NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS
YUSUF
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul “Nilai Wajar Asuransi Endowmen Murni dengan Partisipasi untuk Tiga Skema Pemberian Bonus” adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan oleh penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian tesis ini.
Bogor, Juni 2009
Yusuf NRP G551070571
ABSTRACT YUSUF. Fair Valuation of Pure Endowment Insurance with Participation for Three Bonus Systems. Under supervision of I GUSTI PUTU PURNABA and DONNY CITRA LESMANA. Fair valuation is becoming a major concern for actuaries, especially in the perspective of IAS norms. One of the key aspects in this contex is the simultaneous analysis of asset and liabilities in any sound actuarial valuation. The aim of this thesis is to illustrate these concepts, by comparing three common ways of giving bonus in pure endowment insurance with profit: that are reversionary, cash or terminal. For each participation scheme, we compute the fair value of the contract taking into account liability parameters (guaranted interest rate and participation level) as well as asset parameters (market conditions and investment strategy). We find some equilibrium conditions between all those coefficients; they are strategy, participation rate and guaranted minimum rate, from analytical point of view of the bonus system . First, fair valuation is made in the classical binomial model and then extended in a Black-Scholes model. Keywords: fair value, participation scheme, asset and liability management
RINGKASAN YUSUF. Nilai Wajar Asuransi Endowmen Murni dengan Partisipasi untuk Tiga Skema Pemberian Bonus. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan DONNY CITRA LESMANA. Asuransi Endowmen Murni adalah asuransi yang memberikan benefit pada pemegang polis jika dan hanya jika pemegang polis masih dalam keadaan hidup setelah melewati waktu jatuh tempo. Jika pemegang polis meninggal sebelum melewati waktu jatuh tempo, maka benefit tidak akan diberikan. Dalam kontrak partisipasi, perusahaan asuransi diwajibkan memberikan benefit (manfaat) dan profit (bonus) setelah waktu jatuh tempo. Benefit diberikan sebagai nilai jaminan dari pertanggungan yang telah disepakati antara perusahaan asuransi dan pemegang polis. Sedangkan profit diberikan sebagai imbal hasil (rate of return) dari hasil investasi yang dilakukan oleh perusahaan asuransi dalam pasar bursa. Besar kecilnya profit ditentukan oleh imbal hasil secara finansial yang diperoleh perusahaan asuransi. Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan nilai wajar kontrak partisipasi yang terlingkup dalam suatu produk asuransi, untuk kerangka waktu diskret dan waktu kontinu, dengan memperhatikan sisi aset dan sisi liabilitas berdasarkan beberapa parameter yang ditentukan. Metode penelitian yang digunakan adalah kajian literatur dan perhitungan analitis dengan langkah-langkah sebagai berikut: Pertama menentukan nilai wajar kontrak partisipasi waktu diskret dengan menggunakan model binomial satu periode, yang menggambarkan nilai wajar kontrak periode satu tahun. Dalam model ini tidak ada perbedaan nilai wajar untuk ketiga cara pemberian bonus. Langkah kedua menentukan nilai kesetimbangan untuk model satu periode untuk menentukan nilai parameter kontrak partisipasi. Langkah berikutnya menentukan nilai wajar model multi periode dan membandingkan nilai wajar ketiga cara pemberian bonus, kemudian menentukan nilai kesetimbangan model multi periode untuk menentukan nilai setiap parameter kontrak partisipasi. Langkah selanjutnya menentukan nilai wajar waktu kontinu menggunakan model Black-Scholes seperti langkah dalam penentuan nilai wajar waktu diskret. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan memperhatikan sisi aset dan liabilitas, nilai wajar kontrak partisipasi dalam suatu produk asuransi dapat ditentukan, yang di dalamnya tercakup nilai jaminan (benefit) dan bonus (profit). Nilai jaminan yang diberikan perusahaan menggunakan bunga teknis yang ditetapkan perusahaan asuransi dan besarnya harus di bawah bunga pasar. Hal ini yang menyebabkan adanya nilai kesetimbangan. Sedangkan nilai bonus dihasilkan dari penyertaan opsi call yang dimiliki pemegang polis (tercakup dalam produk), menggunakan tingkat suku bunga yang berlaku di pasar bursa. Ada tiga cara pemberian bonus, yaitu bonus reversionary, bonus cash dan bonus terminal, yang memiliki nilai wajar yang berbeda terutama untuk sistem bonus reversionary dan sistem cash. Nilai wajar waktu diskret maupun waktu kontinu untuk model satu periode dan model multi periode adalah identik. Kata Kunci: nilai wajar, kontrak partisipasi, asset dan liabilitas
© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS
YUSUF
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Judul Tesis
: Nilai Wajar Asuransi Endowmen Murni dengan Partisipasi untuk Tiga Skema Pemberian Bonus
Nama
: Yusuf
NRM
: G551070571
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Gusti P. Purnaba, DEA.
Donny Citra Lesmana, S.Si. M Fin. Math.
Ketua
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Dekan Sekolah Pascasarjana IPB
Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H.Nugrahani, MS
Tanggal Ujian: 24 Juni 2009
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS.
Tanggal Lulus:
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis
: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani MS.
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktu yang ditentukan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan pada bulan Februari 2009 ini adalah masalah Penentuan Nilai Wajar Berbagai Skema Partisipasi dalam Asuransi Endowmen Murni. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si. M. Fin. Math., atas bimbingannya dalam penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani MS. yang telah memberikan banyak saran selaku penguji luar komisi. Tidak lupa pula penulis sampaikan ucapan terima kasih kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Akhirnya ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada istri dan anak, keluarga, pihak lain yang telah membantu baik moril maupun materil sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2009 Yusuf
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Karawang pada tanggal 02 Juni 1964 dari ayah Mohammad Haris dan ibu Tecih. Penulis merupakan putra kedua dari tujuh bersaudara. Tahun 1985 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Karawang pada tahun 1988 baru melanjutkan ke IAIN Syarif Hidayatullah Jakarta (sekarang UIN Jakarta). Di IAIN Syarif Hidayatullah, penulis memilih jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Tarbiyah dan selesai pada tahun 1992. Tahun 1994 penulis mendapat beasiswa di Institut Pengembangan Managemen Indonesia (IPMI) Jakarta, untuk mengikuti program dari Departemen Tenaga Kerja Indonesia dan lulus pada tahun yang sama. Tahun 1999 penulis diterima sebagai Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama dan menjadi pengajar di MTsN Sukatani Kabupaten Bekasi Jawa Barat. Melalui beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia, pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (Program Magister), dengan mengambil Mayor Matematika Terapan. Lulus tahun 2009.
Kupersembahkan tesis ini untuk Ibuku terkasih, istriku Herlina tercinta, dan anak-anakku tersayang Yasmine, Nisriina dan Hafidz
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL .......................................................................................... ix DAFTAR GAMBAR……………………………………………………….. x DAFTAR LAMPIRAN ..……………………………………………………. xi I
PENDAHULUAN ……….……………………………………………… 1.1 Latar Belakang ...…..……………………………………………… 1.2 Rumusan Masalah …..……………………………………………… 1.3 Tujuan Penelitian…………………………………………………… 1.4 Ruang Lingkup Penelitian …………………………………………. 1.5 Manfaat Penelitian ………………………………………………… 1.6 Sistematika Pembahasan ……………………………………………
1 1 3 3 4 4 4
II LANDASAN TEORI ……………………………………………..…….. 2.1 Asuransi …………………………………………………….……… 2.2 Manajemen Portofolio ……………………………………….…….. 2.3 Investasi dalam Opsi …………………………………………..…… 2.4 Model Binomial ……………………………………………….…… 2.5 Peubah Acak dan Proses Stokastik ………………………………… 2.6 Proses Wiener………………………………………………………. 2.7 Lema Ito …...……………………………………………………..… 2.8 Sifat Lognormal ………………………………………………….… 2.9 Persamaan Diferensial Black-Scholes …………………………….. 2.10 Model Black-Scholes ...…………………………………………….
5 5 7 8 12 15 16 19 19 20 22
III NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI ………………………………………………………….. 3.1 Notasi dan Definisi …..…………..................................................... 3.2 Nilai Wajar Model Satu Periode …………………………………… 3.3 Kesetimbangan ...……………………………………………..……. 3.4 Nilai Wajar Model Multi Periode..…………………………………. 3.5 Hubungan Kesetimbangan dalam Model Multi Periode ..………… 3.6 Perbandingan Analisis Sistem Reversionary dan Sistem Cash..…… 3.7 Waktu Pasar Finansial Kontinu ...…………………………………. 3.8 Nilai Wajar Model Satu Periode ...………………………………… 3.9 Nilai Wajar Model Multi Periode …………………………………. 3.10 Hubungan Kesetimbangan dalam Model Multi Periode ..………… 3.11 Perbandingan Analisis Sistem Reversionary dan Sistem Cash .…… 3,12 Ilustrasi Numerik …………………………………………………..
