OPTIMALISASI EKSEKUSI SAHAM DENGAN PENINGKATAN RISIKO PERDAGANGAN

1

OPTIMALISASI EKSEKUSI SAHAM DENGAN PENINGKATAN RISIKO PERDAGANGAN

SITI MARIAM

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2

ABSTRACT SITI MARIAM. Optimal Share Execution with Enhanced Trading Risk. Supervised by RETNO BUDIARTI and DONNY CITRA LESMANA. Generally, share transaction in capital market considers two things, i.e. transaction cost and transaction risk. The cost of share transaction consists of temporary (liquidity premium) and permanent market impact (cost information). On the other hand, the transaction risk consists of the volatility risk related to the randomization of share price and the risk of the uncertain liquidity premium. This paper discusses the trade strategies, which are able to minimize the transaction cost subject to the uncertainty risk. In order to minimize the cost of transaction, it is necessary to decide the optimal execution time, the quantity of share be sold in a certain time interval, as well as the amount of the initial traded shares. To find the optimal solutions, calculus variation is used. If the uncertainty of liquidity premium in a trade does not depend on the trading rate, so a risk averse trader accelerate his trade programs to reduce the risk. On the other hand, a risk lover trader will defer his trade in order to minimize the cost of transaction. On the contrary, if the uncertainty of liquidity premium in a trade depends on the trading rate, so the amount initial traded shares depends on the risk aversion of a trader, i.e. the risk averse investors will decrease the amount of the initial traded shares, while the risk lover investor will increase them. Keywords: market impact, transaction cost, transaction risk.

3

ABSTRAK SITI MARIAM. Optimalisasi Eksekusi Saham dengan Peningkatan Risiko Perdagangan. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan DONNY CITRA LESMANA . Pada umumnya transaksi saham di pasar modal mempertimbangkan dua hal, yaitu biaya transaksi dan risiko transaksi. Adapun biaya transaksi saham dipengaruhi oleh dampak temporer (biaya likuiditas) dan dampak permanen (biaya informasi). Sedangkan risiko dari transaksi saham terdiri atas risiko volatilitas yaitu risiko yang berhubungan dengan keacakan harga saham, dan risiko ketidakpastian biaya likuiditas. Dalam karya ilmiah ini dibahas tentang strategi perdagangan yang dapat meminimumkan biaya transaksi dengan kendala adanya risiko ketidakpastian. Untuk meminimumkan biaya transaksi maka perlu dicari waktu eksekusi optimal, banyaknya saham yang akan dijual pada suatu waktu atau banyaknya saham awal yang diperdagangkan, yaitu dengan menggunakan metode kalkulus variasi. Jika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan tidak bergantung pada rata-rata perdagangan maka seorang penjual yang menghindari risiko akan mempercepat program penjualannya dengan tujuan untuk mengurangi risiko, sedangkan penjual yang lebih berani mengambil risiko akan memperlambat perdagangannya dengan tujuan meminimumkan biaya transaksi. Jika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan maka banyaknya saham awal optimal yang diperdagangkan bergantung pada tingkat penghindaran risiko seorang penjual, yaitu ketika seorang penjual semakin menghindari risiko maka banyaknya saham awal optimal yang diperdagangkan akan semakin sedikit, dan sebaliknya jika penjual semakin berani mengambil risiko maka banyaknya saham optimal yang diperdagangkan akan semakin banyak. Kata kunci : dampak pasar, biaya perdagangan, risiko perdagangan.

4

OPTIMALISASI EKSEKUSI SAHAM DENGAN PENINGKATAN RISIKO PERDAGANGAN

Oleh : SITI MARIAM

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMETIKA DAN ILMU PENEGATHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

5

Judul Skripsi : Optimalisasi Eksekusi Saham dengan Peningkatan Risiko Perdagangan Nama : Ritawati NIM : G54051614

Disetujui

Donny Citra Lesmana S.Si, M.Fin.Math. Pembimbing II ,

Ir. Retno Budiarti MS. Pembimbing I

Diketahui

Dr. drh. Hasim, DEA. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Tanggal Lulus : ………………………

6

PRAKATA ALHAMDULILLAH, segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat illahi rabbi, yang telah memberikan kekuatan kepada penulis untuk dapat menyelesaikan halaman demi halaman sehingga menjadi skripsi ini. Selawat terbingkai salam semoga tercurah kepada junjungan alam, qudwatuna Muhammad saw, motivator dan inspirator terhebat sepanjang zaman. Sementara penulis menulis kalimat demi kalimat di dalam skripsi ini, memikirkan dan berharap betapa besarnya impact yang ingin penulis capai sehingga ia berguna bagi banyak orang, terbayang selalu oleh penulis wajah-wajah mereka yang terus mendukung, menyokong, memberikan inspirasi dan memotivasi kepada penulis untuk terus maju melanjutkan perjalanan panjang membangun peradaban baru nan cemerlang. Penulis sadar bahwa setiap pencapaian adalah buah dari kerja dan sokongan banyak pihak yang begitu luar biasa, oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan setinggi-tingginya kepada: 1. Ibu Retno Budiarti dan Bapak Donny Citra Lesmana selaku pembimbingI dan pembimbing II, begitu banyak ilmu, inspirasi dan motivasi yang penulis peroleh dengan penuh kesabaran membimbing penulis, serta Ibu Endar Hasafah Nugrahani selaku penguji terima kasih atas saran dan masukannya. 2. Ummi tercinta terima kasih atas semua dukungan baik moral maupun materil, doa, semangat dan kasih sayang yang tiada henti . Terima kasih juga kepada bapak tercinta yang tidak pernah lelah dan berhenti membanting tulang untuk membiayai semua anakmu, semangatmu adalah motivasi bagi ananda. 3. Saudara-saudaraku tercinta : Teh Menk, A’ade, Teh Nyai, Boyenk, Boe, Boni,Tuti dan Cumi serta sahabat kecilku Bogis, terima kasih untuk masa kecil yang luar biasa indah yang telah kita lewati dalam kebersahajaan. 4. Bu Susi, Pak Yono, dan Bu Ade, atas saran-saran dan informasi yang telah diberikan. 5. Oby, Titi dan Lela atas kesediaannya menjadi pembahas pada saat seminar. 6. Rima dan lisda serta mamah Lisda yang selalu menemani suka dan duka dalam penyusunan skripsi, ramadhan kali ini sangat berkesan. 7. Teman-teman mathe42 : Tia, Lela, Pipit, Lina, Titi, Rima, Mira, Oby, Dewi, Zil, Wiwi, Hapsari, Vino, Dian, Okta, Hikmah, Warno, Eko, Awi, Ridwan, Danu,dan semuanya yang tidak bisa disebutkan satu persatu, empat tahun begitu singkat mengukir kenangan indah ini. Begitu juga kepada kakak kelas dan adik kelas mate41 dan mate43 serta mate 44 yang telah memotivasi. 8. Imeh dan temen-temen MIPA 42 tercinta: Ulfa, Fefin, Dinar, Sari, Nisa, Dude, Lili, Fuji, Kartika, Eka, Lisma, Ami,Ncun, Puscan, Ratna, Mita, Astri, Oby, Ciciw, Gia, Darti, Amel, Aria, Listi. 9. Teman-teman “Alfarabi” yang telah memberikan bantuan, saran, semangat dan doa. 10. Seluruh mahasiswa FMIPA, kakak kelas dan adik kelas yang telah membantu dan memberikan semangatnya. Tentunya begitu banyak nama yang terus menerus memberikan dukungan, pengaruh dan pelajaran yang amat berharga. Namun, tentunya tidak dapat penulis sebutkan pada kesempatan kali ini tanpa mengurangi hormat dan takzim penulis kepada mereka. Semoga skripsi ini dapat menjadi suatu kontribusi positif dan konstruktif bagi para pembaca, dan tentunya dapat menjadi ilmu yang bermanfaat bagi semuanya.

Bogor, September 2009

Siti Mariam

7

RIWAYAT HIDUP SITI MARIAM, lahir di Bogor 24 Juni 1987 anak keempat dari tujuh bersaudara dari pasangan Tamri dan Sukarsih. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar pada tahun 1999 di SD Negeri 2 Jasinga Kab. Bogor, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri I Jasinga Kab. Bogor tahun 2002, Sekolah Menengah Atas Negeri I Jasinga Kab. Bogor tahun 2005 dan diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI pada tahun yang sama. Masuk Departemen Matematika Fakultas Matematika dan IPA Institut Pertanian Bogor tahun 2006. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar privat mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama dan menjadi pengajar SMP dan SMA di Pandu Madania. Selain belajar diperkuliahan banyak juga pelajaran yang didapat dari organisasi yang telah diikuti yaitu : BEM FMIPA sebagai bendahara umum, Serambi Ruhiyah Mahasiswa FMIPA (SERUM-G) sebagai sekretaris divisi relasi, Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staff divisi PSDM, kesatuan Aksi Mahasiswa Muslim Indonesia (KAMMI) sebagai staff divisi Pemberdayaan Masyarakat, Forum Ukhuwah Pelajar dan Remaja Jasinga (FUPRJ) sebagai staff divisi PSDM. Selain itu aktif dalam berbagai kepanitiaan yaitu: panitia seminar pekan kreativitas mahasiswa ilmiah (PKMI), panitia seminar nasional kajian ilmu pengetahuan, panitia try out SPMB, panitia G_Force 43 dan 44, panitia Welcome Ceremoni Matematika (WCM) 43 dan 44, panitia bakti sosial Serum-G FMIPA, panitia open house angkatan 43 IPB, panitia Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB).

8

DAFTAR ISI Halaman Daftar Gambar ................................................................................................................... Daftar Lampiran ................................................................................................................

ix ix

I

PENDAHULUAN .................................................................................................. 1.1. Latar Belakang ............................................................................................... 1.2. Tujuan ............................................................................................................ 1.3. Sistematika Penulisan .......................................................................................

1 1 1 1

II

LANDASAN TEORI .............................................................................................. 2.1 Istilah-istilah Keuangan .................................................................................. 2.2 Percobaan Acak, Ruang Contoh, Medan-σ, Ukuran Peluang, Peubah Acak, Peubah Acak Diskret dan Peubah Acak Kuntinu .............................................. 2.3 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret, Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu, Ragam dan Simpangan Baku............................................................................ 2.4 Proses Stokastik, Random Walk, ....................................................................... 2.5 Kalkulus Variasi, Syarat Perlu Untuk Optimum, Deret Taylor .........................

2 2

3 3 4

III PEMODELAN .......................................................................................................... 3.1 Waktu Perdagangan .......................................................................................... Model Waktu Diskret ......................................................................................... Model Waktu Kontinu........................................................................................ 3.2 Formulasi Lagrange ............................................................................................

6 6 6 7 7

2

IV PEMBAHASAN ...................................................................................................... 9 4.1 Peningkatan Risiko Perdagangan Konstan .......................................................... 10 4.2 Peningkatan Risiko Perdagangan Linear ............................................................. 10 V

ILUSTRASI ............................................................................................................... 5.1 Ilustrasi Solusi Peningkatan Risiko Perdagangan Konstan ................................. 5.2 Ilustrasi Solusi Peningkatan Risiko Perdagangan Linear .................................... 5.3 Contoh Penerapan Peningkatan Risiko Konstan ................................................. 5.4 Contoh Penerapan Peningkatan Risiko Linear ....................................................

