2
Integral Tentu Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk , kita bagi selang selang bagian berlebar sama menjadi . Misalkan berupa titik ujung selang bagian ini dan pilih titik sampel di dalam selang bagian ini, sehingga terletak dalam selangbagian ke- , . Definisi integral tentu dari sampai adalah
(Stewart 2001) Turunan Parsial 1. Turunan parsial adalah
terhadap
didiferensialkan menjadi oleh hasil kali F '( x )
yang diberikan
f '( g ( x )) g '( x ).
Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Andaikan adalah fungsi dari dan yang terdiferensialkan, dengan x g ( t ) dan dua-duanya adalah fungsi dari yang terdiferensialkan. Maka adalah fungsi dari yang terdiferensiasikan dan
di
(Stewart 2001) 2. Turunan parsial adalah
terhadap
di
Turunan parsial dari fungsi dua variabel adalah berupa fungsi lain yaitu dan yang didefinisikan
Sistem Dinamik Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut:
dengan f (x) merupakan fungsi dari x. (Kreyszig 1993) Sistem Persamaan Diferensial Linear Suatu persamaan diferensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut:
Notasi untuk Turunan Parsial adalah misalkan , maka
(Stewart, 2001) Aturan Rantai Jika dan keduanya dapat f g adalah fungsi didiferensialkan, dan F komposisi yang didefinisikan oleh F ( x) f ( g ( x )) , maka dapat
Dengan fungsi terhadap . Jika maka persamaan di atas disebut persamaan diferensial linear homogen dan jika maka disebut persamaan diferensial linear takhomogen. (Farlow 1994) Metode Pengintegralan Persamaan Diferensial Orde Pertama Misalkan diberikan bentuk umum persamaan diferensial linear orde pertama (2.1) Dengan menggunakan metode faktor pengintegralan yang dinotasikan oleh dapat diperoleh
3
(2.2) untuk mencari , persamaan (2.2) diturunkan dan disederhanakan menjadi
diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional real pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional real pada tahun sebelumnya. (Mankiw 2003)
(2.3) Jika diasumsikan
, maka didapatkan (2.4)
lalu dengan mengintegralkan kedua ruas didapatkan (2.5) dengan dan adalah semua kumpulan anti derivatif . Selanjutnya, kalikan kedua ruas pada persamaan (2.1) dengan faktor pengintegralan, sehingga
Investasi Investasi adalah barang-barang yang dibeli oleh individu dan perusahaan untuk menambah persediaan modal mereka. (Mankiw 2003) Tenaga Kerja Tenaga kerja adalah kemampuan atau kemahiran yang dimiliki suatu produk untuk digunakan dalam proses produksi. (Sukirno 2004) Tabungan Tabungan adalah bagian dari pendapatan yang tidak dikeluarkan untuk konsumsi. (Mankiw 2003)
(2.6) Eliminasi persamaan (2.2) dengan persamaan (2.6), sehingga diperoleh (2.7) substitusikan faktor pengintegralan yang berasal dari persamaan (2.5) ke persamaan (2.7), akibatnya
Tabungan Nasional Tabungan nasional adalah pendapatan total dalam perekonomian yang tersisa setelah dipakai. (Mankiw 2000) Tingkat Diskon Tingkat diskon adalah tingkat bunga yang dibebankan oleh bank sentral ketika meminjamkan dana ke bank. (Mankiw 2003)
(2.8) Integralkan kedua ruas pada persamaan (2.8). Sehingga diperoleh
Konsumsi Konsumsi adalah kegiatan membeli barang-barang dan jasa-jasa yang dihasilkan oleh sektor perusahaan. (Sukirno 2004) Utilitas Utilitas adalah ukuran kegembiraan atau kepuasan.
dan didapatkan solusi umumnya yaitu
kebahagiaan, (Mankiw 2000)
(2.9) (Farlow 1994) 2.2 Istilah Ekonomi Pertumbuhan Ekonomi Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang
Enjoyment Enjoyment adalah dinikmati langsung.
