Oceňování CDO a řízení korelačního rizika

4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí

Ostrava 11.-12. září 2008

Oceňování CDO a řízení korelačního rizika Jiří Málek1

Abstrakt Příspěvek se zabývá oceňováním CDO a delta hedžingem v závislosti na vzájemné korelaci titulů. Vychází se ze standardního modelu korelovaných aktiv a výpočty jsou prováděny v Matlabu pomocí metody Monte-Carlo. Jsou uvedeny grafy udávající závislost ceny jednotlivých tranší a delt v závislosti na korelaci> Klíčová slova: CDO, oceňování, tranše, korelace, delta, Monte-Carlo

1 Úvod CDO (Collateralized Debt Obligation) jsou poměrné nové produkty, které získaly velkou popularitu na trzích s kreditním rizikem. Kolaterál pro CDO (půjčky, bondy) je sdružen v SPV (Special Purpose Vehicle) Tato podkladová aktiva bývají samostatně málo likvidní, ale měly by mít jako celek relativně stabilní a predikovatelný cash flow. SPV potom vydává několik úrovní dluhových úpisů (poukázek) jako např. seniorské, střední (mezzanine), subordinované (juniorské, equity) tranše. Platby investorům pak probíhají podle úrovně tranše. Seniorská tranše je vyplácena první a je tedy nejvíce odolná vůči defaultu, následuje střední atd. Rizikovost jednotlivých tranší se projevuje v očekávané výnosnosti. Nejméně riziková seniorská tranše je prodávána za nejvyšší cenu a nese nejmenší výnos. Nejvíce riziková equity tranše je prodávána za cenu nejnižší a je (v očekávání) nejvýše výnosná2. Jako první však nese náklady případných defaultů jednotlivých podkladových instrumentů Ceny tranší závisí na mnoha faktorech: pravděpodobnosti defaultu jednotlivých titulů v kolaterálu, úrokové míře, korelaci titulů, času maturity emitovaných poukázek. V tomto příspěvku se soustředíme na oceňování jednotlivých tranší se speciálním přihlédnutím ke vzájemné korelaci. Budeme uvažovat pouze jednu periodu, tzn. že investor si na počátku poukázku koupí a na konci obdrží (pokud nenastane default) její jmenovitou hodnotu. V případě defaultů obdrží jmenovitou hodnotu poukázky sníženou o příslušnou ztrátu. I když by v našem zjednodušeném případě bylo možné získat analytické vyjádření, budeme používat metodu Monte-Carlo, neboť v případě více period by už analytické vyjádření bylo nemožné.

2 Model určení hodnot aktiv Hodnota aktiv je řízena společným faktorem Y a idiosynkratickým faktorem ei Vn (T )= 1

r Y + (1- r ) ei ,

(1)

Doc. Jiří Málek, Ph.D. katedra bankovnictví a pojišťovnictví, VŠE, nám. W. Churchila 4, Praha 3, [email protected] 2 Ve skutečnosti bývají poukázky všech tranší prodávány za stejnou cenu , ale liší se ve vypláceném kupónu. Seniorská tranše má kupón nejnižší, equity tranše nejvyšší.



kde Y , ei a jsou nezávislé normálně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 0 a rozptylem 1 . Důsledkem je, že hodnoty aktiv dvou různých firem mají korelaci r a podmíněná korelace při realizaci společného faktoru Y je 0. Systematický faktor Y lze chápat jako indikátor obchodního cyklu a idiosynkratický faktor ei jako specifikum firmy odrážející management nebo inovaci. Default je následně určen poklesem aktiv pod hranici K3. Práh defaultu je hlavně určen firemními rezervami a bilancí (poměr aktiv a závazků)

Relativní vztah systematického a specifického rizika je dán korelačním koeficientem r . Pravděpodobnost defaultu při dané bariéře K a za podmínky Y=y je (viz. Schonbucher) p (y )= P éëVi (Y )< K Y = y ůű = P éę r Y + (1- r )ei < K Y = y ůú ë ű é ů K - rY = P ęęei < Y = y úú 1- r ęë úű éK - r y ů ú = F ęę ú 1 r ëę űú

