Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
2
5
Komplexn´ı ob´ alka
Zad´ an´ı 1. Mˇejme d´an p´asmov´y sign´al s(t) = [1 + 0.5cos (2π5t)] cos (2π100t) (a) Zobrazte tento sign´al a odhad jeho modulov´eho spektra. (b) Naleznˇete jeho komplexn´ı ob´alku , zobrazte ji (re´alnou, imagin´arn´ı ˇc´ast a ob´alku) a zakreslete jej´ı spektrum, pokud plat´ı fc =200 Hz. Na vˇsech v´ystupech spr´avnˇe ocejchujte kmitoˇctovou a ˇcasovou osu. 2. Ovˇeˇrte moˇznost zpˇetn´eho z´ısk´an´ı p´asmov´eho sign´alu z jeho komplexn´ı ob´alky pomoc´ı kvadraturn´ıho modul´atoru. Porovnejte takto z´ıskan´y sign´al s p˚ uvodn´ım sign´alem.
Teoretick´ yu ´ vod Modulovan´e sign´aly jsou vˇetˇsinou tzv. p´asmov´e (´ uzkop´asmov´e). Jejich ˇs´ıˇrka p´asma je obvykle velmi mal´a vzhledem k pouˇzit´emu kmitoˇctu nosn´e. Z d˚ uvodu snadnˇejˇs´ı simulace (sn´ıˇzen´ı potˇrebn´eho vzorkovac´ıho kmitoˇctu) komunikaˇcn´ıch syst´em˚ u je vhodn´e umˇet vysokofrekvenˇcn´ı sign´al vyj´adˇrit pomoc´ı jeho ekvivalentu v z´akladn´ım p´asmu (kolem nulov´eho kmitoˇctu) - komplexn´ı ob´alky. Jednou z moˇznost´ı jak z p´asmov´eho sign´alu s(t) z´ıskat jeho komplexn´ı ob´alku je vyuˇzit´ı Hilbertovy transformace a tzv. analytick´eho sign´alu. Tzv. analytick´y sign´al sa (t) je sign´al vytvoˇren´y z p˚ uvodn´ıho sign´alu s(t) a jeho Hilbertovy transformace sh (t) dle vztahu: sa (t) = s(t) + jsh (t).
(2.1)
y sign´al sa (t) posuneme na kmitoˇctov´e Komplexn´ı ob´alku so (t) pak z´ısk´ame, jestliˇze analytick´ ose o fc : so (t) = sa (t)e−j2πfc t .
(2.2)
Vztah mezi p´asmov´ym sign´alem, analytick´ym sign´alem a komplexn´ı ob´alkou v kmitoˇctov´e oblasti je zn´azornˇen na obr. 2.1. Komplexn´ı ob´alku m˚ uˇzeme rozepsat na jej´ı re´alnou a imagin´arn´ı ˇc´ast so (t) = si (t) + jsq (t). Z komplexn´ı ob´alky je moˇzn´e z´ıskat zpˇet p˚ uvodn´ı p´asmov´y sign´al jako re´alnou ˇc´ast j2πfc t komplexn´ı ob´alky n´asoben´e e : s(t) = { (s(t) + jsH (t)) e−j2πfc t ej2πfc t }. (2.3) Po dosazen´ı so (t) = si (t) + jsq (t) a u ´ pravˇe obdrˇz´ıme: s(t) = si (t) cos(2πfc t) − sq (t) sin(2πfc t).
(2.4)
Tato rovnice n´am poskytuje n´avod jak z´ıskat p´asmov´y sign´al z jeho komplexn´ı ob´alky. Je moˇzn´e ji graficky vyj´adˇrit ve formˇe uveden´e na obr´azku 2.2.
Teorie r´adiov´e komunikace - simulace v SW Matlab
6
S(f )
−fc − B −fc + B −fc
Sa (f )
So (f )
fc − B fc +f B fc
fc
f
f Obr´ azek 2.1: P´asmov´y sign´al (nahoˇre), analytick´ y sign´al (uprostˇred) a komplexn´ı ob´alka (dole) v kmitoˇctov´e oblasti
ˇ sen´ı Reˇ • Nejprve definujte parametry simulace - vzorkovac´ı kmitoˇcet a periodu, vektor ˇcasu (v rozsahu -2 s. aˇz 2 s.), kmitoˇcet nosn´e. • Vypoˇctˇete vzorky p˚ uvodn´ıho sign´alu s(t) a vykreslete (figure,plot) z´avislost s(t) na ˇcase. • Pomoc´ı Fourierovy transformace vypoˇctˇete modulov´e spektrum sign´alu. Pouˇzijte pˇr´ıkazy fft,abs. Nezapomeˇ nte spr´avnˇe ocejchovat kmitoˇctovou osu. Vyuˇzijte i pˇr´ıkaz fftshift. • Pomoc´ı pˇr´ıkazu hilbert vypoˇctˇete analytick´y sign´al. Pozor - tento pˇr´ıkaz nevrac´ı hilbertovu transformaci ale pˇr´ımo analytick´y sign´al (ovˇeˇrte pomoc´ı help hilbert). Proved’te v´ypoˇcet komplexn´ı ob´alky n´asoben´ım e−j2πfc t . • Zobrazte re´alnou a imagin´arn´ı ˇc´ast komplexn´ı ob´alky a tak´e jej´ı absolutn´ı hodnotu (ob´alku). Vypoˇctˇete spektrum komplexn´ı ob´alky a zobrazte ho. • Z re´aln´e a imagin´arn´ı sloˇzky komplexn´ı ob´alky vytvoˇrte p˚ uvodn´ı sign´al podle obr´azku
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
7
si (t) cos(2πfc t)
+
s(t)
−π/2
sq (t)
Obr´ azek 2.2: Z´ısk´an´ı p´asmov´eho sign´alu z komplexn´ı ob´alky 2.2. Zjistˇete odchylku mezi takto z´ıskan´ym sign´alem a p˚ uvodn´ım sign´alem. Jak´e maxim´aln´ı hodnoty nab´yv´a?
