Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva

Optimalizace portfolia a m´ıry rizika Pavel S˚ uva Z´ akladn´ı semin´ aˇr

6. ˇr´ıjna 2009

Pavel S˚ uva

Optimalizace portfolia a m´ıry rizika

Obsah

´ Uloha optimalizace portfolia Markowitz˚ uv model M´ıry rizika Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk Drawdown m´ıry rizika Minimalizaˇcn´ı formule Optimalizaˇcn´ı modely Empirická aplikace Tato prezentace je ke staˇzen´ı na webu http://artax.karlin.mff.cuni.cz/∼suvap6am/

Pavel S˚ uva


´ Uloha optimaliazce portfolia Chceme investovat do aktiv z nˇejaké pˇredem dané mnoˇziny. Nev´ıme, jaké výnosy jednotlivá aktiva v budoucnu pˇrinesou, pokládáme je za náhodné. C´ıl: Nalezen´ı investiˇcn´ı strategie, která bude maximalizovat výnos a minimalizovat riziko ztráty. Jak na to: Nˇejakým zp˚ usobem (historická data, generován´ı scénáˇr˚ u) odhadneme rozdˇelen´ı výnos˚ u, potom budeme maximalizovat oˇcekávaný výnos portfolia (tj. stˇredn´ı hodnotu výnos˚ u) a minimalizovat riziko ztráty. Probl´ emy: výnosy jsou náhodné u ´loha v´ıcekriteriáln´ı optimalizace jak mˇeˇrit riziko? Mˇ eˇren´ı rizika: Markowitz˚ uv model; modern´ı m´ıry rizika (VaR, CVaR); dynamické m´ıry rizika (drawdown)

Pavel S˚ uva


Markowitz˚ uv model m aktiv (akci´ı), do nichˇz m˚ uˇzeme investovat ri . . . náhodný výnos i-tého aktiva, i = 1, . . . , m r = (r1 , r2 , . . . , rm )T ˆr = (ˆr1 , ˆr2 , . . . , ˆrm )T = Er . . . vektor stˇredn´ıch hodnot náhodného vektoru r V = [cov(ri , rj ), i, j = 1, . . . , m] = var r . . . varianˇcn´ı matice náhodného vektoru r Pm xi . . . váhy urˇcuj´ıc´ı sloˇzen´ı portfolia, i = 1, . . . , m, i=1 xi = 1 x = (x1 , x2 , . . . , xm )T m X ˆr (p) (x) = xTˆr = ˆri xi . . . oˇcekávaný výnos portfolia i=1

σ 2 (x) = xT Vx =

m X

xi cov(ri , rj )xj . . . rozptyl výnosu portfolia, riziko

i,j=1

Pavel S˚ uva


Markowitz˚ uv model

Minimalizujeme riziko (rozptyl) za podm´ınky, ˇze oˇcekávaný výnos portfolia bude alespoˇ n roven dané hodnotˇe µ, tj. min

x∈X

xT Vx

s.t. xTˆr ≥ µ kde Pm X je konvexn´ı polyedrická mnoˇzina omezen´ı, definovaná poˇzadavkem r´ıpadnˇe dalˇs´ımi lineárn´ımi podm´ınkami. i=1 xi = 1, pˇ Protoˇze V je pozitivnˇe semidefinitn´ı matice, je u ´ˇcelová funkce konvexn´ı.

Pavel S˚ uva


Markowitz˚ uv model Varianty Markowitzova modelu: ekvivalentnˇe lze maximalizovat výnos za podm´ınky na riziko, nebo minimalizovat rozd´ıl výnosu a rizika moˇznost investice do bezrizikového aktiva podm´ınky nezápornosti a dalˇs´ı lineárn´ı omezen´ı Nev´ yhody Markowitzova modelu: nejedná se o u ´lohu lineárn´ıho programován´ı - u ´ˇcelová funkce je kvadratická rozptyl nen´ı nejvhodnˇejˇs´ım prostˇredkem k mˇeˇren´ı rizika (penalizuje odchylky od oˇcekávaného výnosu nahoru i dol˚ u a nav´ıc nen´ı subaditivn´ı) Vylepˇsen´ı: nahrazen´ı rozptylu tzv. semivarianc´ı, která se ale v praxi obt´ıˇznˇe poˇc´ıtá

