2
dv
o
sehingga
-Wv2
00
41t a3
J v2 e
=1
dv
o
(318)
Menurut perhitungan integrasi diketahui bahwa -Wv2 dv
00
J v2 e
1
=
...J1t
(319)
o 4 ~3 sehingga substitusi ke dalam (318) memberikan
a=
~
(320)
...J1t
Masukkan ke dalam (316) diperoleh
=-
dN v
4N ...J1t
_~2V2
A3v2 e
dv
p
Menurut ketentuan kecepatan rata-rata pada (237), diperoleh
J v dNv v=
N 192
(321)
atau V
4
=-
133
--J1t
Perhitungan 00
00
f
-J32V2
V3
e
dv
0
integral definit memberikan -J32v2
f v3 e o
dv
=-
1
(322)
2134
sehingga kecepatan rata-rata menjadi 2 v=
(323)
13 --J1t
dan selanjutnya harga parameter menjadi 3 1
13=--
--J1tV
dan
2 a=--=1t
(324)
1 v
merupakan fungsi kecepatan rata-rata dari molekul.
126. PENGARUH PANAS PADA DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKUL Pergerakan molekul. seperti telah dibicarakan di muka, disebabkan oleh panas, sehingga dengan demikian parameter fungsi distribusi berhubungan pula dengan panas atau temperatur. Oleh sebab itu akan kita carikan di sini hubungan antara parameter itu dengan temperatur serta juga hubungan antara kecepatan molekul dengan temperatur.
a. Hubungan parameter dengan v Hubungan ini telah kita bicarakan yakni melalui perhitungan yang memberikan hasil seperti pada (324) b. Hubungan parameter dengan vel Dengan definisi kecepatan efektif pada (238) kita peroleh dari (321),
V" : ~V' ~
atau
It
V:dN.
193
vef= Dari perhitungan integrasi diketahui bahwa -WV2
00
f
dv = -
V4 e
o
J..J1t
(325)
8 ~3
sehingga melalui substitusi diperoleh 1 3
=-~-
v
(326)
~
ef
2
Jadi dari (326) dan (320) parameter fungsi distribusi dapat dinyatakan dengan kecepatan efektif yakni,
~=~~~
(327)
vef
dan
2
a=~~~ vef
c.
21t
Hubungan kecepatan efektif dengan tempeatur
Hubungan kecepatan efektif dengan temperatur telah kita bicarakan di muka yakni seperti pada (259), _I 3 kT
vef =-v-
m dengan m sebagai massa molekul.
d. Hubungan parameter dengan temperatur Dari hubunganantara parameterdengan kecepatanefektif, kita dapat menentukan hubunganparameterdengan temperaturmelalui substitusi (327), yang memberikan
a=~
m
21tkT (328)
~=~
m 2kT
Harga parameter berkurang pada kenaikan temperatur.
194
e. Hubungan kecepatan rata-ratadengan temperatur Telah kita ketahui hubunganantara parameterdengan kecepatanrata-ratadan juga dengan temperatur,sehinggadari padanya,yakni dari (324) dan (328), diperoleh
v="
8kT
(329)
1tm
Ternyata juga bahwa harga kecepatan rata-rata berbeda dengan kecepatan efektif.
-or
Gambar 68 Distribusi kecepatan bagi kecepatan dengan probabilitas rata, dan kecepatan efektif.
f.
