Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a | b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész számot jelentenek, hacsak nem jegyzünk meg mást róluk. Egy adott számkörben egységeknek nevezem azokat a számokat, amik a számhalmaz minden elemének osztói. A természetes számok halmazában az egység: az 1. Az egész számok halmazában az egységek: 1 és –1. A páros számok halmazán nincsenek egységek. Valódi osztók Minden szám osztható az egységekkel és önmagával (illetve önmaga egységszereseivel). Ezért ezeket az osztókat nem valódi osztóknak nevezzük. Egy szám valódi osztói azok az osztók, amelyek nem egyenlők valamely egységgel, vagy a szám valamelyik egységszeresével. Prímszámok Az egész számok négy nagy csoportra oszthatók: I. A nulla II. Az egységek: ők mindennek osztói a halmazban (egymásnak is). III. Felbonthatatlanok (az egész számok halmazában ők a prímszámok): azok a számok, amiknek nincs valódi osztójuk (csak az egységek ill. a szám egységszeresei az osztók). Úgy is fogalmazhatunk, hogy az egész számok körében azok a prímek, amiknek négy osztójuk van: maga a szám, az 1, illetve ezek ellentettjei. IV. Összetett számok: azok, amiknek van valódi osztójuk. Az eraszthotenészi szita Prímszámokat az ún. eraszthotenészi szita segítségével lehet keresni. Egymás után írjuk 2-től a természetes számokat addig, amíg keresni akarunk. Első lépésben bekarikázzuk a 2-est, majd minden többszörösét kihúzzuk. Utána megkeressük a megmaradt legkisebb prímszámot, ezt bekeretezzük, a többeseit pedig kihúzzuk. Ezt a műveletsort folytatjuk. Előbb-utóbb minden számot vagy bekarikázunk, vagy kihúzunk. A bekarikázott számok a (pozitív) prímszámok, a kihúzottak pedig az összetett számok. A számelmélet alaptétele Minden szám sorrendtől és egységszeresektől eltekintve egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára. Ezt az egyértelmű felbontást nevezzük a szám prímtényezős felbontásának. Ezt a tételt középiskolában nem bizonyítjuk, de megjegyezzük, hogy a páros számok körében ez például nem teljesül. A 36 = 6⋅6 és 36=2⋅18 ugyanis két különböző felbontás; a 6, a 2 és a 18 ugyanis felbonthatatlanok ezen a számhalmazon. A prímek száma végtelen. Ez egy tétel. Bizonyítása indirekt: Tegyük fel, hogy véges sok prímszám van. Ekkor fel lehet sorolni őket, sőt a felsorolás véget is ér. Legyen egy ilyen felsorolás: p1; p2; p3; …; pn. Elvileg ebben a sorozatban van az összes prím. Szorozzuk őket össze. A szorzathoz adjunk 1-et. A kapott szám valamennyi felsorolt prímszámmal osztva 1 maradékot ad, tehát egyikkel sem osztható. Ekkor viszont vagy prím (de minden felsorolttól különbözik, tehát nem is soroltuk fel mindegyiket, ellentmondásra jutottunk); vagy nem prím, de akkor felbontható prímek szorzatára; tehát van prímosztója. De ez a prímosztó biztosan nem szerepel a felsorolásban, hiszen azok egyikével sem osztható. Ez is ellentmond annak, hogy minden prímet felsoroltunk. Mindenképpen ellentmondásra jutunk tehát, ezért a kiindulási feltétel hamis: nem igaz, hogy csak véges sok prímszám van. Megjegyzés: a bizonyítást nem kötelező indirekt módon elvégezni. Elég megmutatni, hogy akármennyi véges prímszámból – éppen az előző bizonyításban leírt módszerrel – legalább egy új prímet