Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: a) : Laplaceovo (oboustranné exponenciální) rozdělení se vyskytuje v případech, kdy jsou náhodné veličiny měřeny za podmínek kolísání rozptylu kolem určité střední hodnoty. Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny x ležící v intervalu (- 4, 4) s Laplaceovým rozdělením má tvar * Θ* Φ
( ) 0.5 Φ1 exp
2 Laplaceova rozdělení je = Θ, , 0a 1 2 = 6. Ve srovnání s normálním rozdělením je Laplaceovo rozdělení špičatější a má delší konce. Tak 1%ní kvantil Laplaceova rozdělení je roven - 2.72 D( ) , zatímco odpovídající kvantil normálního rozdělení je - 2.33 ( ). Laplaceovo rozdělení připouští výskyt výrazněji odchýlených hodnot a využívá se jako "robustní" alternativa normálního rozdělení. Po dosazení a zlogaritmování vyjde logaritmus věrohodnostní funkce ve tvaru
ln Při známé hodnotě parametru
ln (2 Φ) Φ1
n i1
*
i
Θ*
ˆ parametru Θ získat minimalizací výrazu lze maximálně věrohodný odhad Θ
n i
i1
je výběrový medián θ˜ ˜0.5 . Odhad parametru ˆ Φ
se vyjádří vztahem
ˆ (Φ)
Φ2
1
n
*
i1
i
se počítá dle rovnice
Θ*
.
lze konstruovat tak, že je-li známa
střední hodnota Θ, lze určit 100(1 - α)%ní interval spolehlivosti pro Φ podle vztahu ˆ 2 Φ 2
χ1α/2(2 )
# Φ #
ˆ 2 Φ 2
χα/2(2 )
b) rovnoměrné (rektangulární) rozdělení je nejjednodušším typem rozdělení pro oboustranně omezenou náhodnou veličinu, která musí ležet v zadaném intervalu . Týká se náhodných veličin, které se v daném intervalu vyskytují se stejnou pravděpodobností. Pokud je = 0 a = 0.5˙10-k, popisuje rovnoměrné rozdělení chyby, vzniklé zaokrouhlením na desetinných míst. Hustota pravděpodobnosti rovnoměrného rozdělení má tvar ( )
1 2
rovnoměrného rozdělení je Logaritmus věrohodnostní funkce má tvar ln
#
,
#
2 1
ln (2 )
=0a
2
= 1.8.
# min( 1 pro že min( 1 n) =
) # max( (1) a max( 1 n
1
)#
. Tento vztah nabývá maxima při minimální velikosti . Je zřejmé, ˆ je roven n ) = (n) . Maximálně věrohodný n
ˆ 0.5 ( a maximálně věrohodný
(n)
(1))
(1))
je roven ˆ 0.5 (
(n)
Odhad ˆ je totožný s polosumou ˜ P. Odhad ˆ je vychýlený. faktorem Pro rozptyly těchto odhadů platí vztahy
a
ˆ0 se získá násobením odhadu ˆ
( ˆ)
2 2 ( 1) ( 2)
( ˆ)
2 2 ( 1) ( 2)
Pro 100(1 - α)%ní interval spolehlivosti libovolného parametru Θ lze užít asymptotický vztah ˆ Θ
ˆ # Θ # Θ ˆ (Θ)
1α/2
ˆ (Θ)
1α/2
: exponenciální rozdělení je jednostranně ohraničené zdola. Využívá se ho k popisu řady reálných dějů. Exponenciální rozdělení má uplynulý čas, resp. obsazený prostor před tím, než nastal náhodný jev. Je typické pro životnost součástí strojů, vzdálenost, kterou urazí molekuly plynu při nízkém tlaku až do vzájemné srážky, doby mezi dopadem částic do čítače a doby bezporuchové činnosti. Exponenciální rozdělení bývá spjato s Poissonovým rozdělením náhodných jevů. Popisuje statistické chování kladné náhodné veličiny pro $ 0. Jeho hustota pravděpodobnosti je definována vztahem ( ) Θ1 exp
a
2 = 9.
Θ
jednoparametrového exponenciálního rozdělení je je roven ˜0.5 = Θ ln 2. Logaritmus věrohodnostní funkce má tvar ln
ln Θ
2 1
=2
n i i1
Θ n
Po
dosazení
rozptyl
se
ˆ (Θ)
určí Θ2
maximálně
věrohodný
odhad
Θ
i1
i
a
vyčíslí
se
odpovídající
ˆ /Θ . Při konstrukci intervalů spolehlivosti se využívá skutečnosti, že náhodná veličina 2 Θ
má rozdělení χ2(2 ). Pro
pak platí ˆ 2 Θ 2 χ1α/2(2
)
# Θ #
ˆ 2 Θ 2 χα/2(2
)
.
popisuje statistické chování náhodné veličiny, která může nabývat d) hodnot $ µ, tj. je zdola ohraničená. Hustota pravděpodobnosti má tvar ( ) Θ1 exp ( µ) / Θ . je . Vztahy pro rozptyl, šikmost a špičatost jsou stejné jako u jednoparametrového exponenciálního rozdělení. µˆ je µˆ (1) min( 1, ..., n) . ˆ parametru Θ lze napsat Pro maximálně věrohodný odhad Θ ˆ Θ µˆ má střední hodnotu
(µ) ˆ µ
n
1
(
i
i1
Θ
µ) ˆ . ¯
(1)
(µ) ˆ Θ2 /
a
ˆ Θ 1 1 ˆ má střední hodnotu (Θ) Θ
2
.
a
ˆ Θ2 (Θ)
1
1
2
2
.
