Optika
Szabó Gábor egyetemi tanár, SZTE Optikai Tanszék
Fénysebesség mérése
A legrövidebb idő elve (Fermat elv)
part szárazföld (v1)
víz (v2)
? l
s1
s2
part szárazföld (v1)
v1>>v2
v1<
víz (v2)
v1=v2
part y
szárazföld (v1)
α
y’
víz (v2)
β l
s1
s2
x
1,85
1,8
1,75
1,7
Idő
1,65
1,6
1,55
1,5
1,45
1,4
1,35 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y'
0,6
0,7
0,8
0,9
1
part y
szárazföld (v1) d’
part y
víz (v2)
δd1
α
s1
d’’
d2 d2 ∆β
α
l
l
α
d1
víz (v2)
β
y’
∆
d1
β
∆
β
y’
szárazföld (v1)
δd2
∆α
s2
s1
s2
x
a
δd1 = ∆ sin α
x
b
δd 1
∆ sin α δt sz = = v1 v1
∆ sin β δt v = − v2
∆ sin α ∆ sin β = v1 v2
sin α v1 = sin β v 2
A legrövidebb idő elve és a hullámok
∆
v1
α
Λ1 α
v2
Λ2
β β
Λ1 ∆= sin α v1T v 2T = sin α sin β
c v= n
Λ2 ∆= sin β sin α v1 = sin β v 2
sin α n 2 = = n 21 sin β n 1
Teljes visszaverődés sin α sin β = n 21
sin α ≤1 n 21
α ≤ Θ h = arcsin n 21
Optikai szálak működése a. n=1 θb
nm
θo
D
θk ∆ L
b.
Optikai szálak Alkalmazások Optikai távközlés (10 Tbit/s sebesség) Endoszkópia
Fénysugár törése prizmában Tekintsük a minimális deviáció (szimmetrikus sugármenet) esetét. Számítsuk ki a deviáció szögét (ε)! Vegyük észre, hogy α-t és β-t, illetve γ-t és δ-t a fénytörés törvénye köti össze. Az ábráról azonnal látszik, hogy A=β+γ. (A-t a prizma törőszögének nevezzük.)
Fénysugár törése prizmában A deviáció szöge nyilván ε=(α-β)+(δ-γ). Vegyük észre, hogy a szimmetria miatt α=δ és β=γ. Ezzel ε=2(α-β). Az A=β+γ-ból, valamint β=γ-ból következik, hogy β=A/2. Ezekkel kifejezve α-t kapjuk: α=ε/2+A/2. Alkalmazzuk a fénytörés törvényét:
⎛ε A⎞ sin ⎜ + ⎟ ⎝2 2⎠ =n λ ⎛ A⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝2⎠ (Ahol a λ index arra utal, hogy a törésmutató általában függ a hullámhossztól.)
Fénysugár törése prizmában Mindebből következik, hogy a fény eltérülési szöge a prizmában függ a hullámhossztól.
Az eltérülési szög mérésére a goniométer szolgál.
Fénysugár törése prizmában
Ha ismerjük a hullámhosszat, meghatározhatjuk a prizma anyagának törésmutatóját. Ha az anyag ismert meghatározhatjuk a hullámhosszat ⇒ spektroszkópia.
Paraxiális közelítés 1° = 0,01745329 rad
5° = 0,087266 rad
sin (1°) = 0,017452406
ϕ − sin(ϕ) = 0,0051% ϕ
sin (5°) = 0,087155
ϕ − sin(ϕ) = 0,12% ϕ
Paraxiális közelítés A α C
h
α B
B’
x
2R
x h = 2R − x h
h 2 = (2R − x )x
2R>>h>>x
h2 x= 2R
n1
Θ1
S
A
α
Θ1−α r
s1
n2
Θ2
s2
O
P
n1
Θ1
S
A
α
Θ1−α r
s1
s1 + r r = sin(180 − θ1 ) sin α
n2
Θ2
s2
O
P
n1
Θ1
S
A
n2
Θ2
α
Θ1−α r
s1
s2 − r r = sin θ 2 sin( θ1 − θ 2 − α )
s2
O
P
Alkalmazzuk a paraxiális közelítés!
s1 + r r = θ1 α s2 − r r = θ2 θ1 − θ 2 − α θ1 =n θ2
(Snellius-Descartes)
A megoldás:
s2 − r r = α/ ( s 1 + r ) ⎛⎜ α/ − α/ ⎞⎟(s + r ) − α/ ⎜ r rn⎟ 1 nr ⎝ ⎠ Nem függ α-tól! Leképezésről beszélünk akkor, ha a rendszer rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy egy adott (tárgy)pontból kiinduló összes fénysugár ugyanabban a (kép)pontban metszi egymást.
