Náhodné veličiny
Náhodné veličiny
Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem).
Příklad I
Vytáhneme tři karty z balíčku – zajímá nás, kolik je mezi nimi es. X může být 0, 1, 2, 3.
I
Hodíme dvěma kostkami – jaký padl součet? X ∈ {2, 3, . . . , 12}.
I
Hodíme dvěma kostkami – zajímá nás největší z hozených čísel. X ∈ {1, . . . , 6}
I
Měříme hladinu alkoholu v krvi řidiče. X ∈ h0, ?i (smrtelná hodnota okolo 4 promile)
Náhodné veličiny
Definice náhodné veličiny
Zjednodušeně: Náhodná veličina X je funkce, která prvkům množiny Ω přiřazuje reálná čísla, X : Ω → R.
„Vědeckyÿ: Nechť (Ω, S, P) je pravděpodobnostní prostor. Funkce X : Ω → R taková, že pro každé x ∈ R je {ω : X (ω) ≤ x} ∈ S, se nazývá náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru (Ω, S, P).
Náhodné veličiny
Zápis jevů pomocí náhodných veličin Zápisem [X = x] rozumíme náhodný jev složený ze všech ω ∈ Ω, pro která je X (ω) = x. Podobně např. [X < x] = {ω ∈ Ω : X (ω) < x}.
Náhodné veličiny
Příklad Hodíme dvěma kostkami, X udává součet čísel na obou kostkách. Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ω36 }, ω1 . . . padlo (1, 1), ω2 . . . padlo (1, 2), . . . , ω6 . . . padlo (1, 6) ω7 . . . padlo (2, 1), ω8 . . . padlo (2, 2), . . . , ω12 . . . padlo (2, 6) .. . ω31 . . . padlo (6, 1), ω32 . . . padlo (6, 2), . . . , ω36 . . . padlo (6, 6) Pak např. X (ω1 ) = 2, X (ω2 ) = X (ω7 ) = 3, X (ω31 ) = 7, apod. [X = 3] . . . padl součet 3 . . . nastal jev A = {ω2 , ω7 } P(X = 3) =? P(X < 4) =?
Náhodné veličiny
Základní typy náhodných veličin I
Diskrétní náhodné veličiny – mohou nabývat nanejvýš spočetně mnoha hodnot. Příklady: I I I
I
Počet šestek při deseti hodech kostkou. Na kolikátý pokus se podaří vyvolat studenta, který něco umí. Počet procent vadných součástek v balíku s 25 kusy.
Spojité náhodné veličiny – (zjednodušeně) mohou nabývat všech hodnot z určitého intervalu. Příklady: I I
Naměřená hodnota napětí. Délka časového intervalu mezi dvěma událostmi.
Diskrétní náhodné veličiny
Diskrétní náhodné veličiny
Definice diskrétní náhodné veličiny (zjednodušená verze) Náhodná veličina X se nazývá diskrétní, jestliže je její obor hodnot nanejvýš spočetná množina.
Pravděpodobnostní funkce Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X je funkce p : R → R definovaná vztahem p(x) = P(X = x). Pozor, rozlišujeme malá a velká písmena!!! Někdy se též používá název frekvenční funkce a značí se f .
Diskrétní náhodné veličiny
Příklad Tři střelci nezávisle na sobě vystřelili na terč. Pravděpodobnost zásahu je u prvního střelce 0,9, u druhého 0,6 a u třetího 0,3. Náhodná veličina X udává, kolik střelců zasáhlo cíl. a) Najděte pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X . b) Vypočtěte pravděpodobnost, že v terči bude nanejvýš jeden zásah. c) Vypočtěte pravděpodobnost, že v terči bude aspoň jeden zásah.
Diskrétní náhodné veličiny
Znázornění pomocí histogramu
Graf pravděpodobnostní funkce 0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0 −1
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
Diskrétní náhodné veličiny
Vlastnosti pravděpodobnostní funkce I I
0 ≤ p(x) ≤ 1 pro každé x ∈ R, P p(xi ) = 1 xi
(sčítáme přes všechny hodnoty xi , jichž X může nabývat).
Diskrétní náhodné veličiny
Distribuční funkce Distribuční funkce náhodné veličiny X je funkce F : R → R definovaná vztahem F (x) = P(X ≤ x). Toto je obecná definice pro jakoukoli náhodnou veličinu, nikoli jen pro diskrétní náhodné veličiny! Někdy se uvádí též definice F (x) = P(X < x).
Diskrétní náhodné veličiny
Příklad (Střelci – pokračování) Najděte distribuční funkci náhodné veličiny X .
Graf distribuční funkce
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 −1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Diskrétní náhodné veličiny
Výpočet F(x) pro diskrétní náhodné veličiny Je-li X diskrétní náhodná veličina, která může nabývat hodnot x1 , x2 , . . . , a p její pravděpodobnostní funkce, pak X F (x) = p(xi ) xi ≤x
Diskrétní náhodné veličiny
Vlastnosti distribuční funkce I
0 ≤ F (x) ≤ 1 pro každé x ∈ R,
I
F je neklesající, tj. když x ≤ y , pak F (x) ≤ F (y ),
I
lim F (x) = 0, lim F (x) = 1,
x→−∞
x→∞
I
P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a) pro každé a, b ∈ R,
I
F je zprava spojitá, tj. lim+ F (t) = F (x). t→x
Vlastnosti distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny I
Graf funkce F má schodovitý tvar.
I
Výšky schodů jsou hodnoty pravděpodobnostní funkce p, p(x) = F (x) − lim F (t) pro každé x ∈ R. t→x −
Diskrétní náhodné veličiny
Nezávislé náhodné veličiny – zjednodušená verze Dvě diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě tehdy, když pro každé dvě hodnoty x a y platí P((X = x) ∩ (Y = y )) = P(X = x) · P(Y = y ).
Diskrétní náhodné veličiny
Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny Střední hodnotu diskrétní náhodné veličiny X označíme EX (jiná používaná značení: E(X ), µ(X ), µ) a definujeme ji vztahem EX =
X
xi · p(xi )
xi
(sčítáme přes všechny hodnoty xi , jichž X může nabývat).
Diskrétní náhodné veličiny
Vlastnosti střední hodnoty I
Jestliže X a Y jsou náhodné veličiny, pak E(X ± Y ) = EX ± EY .
I
Jestliže X je náhodná veličina a c reálná konstanta, pak E(cX ) = cEX .
I
Jestliže X a Y jsou náhodné veličiny a a, b, c reálné konstanty, pak E(a + bX + cY ) = a + bEX + cEY .
I
Jestliže X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny, pak E(X · Y ) = EX · EY .
Diskrétní náhodné veličiny
Rozptyl diskrétní náhodné veličiny Rozptyl diskrétní náhodné veličiny X označíme DX (jiné názvy: disperze, variance; jiná používaná značení: D(X ), V(X ), σ 2 ) a definujeme jej vztahem DX = E(X − EX )2 . Pro jeho výpočet používáme vzorec X DX = xi2 · p(xi ) − (EX )2 . xi
Směrodatná odchylka Směrodatnou odchylku diskrétní náhodné veličiny X označíme σ a definujeme ji vztahem √ σ = DX .
Diskrétní náhodné veličiny
Vlastnosti rozptylu I
DX ≥ 0
I
Jestliže a, b jsou reálné konstanty, pak D(a + bX ) = b 2 DX .
I
Jestliže X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny, pak D(X ± Y ) = DX + DY .