lehet képezni. Ez azt jelenti, hogy a prímek száma felülről nem korlátos, tehát végtelen sok van belőlük. Lnko, lkkt. (A természetes számok halmazán érvényes definíciók) Két szám legnagyobb közös osztóján a közös osztók legnagyobbikát értjük. Meghatározása: a törzstényezős felbontásban szereplő közös tényezőket vesszük az előforduló legkisebb kitevővel, s ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk. Két szám legkisebb közös többszörösén a közös többszörösök legkisebbikét értjük. Meghatározása: a két szám törzstényezős felbontásában szereplő összes tényezőt vesszük az előforduló legnagyobb kitevővel, s ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk. A lnko és a lkkt szorzata Tétel: két szám lnko-ja és lkkt-e összeszorozva a két szám szorzatát adja eredményül. Bizonyítás: Tekintsük a két szám prímtényezős felbontását. Válasszunk ki egy prímtényezőt. A két szám szorzatában ez a prímtényező a két előforduló hatványkitevő összegére van emelve. A lnko és lkkt összeszorzásakor kapott szám felbontásában ugyancsak. (…) Ez minden prímtényezőre elmondható. Az a⋅b és a lkkt(a;b) ⋅ lnko(a;b) számok prímtényezős felbontása tehát megegyezik. A SZAT-vel összhangban ezek szerint a két szám is megegyezik. Feladatok: 1. Határozzuk meg a 90 összes egész osztójának az összegét! 1.H a.) Soroljuk fel az 54 összes osztóját az egész számok halmazán! b.) Hány olyan 100-nál kisebb egész szám van, amelynek a 17 és a 49 is osztója? ☺ 2. Soroljuk fel az 5ab2 kifejezés osztóit! 2.H a.) Határozzuk meg a 3a2b3 és a 9ab4 kifejezések legnagyobb közös osztóját! b.) Lehetséges-e, hogy 7 osztója a 9a3b2 kifejezésnek, ha a nem osztható 7-tel? c.) Lehetséges-e, hogy 729 osztója a 2n2·m3 kifejezésnek, ha n és m prímszámok? 3. Határozzuk meg az x2 – y2 kifejezés osztóit! 3.H a.) Bizonyítsuk be, hogy az x3–8 kifejezés mindig osztható x2+2x+4-gyel, ha x egész. b.) Igazoljuk, hogy az x2 – 25 kifejezés mindig osztható x+5-tel! c.) Határozzuk meg az x4 + 14x3 + 51x2 + 14x – 80 kifejezés összes elsőfokú polinom osztóját, ha tudjuk, hogy (x+2) az egyik! 4. Bizonyítsuk be, hogy a (4k+1)2–5 kifejezés minden egész k esetén osztható 4-gyel! 4.H a.) Igazoljuk, hogy a (3k+2)2 – (3k+1) kifejezés minden egész k-ra osztható 3-mal!
5. 5.H 6. 6.H
7. 7.H 8. 8H. 9. 9.H 10. 10.H
b.) Bizonyítandó, hogy az 5-tel osztva 3 maradékot adó számok négyzete 5-tel osztva 4 maradékot ad. c.) Mutassuk meg, hogy (2n+1)2 – 1 mindig osztható 4-gyel! (Sőt: 8-cal is, erről később…) Határozzuk meg az összes olyan c egész számot, amelyre a 12/c kifejezés is egész! a.) Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre a 40/n kifejezés is egész! b.) Melyek azok az x egészek, amelyekre 128/x is egész szám? c.) Melyek azok a k természetes számok, amelyekre 72/(3k) is természetes szám? Határozzuk meg az összes olyan m egész számot, amelyre a 42/(m+2) kifejezés pozitív egész szám lesz! a.) Milyen egész t számok esetén lesz a –6/(t–7) kifejezés pozitív egész? t eleme a {13; 10; 9; 8; 6; 5; 4; 1} halmaznak. b.) Adjuk meg azokat az m egész számokat, amelyekre 24/(m + 13) természetes szám! c.) Melyek azok a c természetes számok, amelyekre -50/(c – 111) egész szám? Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre az (n+2)/(n–4) kifejezés is egész szám lesz! a.) Határozzuk meg az összes olyan k egész számot, amelyre a (k+8)/k kifejezés is egész szám lesz! b.) Melyek azok az m egész számok, amelyekre az (m + 2) / (m – 10) kifejezés természetes szám? c.) Adjuk meg az összes olyan n természetes számot, amelyre (n + 5) / (3 – n) egész! Oldjuk meg a (3+m)⋅(2–n) = 9 egyenletet a pozitív egész számok halmazán! a.) Adjuk meg az (x–2)⋅(y–5) = 6 egyenlet összes egész megoldás-párját! b.) Oldjuk meg az (a+4)·(b–7) = 50 egyenletet az egész számok halmazán! c.) Mely egész számpárok oldják meg az xy + y = 18 egyenletet? Oldjuk meg az xy – 4x + 6y = 1 egyenletet az egész számok halmazán! a.) Ha két egész szám összegéhez hozzáadjuk a szorzatát, 36-ot kapunk. Melyik lehet ez a két egész szám? b.) Határozzuk meg az xy + x + 5y = 3 egyenlet összes egész megoldáspárját! c.) Oldjuk meg a 2a + 8b = ab diofantikus egyenletet! Bizonyítsuk be, hogy (a–b) osztója an–bn-nek! felelés kérdés is! a.) Bizonyítsuk be, hogy (a+b) osztója an+bn-nek, ha n páratlan szám! felelés kérdés is! b.) Bizonyítsuk be, hogy (a+b) osztója an – bn-nek, ha n páros szám! c.) Bizonyítsuk be, hogy (x – 1) osztója (xk – 1)-nek, ha k pozitív egész szám!
6. Osztási maradék Egy egész szám n-nel való osztási maradékán a vizsgált szám és a nála nem nagyobb n-nel osztható számok legnagyobbikának különbségét értjük. Az n-nel osztható számok k⋅n alakba írhatók. Az n-nel osztva 1 maradékot adó számok k⋅n+1 alakba írhatók. Az n-nel osztva 2 maradékot adó számok k⋅n+2 alakba írhatók. stb. Az 4-gyel osztva 1 maradékot adó számok halmazát „1-es maradékosztály modulo 4”-nek nevezzük, vagy „a 4 osztó 1-es maradékosztályának”. Jele: (n). (Kézírásban: karikás 1-es.) Az (n) halmaz elemei: 1; 5; 9; 13; … továbbá -3; -7; -11; …; rövidebben: {4k+1|k egész} = (4) Hasonlóan: {4k+2|k egész} = (4); {4k+3|k egész} = (4) {4k|k egész} = (4) Megjegyzés: elvileg egy maradékosztályt bármelyik képviselőjével jelölhetünk. Például (4) = (4), de a jobb átláthatóság kedvéért a végtelen sok képviselő közül azt szokás választani a maradékosztály megadásánál, amely az n osztó esetén 0 és n-1 közé esik. Megállapodás: a modulust (osztót) hosszabb fejtegetésnél elegendő egyszer (az elején) kiírni, amennyiben ez az egész leírás során ugyanaz. A fentiekből következik, hogy n-nel oszthatóság szempontjából n darab maradékosztály létezik. A maradékosztályok között különleges műveleteket végezhetünk: értelmezhető közöttük az összeadás, a kivonás és a szorzás művelete. (Az osztás mint a szorzás megfordítása nem működik, amint azt majd látni fogjuk.) A értelmezése (4): Kérdés: ha egy 2-es és egy 3-as maradékosztálybeli számot összeadok, mondhatok-e valami általános törvényszerűséget az összeg maradékáról? A válasz: igen. Adjuk össze a 4k + 2 és a 4m + 3 számokat. Az első a 2-es, a második a 3-as maradékosztályból való, amennyiben k és m egészek. Az összeg: 4k + 2 + 4m + 3 = 4k + 4m + 5 = 4k + 4m + 4 + 1 = 4·(k + m + 1) + 1. A zárójelben egész szám áll, így azt kaptuk, hogy az összeg az 1-es maradékosztályba került. Általánosságban kimondható a következő tétel: Legyen adott az n osztó és két tetszőleges (akár megegyező) maradékosztálya. A két maradékosztályból tetszőlegesen választott