Pavel S˚ uva


M´ıry rizika m aktiv, do nichˇz m˚ uˇzeme investovat u r = (r1 , r2 , . . . , rm )T . . . vektor náhodných výnos˚ x = (x1 , x2 , . . . , xm )T . . . vektor vah X . . . mnoˇzina moˇzných rozhodnut´ı jak a do kterých aktiv investovat Definice Ztr´ atovou funkc´ı rozum´ıme náhodnou veliˇcinu Z = g (x, r), která je funkc´ı vektoru x ∈ X ⊂ Rm a náhodného vektoru r se sloˇzkami definovanými na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P) a maj´ıc´ımi hodnoty v (E , B(E )), kde B(E ) je Borelovská σ-algebra generovaná metrickým prostorem E ⊂ R. Definice Necht’ Z je mnoˇzina ztrátových funkc´ı. Potom m´ırou rizika rozum´ıme funkcionál ρ : Z → R. Pavel S˚ uva


M´ıry rizika

Definice ˇ Necht’ ρ je m´ıra rizika a necht’ Z , Y ∈ Z. Rekneme, ˇze ρ je koherentn´ı, jestliˇze pro ni plat´ı: Ekvivariance v˚ uˇci posunut´ı: ρ(Z + c) = ρ(Z ) + c. Pozitivn´ı homogenita: ρ(λZ ) = λρ(Z ), ∀λ ≥ 0. Monotonie: Necht’ Y ≤ Z vˇsude na Ω, potom ρ(Y ) ≤ ρ(Z ). Subaditivita: Necht’ nav´ıc Y + Z ∈ Z, pak ρ(Y + Z ) ≤ ρ(Y ) + ρ(Z ). Tyto vlastnosti jsou hezké“ v tom smyslu, ˇze je intuitivnˇe oˇcekáváme od ” nástroje urˇceného k mˇeˇren´ı rizika.

Pavel S˚ uva


Value-at-Risk m aktiv, do nichˇz m˚ uˇzeme investovat, k nim nav´ıc bezrizikové aktivum r = (r0 , r1 , r2 , . . . , rm )T . . . vektor výnos˚ u, kde r0 je pevný výnos bezrizikového aktiva a r1 , . . . , rm jsou náhodné výnosy (za nˇejakou danou ˇcasovou jednotku) x = (x0 , x1 , x2 , . . . , xm )T ∈ X . . . vektor vah X .P . . konvexn´ı polyedrická mnoˇzina omezen´ı, definovaná poˇzadavkem m r´ıpadnˇe dalˇs´ımi lineárn´ımi podm´ınkami i=0 xi = 1, pˇ m X r (p) (x) = rT x = ri xi . . . výnos portfolia i=0

g (x, r) = −r

(p)

(x) . . . ztráta portfolia

g (x, r) je náhodná veliˇcina s distribuˇcn´ı funkc´ı ψ(x, ξ) = P[g (x, r) ≤ ξ].

Pavel S˚ uva


Value-at-Risk Value-at-Risk (VaR) na hladinˇe α definujeme jako hodnotu ztráty portfolia, která bude pˇrekroˇcena s (malou) pravdˇepodobnost´ı nejvýˇse 1 − α, tzn. ztráta bude s (velkou) pravdˇepodobnost´ı menˇs´ı, neˇz VaR. Definice Necht’ α ∈ (0, 1) a g (x, r) je ztrátová funkce. Value-at-Risk VaR α (x) definujeme pˇredpisem VaR α (x) = min{ξ | ψ(x, ξ) ≥ α}. Dále definujeme horn´ı VaR jako VaR + α (x) = inf{ξ | ψ(x, ξ) > α}. VaR α (x) je tedy α-kvantil ztráty portfolia.

Pavel S˚ uva


pravděpodobnost

Value-at-Risk

největší ztráta

VaRα pravděpodobnost 1–α

ztráta

Pavel S˚ uva


Value-at-Risk

Value-at-Risk je v souˇcasnosti nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı m´ıra rizika, je doporuˇcen Basilejskou komis´ı. Nev´ yhody Value-at-Risk: nen´ı subaditivn´ı a tedy ani koherentn´ı m´ırou rizika neobsahuje informaci o závaˇznosti ztráty, ke které m˚ uˇze doj´ıt ve zbývaj´ıc´ıch (1 − α) · 100% pˇr´ıpad˚ u Vylepˇsen´ı: tyto problémy odstraˇ nuje Conditional (podm´ınˇený) Value-at-Risk.