( s 1 + r )r s2 = r + ( n − 1)( s 1 + r ) − r n
Lencsék tárgyalása a legrövidebb idő elve alapján
x’1
S
x’2
O1
O2 R2
R1
s1
s2
x1
x2
P
h
x’1
S
x’2
O2
O1 R2
R1
s1
s2
x1
x2
s1 x 1 + x 2 s 2 + T1 = + c c c n
P
h
x’1
S
x’2
O2
O1 R2
R1
s1
s2
x1
x2
s1 + x'1 + x' 2 + s 2 T2 = c
P
h
T1 = T2
s1 x1 + x 2 s 2 s1 + x1' + x 2' + s 2 + + = c c c c n
x'1 + x' 2 = n x1 + n x 2 2
h x1 = 2R 1
2
h x2 = 2R 2
h2 h2 x'1 = + 2s1 2R 1
h2 h2 x' 2 = + 2s 2 2R 2
⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ + = (n − 1)⎜⎜ + s1 s 2 ⎝ R1 R 2 ⎠
s1 → ∞ ⇒ s2 → f
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟⎟ = (n − 1)⎜ + f ⎝ R1 R2 ⎠
1 1 1 + = s1 s 2 f
⇒
1 1 1 + = t k f
Nevezetes sugármenetek Gyűjtőlencse
Szórólencse
Nevezetes sugármenetek
t T
.
f
.
f
K
k Írjuk fel hasonló háromszögekben a megfelelő oldalak arányát! Pl.: T K = t− f f
és
T K = f k− f
Nevezetes sugármenetek Osszuk el az első egyenletet a másodikkal! f k− f = t− f f
Szorozzunk át mindkét oldal nevezőjével! f 2 = − fk + f 2 + tk − ft
Átrendezve az egyenletet kapjuk: tk = fk + ft
tk-val és f-el osztva: 1 1 1 + = t k f
Ez éppen a lencseegyenlet.
Nevezetes sugármenetek Fejezzük ki az első kiinduló egyenletből a K/T hányadost, a másodikból f-et! K f = T t− f
f =
Tk K +T
Behelyettesítve f-et az egyenletbe: K Tk 1 Tk Tk = = = Tk T K +T t − t ( K + T ) − Tk tK + tT − tK K +T
Tehát a végeredmény: K k = T t
A K/T hányadost nagyításnak nevezzük.
Leképezés gömbtükörrel Bocsássunk a tükör középpontjától s1 távolságra eső pontból egy, az optikai tengellyel α szöget bezáró sugarat a gömbtükörre. Milyen s2 távolságban metszi a visszavert sugár az optikai tengelyt?
Leképezés gömbtükörrel Írjuk fel a pirossal jelölt háromszögben a szinusz-tételt!
s1 − R R = sin Θ sin α
Leképezés gömbtükörrel Írjuk fel még a kékkel jelölt háromszögben is a szinusz-tételt!
R − s2 R = sin[180° − (2Θ + α )] sin Θ
A kiegészítő szögek szinusza egyenlő: sin [180° − ( 2Θ + α )] = sin( 2Θ + α )
Leképezés gömbtükörrel Ezzel az egyenlet: R − s2 R = sin (2Θ + α ) sin Θ
Kihasználva a paraxiális közelítést elhagyhatjuk színuszokat: s1 − R R = Θ α
R − s1 R = 2Θ + α Θ
Fejezzük ki Θ-t mindkét egyenletből: Θ =α
s1 − R R
, Θ =α
s2 − R R − 2s 2
Leképezés gömbtükörrel Ebből adódik:
s1 − R s2 − R α/ = α/ R R − 2s 2 Szorozzunk át a nevezőkkel:
Rs1 − R/ 2 − 2s1 s 2 + 2/ Rs 2 = Rs 2 − R/ 2 Átrendezve adódik a végeredmény: 1 1 2 + = s1 s 2 R
Ez azonos egy R/2 fókusztávolságú gyűjtőlencse lencseegyenletével!
A nagyító (lupe) működése
D
f0
T
K L0
Mivel
t ≈ L0 , t >> f 0 ⇒ k ≈ f 0
⇒
K =T
f0 L0
A nagyító (lupe) működése
k’(=t’) K’(=T’) T K’’ η fl fl
Legyen t = ηf , ahol η < 1 de ≈ 1
A nagyító (lupe) működése ηf 1 1 1 + = ⇒ k ' = l (= t ' ) ηf l k ' f l η −1 k' K '= T ηf l
⇒
K '=
1 T 1 −η
f 0T f 0 (η − 1) T k '' = K ''= K '= ηf l η − 1 ηf l t'
f 0T L0 K '' N= = ηf l f 0 T K
mivel η ≈ 1
L0 N= fl
A mikroszkóp működése A mikroszkópban az objektívlencse egy nagyított, valódi képet alkot a tárgyról, amelyet az okulárral, mint lupéval tovább nagyítunk.
A mikroszkóp működési elve alapján nyilvánvaló, hogy az eredő nagyítás az objektív és az okulár nagyításának a szorzata: N=Nobj.Nok.
A távcső működése
α
Szögnagyítás: Nsz = β/α ⇒ Nsz = f1/f2
β