25 25 27 31 34 38 42 45 46 48 50 51 53
IV KESIMPULAN DAN SARAN ………………………………………… 58 4.1 Kesimpulan ………………………………………………………… 58 4.2 Saran ..……………………………………………………………… 58
DAFTAR PUSTAKA ..……………………………………..……………… 59 LAMPIRAN .……………………………………………………………….. 61
DAFTAR TABEL Halaman 1 Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi Usia 30 Tahun ………………. 53 2 Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi B= 20% ………………………. 55 3 Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi B=80% ………………………. 56
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Grafik Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi Usia 30 Tahun .………. 54 2 Grafik Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi B= 20% ………………. 55 3 Grafik Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi B=80% ………………. 56
x
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Bukti persamaan (2.22) ..………………………………………………….. 61 2 Penurunan persamaan (3.6) ……………………………………………… 63 3 Penurunan persamaan (3.19) ……………………………………………… 64 4 Penurunan persamaan (3.21) ……………………………………………… 65 5 Penurunan persamaan (3.22) ……………………………………………… 66 6 Penurunan persamaan (3.23) ……………………………………………… 67 7 Penurunan persamaan (3.24) ..…………………………………………….. 68 8 Penurunan persamaan (3.30) ……………………………………………… 70 9 Bukti persamaan (3.38) ..………………………………………………….. 71 10 Penurunan persamaan (3.39) ……………………………………………… 75 11 Penurunan persamaan (3.45) ……………………………………………… 76 12 Bukti persamaan (3.47) ..………………………………………………….. 77 13 Penurunan persamaan (3.48) ……………………………………………… 81 14 Penurunan persamaan (3.48) ……………………………………………… 82
xi
I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Asuransi saat ini telah menjadi perhatian banyak pihak, terutama bagi
aktuaris, praktisi asuransi, ekonom, penasehat keuangan, akuntan, dan praktisi ekonomi, bahkan masyarakat umum yang melihat masa depan sebagai masa yang penuh dengan ketidakpastian. Contoh dua aspek stokastik yang terlingkup dalam sebuah produk asuransi adalah dimensi waktu (jangka waktu yang panjang) dan ketidakpastian (risiko finansial) (Norbeg 2002). Risiko finansial yang berupa naik turunnya suku bunga dalam pasar investasi
adalah salah satu bentuk
ketidakpastian yang mempengaruhi produk asuransi. Hal inilah yang membuat dunia asuransi menarik untuk diteliti. Dalam asuransi jiwa ketidakpastian itu semakin kompleks karena tingkat mortalitas dan peluang bertahan hidup seseorang turut diperhitungkan dan memengaruhi besarnya benefit. Salah satu jenis asuransi jiwa yang menarik untuk diteliti adalah asuransi endowmen murni (pure endowment), karena dalam asuransi enowmen murni benefit akan diterima oleh pemegang polis jika pada waktu jatuh tempo, pemegang polis masih dalam keadaan hidup. Jika pemegang polis meninggal sebelum waktu jatuh tempo, maka benefit tidak akan diberikan. Tingkat imbal hasil (rate of return) yang diperoleh perusahaan asuransi endowmen murni sangat dipengaruhi oleh tingkat imbal hasil dari perusahaan asuransi itu sendiri, baik dari imbal hasil operasional perusahan atau imbal hasil dalam investasi di pasar bursa yang dilakukan perusahaan asuransi. Karena imbal hasil perusahaan sangat dipengaruhi dan ditentukan oleh risiko finansial, maka perusahaan perlu membuat suatu strategi dalam mengendalikan pembayaran benefit pada pemegang polis. Strategi yang dimaksud adalah menawarkan suatu kontrak partisipasi yang dapat diikuti oleh pemegang polis, sehingga risiko finansial tidak hanya membebani perusahaan asuransi, tapi juga menjadi beban pemegang polis. Selain itu tidak hanya risiko finansial yang dibagi oleh perusahaan asuransi dengan pemegang polis, tetapi juga keuntungan yang diperoleh oleh perusahaan dari hasil investasi.
2
Dalam kontrak partisipasi, perusahaan asuransi diwajibkan memberikan benefit (manfaat) dan profit (bonus) setelah waktu jatuh tempo. Benefit diberikan sebagai nilai jaminan dari pertanggungan yang telah disepakati antara perusahaan asuransi dan pemegang polis. Sedangkan keuntungan (profit) diberikan sebagai imbal hasil (rate of return) dari hasil investasi yang dilakukan oleh perusahaan asuransi dalam pasar bursa. Besar kecilnya keuntungan (profit) ditentukan oleh imbal hasil yang diperoleh perusahaan asuransi. Ada tiga skema pembagian keuntungan (profit) atau bonus yang diberikan oleh perusahaan asuransi kepada pemegang polis. Sistem reversionary adalah cara pembagian keuntungan tahunan yang dimasukkan ke dalam cadangan polis pada tiap akhir tahun kontrak dan secara tidak langsung menyatakan pembelian tambahan pertanggungan (asuransi). Benefit atau manfaat akan disesuaikan pada saat penyesuaian cadangan polis. Sistem cash merupakan cara pembagian keuntungan tahunan yang dibayarkan secara tunai atau dimasukkan ke rekening pemegang polis. Sedangkan sistem terminal adalah cara pemberian keuntungan yang dihitung pada akhir kontrak. Penentuan nilai suatu kontrak partisipasi sama halnya dengan menentukan nilai polis partisipasi (polis dengan keuntungan), yaitu polis yang di dalamnya terdapat nilai jaminan (benefit) dan nilai keuntungan (profit) dari hasil investasi. Polis partisipasi biasanya berpasangan dengan suku bunga jaminan minimum (Bacinello 2001). Suku bunga jaminan minimum ditetapkan perusahaan lebih rendah dari pada suku bunga pasar, agar pembayaran benefit kepada pemegang polis bukan merupakan ancaman yang serius, bahkan dapat diabaikan. Hal ini disebabkan perusahaan asuransi dapat mencukupi kebutuhan pembayaran benefit dari hasil investasi di pasar bursa, yang menggunakan suku bunga pasar. Berdasarkan uraian di atas, maka perlu diketahui cara menentukan nilai wajar suatu kontrak partisipasi dalam asuransi endowmen murni, dimulai dengan model satu periode, kemudian model multi periode sebagai perumuman, lalu dibandingkan tiga cara pemberian bonus dan ditentukan nilai parameter dalam kondisi kesetimbangan.
3
1.2
Rumusan Masalah Dari latar belakang yang sudah dijelaskan sebelumnya, dapat dituliskan
rumusan masalah sebagai berikut: 1
Dengan mempertimbangkan sisi aset dan sisi liabilitas dapat ditentukan suatu kontrak partisipasi. Bagaimana nilai wajar kontrak partisipasi tersebut dapat ditentukan?
2
Dalam setiap kontrak partisipasi terdapat beberapa parameter. Bagaimana menentukan nilai wajar kontrak partisipasi jika parameter (misalnya tingkat partisipasi) tersebut ditentukan?
3
Bagaimana perbandingan nilai wajar kontrak partisipasi dalam tiga skema pemberian bonus?
4 Dalam kondisi kesetimbangan, bagaimana nilai tiap parameter kontrak dapat ditentukan?
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan tesis ini adalah sebagai berikut: 1 Menentukan nilai wajar kontrak partisipasi asuransi
endowmen murni
dengan mempertimbangkan sisi aset dan sisi liabilitas. 2
Menentukan nilai wajar kontrak partisipasi dalam asuransi endowmen murni jika parameter kontrak ditentukan.
3 Membandingkan nilai wajar kontrak partisipasi pada tiga cara pemberian bonus: bonus reversionary, bonus cash dan bonus terminal. 4 Menentukan nilai parameter kontrak partisipasi pada kondisi kesetimbangan.
1.4 Ruang Lingkup Penelitian Penelitian ini dibatasi ruang lingkupnya sebagai berikut; 1
Asuransi yang diteliti merupakan asuransi endowmen murni dengan pembayaran premi tunggal yang dibayarkan di awal periode.
2
Opsi yang dimaksud adalah opsi call tipe Eropa yang tidak membayarkan dividen.
3
Model Binomial digunakan untuk kontrak opsi call waktu diskret.
4
Model Black Scholes digunakan kontrak opsi call waktu kontinu.
4
1.5 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari hasil penelitian ini adalah: 1
Dapat memberikan alternatif lain dari sebuah kontrak asuransi untuk pemegang polis (peserta asuransi);
2
Memberikan nilai tambah dari sebuah kontrak asuransi agar lebih menarik, di samping sebagai asuransi juga bernilai investasi;
3
Dapat menentukan harga yang kompetitif dari sebuah produk asuransi, sehingga dapat bersaing dengan produk asuransi sejenis;
4 Sebagai bahan kajian selanjutnya untuk penelitian masalah yang relevan, baik untuk masalah asuransi maupun masalah investasi.
1.6
Sistematika Pembahasan Untuk memahami penentuan nilai wajar kontrak partisipasi dalam asuransi
endowmen murni, dibahas beberapa konsep dasar, yaitu asuransi endowmen murni, pengertian opsi dan hal-hal yang berhubungan dengan opsi, model binomial harga opsi waktu diskret, proses Wiener dan proses Wiener untuk harga saham, serta model Black-Scholes harga opsi waktu kontinu, yang akan dibahas pada bagian dua tesis ini. Pada bagian tiga akan dipaparkan tentang cara menentukan nilai wajar kontrak partisipasi, untuk kasus waktu diskret digunakan model binomial, dan untuk kasus waktu kontinu digunakan model Black-Scholes. Kemudian akan ditentukan nilai wajar kontrak untuk kasus satu periode dan multi periode. Selanjutnya akan dibandingkan nilai wajar kontrak partisipasi dalam tiga cara pemberian bonus baik secara analitik maupun numerik (khusus waktu diskret). Serta akan ditentukan nilai parameter kontrak partisipasi dalam kondisi kesetimbangan. Pada bagian empat yang merupakan bagian akhir, akan dikemukakan kesimpulan dari tesis ini dan saran-saran.