Pavel S˚ uva


Conditional Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk (CVaR, také známý jako expected shortfall“ a ” expected tail loss“) na hladinˇe α definujeme jako stˇredn´ı hodnotu ” (1 − α) · 100% nejvˇetˇs´ıch ztrát, tj. lze si jej pˇredstavit jako stˇredn´ı hodnotu ztrát, které pˇrekroˇc´ı VaR (to ale nemus´ı pˇresnˇe platit vˇzdy). Definice Necht’ g (x, r) je ztrátová funkce. Definujeme α-chvost jako náhodnou veliˇcinu Tα s distribuˇcn´ı funkc´ı  0, ξ < VaR α (x), ψα (ξ) = ψ(x, ξ) − α  , ξ ≥ VaR α (x). 1−α Potom definujeme Conditional Value-at-Risk jako CVaR α (x) = ETα .

Pavel S˚ uva


Conditional Value-at-Risk Tvrzen´ı (CVaR jako váˇzený pr˚ umˇer) Necht’ λα (x) = ψα (VaR α (x)), tedy λα (x) =

ψ(x, VaR α (x)) − α . 1−α

Pro CVaR α (x) plat´ı rovnost CVaR α (x) = λα (x)VaR α (x) + (1 − λα (x))E[g (x, r) | g (x, r) > VaR α (x)]. Tvrzen´ı (Vztah VaR a CVaR) Pro kaˇzdé α ∈ (0, 1) a váhy x plat´ı VaR α (x) ≤ CVaR α (x). Rovnost nastane pouze tehdy, kdyˇz pravdˇepodobnost ztráty vˇetˇs´ı neˇz VaR α (x) je nulová. Nav´ıc: CVaR je konvexn´ı a koherentn´ı m´ıra rizika.

Pavel S˚ uva


pravděpodobnost

Conditional Value-at-Risk

největší ztráta

VaRα pravděpodobnost 1–α

CVaRα ztráta

Pavel S˚ uva


Conditional Value-at-Risk

Pokud náhodné výnosy budou m´ıt absolutnˇe spojité rozdˇelen´ı s hustotou p(r), potom bude platit: Z ψ(x, ξ) = p(r)dr, g (x,r)≤ξ

P[g (x, r) ≥ VaR α (x)] = 1 − α, Z 1 CVaR α (x) = g (x, r)p(r)dr. 1−α g (x,r)≥VaR α (x)

Nás vˇsak kv˚ uli praktickému vyuˇzit´ı (scénáˇre) v´ıc zaj´ımá pˇr´ıpad, kdy rozdˇelen´ı diskrétn´ı.

Pavel S˚ uva


Conditional Value-at-Risk Tvrzen´ı (CVaR pro diskrétn´ı rozdˇelen´ı) Necht’ náhodný vektor výnos˚ u r má diskrétn´ı rozdˇelen´ı soustˇredˇené v koneˇcnˇe mnoha bodech. Potom ztráta portfolia g (x, r) bude m´ıt pro pevné x rovnˇeˇz diskrétn´ı rozdˇelen´ı soustˇredˇené v koneˇcnˇe mnoha bodech v1 < v2 < . . . < vS , pro nˇeˇz bude platit P[g (x, r) = vs ] = ps , PS avˇe jeden index sα takový, ˇze s=1 ps = 1. Pro α ∈ (0, 1) najdeme pr´ sX α −1

ps < α ≤

s=1

sα X

ps .

s=1

Pak plat´ı VaR α (x) = vsα a 1 CVaR α (x) = 1−α

"