tersebar, kecepatan rata-
Kecepatan dengan jumlah molekul maksimum
Bagi setiap kecepatan, terdapat sejumlah molekul tertentu, tetapi jumlah molekul ini berlain-lainan untuk kecepatan yang berbeda-beda. Pada tempeatur tertentu, kita mempunyai kecepatan yang dilakukan oleh jumlah molekul yang terbanyak atau jumlah molekul maksimum, vNm'seperti pada gambar 68. vNmini berlain-lainan pada temperatur yang berlain-lainan dan oleh karenanya kita coba menentukan di sini hubungan vNmdengan temperatur. Dari (321), vNmdapat ditentukan dengan syarat d(d N ) ~=O dv atau (330) Dari hubungan ini dapat juga kita tentukan hubungan parameter tersebut dengan vNmini, yakni (331 )
~=~ vNm
195
g. Perbandinganjenis kecepatan Bandingkan hasil dari ketiga jenis kecepatan ini, dari (331), (329), dan (259), yakni VNm= --J 2 kT m
v = --J 8 kT 1tm ver-_ --J- 3 kT m maka dipero1eh perbandingan sebagai berikut : _ 2_1 vNm: v : ver = 1 : ..J1t : ~3/2= 1
1,128 : 1,224
(332)
Hal ini dapat juga dilihat pada gambar 68. Dari hasil dari a sampai g, telah kita lihat hubungan yang erat antara distribusi molekul dengan kecepatan serta temperatur, dan daripadanya kita mengetahui pengaruh panas pada distribusi molekul gas. Melalui substitusi (328) ke dalam (317) kita peroleh secara langsung pengaruh temperatur untuk rapat perubahan kecepatan molekul, mv2 -(333) Makin tinggi temperatur makin kecil harga rapat kecepatan molekul terutama bagi kecepatan yang kecil. Secara ilustratif, pada gambar 69, terlukis rapat perubahan kecepatan molekul terhadap kecepatan molekul itu bagi bermacam-macam temperatur.
Gambar 69 Rapat perubahan kecepatan Maxwell pada daerah kecepatan dv, untuk bermacam-macam temperatur.
196
JALAN 'DEDAS MOLEKUL 127. JUMLAH TUDRUKAN RATA-RATA DAN JALAN DEDAS RATA-RATA PAD A MOLEKUL STAT IS Molekul atau atom bergerak dengan bermacam-macam kecepatan ke segala arah. Oleh sebab itu dapat kita pahami bahwa molekul atau atom dalam pergerakannya akan saling bertubrukan satu dan lainnya. Tubrukan ini makin sering apabila pergerakan molekul makin hebat, yakni jika temperaturnya makin tinggi. Kita akan berusaha menentukan jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu. Di antara dua tubrukan, molekul berjalan lurus dan jalan antara kedua tubrukan yang berturut-turut ini disebut jalan bebas. Sesuai dengan tubrukan berturut-turut yang terjadi secara tak teratur, jalan bebas juga mempunyai panjang yang bermacam-macam. Panjang rata-rata dari jalan bebas ini disebut jalan bebas rata-rata. Untuk menentukan jumlah tubrukan rata-rata ini kita memandang pergerakan suatu molekul, dan untuk memudahkan penentuannya akan kita anggap semua molekullainnya kecuali molekul ini, adaltili diam dan tersebar merata dalam ruang. Anggapan molekul statis tentunya tidak sesutai dengan kenyataan, sehingga hasilnya pun tidak akan cocok dengan keadaan sesungguhnya, tetapi perhitungan teoretis ini telah memberikan dasar perhitungan atau penentuan jumlah tubrukan serta jalan bebas rata-ratanya.
a
b
Gambar 70 a. Jarak terdekat pusat ke pusat dari dua molekul. b. Jarak yang sama tetapi dengan menganggap salah satu molekul sebagai titik pada pusatnya.