egy-egy elem összege a választástól függetlenül mindig ugyanabba a maradékosztályba tartozik. - Ezt a maradékosztályt nevezhetjük a két maradékosztály összegének. Hasonlóan határozható meg két maradékosztály szorzata és különbsége is. A hányadossal nem ilyen egyszerű a helyzet. Az osztás a szorzás megfordított művelete. Mivel például 4·2 = 8 (12) és 4·5 = 8 (12), ezért a 8:4 művelet eredményéről nem tudhatjuk, hogy 2 vagy 5 (sőt lehet 8 és 11 is). (Más szóval: nem igaz a fenti tétel osztásra. Vizsgáljuk a 8 és a 4 maradékosztályt mod 12. Ha a 8-as maradékosztályból a 20-at, a 4-esből a 4-et választjuk, a hányados 5, az 5-ös maradékosztályba kerül. Ha viszont a 8-as maradékosztályból a 44-et, a 4-esből a 4-et választjuk, a hányados a 11-es maradékosztályba tartozó lesz. Így az osztásnál nem mindig ugyanabba a maradékosztályba kerülünk.) Maradékosztályok hányadosát ezért általában nem értelmezzük. Összeg, különbség, szorzat osztási maradéka egyenlő a tagok/tényezők osztási maradékainak összegével, különbségével, szorzatával, illetőleg ezek osztási maradékával. Biz: egyszerű, de hosszú. HF. ☺ 11. 11.H
12.
Végezzük el a következő műveleteket a mod 5 maradékosztályok körében! + + + · + a.) Adjuk meg a következő műveletek eredményét a 8-as osztási maradékosztályok körében! + + + + · + + · a.) Adjuk meg a következő műveletek eredményét a 3-as osztási maradékosztályok körében! + + + · + + – – – – Mely maradékosztályba tartoznak a következő számok 8-cal osztva?
· · · · ·
5
4 3
10 9112
12.H 13. 13.H 14. 14.H
15. 15.H
9 19 –29 100 3721 77 226 Mely maradékosztályba tartoznak a következő számok 6 szerint (azaz 6-tal osztva, modulo 6)? 8 –55 209 –2009 5996 –1111 Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 5-tel osztva? 324 + 8291·3217 213·827 – 261·117 778·362·911·3627 Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 9-cel osztva? 23749 + 123732 - 179311 324793·236·88 – 1 9999 – 999 + 99·99999 Milyen maradékot adnak a 2 hatványai 7-tel osztva? a.) Milyen maradékot adnak a 4 hatványai 11-gyel osztva? b.) Milyen maradékot adnak a 3 hatványai 8-cal osztva? c.) Milyen maradékot adnak a 9 hatványai 5-tel osztva? d.) Milyen maradékot adnak az 5 hatványai 12-vel osztva? e.) Milyen maradékot adnak a 2 hatványai 9-cel osztva? Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 7-tel osztva? 437 3247912738 1927 + 21378 – 231751263829 Határozzuk meg a következő számok maradékát a megadott modulus mint osztó szerint! 7777 (2) 291382 (3) 6·1023 (7) 538·372229 (10) 72392368 · 13861193 · 32618 (8)
Oszthatósági szabályok (ismétlés, HF): 2-vel, 4-gyel, 8-cal, 2n-nel; illetve 5-tel, 25-tel, 125-tel, 5n-nel. 3-mal és 9-cel 6-tal, 12-vel, 24-gyel, 120-szal. 11-gyel Tétel: n darab egymást követő egész szám közül pontosan egy darab lesz n-nel osztható. Bizonyítás: az n darab egymást követő egész szám mindegyike különböző maradékot ad n-nel osztva, így különböző maradékosztályokba tartoznak. Tudjuk, hogy n darab maradékosztály van n szerint, így mindegyik maradékosztályba pontosan egy elem kerül. Ez igaz a 0 maradékosztályra is, tehát pontosan egy 0 maradékosztálybeli elem van az n szám között, így pontosan egy osztható közülük n-nel. Tétel: Ha egy szám osztható a-val és b-vel, akkor