sα X s=1

Pavel S˚ uva

! ps − α vsα +

S X s=sα +1


# ps vs .

Drawdown m´ıry rizika 0, T . . . ˇcasový interval rozdˇelený na koneˇcný poˇcet podinterval˚ u [tk−1 , tk ], k = 1, . . . , N, t0 = 0, tN = T m aktiv, do nichˇz m˚ uˇzeme investovat, k nim nav´ıc bezrizikové aktivum r(tk ) = (r0 (tk ), r1 (tk ), r2 (tk ), . . . , rm (tk ))T . . . vektor výnos˚ u v ˇcase tk (tj. za obdob´ı [tk−1 , tk ]), kde r0 (tk ) je pevný výnos bezrizikového aktiva a r1 (tk ), . . . , rm (tk ) jsou náhodné. x(tk ) = (x0 (tk ), x1 (tk ), x2 (tk ), . . . , xm (tk ))T . . . vektor vah v ˇcase tk X . . . konvexn´ı polyedrick´ a mnoˇzina omezen´ı pro váhy, definovaná Pm poˇzadavkem i=0 xi (tk ) = 1, k = 1, . . . , N, pˇr´ıpadnˇe dalˇs´ımi lineárn´ımi podm´ınkami Pm (p) rk (tk ) = r(tk )T x(tk ) = i=0 ri (tk )xi (tk ) . . . výnos portfolia v ˇcase tk Pk (p) wk = j=1 rj (x(tj )) . . . ˇcásteˇcný souˇcet výnos˚ u portfolia do ˇcasu tk (uncompounded cumulative portfolio rate of return) w = (w1 , w2 , . . . , wN )T

Pavel S˚ uva


Drawdown m´ıry rizika Definice Drawdown portfolia definujeme jako vektor AD(w) = AD = (AD1 , . . . , ADN )T ,

ADk = max wj − wk . 0≤j≤k

Drawdown portfolia v ˇcase tk , tj. ADk , nám ˇr´ıká, jaký nejvˇetˇs´ı nezáporný rozd´ıl byl mezi nˇekterým z pˇredeˇslých ˇcásteˇcných souˇct˚ u výnos˚ u (tj. tˇech v ˇcasech t0 , . . . , tk ) a ˇcásteˇcným souˇctem výnos˚ u v ˇcase tk , tedy o kolik ” nejv´ıc jsme na tom v minulosti byli lépe neˇz ted’“.

wt ADt t Pavel S˚ uva


Drawdown m´ıry rizika Definice Necht’ [0, T ] je ˇcasový interval, který je rozdˇelen na koneˇcný poˇcet podinterval˚ u [tk−1 , tk ], k = 1, . . . , N, t0 = 0, tN = T . Maxim´ aln´ı drawdown na tomto intervalu je definován jako MaxDD(AD(w)) = max ADk . 1≤k≤N

a pr˚ umˇ ern´ y drawdown na tomto intervalu jako AvDD(AD(w)) =

N 1 X ADk . N k=1

Analogicky k CVaR chceme zavést takovou drawdown m´ıru, která nám bude pro zvolené α ∈ (0, 1) udávat stˇredn´ı hodnotu (1 − α) · 100% nejvˇetˇs´ıch (nejhorˇs´ıch) drawdown˚ u.

Pavel S˚ uva


Drawdown m´ıry rizika Definujeme pomocnou funkci πAD (z) =

1 N

N X

I{ADk ≤z} , kde I je

k=1

indikátorová funkce. 1

z 

7/8

ADt

3/4 5/8

z

1/2 3/8 1/4 1/8

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

Pavel S˚ uva

0

z

AD2 AD7 AD8 AD6 AD1 AD4 AD3


AD5

Drawdown m´ıry rizika −1 πAD (α)

( inf {z | πAD (z) ≥ α}, = 0,

α ∈ (0, 1] α = 0.

−1 Byla-li by πAD prostá, pak by πAD byla funkc´ı k n´ı inverzn´ı.

1

z 

−1 

7/8

AD5

3/4

AD1 AD6

5/8 1/2

AD8 AD3 AD7 AD4 AD2

3/8 1/4 1/8 0

z

AD2 AD7 AD8 AD6 AD1 AD4 AD3

AD5

Pavel S˚ uva



0

1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1


Drawdown m´ıry rizika −1

 

AD5 AD1 AD6

Dále definujeme pomocnou mnoˇzinu

AD8 AD3 AD7 AD4 AD2

−1 Ξα = {ADk | ADk > πAD (α), k = 1, . . . , N} 

0

1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1

Definice Necht’ α ∈ [0, 1). Podm´ınˇ en´ y drawdown (Conditional Drawdown at Risk) na hladinˇe α definujeme jako CDaR α (AD(w)) =

−1 πAD (πAD (α)) − α 1−α

Pavel S˚ uva

−1 πAD (α)+

1 (1 − α) · N


X ADk ∈Ξα

ADk .