Teorie r´adiov´e komunikace - simulace v SW Matlab
7
22
CDMA (Scilab)
C´ılem cviˇcen´ı je ovˇeˇrit princip vytvoˇren´ı a pˇr´ıjmu CDMA sign´alu. V´ysledkem by mˇela b´yt funkˇcn´ı simulace syst´emu s aˇz 4 souˇcasnˇe vys´ılaj´ıc´ımi uˇzivateli.
Zad´ an´ı 1. Pouˇzijte pˇripravenou matici Hadamardov´ych posloupnost´ı s ˇcinitelem rozprostˇren´ı (Spreading Factor, SF) 8. Jednotliv´e posloupnosti (odpov´ıdaj´ıc´ı ˇr´adk˚ um, resp. sloupc˚ um matice) vypiˇste a zaznamenejte. Ovˇeˇrte ortogonalitu dvou vybran´ych posloupnost´ı (nulov´ y skal´arn´ı souˇcin). 2. Vygenerujte n´ahodn´e bin´arn´ı bipol´arn´ı data (1, -1) pro jednoho uˇzivatele o d´elce 100 bit˚ u. Vyuˇzijte napˇr´ıklad funkci grand a round. 3. Rozprostˇrete data prvn´ıho uˇzivatele pomoc´ı jedn´e z Hadamardov´ych posloupnost´ı (odpov´ıdaj´ıc´ı napˇr. 3. ˇra´dku Hadamardovy matice). 4. Modelujte CDMA pˇrij´ımaˇc pro prvn´ıho uˇzivatele. Pˇrijat´y sign´al vyn´asobte pouˇzitou Hadamardovou posloupnost´ı a v´ysledek integrujte pˇres interval SF. (Rozhodnˇete jak´a data byla pˇrijata - detektor s prahem 0). 5. K sign´alu na vstupu pˇrij´ımaˇce pˇridejte aditivn´ı b´ıl´y gausovsk´ y ˇsum a pozorujte jeho vliv na sign´al po integraci. Zmˇen ˇ te hodnotu SF na napˇr´ıklad 64. Jak´y vliv m´a velikost SF na chybovost pˇr´ıjmu? 6. K sign´alu jednoho uˇzivatele pˇriˇctˇete stejn´ym postupem vytvoˇren´e sign´aly dalˇs´ıch tˇr´ı uˇzivatel˚ u (Hadamardovy posloupnosti z 1., 5. a 7., ˇra´dku matice). Modelujte stejn´ym postupem i pˇrij´ımaˇc.
Teoretick´ yu ´ vod Code Division Multiple Access (CDMA) je druh mnohon´asobn´eho pˇr´ıstupu vyuˇz´ıvaj´ıc´ı pro oddˇelen´ı jednotliv´ych uˇzivatel˚ u k´odu specifick´eho kaˇzd´emu uˇzivateli. Vˇsichni uˇzivatel´e tak sd´ıl´ı spoleˇcn´e kmitoˇctov´e p´asmo a stejn´y ˇcasov´y interval. Principi´aln´ı schema zpracov´an´ı sign´alu v CDMA je na obr´azku 7.1. Data jsou ve vys´ılaˇci rozprostˇrena k´odem (napˇr. Walshov´ym-Hadamardov´ ym). Stejn´ ym k´odem je pak vyn´asoben i pˇrijat´y sign´al v pˇrij´ımaˇci. ’ Nyn´ı si uved me pˇr´ıklad ilustruj´ıc´ı princip CDMA vys´ılaˇce a pˇrij´ımaˇce. Pˇ r´ıklad na rozprostˇ ren´ı posloupnosti bit˚ u: vstupn´ı bity: 1 -1 -1 Hadamardova sekvence: 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 vyslan´a posloupnost po rozprostˇren´ı: 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
23
pˇrijat´a posloupnost (ide´aln´ı pˇr´ıpad bez ˇsumu, totoˇzn´a s vyslanou): 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 opakovan´a Hadamardova sekvence: 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 souˇcin jej´ıch jednotliv´ych bit˚ u s pˇrijatou posloupnost´ı: 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 integrace souˇcinu pˇres 8 bit˚ u: 8 -8 -8 dek´odovan´e bity: 1 -1 -1
ˇ sen´ı Reˇ • Pouˇzijeme pˇredem vygenerouvanou Hadamardovu posloupnost d´elky 8, ˇcemuˇz odpov´ıd´a parametr Spreading factor. Matici si opiˇste. Jednotliv´e ˇra´dky matice, resp. sloupce pak tvoˇr´ı posloupnosti pro jednotliv´e uˇzivatele CDMA syst´emu. Vyberte si dva ˇr´adky matice a ovˇeˇrte, ˇze jejich skal´arn´ı souˇcin je nulov´y (sekvence jsou ortogon´aln´ı). Pˇripomeˇ nme, ˇze skal´arn´ı souˇcin dvou n-rozmˇern´ych vektor˚ u je definov´an jako: a·b=
n
ai bi .