Pandanglah suatu molekul A dengan daerah pengaruh berbentuk bola berdiameter cr dan molekul lainnya hanya dapat mendekatinya sampai jarak pusat ke pusat sebesar cr. Seperti pada penentuan kovolume b dari molekul gas sejati, kita dapat menganggap molekul lain B, mengecil sehingga merupakan titik tetap pada pusatnya, dan untuk kompensasi, molekul A dianggap membesar sehingga merupakan bola dengan jari-jari cr, seperti pada gambar 70a. Molekul A ini bergerak di antara molekul B yang statis, sehingga dalam waktu 't, jalan molekul A merupakan sHinder dengan panjang V'tjika kecepatan gerak molekul A adalah V. 197
Volume sHinder ini adalah V = 1tcr2v't
dan semua molekul B statis yang berada dalarn sHinder ini akan ditubruk, sehingga dalam waktu 't itu akan terjadi tubrukan sebanyak molekul B tersebut. Apabila rapat molekul adalah p, maka jumlah tubrukan dalarn waktu 't adalah pV
= 1tpvcr2't
Jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu oleh karenanya adalah z
= 1tpcr2v
(334)
Jalan bebas rata-rata adalah jalan rata-rata antara dua tubrukan yang berturut-turut. Dalarn satu satuan waktu molekul A menempuh jalan sepanjang v dan melakukan z tubrukan, sehingga panjang jalan rata-rata antara dua tubrukan berturut-turut adalah v
A=-=-
Z
1 (335) 1tpcr2
Jalan bebas rata-rata berbanding terbalik dengan rapat molekul. Makin jarang molekul makin besar jalan bebas rata-rata atau makin bebas molekul bergerak dan sebaliknya.
128. JUMLAH TUDRUKAN RATA-RATA DAN JALAN DEDAS RATA-RATA PAD A MOLEKUL DERKECEPATAN TETAP. Molekul sebenarnya semuanya bergerak, sehingga anggapan bahwa semua molekul B adalah statis tidak sesuai dengan hasil sesungguhnya. Untuk mendekati keadaan sesungguhnya, kita membuat pendekatan dengan menganggap bahwa semua molekul mempunyai kecepatan sarna dan tetap. Dengan anggapan ini pada tahun 1857, sebelum distribusi Maxwell ada, Clausius menentukan jumlah tubrukan dan jalan bebas rata-rata.
Gambar 71 Kecepatan relatif an tara dua mo/eku/ dengan kecepatan sarna dan tetap.
198
Dengan semua molekul berkecepatan tetap dan sarna, maka dalarn penentuan jumlah tubrukan dan jalan bebas rata-rata kita perlu menggantikan kecepatan molekul pada (334) dan (335) dengan kecepatan relatif vr di antara molekul itu. Kecepatan relatif ini bergantung kepada sudut antara kedua kecepatan bersangkutan, seperti pada gambar 71, sehingga vr mempunyai bennacam-macam harga. Apabila sudut antara kedua kecepatan adalah e, maka
v
= ""v2
+ v2 - 2v2 cos
e
e = 2 v sin -
2
r
(336)
Kecepatan relatif v rata-rata dapat ditentukan dengan menentukan harga rata-rata
e
r
dari faktorsin -.
Harga rata-rata f(e, q» pada koordinat bola, dengan satu satuan jari-
2 jari diperoleh melalui mengalikan fungsi ini dengan suatu elemen luas dA seperti pada (234), mengintegrasikan untuk bola, dan membagikannya dengan seluruh luas bola, yakni
f(e,q»r=
~, 4x
TXf(e, q» sin e de dq>
0
0
e Bagi sin -
2
diperoleh oleh karenanya, harga rata-rata,
e (sin-)r
I = -
2
j
~x e J sin -
4x 0 0
2
sin e de dq>
dan setelah dihitung diperoleh selanjutnya,
e
(sin_) = 2/ 2
r
3
atau kecepatan relatif rata-rata
Vr
= 4/ 3 V
(337)
Jadi jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu pada molekul yang berkecepatan sarna dan tetap, menurut Clausius, dapat ditentukan dengan memasukkan harga (337) ke dalarn (334), (338) sedangkan jalan bebas rata-rata menurut Clausius, diperoleh dengan substitusi (337) ke dalarn (335), yakni
199
(339)
Jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu oleh karenanya bertambah dengan faktor 4/3 dan jalan bebas rata-rata berkurang dengan faktor
3/4,
129. JUMLAH TUBRUKAN RARA-RATA DAN JALAN BEBAS RATA-RATA MENURUT MAXWELL Telah kita ketahui di muka bahwa menurut Boltzmann distribusi kecepatan molekul yang stabil adalah distribusi kecepatan menurut Maxwell. Oleh sebab itu kita dapat menentukan jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu serta jalan bebas rata-rata molekul menurut distribusi kecepatan Maxwell ini. Perhitungan tidak kita l~ukan di sini, tetapi menurut perhitungan, diperoleh jumlah tubrukan antar-molekul per satuan waktu, sebesar
z
=1tpcr2V " 2
(340)
sedikit lebih besar dari ketentuan Clausius. Jalan bebas rata-ratanya dengan demikian menjadi sebesar 1
A=
(341) 1tpcr2"2 sedikit lebih kecil dari hasil Clausius. Dibandingkan dengan jalan bebas rata-rata Clausius, perbedaan jalan bebas rata-rata Maxwell adalah
lebih besar, bagi jalan bebas rata-rata Clausius. Di samping penentuan jalan bebas rata-rata ini termasuk jalan bebas rata-rata menurut Clausius dan Maxwell masih dikenal juga jalan bebas lainnya seperti menurut Tait dan sebagainya lagi.