BAB II LANDASAN TEORI Tidak ada
III NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI
3.1 Notasi dan Definisi Misalkan terdapat sebuah kontrak asuransi endowmen murni dengan profit (keuntungan). Imbal hasil yang diperoleh pemegang polis pada waktu jatuh tempo adalah jaminan benefit ditambah bonus partisipasi. Imbal hasil tersebut didasarkan pada keuntungan finansial di akhir periode yang dihasilkan dari investasi yang dilakukan oleh perusahaan asuransi. Selanjutnya
diasumsikan
antara kematian dan elemen-elemen finansial saling bebas. 3.1.1 Notasi pada Sisi Liabilitas (Kewajiban) Misalkan nilai polis endowmen murni dengan premi tunggal yang 0 dan jatuh tempo pada waktu
dikeluarkan pada waktu
dengan . Benefit dibayarkan pada waktu jatuh tempo
dilambangkan
jika dan hanya jika
pemegang polis masih hidup. Misalkan pula tidak ada penyerahan opsi sebelum waktu jatuh tempo. Suku bunga jaminan dinotasikan dengan dan umur pemegang polis pada saat kontrak disetujui dinotasikan dengan . Peluang bertahan hidup pemegang polis sampai dengan
dinyatakan dengan
T
. Dengan tidak mengurangi
perumuman, diasumsikan bahwa nilai premi tunggal awal sama dengan Jaminan benefit
T
.
yang dibayarkan pada waktu jatuh tempo (mengabaikan
beban biaya dan pajak) secara sederhana dirumuskan dengan
1 T
1
.
3.1
. Selanjutnya dalam kontrak partisipasi, tingkat partisipasi dinyatakan dengan dengan batasan 0
1.
Tiga skema pemberian bonus dalam kontrak partisipasi yang berbeda akan dibandingkan untuk mengetahui perbedaan nilai wajar di antara ketiganya, yaitu:
26
1
Bonus Reversionary, yang merupakan bonus yang dihitung tahunan dan digunakan sebagai premi untuk membeli tambahan asuransi (asuransi endowmen murni memberikan benefit hanya pada waktu jatuh tempo).
2
Bonus Cash, yang merupakan bonus yang dihitung tahunan tetapi tidak digabungkan dalam kontrak. Bonus tersebut dapat dibayarkan langsung kepada pemegang polis.
3
Bonus Terminal, yang merupakan bonus yang hanya dihitung pada akhir kontrak dengan memperhitungkan keuntungan finansial.
(Devolder dan Dominguez-Fabian, 2004) Ketiga bonus tersebut berturut-turut dinotasikan dengan
,
dan
yang atau
disebut juga sebagai tingkat partisipasi.
3.1.2 Notasi pada Sisi Aset Diasumsikan terdapat pasar dengan persaingan sempurna dan tanpa gesekan, dalam kerangka waktu diskret dengan satu aset berisiko dan satu aset bebas risiko. Suku bunga bebas risiko yang dihitung tahunan dimisalkan tetap dan dilambangkan dengan . Aset berisiko mengikuti pergerakan binomial (Cox et al., 1979) dengan dua macam imbal hasil tiap periode, yaitu imbal hasil baik dinyatakan dengan dan imbal hasil kurang baik dinyatakan dengan . Untuk menghindari kesempatan arbitrase, diasumsikan secara umum 1
.
Nilai tersebut dapat juga dinyatakan dengan cara lain dalam istilah premi risiko dan volatilitas (simpangan): 1 1 (Devolder dan Dominguez-Fabian, 2004) dengan menyatakan volatilitas (0
.
(3.2) menyatakan premi risiko dan
27
Pada pasar tersebut, penjamin (perusahaan asuransi) diwajibkan untuk menginvestasikan sebagian premi dalam aset berisiko dan sebagian lagi dalam aset bebas risiko. Sebuah strategi didefinisikan oleh koefisien 0
(dengan batasan
1) diberikan pada bagian aset berisiko dalam investasi. Imbal hasil yang ditimbulkan oleh strategi
adalah variabel acak, yang
mengambil satu dari dua nilai yang dinyatakan dengan
dan
yang
didefinisikan sebagai berikut dan dituliskan kembali dengan (substitusikan
dan
dari persamaan (3.2)): 1–
1
1
1–
1
1
(3.3)
3.2 Nilai Wajar Model Satu Periode Model satu periode merupakan kasus khusus dengan waktu jatuh tempo 1 periode atau
1. Dalam jangka waktu 1 periode, ketiga cara pemberian bonus
seperti didefinisikan pada bagian 3.1.1 adalah identik. Sebuah kontrak partisipasi dicirikan oleh vektor parameter teknis dan finansial , , dengan i suku bunga jaminan, Parameter lain
, ,
tingkat partisipasi dan
koefisien strategi.
dengan r suku bunga bebas risiko, u tingkat imbal hasil
baik dan d tingkat imbal hasil kurang baik dapat dipandang sebagai batasan pasar. Menggunakan pendekatan standar risiko netral, nilai wajar sebuah kontrak dapat diekspresikan sebagai diskonto dari nilai harapan aliran kas (cash flow) di masa yang akan datang, di bawah ukuran risiko netral, dan
memperhitungkan
peluang bertahan hidup. Peluang dalam lingkup risiko netral berturut-turut bersesuaian dengan imbal hasil baik dan imbal hasil kurang baik, yang diberikan oleh:
1 2
28
1
1
3.4
2
Kedua peluang tersebut
bersesuaian dengan liabilitas yaitu kewajiban
perusahaan asuransi dalam membayar klaim pada pemegang polis yang dinyatakan berturut-turut sebagai berikut: 1
1
1
1
1
1
(3.5)
dengan = maksimum
,0
= total benefit dari imbal hasil baik yang harus dibayarkan perusahaan asuransi. = total benefit dari imbal hasil kurang baik yang harus dibayarkan perusahaan asuransi. : suku bunga jaminan yang ditetapkan perusahaan asuransi. Nilai wajar kontrak
selanjutnya didefinisikan sebagai peluang bertahan hidup
dikalikan dengan nilai wajar finansial benefit yaitu T
merupakan nilai wajar finansial benefit dan dinyatakan dengan:
dengan 1 1 1 1 1 1
1
2
2
.
3.6
(lihat lampiran 2) dengan
=
dan
=
(3.7)
29
.
dengan
Sehingga nilai wajar kontrak partisipasi periode satu tahun dinyatakan dengan:
1
1
1 1
1
2
2
.
Dari persamaan di atas nilai wajar finansial dapat dipandang mengandung dua bagian, yaitu
merupakan nilai wajar jaminan minimum di mana
dengan
1 1 Sedangkan
.
merupakan bagian nilai wajar, yang bersesuaian dengan opsi
call, yaitu .
Selanjutnya dibuat beberapa asumsi pada nilai
dan
untuk tiga kasus
berikut, yaitu:
Kasus 1:
0
Pada kasus ini, suku bunga jaminan i terlalu besar sehingga tidak ada tingkat partisipasi yang dapat diberikan. Hal ini dapat ditunjukkan khususnya jika 0, maka: 0
0 .
(3.8)
Sehingga, jika suku bunga jaminan yang ditetapkan perusahaan asuransi lebih besar dari pada suku bunga bebas risiko maka nilai kontrak menjadi semata-mata ditentukan oleh nilai wajar jaminan minimum, yaitu:
30
1 1
1 1
.
3.9
0
Kasus 2:
Kasus ini dipandang sebagai asumsi yang realistik: - Jika aset berisiko meningkat maka akan ada surplus dalam investasi sehingga ada jaminan minimum dan tingkat partisipasi (lihat persamaan (3.13). - Jika aset berisiko menurun maka hanya jaminan minimum dan tidak ada tingkat partisipasi (lihat persamaan (3.9)). Keadaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut 0 0 3.10 0 0 3.11 Dari persamaan (3.10) dan (3.11) diperoleh .
(3.12)
Dalam kondisi ini nilai wajar finansial menjadi:
1 1
1 1
1
1
2
2
.
3.13
31
Sehingga dalam kondisi ini nilai wajar kontrak partisipasi menjadi: .
1
1
1
.
Kasus 3: 0 Dalam kasus ini suku bunga jaminan turun bahkan di bawah turunnya situasi pasar, hal ini dapat ditunjukkan pada hubungan sebagai berikut (cukup dengan menunjukkan 0
) 0 .
(3.14)
Nilai wajar finansial menjadi: 1 =
1 1 1
.
(3.15)
Nilai wajar kontrak menjadi: 1
1
1
.
