SMA2 – Přednáška 01 Informace o předmětu Energie vnějších a vnitřních sil Virtuální energie vnějších a vnitřních sil Princip virtuálních prací a sil Příklady
Copyright (c) 2012 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/
1
Organizace výuky Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St 9.0011.00 (po domluvě i jindy) Webové stránky předmětu http://mech.fsv.cvut.cz Stránky předmětů SMA2 nebo https://mech.fsv.cvut.cz/homeworks/student/SMA2 Domácí úkoly, přednášky, podmínky zápočtu a zkoušky Podmínky pro udělení zápočtu: 8 domácích úkolů Včasné odevzdání cvičícímu a na webových stránkách, 2 semestrální testy, min. 14 bodů/34 Zkouška: Zápočtové testy (34) + zkouškový test (30) + příklady (36) = 100 bodů, doplňkové ústní otázky
2
SMA2 – Organizace výuky Návaznost na minulé předměty (co je nutné znát): ● SMA1 reakce, průběhy vnitřních sil na staticky určitých (složených) konstrukcích, průřezové charakteristiky ● PRA analýza napjatosti prutů (tah+tlak, šikmý ohyb, kroucení), diferenciální rovnice ohybu prutu Zapsaných Zápočet udělen Úspěšnost získání zápočtu Zkouškových pokusů-účast Známku A-E získalo Pokusů/úspěch Úspěšnost (známka A-E) A (%) B (%) C (%) D (%) E (%) F na 3. pokus
VS L 2011/2012
VS rep. Z 2012/2013
VS L 2012/2013
VS rep. Z 2013/2014
VS L 2013/2014
VS rep. Z 2014/2015
240 207 86.3% 371 190 1.95 79.2% 3.7% 13.7% 32.6% 32.1% 17.9% 11
72 51 70.8% 97 43 2.26 59.7% 2.0% 6.0% 16.0% 30.0% 32.0% 6
208 172 82.7% 296 154 1.92 74.0% 4.5% 7.8% 28.6% 37.0% 22.1% 12
69 55 79.7% 110 37 2.97 53.6% 2.7% 10.8% 18.9% 43.2% 24.3% <18
239 214 89.5% 349 191 1.83 79.9% 4.7% 10.5% 28.8% 38.7% 17.3% 21
77 54 70.1% 108 49 2.20 63.6% 0.0% 8.2% 22.4% 46.9% 22.4% 2 3
Exkurze pro vynikající studenty ●
●
Studenti se zkouškami A až B ze SMA1, PRA a SMA2 budou pozváni na exkurzi po zajímavých stavebních objektech v Praze Exkurze Strahovský klášter 2.10.2015 (a 13.11.2015)
4
SMA2 – Sylabus Náplní SMA2 je výpočet přetvoření na konstrukcích + řešení staticky neurčitých konstrukcí ●
●
Princip virtuálních prací (PVP) – Princip virtuálních sil (PVs) ∘ Výpočet přetvoření staticky určitých konstrukcí ∘ Bettiho, Maxwelova věta ∘ Silová metoda, staticky neurčité konstrukce – Princip virtuálních posunutí (PVp) ∘ Deformační metoda, staticky neurčité konstrukce ∘ Matice tuhosti prutu a konstrukce ∘ Metoda konečných prvků Analýza desek 5
SMA2 literatura ●
● ●
●
●
● ●
●
●
P. Konvalinka et al.: Analýza stavebních konstrukcí příklady, ČVUT, 2009 V. Kufner, P. Kuklík: Stavební mechanika 30, ČVUT, 1998 P. Kuklík, V. Blažek, V. Kufner: Stavební mechanika 40, ČVUT, 2002 K. Klepáčová, V. Kufner: Stavební mechanika 40: Příklady staticky neurčitých konstrukcí, ČVUT, 1999 J. Kadlčák, J. Kytýr: Statika stavebních konstrukcí II., VUTIUM, 2009 T.H.G. Megson: Structural and Stress Analysis, Elsevier, 2005 M.H. Saad: ElasticityTheory, Applications, and Numerics, Elsevier, 2005 W.M.C. McKenzie: Examples in Structural Analysis, Taylor & Francis, 2006 R. Szilard: Theories and Applications of Plate Analysis, John Wiley & Sons, 2004 6