130. GAS KNUDSEN DAN GAS BIASA. Apabila jalan bebas rata-rata antar-molekul ini ditinjau untuk gas, maka besar kecilnya jalan bebas rata-rata bergantung kepada rapat molekul gas bersangkutan, sehingga dengan jalan bebas rata-rata ini kita dapat menentukan kehampaan suatu ruang yang berisi gas.
200
Bagi gas biasa dalam bejana dengan tekanan biasa yakni sekitar 1 atm. jalan bebas rata-rata molekul adalah kecil dan akan lebih kecillagi jika dibandingkan terhadap ukuran tabung bersangkutan. Jumlah tubrukan antara-molekul dengan sendirinya akan lebih besar daripada jumlah tubrukan antara molekul dan dinding ruang. Gas dalam keadaan demikian disebut gas biasa. Dengan memompa ke luar gas dari dalam bejana itu, rapat molekul gas itu akan berkurang dan akibatnya jalan bebas rata-rata bertambah, kesemuanya bergantung juga kepada kehampaan ruang itu. Apabila bejana cukup hampanya, maka jalan bebas ratarata molekul akan bertambah bahkan akan jauh lebih besar daripada ukuran ruangnya. Dengan sendirinya jumlah tubrukan antara molekul dengan dinding akan lebih besar daripada jumlah tubrukan antar-molekul. Gas dalam keadaan demikian disebut gas Knudsen. Gas Knudsen akan berpengaruh pada sifat gas berhubung dengan letak molekul yang berjauhan itu. Perjalanan molekul dalam hal ini praktis tidak terganggu oleh molekulmolekullain. lonisasi pun selanjutnya akan terjadi pada gas Knudsen seperti pada halnya Tubular Lamp (T.L.), tabung hampa, dan lain-lainnya.
DISTRIBUSI JALAN BEBAS 131. DISTRIBUSI JALAN BEBAS MOLEKUL Kita telah membicarakan jalan bebas rata-rata dari molekul, maka kini sejalan dengan adanya kecepatan rata-rata dan distribusi kecepatan molekul, kita ingin pula mengetahui distribusi jalan bebas ini. Pada distribusi jalan bebas ini kita ingin mengetahui frekuensi terjadinya jalan bebas tertentu, baik secara simultan oleh banyak molekul pada suatu saat (momen) ataupun oleh suatu molekul dalam suatu jangka waktu tertentu. Keduanya ini memberikan hasil yang sama, dan untuk penguaraian, kita menggunakan sejumlah molekul pada suatu saat (momen). Pandanglah dan ikutilah dari mula pergerakan suatu jumlah molekul s.ebanyak No dalam suatu kelompok. Karena tubrukan yang terjadi, molekul itu akan berangsur-angsur meninggalkan kelompok. Makin besar jalan bebas suatu molekul makin jauh molekul tersebut tetap berada di dalam kelompok. Anggaplah pada suatu saat setelah kelompok ini menempuh jalan x, jumlah molekul yang masih tertinggal dalam kelompok adalah N. Pada jalan dx selanjutnya misalkan terdapat dN molekul yang mengalami tubrukan dan meninggalkan kelompok. Ini berarti bahwa ada sejumlah dN molekul yang mempunyai jalan bebas yang panjangnya terletak di antara x dan x + dx. Harga'dN ini bergantung kepada jumlah molekul N dan dx serta kemungkinan atau probabilitas tubrukan pada molekul itu, Pt. Karena dN merupakan pengurangan molekul dari kelompok, maka dN