Nilai wajar partisipasi hanya didasarkan pada perbedaan antara suku bunga bebas risiko dan suku bunga jaminan. 3.3
Kesetimbangan Sebuah vektor
pada parameter dikatakan setimbang jika nilai wajar awal
kontrak sama dengan premi tunggal yang dibayarkan pada waktu
0, maka
32
1
1
1
(3.16)
Jika persamaan (3.6) dibandingkan dengan jaminan minimum berakibat: 1 1
1
2 1 1
1 1
2
1
1 .
(3.17)
Sehingga untuk memperoleh kondisi kesetimbangan, suku bunga jaminan harus lebih kecil atau sama dengan suku bunga bebas risiko. Sekarang akan dilihat kondisi kesetimbangan pada tiga kasus yang telah dikemukakan pada bagian 3.2. 0
Kasus 1:
Pada kasus ini, telah ditunjukkan pada persamaan (3.8) bahwa
sehingga
tidak ada nilai kesetimbangan yang mungkin. 0
Kasus 2:
Dengan memperhitungkan persamaan (3.17) dan (3.12) secara simultan, dapat diperoleh hubungan sebagai berikut .
(3.18)
Hubungan tersebut dapat ditulis dalam bentuk nilai kesetimbangan tiap parameter kontrak, yaitu: - Suku bunga jaminan i sebagai fungsi dari tingkat partisipasi dan koefisien strategi yaitu:
yang dapat diturunkan dari persamaan (3.13) dan persamaan (3.16),
33
1 3.19
2 dengan batasan 0
1 dan 0
1.
(lihat lampiran 3) - Tingkat partisipasi sebagai fungsi dari suku bunga jaminan dan koefisien strategi yang dapat diturunkan dari persamaan (3.13) dan persamaan (3.16), yaitu: 1
1
1
1
2
2
3.20
dengan syarat 0
1 dan
.
(lihat lampiran 4) - Koefisien strategi partisipasi
sebagai fungsi dari suku bunga jaminan
dan tingkat
.
Tujuannya untuk menunjukkan bahwa jika terdapat pasangan nilai parameter teknis i dan B yang logis, maka di sana ada strategi aset yang membangkitkan kondisi kesetimbangan: 1
1
1
2
2
dengan syarat 0 (lihat lampiran 5)
1
3.21
1.
34
Syarat pada diperoleh dengan syarat 0 a)
0 untuk
b)
1 jika
1.
(untuk semua
dan
1
memenuhi ketika
.
2 Kasus 3: 0
Kondisi kesetimbangan nilai wajar pada persamaan (3.15) kemudian menjadi 1
1 1
Karena dalam kasus ini
1
1.
, sehingga mengakibatkan
3.22 1.
3.4 Nilai Wajar dalam Model Multi Periode Selanjutnya akan diperluas perhitungan nilai wajar pada waktu jatuh tempo
secara umum. Tiga rencana partisipasi yang didefinisikan sebelumnya
akan dipaparkan secara terpisah. Dalam tiap kasus akan ditunjukkan nilai wajar yang sesuai dengan tiap rencana partisipasi yang berbeda.
3.4.1 Bonus Reversionary Dengan memperhatikan struktur binomial pada imbal hasil, total benefit yang dibayarkan pada waktu jatuh tempo adalah peubah acak yang diberikan oleh , dengan tahun sampai
adalah banyaknya peningkatan aset berisiko dari 0
tahun, sedangkan
dan
berhubungan dengan total imbal
hasil. Nilai wajar kemudian diberikan oleh:
v
T
1 1
T
T
(lihat lampiran 6)
(3.23)
35
dengan
adalah nilai wajar finansial dalam satu periode.
Nilai wajar kontrak menjadi v
T
1 1
1
2
2
dengan: = = = maksimum , 0 .
3.4.2 Bonus Cash Dalam kasus ini, tiap tahun tingkat bonus diterapkan hanya pada akumulasi cadangan dengan tingkat suku bunga
dan memperhitungkan peluang
bertahan hidup. Untuk premi awal tunggal
Tpx,
cadangan
untuk
digunakan pada waktu diberikan oleh 1
1
T t
.
t
Bagian kewajiban (liabilitas) dibayarkan pada waktu (
1,2,3 … ,
dalam kasus bertahan hidup sebagai peubah acak, bonus cash diberikan oleh: a) Dalam kasus nilai aset yang meningkat 1
T
t
b) Dalam kasus nilai aset yang menurun
T
1 t
.
Nilai wajar dapat diekspresikan sebagai nilai sekarang pada seluruh aliran kas di masa yang akan datang dalam ukuran risiko netral dan memperhitungkan peluang bertahan hidup.
36
v
1 1
T
1
t
1
1
1 1
T
1 1
T
dan
adalah nilai wajar finansial yang dirumuskan dengan 1 1
1
1
1
.
1
3.24
( lihat lampiran 7) dengan: ,
,
=
Khususnya dalam kasus 1 1
dan 0 dan
.
=
0, nilai wajar untuk bonus cash adalah
1 1
1
.
2
3.25
Nilai wajar yang sesuai untuk bonus reversionary adalah 1 1
1
.
2
Seperti yang diharapkan, untuk
3.26
1 dua nilai (3.25) dan (3.26) tersebut di atas
adalah identik. 3.4.3 Bonus Terminal Bonus
terminal
hanya
membandingkan akhir liabilitas tempo.
dihitung 1
pada
akhir
kontrak,
dengan
dengan nilai aset pada waktu jatuh
37
Jika nilai akhir aset pada waktu menggunakan strategi v
nilai wajar dapat dirumuskan sebagai berikut:
1
r
1
1
T T
1
, dengan
dinyatakan dengan
1
T T
; ; 1
3.27
T
dengan
adalah ukuran risiko netral dan
menyatakan nilai harapan dalam .
Alternatif lain, nilai wajar finansial dapat diekspresikan dalam harga opsi 1 1 ; ; 1
dengan tempo
; ; 1
adalah harga opsi call pada aset
dan harga strike 1
dengan waktu jatuh
.
Dengan memperhatikan struktur model binomial, bentuk umum harga opsi call tersebut diberikan oleh:
; ; 1
1 1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
38
Nilai wajar finansial kemudian diberikan secara eksplisit sebagai berikut: 1 1
1
1
1 1
1
1
.
Selanjutnya nilai wajar kontrak partisipasi menjadi
v
1 1
T
1
1
.
3.28
3.5 Hubungan Kesetimbangan dalam Model Multi Periode 3.5.1 Bonus Reversionary Rumus (3.23) menunjukkan dengan jelas bahwa 1
1.
Hasil kesetimbangan yang diperoleh pada bagian 3.3 (model satu periode) tidak berubah dalam model multi periode untuk bonus reversionary, yaitu: 0
Kasus 1:
Tidak ada kesetimbangan yang mungkin karena
(lihat persamaan
(3.8) dan persamaan (3.17)). Kasus 2:
0
Nilai kesetimbangan untuk parameter suku bunga
2
persamaan 3.19
39
Nilai kesetimbangan untuk parameter tingkat partisipasi 2
.
persamaan 3.20
Nilai kesetimbangan untuk parameter koefisien strategi 2
.
persamaan 3.21
Kasus 3: 0 Kondisi kesetimbangan nilai wajar pada persamaan (3.15) kemudian menjadi 1
1 1
1
atau .
persamaan 3.22
, sehingga mengakibatkan
Karena dalam kasus ini
1.
3.5.2 Bonus Cash Rumus (3.25) dan (3.26) menunjukkan bahwa nilai wajar biasanya berbeda menggunakan bonus reversionary atau bonus cash. Namun dapat dilihat (bahwa nilai kesetimbangan pada parameter kontrak adalah sama. Menggunakan 1, kontrak akan setimbang dalam rencana bonus
rumus (3.24) dan cash jika 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
.
3.29
Seperti pada bagian 3.3, dapat dipertimbangkan kasus yang berbeda, bergantung pada nilai
dan
.
40
0.
Kasus 1:
Tidak ada kesetimbangan yang mungkin karena
(lihat persamaan
(3.8)). 0
Kasus 2:
dan
Menggunakan nilai (3.4) dan (3.7) pada 1
, rumus (3.29) menjadi: 1
1
1
2 2 1
2 3.30
2 (lihat lampiran 8) yang identik dengan bonus reversionary pada rumus (3.19). Kasus 3: 0 Rumus (3.29) menjadi; 1
1
1
1
1
2 1
1
2 1
1 1 Yang mengakibatkan nilai
1
1
1
.
1 seperti pada kasus bonus reversionary.
41
Sehingga dapat disimpulkan kondisi kesetimbangan pada parameter kontrak adalah sama untuk bonus reversionary dan bonus cash. 3.5.3 Bonus Terminal 1
Rumus (3.28) memberikan kondisi kesetimbangan jika sehingga: 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
.
3.31
Dari hubungan tersebut, dapat diperoleh nilai kesetimbangan tingkat partisipasi sebagai fungsi tingkat jaminan dan koefisien strategi
1
1
∑
.
1
3.32
Di lain pihak, jika tingkat partisipasi diketahui, hal ini memungkinkan untuk
mengekspresikan nilai kesetimbangan
berikut:
1
1
1
1
1
1
1
∑
1 1
∑
pada tingkat jaminan sebagai
42
∑
1 1
dengan
2
∑
2
3.33
2
infimum
didefinisikan sebagai:
2
1
:
.