Podmíněná pravděpodobnost k defaultů se pak řídí binomickým rozdělením při pravděpodobnosti p ( y ) N −k N! k P ⎡⎣ X = k Y = y ⎤⎦ = p ( y ) (1 − p ( y ) ) ( N − k )! k ! Nepodmíněná pravděpodobnost je pak k N- k Ą ć ö÷ ć éK - r y ůö÷ N! çç ęéK - r y ůú÷ çç ę ú÷ P [X = k ]= ň çF ę ç1- F ę ú÷ ú÷ ÷ ÷ f (y )dy N k k ! ! ÷ ( ) ç ç r r 1 1 č ëę - Ą űúř č ëę űúř÷ resp. k N- k ć öć k Ą éK - r y ůö÷ N! çç ęéK - r y úů÷ ç ę ú ÷ ç1- F ÷ f (y )dy P [X Ł k ]= ĺ ň çF ę ú÷ ę 1- r ú÷ ÷ç ÷ n= 0 - Ą (N - k )! k ! ç č ëę 1- r űúř÷ čç ęë úűř÷

F , f je distribuční funkce, resp hustota standardizovaného normálního rozdělení

3 Příklad Předpokládáme homogenní portfolio (pool) složené ze 100 titulů (půjčky, korporativní bondy), každý titul je o velikosti 1mil. Míru návratnosti (recovery rate) předpokládáme 0, nulová bude rovněž (bezriziková) úroková míra. Emitují se poukázky ve třech tranších . Pokud nenastane default, obdrží investor nominální hodnotu poukázky Uvažujeme pouze tři tranše: seniorská, mezzanine, equity. 0-3 equity (EQ) 3

Budeme předpokládat, že hranice defaultu je stejná pro všechny tituly.



4-6 mezzanine (MEZ) 6-100 senior (SEN) Equity tranše snese maximálně 3 defaulty, než je vymazána, mezzanine tranše do tří defaultů zůstává nedotčena a je vymazána, nastane-li 6 a více defaultů. Seniorská tranše zůstává nepoškozena do šesti defaultů a je vymazávána při 100 defaultech. Jmenovité hodnoty tranší jsou postupně snižovány podle počtu defaultů. Pokud nastanou např. 2 defaulty hodnota equity tranše je snížena o dvě třetiny(mezzaninová a seniorská tranše zůstanou nedotčeny), pokud nastanou 4 defaulty je equity tranše vymazána, hodnota mezzanine tranše je snížena o jednu třetinu a seniorská tranše zůstane nedotčena. Tranše jsou emitovány postupně v nominálních hodnotách 3,3, 94mil. Následné poukázky jsou emitovány v hodnotě 1mil. 3.1

Algoritmus a výpočet • Generování

hodnoty firmy

Vn (T ), n = 1K N podle (1). V našem příkladě se

provádělo 10 000 simulací • Pokud Vn (T )< K nastává default Definujeme náhodnou veličinu X n = 1 jestliže Vn (T ) < K

X n = 0 jestliže Vn (T ) ≥ K N

Počet defaultů je

∑ Xn

(korelované binomické rozdělení). Vztah korelace r a korelace

n =1

X n , n = 1,K , N ( je stejná pro všechny dvojice) je navzájem jednoznačný i když není totožný (viz Obr.1) •

Určení pravděpodobnosti k defaultů,

éN P ęĺ X n = ęën= 1

ů k ú, k = 0,1,K , N úű Tyto pravděpodobnosti jsou určeny pomocí poměrné četnosti 3.2

Určení hodnot tranší

Hodnoty (ceny) tranší jsou určeny

na základě očekávané hodnoty. Označme P ( j )

pravděpodobnost, že nastane j defaultů. SEN = 94´

ĺ

6

P ( j )+

j= 0

100

ĺ

P ( j )´ (100 - j ).

j= 7

První člen na pravé straně udává hodnotu tranše v případě, že počet defaultů je maximálně 6 (tranše zůstává nedotčena), druhý člen je pak součtem pravděpodobností defaultů více než 6 vynásobenou hodnotou tranše sníženou o počet defaultů.4 Podobně pro ostatní tranše: MEZ = 3´

ĺ

3

P ( j )+

j= 0

EQ =

ĺ

3

(3 - j )P ( j )

j= 0

4

100-j=94-(j-6)

ĺ

6

j= 4

P ( j )´ (6 - j )



1.2

1

korelace defaultů

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 korelace aktiv

0.6

0.7

0.8

0.9

Obr.1:Vztah korelace aktiv a korelace defaultů (tečkovaná křivka).