11 11 14 15 17

VI SIMPULAN ............................................................................................................... 18 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 19 LAMPIRAN ..................................................................................................................... 20

9

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 Grafik Hubungan Peningkatan Biaya Likuiditas dengan Waktu Eksekusi Optimal untuk Peningkatan Risiko Perdagangan Konstan ............................ 12 Gambar 2 Grafik Hubungan Risiko Volatilitas dengan Waktu Eksekusi Optimal untuk Peningkatan Risiko Perdagangan Konstan .......................................... 12 Gambar 3 Grafik Hubungan Risk Aversion dengan Waktu Eksekusi Optimal untuk Peningkatan Risiko Perdagangan Konstan .................................................... 13 Gambar 4 Grafik Hubungan Waktu Eksekusi dengan Expected Cost yang dipengaruhi oleh Risk Aversion pada Peningkatan Risiko Konstan .................................. 13 Gambar 5 Grafik Hubungan Waktu Eksekusi dengan Standar Deviasi yang dipengaruhi oleh Risk Aversion pada Peningkatan Risiko Konstan .................................. 13 Gambar 6 Grafik Hubungan Peningkatan Biaya Likuiditas dengan Waktu Eksekusi yang Optimal untuk Peningkatan Risiko Perdagangan Linear ....... 14 Gambar 7 Grafik Hubungan antara Risk Aversion dengan Waktu Eksekusi untuk Peningkatan Risiko Perdagangan Linear ...................................................... 14 Gambar 8 Grafik Hubungan antara Risiko Volatilitas dengan Waktu Eksekusi yang Optimal untuk Peningkatan Risiko Perdagangan Linear .................... 15 Gambar 9 Grafik Hubungan antara Risk Aversion dengan Banyaknya Saham Optimal untuk Peningkatan Risiko Perdagangan Linear ............................... 15 Gambar 10 Grafik Hubungan antara Risk Aversion dengan Waktu Eksekusi pada Contoh Penerapan ......................................................................................... 16 Gambar 11 Grafik Hubungan Waktu Eksekusi dengan Expected Cost pada Contoh Penerapan ..................................................................................................... 16 Gambar 12 Grafik Hubungan Waktu Eksekusi dengan Standar Deviasi pada Contoh Penerapan ........................................................................................ 17

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Pembuktian Harga Saham Permanen ........................................................... 20 Pembuktian Nilai Harapan dan Ragam ........................................................ 21 Pembuktian Persamaan (16) ........................................................................ 22 Pembuktian Persamaan (17) ........................................................................ 22 Pembuktian Persamaan (18) ........................................................................ 23 Pembuktian Solusi Kuadratur ...................................................................... 24 Pembuktian Persamaan (20) ........................................................................ 24 Pembuktian Expected Cost dan Ragam untuk Peningkatan Risiko Perdagangan Konstan .................................................................................. 25 Lampiran 9 Pembuktian Persamaan (25) ........................................................................ 28 Lampiran 10 Pembuktian Persamaan (26) ........................................................................ 28 Lampiran 11 Pembuktian Persamaan (27) ........................................................................ 29 Lampiran 12 Hasil Penghitungan Ilustrasi ........................................................................ 30 Lampiran13 Hasil Penghitungan Contoh Penerapan…………………………………….. 32

Lampiran 1 Lampiran 2 Lampiran 3 Lampiran 4 Lampiran 5 Lampiran 6 Lampiran 7 Lampiran 8

ix

10

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada dasarnya, pasar modal (capital market) merupakan pasar untuk berbagai instrumen keuangan jangka panjang yang bisa diperjualbelikan, baik dalam bentuk utang ataupun modal sendiri. Selain itu, Pasar modal memberikan peran besar bagi perekonomian suatu negara karena pasar modal memberikan dua fungsi sekaligus, yaitu fungsi ekonomi dan fungsi keuangan. Pasar modal dikatakan memiliki fungsi ekonomi karena pasar modal menyediakan fasilitas atau wahana yang mempertemukan dua kepentingan yaitu pihak yang memiliki kelebihan dana (investor) dan pihak yang memerlukan dana (issuer). Pasar modal dikatakan memiliki fungsi keuangan karena pasar modal memberikan kemungkinan dan kesempatan memperoleh imbalan (return) bagi pemilik dana, sesuai dengan karakteristik investasi yang dipilih. Salah satu produk yang diperjualbelikan di pasar modal adalah saham yaitu sebagai tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan. Wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan pemiliknya. Para investor yang bermain di pasar modal, khususnya saham, pasti memiliki motivasi yang sama yaitu mendapatkan tingkat pengembalian (expected return) yang besar. Tetapi hukum investasi yang tidak dapat dipungkiri adalah semakin tinggi tingkat pengembalian akan semakin tinggi pula risiko yang harus diambil. Risiko adalah selisih antara tingkat pengembalian aktual dengan tingkat pengembalian yang diharapkan. Para investor dapat mengelompokkan risiko tersebut menjadi dua kelompok besar yaitu risiko sistematis dan risiko nonsistematis. Risiko sistematis merupakan sebuah risiko yang secara sistematis akan terjadi dan tidak dapat dihindari oleh para investor dan risiko ini dikenal juga dengan risiko pasar. Salah satu risiko sistematis ini yaitu risiko likuiditas. Biaya likuiditas adalah besarnya biaya yang harus dikeluarkan untuk mengubah suatu sekuritas menjadi kas atau sebaliknya. Biaya likuiditas merupakan ukuran likuiditas pasar yang mencerminkan biaya yang dihadapi oleh penjual. Sedangkan risiko nonsistematis adalah risiko yang terjadi tidak secara sistematis dan biasanya dapat dihindari. Risiko ini dapat juga disebut dengan risiko perusahaan. Risiko ini dapat dihindari oleh

perusahaan yang bersangkutan. Salah satu risiko nonsistematis adalah risiko ketidakpastian (volatility risk). Pengelolaan risiko sangat penting supaya tidak terjadi pemusnahan terhadap apa yang diinvestasikan. Dalam menghitung risiko tersebut dikenal dengan simpangan baku (standard of deviation). Risiko tidak mungkin dihilangkan 100% tetapi hanya dapat diminimumkan atau dibuat sekecil mungkin sampai batas tertentu yaitu dengan mengelola risiko secara baik. Sehingga permasalahan yang muncul adalah bagaimana meminimumkan biaya yang dikeluarkan ke dalam kegiatan transaksi yang akan dilakukan dengan mengoptimalkan banyaknya saham yang diperdagangkan dengan kendala suatu risiko (volatility) yang harus dihadapi. Risiko yang akan dibahas adalah risiko ketidakpastian biaya eksekusi dalam tingkat perdagangan. 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk mempelajari strategi perdagangan saham yang optimal dengan menentukan banyaknya saham pada waktu t yang akan dijual dan banyaknya saham awal optimal yang diperdagangkan serta waktu optimal eksekusi saham dengan asumsi biaya likuiditas merupakan fungsi linear dan kendala yang dihadapi adalah risiko ketidakpastian biaya likuiditasi. 1.3 Metode dan Sistematika Penulisan Metode Penulisan karya ilmiah ini adalah studi pustaka yang materinya diambil dari jurnal yang berjudul “Optimal Execution with Nonlinear Impact Functions and TradingEnhanced Risk” oleh Robert F. Almgren tahun 2001. Karya ilmiah ini terdiri atas tujuh bagian. Bagian pertama berisi pendahuluan yang terdiri atas latar belakang, tujuan, metode dan sistematika penulisan. Bagian kedua adalah landasan teori yang menjadi dasar penulisan karya ilmiah ini. Bagian ketiga adalah pemodelan yang akan dipakai. Bagian keempat pembahasan yang merupakan hasil analisis terhadap karya ilmiah ini. Bagian kelima adalah ilustrasi. Bagian keenam adalah kesimpulan, dan bagian ketujuh adalah daftar pustaka.

2

II LANDASAN TEORI Landasan teori menyajikan hal-hal yang menjadi dasar penulisan karya ilmiah ini, ditampilkan dalam bentuk definisi-definisi dasar, Lema dan beberapa teorema penting. 2.1. Istilah-istilah keuangan Definisi 1 Aset Real dan Aset Keuangan Aset real adalah aset yang menentukan kekayaan suatu perekonomian suatu perusahaan sedangkan aset keuangan adalah aset yang menunjukkan klaim atas aset real. (Bodie, Kane, dan Marcus, 2006) Definisi 2 Sekuritas Sekuritas adalah surat berharga atau instrumen keuangan yang telah distandarisasi dan dijaga nilai-nilainya sehingga mempunyai kemampuan jual beli atau likuid. (Bodie, Kane, dan Marcus, 2006) Definisi 3 Saham Saham adalah tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perusahaan terbatas. Wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan siapa pemiliknya. (Bodie, Kane, dan Marcus, 2006) Definisi 4 Volatilitas (Volatility) Volatilitas σ menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan harga saham. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tesebut. (Harvey & Gretchen 2002) Definisi 5 Risiko Perdagangan Risiko Perdagangan merupakan besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat pengembalian aktual (actual return) (Widoatmodjo Sawidji. 2005) Definisi 6 Volume Perdagangan Volume perdagangan adalah jumlah satuan unit saham yang diperjualbelikan dalam suatu periode tertentu, biasanya harian. (Bodie, Kane, dan Marcus, 2006) 2.2 Percobaan Acak, Ruang Contoh, Medan-σ , Ukuran Peluang, Peubah Acak,

Peubah Acak Diskret

Kontinu,

Peubah Acak

Definisi 7 Percobaan Acak Dalam suatu percobaan sering kali dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan pasti. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak. (Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 8 Ruang Contoh Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari Ω . (Grimmett dan Stirzaker, 1992 Definisi 9 Medan-σ Medan–σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω , yang memenuhi kondisi berikut: 1.

φ ∈F

2.

jika A1, A2 ,... ∈ F maka U Ai ∈ F

3.

∞

i =1

jika A∈F maka A c∈F (Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 10 Ukuran Peluang Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω . Ukuran peluang adalah suatu fungsi P : F → [0,1] pada (Ω, F ) yang memenuhi : 1. P(φ ) = 0 dan P ( Ω ) = 1 2. Jika A1, A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai ∩ A j = φ untuk setiap pasangan i ≠ j , maka ∞  ∞ P  U Ai  = ∑ P ( Ai ).  i =1  i =1

(Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 11 Peubah Acak Misalkan F adalah medan- σ dari ruang contoh Ω . Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X → Ω : ℜ dengan sifat

{ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ F

untuk setiap x ∈ ℜ .

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

3

Definisi 12 Peubah Acak Diskret Peubah acak X dikatakan peubah acak diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terbilang dari ℜ. Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terbilang, jika C terdiri atas bilangan terhingga atau anggota C dapat dipadankan 1-1 dengan bilangan bulat positif. (Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 13 Peubah Acak Kontinu Peubah acak X dikatakan kontinu jika terdapat fungsi f X ( x) sehingga fungsi sebaran F X ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai: FX ( x) =

∞

∫

f x (t )dt , x ∈ ℜ untuk suatu

−∞

f : R → [0, ∞ ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang bagi X (Grimmett dan Stirzaker, 1992)

fungsi

2.3 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret, Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu, Ragam dan Simpangan Baku Definisi 14 Nilai Harapan (Expected Value) Peubah Acak Diskret Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X ( x) , maka nilai

2) Jika k adalah suatu konstanta dan V adalah peubah acak, maka E (kV ) = kE (V ) .

k1 , k 2

3) Jika

V1 , V2 adalah

adalah

konstanta

suatu

peubah

dan acak,

maka E (k 1V1 + k 2V 2 ) = k 1 E (V1 ) + k 2 E (V 2 ) . (Bukti: lihat Hogg & Craig 1995) (Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 16 Ragam dan Simpangan Baku Misalkan X adalah peubah acak (diskret atau kontinu). Ragam X atau var ( X ) dinotasikan

σ X2

dengan

σ X2 = E[( X − E( X ) ) ]= E( X 2 ) − ( E( X ) ) 2

dengan 2

.

Standar deviasi X, dinotasikan dengan σ X , didefinisikan σ X = σ X2 . (Hogg dan Craig, 1995) Lema 2 (sifat Ragam) Beberapa sifat dari ragam, antara lain : 1. jika k suatu konstanta, maka Var (kX ) = k 2Var ( X ) 2.

jika k suatu konstanta dan X 1 , X 2 adalah peubah acak, maka Var (k1 X 1 + k2 X 2 ) = k12Var ( X 1 )

+ k2 2Var ( X 2 ) + 2k1k2

E ( ( X 1 − E ( X 1 ) )( ( X 2 − E ( X 2 ) ) (Ghahramani, 2000)

harapan dari X dinotasikan dengan E ( X ) E ( X ) = ∑ xp X ( x )

2.4 Proses Stokastik, Random Walk

x

Asalkan jumlah di atas konvergen mutlak (Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 15 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fX (x) , maka nilai harapan dari X adalah ∞

E ( X ) = ∫ x f X ( x) −∞

asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Grimmett dan Stirzaker, 1992) Lema 1 (Sifat Nilai Harapan) Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1) Jika k adalah suatu konstanta, maka E (k ) = k .