osztható ezek legkisebb közös többszörösével is. Bizonyítás: vizsgáljuk a szám törzstényezős felbontását és ebben egy tetszőleges p prím kitevőjét, ez legyen kp. Mivel a szám a-val osztható, a-ban p kitevője legfeljebb kp; hasonlóan b-ben is legfeljebb ennyi. Ebből következik, hogy lkkt(a; b) törzstényezős felbontásában is a vizsgált p kitevője legfeljebb annyi, mint az eredeti szám felbontásában. Ez a tény bármely p-re elmondható, azaz lkkt(a; b) minden törzstényezőt legfeljebb annyiadik hatványon tartalmaz, mint a vizsgált szám. Ez éppen azt jelenti, hogy osztója neki. Feladatok: 21. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő természetes szám szorzata osztható 6-tal. 21.H a.) Bizonyítsuk be, hogy négy egymást követő természetes szám szorzata osztható 24-gyel! b.) Bizonyítsuk be, hogy öt egymást követő természetes szám szorzata osztható 120-szal! c.)* Bizonyítsuk be, hogy n darab egymást követő természetes szám szorzata osztható n!-sal! 22. Bizonyítsuk be, hogy a n3+23n kifejezés osztható 24-gyel, ha n osztható 8-cal! 22.H Bizonyítsuk be, hogy 6 osztója az n3+11n-nek! 23. Bizonyítsuk be, hogy az 57 osztója 7n+2+7n+1+7n-nek! (n pozitív egész). 23.H a.) Bizonyítsuk be, hogy a 6n+2 – 6n+1 + 6n kifejezés biztosan osztható 31-gyel! (n pozitív egész). b.) Igazoljuk, hogy a 8n + 2·8n+1 + 8n+2 kifejezés biztosan osztható 34-nel, ha n pozitív egész szám! 24. Hogyan lehet megállapítani egy szám prímtényezős felbontásáról, hogy a szám 8-cal osztható-e? 24.H a.) Hogyan lehet megállapítani egy szám prímtényezős felbontásáról, hogy a szám négyzetszám-é? b.) Hogyan lehet megállapítani egy szám törzstényezős felbontásáról, hogy a szám 6-tal osztható-e? c.) Egy szám törzstényezős felbontásában minden kitevő osztható 3-mal. Mit állíthatunk biztosan a számról? 25. Egy háromjegyű számot kétszer leírunk egymás után. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert hatjegyű szám biztosan osztható 7-tel! 25.H a.) Egy háromjegyű számot kétszer leírunk egymás után. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert hatjegyű szám biztosan osztható 11gyel és 13-mal! b.) Egy kétjegyű számot háromszor leírunk egymás után. Igazoljuk, hogy az így kapott szám osztható 37-tel, 13-mal és 7-tel is! 26. Két szám legnagyobb közös osztója 6, legkisebb közös többszöröse 108. Melyik lehet ez a két szám? 26.H a.) Két szám legnagyobb közös osztója 14, legkisebb közös többszöröse 420. Melyik lehet ez a két szám? b.) Két szám lnko-ja 2, lkkt-e 91. Melyik lehet ez a két szám? c.) Két szám lnko-ja 8, lkkt-e 360. Mennyi a két szám négyzetösszege? 27. Egy buszvégállomásról az 1-es buszok 15 percenként, a 2-es buszok 24 percenként követik egymást. Reggel 6 órakor egyszerre indul egy 1-es és egy 2-es busz a végállomásról. Melyik a következő olyan időpont, amikor ismét egyszerre indulnak ezek a buszok? 27.H a.) Egy út egyik oldalán 30 méterenként fák, a másik oldalán 42 méterenként villanyoszlopok sorakoznak. Egy helyen pontosan szemben áll egymással egy fa és egy villanyoszlop. Hány méterenként ismétlődik meg ez a találkozás? b.) Egy templom tornyában délben két haranggal harangoznak hosszasan. Az egyik 1,4 másodpercenként, a másik 1,8 másodpercenként üt egyet. Egy adott pillanatban egyszerre üt mindkét harang. Mikor következik be legközelebb ez a jelenség? 28. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 48-cal! 28H. a.) Bizonyítsuk be, hogy két egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 8-cal! b.) Igazoljuk, hogy négy egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 192-vel! 29. Bizonyítsuk be, hogy 2⋅7n + 1 mindig osztható 3-mal! 29.H a.) Bizonyítsuk be, hogy 5 ⋅13n + 4 mindig osztható 3-mal! b.) Bizonyítsuk be, hogy 14·15n + 30·31n+1 bármilyen pozitív egész n esetén osztható 16-tal! 30. Lehet-e 46 egymást követő természetes szám összege osztható 46-tal? 30.H a.) Lehet-e 46 egymást követő páros szám összege osztható 46-tal? b.) Igaz-e, hogy 2009 egymást követő természetes szám összege 2009-cel biztosan osztható? 31. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik 7-tel osztva 6; 8-cal osztva 7; 9-cel osztva pedig 8 maradékot ad? 31.H a.) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik 4-gyel osztva 3; 5-tel osztva 4; 7-tel osztva pedig 6 maradékot ad? Bizonyítsuk be, hogy két tetszőleges ilyen tulajdonságú szám különbsége osztható 140-nel! b.) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely 7-tel osztva 5, 8-cal osztva 6 és 10-zel osztva 8 maradékot ad? 32. A 23x9y ötjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 45-tel! 32H. a.) A 23x9y ötjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 36-tal! b.) Az 1x8x3y hatjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 72-vel! 33H. Bizonyítsuk be, hogy 1110–1 osztható 120-szal!
Négyzetszámok osztási maradékai Példa: Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 3-mal osztva? Állítás: A maradék 0 vagy 1 lehet, 2 sohasem. Bizonyítás: az egész számokat három csoportba sorolhatjuk: 3k alakú számok; ezek négyzetei: (3k)2 = 9k2 = 3⋅3k2, tehát 0 maradékot adnak 3-mal osztva. 3k+1 alakú számok; ezek négyzetei: (3k+1)2 = 9k2+6k+1 = 3⋅(3k2+2k)+1, ezek tehát 1-et adnak maradékul 3-mal osztva. 3k+2 alakú számok; ezek négyzetei (3k+2)2 = 9k2+6k+4 = 9k2+6k+3+1 = 3⋅(3k2+2k+1)+1, ezek is 1-et adnak tehát maradékul 3mal osztva. A világ összes egész számát négyzetre emeltük, és sohasem kaptunk 2-es maradékot. Állításunkat ezzel igazoltuk. Feladatok: 33. Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 8-cal osztva? 33.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 4-gyel osztva? 0 vagy 1 . b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 6-tal osztva? 34. Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 10-zel osztva? 34.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 5-tel osztva? b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 16-tal osztva? 35. Milyen számjegyre végződhet egy egész szám negyedik hatványa? 35.H a.) Milyen maradékot adhat egy egész szám negyedik hatványa 5-tel osztva? b.) Melyik maradékosztályba tartozhat egy egész szám negyedik hatványa mod 8? 36. Milyen számjegyre végződhet egy egész szám harmadik hatványa? 36.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 7-tel osztva? 0; 1; 2; 4 . Sosem lehet 3; 5; 6. b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 11-gyel osztva? 0; 1; 3; 4; 5; 9 . Sosem lehet 2; 6; 7; 8; 10. 