Namun hubungan tersebut tidak nampak secara eksplisit sebab koefisien bergantung kepada nilai
. Hubungan tersebut dapat dihitung dengan
mengasumsikan nilai untuk
dan kemudian periksa setelahnya, jika
memenuhi.
Sebagai contoh, dilihat kembali apa yang terjadi dalam model dua periode. Dari persamaan (3.33) untuk 1
2 dan 2
2
1 1
2
2
1 diperoleh
2
.
3.34
2
3.6 Perbandingan Analisis Sistem Reversionary dan Sistem Cash. Sistem Reversionary dan sistem cash tidak banyak berbeda. Perbedaannya hanya pada penggabungan bonus dalam kontrak. Selain itu seperti telah dilihat pada bagian 3.5 bahwa keadaan kesetimbangan adalah sama, walaupun rumus nilai wajar nampaknya begitu berbeda. jika dan hanya jika tingkat partisipasi lebih besar dari pada nilai kesetimbangan. Untuk mendapatkan hubungan tersebut,
harus dibandingkan penilaian
dalam dua rencana partisipasi menggunakan parameter yang sama: -
Untuk bonus reversionary (lihat persamaan (3.23)) 1 1
43
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
.
dengan -
Untuk bonus cash (konfirmasi rumus (3.24)) 1 1
1
1
1
.
1
Dengan mengembangkan rumus reversionary didapatkan 1
1
1
1
.
Kondisi agar sistem reversionary mempunyai nilai wajar yang lebih besar dari pada sistem cash, harus memenuhi hubungan sebagai berikut: ∑
1
atau
1
Atau dengan mengasumsikan
∑
1
1
0 (misalnya
.
0)
1
.
(3.35)
44
Misalkan sebuah fungsi 1
1
1
1
2.
dengan Untuk
diperoleh
Di lain pihak mudah untuk ditunjukan bahwa untuk meningkat dengan cepat. Sehingga ketika kondisi
0, fungsi dipenuhi, nilai
wajar untuk bonus reversionary lebih besar dari pada nilai wajar untuk bonus cash dan sebaliknya. Kondisi terakhir dapat ditulis sebagai berikut .
(3.36)
Dengan memperhatikan perbedaan studi kasus pada bagian 3.3, kondisi (3.36) menjadi: 0 di sini tidak relevan karena seharusnya
Kasus 1: Kasus 2:
0.
0
2 atau 2
yang berarti tingkat partisipasi lebih besar dari pada nilai kesetimbangannya (lihat persamaan (3.20)). Kasus 3: 0
45
1 karena
atau
, yang berarti tingkat partisipasi lebih besar dari pada nilai
kesetimbangannya (lihat persamaan (3.22)). 3.7 Waktu Pasar Finansial Kontinu Secara prinsip, perbandingan skema partisipasi yang berbeda dapat dengan mudah diadaptasikan pada waktu pasar finansial kontinu. Pada bagian ini akan dikembangkan model nilai wajar dengan menggunakan model Black-Scholes. Asumsi klasik pada pasar dimisalkan terpenuhi. Dua jenis aset dimisalkan ada, yaitu: 1. Aset tidak berisiko
dengan
ln 1
2. Aset berisiko
dengan
dihubungkan dengan suku bunga bebas risiko
suku bunga bebas risiko pada saat itu. dimodelkan dengan model gerak Brown geometrik
adalah proses Wiener.
(Devolder dan Dominguez-Fabian, 2004)
Kasus jika seluruh dana diinvestasikan pada aset bebas risiko, maka nilai dapat ditentukan dengan mengintegralkan bentuk berikut:
Sehingga diperoleh nilai
Dengan batas 0
sebagai berikut:
0 nilai investasi sama dengan nilai aset
, maka untuk
semula yaitu 1, sehingga nilai
0
1 dan nilai
menjadi
.
46
Portofolio yang dianjurkan pada perusahaan asuransi tetap seperti pada kasus waktu diskret, yaitu proporsi 1
diinvestasikan pada aset berisiko dan
diinvestasikan pada aset bebas risiko. Perkembangan pada portofolio
mengikuti gerak Brown geometrik dilambangkan dengan persamaan
sebagai
berikut 1 (3.37)
3.8 Nilai Wajar Model Satu Periode Di sini akan diberikan hasil pada bagian 3.2 yang diperoleh dalam struktur binomial. Pada model satu periode, tiga macam skema partisipasi adalah identik. Dalam model kontinu juga akan ditentukan nilai wajar untuk kontrak yang , ,
diberikan
dan untuk memperoleh kondisi kesetimbangan pada
koefisien-koefisien untuk mendapatkan kontrak yang wajar. Nilai wajar sekarang diberikan dengan 1 1
1
, ,1
dengan
, ,1
menyatakan harga opsi call pada portofolio
yang
direkomendasikan untuk satu periode dan untuk harga eksekusi (strike price) yang sama dengan jaminan 1
.
untuk satu periode dengan
Nilai
ln 1
adalah:
1 1 Dalam lingkungan model Black-Scholes nilai diberikan dengan: , ,1
1 1
1
1
, , 1 atau opsi call
47
1
1
1 1
, ,1
, ,1
1
1
1
, ,1
1 1
, ,1
1
, ,1
, ,1
3.38
(lihat lampiran 9) dengan 1
ln , ,1
, ,1
ln
2
1
, ,1
, ,1
1 1
1 2
ln
1 1
1 2
.
3.39
adalah fungsi sebaran kumulatif pada peubah acak normal baku. (lihat lampiran 10) Akhirnya nilai wajar dapat ditulis sebagai berikut
1
1 1
, ,1
1 1
, ,1
.
3.40
Keadaan kesetimbangan yang diberikan oleh (3.16) dapat dinyatakan dalam model ini sebagai nilai kesetimbangan eksplisit untuk tingkat suku bunga jaminan
pada tingkat partisipasi,
dan koefisien strategi
(ekuivalen dengan
persamaan (3.20) dalam model binomial)
1
, ,1
1
, ,1
.
3.41
48
Hubungan implisit hanya dapat diperoleh dalam model ini, jika ingin menyelesaikan persamaan tersebut untuk dua parameter lain (nilai kesetimbangan berturut-turut untuk suku bunga jaminan dan koefisien strategi).
3.9 Nilai Wajar dalam Model Multi Periode 3.9.1 Bonus Reversionary Tepat seperti dalam kasus waktu diskret dan memperhitungkan struktur proses imbal hasil, nilai wajar untuk kontrak periode
menggunakan bonus
reversionary diberikan oleh T
dengan
1 1
1 1
, ,1
, , 1 dan
3.42
, ,1
, , 1 seperti didefinisikan pada persamaan 3.39 .
3.9.2 Bonus Cash Nilai wajar diekspresikan sebagai diskonto nilai harapan pada semua aliran kas (cash flow) di waktu yang akan datang di bawah ukuran risiko netral dan peluang bertahan hidup
T
1 1
t
.
1
3.43
adalah bonus cash yang dibayarkan pada waktu .
dengan Nilai harapan
adalah T
1
t
1
, ,1 .
3.44
Dengan menyubstitusikan persamaan (3.44) ke dalam persamaan (3.43) akan diperoleh:
T
1 1
1 t
T t
1
1
, ,1
49
1 1
T
1
, ,1
T
1 1
.
Akhirnya, nilai wajar diberikan oleh 1 1
T
1
, ,1
1
1
3.45
1
dengan
1
1
1
1
1
1
.
1
lampiran 11
3.9.3 Bonus Terminal Nilai wajar akan memiliki struktur yang sama seperti dalam model satu periode T
1 1
, ,
3.46
dengan: 1
, ,
, , 1
1
, ,
1
, ,
, , , ,
, ,
(3.47)
(lihat lampiran 12) Sehingga nilai wajar dalam model multi periode menjadi: T
1 1
T
1 1
, ,
, ,
1 1
, ,
50
dengan:
ln , ,
√
, ,
1 2
1
, ,
√
ln
√
1 1
ln
√
1 1
1 2
1 2
.
3.48
(lihat lampiran 13) 3.10 Hubungan Kesetimbangan dalam Model Multi Periode 3.10.1 Bonus Reversionary Menurut rumus (3.42) dan seperti dalam model binomial, keadaan kesetimbangan sama seperti dalam model satu periode. 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1
1 1
, ,1
1
1 1
, ,1 r
, ,1
, ,1
r
, ,1 , ,1
1
1
, ,1
, ,1 .
3.49
3.10.2 Bonus Cash Menggunakan rumus (3.45) kondisi kesetimbangan untuk bonus cash menjadi: 1 1
1
1
1
, ,1
1
, ,1 1
1
1
1 1 1
1 1
51
1
1
, ,1
1
1
1 1
, ,1
1 1
1
, ,1
1
, ,1
3.50
yang juga sama dengan nilai kesetimbangan pada model satu periode (lihat persamaan (3.41)). 3.10.3 Bonus Terminal Menggunakan persamaan (3.46), kondisi kesetimbangan untuk bonus terminal menjadi: 1 1
1
, ,
1 1
1
1
1 1
, ,
, ,
1 1 , ,
1
, ,
1
1 1
T
, ,
, , .