Definisi 17 Proses Stokastik Proses stokastik X = { X (t ), t ∈ T } adalah suatu koleksi (gugus, himpunan atau kumpulan) dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. Catatan: Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik diskret (discrete-time stochastic process) jika gugus indeks T adalah gugus tercacah (countabel set), sedangkan X disebut proses stokastik kontinu (continuous-time stochastic process) jika T adalah suatu interval. (Grimmet and Stirzaker, 2001) Definisi 18 Random Walk Random Walk adalah suatu rantai Markov dengan state (ruang state) adalah himpunan bilangan bulat dan mempunyai peluang transisi

4

Pi ,i +1 = P = 1 − Pi ,i −1 ; i = 0, ± 1, ± 2,.... ,

T

dengan 0 < P < 1 . Dengan kata lain setiap transisi perubahan akan bergerak satu langkah ke kanan dengan peluang P atau bergerak satu langkah ke kiri dengan peluang 1-P. (Ross, 2000) 2.5 Kalkulus Variasi, Syarat Perlu Untuk Optimum, Deret Taylor Kalkulus Variasi Kalkulus variasi adalah salah satu cabang matematika yang berhubungan dengan masalah memaksimumkan atau meminimumkan fungsional (Tu 1983). Dalam masalah kalkulus variasi tujuannya adalah untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif:

(

)

∂J ( x ) = ∫ h f x + h& f x& dt 0

T

∂ 2 J ( x) =

(

)

1 & + h& 2 f dt h 2 f xx + 2hhf && xx& xx 2 ∫0

dengan: ∂f ( x, x& , t ) fx = ∂x ∂f ( x, x& , t ) f x& = ∂x& dh h& = . dt Maka

J ( x + h ) = J ( x) + δ J ( x) + δ 2 J ( x) + Ο h sehingga diperoleh ∆J ( x ) = δ J ( x ) + δ 2 J ( x ) + Ο h

2

2

(2)

b

J ( x ( t ) ) = ∫ f ( x ( t ) , x& ( t ) , t )dt ,

Οh

a

dengan fungsi kendala atau tanpa kendala. Fungsi kendala dapat berupa persamaan diferensial parsial atau persamaan aljabar, misalkannya x& = f ( x(t ), x& (t ), t ) . Fungsional memiliki peranan penting dalam kalkulus variasi. Fungsional, misalkannya

2

adalah simbol yang mewakili orde lebih tinggi. Notasi δ J ( x) disebut variasi pertama dan δ 2 J ( x) disebut variasi kedua. Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu agar J(x) maksimum, δ J ( x) = 0 . (Tu, 1983)

b

J ( x ) = ∫ x ( t )dt

(1)

a

adalah suatu aturan yang mengaitkan tiap fungsi x ∈ ℜ dengan J ( x ) . Terdapat analogi antara fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalkannya x = x ( t ) . Sedangkan argumen dari fungsional merupakan fungsi. Dalam mempelajari fungsi, kita tertarik untuk menemukan titik yang memberikan ekstremum untuk fungsi, sedangkan dalam pembahasan fungsional kita tertarik untuk menemukan fungsi yang memberikan ekstremum untuk fungsional. Variasi dari fungsional J ( x ) adalah

∆J ( x ) = J ( x + δ x ) − J ( x ) . Dengan mengambil

δ x = h sembarang fungsi, maka dengan menggunakan ekspansi deret taylor diperoleh T

(

)

J ( x + h ) = ∫ f x + h, x& + h&, t dt 0 T

T

0

0

(

)

& dt + = ∫ f ( x, x&, t )dt + ∫ hf x + hf x& T

(

)

1 & + h& 2 f dt + Ο h h 2 f xx + 2hhf && xx& xx 2 ∫0 T

J ( x ) = ∫ f ( x, x& , t )dt 0

Definisi 19 Syarat Perlu Untuk Optimum (Persamaan Euler) Perhatikan masalah variasi dalam bentuk sederhana, T

J ( x ) = ∫ f ( x, x& , t )dt , 0

dengan

titik

B (T , x (T ) )

ujung

A ( 0, x(0) )

adalah

(3) dan tetap,

dx f ( x, x&, t ) , x ( t ) ∈ C 2 [ 0, T ] , x& = dt x adalah 2 fungsi bernilai scalar dan C adalah semua fungsi yang didefinisikan di selang [0,T] dan memiliki turunan ke-2 yang kontinu. Permasalahan adalah memilih x* (t ) yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional J(x). Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah δ J ( x) = 0 . Misalkan T

∂J ( x ) = ∫ g ( t ) h(t )dt , 2

0

(4)

g (t ) ∈ C [0, T ] dan h(t) fungsi sembarang dan kontinu. Untuk T dan kedua titik ujung peubah x(t) ditentukan, h(t) memiliki sifat h(0)=0=h(T). dengan

5

Lema 3 Misalkan g (t ) sebarang fungsi yang kontinu pada

(0,T )

dan S merupakan

himpunan dari sebarang fungsi h(t) yang kontinu dan terdiferensialkan pada [ 0,T ] sehingga h(0)=0=h(T) dengan T ditentukan.

x (0) = x0 dan x(T ) = xT . Syarat perlu agar J(x) mempunyai nilai ekstrem adalah x(t) memenuhi persamaan berikut: d fx − f x& = 0 . (6) dt (Bukti: lihat Tu, 1983)

T

Jika

∫ g ( t ) h(t )dt = 0 ,

(5)

0

untuk semua h (t ) ∈ S maka g (t ) = 0 untuk

Definisi 20 Deret Taylor

Jika suatu fungsi y = f ( x) memiliki turunan

semua t ∈ [ 0, T ] (Bukti: lihat Tu, 1983)

ke-n maka fungsi tersebut memiliki ekspansi deret Taylor.

Solusi dari masalah kalkulus variasi diberikan oleh suatu bentuk persamaan Euler yang merupakan syarat perlu untuk menentukan nilai ektremum.

ng setara dengan

f ( x + h) = f ( x) + h f ′( x) +

f ( xn +1 ) = f ( xn ) + hf ′ ( xn ) + +

Teorema 2 Misalkan pada

[0, T ]

T

J ( x ) = ∫ f ( x , x& , t )dt

terdefinisi

0

dan memenuhi syarat batas

h2 h3 f ′′ ( x) + f ′′′ ( x) +L ya 2! 3!

h2 f ′′ ( xn ) 2!

h3 h p ( p) f ′′′ ( xn ) + L + f ( xn ) + Ο ( h p +1 ) 3! p! (7)

dengan h = xn+1 − xn . (Fisher, 1998)

6

III PEMODELAN Suatu permasalahan dalam matematika dapat disederhanakan dalam bentuk model. Model tersebut dapat merepresentasikan kondisi sebenarnya. Langkah awal pembentukan model adalah dengan memberikan variabel-variabel yang akan digunakan dan asumsi-asumsi awal. Berikut adalah variabel-variabel yang akan digunakan: : waktu eksekusi saham dengan t t = 0 adalah waktu awal eksekusi dan t = T adalah waktu akhir eksekusi : kepemilikan saham awal yang X akan dieksekusi secara lengkap pada waktu t = T dengan X = x0

X*

σ

: banyaknya saham optimal yang diperdagangkan : risiko volatilitas

f (v)

: fungsi ketidakpastian harga

h (v )

: dampak temporer (biaya likuiditas)

g (v )

: dampak permanen (pengaruh harga saham akibat informasi perdagangan)

S%k E ( x) V ( x)

x (t )

τ >0

: harga saham sebenarnya pada perdagangan ke-k : expected cost : standar deviasi : banyaknya saham pada waktu t, dengan x (0) = X dan x(T ) = 0 : interval perdagangan

tk = kτ : waktu diskret perdagangan untuk k = 0,1, 2,3,....N

nk

: banyaknya saham yang terjual antara waktu tk −1 sampai tk

Adapun asumsi-asumsi yang dipergunakan dalam pemodelan masalah ini: 1. Model karya tulis ini mengikuti kerangka dari Almgren dan Chris (2000). 2. Kasus yang dihadapi merupakan kasus penjualan, sehingga X > 0. 3. Perdagangan berupa aset tunggal (saham) bukan portofolio. Kasus yang dihadapi adalah kasus penjualan maka pemodelan ini dibangun dari sudut sebagai penjual yang berupaya

menentukan fungsi optimal x(t ) , X * , dan T* agar diperoleh suatu pilihan biaya fungsional yang meminimumkan biaya transaksi. Strategi perdagangan dalam transaksi suatu saham sangat diperlukan dengan tujuan agar saham yang dimiliki atau kepemilikan saham menjadi likuid. Likuiditas dari suatu saham dapat diukur dari biaya likuiditas. Biaya likuiditas ini merupakan biaya yang akan dihadapi oleh penjual. Oleh karena itu, permasalahan yang dihadapi adalah bagaimana meminimumkan biaya likuiditas (expected cost) pada akhir perdagangan. Permasalahan tersebut dibentuk menjadi sebuah model yang melibatkan unsur waktu. Pada karya ilmiah ini pelaksanaan optimal lebih dititikberatkan pada kepemilikan saham dan waktu akhir, sehingga permasalahannya menjadi berapa banyak kepemilikan saham yang dimiliki pada waktu t, yaitu x (t ) , banyaknya saham awal yang diperdagangkan yaitu X dan waktu akhir yang optimal, yaitu ∗

T* , agar tercapai kondisi yang diinginkan yaitu biaya likuiditas yang dikeluarkan minimum pada akhir perdagangan. 3.1 Waktu Perdagangan A. Model Waktu Diskret Dalam model waktu diskret saham diperdagangkan dalam interval waktu τ yaitu pembagian waktu per periode dengan

tk = kτ yang menyatakan waktu pada saat periode ke-k untuk k = 0,1, ..., N N =

T

τ

dengan

sehingga jika X adalah banyaknya

saham yang dimiliki pada t=0 maka xk menyatakan banyaknya saham yang dimiliki pada waktu t k dengan x 0 = X dan xN = 0 Dalam model ini diasumsikan bahwa saham diperdagangkan dalam waktu antara

t k − 1 dan

tk sehingga nk menyatakan banyaknya saham yang terjual dalam waktu antara tk −1 dan tk atau nk = xk −1 − xk dan ratarata perdagangan adalah banyaknya saham yang terjual per satuan waktu. Sehingga kita dapat memodelkan banyaknya saham pada waktu ke-k sebagai berikut: k

N

xk = X − ∑ n j = ∑ n j , j =1 j = k +1

(8)

7

Harga saham dari aset yang tersedia dipasar dipengaruhi oleh informasi perdagangan yang bersifat acak dengan biaya informasi yang diperoleh disebut biaya dampak permanen, sehingga untuk menentukan harga saham dari aset yang tersedia dipasar akibat pengarus dampak permanen dapat dicari dengan aritmatik random walk, yaitu: 1 2

 nk   τ 

S k = S k −1 + στ ξ k − τ g 

(9)

dengan ξ j ~N(0,1) adalah peubah acak bebas dan risiko volatilitas. σ merupakan Persamaan (9) di atas dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut: 1 2

k

k

j =1

j =1

( )

S k = S0 + στ ∑ ξ j − τ ∑ g v j (Bukti: lihat Lampiran1)

Selain informasi perdagangan, harga saham dipengaruhi juga oleh biaya dampak temporer yaitu biaya yang harus dikeluarkan untuk mengubah saham menjadi kas atau disebut biaya likuiditas, sehingga harga sebenarnya yang didapatkan pada perdagangan ke-k akibat pengaruh dari dampak temporer dapat dimodelkan sebagai berikut: 1 n  − n  S%k = Sk −1 − h  k  +τ 2 f  k ξ%k (10) τ  τ  Total uang yang diterima dalam waktu kek adalah penjumlahan dari perkalian banyaknya saham yang terjual dengan harga sebenarnya yang didapatkan pada perdagangan ke-k yang dimodelkan dalam bentuk: N−1

− ∑ nk S%k = XS0 +στ 2 ∑ xkξk −τ ∑ xk g ( vk ) 1

N

k=1

N

k=1

k=1

−τ ∑ vk h( vk ) +τ ∑ vk f ( vk ) ξ%k . 1 2

N

k=1

N

k=1

(11)

Dari persamaan (9) dan (10) di atas dapat disimpulkan bahwa biaya transaksi meliputi biaya informasi, biaya likuiditas dan ketidakpastian biaya likuiditas pada perdagangan, sehingga biaya transaksi dapat dimodelkan sebagai berikut: XS 0 − ∑ n k S% k

Nilai harapan dan ragam pada saat t = 0 bergantung pada parameter bebas x1 , x2 ,..., xn −1 pada strategi perdagangan dan dapat dituliskan sebagai berikut. E ( x1, x2 ,...xn−1 ) = ∑ xk g ( vk )τ + ∑ vk h ( vk )τ N

N

k =1

k =1

(12)

dan

( )

2

V ( x1, x2 ,...xn−1 ) = ∑σ 2 xk2 + ∑ v2 f v τ k k =1 k =1 k (Bukti: lihat Lampiran 2) N

N

(13)

B. Model waktu kontinu Untuk kebutuhan analisis waktu kontinu maka persamaan-persamaan yang ada pada model waktu diskret diubah dalam model waktu kontinu dengan τ → 0 , xk menjadi

x(t) , dan

nk

vk → v ( kτ ) ,

tetap

berlaku

nk

v=

karena

nk

τ

xk −1 − xk

=

τ

=

−( xk − xk −1 )

τ

dan

τ

nk = xk −1 − xk maka v=

sehingga

=−

∆x = − x& ∆t

maka v (t ) = − x& ( t ) , sehingga persamaan (12) dan (13) dapat dituliskan dalam persamaan sebagai berikut: E( x) = ∫ ( x (t ) g ( v (t ) ) + v (t ) h ( v ( t )))dt T

0

(

)

V ( x) = ∫ σ 2 x (t ) + v (t ) f ( v (t )) dt. T

0

2

2

2

(14) (15)

Seorang penjual yang rasional akan membuat strategi perdagangannya dengan meminimumkan E dengan kendala V.