1 senior tranche

mezanine tranche

0.95

price of tranche

0.9

equity tranche

0.85

0.8

PD=0.0064 0.75

0.7

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 correalation

0.6

0.7

0.8

Obr.2: Ceny tranší v závislosti na korelaci aktiv

0.9

1

1



3.3 Delta hedžing Obrázky 3-6 se vyjadřují hedžování jednotlivých tranší pomocí jiných tranší. Tyto situace se týkají např. obchodníků s indexovými tranšemi (indexy iTraxx, iBoxx, apod.) Delta v v těchto případech zajišťuje obchodníka proti korelačnímu riziku a je definováno na základě následujícího vztahu: Změna ceny tranše i (při malé změně korelace)+Delta*Změna ceny tranše j (při malé změně korelace)= 0

Jinak, řečeno, chce-li si obchodník zajistit např. mezzaninovou tranši pomocí equity tranše proti změně korelace, pak delta udává jak velkou pozici v equity tranši zaujmout.5 Tento delta hedžing nicméně chrání obchodníka pouze proti korelačnímu riziku, další rizika (např. zvýšení pravděpodobnosti defaultu, změna úrokových měr) si musí zajistit jinak. Jelikož delta je v podstatě derivace, pro snadnější výpočet prokládáme cenovou funkci vhodným polynomem (viz obr. 3) a příslušné delta počítáme z derivace tohoto polynomu.

1.01 data 1 4th degree 1.008

1.006

1.004

Cena MEZ tranše

1.002

1

0.998

0.996

0.994

0.992

0.99

0

20

40

60 korelace

80

Obr. 3: Proložení cenové funkce polynomem čtvrtého řádu.

5

Záporné delta udává krátkou pozici, tedy vypisovatele tranše.

100

120



1.4 Delta SEN/EQ

1.2

1

Delta

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

10

20

30

40

50 Corr

60

70

80

90

100

90

100

Obr. 4: Delta seniorské tranše v závislosti na equity tranši

1

Delta MEZ/SEN 0

-1

Delta

-2

-3

-4

-5

-6 0

10

20

30

40

50 Corr

60

70

80

Obr.5: Delta mezzaninové tranše v závislosti na seniorské tranši



0.6

Delta MEZ/EQ

0.4

0.2

delta

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

0

10

20

30

40

50 corr

60

70

80

90

100

Obr.6: Delta mezzaninové tranše v závislosti na equity tranši

4 Závěry Při rostoucí korelaci cena seniorské tranše klesá a equity tranše roste. Cena mezzaninové tranše zpočátku klesá a následně roste. Při korelaci 1 jsou ceny všech tranší stejné (viz Obr.2). Tyto efekty jsou pozorovány i v realitě Delta hedžing je dynamickou záležitostí. Dealer musí pravidelně přizpůsobovat svoji pozici. Pokud hedžuje pomocí mezzaninové tranše, musí si dát pozor na situaci , kdy je tato tranše v blízkosti cenového minima. Potom je hedžing neúčinný. I když uvedený algoritmus lze snadno zobecnit na více period, jeden předpoklad může vyvolávat námitky: všechny tituly mají stejnou vzájemnou korelaci. Tento přístup se nicméně v praxi používá. Uvedenou korelaci lze chápat jako průměrnou korelaci a vychází z tzv. „diversity score“, který zavedla ratingová agentura Moody‘s. Není totiž možné určit přesně vzájemnou korelaci defaultů jednotlivých titulů, neboť default je poměrně vzácná událost. Jediné možné zobecnění, které se nabízí, je určit korelaci určité skupiny titulů s podobnými charakteristikami (stejný rating, stejné odvětví).

Literatura [1]

Bruyere, R a kol.: Credit Derivatives and Structured Credit (A Guide for Investors), John Wiley and Sons, 2006

[2]

[2] Málek, J.: Risk Management ,skripta VŠE, 2004

[3]

Schonbucher, P. J.:Credit Derivatives Pricing Model (Models, Pricing and Implementation. John Wiley and Sons, 2003

Oceňování CDO a řízení korelačního rizika

Recommend Documents