Drawdown m´ıry rizika

Vlastnosti CDaR: maximáln´ı a pr˚ umˇerný drawdown jsou limitn´ı pˇr´ıpady podm´ınˇeného drawdownu (pro α → 1− , resp. α → 0+ ) dynamická (multi-period) m´ıra rizika (tzn. bere v u ´vahu velikost moˇzných ztrát pˇres delˇs´ı ˇcasový horizont, zat´ımco CVaR uvaˇzuje pouze jednorázové ztráty) konvexn´ı a koherentn´ı m´ıra rizika (stejnˇe jako CVaR)

Pavel S˚ uva


Minimalizaˇcn´ı formule Definujeme funkci Fα (x, y ) = y +

1 1−α E

h

+

[g (x, r) − y ]

i .

Lze ukázat, ˇze tato funkce je konvexn´ı v y a nav´ıc plat´ı CVaR α (x) = min Fα (x, y ). y ∈R

Pˇritom mnoˇzina arg miny Fα (x, y ) je neprázdný, uzavˇrený, omezený interval, jehoˇz levým krajn´ım bodem je VaR α (x) a tedy plat´ı Fα (x, VaR α (x)) = CVaR α (x). V pˇr´ıpadˇe, ˇze náhodný vektor r bude m´ıt diskrétn´ı rozdˇelen´ı soustˇredˇené v koneˇcnˇe mnoha bodech rs , s = 1, . . . , S s pravdˇepodobnostmi ps , s = 1, . . . , S, bude m´ıt funkce Fα (x, y ) tvar Fα (x, y ) = y +

1 1−α

Pavel S˚ uva

S P

h i+ (p) ps −rs − y .

s=1


Minimalizaˇcn´ı formule

Tvrzen´ı (Minimalizaˇcn´ı formule pro CVaR) Necht’ g (x, r) je ztráta portfolia a α ∈ (0, 1). CVaR α (x) lze vypoˇc´ıtat vyˇreˇsen´ım u ´lohy h i + 1 E [g (x, r) − y ] CVaR α (x) = min y + 1−α y

vedouc´ı k jediné optimáln´ı hodnotˇe y ∗ = VaR α (x) nebo k uzavˇrenému intervalu optimáln´ıch hodnot y ∗ ∈ [VaR α (x), VaR + α (x)].

Pavel S˚ uva


Minimalizaˇcn´ı formule Tvrzen´ı (Minimalizaˇcn´ı formule pro CVaR - diskrétn´ı pˇr´ıpad) Necht’ náhodný vektor výnos˚ u r má diskrétn´ı rozdˇelen´ı soustˇredˇené v koneˇcnˇe mnoha bodech rs , s = 1, . . . , S, s pravdˇepodobnostmi ps , (p) s = 1, . . . , S. Necht’ rs = rsT x. Pak lze lze CVaR α (x) vypoˇc´ıtat vyˇreˇsen´ım u ´lohy CVaR α (x) =

min y

y+

1 1−α

S P

h i+ (p) ps −rs − y .

s=1

Tuto formuli lze ekvivalentnˇe zapsat jako CVaR α (x) =

min y + y ,z

s.t. zs ≥

1 (1−α)

S P

ps zs s=1 −rs(p) − y , zs

Pavel S˚ uva

≥ 0, s = 1, . . . , S.


Minimalizaˇcn´ı formule Analogicky postupujeme pro CDaR: Tvrzen´ı (Minimalizaˇcn´ı formule pro CDaR) Necht’ AD(w) = (AD1 , . . . , ADN )T je drawdown funkce a α ∈ (0, 1). Výpoˇcet hodnoty CDaR α (AD(w)) lze redukovat na u ´lohu lineárn´ıho programován´ı CDaR α (AD(w)) =

min y + y ,z

s.t.

1 (1−α)N

N P

zk

k=1

zk ≥ ADk − y , zk ≥ 0, k = 1, . . . , N,

−1 vedouc´ı k jediné optimáln´ı hodnotˇe y ∗ = πAD (α) nebo k uzavˇrenému −1 −1 ∗ intervalu optimáln´ıch hodnot y ∈ [πAD (α), πAD (α+ )] (kde α+ znaˇc´ı limitu zprava).

