Opravná zkouška 2SD 2012-2013 (celý rok) 1) Přímá železniční trať má stoupání 5 ‰ a délku 3,5 km. Vypočítej její celkové převýšení. 3b) x 3 x2 2) Na množině celých čísel řeš rovnici: 6 7 7 82 . max. 3b) 3) Vypočítej obsah vybarveného obrazce. max. 3b)
log 3 6 x 2 2 log 3 x 3 5) Sestroj řez daného tělesa rovinou MNP. 4) Řeš v R rovnici:
celkem 14 bodů
max. 3b) 2b)
Řešení: ad1) Má-li přímá železniční trať stoupání 5 ‰, znamená to, že na 1000 m (vodorovné vzdálenosti) vystoupá o 5 m. Díky tomu můžu jednoduše vypočítat úhel stoupání α.
tg
5 → 0,28648 1000
Mám-li úhel stoupání, není problém dopočítat převýšení trati h. Opětovně vyjdu z pravoúhlého trojúhelníka.
sin
h 3500
h 3500 h 3500 sin 0,28648 17,5 m
sin 0,28648
ad2) Jedná se o exponenciální rovnici, kterou lze velice snadno řešit pomocí substituce. Předtím však doporučuji rovnici upravit pomocí známého vzorce pro počítání s mocninami (učivo I. ročníku).
6 7 x 3 7 x 2 82 Provedu zmíněnou úpravu podle vzorce a r s a r a s . 6 7 x 7 3 7 x 7 2 82 Vyčíslím vše, co se vyčíslit dá. x x 2058 7 49 7 82 Nyní je čas na substituci: y = 7x. 2058y – 49y = 82 Toto je obyčejná lineární rovnice s neznámou x R . 2009y = 82 82 2 y 2009 49 Jelikož původní rovnice obsahuje neznámou x, je třeba se k této neznámé přes substituční podmínku zpětně dopracovat. 2 7x Škoda té dvojky vpravo v čitateli. Takhle nezbude nic jiného, než 49 rovnici logaritmovat, což ovšem není vůbec nic složitého. Pozn. Na tomto místě bych rád připomenul, že logaritmovat můžeme jenom kladná čísla. Pravá strana rovnice toto jistě splňuje, ale co ta levá? Může být výraz 7x menší nebo roven nule? Rozhodně ne. Zkus umocnit sedmičku nějakým číslem a dostat nulu nebo nedej bože záporné číslo! log 7 x log
2 49
Neznámou x „sundám z exponentu dolů“ pomocí III. věty o počítání s logaritmy.
x log 7 log
2 49
Dostal jsem opět jednoduchou lineární rovnici o neznámé x R . Stačí celou rovnici vydělit výrazem log 7 a je hotovo.
2 49 = log 2 log 49 x log 7 log 7 log
Pozn. Výhodnější bylo rovnici 7 x
2 logaritmovat logaritmem o základu 7. Proč? Tak 49
sleduj! 2 49 2 x log 7 7 log 7 Z definice logaritmu plyne: log 7 7 1 . 49 2 x log 7 = log 7 2 log 7 49 log 7 2 2 . 49 log 7 7 x log 7
Kterýkoli z modře vyznačených výsledků akceptuji. Sám si ověř, že se jedná o stále stejné číslo (cca –1,64). Taktéž vřele doporučuji vzít si kalkulačku a provést zkoušku.
ad3) Plochu vybarveného obrazce získám tak, že od obsahu šestiúhelníka S6 odečtu obsah malého kruhu SK. S K r 2 112 380,133 mm 2 Zmíněný šestiúhelník si rozdělím na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků. Z obrázku vyplývá, že strana každého z těchto trojúhelníků a = 19 mm. av S 9,5v 2 Trojúhelníky jsou rovnostranné, jejich výšku hravě určím pomocí Pythagorovy věty (nebo pomocí goniometrických funkcí – zkus sám). v 2 19 2 9,5 2 v 16, 454 mm
S 9,5v 156,318 mm 2 S 6 6 S 937,91 mm 2 Plocha vybarveného obrazce S = S6 – SK = 557,773 = cca 558 mm2.
ad4) Úplně jednoduchá logaritmická rovnice. Základy obou logaritmů jsou stejné, takže v tom nebudu hledat žádnou vědu a zbavím se zlomku vlevo vhodným vynásobením. Prozatím si nebudu dělat starosti s určováním podmínek. log 3 6 x 2 2 log 3 x 3 Dvojku vpravo „šoupnu nahoru“ (věta III.) log 3 6 x 2 log 3 x 3 2
6 x 2 x 3
2
Základy obou logaritmů se rovnají, tak pryč s těmi logaritmy! Dostal jsem triviální kvadratickou rovnici. Její řešení tu nebudu rozebírat, je to učivo I. ročníku. Kořeny rovnice jsou 11; 1.
Nyní je čas provést zkoušku. Tím obejdu nutnost určovaní podmínek u výrazů s logaritmy. Jak vím, nemohu logaritmovat nulu ani záporná čísla. Vezmu tedy postupně oba kořeny kvadratické rovnice a dosadím je do všech výrazů s logaritmy. 1) x = 11 log 3 6 11 2 2 log 3 11 3 log 3 64 2 log 3 8 Výrazy na obou stranách rovnice jsou definovány, kořen 11 jest OK. 1) x = 1 log 3 6 1 2 2 log 3 1 3 log 3 4 2 log 3 2 Výraz na pravé straně rovnice těžce „hapruje“, kořen 1 jest KO. Závěr: Rovnice má jediné řešení x = 11.
ad5) Body N a P můžu rovnou spojit (jelikož oba leží v rovině zadní stěny) a až to budu dělat, spojnici protáhnu až dolů, kde získám bod X ležící současně v zadní stěně i spodní podstavě. Ten spojím s bodem M a získám část řezu ve spodní podstavě.
Nově vzniklý bod ve spodní podstavě pojmenuji Y a spojím ho s bodem N, neboť oba leží v boční stěně hranolu. Dále bodem P vedu rovnoběžku s přímkou MX, neboť podstavy hranolu jsou rovnoběžné. Tak získám další dvě části řezu, obě viditelné.
Zbývá dořešit přední stěnu a pravou boční stěnu. Jedna z možností je vést bodem M rovnoběžku s přímkou NP (jelikož přední a zadní stěna hranolu jsou rovnoběžné). Jiná
možnost je využít důsledek 3. Volím první možnost a dokončím požadovaný řez. Tímto řezem bude šestiúhelník MYNPZW.