kepuasan
yang
(Ramsey 1928) Disutilitas Disutilitas adalah kepuasan yang tidak dinikmati langsung. (Ramsey 1928)
4
Bliss Bliss adalah enjoyment maksimum. (Ramsey 1928) Modal Modal adalah peralatan, mesin, kendaraan, materi, dan keterampilan yang digunakan dalam produksi barang dan jasa. (Mankiw 2003) Akumulasi Modal Akumulasi modal (capital accumulation) akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan yang diterima saat ini ditabung dan diinvestasikan lagi dengan tujuan meningkatkan pendapatan di masa depan. (Todaro et al 2003) Fungsi Produksi Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu, dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain, memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif kombinasi input produksi. (Mankiw 2003) Produk Marjinal Misalkan didefinisikan fungsi produksi dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja. Produk marjinal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input-input lain dianggap konstan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut: Produk marjinal terhadap kapital PM Produk marjinal terhadap tenaga kerja PM (Nicholson 2002) Fungsi Utilitas Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut :
Dengan adalah kegunaan atau utilitas total, merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi. (Nicholson 2002)
2.3 Fungsi Konkaf Definisi 1 (Himpunan Konveks) Himpunan C R n dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C, maka ruas garis yang menghubungkan x dan y juga terletak di C. Dengan kata lain himpunan C R n dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C dan untuk setiap λ dengan juga 0 1 , maka vektor terletak di C. (Peressini et al. 1988) Definisi 2 (Fungsi Konkaf) Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks C di n
R , maka fungsi f dikatakan konkaf di C
jika untuk setiap x, y di C dan untuk setiap λ dengan 0 1. (Peressini et al. 1988) Teorema 1 Jika f fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka f fungsi konkaf pada I jika dan hanya jika , untuk setiap . (Peressini et al. 1988) 2.4 Kalkulus Variasi Kalkulus variasi merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman fungsional yang menyelidiki nilai maksimum atau minimum dari integral tertentu yang bergantung pada suatu fungsi. Fungsional dan Variasi Fungsional, dinotasikan sebagai , adalah suatu aturan yang mengkaitkan tiap fungsi dengan suatu bilangan tunggal . Terdapat analogi antara fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalnya , sedangkan argumen dari fungsional merupakan fungsi, misalnya . Apabila fungsi secara lengkap dapat ditentukan ketika peubahnya diberikan nilai-nilai tertentu, maka suatu fungsional secara lengkap ditentukan oleh pilihan fungsi tertentu dari sekumpulan fungsi yang admissible, yaitu fungsi yang membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state terminal pada waktu
5
terminal . Increment atau kenaikan dari argumen fungsi adalah , sementara increment dari argumen fungsional disebut variasi yang dinotasikan dengan . Bentuk fungsional yang sering digunakan dalam kalkulus variasi adalah:
J (x
(2.10) dengan . Masalah selanjutnya adalah memilih fungsi dalam sehingga memaksimumkan integral pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan (fixed) yaitu dan , agar fungsional optimum (maksimum/minimum). Untuk memperoleh fungsional yang optimum, diperlukan nilai yang memberikan nilai ekstrem pada fungsional . Fungsi yang memberikan nilai ekstrem diperoleh dengan konsep variasi (increment). Variasi dari fungsional pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan, diperoleh dengan menggunakan deret Taylor dua peubah sebagai berikut J (x
T
h)
T 0
+
T
f ( x , x , t ) d t
1
T
2
0
O h J (x) +
h , t ) d t
h , x
f (x
0
1
T
2
0
2
( h f xx
0
(hf x
2 h h f
xx
h f ) d t x f
xx
2 h ) d t
2
T 0
(hf x
( h 2 f xx
h f ) d t x 2 h h f
xx
f
xx
2 h ) d t
O h
2
J ( x)
J (x)
2
J (x)
J ( x)
2
J (x)
O h
J ( x)
O h
2
2
dengan J
J (x
h) T
J (x) 2
dengan , adalah fungsi skalar, dan adalah konstanta. Fungsi diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu terhadap semua argumennya. Misalkan adalah kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup dan adalah kelas dari semua fungsi dan yang terdefinisi pada selang mempunyai turunan pertama yang kontinu Tanpa mengurangi sifat keumuman, misalnya ditentukan, dan . Sehingga bentuk fungsional di atas dapat diubah menjadi
h)
J (x)
h (t )
0
O h
1
T
2
0
h f ) d t x 2 h h f
( h 2 f xx *
x (t )
xx
f
xx
2 h ) d t
x (t )
adalah orde yang lebih tinggi dengan
2 O h
(hf x
x (t ) 2
J (x)
0
untuk
h
0
.