3.51
3.11 Perbandingan Analisis Sistem Reversionary dan Sistem Cash Metodologi yang sama seperti dalam bagian 3.6 dapat digunakan untuk memperoleh kedudukan antara nilai wajar untuk bonus reversionary dan bonus cash ketika parameter tidak dalam keadaan setimbang. Dengan menggunakan berturut-turut persamaan (3.42) dan (3.45), nilai wajar dapat ditulis sebagai berikut: -
Dalam sistem
reversionary nilai wajar kontrak partisipasi adalah (lihat
persamaan (3.42)) T
T
1 1
, ,1
1
1
1
1 1
, ,1
3.52
52
1
dengan
, , 1 dan
, , 1 merupakan harga opsi call dalam
model satu periode , ,1
1
1
1 1
1
1
, ,1
1 1
, ,1
-
1
1
, ,1
, ,1
Dalam sistem cash nilai wajar kontrak partisipasi adalah (lihat persamaan (3.45)) 1 1 1 1 T 1 1 1
dengan
, , 1 dan
, , 1 merupakan harga opsi call dalam
model satu periode , ,1
1
1
1 1
1
1
, ,1 dengan
, , 1 dan
1
, ,1
1 1
1
, ,1
, ,1
, , 1 didefinisikan pada persamaan (3.39) dan
merupakan fungsi distribusi kumulatif peubah acak normal baku. Sehingga nilai wajar kontrak sistem reversionary dan sistem cash waktu diskret mempunyai bentuk yang tepat sama dengan nilai wajar kontrak sistem reversionary dan sistem cash dalam waktu kontinu.
53
3.12
Ilustrasi Numerik Dengan memperhatikan formula nilai wajar kontrak partisipasi multi
periode untuk tiga cara pemberian bonus serta dengan memasukkan nilai tiap parameter dapat ditentukan nilai wajar kontrak partisipasi secara numerik. Untuk menampilkan data secara numerik digunakan program excel 2007.
3.12.1 Nilai Wajar Finansial Sebagai Fungsi Tingkat Partisipasi Pada bagian ini akan dibandingkan tiga skema partisipasi (cara pemberian bonus) dalam bentuk nilai wajar kontrak partisipasi untuk seseorang yang berumur 30 tahun. Misalkan dalam pasar finansial skenario berikut dipenuhi dengan suku bunga bebas risiko 3% per tahun, premi risiko 2% dan volatilitas 6% . Suku bunga jaminan yang ditetapkan perusahan asuransi sebesar 2.5% per tahun. Sedangkan investasi yang dilakukan perusahaan menggunakan strategi agresif sebesar 60% pada aset berisiko. Nilai wajar kontrak partisipasi dengan tiga skema partisipasi selama dua periode dapat dilihat dalam Tabel 1. Tabel 1. Nilai Wajar Kontrak Partisipasi Berbagai Tingkat Partisipasi untuk Usia 30 Tahun
TINGKAT NO PARTISIPASI REVERSIONARY 1 0 0.987676628 0.991084233 2 0.1 0.994497706 3 0.2 0.997917047 4 0.3 1.001342256 5 0.4 1.004773333 6 0.5 1.008210279 7 0.6 1.011653093 8 0.7 1.015101775 9 0.8 1.018556325 10 0.9 1.022016744 11 1
NILAI WAJAR CASH
TERMINAL
0.987676628 0.991098719 0.99452081 0.997942901 1.001364992 1.004787083 1.008209174 1.011631266 1.015053357 1.018475448 1.021897539
0.987676628 0.988642561 0.989608493 0.990574426 0.991540358 0.992506291 0.993472223 0.994438156 0.995404088 0.996370021 0.997335954
KETERANGAN
i= 0.025 r= 0.03 γ= 0.6 λ= 0.02 θ= 0.06 T= 2 tahun x=30 tahun
54
Untukk lebih mem mperjelas peerbedaan nilai wajar kontrak partisiipasi dua periode un ntuk tiga skeema partisipasi secara visiual v dapatt digambarkaan dalam sebuah graffik (lihat Gaambar 1). Grafik Nilai Wajar Konttrak Partisip pasi Berbagaai Tingkat Partisipasi N i l a i W a j a r
1,04 1,02 1 0,98 8 0,96 6 0
0,1 0,2
0,3
4 0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Tinggkat Partisipassi (B) Reversionary
Cash h
Terrminal
Gambar G 1. Grafik Nila ai Wajar Koontrak Parttisipasi Berb bagai Tingk kat Partisipasi P 3.12.2 3 Nilaii Wajar Kontrak Partiisipasi Sebagai Fungsi P Peluang Berrtahan Hidu up Usia x (Tpx) Sepeerti pada baagian 3.12.1 diasumsikaan dalam paasar finansiaal skenario berikut b dipeenuhi dengan n suku bungga bebas risik ko 3% per tahun, t premii risiko 2% dan d volatilittas 6%. Suk ku bunga jaaminan yan ng ditetapkann perusahaaan asuransi sebesar 2.5 5% per tah hun. Sedanggkan investtasi yang dilakukan perusahaan p menggunaka m an strategi aggresif sebesaar 60% padaa aset berisikko. Nilaii wajar konttrak partisipaasi pada tigaa skema parrtisipasi denggan tingkat partisipasi p 20% 2 untuk orang yangg berusia 300 tahun sam mpai berusiaa 50 tahun selama dua periode p (2 taahun) ditamppilkan dalam m Tabel 2 dann Gambar 2.. Sedaangkan nilaii wajar konntrak partisiipasi pada ttiga skema partisipasi dengan d tingkkat partisipaasi 80% untuuk orang yan ng berusia 300 tahun sam mpai berusia 50 5 tahun selama dua perriode ditamppilkan dalam m Tabel 3 dann Gambar 3.
55
Tabel T 2. Niilai Wajar Kontrak K Parrtisipasi den ngan Tingkat Partisipaasi 20% un ntuk Usia 30 0 Tahun s/d 50 Tahun
NO
USIA (x)
PLG BERTA AHAN HIDUP (TTpx)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
0.997336 0.997281 0.997204 0.9970 086 0.996915 0.9967 702 0.9964 466 0.996199 0.9958 898 0.995553 0.995144 0.9946 668 0.994157 0.9936 609 0.9930 004 0.992339 0.991593 0.9907 73 0.9897 769 0.9887 753 0.9877 719
REV VERSIONARY 0.9 994497706 0.9 994442862 0.9 994366081 0.9 994248417 0.9 994077904 0..99386551 0.9 993630182 0.9 993363942 0.9 993063798 0..99271978 0.9 992311944 0.9 991837299 0.9 991327753 0.9 990781312 0.9 990178034 0.9 989514927 0..98877105 0.9 987910506 0..98695224 0.9 985939132 0.9 984908075
NILAI WAJJAR CASH 0.9945025 577 0.9944477 734 0.9943709 952 0.9942532 288 0.9940827 774 0.9938703 379 0.9936350 049 0.9933688 808 0.9930686 663 0.9927246 643 0.9923168 805 0.9918421 157 0.9913326 609 0.9907861 166 0.9901828 885 0.9895197 774 0.9887758 893 0.9879153 345 0.9869570 075 0.9859439 962 0.9849128 899
TER RMINAL 0.989608493 0.98 8955392 0.989477516 0.98 8936043 0.989190755 0.988979406 0.988745234 0.988480303 0.988181635 0.987839308 0.987433477 0.986961165 0.986454125 0.985910371 0.985310058 0.984650211 0.983909991 0.983053678 0.982100124 0.981091996 0.980066007
Nilai Wajar Kontrak Usia 30 Tahun s/d 50 Tahu un dengan Tingkat Partisipasii 20% N i l a i W a j a r
1 0,99 0,98 0,97 30 31 32 33 3 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4 46 47 48 49 50 5 Usia Reverssionary
Cash
Terminal
Gambar G 2. Grafik Nila ai Wajar K Kontrak Parttisipasi dengan Tingkaat Partisipasi P 2 20%
56
K Paartisipasi den ngan Tingk kat Partisipaasi 20% Tabel 3. Niilai Wajar Kontrak un ntuk Usia 30 0 Tahun s.d d 50 Tahun NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
N i l a i W a j a r
USIA (x) 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
PLNG BERT TAHAN HIDUP (Tpx) 0.9973 336 0.9972 281 0.9972 204 0.9970 086 0.9969 915 0.9967 702 0.9964 466 0.9961 199 0.9958 898 0.9955 553 0.9951 144 0.9946 668 0.9941 157 0.9936 609 0.9930 004 0.9923 339 0.9915 593 0.9907 73 0.9897 769 0.9887 753 0.9877 719
REEVERSIONARY Y 1 1.015101775 1 1.015045795 1 1.014967424 1 1.014847322 1 1.014673276 1 1.014456481 1 1.014216277 1 1.013944521 1 1.01363816 1 1.013287014 1 1.012870728 1 1.012386249 1 1.011866147 1 1.011308385 1 1.010692608 1 1.010015762 1 1.009256474 1 1.008378101 1 1.007399982 1 1.006365884 1 1.005313465
NILAI WAJAR CASH H 1.014980 0425 1.014924 4452 1.014846 609 1.014726 6002 1.014551 1977 1.014335 5208 1.014095 5033 1.013823 331 1.013516 6984 1.013165 5881 1.012749 9645 1.012265 5224 1.011745 5183 1.011187 7489 1.010571 1785 1.009895 502 1.009135 5822 1.008257 7555 1.007279 9553 1.006245 5578 1.005193 3285
TERM MINAL 0.995 5404088 0.995 5349195 0.995 5272344 0.995 5154573 0.994 4983904 0.994 4771317 0.994 4535774 0.994 4269291 0.993 3968874 0.993 3624542 0.993 3216335 0.992 2741257 0.992 2231246 0.991 1684308 0.991 108048 0.990 0416768 0.989 9672213 0.988 8810885 0.987 7851746 0.986 6837714 0.985 5805717
Grafik Nilai Wajar Kontrak Parrtisipasi denggan Tingkat P Partisipasi un ntuk Usia 30 TTahun s.d 50 Tahun 1,05 1 0,95 30 31 32 33
34 35 36 37
38 39 9 40 41 42 3 44 45 43 46 4 47 48 49 Usiaa 50
Reversionayy
Cash
T Terminal
Gambar G 3. Grafik Nilaai Wajar K Kontrak Parttisipasi dengan Tingkaat Partisipasi 80% untuk Usia 30 Tahun T s.d 500 Tahun.