3.2 Formulasi Lagrange Masalah optimisasi yang akan dibahas pada karya ilmiah ini adalah mencari strategi perdagangan yang meminimumkan biaya transaksi. Biaya likuiditas merupakan biaya yang harus dikeluarkan untuk mengubah suatu saham menjadi kas atau sebaliknya. Untuk pengoptimalan strategi perdagangan, para penjual meminimumkan biaya likuiditasnya dengan mengasumsikan bahwa transaksi saham yang tidak pasti (risiko ketidakpastian) merupakan kendala yang mendukung model ini. Suatu masalah pengoptimuman didefinisikan mempunyai bentuk sebagai berikut: Minimumkan E ( x) = ∫ ( x (t ) g ( v (t )) + v (t ) h ( v ( t )))dt T

0

terhadap

(

)

V ( x) = ∫ σ 2 x ( t ) + v (t ) f ( v (t )) dt. T

0

2

2

2

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah di atas adalah metode pengali Lagrange. Metode ini dimulai

8

dengan mendefinisikan sebagai berikut:

fungsi

Lagrange

U ( x ) = E ( x ) + λV ( x )

(

)

= ∫ ( x (t ) g ( v ( t )) + v ( t ) h ( v ( t )))dt + λ ∫ σ 2 x ( t ) + v ( t ) f ( v ( t )) dt T

T

0

0

T

(

2

2

2

)

= ∫ x ( t ) g ( v ( t ) ) + v ( t ) h ( v ( t ) ) + λσ 2 x ( t ) + λv ( t ) f ( v ( t ) ) dt 0

2

dengan λ merupakan pengali Lagrange untuk kendala dari masalah pengoptimuman Untuk meminimumkan U ( x) maka digunakan metode kalkulus variasi yaitu min ∫ F ( x (t ) , − x& ( t ) )dt. x (t ) 0 T

U (x + h ) −U ( x ) = φ(h ) + Q(h ) + Ο h

T

U (x(t ) ) = ∫ F ( x(t ), − x& (t ) )dt.

2

∆U ( x) = φ(h ) + Q(h ) + Ο h = δU ( x) + δ 2U ( x) + Ο h 2

Formulasi fungsional objektif tersebut merupakan formulasi Lagrange, sehingga

F ( x(t), v(t)) = x(t)g ( v(t)) + v(t)h( v(t))

(

+ λσ x ( t ) + λ v ( t ) f v ( t ) 2

dan secara menjadi

2

2

sederhana

dapat

)

2

dituliskan

F ( x, v ) = xg ( v ) + vh ( v ) + λσ x + λ v f ( v ) 2 2

2

2

& ( −x&) +λσ x +λx& f ( −x&) . F( x, −x&) = xg( −x&) − xh 2 2

(

T

)

U (x + h ) = ∫ F x + h, − x& + h& dt T

0

0

(

)

& = ∫ F ( x, − x& )dt + ∫ hFx − hF − x& dt +

(

)

1T 2 2 & &2 h Fxx − 2hhF x(− x&) + h F(− x&)(− x&) dt + Ο h 2 ∫0 T

U ( x ) = ∫ F (x, − x& )dt . 0

(

)

& ∂U ( x) = ∫ hFx − hF − x& dt

(

)

1 & &2 h2 Fxx − 2hhF x(− x& ) + h F( − x& )( − x& ) dt 2 ∫0

∂F (x, − x&, ) ∂x

variasi kedua δ 2U ( x) dan Ο h

2

adalah

simbol yang mewakili orde lebih tinggi. Sehingga syarat perlu agar U (x ) minimum adalah δ U ( x) = 0, sehingga T

T

0

0

& =0 ∫ Fx ( x, − x& ) hdt − ∫ F− x& ( x, − x& ) hdt

T

&  ∫  hFx − hF − x& dt = 0 0

T

T

0

0

dengan metode integral parsial persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: T T  T d   hF dt hF − − ∫0 x  − x& 0 ∫0  dt F− x&  hdt  = 0. Karena fungsi h merupakan fungsi kontinu dan terturunkan yang bersifat h ( 0 ) = 0 = h (T ) T d  ∫ hFx dt − 0 + ∫  F− x& hdt = 0 0 0  dt  T d   ∫  Fx + F− x& hdt = 0 dt 0  maka menurut lema 2 diperoleh T

0 T

dengan φ(h ) merupakan suku-suku linear dalam deret Taylor yang kita sebut dengan variasi pertama δU ( x) dan Q(h ) adalah suku-suku kuadrat yang mengindikasikan

& ∫ hFx dt − ∫ hF − x& dt = 0

0

T

2

2

2

Dalam kalkulus variasi syarat perlu fungsional objektif memiliki nilai minimum adalah δ U ( x ) = 0 . Nilai δU(x) adalah variasi pertama yang diperoleh dengan menggunakan ekspansi Taylor sebagai berikut:

Fx =

2

sehingga diperoleh

0

∂ 2U ( x) =

∂F ( x, − x& ) ∂ (− x& ) dh h& = dt maka

F− x& =

U (x + h ) =U (x ) + φ(h ) + Q(h ) + Ο h

Bentuk fungsional objektifnya adalah

T

2

2

9

dikalikan dengan x& , sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: Fx x& + x& 2 Fvx − &&& xxFvv = 0

d F = 0. dt − x& Karena v = − x& , maka dapat dituliskan d Fx + Fv = 0 dt Fx +

Fx ( x , − x& ) +

Fv ( x , − x& ) = 0.

d dt

d & v) =0 ( F + xF dt dengan d d d & v ) = F ( x, − x& ) + x& Fv ( x, − x& ) ( F + xF dt dt dt = Fx x& − F− x& && x + && xFv + x& ( Fvx x& − F− xv x) & && ⇔

Berdasarkan aturan rantai diperoleh & xv ( x , − x& ) − && F x ( x , − x& ) + xF xF xv ( x , − x& ) = 0

& xv − && Fx + xF xF = 0.

(16)

vv

& vx x& − xF & − xv = Fx x& − F− x& && x + && xFv + xF x & && & − xv = Fx x& + x& 2 Fvx − xF x & &&

(Bukti: lihat Lampiran 2) Persamaan (16) merupakan bentuk persamaan diferensial parsial orde dua, yang dapat diselesaikan dengan menggunakan nilai awal, sehingga diperoleh x ( t ) . Karena pada

Ini berarti bahwa & v = c , dengan c adalah suatu konstanta, F + xF sehingga dapat dituliskan dalam persamaan berikut:

kasus ini, fungsi objektif tidak mengandung t secara eksplisit, maka persamaan (16) dapat

(

c = xg ( v ) + vh ( v ) + λσ 2 x 2 + λ v2 f ( v ) + x& xg ′ ( v ) + vh′ ( v ) + h ( v ) + 2λ v 2 f ( v ) f ′ ( v ) + 2λ f ( v ) v 2

2

& ′ ( v) + xvh & ′ ( v) + xh & ( v) + 2λ xv & f ( v) f ′ ( v) + 2λ xvf & ( v) c = xg ( v) + vh ( v) + λσ x + λv f ( v) + xxg 2 2

2

2

2

2

) (17)

(Bukti: lihat Lampiran 4) Persamaan (17) dapat dipisah dalam bentuk & ′ + λσ 2 x 2 P ( − x& ) − P ( v0 ) = xg ( − x& ) + xxg

terhadap x(t ) maka solusi umum dari persamaan & ′ ( − x& ) + λσ 2 x 2 P ( − x& ) − P ( v0 ) = xg ( − x& ) + xxg

dan 2 P(v ) = v 2 h′(v ) + λv 2 f (v ) + 2vf (v ) f ′(v )

adalah persamaan kuadratur yaitu: X 1 ∫x (t ) P −1 (λσ 2 x 2 + P(v0 ))dx = t

=v

2

d

(

(

h ( v ) + λ vf ( v )

dv (Bukti: lihat Lampiran 5)

2

)

) (18)

Dampak permanen merupakan fungsi linear terhadap banyaknya saham pada perdagangan awal, yaitu misalkan g (v) = γ X , dengan γ X adalah total biaya yang bebas

(19)

(Bukti: lihat Lampiran 6) selanjutnya persamaan (19) akan digunakan untuk menentukan solusi umum dari banyaknya saham pada waktu t yang akan dijual dan waktu eksekusi optimal.

IV PEMBAHASAN Telah disebutkan di atas bahwa biaya transaksi terdiri atas biaya likuiditas, biaya informasi dan risiko ketidakpastian biaya likuiditas. Dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa biaya informasi pada umumnya merupakan dampak yang kecil, sehingga dapat dianggap tidak berpengaruh pada strategi optimal yang akan ditentukan artinya g (v) = 0 . Adapun fungsi biaya

likuiditas dan risiko ketidakpastian biaya likuiditas dituliskan dalam persamaan berikut:

h( v) =ηv

f ( v) = α + βv dengan v ≥ 0 untuk rata-rata perdagangan, h(v) adalah dampak temporer linear yang menunjukkan fungsi biaya likuiditas dengan koefisien η adalah perubahan biaya likuiditas

10

akibat perubahan rata-rata perdagangan, sedangkan fungsi f (v) menunjukkan fungsi risiko ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan dengan α adalah suatu konstanta yang menggambarkan ketidakpastian biaya dalam perdagangan dan tidak bergantung pada rata-rata penjualan, sedangkan β adalah koefisien yang menggambarkan perubahan ketidakpastian biaya akibat perubahan ratarata perdagangan. Minimumkan total risiko dengan membagi perdagangan dalam beberapa bagian yang sama, maka dengan persamaan (18) menjadi:

x& = −v ≤ 0

P ( v ) = (η + λα 2 ) v 2 + 4λαβ v3 + 3λβ 2 v 4 (20) P (0 ) = 0 , P ( v ) meningkat untuk v ≥ 0 . (Bukti: lihat Lampiran 7) 4.1 Peningkatan Risiko-Perdagangan Konstan Kasus ini diasumsikan β = 0 artinya ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan tidak bergantung pada rata-rata perdagangan sehingga dari persamaan (20) dengan menggunakan solusi pada persamaan (19) diperoleh solusi optimal untuk banyaknya saham pada waktu t dan solusi optimal untuk waktu eksekusi saham adalah sebagai berikut:  −t  x ( t ) = X exp    T∗ 

dengan T∗ =

η + λα λσ

(21)

dengan β= 0 maka persamaan tersebut menjadi p(v) = (η + λα 2 )v 2 Misalkan

y = (η + λα 2 )v2 y (η + λα 2 ) y (η + λα 2 )

p −1 ( y ) =

2 2

1/2

1/ 2  (η + λα 2 )v 2   λσ 2 x2  0  = + 2   (η + λα 2 )   (η + λα )    (karena v0 = 0) maka 1/ 2

 λσ 2 x 2  p −1 ( λσ 2 x 2 + p ( v0 ) ) =  2   (η + λα ) 

.

Sehingga persamaan (19) menjadi X dx =t ∫ −1 2 2 x (t ) p λσ x + p (v0 )

(

)

dx

X

∫

x (t )

1/2

 λσ 2 x2   2   (η + λα ) 

 λσ 2 x 2  ∫  2  x ( t )  (η + λα )  X

 λσ 2   2  ( + ) η λα  

=t

− 1/ 2

dx = t

− 1/ 2

X

∫ x (t )

1 dx = t x

X

 η + λα 2 ln x  = t 2 λσ  x (t )

2

(22)

v=

1/2

 λσ 2 x2   p(v0 ) 1/2 p ( λσ x + p(v0 )) =   +  (η + λα2)   (η + λα2 )    −1

η + λα 2 ( ln X − ln x(t )) = t λσ 2

2

Bukti: Dari persamaan (8) P ( v) = (η + λα 2 ) v2 + 4λαβ v3 + 3λβ 2 v4

v2 =

Jika persamaan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (19) maka diperoleh solusi umum untuk banyaknya saham pada waktu t yang akan dijual dan waktu eksekusi optimal sebagai berikut:

y . (η + λα 2 )

( ln X − ln x(t )) =

t

η + λα 2 λσ 2

  −t ln x (t ) = ln X +   η + λα 2  λσ 2 

  exp(ln x(t )) = exp  ln X      −t x (t ) = X exp   η + λα 2  λσ 2 

     

  −t +  η + λα 2  2  λσ      

     

11

 −t  x(t ) = X exp    T* 

η + λα 2 . λσ 2

T* =

Terbukti. Solusi optimal waktu eksekusi saham pada persamaan (22) menunjukkan bahwa dengan meningkatnya risiko volatilitas dan risk aversion maka nilai T* akan semakin kecil artinya semakin tinggi risiko volatilitas dan semakin tidak berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat. Untuk mengetahui expected cost dan ragam dari suatu saham maka diperoleh fungsi objektif sebagai berikut: 1 X 2 1 2 λη 2σ 2 E (λ ) = η = X 2 T∗ 2 η + λα 2  α2  1 σ η+2λα2 1 V( λ) = X2σ2T∗1+ 2 2  = X2 . 2 2  σ T∗  2 λ η+λα (Bukti: lihat Lampiran 8)

Jika

(23) (24)

E→

Karena fungsi pada persamaan (26) adalah fungsi yang monoton naik maka persamaan (26) mempunyai invers sebagai berikut: η 2 + 12 λβ 2 w − η . 6 λβ 2

P −1 ( w ) =

α

(25)

1ηX , 2 T∗ 2

V → ασ X 2 (Bukti: lihat Lampiran 9)

Persamaan (25) menunjukkan bahwa selama dalam perdagangan terdapat risk aversion (λ) yang semakin besar yaitu semakin besar tingkat penghindaran risiko maka waktu eksekusi saham, expected cost, dan ragam dalam perdagangan mempunyai nilai terbatas.