Energie vnějších sil pro lineárně elastický materiál Síla [N] Jednoosý tah
E,A N=
x L
u=
EA u=ku L
A
B
L N EA
Předpokládáme lineární pole posunů na prutu. uf
Nf
Komplementární (doplňková) energie vnějších sil W*e
1
EA L
(Prostá) energie vnějších sil We
C
O
uf Posun [m]
1 EA 2 1 L 2 W e =∫ N u du= uf = N f ≥0 Plocha OCB 2 L 2 EA 0 Nf
1 L 2 1 EA 2 W =∫ u N dN = Nf= uf ≥0 Plocha OAB 2 EA 2 L 0 * e
Pro lineárně elastický materiál W e =W *e ∂W e u =N Castiglianův první teorém ∂u * ∂W e N =u Crotti-Engesserův teorém ∂N
Castiglianův druhý teorém (důkaz přes energii deformace prutu)
∂W e N =u N ∂N
Umíme vypočítat posun pouze v místě a směru síly N (bohužel nikde jinde)
7
Příklad určete svislý posun styčníku b Prozatím použijeme Castiglianův druhý teorém
a
c S3
S1
0
60o
−
L
F 3
wb
F
F 2 3
+
S2 b
F 2
–
L
60o
N
F 2
EA = konst.
+
L
F 3
F
[ ] 2
1 L 2 L F −F W e =∑ Si = 2⋅ 2EA 2 3 3 i 2 EA ∂W e F 3 FL =wb = ⋅ ∂F 4 EA
2
L 3F 2 = ⋅ [J] 2EA 4
Za okamžik zavedeme princip virtuálních sil, kterým vypočteme libovolnou deformaci na konstrukci mnohem elegantněji. Castiglianova myšlenka zůstane stejná.
8
Hustota prosté a doplňkové energie deformace ●
Ze zákona zachování energie plyne, že energie dodaná vnějšími silami musí být obsažena v objemu prutu. Pro materiálový bod zavádíme pojem hustota (potenciální) energie deformace W. 1/ V
⏞ 1 EA 2 1 Eu u 1 W= ⋅ u= = σε
AL 2L 2 L L 2 1 L 1F F 1 * 2 W = ⋅ F= = σε AL 2EA 2 A EA 2 * W =σ ε−W * W =W pro lineárně elastický materiál Indexy f jsou pro přehlednost vynechány.
[Pa] f
Komplementární (doplňková) hustota energie deformace W*
A
B E
1
C
O (Prostá) hustota potenciální energie deformace W
Energii vnitřních sil získáme integrací hustoty energie
f
[]
W i=∫V W d V
Pozn. Pro lineárně elastický materiál s nulový počátečním napětím a deformací (na tomto obrázku) se často nerozlišuje mezi doplňkovou a prostou hustotou, protože platí W=W*.
9
Princip virtuálních sil (obecný princip spojitosti) Skutečný stav
E,A
N
x L
N
u
E,A
Virtuální stav
N
*
δ W e =u N 1
N
x L
(Komplementární, doplňková) virtuální práce vnějších sil W*e
uu
EA L
u
O
N – skutečná síla na prutu u – skutečný posun konce prutu N – virtuální (myšlená) síla, která nezávisí na skutečných silách a má libovolnou velikost (nenarušuje lineární systém) u – virtuální posun, který plyne ze zvolené N
σ
u
E
1
δ W =∫V ε σ d V * i
(Komplementární, doplňková) virtuální práce vnitřních sil W*i
O
ε
Pozn. Princip virtuálních posunutí (přemístění) bude použit pro odvození deformační metody poději.