=-
Pt N dx
(342) 201
dengan tanda negatif. Integrasi memberikan In N
=-
x + konstanta
PI
Karena untuk x =0 jumlah molekul adalah No' maka konstanta integrasi dapat ditentukan, dan setelah disubstitusikan diperoleh -Px N = No e I (343) atau setelah dimasukkan ke dalam (342),
=-
dN
PN I
0
-PIX e dx
(344)
Jumlah IdNladalah jumlah molekul yang mempunyai jalan bebas yang terletak antara x dan x + dx atau juga banyaknya jalan bebas yang terletak antara x dan x + dx. Jalan bebas rata-rata oleh karenanya, adalah A=
f X dN No
dan karena jalan bebas mempunyai bermaeam-maeam harga dari keeil sampai besar
maka seeara teoretis kita mengambillimit dari 0 sampai 00, sehingga
r
-Px o -PIN 0 x e I dx
A=
No 1
yakni
A=-
(345) PI
Jadi jalan bebas rata-rata berbanding terbalik dengan probabilitas tubrukan. Makin besar jalan bebas makin keeil kesempatan bertubrukan dan sebaliknya. Substitusi (345) ke dalam (343) memberikan x N
= No e
(346)
sedangkan jumlah jalan bebas yang terletak antara x dan x + dx menurut (344) menjadi x No dN
=
--e
A
A
dx
(347)
Jumlah jalan bebas atau distribusi jalan bebas oleh karenanya bergantung kepada daerah jalan bebas yang kita pandang.
202
132. BEBERAPA CONTOH DISTRIBUSI JALAN BEBAS Sebagaigambaranakan kita lihat di sini jumlah jalan bebasuntuk daerahjalan bebas tertentudalamrangkadistribusijalan bebasini. Jumlahjalan bebas bergantungkepada daerah jalan bebas, yang kita pandang. Jika (347) kita lukiskan sebagai fungsi jalan bebas akan kita peroleh hasil seperti pada gambar 72, yakni suatu bentuk eksponensial. Bagi suatu daerah dx dari jalan bebas itu, jumlah bebas merupakan luas yang terarsir pada gambar 72 tersebut. 81 4%
Gambar 72 Distribusi jalan bebas dan jumlah jalan bebas bagi suatu daerah jalan bebas antara Xl dan Xl + dx.
Misalkan x2' maka
kita ingin menentukan jumlah jalan bebas yang terletak di antara Xl dan
menurut
(347),
jumlah
tersebut X
N0 N=
A-
1__j2e
dx
A- Xl -- Xl A-
X2 -
A-
yakni
-e
N = N 0 (e
)
atau persentasenya adalah X2 A-
N -=(e N0
-- Xl A-
-e
)
. 100%
Demikian juga apabila kita' ingin mengetahui jumlah jalan bebas yang lebih besar dari suatu haiga L, maka dengan (347) diperoleh X
N=
-~re
A-dx
A- L
203
----
yakni sebanyak
N
L
= No e
A
atau dalam persentase, diperoleh L N -=e No
A
100%
Dan dengan jalan sarna kita dapat menentukan distribusi jalan bebas bagi daerah jalan bebas lainnya.