57
3.12.3 Pembahasan Hasil Perhitungan Numerik Dalam Tabel 1 dan Gambar 1 jelas terlihat bahwa nilai wajar finansial dari tiga cara pemberian bonus pada saat tingkat partisipasi lebih dari 10%, untuk bonus reversionary dan bonus cash hampir memiliki nilai yang sama sampai 5 digit di belakang koma. Sedangkan untuk bonus terminal memiliki nilai yang lebih kecil dari bonus reversionary dan bonus cash. Sedangkan dalam Tabel 2 dan Gambar 2 dapat dilihat bahwa makin tinggi usia pemegang polis makin berkurang nilai wajar kontrak partisipasi untuk tiga skema partisipasi. Hal ini disebabkan oleh penurunan peluang bertahan hidup pemegang polis. Namun tetap nilai wajar kontrak partisipasi untuk cara pemberian bonus terminal lebih kecil dari cara pemberian bonus reversionary dan bonus cash. Selanjutnya nilai wajar kontrak partisipasi pada tiga skema partisipasi dengan tingkat partisipasi 80% untuk orang yang berusia 30 tahun sampai berusia 50 tahun selama dua periode (2 tahun) ditampilkan dalam Tabel 3 dan Gambar 3. Dari Tabel 3 dan Gambar 3 dapat diinterpretasikan sama seperti pada Tabel 2 dan Gambar 2, yang berbeda hanya nilai wajar kontrak partisipasi lebih besar dari pada nilai wajar kontrak partisipasi dengan tingkat partisipai sebesar 20% untuk ke tiga cara pemberian bonus.
IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Telah ditunjukkan bahwa nilai wajar bergantung kepada: strategi investasi (dan dihubungkan dengan risiko), tingkat partisipasi dan tingkat jaminan, juga pada sistem bonus yang dipilih, baik untuk model satu periode maupun model multi periode dalam kerangka waktu diskret dan waktu kontinu. Kondisi kesetimbangan diperoleh jika dan hanya jika tingkat suku bunga jaminan lebih kecil atau sama dengan tingkat suku bunga bebas risiko. Beberapa kondisi kesetimbangan secara eksplisit telah ditemukan dalam rumus parameter kontrak. Khususnya untuk bonus reversionary dan bonus cash kondisi kesetimbangan pada parameter kontrak adalah sama. Dalam tulisan ini, telah dikembangkan berbagai rumusan untuk membandingkan nilai wajar produk asuransi yang didasarkan pada tiga rencana partisipasi; bonus reversionary, bonus cash dan bonus terminal yang memperhitungkan secara simultan sisi aset dan sisi liabilitas dalam model multi periode. Pertama menggunakan model binomial, yang telah memperoleh bentuk tertutup dan memberikan interpretasi dengan jelas yang berhubungan dengan kondisi pasar. Kemudian sebuah pendekatan yang sama untuk kerangka waktu kontinu telah diberikan dalam model Black-Scholes yang memberikan suatu kesimpulan yang sama. 4.2 Saran Dengan memperhatikan kesimpulan yang diperoleh, maka diberikan saransaran sebagai berikut: 1
Model juga dapat dikembangkan dengan memperhitungkan aspek lain seperti melepas opsi, premi periodik atau risiko jangka panjang.
2
Pada penelitian lebih lanjut, untuk lebih menunjukkan perbedaan nilai wajar dalam tiga rencana partisipasi dapat dibuat analisis numeriknya.
59
DAFTAR PUSTAKA Abink M,
Saker M. 2002. Getting to grif with fair value.
The Staple Inn
Actuarial Society. Bacinello AR. 2001. Fair pricing of Life Insurance participating policies with a minimum interest guaranteed. ASTIN Bulletin. 31(2): 275-298. Bacinello AR. 2003a. Fair valuation of a guaranted life insurance participating contract embedding a surrender option. Journal of Risk and Insurance. 70(3): 461-487. Bacinello AR. 2003b. Pricing guaranteed life insurance participating policies with
annual premiums and surrender option. North American
Actuarial Journal. 7(3), 1-17. Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy. 81(3):637-654. Bodie Zvi, Kane Alex, Markus AJ. 2005. Investasi. Jilid I. Budi Wibowo, penerjemah. Salemba Empat. Terjemahan dari: Invesment. Bowers NL JR, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ.1997. Actuarial Mathematics. Second Edition. The Society of Actuaries. Illinois USA. Briys E, De Varenne F. 1979. On the risk of insurance liabilities: debunking some common pitfalls. Journal of Risk an Insurance. 64(4): 673-694. Buhlman H. 2002. New Math for Actuaries. ASTIN Bulletin. 32(2): 209-211. Chance DM. 2004. An Introduction to Derivatives & Risk Management. Sixth Edition. Thomson South Western. Ohio USA. Cox J, Ross S, Rubenstein M. 1979. Option Pricing: a simplified approach. Journal of Finacial Economics. 7: 229-263. Devolder P. 2003. Fair valuation of Actuarial Liabilities in Binomial Environment. Universite Catholique de Louvain. Valencia. Devolder P, Dominguez-Fabian I, 2005. Fair Valuation of Various Participation Schemes in Life Insurance. Astin Bulletin, 35(1): 275-297 Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability With Stochastic Processes. Third Edition, Pearson Precentice Hall. New Jersey USA.
60
Grosen A, Jorgensen. P.L. 2000. Fair valuation of life insurance liabilities: the infact of interest rate guarantees, surrender option and bonus policies. Insurance Mathematics and Economics. 26(1): 37-57. Hull JC. 2006. Options, futures and other derivatives. Sixth Edition. Pearson Precentice Hall. New Jersey USA. Ross SM. 1993. Introduction Probabilty Models. Fifth Edition. Academics Press. Inc. San Diego.
LAMPIRAN
61
Lampiran 1 Bukti Persamaan (2.22) ,
Sebuah fungsi
,
yang kontinu, dengan turunannya yang juga
kontinu memenuhi 1 2
.
Bukti: ,
Fungsi
merupakan fungsi kontinu dan dapat diturunkan dalam peubah .
Jika ∆ adalah perubahan kecil pada
dan ∆ merupakan hasil perubahan kecil
dalam , maka ∆ Dapat dikatakan bahwa, ∆ berhubungan dengan
∆
1.1
sama dengan pendekatan tingkat perubahan
dikalikan dengan ∆ . Jika dibutuhkan perhitungan yang
lebih teliti, ekspansi deret Taylor pada ∆ dapat digunakan
Untuk fungsi
1 2
∆
∆
1 6
∆
1.2
yang kontinu dan dapat diturunkan pada dua peubah
dan , hasil
yang sama dengan persamaan (1.1) adalah ∆
∆
dan ekspansi deret Taylor pada ∆ ∆
∆
∆
1 2
∆
1.3
adalah
∆
∆ ∆
1 2
∆
1.4
Jika diambil limitnya pada saat ∆ dan ∆ mendekati 0, persamaan (1.4) menjad 1.5 Perluasan persamaan (1.5) untuk mencakup fungsi pada peubah yang mengikuti proses It , dengan memisalkan peubah , dan
mengikuti proses It sehingga
,
1.6
dan . Analog dengan persamaan (1.4) ∆ dapat
merupakan fungsi pada
dinyatakan sebagai berikut ∆
∆
∆
1 2
∆
∆ ∆
1 2
∆
1.7
62
Persamaan (1.6) dapat dinyatakan dalam fungsi diskret sehingga ∆
, ,
Atau jika penjelasan
∆
,
1.8
√∆
dihilangkan menjadi ∆
∆
1.9
√∆
Persamaan ini menampakkan perbedaan penting antara persamaan (1.4) dengan persamaan (1.7). Pada saat penjelasan limit digunakan untuk merubah persamaan (1.4) menjadi (1.5), bentuk ∆
diabaikan karena merupakan bentuk orde kedua.