3
ˆ a µˆ jsou vychýlené. Pro Maximálně věrohodné odhady Θ (1)
µˆ 0
¯
(¯
ˆ Θ 0
(1))
1
Θ2 , ( 1)
(µˆ 0)
,
1
ˆ 0 a µˆ 0 lze odvodit vztahy Θ
Θ2 1
ˆ ) (Θ 0
,
Odhady µˆ 0, Θ0 jsou však korelované s korelačním koeficientem rovným (-1/ Pro platí ˆ 2 ( 1) Θ 0
# Θ #
2
χ1α/2(2 2)
).
ˆ 2 ( 1) Θ 0 2
χα/2(2 2)
ˆ 0 -rozdělení se 2 a (2 - 2) stupni volnosti, je spodní mez µ1 pro 100(1 - α)%ní interval /Θ Protože má podíl (1) spolehlivosti parametru µ vyjádřitelná vztahem µ1
(1)
ˆ Θ 0
1α(2,
2)
2
Horní mez je s pravděpodobností blízkou jedné nejmenší prvek výběru stačí dosadit do vztahu P(2,
2
2) ( 1) [(1
)
(1)
. Pro určení kvantilů rozdělení (2, 2 - 2)
1 n1
1]
e) é: logaritmicko-normální roz-dělení je nejrozšířenější alternativou rozdělení normálního pro jednostranně ohraničená data. Fyzikální veličiny (teplota, tlak, objem, hmotnost, koncentrace, atd.) jsou buď kladné, nebo mají přirozeně definovaný počátek (např. absolutní nula u teploty). Pokud jsou však naměřené hodnoty v blízkosti počátku, je lépe použít např. lognormální rozdělení. Toto rozdělení se používá všude tam, kde se měří nízké koncentrace, malé hmotnosti, malé délky, atd. Typickým příkladem je v analytické chemii stopová analýza. Rovněž souhrnná chyba, která je součinem dílčích malých chyb, má lognormální rozdělení. Náhodná veličina s dvouparametrovým lognormálním rozdělením souvisí s náhodnou veličinou s normovaným normálním rozdělením vztahem
ln ( µ ) σ
kde µ, σ jsou parametry. Log.-normální rozdělení má náhodná veličina, která může nabývat pouze kladných hodnot, tj. leží v intervalu 0 # < 4. S využitím vztahů pro hustotu pravděpodobnosti transformované náhodné veličiny lze odvodit hustotu pravděpodobnosti lognormálního rozdělení ve tvaru
( )
1
( ln ( Θ) µ)2
exp
( Θ) σ 2 π
2σ
.
2
Náhodná veličina má dvouparametrové lognormální rozdělení, pokud má náhodná veličina ln normální rozdělení N(µ, σ2). a
a
náhodné veličiny
( ) exp(µ 0.5 σ2)
se vyčíslí podle vztahů
( ) exp(2 µ) ω (ω 1) , kde ω = exp(σ2).
a
1
2
tohoto rozdělení závisí pouze na veličině
ω podle rovnic 1
ω 1 (ω 2) a
ω4 2 ω3 3 ω2 3 .
2
δ je pro lognormální rozdělení funkcí pouze parametru ω a platí δ
Také a
2
lze vyjádřit vztahy ˆM exp(µ σ ) a se určí vztahem
ω 1.
ˆM
exp (µ) . Maximálně věrohodný
1
µˆ
n
ln i1
i
σ2 se vypočte vztahem
a maximálně věrohodný σˆ 2
n
1
( ln i1
2 σˆ 0
který je však vychýlený. 2 σˆ 0 ( / ( 1)) σˆ 2 .
i
µ) ˆ 2
se vyčíslí analogicky jako u normálního rozdělení
V řadě případů je analýza v logaritmické transformaci nevyhovující. Je třeba stanovit odhady parametrů polohy a rozptýlení spolu s jejich intervaly spolehlivosti pro původní data. Jednoduše lze konstruovat intervaly spolehlivosti pro medián, který je exponenciální transformací parametru µ. Pro platí exp µˆ
1α/2(
1)
σˆ
#
# exp µˆ
1α/2(
1)
σˆ
Podobně lze sestrojit i intervaly spolehlivosti pro variační koeficient, šikmost a špičatost, které jsou funkcí pouze platí parametru σ2. Pro exp
( 1)σˆ 2 2 χ1α/2(
1)
1 # δ #
Pokud je třeba odhadnout střední hodnotu původních dat
exp
( 1)σˆ 2 2 χα/2(
1)
a odpovídající rozptyl
ˆ exp(µ) ˆ (0.5 σ2)
ˆ exp(2 µ) ˆ
(2 σ2)
1
( 2) σˆ 2 1
. užije se vztahů
V obou vztazích je funkce
vyjádřena nekonečnou řadou
() 1
1
" j2
( 1)2 j 1 j
( 1) ( 3) ... ( 2 1)
j
!
.
: toto rozdělení má náhodná veličina, která může nabývat f) hodnot vyšších než spodní mez Θ, t. zn. leží v intervalu Θ # < 4. Náhodná veličina má tříparametrové lognormální rozdělení, pokud má náhodná veličina ln( - Θ) normální rozdělení N(µ, σ2). Pro parametry polohy tříparametrového lognormálního rozdělení platí, že jsou o Θ vyšší než odpovídající parametry dvouparametrového lognormálního rozdělení. Parametry rozptýlení, šikmost a špičatost jsou shodné.