Notasi disebut variasi pertama dan disebut variasi kedua.Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu untuk adanya ekstremum, sedangkan variasi kedua berperan sebagai syarat cukup. Definisi 3 (Nilai Maksimum dan Nilai Minimum) Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal atau relatif sepanjang apabila ( ), yaitu untuk semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan . Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) global sepanjang apabila ( ), yaitu untuk semua fungsi . (Tu 1993) 2.5 Persamaan Euler Persamaan Euler merupakan syarat perlu untuk menyelesaikan masalah optimum dalam kalkulus variasi. Misalkan menyatakan kelas semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang dan menyatakan kelas semua fungsi yang didefinisikan di selang dan memiliki turunan ke- yang kontinu. Misal, masalah variasi diberikan (2.11) dengan titik ujung dan adalah tetap, , , dan dengan adalah fungsi skalar. Permasalahannya adalah memilih fungsi diantara fungsi-fungsi admissible, yaitu semua fungsi yang memiliki titik awal di dan titik akhir di yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional .
6
Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah J ( x ) 0 . Misalkan,
(2.17) (2.12) dengan fungsi yang memenuhi Lema 1 Misal fungsi dan tetap. Jika
dan
sebarang .
dan himpunan semua kontinu dan dapat diturunkan di dengan adalah
(2.13) untuk semua semua
, maka
Bukti : (lihat Lampiran 3) Ini berarti bahwa , dengan
(2.18)
konstanta. (Tu 1993)
2.7 Syarat Batas dalam Kalkulus Variasi Misalkan, diberikan masalah menentukan ekstremum untuk fungsional objektif
untuk
.
Bukti : (lihat Lampiran 1) (Tu 1993)
dengan dan sedangkan dan pertamanya adalah
adalah tetap, adalah bebas. Variasi
Lema 1 ini berperan dalam pembuktian persamaan Euler Teorema 2 Misalkan didefinisikan pada dan memenuhi syarat batas , . Maka syarat perlu bagi untuk memiliki ekstremum adalah fungsi memenuhi persamaan Euler: ,
(2.19) Karena variasi pada titik ujung tidak mempengaruhi variasi dalam selang terbuka , maka syarat perlu untuk adalah dipenuhinya persamaan Euler, yaitu .
(2.14) Akibatnya,
Bukti : (lihat Lampiran 2)
persamaan
(Tu 1993) diketahui menghasilkan Syarat Batas:
2.6 Kasus Khusus Persamaan Euler Fungsi tidak memuat secara eksplisit (autonomous) Fungsional objektif diberikan dalam bentuk (2.15) Persamaan Euler memberikan
(2.19) menjadi . Dengan , kemudian
. (2.20) Syarat batas ini akan menentukan nilai dan . Secara umum, syarat batas (2.20) menjadi
(2.21) (2.16)
Kalikan persamaan (2.16) dengan , sehingga memberikan
Untuk kasus , , tetap dan bebas, maka , tetapi dan . Persamaan (2.20) memberikan (2.22) (Tu 1993)