Pavel S˚ uva


Optimalizaˇcn´ı modely Chceme modely optimalizace portfolia pomoc´ı CVaR a CDaR tak, abychom oba mohli aplikovat stejným zp˚ usobem na stejná data. Pˇredpokládejme, ˇze dostaneme historická data o výnosech, obsahuj´ıc´ı pozorován´ı v N stejnˇe dlouhých obdob´ıch (napˇr. kaˇzdodenn´ı uzav´ırac´ı kurzy akci´ı na burze). Potom tato data budeme povaˇzovat za N stejnˇe pravdˇepodobných scénáˇr˚ u (indexovaných k = 1, . . . , N nam´ısto s = 1, . . . , S a maj´ıc´ıch pravdˇepodobnost N1 ) jednorázových ztrát pro CVaR, ale zároveˇ n za jeden scénáˇr s N obdob´ımi pro CDaR jakoˇzto dynamickou m´ıru rizika. Zároveˇ n budeme pˇredpokládat, ˇze sloˇzen´ı portfolia bude po celou dobu stejné (tj. váhy portfolia konstantn´ı). Výnos portfolia urˇceného vahami x odpov´ıdaj´ıc´ı k-tému obdob´ı naˇseho (p) scénáˇre oznaˇc´ıme ˆrk (x).

Pavel S˚ uva


Optimalizaˇcn´ı modely Budeme hledat takové váhy x ∈ X , abychom minimalizali CVaR (resp. CDaR) za podm´ınky, ˇze oˇcekávaný výnos portfolia bude alespoˇ n roven dané hodnotˇe µ, tj. p˚ ujde o u ´lohu min

CVaR α (x)

s.t.

1 N

x∈X

N P k=1

nebo CDaR α (x)

(p)

rk (x) ≥ µ,

Lze ukázat, ˇze minimalizace CVaR α (x) pˇres vˇsechna x ∈ X je ekvivalentn´ı minimalizaci funkce Fα (x, y ) pˇres vˇsechna x ∈ X a vˇsechna y ∈ R, tj. min CVaR α (x) = min Fα (x, y ). x∈X

x∈X ,y

Ke konstrukci modelu optimalizace portfolia pomoc´ı CVaR lze proto vyuˇz´ıt minimalizaˇcn´ı formule. Analogie plat´ı i pro CDaR.

Pavel S˚ uva


Optimalizaˇcn´ı modely Optimalizace portfolia pomoc´ı CVaR – u ´loha LP: min

x∈X ,y ,z

s.t.

y+ 1 N

1 (1−α)N

N P

N P

zk

k=1

(p)

k=1

ˆrk (x) ≥ µ, (p)

zk ≥ −ˆrk

− y , zk ≥ 0, k = 1, . . . , N

Optimalizace portfolia pomoc´ı CDaR – u ´loha LP: min

x∈X ,u,y ,z

s.t.

y+ 1 N

1 (1−α)N

N P k=1

N P

zk

k=1

(p)

ˆrk (x) ≥ µ,

zk ≥ uk − y , zk ≥ 0, (p)

uk ≥ uk−1 − ˆrk (x), u0 = 0, uk ≥ 0, k = 1, . . . , N Pavel S˚ uva


Empirická aplikace

´ Ukol: S pomoc´ı CVaR a CDaR hledáme optimáln´ı portfolio akci´ı obchodovaných na Burze cenných pap´ır˚ u Praha, z nichˇz se ke dni 28.2.2007 skládalo portfolio praˇzské burzy – index PX, tj. tituly: ˇ ˇ Erste Bank, Komerˇcn´ı banka, Orco, Phillip Morris CR, CETV, CEZ, Telef´ onica O2 C.R., Unipetrol, Zentiva. Data: Týdenn´ı výnosy tˇechto titul˚ u za obdob´ı 1.9.2005 aˇz 28.2.2007. Riziko mˇeˇr´ıme na hladinˇe α = 0, 95. Vol´ıme poˇzadované oˇcekávané týdenn´ı výnosy µ = 0, 08% aˇz 1, 18%. Zjist´ıme, co se zmˇen´ı, nepovol´ıme-li nákup bezrizikového aktiva (bezriziková u ´roková m´ıra je 4% p.a.). Krátké prodeje nejsou povoleny (tj. pro váhy plat´ı xi ≥ 0

Pavel S˚ uva


∀i).