(27)

(Bukti: lihat Lampiran 11) Selanjutnya dengan menggunakan solusi persamaan (19) diperoleh solusi optimal untuk waktu eksekusi saham sebagai berikut : η λσ

T∗ =

λ →∞, maka diperoleh:

T∗ → , σ

4.2 Peningkatan Risiko-Perdagangan Linear Kasus ini diasumsikan bahwa α = 0 dan β ≠ 0 , artinya ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan. Sehingga fungsi pada persamaan (18) menjadi: (26) P ( v ) = η v 2 + 3λβ 2 v 4 (Bukti: lihat Lampiran 10)

2

,

(28)

Persamaan (28) menunjukkan bahwa waktu eksekusi saham berbanding lurus dengan perubahan biaya likuiditas (η ) artinya semakin besar perubahan biaya likuiditas maka waktu eksekusi akan semakin lama dan sebaliknya semakin kecil perubahan biaya likuiditas maka waktu eksekusi akan semakin cepat. Karena ketidakpastian biaya dalam perdagangan dipengaruhi oleh rata-rata perdagangan maka banyaknya saham optimal yang diperdagangkan diberikan oleh persamaan: X∗ =

2 1 σ T∗ η = . 3 λσβ 3 β

1

(29)

V ILUSTRASI Untuk lebih memahami solusi optimal yang diperoleh maka hal tersebut digambarkan pada ilustrasi sebagai berikut: 5.1 Ilustrasi Solusi Peningkatan Risiko Perdagangan Konstan Waktu eksekusi optimal pada persamaan (22) menunjukkan bahwa semakin besar nilai η maka semakin besar pula nilai T* artinya semakin besar perubahan biaya likuiditas

maka saham akan semakin lama dieksekusi, sebaliknya semakin kecil nilai η maka semakin kecil pula nilai T* artinya semakin kecil perubahan biaya likuiditas maka saham akan semakin cepat dieksekusi Misalkan diambil λ = 0.001 , σ = 2 dan α = 0.03 , maka waktu eksekusi optimal untuk nilai perubahan biaya likuiditas yang berbeda diilustrasikan pada grafik di bawah ini:

12

Gambar 1 Grafik hubungan perubahan biaya likuiditas dengan waktu eksekusi optimal untuk solusi peningkatan risiko perdagangan konstan Selain itu pada solusi waktu eksekusi optimal persamaan (22) menunjukkan bahwa dengan meningkatnya risiko volatilitas (σ) maka nlai T* akan semakin kecil artinya semakin tak terduga pergerakan harga saham maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat. Sebaliknya semakin kecil risiko volatilitas (σ) maka nilai T* akan semakin

besar artinya semakin mudah pergerakan harga saham diduga maka waktu eksekusi saham akan semakin lama. Misalkan diambil η = 0.087 , λ = 0.001 dan α = 0.03 maka waktu eksekusi saham yang optimal untuk risiko volatilitas yang berbeda diilustrasikan pada grafik berikut

Gambar 2 Grafik hubungan risiko volatilitas dengan waktu eksekusi optimal untuk solusi peningkatan risiko perdagangan konstan Solusi waktu eksekusi optimal pada persamaan (22) juga menunjukkan bahwa dengan meningkatnya risk aversion (λ) maka nilai T* akan semakin kecil artinya semakin tidak berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat, sehingga nilai expected cost akan semakin besar dengan nilai standar deviasi semakin kecil dan sebaliknya semakin kecil

risk aversion (λ) maka nilai T* akan semakin besar artinya semakin berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin lama, sehingga nilai expected cost akan semakin kecil dengan nilai standar deviasi semakin besar.

13

Misalkan diambil η = 0.087 , σ = 2 dan α = 0.03 maka waktu eksekusi saham yang optimal untuk risk aversion yang

berbeda diilustrasikan pada grafik di bawah ini :

Gambar 3 Grafik hubungan risk aversion dengan waktu eksekusi optimal untuk solusi peningkatan risiko perdagangan konstan

Gambar 4 Grafik hubungan waktu eksekusi dengan expected cost yang dipengaruhi oleh risk aversion pada peningkatan risiko konstan

Gambar 5 Grafik hubungan waktu eksekusi dengan standar deviasi yang dipengaruhi oleh risk aversion pada peningkatan risiko konstan

14

5.2 Ilustrasi Solusi Peningkatan Risiko Perdagangan Linear Persamaan (28) menunjukkan bahwa waktu eksekusi saham berbanding lurus dengan perubahan biaya likuiditas (η ), artinya semakin besar perubahan biaya likuiditas maka waktu eksekusi akan semakin lama dan sebaliknya semakin kecil perubahan

biaya likuiditas maka waktu eksekusi akan semakin cepat. Misalkan diambil risk aversion

( λ=0.001) dan risiko volatilitas (σ =2) maka waktu eksekusi untuk perubahan biaya likuiditas yang berbeda diilustrasikan pada grafik berikut:

Gambar 6 Grafik hubungan antara perubahan biaya likuiditas dengan waktu eksekusi yang optimal untuk peningkatan risiko perdagangan linear Selain itu, pada persamaan (28) hubungan waktu eksekusi dengan risk aversion adalah berbanding terbalik yaitu semakin besar risk aversion maka nilai T* akan semakin kecil artinya semakin tidak berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat dan sebaliknya semakin kecil risk aversion maka waktu eksekusi akan

semakin besar artinya semakin berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin lambat. Misalkan diambil (η =0.00435) dan risiko volatilitas (σ = 2 ) maka waktu eksekusi optimal untuk risk aversion yang berbeda diilustrasikan pada grafik berikut ini:

Gambar 7 Grafik hubungan antara risk aversion dengan waktu eksekusi untuk peningkatan risiko perdagangan linear Pada persamaan (28), hubungan waktu eksekusi dengan risiko volatilitas adalah

berbanding terbalik yaitu semakin besar risiko volatilitas maka nilai T* akan semakin kecil

15

artinya semakin tak terduga pergerakan harga saham maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat dan sebaliknya semakin kecil risiko volatilitas maka nilai T* akan semakin besar artinya semakin mudah menduga harga saham maka waktu eksekusi saham akan semakin lambat.

Misalkan diambil peningkatan biaya (η =0.004) dan likuiditas risk aversion ( λ = 0.0001) maka waktu eksekusi saham yang optimal untuk risiko volatilitas yang berbeda diilustrasikan seperti pada grafik di berikut ini:

Gambar 8 Grafik hubungan antara risiko volatilitas dengan waktu eksekusi yang optimal untuk peningkatan risiko perdagangan linear Persamaan (29) menunjukkan bahwa semakin besar risk aversion maka banyaknya saham optimal yang diperdagangkan akan semakin kecil artinya semakin tidak berani seorang penjual mengambil risiko maka saham yang diperdagangkan akan semakin kecil dan sebaliknya semakin kecil risk aversion maka banyaknya saham yang diperdagangkan akan semakin besar artinya semakin berani seorang penjual mengambil

risiko maka saham yang diperdagangkan akan semakin besar. Hal tersebut dijelaskan dalam ilustrasi sebagai berikut. Misalkan η = 0.006 , σ = 2 , dan β = 0.00035 maka banyaknya saham yang diperdagangkan untuk risk aversion yang berbeda diilustrasikan seperti pada grafik di bawah ini:

Gambar 9 Grafik hubungan antara risk aversion dengan banyaknya saham optimal untuk peningkatan risiko perdagangan linear

5.3 Contoh Penerapan Peningkatan Risiko Konstan

Misalkan volume perdagangan di pasar modal sebanyak 1.000.000 juta saham sedangkan banyaknya banyaknya saham awal

16

yang diperdagangkan oleh penjual adalah 100.000 saham dengan asumsi harga pada saat awal adalah $50/saham dengan volatilitas tahunan $1/saham. Pada kasus ini diasumsikan

α ≠0

dan β = 0, artinya ketidakpastian biaya dalam perdagangan tidak bergantung pada rata-rata perdagangkan. Adapun fungsi biaya likuiditas adalah h ( v ) = η v dengan biaya likuiditas href

= $0, 50 / saham dan fungsi

ketidakpastian biaya dalam perdagangan adalah f ( v ) = α . Jika besarnya perubahan risiko ketidakpastian biaya (α) adalah 20% dan rata-rata perdagangan di pasar modal adalah 10% dari perdagangan volume

T∗ =

perdagangan di pasar modal atau 100.000 saham serta perdagangan terjadi dalam interval satu jam dengan 6,5 periode per hari atau τ =

2 13

hari maka kita dapat menghitung

waktu eksekusi optimal ( T * ) , expected cost ( E (λ ) ) dan standar deviasi dari biaya transaksi ( V ) serta banyaknya saham yang akan dijual

pada waktu t

( x(t ) ) ( x(t ) )

untuk kasus ini

sesuai dengan parameter risk aversion yang dimiliki investor saham dengan menggunakan rumus yang telah didapat, yaitu:

η + λα  −t  x ( t ) = X exp   λσ  T∗  2

2

1 X 2 1 2 λη 2σ 2 E (λ ) = η = X 2 T∗ 2 η + λα 2

 α2  1 σ η+2λα2 1 V( λ) = X2σ2T∗1+ 2 2  = X2 2 2  σ T∗  2 λ η+λα

Gambar 10 Grafik hubungan antara risk aversion dengan waktu eksekusi

Gambar 11 Grafik hubungan waktu eksekusi dengan expected cost

17

Gambar 12 Grafik hubungan waktu eksekusi dengan standar deviasi Ketiga grafik di atas, yaitu grafik pada Gambar (10), Gambar (11), dan Gambar (12) menunjukkan hasil secara numerik. Dapat dilihat bahwa untuk setiap risk aversion (λ) mempunyai karakteristik nilai berbeda, yaitu untuk setiap λ yang semakin kecil maka waktu eksekusi saham (T* ) akan semakin meningkat sehingga menyebabkan expected cost yang diperoleh semakin menurun dan standar deviasi semakin meningkat. Kasus ini menunjukkan bahwa ketika terjadi ketidakpastian biaya yang konstan dalam perdagangan maka seorang penjual yang menghindari risiko dengan risk aversion yang besar akan mempercepat program eksekusinya dengan tujuan untuk mengurangi risiko. Sebaliknya seorang penjual yang berani mengambil risiko dengan risk aversion yang kecil akan memperlambat waktu eksekusi dengan tujuan untuk meminimumkan expected cost. 5.4 Contoh Penerapan Peningkatan Risiko Linear Seperti kasus konstan misalkan harga saham pada saat perdagangan awal adalah $50/saham. Pada kasus ini diasumsikan α = 0 dan β ≠ 0, artinya ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan. Fungsi biaya likuiditas adalah h ( v ) = η v dan fungsi ketidakpastian biaya dalam perdagangan adalah f (v) = β v , sehingga model harga saham sebenarnya pada persamaan (10) menjadi: s%k = s k −1 − η n k τ − 1 + β n k τ − 3 / 2 ξ% .