(7.1)
i=1
• Nejprve vytvoˇr´ıte model syst´emu s jedn´ım uˇzivatelem (viz. obr. 7.1). N´ahodn´a data vytvoˇrte pomoc´ı pˇr´ıkazu grand a round. • Rozprostˇren´ı jednotliv´ych bit˚ u m˚ uˇzete prov´est n´asoben´ım i-t´eho bitu b(i) zvolen´ym (napˇr´ıklad tˇret´ım) ˇra´dkem Hadamardovy matice - sr = b(i) ∗ H(3, :). Je-li vektor po rozprostˇren´ı v, m˚ uˇzeme k nˇemu pˇridat v´ysledek rozprostˇren´ı jednoho bitu sr pˇr´ıkazem v = [v sr]. Nezapomeˇ nte, ˇze vektor v je tˇreba na zaˇc´atku inicializovat jako pr´azdn´y vektor v = [ ].
+ H(1,:)
AWGN
H(1,:)
Obr´ azek 7.1: Rozprostˇren´ı sign´alu jednoho uˇzivatele • K takto vytvoˇren´emu sign´alu prozat´ım nepˇrid´avejte ˇz´adn´y ˇsum. Nyn´ı vytvoˇrte pˇrij´ımac´ı ˇc´ast. Vektor sign´alu po rozprostˇren´ı v rozdˇelte na u ´seky o d´elce odpov´ıdaj´ıc´ı velikosti spreading faktoru SF. M˚ uˇzete vyuˇz´ıt funkci matrix (pˇrevede vektor na
Teorie r´adiov´e komunikace - simulace v SW Matlab
24
matici kde napˇr´ıklad kaˇzd´y ˇra´dek bude odpov´ıdat jednomu rozprostˇren´emu bitu) nebo pouˇzijte cyklus for a v kaˇzd´em kroku vyberte pro zpracov´an´ı ˇc´ast sign´alu odpov´ıdaj´ıc´ı jednomu bitu. Takto z´ıskam´e u ´ seky sign´alu vyn´asobte prvek po prvku rozprost´ırac´ı posloupnost´ı pouˇzitou ve vys´ılac´ı ˇc´asti. V´ ysledek n´asoben´ı integrujte na intervalu d´elky SF, m˚ uˇzete pouˇz´ıt funkci cumsum, kter´a kumulativnˇe seˇcte vˇsechny prvky vstupn´ıho vektoru. Po integraci by v´ysledek mˇel nab´yvat hodnot ±SF. Na z´avˇer podle znam´enka rozhodnˇete byl-li pˇrijat bit 0 nebo 1 (detektor s prahem 0). • Nyn´ı k vys´ılan´emu sign´alu pˇridejte aditivn´ı gausovsk´ y b´ıl´y ˇsum (pouˇzijte funkc´ı rand a nezapomeˇ nte spr´avnˇe normovat v´ykonov´e u ´ rovnˇe). Pozorujte jak´ y vliv m´a u ´ roveˇ n SNR na velikost sign´alu po integraci. Zmˇen ˇ te velikost SF na jinou hodnotu napˇr´ıklad 64. Jak´y vliv bude m´ıt velikost SF na chybovost pˇr´ıjmu? • K sign´alu jednoho uˇzivatele pˇridejte obdobn´ ym zp˚ usobem vytvoˇren´e sign´aly dalˇs´ıch tˇr´ı uˇzivatel˚ u (s rozprost´ırac´ımi posloupnostmi odpov´ıdaj´ıcimi napˇr´ıklad 1., 3. a 5. ˇr´adku Hadamardovy matice). Obdobn´ym zp˚ usobem modelujte tak´e pˇrij´ımac´ı ˇc´ast. Pˇrijat´e bity by mˇely b´yt shodn´e s vyslan´ ymi. user 1
user 1 H(1,:)
H(1,:) user 2
user 2
H(3,:) user 3
H(5,:)
+
+ AWGN
H(3,:) user 3
H(5,:) user 4
user 4
H(7,:)
Obr´ azek 7.2: Schema CDMA syst´emu se 4 uˇzivateli
H(7,:)