10
Princip virtuálních sil (metoda jednotkových sil) ●
Pro tažený/tlačený prut z lineárně elastického materiálu platí L *
L
δ W i =∫V ε σ d V =∫ 0
N N NN A d x=∫ dx EA A 0 EA
*
δ W e =u N
(
L
) (∫
N 0=δW −δ W =N ∫ d x−u =N 0 EA * i
●
●
* e
L
0
)
ε d x−u =N ( ui−u ) =0
Z rovnosti komplementárních virtuálních prací sil plyne spojitost posunů. Pozn.: Virtuální veličiny u, , jsme prozatím uvažovali pouze na okraji prutu jako okrajovou podmínku. Průběhy virtuálních veličin po délce prutu jsme dopočetli za známých vztahů. Obecně jsou to však variace funkcí u(x), (x), které mají význam ve variačních metodách a v přibližném řešení úlohy, např. v metodě konečných prvků. Funkcionál potenciální energie a princip minima potenciální energie je právě základem přibližných metod mechaniky. 11
Příklad – posun styčníku příhradové konstrukce wb Skutečný stav
S3
60o
L
F 3
−
2 3 F 3
1 3
wb
F
*
L
1 2 3 1 3
1
F
W e =1 w b L
–
F
+
S2 b
EA = konst.
−
1 2
N
0
–
L
S1
0
1 2
+
c
F 2
+
a 60o
N
F 2
+
L
Virtuální stav
[
]
1 F 1 1 −F −1 FL 2 1 3 FL ⋅ ⋅ dx ∫ ⋅ ⋅ dx= = ⋅ EA 3 12 4 EA 0 EA 3 3 0 EA 2 3 2 3 3 FL * * W e = W i ⇒ w b= ⋅ 4 EA W *i =2 ∫
Stejný výsledek jako pro při použití Castiglianova teorému.
12
Příklad – posun styčníku příhradové konstrukce uc Skutečný stav
N
F 2 0
Virtuální stav F 2
–
F 2 3
+
F 3
uc
+
−
0
F
1
N +
1
0
1
F 3
wb
*
δ W e =1 u c L
1 −F −√ 3 FL ⋅ ⋅1 dx = ⋅ 6 EA 0 EA 2 √ 3 −√ 3 FL * * δ W e =δW i ⇒ u c = ⋅ 6 EA δ W i =∫ *
13
Rekapitulace princip virtuálních sil pro tah/tlak Těleso spojité před deformací zůstává spojité i po deformaci tehdy a jen tehdy, jestliže doplňková virtuální práce sil vnitřních se rovná doplňkové virtuální práci sil vnějších pro libovolný virtuální silový stav. W *i = W *e
Použití principu virtuálních sil: – Ověření spojitosti (kompatibility) tělesa – Výpočet neznámého posunu, natočení – Výpočet neznámého vzájemného posunu, natočení – Určení neznámé síly z přetvárné podmínky, tj. řešení staticky neurčitých konstrukcí 14
Otázky 1. Musí se energie vnějších sil vždy rovnat energii vnitřních sil? Co lze vyvodit z nerovnosti virtuální vnitřní a vnější doplňkové energie? 2. Napište vztahy pro doplňkovou energii vnitřních sil, hustotu doplňkové energie deformace a doplňkovou virtuální práci vnitřních sil pro jednoosý tah. 3. Ve kterých případech se prostá energie deformace rovná doplňkové energii deformace? 4. Co lze říci o spojitosti deformací na pružném tělese, pokud se vnitřní a vnější doplňkové virtuální práce rovnají? 5. Umíme pomocí principu virtuálních sil vypočítat posun na libovolném styčníku příhradové konstrukce? 6. Jaká bude skutečná energie vnitřních sil, pokud dojde k poklesu podpory na staticky určité konstrukci? 7. Jaká bude skutečná energie vnitřních sil, pokud dojde k rovnoměrnému oteplení několika prutů na staticky určité konstrukci?
Vytvořeno 02/2012 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer.
15