Khusus untuk pemilihan interval perdagangan τ , standar deviasi dari biaya

likuiditas dihubungkan dengan perubahan ketidakpastian biaya dalam perdagangan ( β ) adalah fraksi ρ , dan selama nilai keduanya sama terhadap rata-rata perdagangan maka

β nkτ −3/2 = ρηnkτ −1 , atau

β = ρτ 1/2η , Sehingga banyaknya saham optimal yang diperdagangkan pada persamaan (29) menjadi 1 η 1 σ T*2 X* = = 3 λσβ 3 β

η 2 1 1 λσ = = 1/ 2 1/ 2 3 ρτ η 3ρ λστ 1

σ

Dalam kasus ini diasumsikan terjadi perubahan rata-rata penjualan setiap harinya. Misalkan perdagangan terjadi dalam interval satu jam dengan 6,5 periode perhari, maka τ = (2/13) hari, dan ambil ρ = 1/2 . Maka untuk setiap risk-tolerance (1/λ) dapat ditentukan nilai β , X * , danT* dan dapat dilihat pada Lampiran 13. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa waktu eksekusi saham bergantung pada ratarata perdagangan, jika rata-rata perdagangan meningkat maka perubahan biaya likuiditas dan perubahan ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan semakin kecil dan hal ini akan mengakibatkan waktu eksekusi saham semakin cepat. Sedangkan banyaknya saham optimal yang diperdagangkan bergantung pada risk aversion (λ) seorang penjual, yaitu ketika seorang penjual mempunyai risk aversion yang besar maka penjual tersebut semakin menghindari risiko sehingga banyaknya saham optimal yang

18

diperdagangkan akan semakin sedikit. Sebaliknya, jika penjual mempunyai risk aversion yang kecil maka penjual tersebut semakin berani mengambil risiko, sehingga banyaknya saham optimal yang diperdagangkan akan semakin banyak. Misalkan diambil parameter risktolerance 1/λ = $10.000 atau λ = 0.0001

maka ketika rata-rata perdagangan sebesar 100.000 saham, diperoleh besarnya perubahan risiko ketidakpastian biaya sebesar: banyaknya β = 10 −6 $ hari 3 / 2 / saham 2 dan saham optimal yang diperdagangkan adalah sebesar X* ≈ 30.000 saham.

VI SIMPULAN Jika seorang penjual saham menghadapi suatu peningkatan risiko perdagangan yaitu adanya risiko ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan maka diperlukan strategi untuk menentukan berapa banyak saham pada waktu t yang akan dijual atau berapa saham yang harus diperdagangkan dan kapan waktu eksekusi yang optimal dalam perdagangan saham. Ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan mempertimbangkan dua kasus terdiri atas peningkatan risiko perdagangan konstan yaitu ketika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan tidak bergantung pada rata-rata perdagangan dan peningkatan risiko perdagangan linear yaitu ketika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan. Jika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan tidak bergantung pada rata-rata perdagangan maka strategi dalam perdagangan mempertimbangkan dua solusi optimal yaitu berapa banyaknya saham pada waktu t yang akan dijual dan kapan waktu eksekusi saham yang optimal. Seorang penjual yang menghindari risiko (risk aversion besar) akan mempercepat program penjualannya dengan tujuan untuk mengurangi risiko, sedangkan penjual yang

lebih berani mengambil risiko (risk aversion kecil) akan memperlambat perdagangannya dengan tujuan meminimumkan expected cost. Jika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan maka strategi dalam perdagangan mempertimbangkan dua solusi optimal yaitu berapa banyaknya saham optimal yang diperdagangkan dan kapan waktu eksekusi saham yang optimal. Ketika rata-rata perdagangan meningkat perubahan biaya likuiditas akibat perubahan rata-rata perdagangan dan perubahan ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan semakin kecil hal ini akan mengakibatkan waktu eksekusi saham semakin cepat. Sedangkan banyaknya saham optimal yang diperdagangkan bergantung pada risk aversion (λ) seorang penjual yaitu ketika seorang penjual mempunyai risk aversion yang besar artinya penjual tersebut semakin menghindari risiko maka banyaknya saham optimal yang diperdagangkan akan semakin sedikit dan sebaliknya jika penjual mempunyai risk aversion yang kecil artinya penjual tersebut semakin berani mengambil risiko maka banyaknya saham optimal yang diperdagangkan akan semakin banyak.

19

VII DAFTAR PUSTAKA Almgren FR. 2001. Optimal Eksecution with Nonlinear Impact Function and Trading Enhanced Risk. Journal of Applied Mathematical Finance 10, 1-18. Almgren RNC.2000.Optimal Execution of portofolio Transactions.journal Risk 3. 5-39 Bodie Z, Kane A, Marrcus AJ. 2006. Investasi Edisi 6. Z Dalimunthe dan B Wibowo, penerjemah. Jakarta: Salemba Empat. th Terjemahan dari: Investments 6 ed.

Harvey, C. R. and M. Gretchen. 2002. The New York Times Dictionary of Money and Investing. New York: Henry Holt d company. Hogg RV, AT Craig, & McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-6. Prentice Hall, Inc. New Jersey Ross SM. 2000. Introduction to Probability Model. Seventh Edition. San Diego: Academic Press.

Fisher ME.1998. Introductory Numerical Methods with the NAG Sofware Library Mathematics Departemen. The University of Western Australia.

Tu PNV. 1983. Introduction Optimalization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications. Second Revised and Enlarged Edition. Berlin : springer Verlag.

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. Ke-2. Prentice Hall. Inc. New Jersey.

Widoatmodjo S. 2005. Cara Sehat Investasi di Pasar Modal Pengantar Menjadi Investor Profesional. PT Elax Media Komputindo Garmedia, Jakarta.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed.Ke-2. Clarendon Press. Oxford.

20

Lampiran 1 Persamaan Harga Dampak Permanen Persamaan harga aset di pasar akibat pengaruh dampak permanen diberikan dalam persamaan sebagai berikut: 1

 nk   τ 

S k = S k −1 + στ 2 ξ k − τ g 

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa persamaan di atas dapat dimodelkan dalam bentuk sebagai berikut: 1

k

k

j =1

j =1

( )

S k = S0 + στ 2 ∑ ξ j − τ ∑ g v j Bukti Untuk k=1 1

n  S1 = S0 + στ 2 ξ1 − τ g  1  τ  Untuk k=2 1 n  S 2 = S1 + στ 2 ξ 2 − τ g  2  τ  1 1 n  n  = S0 + στ 2 ξ1 − τ g  1  + στ 2 ξ 2 − τ g  2  τ  τ  1  n   n  = S0 + στ 2 (ξ1 − ξ 2 ) − τ  g  1  + g  2    τ   τ  1  nj 2 2 = S0 + στ 2 ∑ ξ j − τ ∑ g   τ j =1 j  Untuk k=3 1 n  S3 = S 2 + στ 2 ξ 3 − τ g  3  τ 

   

 n  n = S0 + στ 2 (ξ1 + ξ 2 ) − τ  g  1  + g  2 τ  τ 

1  n  2 + στ ξ3 − τ g  3     τ  1  n   n  n  = S0 + στ 2 (ξ1 + ξ 2 + ξ3 ) − τ  g  1  + g  2  + g  3   τ   τ   τ  1  nj  3 3 = S0 + στ 2 ∑ ξ j − ∑ g    τ  j =1 j   Sehingga diperoleh formula untuk k=k adalah sebagai berikut: 1  n  n  n n  S k = S 0 + στ 2 (ξ1 + ξ 2 + ξ3 + ... + ξ k ) − τ  g  1  + g  2  + g  3  + ... + g  k τ  τ  τ  τ  1

1  nj k k = S0 + στ 2 ∑ ξ j − ∑ g   τ j =1 j 

  

    Terbukti.

21

Lampiran 2 Pembuktian Persamaan Expected Cost dan Ragam XS 0 − ∑ nk S%k , merupakan peubah acak pada gerakan harga dan harga yang sudah terjadi, sehingga terdapat nilai harapan dan varian. Akan dibuktikan N N • E XS − ∑ n S% =

(

•

k

k

)

E ( x1 , x2 ,...xn −1 ) = ∑ xk g ( vk )τ + ∑ vk h ( vk )τ k =1

(

k =1

)

2 Var XS0 − ∑ nk S% k = V ( x1 , x2 ,...xn −1 ) = ∑ σ 2 xk2 + ∑ vk2 f ( vk ) τ

Bukti: •

0

(

E XS0 − ∑ nk S% k

(

N

N

k =1

k =1

)

= E XS0 − XS0 − στ

−1 N −1 2

∑ xk ξ k + τ ∑ xk g ( vk ) + τ ∑ vk h ( vk ) − τ

k =1

N

N

k =1

k =1

1

2

∑ vk f ( vk ) ξ k N

k =1

)

Berdasarkan sifat dari suatu nilai harapan, maka E XS − ∑ n S%

(

(

0

k

)

k

)

N −1

= E ∑ xk g ( vk )τ − ∑ xk στ N

k =1

−1

k =1

2

(

)

E ( ξ k ) + E ∑ vk h ( vk )τ − τ N

k =1

1

2

∑ vk f ( vk )τ 2 E ( ξ k ) N

1

k =1

Karena ∑ xk g ( vk )τ dan ∑ vk h ( vk )τ adalah suatu konstanta, maka berdasarkan sifat dari N

N

k =1

k =1

nilai harapan E ( c ) = c , lalu ξ k ~ N ( 0,1) dengan nilai harapannya sama dengan `nol`, sehingga diperoleh N N E XS 0 − ∑ nk S% k = ∑ xk g ( vk )τ − 0 + ∑ vk h ( vk )τ − 0

(

)

k =1

k =1

= ∑ xk g ( vk )τ + ∑ vk h ( vk )τ •

(

Var XS0 − ∑ nk S% k

)

N

N

k =1

k =1

( ) = Var ( ∑ x g ( v )τ ) + ( ∑ v h ( v )τ ) − ( ∑ x στ ξ ) − Var ( ∑ v f ( v )τ ξ ) = Var XS0 − XS0 − στ

−1 N −1 2

∑ xk ξk + τ ∑ xk g ( vk ) + τ ∑ vk h ( vk ) − τ

k =1

N

k =1

N

N

k =1

k =1

N −1

N

k

Var

k

k =1

k

Var

k

k =1

−1

k

1

2

∑ vk f ( vk ) ξk N

k =1

N

2

k

k =1

1

k

2

k

k

Karena ∑ xk g ( vk )τ dan ∑ vk h ( vk )τ adalah suatu konstanta, maka berdasarkan sifat dari N

N

k =1

k =1

varian Var

(c ) = 0 dan Var (ax + b ) = a 2Var x + Var (b ) = a 2Var x + 0 = a 2Var x ,

lalu ξ k ~ N ( 0,1) dengan variansnya sama dengan `satu`, sehingga diperoleh

(

)

Var XS0 − ∑ nk S% k = ∑ σ 2 xk2 + ∑ vk2 f ( vk ) τ N

N

k =1

k =1

2

Terbukti.

22

Lampiran 3 Pembuktian Persamaan (16) Akan dibuktikan & xv − && Fx + xF xFvv = 0 Bukti Misal w = Fv ( x, − x& ) , dimana x = x ( t ) , − x& = − x& ( t ) , maka

dw dx dw d ( − x& ) dw = − dt dt dx dt d ( − x& )

dFv dx dFv d ( − x& ) dFv = − dt dt dx dt d ( − x& )

d & vx − && Fv = xF xFv − x& dt berdasarkan teorema 5, maka d & xv − && Fv = xF xFv − x& dt d & vx − && Fv = xF xFvv dt d sehingga persamaan Fx + Fv = 0 dapat ditulis, dt & vx − && Fx + xF xFvv = 0 Terbukti. Lampiran 4 Pembuktian Persamaan (17) Akan dibuktikan

& ′ ( v) + xvh & ′(v) + xh & (v) + 2λ xv & 2 f (v) f ′(v) + 2λ xvf & (v)2 c = xg ( v) + vh( v) + λσ 2 x2 + λv2 f ( v) + xxg 2

Bukti :

F ( x, v) = xg ( v ) + vh ( v) + λσ x + λv f ( v) 2 2

2

2

Fx = g ( v ) + 2 xλσ 2

d d d d 2  xg ( v )  +  vh ( v )  + λσ 2 x 2 + λ  v 2 f ( v )    dv dv dv dv d d d d 2 2 d = x g (v) + v h (v) + h (v) v + 0 + λ v2 f (v) + λ f (v) v2 dv dv dv dv dv

Fv =

= xg ′ ( v ) + vh′ ( v ) + h ( v ) + 2λ v 2 f ( v ) f ′ ( v ) + 2λ f ( v ) v 2

Fxv =

d g (v ) = g ′ (v ) dv

23

d d d d d d g ′ ( v ) + v h ′ ( v ) + h ′ ( v ) v + h ( v ) + 2λ v 2 f ( v ) f ′ ( v ) + 2λ f ( v ) f ′ ( v ) v 2 dv dv dv dv dv dv d 2 d 2 + 2λ f ( v ) v + 2λ v f (v) dv dv = xg ′′ ( v ) + vh′′ ( v ) + h ′ ( v ) + h′ ( v ) + 2λ v 2 ( f ′ ( v ) f ′ ( v ) + f ( v ) f ′′ ( v ) ) + 2λ f ( v ) f ′ ( v ) 4v