Dari persamaan (1.9) dapat diperoleh ∆
∆
bentuk orde yang lebih tinggi dalam ∆
Hal ini menunjukkan bahwa bentuk yang mengandung ∆
(1.10)
pada persamaan (1.7)
mempunyai komponen ∆ dan tidak dapat diabaikan. Ragam pada distribusi normal baku adalah 1, hal ini berarti 1 0 akibatnya
dengan E melambangkan nilai harapan. Pada saat sehingga nilai harapan ragam pada orde ∆
∆
∆ . Hal itu dapat ditunjukkan bahwa
dan sebagai akibatnya
1 ∆ adalah
∆ dapat diperlakukan sebagai
bentuk nonstokastik dan sama dengan nilai harapan ∆ , pada saat ∆ mendekati 0. Dengan mengambil nilai limitnya pada saat
∆ dan ∆ mendekati nol pada
persamaan (1.7) dan menggunakan hasil terakhir diperoleh 1 2
1.11
mengikuti lema It . Dengan menyubstitusikan
pada persamaan (1.6) ke
dalam persamaan (1.11) diperoleh 1 2 1 2 1 2
63
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.6) 1 1
1
2
2
Bukti:
1 1 1 1 1 1
1
2 1 1
1
2
1 1
1
2 1
1 1 1 1
1
2
1
1 1
2
2
2
2 2
2
.
64
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.19)
2 Bukti: 1 1
1
1
1
1 1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2 1
2 2
2 1
2
2 .
65
Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.20) 2
Bukti: 1
1
1 1
1
1
2
1
1 1
2
2
2 2
.
66
Lampiran 5 Penurunan Persamaan (3.21) 2
Bukti: 1
1
1 1
1
1
2
1
1 1
2
2
2 2 2
2
2 2
.
67
Lampiran 6 Penurunan Persamaan (3.23) v
T
Bukti: v
1
T
T
T
1 1 1
1
1
1 T
T
1 1
T
T
.
68
Lampiran 7 Penurunan Persamaan (3.24) v
T
Bukti:
v
T
T
1 1
1
t
1
1 1
1 1 1 1
T
t
t
1
T
t
t
1 1
1 1
T
1 1
1 1
T
1 1
T
T
1
1
1 1
1
1 1
1 1
T
dengan 1 1
1
1 1
69
Bukti: 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
Merupakan deret geometri dengan suku pertama Sehingga jumlah deret 1 1 1 1
tersebut adalah:
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1 1
.
1 1 dan rasio
.
70
Lampiran 8 Penurunan Persamaan (3.30)
2 Bukti: Menggunakan nilai (3.4) dan (3.7) pada
1
, rumus (3.29) menjadi: 1
1
1
dan
2 1
1
2 2
2 1
2
1
2
2 2 1
2
1
2 .
1
71
Lampiran 9 Bukti Persamaan (3.38) ,
Suatu fungsi
ln
memiliki turunan sebagai berikut:
1 1
0 Substitusikan turunan-turunan tersebut ke dalam persamaan 1 1
Fungsi
memiliki drift rate
dan variance rate
. Perubahan Y
dalam waktu antara 0 sampai 1 merupakan sebaran normal dengan rataan . Hal ini berarti:
dan ln
1
ln
1
dengan , rataan
ln
0
,
ln
0
,
1 adalah harga aset pada waktu 1,
0 harga aset pada waktu 0 dan
menyatakan distribusi normal dengan: ln
0 1
Selanjutnya, jika
.
dan simpangan baku
didefinisikan sebagai fungsi kepekatan peluang dari
1 , maka nilai harapan menjadi maks
1
1
,0 1
1
1
1 .
5.1
72
Selanjutnya didefinisikan sebuah peubah acak lain yaitu 1
ln Dengan menyubstitusikan
.
1
ln
0
2
,
5.3
juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan simpangan baku 1.
Fungsi kepekatan peluang dari
dinyatakan dengan 1
/
maks
Selanjutnya untuk menentukan nilai
∞, maka
∞ dan jika
5.4
1
1
,0
perlu adanya
1 menjadi integral menurut .
perubahan batas integral dari integral menurut 1
sehingga .
√2
Jika
5.2
dan ke dalam persamaan (5.2) diperoleh ln
dengan
dengan
1
1
ln 1
, maka
. 1 sehingga
Dengan mengubah persamaan di atas menjadi persamaan dalam 1
.
5.5
Dengan menggunakan persamaan (5.5) bersama-sama dengan persamaan (5.4) dan dengan perubahan batas integral seperti yang disebutkan di atas, maka persamaan (5.1) menjadi maks
1
1
,0
1 1
/
/
1
/
/
1 /
/
/ /
1
√2
/ /
/
1
√2 1
/
1
√2
/
1 √2
/
1 /
73
/
1
/ /
/
ln 1
1
1
ln 1
/
dengan
ln 1
1 ln 1
1
5.6
/
Dengan menyubstitusikan 1
maks /
/
1
,0
ln 1
ln 1
1
/
dan ke dalam persamaan (5.6) menjadi
ln 1
1
ln 1
1 0
ln
2
ln 1
ln
0
ln
2
2
ln 1
ln
0
ln
0
2
0 1
2
74
ln 1
0 2
1
1 0 Karena maks
1 0
1 dan 1
1
ln 1
maka:
,0
1
Nilai opsi call menjadi , ,1
1
maks
1
1 1 1 1
.
,0
75
Lampiran 10 Penurunan Persamaan (3.39)
ln
1 1
2
ln
1 1
2
, ,1
, ,1
, ,1 Bukti:
ln , ,1 ln
ln
ln , ,1 ln
ln
0 2
1
1
1
ln 1
1 1
2
2
0 2
1
1
1
1 1 , ,1
ln 1
2
2
76
Lampiran 11 Penurunan Persamaan (3.45) 1
1
1
1
1
1 1
Bukti: 1
1 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 dan rasio
Merupakan deret geometri dengan suku pertama tersebut adalah:
Sehingga jumlah deret 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
.
1 1
.
77
Lampiran 12 Bukti Persamaan (3.47) ,
Suatu fungsi
ln
memiliki turunan sebagai berikut:
1 1
0 Substitusikan turunan-turunan tersebut ke dalam persamaan 1 1
Fungsi
memiliki drift rate
dan variance rate
. Perubahan Y
dalam waktu antara 0 sampai T merupakan sebaran normal dengan rataan . Hal ini berarti:
dan ln
ln
0
√
,
√
ln
ln
dengan
adalah harga aset pada waktu ,
,
0
,
atau
0 harga aset pada waktu 0 dan
menyatakan distribusi normal dengan: ln
rataan
0
√ .
dan simpangan baku
Selanjutnya, jika
didefinisikan sebagai fungsi kepekatan peluang dari
, maka nilai harapan menjadi
maks
1
,0 1
.
8.1
78
Selanjutnya didefinisikan sebuah peubah acak lain yaitu ln Dengan menyubstitusikan
dengan
.
8.2
dan ke dalam persamaan (8.2) diperoleh
ln
ln
0
2
,
√ dengan
8.3
juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan simpangan baku 1.
Fungsi kepekatan peluang dari
dinyatakan dengan 1
/
√2 Selanjutnya untuk menentukan nilai
sehingga .
8.4 1
maks
perubahan batas integral dari integral menurut ∞, maka
. Jika
,0
perlu adanya
menjadi integral menurut
∞ dan jika
1
ln 1
, maka
. sehingga
Dengan mengubah persamaan di atas menjadi persamaan dalam .
8.5
Dengan menggunakan persamaan (8.5) bersama-sama dengan persamaan (8.4) dan dengan perubahan batas integral seperti yang disebutkan di atas, maka persamaan (8.1) menjadi 1
maks
,0
1 1
/
/
1 1
/
1 / /
1
√2
/ /
/
/
√2 1
/
1
√2
/
/
/
1 √2
/
1 /
79
/
1
/ /
/
/
ln 1
1
1
ln 1
dengan
ln 1
1 ln 1
1
8.6
/
Dengan menyubstitusikan 1
maks /
/
dan ke dalam persamaan (8.6) menjadi ,0
ln 1
ln 1
ln 1
1 0
ln
2
√
√
1
/
ln 1
0
ln
ln 1
2
√
0
ln
2 √
1
ln
ln 1
0
2
√
ln
0 2
1 √
80
ln 1
0 2
1 √ 1
Karena maks
0
1 dan 1
0 ln 1
maka: 1
,0
Nilai opsi call menjadi , ,
1
maks 1 1 1 1
1
,0
81
Lampiran 13 Penurunan Persamaan (3.48)
, ,
, ,
ln
1 1
2
√
ln
1 1
2
√
, ,
√
Bukti: ln , ,
0 2
1 √
ln
1
1
ln 1
2
√ ln
1 1
2 √
ln
ln , ,
1 1
√
2
0 2
1 √
ln
1
1
ln 1 √
ln
1 1
2 √
ln
1 1 , ,
√
2 √
2
82
Lampiran 14 Penurunan Persamaan (3.52)
T
0
1
1
1
Bukti: 1 1
T
T
1 1
1 1
T
1 1
1
T
T
T
T
T
1 1
, ,1 , ,1
, ,1 1 1
, ,1 1
, ,1 1
, ,1
1
1
, ,1 1
1
, ,1
1
1
, ,1
1
, ,1
1 1
1 1
1 1
1
1 1 1
1
1
1 .
, ,1
1
, ,1
1 1
2
, ,1 , ,1