37. Legyen t egész szám. Mennyi lehet a t2 + 5 szám maradéka 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 16-tal osztva? (Több feladat, rendesen dolgozzuk ki, fontos!) 37.H a.) Milyen számjegyre végződhet az r2 + 2 kifejezés, ha r egész szám? b.) Legyen b egész szám. Mennyit ad maradékul a b2 + 16! szám 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 16-tal osztva? c.) Mi lehet a 8-as maradéka az x4 + y4 + 3 számnak, ha x és y egészek? d.) Legyen c egész szám. Milyen maradékot adhat a (c + 2) · (c – 2) + 5 kifejezés 8-cal osztva? 38. Az y számról tudjuk, hogy egész. Mennyi lehet a maradéka az y2 – 2 számnak 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 8-cal, 10-zel és 16-tal osztva? 38.H a.) Az e2 – 11 számot 6-tal osztjuk. Mi NEM lehet a maradék, ha e egész szám? b.) Mennyi lehet a 4-es osztási maradéka a 32 – u2 kifejezésnek, ha u egész szám? c.) Határozzuk meg az (x – 13)·(x + 13) szorzat 5-tel való osztási maradékát, ha x egész szám! Minden lehetséges megoldást adjunk meg! d.) Adjuk meg az (a2 + b)·(a2 – b) szorzat utolsó számjegyének lehetséges értékeit, ha a és b egész számok és b nem nulla! e.) Milyen számjegyre végződhet a (2x+1)4 – (4y – 2)4 kifejezés, ha x és y egész számok? 39. Adjuk meg az összes olyan p prímszámot, amelyre p2+2 is prím! 39.H a.) Keressük meg az összes olyan n egész számot, amelyre n2 és n2+2003 egyaránt prím! b.) Keressük meg az összes olyan p prímet, amelyre p+14 és p+28 is prím! c.) Keressük meg az összes olyan p prímet, amelyre p2+20 vagy p2+50 (legalább az egyikük) prím! 40. Bizonyítsuk be, hogy két páratlan szám négyzetének összege sohasem lehet négyzetszám! 40H. a.) Bizonyítsuk be, hogy három páratlan szám négyzetének összege sohasem lehet négyzetszám! b.) Bizonyítsuk be, hogy bármely négy egész szám négyzete közül kiválasztható úgy kettő, hogy különbségük 8-cal osztható legyen! 41. Keressük meg az összes olyan négyzetszámot, amely csupa egyforma számjegyből áll! 41.H a.) Keressük meg az összes olyan egész számot, amelyiknek a negyedik hatványa csupa egyforma számjegyekből áll! 0; 1; -1 . b.) Hány olyan egész szám van, amelynek a négyzete csupa egyforma számjegyből áll? 42. Lehet-e négyzetszám az az egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 42.H a.) Van-e olyan négyzetszám, amelynek számjegyei a 0, 2, 3, 5 számok, valamilyen sorrendben? Igen . b.) Van-e olyan négyzetszám, amely csupa 0-ból és 3-asokból áll? Nincs . c.) Van-e olyan négyzetszám, amelynek 10-es számrendszerbeli alakjában 2009 darab 1-es és valahány 0 szerepel? Nincs . 43. Bizonyítsuk be, hogy n2 + n4 + n8 minden egész n esetén osztható 3-mal! 43.H a.) Bizonyítsuk be, hogy n2 + n4 + n6 + n8 minden egész n esetén osztható 4-gyel! b.) Bizonyítsuk be, hogy n4 + n8 + n12 + n16 + n20 minden egész n esetén osztható 5-tel! 44. Van-e olyan prímszám, amelyik osztható egy négyzetszámmal? 44.H a.) Van-e olyan szám, amelynek a törzstényezős felbontásában a 2 páratlan kitevőn szerepel, de a szám osztható egy négyzetszámmal? Van . b.) Van-e olyan szám, amelynek a törzstényezős felbontásában a 7 páratlan kitevőn szerepel, de a szám osztható egy páros négyzetszámmal? Van . Jó munkát!
Az eraszthotenészi szita Keressük meg a prímszámokat 1 és 1000 között!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