Fvv = x

+ 2λ f ( v ) + 2 λ v 2 f ( v ) f ′ ( v ) 2

= xg ′′ ( v ) + vh′′ ( v ) + h′ ( v ) + h′ ( v ) + 2λ v 2 f ′ ( v ) f ′ ( v ) + 2λ v 2 f ( v ) f ′′ ( v ) + 8v λ f ( v ) f ′ ( v ) + 2λ f ( v ) + 4λ vf ( v ) f ′ ( v ) 2

= xg ′′ ( v ) + vh′′ ( v ) + 2h′ ( v ) + 2λ f ( v ) + 2λ v 2 f ′ ( v ) f ′ ( v ) + 12v λ f ( v ) f ′ ( v ) + 2λ v 2 f ( v ) f ′′ ( v ) 2

& v = k menjadi Sehingga persamaan F + xF

(

c = xg (v ) + vh(v ) + λσ 2 x 2 + λ v 2 f (v ) 2 + x& xg ′ ( v ) + vh ′ ( v ) + h ( v ) + 2λ v 2 f ( v ) f ′ ( v ) + 2λ f ( v ) v 2

)

& ′ ( v ) + xvh & ′ ( v ) + xh & ( v ) + 2λ xv & 2 f ( v ) f ′ ( v ) + 2λ xvf & (v) k = xg ( v ) + vh ( v ) + λσ 2 x 2 + λ v 2 f ( v ) + xxg 2

Terbukti. Lampiran 5 Pembuktian Persamaan (18) Akan dibuktikan persamaan & ′ ( v ) + xvh & ′ ( v ) + xh & ( v ) + 2λ xv & 2 f ( v ) f ′ ( v ) + 2λ xvf & (v) k = xg ( v ) + vh ( v ) + λσ 2 x 2 + λ v 2 f ( v ) + xxg 2

2

dapat dipisahkan menjadi: & ′ ( − x& ) ) + λσ 2 x 2 P ( − x& ) − P (v0 ) = x ( g ( − x& ) + xg dan

(

P(v) = v 2 h′ ( v ) + 2λ vv 2 f ( v ) f ′ ( v ) + λ v 2 f ( v )

( = v h′ ( v ) + λ v ( f ( v )

) f ( v) f ′ (v ))

= v 2 h′ ( v ) + λ v 2 v 2 f ( v ) f ′ ( v ) + f ( v ) 2

2

2

+ v2

2

)

2

Bukti:

& ′ ( v ) + xvh & ′ ( v ) + xh & ( v ) + 2λ xv & 2 f ( v ) f ′ ( v ) + 2λ xvf & (v) c = xg ( v ) + vh ( v ) + λσ 2 x 2 + λ v 2 f ( v ) + xxg 2

2

& ′ ( v ) + vh ( v ) + xh & ( v ) + xvh & ′ ( v ) + 2λ xv & 2 f ( v ) f ′ ( v ) + λ v 2 f ( v ) + 2λ xvf & (v ) = xg ( v ) + λσ 2 x 2 + xxg 2

& ′ ( v ) ) + λσ 2 x 2 + xvh & ′ ( v ) + 2λ xv & 2 f ( v ) f ′ ( v ) + λ v 2 f ( v ) − 2λ v 2 f ( v ) = x ( g ( v ) + xg 2

(

& ′ ( v ) ) + λσ 2 x 2 − v 2 h′ ( v ) + 2λ vv 2 f ( v ) f ′ ( v ) + λ v 2 f ( v ) = x ( g ( v ) + xg

(

2

)

& ′ ( − x& ) ) + λσ 2 x 2 − v 2 h′ ( v ) + 2λ vv 2 f ( v ) f ′ ( v ) + λ v 2 f ( v ) = x ( g ( − x& ) + xg = P(− x& ) − P(v) sehingga didapat: & ′ ( − x& ) ) + λσ 2 x 2 P ( − x& ) − P (v0 ) = x ( g ( − x& ) + xg

(

P(v) = v 2 h′ ( v ) + 2λ vv 2 f ( v ) f ′ ( v ) + λ v 2 f ( v )

( = v h′ ( v ) + λ v ( f ( v )

) + 2vf ( v ) f ′ ( v ) )

= v 2 h′ ( v ) + λ v 2 2vf ( v ) f ′ ( v ) + f ( v ) 2

2

2

2

2

)

)

2

Terbukti.

2

24

Lampiran 6 Pembuktian Solusi Kuadratur Dari persamaan & ′ + λσ 2 x 2 P ( − x& ) − P ( v0 ) = xg ( − x& ) + xxg akan dicari solusi umum persamaan diferensial biasa, karena g (v) = γ X bebas terhadap x(t ) maka persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut: P ( − x& ) − P (v0 ) = λσ 2 x 2 ⇔ P ( − x& ) = λσ 2 x 2 + P (v0 ) karena fungsi P merupakan fungsi monoton maka fungsi tersebut mempunyai invers ⇔ − x& (t ) = P −1 ( λσ 2 x 2 + P (v0 ) )

dx = P −1 ( λσ 2 x 2 + P (v0 ) ) dt −dx ⇔ −1 = dt 2 2 P λσ x + P(v0 ) ⇔−

(

)

−dx = ∫ dt P ( λσ x 2 + P(v0 ) )

⇔∫

−1

⇔ −∫

2

dx

=t

P −1 ( λσ 2 x 2 + P (v0 ) )

karena banyaknya saham awal adalah X dan banyaknya saham yang akan dijual pada waktu ke-k adalah x(t) maka batas integral di atas adalah: x (t )

⇔−

∫ X

P

−1

( λσ

X

⇔

dx 2

x 2 + P(v0 ) )

dx

∫

−1 2 2 x ( t ) P ( λσ x + P ( v0 ) )

=t

=t

Terbukti. Lampiran 7 Pembuktian Persamaan (20) Untuk semua program penjualan ( v ≥ 0 ) jika: h(v) = η v dan f (v) = α + β v Maka persamaan (9) dengan

x& = −v ≤ 0 akan menjadi

P (v ) = (η + λα )v + 4λαβ v + 3λβ v Bukti : Dari persamaan (9) p (v ) = v 2 h '(v ) + λ v 2 ( f (v ) 2 + 2vf (v ) f '(v )) 2

=v

2

d

=v

2

dv d

=v

2

dv d

=v

2

dv d dv

2

3

2 4

( h ( v ) + λ vf ( v ) ) 2

(η v + λ v (α + β v ) ) 2

(η v + λ v (α + 2αβ v + β v ) 2

2 2

(η v + λα v + 2λαβ v + λβ v ) 2

2

2 3

= v (η + λα + 4λαβ v + 3λβ v ) 2

2

2 2

25

= η v + λα v + 4λαβ v + 3λβ v 2

2 2

3

2 4

= (η + λα )v + 4λαβ v + 3λβ v Sehingga Terbukti. bahwa nilai trayektori adalah: P (v ) = (η + λα 2 )v 2 + 4λαβ v 3 + 3λβ 2 v 4 2

2

3

2 4

Terbukti. Lampiran 8 Pembuktian Expected Cost dan Ragam untuk Peningkatan Risiko Perdagangan Konstan

E (λ ) =

1

V ( x) =

1

2

η

X

2

=

T *

1

λη σ 2

X

2

2



η + λα α

2

X σ T*  1 + 2 2  σ T 2  * 2

2

2 2

dan

 1 2 σ η + 2λα 2 .  = X 2 2 λ η + λα 

Bukti : Sebelumnya akan dicari nilai Tmax x (t ) = 0

 −t  =0 T   −t  exp   = 0 T   −t  ln exp   = ln 0 T  X exp 

−t

=∞ T t =∞

Sehingga pembuktian di atas menjadi :

 −t   T   *  −t  −1 x& (t ) = X exp   T  T*  *

(a). x (t ) = X exp 

h ( v (t ) ) = η v = η x& =

ηX T*

 −t   T   *

exp 

26

E ( x ) = ∫ ( x (t ) g (v (t ) + v (t ) h (v (t )) ) dt T

0

= ∫ ( v (t ) h(v (t )) ) dt = ∫ − x& (t ) h ( − x& (t )) dt T

T

0

0

 −t  η X  −t  exp   dt  T  T T  0T  * *  * * 2 T ηX 2  −2t   −2t  ηX T =∫ exp = exp dt dt ∫    2 2 T   T  0 T T* 0  *   *  * T

=∫

X

exp 

T

η X 2  T*

T

 −2t    −2t  ηX 2 = − exp = − exp      2   T   T  2 2 T* T  *  0  * 0 *  =−

2 ηX 

2 2   −2T  ηX ηX − exp 0 = − (0 − 1) = ( )  exp     2T*  2T* 2T*   T*  

Karena T* =

1 2

η

X

2

=

T*

1 2

η

η + λα

λσ

2

X

2

2

maka persamaan di atas ekuivalen dengan

=

η + λα 2

1

X

η

2

2

2

λσ

2

η + λα

2

=

1

η λσ 2

X

2

2

η + λα

λσ 2

 1 2 σ η + 2λα 2 .  = X λ η + λα 2  2  −t   −2t  2 2 x (t ) = X exp   maka x (t ) = X exp  T   T   *  *   −t   −2t  1 1 2 2 x& (t ) = − X exp   → x& (t ) = X exp   2 T   T* T*  *  T*  b. adb V ( x ) =

T

(

1



α

2

X σ T*  1 + 2 2  σ T 2  * 2

2

)

v ( x ) = ∫ σ x (t ) + v (t ) f (v (t )) dt 0

2

2

(

2

2

)

T 2 2 2 2 = ∫ σ x (t ) + v (t ) (α + β v ) dt ; β = 0 0

 2 2  −2t  2 2  + α x& dt  T   0  *    T  −2t  2 1 2  −2t   2 2 = ∫  σ X exp  +α exp X    dt 2 T  0 T* T*      *   T T  −2t   −2t  2 2 2 1 2 = ∫ σ X exp  dt + ∫ α X exp  dt  2 T   T  0 0 T  *   *  * T

= ∫  σ X exp 

2 2

27

T T  −2t    α 2 2  −2t    T* 2 2 = − σ X exp  − X exp  dt   T   2T  T    2  *   *   *

0  0   α 2 2   −2T    −2T  T 2 2 X  exp  = − * σ X  exp  − exp ( 0 )  − − exp ( 0 )       T      2   *   2T*   T*     −2T    T* 2 2 α 2 2   T* 2 2 α 2 2  σ =  exp  − exp 0 − X − X = (0 − 1) X   ( )   − σ X −    T    2 2 T 2 2 T    * *   *   2 T 2 2 α2 2 1 2 2  α = *σ X + X = X σ T* 1 + 2 2  σ T 2 2T* 2  *

Karena T* =

η + λα

λσ

  

2

maka persamaan di atas ekuivalen dengan

2

    2 2 2 1 2 2  α  1 2 2 η + λα  α  X σ T*  1 + 2 2  = X σ 1+ 2 2  σ T  2  2  2 λσ  *   σ 2 η + λα  2 λσ     2 2  1 2 2 η + λα  α = X σ 1 +  2  2 2 λσ  σ 2 η + λα  2   λσ   2 2  1 2 2 η + λα  α = X σ 1 +  2  2 2 λσ  η + λα    λ =

1 2

X σ 2

2 η + λα 

2

λσ

1 +

2



  η + λα  λα

2

2

 η + λα 2 + λα 2   2 2 λσ  η + λα  2 1 2 σ 2  η + 2λα  η + λα  = X 2  2 λ  η + λα 

=

1

=

1

=

X

2

σ

X

2

σ λ

2 1 2

X

2

2

σ λ

η + λα  2

η + λα

2

(η + 2λα )

η + λα

2

2

2

(η + 2λα ) 2

η + λα

2

Terbukti.

28

Lampiran 9 Pembuktian Persamaan (25)

η + λα

karena λ → ∞ dan T* =

λσ

2

sehingga didapat T* →

2

α σ

Bukti : Lim

η + λα λσ

λ →∞

2  η λα  + 2  λ →∞  λσ 2 λσ  

2

= Lim 

2

= Lim

λ →∞

= Lim

λ →∞

=

η ∞

η λσ

+ Lim

2

λ →∞

η λσ +

+ Lim

2

λ →∞

α

2

σ

2

= 0+

λα

2

λσ

2

α

2

σ

2

α σ

=

Maka fungsi nilai harapan menjadi E →

α σ 1 2

2 η X / T* dan V → ασ X

2

Bukti :

•

Dari fungsi nilai harapan yang telah kita dapat E =

T* →

•

α σ

maka E →

1

1 2

2 η X / T* dan karena

η X / T* 2 2

Dari fungsi varian yang didapat V ( x ) =

1



α

2



α

X σ T*  1 + 2 2  dan karena T* →  σ T  2 σ  *  2

2

maka

 1 2 2  α2  1 2 2 α  α2 1+ X σ T 1 + 2 2  → X σ  2 * σ T  σ 2 2 2 α  *   σ σ2 

  1  → X 2σα (1 + 1) → ασ X 2 2   

Terbukti.