Empirická aplikace V´ ysledky s bezrizikov´ ym aktivem

CVaR i CDaR dávaj´ı velmi podobná portfolia, která obsahuj´ı jen bezrizikové aktivum a dva nejvýnosnˇejˇs´ı tituly. Pavel S˚ uva


Empirická aplikace Eficientní hranice CVaR 1,4%

1,2%

1,2%

1,0%

1,0%

0,8%

0,8%

pož. výnos

pož. výnos

Eficientní hranice CDaR 1,4%

0,6%

0,6%

0,4%

0,4%

0,2%

0,2%

0,0%

0,0% 0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00

0,01

0,02

0,03

CDaR

Srovnání efic. hranic vzhledem k CDaR

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

Srovnání efic. hranic vzhledem k CVaR

1,4%

1,4%

1,2%

1,2%

1,0%

1,0%

0,8%

0,8%

pož. výnos

pož. výnos

0,04

CVaR

0,6% 0,4% 0,2%

0,6% 0,4% 0,2%

0,0%

0,0% 0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00

CDaR CDaR-eficientní

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

CVaR

CVaR-eficientní

CDaR-eficientní

Pavel S˚ uva

CVaR-eficientní


Empirická aplikace V´ ysledky bez bezrizikov´ eho aktiva

rozmanitˇejˇs´ı portfolia; CVaR-eficientn´ı portfolia jsou v´ıce diverzifikovaná, neˇz CDaR-eficientn´ı; sloˇzen´ı CVaR-eficientn´ı a CDaR-eficientn´ı pro niˇzˇs´ı hodnoty µ jsou velmi odliˇsná

Pavel S˚ uva



Srovnání část. součtů výnosů efic. portfolií a indexu PX 70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

0%

CDaR-eficientní, PX

CVaR-eficientní, PX

CDaR-eficientní, 0,75%

CVaR-eficientní, 0,75%

Index PX

ˇ asteˇcné souˇcty výnos˚ C´ u pro eficientn´ı portfolia s oˇcek. výnosem 0, 53% (=výnos indexu PX) a 0, 75% a pro portfolio indexu PX.

Pavel S˚ uva


Empirická aplikace Eficientní hranice CVaR 1,4%

1,2%

1,2%

1,0%

1,0%

0,8%

0,8%

pož. výnos

pož. výnos

Eficientní hranice CDaR 1,4%

0,6%

0,6%

0,4%

0,4%

0,2%

0,2%

0,0%

0,0% 0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,22

0,24

0,26

0,045

0,050

0,055

0,060

0,065

0,070

0,075

0,080

0,085

CVaR

Srovnání efic. hranic vzhledem k CDaR

Srovnání efic. hranic vzhledem k CVaR

1,4%

1,4%

1,2%

1,2%

1,0%

1,0%

0,8%

0,8%

pož. výnos

pož. výnos

CDaR

0,6% 0,4% 0,2%

0,6% 0,4% 0,2%

0,0%

0,0% 0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,22

0,24

0,26

0,045

CDaR CDaR-eficientní

0,050

0,055

0,060

0,065

0,070

0,075

0,080

0,085

CVaR

CVaR-eficientní

CDaR-eficientní

Pavel S˚ uva

CVaR-eficientní



Vidˇeli jsme: na niˇzˇs´ıch hladinách oˇcekávaných výnos˚ u (µ < 0, 8%) jsou CVaR-eficientn´ı portfolia velmi riziková vzhledem k CDaR a naopak, CDaR-eficientn´ı portfolia velmi riziková vzhledem k CVaR Tituly, které do portfoli´ı zaˇradil pouze CVaR, mohly m´ıt malé mezitýdenn´ı poklesy, ale zato dlouhodobˇejˇs´ı klesaj´ıc´ı tendence. Tituly, které do portfoli´ı zaˇradil pouze CDaR, mohly m´ıt neklesaj´ıc´ı dlouhodobý trend, ale obˇcasné vˇetˇs´ı jednorázové odchylky. D˚ uvod: Rozd´ılný zp˚ usob mˇeˇren´ı rizika – CVaR je citilivˇejˇs´ı na jednorázové propady zat´ımco CDaR je citlivý na dlouhodobˇejˇs´ı klesaj´ıc´ı trendy

Pavel S˚ uva


Literatura

Branda M. (2006) M´ıry rizika - dynamika, citlivost. (diplomová práce) Chekhlov A., Uryasev S., Zabarankin M. (2004) Drawdown Measure in Portfolio Optimization. Krokhmal P., Uryasev S., Zrazhevsky G. (2003) Numerical Comparison of CVaR and CDaR Approaches: Application to Hedge Funds. Rockafellar R. T., Uryasev S. (2002) Conditional Value-At-Risk for General Loss Distributions. S˚ uva P. (2009) Drawdown v u ´lohách optimalizace portfolia. (bakaláˇrská práce)

Pavel S˚ uva


Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva

Recommend Documents