MEKANIKA STATISTIK 133. STATISTIK MAXWELL
- BOLTZMANN
Cara lain untuk menentukan distribusi molekul adalah melalui statistik dan bidang ini disebut mekanika statistik. Temyata bahwa mekanika statistik memberikan keterangan dan juga hasil yang lebih baik daripada metoda yang telah kita pergunakan. Di antara statistik dikenal suatu statistik yang agak klasik yakni statistik MaxwellBoltzmann. Pada statistik ini, dipandang enam dimensi dari pergerakan molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti yang dimaksudkan ini disebut ruang fasa. Selanjutnya ruang fasa ini masih dibagi lagi ke dalam volume kecil enam dimensi yang disebut sel. Molekul terbagi ke dalam sel ini dan terjadilah distribusi molekul menurut sel. Distribusi jumlah molekul dalam sel tanpa memandang molekul secara individu disebut status makro dari sistem sedangkan penentuan molekul tertentu (secara individu) dalam tiap status makro disebut status mikro dari sistem. Kemudian jumlah status mikro terhadap status makro tertentu dinamakan probabilitas termodinamik. Dalam metoda statistik ini dilakukan penentuan probabilitas termodinamik dan selanjutnya ditentukan pula hubungan dari probabilitas termodinamik dengan masalah tenaga-dalam untuk selanjutnya memperoleh jumlah molekul dalam sel. Penggunaan statistik Maxwell-Boltzmann dapat menerangkan antara lain soal panas jenis.
204
134. STATISTIK KUANTUM DENGAN STATISTIK BOSEEINSTEIN DAN .FERMI-DIRAC Statistik Maxwell-Boltzmann masih juga memberikan hasil yang kurang sesuai dengan hasil percobaan. Juga dalam hal adanya elektron atau aliran elektron, statistik ini memasukkan pengaruh yang besar dari pergerakan elektron bebas ke dalam penentuan panas jenis konduktor, tetapi menurut eksperimen, pergerakan elektron tidak mempunyai pengaruh demikian. Kesulitan pengaruh pergerakan elektron bebas dapat diatasi dengan statistik kuantum. Statistik kuantum mempegunakan teori kuantum yakni satuan tenaga yang terkecil atau kelipatannya dan dalam teori kuantum, tenaga memang dianggap terdiri atas bagian yang disJcritdengan bagian terkecil disebut kuantum. Perbedaan statistik ini dengan statistik Maxwell-Boltzmann terletak pada penentuan jumlah status mikro bagi status makro tertentu. Statistik kuantum yang terkenal antara lain adalah statistik Bose-Einstein. Menyerupai statistik Maxwell-Boltzmann, statistik ini juga mempergunakan enam dimensi ruang fasa, hanya di sini tidak dipergunakan kecepatan, melainkan dimensi momentum. Statistik Bose-Einstein juga belum dapat memecahkan peristiwa pergerakan elektron dengan memuaskan. Selain statistik Bose-Einstein, berkenaan dengan elektron bebas dalam zat, kita mengenal juga statistik Fermi-Dirac. Dari statistik ini, sedikit berbeda dengan kedua statistik di muka, dapat ditentukan bagian panas jenis yang disebabkan oleh pergerakan elektron bebas. Temyata berbeda dengan hasil dari kedua jenis statistik di muka, pada statistik ini diketahui bahwa bagian panas jenis karena pergerakan elektron bebas adalah sangat kecil, dan ini kira-kira sesuai dengan percobaan. Statistik Fermi-Dirac dapat menerangkan hal mengenai tak berpengaruhnya pergerakan elektron pada panas jenis konduktor sungguhpun konduktor mengandung banyak elektron bebas. Di sini tidak dibicarakan 1ebihlanjut mengenai mekanika statistik, dan hal-hal tersebut di muka, hanyalah sekedar gambaran saja.
SOAL-SAOL 1. Suatu ruang hampa dengan suatu lobang keSil seluas A dimasukkan ke dalam suatu bejana berisi gas dengan tekanan p pada temperatur T. Jika berat molekul gas adalah M, tentukan jumlah molekul gas yang masuk ke dalam ruang itu satu jam kemudian. Tentukan juga setelah itu tekanan dalam ruang jika volume ruang adalah V. 2.
Tentukan persentase jalan bebas yang lebih besar dari 10.000 kali diameter molekul pada tekanan p dan temperatur T.
205