Lampiran 10 Pembuktian Persamaan (26)

h (v ) = η v dan f (v ) = α + β v dengan α = 0 Maka persamaan ( 9 ) dengan

x& = −v ≤ 0 akan menjadi

P (v ) = η v + 3λβ v Bukti : Dari persamaan (9) 2

2 4

p (v ) = v h '(v ) + λ v ( f (v ) + 2vf (v ) f '(v )) 2

2

=v

2

d

=v

2

dv d dv

2

( h (v ) + λ vf (v ) ) 2

(η v + λ v (α + β v ) ) 2

29

=v

d

2

(η v + λβ v ) 2 3

dv

= v (η + 3λβ v ) 2

2 2

= η v + 3λβ v Sehingga Terbukti. bahwa nilai trayektori linearnya adalah: P (v ) = η v 2 + 3λβ 2 v 4 2

2 4

Lampiran 11 Pembuktian Persamaan (27) Pada kasus ini α = 0 sehingga akan dibuktikan

12 yλβ + η − η 2

−1

p ( w) =

2

6λβ

2

p (v ) = η v + 3λβ v 2

2 4

p ( w) = η w + 3λβ w ; w = v misal 2

y = η w + 3λβ w 2

y 3λβ

2

=

η 3λβ

2

2

w+ w

2

2

2

2

2  η  η = w + −  2 2 2 2 3λβ 6λβ  36λ β 

y

η

η   + = w+ 2  2 2 2  6λβ  3λβ 36λ β  y

y 3λβ

2

+

2

+

y 3λβ

2

η

36λ β 2

η

36λ β

2

36λβ

2

= w+

2

−

−

6λβ

12 yλβ + η − η 6λβ p

−1

−1

p ( w) =

2

2

η

  6λβ  2

=w

=w

2

2

=w

12 yλβ + η − η 2

=

6λβ

η

2

2

2

η

2 2

12 yλβ + η

 

2

2

2

6λβ

2

=w

12 yλβ + η − η 2

6λβ

2

2

Terbukti.

30

Lampiran 12 Hasil Penghitungan Ilustrasi •

Tabel waktu eksekusi saham untuk beberapa perubahan biaya likuiditas untuk peningkatan risiko perdagangan konstan η

•

•

T*

0.00004

0.101119

0.00034

0.291933

0.0027

0.821721

0.0453

3.365297

0.98

15.65248

Tabel waktu eksekusi saham untuk risiko volatilitas yang berbeda untuk peningkatan risiko perdagangan konstan σ

T*

1

2.323984

1.45

1.602747

2.34

0.993155

3.45

0.673618

4

0.580996

4.87

0.477204

5.08 0.457477 Tabel waktu eksekusi untuk risk averse yang berbeda untuk peningkatan risiko perdagangan konstan λ

•

T*

0.000001

46.6369

0.00001

14.74789

0.0001

4.663714

0.001

1.474864

0.01

0.46661

0.1

0.14824

Tabel nilai expected cost pada peningkatan risiko perdagangan konstan T*

λ

E(λ)

0.000001

46.6369

2949576.225

0.00001

14.74789

9327378.571

0.0001

4.663714

29495747.15

0.001

1.474864

93273308.08

0.01

0.46661

294942368.8

0.1

0.14824

932255828.7

31

•

Tabel nilai standar deviasi pada peningkatan risiko perdagangan konstan λ 0.000001

46.6369 2.94958E+12

1717433

0.00001

14.74789 9.32738E+11

965783.6

0.0001

4.663714 2.94958E+11

543100.4

0.001

1.474864 93275237877

305410

0.01

0.46661 29500339139

171756.6

0.14824

96653.23

0.1

•

•

•

V (λ )

V(λ)

T*

9341846338

Tabel waktu eksekusi saham untuk beberapa peningkatan biaya likuiditas pada peningkatan risiko perdagangan linear η T* 0.00005

0.111803

0.000078

0.139642

0.00067

0.409268

0.00089

0.471699

0.0043

1.036822

0.0052

1.140175

0.0076

1.378405

0.0097

1.557241

0.04

3.162278

0.065

4.031129

0.078

4.41588

0.098 4.949747 Tabel waktu eksekusi saham optimal untuk risiko volatilitas yang berbeda pada peningkatan risiko perdagangan linear T* σ 1

6.324555

2.3

2.749807

3.4

1.860163

4

1.581139

4.56

1.386964

5.7

1.109571

7 0.903508 Tabel waktu eksekusi optimal untuk risk averse yang berbeda pada peningkatan risiko perdagangan linear T* λ 0.000001

31.62278

0.00001

10

0.0001

3.162278

0.001

1

0.01

0.316228

0.1

0.1

32

•

Tabel banyaknya saham optimal yang diperdagangkan untuk risk averse yang berbeda pada peningkatan risiko perdagangan linear.

λ

X* 4948714 494871.4 49487.14 4948.714 494.8714 49.48714

0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1

Lampiran 13 Hasil Penghitungan Contoh Penerapan a.

Peningkatan risiko perdagangan konstan

Input : •

Harga saham awal ( S0 ) = $50

•

Banyaknya di pasar modal (volume) = 1.000.000 saham

• • •

Volatilitas tahunan (σ ) = $1 / saham day Saham awal yang dipegang ( X ) = 100.000 saham Rata-rata perdagangan di pasar modal (v) = 100.000 saham

•

τ =

•

href = $0, 50 / saham

•

α = 20% = 0.2

1 hari 6.5

Output : hasil perhitungan waktu eksekusi optimal (T * ) , expected cost ( E (λ ) ) dan standar deviasi dari biaya ( V ) serta banyaknya saham pada waktu t ( x ( t ) ) untuk kasus ini sesuai Tabel

dengan parameter risk-averse yang dimiliki investor saham

T*

1/ λ ($1000)

λ

(hari)

E (λ ) (dollar)

V (λ ) (dollar)

(dollar)

1

0.001

0.212132034

117,851.1302

2003469213

44,760.12973

10

0.0001

0.3

83,333.33333

2166666667

46,547.46681

V (λ )

100

0.00001

0.734846923

34,020.69087

3946400141

62,820.37998

1000

0.000001

2.244994432

11,135.88508

11314059241

106,367.5667

10000

0.0000001

7.073895674

3,534.12054

35397751332

188,142.9014

100000 0.00000001 7.09929574 1,117.98927 60001157396 Pada kasus ini α ≠ 0 dan β = 0 sehingga h (v ) = η v dan f (v ) = α

244,951.3368

href ( v ) = η vref
η =

href 0.5 -0,000005 = vref 100000

Misal diambil : 1 / λ = 1000 → λ = 0.001 Maka diperoleh:

33

T* =

η + λα λσ

E (λ ) =

1

V (λ ) =

1

2

=

2

X

2

2

2

(0.001)(1 )

λη σ 2

X

2

η + λα

2

2

0.000005 + (0.001)(0.2)

2

2

= 0.212132034

1 0.001(0.0000052 )(12 ) 2 = 117,851.13 (100000 ) 2 0.000005+(0.001(0.22 ))

=

σ η + 2λα

2

λ η + λα

2

2 1 2 1 (0.000005) + (2)(0.001)(0.2 ) (100000 ) = 2003469213 2 2 2 0.000005+(0.001)(0.2 )

=

V ( λ ) = 2003469213 = 44,760.12973

Tabel Banyaknya saham optimal yang diperdagangkan pada waktu t sembarang, misalkan diambil t= 0.2

1/ λ

T*

λ

($1000) 1

0.001

x(t)

0.212132

38953.21

10

0.0001

0.3

51341.71

100

0.00001

0.734847

76172.82

1000

0.000001

2.244994

91476.59

10000

0.0000001

7.073896

97212.3

100000 0.00000001

7.099296

97222.13

b. Peningkatan risiko perdagangan linear Karena α = 0 dan β ≠ 0

h (v ) = η v dan f (v )= β v Sehingga didapat fungsi harga untuk persamaan 10 menjadi : −1 −3/ 2 % s%k = sk −1 − η nkτ + β nkτ ξ Bukti

n  n  s%k = sk −1 − h  k  + τ 1/ 2 f  k  ξ%k τ  τ   n  1/ 2  n  = sk −1 − η  k  + τ β  k  ξ%k τ  τ  = sk −1 − η nkτ

−1

+ β nkτ

−3/ 2

ξ%k

Khusus untuk pemilihan interval perdagangan τ , standar deviasi dari biaya likuiditas dihubungkan dengan perubahan ketidakpastian biaya dalam perdagangan ( β ) adalah fraksi ρ , dan selama nilai keduanya sama terhadap rata-rata perdagangan maka diasumsikan:

34

β nkτ −3/ 2 = ρη nkτ −1 maka β =

ρη nkτ

−1

= ρτ η −3/2 nkτ Dan rumus untuk ukuran saham awal yang diperdagangkan adalah : X η −1/2 3β * T* = σ T* dengan T = 2 * T* λσ Maka X 1/ 2 η −1/2 = σ η * 3ρτ η 2 2

η λσ 2

λσ

3ρτ 1/ 2η X =σ η 2 * λσ

1/ 2

λσ

2

3ρτ 1/ 2η X =σ η 2 * λσ

X* =

1 1 3ρ λστ 1/2

Perhitungan Tabel 10 nilai β , X* dan T* untuk setiap risk-tolerance 1

λ ($1000)

1

10

100

1000

10000

v

η

(1/ λ)

β

T*

X *

20000

0.000025

4.9029E-06

0.158113883

2943.920289

40000

0.0000125

2.45145E-06

0.111803399

2943.920289

60000

8.33333E-06

1.6343E-06

0.091287093

2943.920289

80000

0.00000625

1.22573E-06

0.079056942

2943.920289

100000

0.000005

9.80581E-07

0.070710678

2943.920289

20000

0.000025

4.9029E-06

0.5

29439.20289

40000

0.0000125

2.45145E-06

0.353553391

29439.20289

60000

8.33333E-06

1.6343E-06

0.288675135

29439.20289

80000

0.00000625

1.22573E-06

0.25

29439.20289

100000

0.000005

9.80581E-07

0.223606798

29439.20289

20000

0.000025

4.9029E-06

1.58113883

294392.0289

40000

0.0000125

2.45145E-06

1.118033989

294392.0289

60000

8.33333E-06

1.6343E-06

0.912870929

294392.0289

80000

0.00000625

1.22573E-06

0.790569415

294392.0289

100000

0.000005

9.80581E-07

0.707106781

294392.0289

20000

0.000025

4.9029E-06

5

2943920.289

40000

0.0000125

2.45145E-06

3.535533906

2943920.289

60000

8.33333E-06

1.6343E-06

2.886751346

2943920.289

80000

0.00000625

1.22573E-06

2.5

2943920.289

100000

0.000005

9.80581E-07

2.236067977

2943920.289

20000

0.000025

4.9029E-06

15.8113883

29439202.89

40000

0.0000125

2.45145E-06

11.18033989

29439202.89

35

100000

60000

8.33333E-06

1.6343E-06

9.128709292

29439202.89

80000

0.00000625

1.22573E-06

7.90569415

29439202.89

100000

0.000005

9.80581E-07

7.071067812

29439202.89

20000

0.000025

4.9029E-06

50

294392028.9

40000

0.0000125

2.45145E-06

35.35533906

294392028.9

60000

8.33333E-06

1.6343E-06

28.86751346

294392028.9

80000

0.00000625

1.22573E-06

25

294392028.9

100000

0.000005

9.80581E-07

22.36067977

294392028.9

Misal diambil 1 / λ = $10.000.000 dengan rata-rata perdagangan 20.000 Karena perdagangan dibagi kedalam satu jam waktu interval dengan 6,5 periode perhari Sehingga τ = 1 / 6, 5 atau 2 / 3hari • •

β = ρτ η = 1/ 2

1

2

2 13

−6

(0.000005) = $10 hari

-3/2

/ saham

2

Banyaknya saham awal optimal yang diperdagangkan adalah 1 1 X* = 1/2 3ρ

λστ

=

1

3.

1

1

1

2 10000

.1.

2

=

1

0, 866025403 3, 922322703 x10

−5

13 = 29.439, 20289

•

1

Waktu eksekusi optimal

η 0.000005 T* = = = 0.2236 2 2 λσ (0.0001)(1 )

30.000saham

=

25, 495.09757 0, 866025403

36